Czy zdałbyś dziś dawną maturę z matematyki?dopobrania.e-firma.pl/facebook/Matematyka.pdf ·...

Sekret rombościanów

977

0137

8840

02

01

S T Y C Z E Ń / L U T Y 1 / 2 0 1 6 ( 1 0 ) | 4 1 9 | i n d e k s 3 6 5 1 4 9 | 3 7 Z Ł ( w t y m 5 % V A T )

C Z A S O P I S M O D L A N A U C Z Y C I E L I

Geometria na poziomie

Magia światła i luster

Gereh – konstrukcje czy teselacje?

Sześciościan rombowy wielki – great rhombihexahedron

Czy zdałbyś dziś dawną maturę z matematyki?

ISSN

013

7-88

48

Art

. nr 4

4081

0

Wydawca Forum Media Polska Sp. z o.o.Sąd Rejonowy Nowe Miasto i Wilda w PoznaniuVIII Wydział Gospodarczy KRSKRS nr 0000037307REGON 631046924NIP 781-15-51-223Kapitał zakładowy: 300 000,00 zł

Prezes Zarządu Magdalena Balanicka

Dyrektor wydawniczy Radosław Lewandowski

Redaktor naczelnyPatryk [email protected]

Redaktor prowadzącyMirosław Majewski

Nadzór graficznyEdyta Żmuda

Koordynator projektu graficznegoAneta Lupa-Marcinowska

Dział obsługi klienta/prenumerata tel. 61 66 55 810 lub 61 66 55 750fax 61 66 55 [email protected]

Reklama Andrzej Idziaktel. kom. 502 237 [email protected]

Skład i łamanie Yezioro

KorektaBarbara Kostrzewska

Druk i oprawa Drukarnia Paper&Tinta

Okładka Dreamstime

Nakład3000

www.forum-media.pl

Redakcja nie odpowiada za treść płatnych

ogłoszeń, autorów prosimy o podawanie

adresu elektronicznego lub numeru telefonu.

Drodzy Czytelnicy,

Dobre zwyczaje nakazujà, aby nowy redaktor prowadzàcy czasopisma zosta∏

przedstawiony czytelnikom lub sam si´ przedstawi∏. To niniejszym czyni´.

Z wykszta∏cenia jestem matematykiem, wychowankiem Wydzia∏u

Matematyki UMK w Toruniu. Od zawsze pasjonowa∏a mnie geometria,

a od wielu lat równie˝ grafika i komputery w matematyce. Przez wiele lat organizowa∏em

konferencj´ MathPAD. Równie˝ przez wiele lat „wa∏´sa∏em” si´ po Êwiecie, co pozwoli∏o

mi zdobyç nieco szersze spojrzenie na nauczanie matematyki w ró˝nych krajach

oraz wk∏ad ró˝nych kultur do rozwoju matematyki. To tyle o mnie.

Stare przys∏owie mówi – nowa miot∏a lepiej zamiata. Jako ta „nowa miot∏a” obiecuj´,

˝e rewolucji w czasopiÊmie „Matematyka” nie b´dzie. B´dziemy natomiast ws∏uchiwaç

si´ w g∏osy Czytelników i zmieniaç czasopismo zgodnie z ich oczekiwaniami i potrze-

bami. B´dzie wić ewolucja w kierunku zagadnieƒ istotnych dla naszych Czytelników.

Jako redaktor czasopisma chcia∏bym, aby w „Matematyce” znalaz∏o si´ wićej tekstów

u˝ytecznych bezpoÊrednio w nauczaniu matematyki, a zatem materia∏y gotowe do wyko-

rzystania na lekcji, scenariusze lekcji czy tematów, oraz wszelkiego rodzaju zadania.

Druga grupa tematyczna wa˝na dla nas to teksty uzupe∏niajàce wiedz´ nauczycieli. Jed-

nym s∏owem coÊ, co na Zachodzie okreÊla si´, jako personal development. Chcia∏bym

równie˝, aby „Matematyka” sta∏a si´ swoistym forum dyskusyjnym dydaktyków mate-

matyki, miejscem wymiany poglàdów i doÊwiadczeƒ. Piszcie, zatem Paƒstwo do nas.

A oto w du˝ym skrócie, co znajdziecie Paƒstwo w tym numerze „Matematyki”.

OczywiÊcie nie sposób jest wymieniç wszystkie teksty, od tego jest spis treÊci, ale chc´

zasygnalizowaç te, moim zdaniem, najciekawsze.

Tomasz Gr´bski w artykule Czy zda∏byÊ dzisiaj dawnà matur´ z matematyki? porów-

nuje tematyk´ egzaminów dawnych i tych obecnych. Jest to wyjàtkowo interesujàcy

i wa˝ny tekst dla ka˝dego nauczyciela matematyki. Pozwala on bowiem na sprawdzenie,

w jaki sposób odbywa∏a si´ ewolucja problemów matematycznych w matematyce szkolnej.

Drugim wa˝nym tekstem w tym numerze jest artyku∏ Agnieszki Zieliƒskiej, zaty-

tu∏owany Zadania dla ucznia klasy II gimnazjum ze specyficznymi trudnoÊciami w ucze-

niu si´ matematyki. Standardowe podrćzniki szkolne rzadko zajmujà si´ uczniami

wymagajàcymi szczególnej troski. Przypuszczam, ˝e ten artyku∏ mo˝e byç równie˝

cennà pomocà dla rodziców wspomnianych dzieci.

Tu˝ za tym artyku∏em znajdziemy matematycznà krzy˝ówk´. Jest to bardzo cie-

kawy pomys∏, pod warunkiem, ˝e b´dziemy rozwiàzywaç krzy˝ówk´ bez kalkulatora.

Ciekawych tekstów w tym numerze „Matematyki” jest znacznie wićej, ale moje miej-

sce na tej stronie ju˝ si´ koƒczy.

Zachćamy wszystkich Czytelników do pisania do nas oraz do udzia∏u w Ogólnopol-

skim Kongresie Nauczycieli Matematyków „Edukacja matematyczna wobec wyzwaƒ

wspó∏czesnej szko∏y” (Warszawa, 8.04.2016). Wićej na ten temat znajdà Paƒstwo

na stronie http://www.czasopismomatematyka.pl/.

Spotkajmy si´ i porozmawiajmy!

Miros∏aw Majewski

Redaktor prowadzàcy

CZASOPISMO DLA NAUCZYCIELI

2 M AT E M AT Y K A

Spis treści

3 Cytatymatematyczne

Matematyka dawniej i dziś

4 Gereh–konstrukcje

czyteselacje?(szkic1)

16 Czyzda∏byÊdzisiajdawnà

matur´zmatematyki?

Szkoła podstawowa i gimnazjum

22 ZadaniadlauczniaklasyIIgimnazjumzespecyficznymi

trudnoÊciamiwuczeniusi´matematyki

25 Pierwiastki

26 Matematykawpraktyce

27 Mno˝enieliczbnasorobanie

Liceum

38 Liczbarozwiàzaƒrównaniax2 + x + c = y2

41 Geometrianapoziomie…

45 Algorytmnawyznaczanie

dniatygodniadladowolnej

datykalendarzagregoriaƒskiego

47 Równania,nierównoÊciiichuk∏ady

Matematyka inaczej

49 MagiaÊwiat∏ailuster

57 SzeÊcioÊcianrombowywielki

61 OromboÊcianach–cz´Êç1

JeÊli majà Paƒstwo jakiekolwiek sugestie odnoÊnie do naszego czasopisma –

prosimy pisaç na adres mailowy: [email protected] tak˝e na nasz Facebook: https://www.facebook.com/czasopismomatematyka/

3s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16

Cytatymatematyczne

Nie przejmuj si´, je˝eli masz problemy z matematykà. Zapewniam Ci´, ˝e ja mam jeszcze wi´ksze.

Albert Einstein

Dlaczego ludzie uczà si´ matematyki? Aby nauczaç matematyki innych.

Hugo Steinhaus

Liczby urojone sà cudownym wzlotem Ducha Bo˝ego; sà one pomostem ∏àczàcym byt z niebytem.

Leonhard Euler

Matematyka jest alfabetem, za pomocà którego Bóg opisa∏ wszechÊwiat.

Galileusz

Matematyka jest miarà wszystkiego.Arystoteles

Twierdzenia matematyczne uwa˝ane sà za prawdziwe, poniewa˝ w niczyim interesie nie le˝y, by uwa˝aç je za fa∏szywe.

Monteskiusz

Geometria nie jest prawdziwa. Jest korzystna.

Henri Poincaré

MyÊl´, wi´c jestem. René Descartes

Wielkie odkrycie rozwiàzuje wielki problem, ale ziarno odkrycia jest w rozwiàzaniu ka˝dego problemu. Twój problem mo˝e byç skromny, lecz je˝eli pobudza twojà ciekawoÊç i uruchamia pomys∏owoÊç, je˝eli rozwiàzujesz go po swojemu, mo˝esz doÊwiadczyç podobnego napi´cia i radoÊnie prze˝yç triumf odkrycia.

George Polya

Boga nie obchodzà nasze problemy matematyczne. On ca∏kuje empirycznie.

Albert Einstein

4 M AT E M AT Y K A

M AT E M AT Y K A D AW N I E J I DZ I Ś

W tej serii zajmiemy si´ sztukà geometrycznà Azji Ârodkowej i Bliskiego Wschodu. W lite-raturze wspó∏czesnej ten

rodzaj sztuki nosi cz´sto nazw´ „islamski orna-ment geometryczny”. Opowiem, w jaki sposób Êredniowieczni artyÊci z tamtych krain projek-towali swoje wzory. Opisane tu metody oparte sà na badaniach, jakie prowadzili Rosjanie w okresie mi´dzywojennym oraz po drugiej wojnie Êwiatowej na obszarach Azji Ârodkowej. Metody te, oparte na teselacjach wielokàtami symetrycznymi, zosta∏y opracowane bardzo fragmentarycznie w nielicznych publikacjach z lat 1947–1961. Sà one znacznie prostsze ni˝ te opisywane we wspó∏czesnej nam literaturze zachodniej. Co wi´cej – metody te sà autentyczne i opierajà si´ na metodach stosowanych przez rzemieÊlników w dawnych czasach, podczas gdy metody opisywane w publikacjach zachodnich

Gereh–konstrukcjeczyteselacje?(szkic1)Niniejszyszkicrozpoczynakolejnàseri´tekstówpoÊwi´conychgeometrii

wsztuceorazsztucegeometrycznej.Wpoprzednimcykluomawia∏emkonstrukcje

geometryczne,któremogàbyçu˝ytecznewtworzeniusztukiocharakterze

geometrycznym.WieleztychwiadomoÊcib´dziewykorzystane

zarównowtymopracowaniu,jakiwkolejnych.

Mirosław Majewski

sà na ogó∏ wymys∏em ich autorów. W moich tek-stach poka˝´ krok po kroku, jak powstaje tesela-cja, na której oparty jest ornament, a nast´pnie w jaki sposób taka teselacja mo˝e byç wykorzy-stana do zaprojektowania ca∏ej rodziny orna-mentów. Liczne przyk∏ady ornamentów geome-trycznych zawarte w moich szkicach pochodzà z moich zdj´ç wykonanych g∏ównie na Blis- kim Wschodzie oraz z dwóch zbiorów tako-wych ornamentów. Sà nimi prace Bourgoina J. (1973) oraz Demiriza Y. (2004). Pierwszy z wymienionych tu zbiorów pokazuje wy∏àcznie orna-menty z obszaru Egiptu, bez omawiania ich kon-strukcji. Zawarte w nim ornamenty sà na ogó∏ odtworzone w stosunkowo wierny sposób. Drugi zbiór jest kolekcjà ornamentów z ró˝nych kra-jów muzu∏maƒskich i równie˝ nie podaje ˝adnych konstrukcji; rysunki cz´sto sà bardzo niedok∏adne i z licznymi b∏´dami. WartoÊç kolek-cji wynika z du˝ej liczby pokazanych wzorów oraz

5s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


licznych odniesieƒ do miejsc, w których dany wzór mo˝e si´ znajdowaç. Wszystkie konstruk-cje pokazane w tej serii szkiców sà wykonane przeze mnie i wi´kszoÊç z nich nigdzie dotych-czas nie by∏a publikowana. Ilustracje na papie-rze sà statyczne i nie pozwalajà na eksperymenty z geometrià. Dlatego pewne z opisywanych tu faktów b´dà ilustrowane za pomocà dynamicz-nych modeli, które czytelnik znajdzie na stro-nach internetowych: majewski.wordpress.com lub symmetrica.wordpresss.com.

Czytelnikom moich tekstów ̋ ycz´ interesujàcej i przyjemnej lektury.

Miros∏aw Majewski, Tunis, 5.12.2015

Od wielu setek lat sztuka islamu fascynuje Êwiat zachodni. Liczne publikacje, zarówno nam wspó∏czesne, jak i te bardzo dawne, analizujà liczne aspekty sztuki islamu, a w tym równie˝ tzw. islamskie ornamenty geometryczne. Ju˝ sama nazwa sugeruje, ̋ e w jakiÊ sposób geome-tria jest zwiàzana z powstaniem i rozwojem tego rodzaju ornamentów. Powstajà zatem pytania – czy rzeczywiÊcie Êredniowieczni rzemieÊlnicy u˝ywali geometrii w swoich pracach, jaka to by∏a geometria i ile jej tam jest? Pytania te sà szcze-gólnie intrygujàce dla matematyka.

Celami tego tekstu sà spojrzenie na wy˝ej wspomniany rodzaj sztuki geometrycznej z naszego, wspó∏czesnego punktu widzenia, ana-liza metod stosowanych przez Êredniowiecznych artystów i rzemieÊlników oraz pokazanie, jakie sà wp∏ywy tej sztuki na rozwój wspó∏czesnej geo-metrii. Innym wa˝nym aspektem sztuki geome-trycznej jest jej atrakcyjnoÊç z punktu widzenia nauczyciela matematyki. Projekty uczniowskie z zakresu sztuki i geometrii mogà byç wa˝nym elementem procesu edukacyjnego.

WprowadzeniePrzeglàdajàc liczne publikacje, zarówno te na

papierze, jak i te w Internecie, cz´sto mamy do czynienia z dokumentami, których autorzy po narysowaniu gwiazdki lub rozety podpisujà je jako ornament islamski. Równie cz´sto zdarzajà si´ bardzo wyszukane konstrukcje geome-tryczne, których autorzy twierdzà, jakoby odszy-frowali sekretne metody Êredniowiecznych rzemieÊlników i posiedli klucz do tajemnic islam-skich ornamentów. Nie by∏oby to warte wspo-mnienia, gdyby nie to, ˝e w tych wymyÊlnych konstrukcjach jest wiele b∏´dów i sztucznoÊci.

REKLAMA

6 M AT E M AT Y K A


Zanim zajmiemy si´ powa˝niej tym tema-tem, powinniÊmy wyjaÊniç sobie kilka wa˝nych szczegó∏ów. OkreÊlenie „islamski ornament geo-metryczny” jest tworem autorów XX wieku. Nie-którzy z nich starajà si´ w ten sposób sugerowaç, ˝e islam mia∏ jakiÊ istotny wp∏yw na powstanie tego rodzaju sztuki. Od czasu do czasu w lite-raturze pojawia si´ niebacznie rzucone zdanie, jakoby Koran zabrania∏ u˝ywania wizerun-ków ludzkich w dekoracjach meczetów. Takie stwierdzenie nie ma sensu z co najmniej dwóch powodów. W czasach, kiedy powstawa∏ Koran, nikt nie myÊla∏ o tym, jak b´dà dekorowane meczety wieleset lat póêniej. Nikt wtedy nie pró-bowa∏ formu∏owaç zasad budowania i dekoracji meczetów. Muzu∏maƒska architektura i deko-racja architektoniczna rozwija∏y si´ wed∏ug tych samych zasad co architektura na ca∏ym Êwiecie, a wi´c drogà ewolucji od jednej formy do innej, nowszej. Wa˝ne jest równie˝ zauwa˝enie, ˝e Koran nie mówi o niemalowaniu wizerunków postaci. Jest tam jedno wa˝ne credo: „jest tylko jeden Bóg”. To tylko tyle. Tu nale˝y jednak wczuç si´ w rol´ kogoÊ, kto projektuje dekoracj´ wn´trza budowli sakralnej. Nie wykluczam, ˝e mo˝-liwe jest takie rozumowanie: „jeÊli umieszcz´ na Êcianie meczetu wizerunek jakiegoÊ Êwi´tego, to mo˝e wierni zamiast do Boga b´dà modliç si´ do tego Êwi´tego. Mog´ zatem mieç z tego powodu jakieÊ nieprzyjemnoÊci, nie dostaç kolej-nego zlecenia, a nawet straciç g∏ow´”.

Kompletnie b∏´dne jest zak∏adanie, ˝e orna-ment geometryczny zrodzi∏ si´ w czasach islamu i ˝e by∏a jakaÊ jedna przyczyna jego powsta-nia. Przyczyn tych by∏o wiele i na dodatek mog∏y byç one ró˝ne w ró˝nych miejscach Azji Ârodkowej i Bliskiego Wschodu. Do tego docho-dzi naturalny proces ewolucji od jednych form do innych. Wreszcie nie nale˝y zaniedbywaç

takich czynników jak moda na okreÊlony rodzaj sztuki oraz charakterystyczny dla tego okresu rozwój matematyki, w szczególnoÊci geometrii, w omawianym rejonie Êwiata. Wreszcie sà jesz-cze wp∏ywy jednych rejonów Êwiata na inne oraz wp∏ywy przesz∏oÊci na teraêniejszoÊç.

Jak wiadomo, wiele ornamentów w kra-jach muzu∏maƒskich zosta∏o przej´tych z kra-jów sàsiednich lub z czasów wczeÊniejszych. Na przyk∏ad liczne ornamenty geometryczne w sztuce i architekturze muzu∏maƒskiej zosta∏y przej´te z Chin, gdzie tzw. chiƒska krata od bar-dzo dawna by∏a u˝ywana jako dekoracja i element oddzielajàcy ró˝ne przestrzenie we wn´trzach domów i w Êwiàtyniach. Te same wzory znaj-dziemy w sztuce Azji Ârodkowej oraz Bliskiego Wschodu. Na obszarach granicznych islamu z resztà Êwiata, takich jak Sycylia, sztuka z jed-nego regionu przenika∏a do drugiego i odwrot-nie – wraz z rzemieÊlnikami, którzy w´drowali tam, gdzie akurat by∏a dla nich praca. Podob-nie ornament geometryczny w muzu∏maƒskiej Syrii by∏ pod du˝ymi wp∏ywami wczeÊniejszej sztuki bizantyjskiej i greckiej. Analizujàc ornamenty islamskie, bardzo cz´sto widzimy motywy i techniki stosowane przez artystów z Bizancjum. To samo mo˝na powiedzieç o Per-sji, gdzie w czasach imperium Sassanidów (lata 224–651 n.e.) istnia∏a bogata sztuka o cha-rakterze geometrycznym, a wi´c wczeÊniej ni˝ powsta∏ islam [patrz: Kharazmi M. (2012)]. Terry Allen w swojej rozprawie Islamic Art and the Argument from Academic Geometry udowadnia, ˝e wczesne ornamenty geometryczne w sztuce islamu sà wzorowane na ornamentach greckich. Tu Allen wymienia szereg muzu∏maƒskich obiek-tów, w których dekoracyjne kraty na oknach lub geometryczne dekoracje wzorowane sà na tzw. póênym antyku, czyli póênej sztuce greckiej.

7s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Równie˝ w obr´bie krajów muzu∏maƒskich nie mo˝na mówiç o czystoÊci czy jednolitoÊci stylu. Pod koniec XV wieku uciekinierzy turkmeƒscy z zachodniej Persji wnieÊli do sztuki Mamelu-ków w Egipcie szereg perskich elementów zdob-niczych. Jednym z nich jest specyficzny rodzaj dywanu Mameluków – z bardzo bogatym wzorem geometrycznym. Takich przyk∏adów mo˝emy wymieniç znacznie wi´cej.

Przypuszczam, ̋ e w tym momencie czytelnik tego tekstu mo˝e czuç si´ nieco zagubiony lub nawet poirytowany – jak w takim razie nazwaç to, o czym b´dziemy tu rozmawiaç? Ju˝ wyjaÊniam. Kluczem do naszych rozwa˝aƒ jest s∏owo gereh. S∏owo to jest pochodzenia perskiego: gereh (هرگ, „w´ze∏”), mówimy gereh sazi (یزاس هرگ, „robienie w´z∏ów”) lub gereh chini (ینیچ هرگ, sztuka oparta na robieniu w´z∏ów). Bardzo podobne okreÊlenie znajdziemy w Azji Ârodkowej. Rosjanie, którzy badali ornamenty geometryczne w Uzbekistanie, przej´li miejscowà nazw´ girieh, u˝ywanà tam od setek lat. W ich literaturze nie pojawia si´ okreÊlenie „islamski ornament geometryczny”. Co ma wspólnego wiàzanie w´z∏ów z ornamen-tami? Jak zobaczymy na dalszych stronach tego tekstu, metody konstruowania tych ornamentów

oraz ich wyglàd przypominajà w∏aÊnie siatki ze sznurka powiàzanego na wiele sposobów. Precyzyjnà definicj´ gerehu podamy na koƒcu tego szkicu, a do tego czasu b´dziemy u˝ywaç okreÊlenia „islamski ornament geometryczny”.

Kilka inspirujących przykładówZanim przejdziemy do bardziej konkretnych

zagadnieƒ, przyjrzyjmy si´ kilku przyk∏adom islamskich ornamentów geometrycznych. SpoÊród wielu typów ornamentów geome-trycznych b´dà nas interesowa∏y te, które sà najcz´Êciej widoczne na Êcianach budowli, na meblach czy w ró˝nych ksi´gach religij-nych. Mamy tu najcz´Êciej trzy typy: orna-menty fryzowe (które s∏u˝à jako obramowania innych ornamentów lub pewnej przestrzeni), ornamenty dywanowe (tj. takie, które mogà pos∏u˝yç do wype∏nienia pewnego fragmentu p∏aszczyzny) oraz ró˝nego rodzaju rozety. W tym ostatnim przypadku rozeta mo˝e byç wyci´tym fragmentem ornamentu dywanowego

t Ryc. 1. Fryzy. Rycina pokazuje ornament na suficie kościoła w Kartaginie. Cały ornament jest zbudowany z fryzów. Mamy tu wąskie fryzy ze wzorem roślinnym oraz szersze fryzy z ornamentem geometrycznym wzorowanym na syryjskich ornamentach.

t Ryc. 2. Ornament geometryczny ze wschodniego obszaru islamu. Pokazany tu wzór jest ornamentem, który czasem określa się jako dywanowy. Jest on tak skonstruowany, że patrząc na niego, mamy wrażenie, iż rozciąga się on daleko poza wyznaczone ramy. Przyglądając mu się uważnie, zauważymy, że mamy do czynienia z figurami geometrycznymi posiadającymi co najmniej jedną oś symetrii. Ten rodzaj ornamentu jest charakterystyczny dla Azji Środkowej, Persji, Turcji oraz Egiptu.

8 M AT E M AT Y K A


lub byç skonstruowana niezale˝nie i niezwiàzana w ˝aden sposób z otoczeniem. Przyk∏ad takiej rozety poka˝emy za chwil´. Warto jeszcze nadmieniç pochodzenie nazwy „ornament dywanowy”. Jest to okreÊlenie wyst´pujàce cza-sem we wczesnej literaturze rosyjskiej. Ludy Azji Ârodkowej by∏y nomadami. G∏ównym wyposa˝eniem wn´trz ich namiotów by∏y dywany, zresztà przewa˝nie pokryte ornamen-tem geometrycznym. Ludy te, osiedlajàc si´, ozdabia∏y swoje budowle ornamentem przeno-szonym z dywanów na Êciany [patrz: Balkanov N.B. (1947)]. W tym ostatnim przypadku orna-ment móg∏ pokrywaç ogromne obszary Êcian, dochodzàce do kilkuset metrów kwadrato-wych. W takim przypadku ornament musia∏ byç w miar´ prosty, aby mo˝na by∏o go wykonaç tech-nikami murarskimi bàdê w postaci wystajàcych ze Êciany cegie∏ lub cegie∏ pokrytych z jednej strony kolorowà glazurà. W tym przypadku bar-dzo powa˝nym ograniczeniem by∏y wszelkiego rodzaju linie skoÊne lub ró˝nego rodzaju krzywe. Z tego powodu wczesne ornamenty ze Êcian

budowli w Azji Ârodkowej sà zbudowane z odcin-ków poziomych, pionowych lub u∏o˝onych pod kàtem 45 stopni w stosunku do podstawy. Takie ornamenty by∏y stosunkowo proste do wykona-nia. Dopiero ornamenty rzeêbione w drewnie, gipsie czy kamieniu mog∏y mieç znaczny stopieƒ komplikacji struktury.

Ornamenty pokazane na rycinach 1–3 poka- zujà nam trzy g∏ówne typy ornamentów geome-trycznych wyst´pujàcych w sztuce islamu. Jak ∏atwo mo˝na zauwa˝yç, fryzy mogà byç trakto-wane jako fragment ornamentu dywanowego. Widaç to wyraênie na rycinie 1. Z tego powodu nie b´dziemy poÊwićaç fryzom wićej uwagi.

Widaç tu równie˝, ˝e rozety mogà mieç dwie formy: samodzielnà (ryc. 3) i b´dàcà fragmentem ornamentu dywanowego. Postaç samodzielna jest doÊç rzadka. Najcz´Êciej spotykane rozety powsta∏y jako fragment ornamentu dywanowego, przy czym bardzo cz´sto wykaƒczano je w odpowiedni spo-sób na brzegach, aby sprawia∏y wra˝enie rozety samodzielnej. Widaç zatem, ̋ e warto wićej uwagi poÊwićiç ornamentom dywanowym, tj. takim, które mo˝na przed∏u˝aç nieskoƒczenie daleko w ka˝dym kierunku p∏aszczyzny. Na dalszych stronach tego tekstu b´dà nas interesowa∏y geo-metryczne ornamenty dywanowe, tj. tylko takie ornamenty dywanowe, do których utworzenia zastosowano metody geometrii.

Co nam zostało z dawnych czasów?Ka˝dy poczàtkujàcy entuzjasta islamskich

ornamentów geometrycznych zaczyna swoje zainteresowania od poszukiwania dokumen-tów z dawnej przesz∏oÊci, pokazujàcych, w jaki sposób rzemieÊlnicy w krajach muzu∏maƒskich konstruowali swoje ornamenty. Tu, ze zdumie-niem, napotyka kompletnà pustk´. Nic takiego nie ma. Jak dotychczas, nikt nie znalaz∏ ̋ adnego

t Ryc. 3. Wzór geometryczny zbudowany w postaci rozety. Ta rozeta jest zbudowana w oparciu o geometrię ośmiokąta. Mamy tu dwa kwadraty o przedłużonych bokach, o wspólnym środku, nałożone na siebie. Jeden z nich obrócony jest o 45 stopni w stosunku do drugiego. Ten ornament nie sugeruje, że cokolwiek jest poza jego brzegiem. Na brzegach całego obszaru mamy fryzy wykonane techniką przeplatanej taśmy.

9s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


podr´cznika Êredniowiecznych rzemieÊlników, pokazujàcego, jak oni rzeczywiÊcie konstruowali swoje dzie∏a – te, które my tak bardzo podzi-wiamy. Co zatem pozosta∏o i z czego mo˝emy obecnie korzystaç, aby zbudowaç naszà wiedz´ o tych ornamentach?

Najbardziej widoczne sà ró˝nego rodzaju pozosta∏oÊci historyczne w postaci ornamentów na Êcianach budowli, meblach, drzwiach i okien-nicach starych meczetów. To jest to, co widzimy najcz´Êciej i co sprawia, ̋ e interesujemy si´ tymi ornamentami.

Drugà rzeczà jest wiedza robotników i mis- trzów ró˝nego rodzaju warsztatów kamieniar- skich czy stolarskich w wielu krajach Azji Ârodkowej czy Bliskiego Wschodu. Tylko tu jest jeden bardzo istotny problem. Ta wiedza jest na ogó∏ doÊç pilnie strze˝ona i cz´sto uwa˝ana za tajemnic´ danego warsztatu. Zwiedzajàc jeden z warsztatów stolarskich na Bliskim Wschodzie, chcia∏em zrobiç zdj´cie technik stosowanych przez tamtejszych stolarzy. Nie pozwolono mi. Jednak ta wiedza ciàgle jest ̋ ywa, nie jest zapo-mniana i ciàgle jest stosowana.

Wreszcie z odleg∏ej przesz∏oÊci pozosta∏y nam nieliczne wzorniki dawnych architek-tów i rzemieÊlników, z rysunkami fragmentów wzorów geometrycznych z dawnych lat. Takich wzorników jest zaledwie kilka na ca∏ym Êwiecie i dost´p do nich jest bardzo ograniczony. Jednym z nich jest wzornik z Topkapi. Cz´sto okreÊla go si´ jako „zwój z Topkapi” (ang. Topkapi scroll). Ma on 33 cm szerokoÊci i 29,5 m d∏ugoÊci. Zawiera 114 wzorów ornamentów geometrycz-nych z okresu dynastii Timuridów (1370–1507). Zwój ten zosta∏ opisany przez Gülru Necipoglu (1996) w obszernej monografii. Monografia ta od dawna jest niemo˝liwa do kupienia, a sam wzornik znalaz∏ swoje miejsce w magazynach

muzeum. To sprawia, ˝e korzystanie z wiedzy, jaka w nim jest zawarta, jest bardzo ograniczone.

Innym, podobno mniej wa˝nym, jest dost´pny w Victoria & Albert Museum zwój perskiego architekta, Mirzy Akbar Khana. Zwój ten zosta∏ kupiony przez sir Caspara Purdon Clarke’a w 1876 r., tu˝ po Êmierci architekta. Jest to zatem znacznie nowszy materia∏, ale, jak mo˝na si´ domyÊlaç, zawiera wiele elementów z du˝o odle-glejszej przesz∏oÊci. Wa˝ne jest natomiast to, ˝e V&A Museum zeskanowa∏o du˝e fragmenty zwoju i opublikowa∏o je na swoich stronach inter-netowych. Jest to zatem jedyny taki materia∏ dost´pny obecnie dla szerokiej publicznoÊci. Wreszcie warto wspomnieç, ˝e w archiwach by∏ych republik ZSRR w Azji Ârodkowej i ich muzeach znajduje si´ bli˝ej nieznana kolekcja tego rodzaju zwoi, które sà czasami wspominane w publikacjach uczonych radzieckich.

t Ryc. 4. Fragment zwoju Mirzy Akbar Khana. Na rysunku mamy zrekonstruowany fragment zwoju Mirzy Akbar Khana. Jest to kwadrat z interesującym układem odcinków. Tu łatwo można zauważyć, że na jego lewym górnym i prawym dolnym narożniku mamy ćwiartki dużych gwiazd. Lewa i prawa strona ornamentu nie są identyczne, podobnie jak górna i dolna. Natomiast brzeg dolny i brzeg prawy są identyczne, tak jak brzeg lewy i górny. Rekonstrukcja wzoru – M.M.

10 M AT E M AT Y K A


W roku 1936 Muzeum Sztuki Uzbekistaƒskiej SSR zorganizowa∏o ekspedycj´ do Buchary. Organi-zatorem ekspedycji by∏ znany specjalista od sztuki Azji Ârodkowej, prof. M.S. Andrejew. Rezultatem poszukiwaƒ ekspedycji by∏a kolekcja pewnej, nigdzie niewymienionej liczby zwojów architektonicz-nych z tego obszaru. Kompletne wyniki badaƒ tej wyprawy nigdy nie zosta∏y opracowane. Wi´kszoÊç zwojów znalaz∏a swoje miejsce w magazynach kilku muzeów i dost´p do nich jest bardzo ograniczony. Cz´Êç z nich zosta∏a bardzo fragmentarycznie opra-cowana jeszcze w okresie mi´dzywojennym, ale rosyjskie publikacje z tamtego okresu sà równie trudne do odszukania jak same zwoje. Dlaczego zwoje architektów sà takie wa˝ne? Popatrzmy wi´c na fragment zwoju Mirzy Akbar Khana.

Wzór pokazany na rycinie 4 jest rezultatem pew-nej konstrukcji geometrycznej. Zwój Mirzy Akbar Khana nie podaje jednak poszczególnych kroków tej konstrukcji, nie ma tam te˝ informacji, jak taki wzór mo˝e byç dalej wykorzystany. Mamy jednak prze-konanie, ˝e jest to wzór geometryczny, co sk∏ania nas do odtworzenia jego konstrukcji. DomyÊlamy si´ równie˝, ̋ e jest to pewnego rodzaju wzorzec lub sza-blon, który mo˝e byç u˝yty do wykonania wi´kszego wzoru. Skoro jednak mówimy o odtwarzaniu du˝ego wzoru z jakiegoÊ jego fragmentu, to tym samym wkraczamy w dziedzin´ geometrii znanà w mate-matyce wspó∏czesnej pod nazwà „grupy symetrii”. Nie nale˝y spodziewaç si´, ˝e projektanci wzorów geometrycznych z tamtych czasów znali teori´ grup symetrii i stosowali jà w swoich pracach. By∏o dok∏adnie odwrotnie – grupy symetrii sà tworem matematyki wspó∏czesnej, a ich powstanie oparte jest na obserwacjach pochodzàcych ze sztuki geo-metrycznej z ró˝nych regionów i czasów, w tym równie˝ z islamskich ornamentów geometrycznych. Natomiast z ca∏à pewnoÊcià mo˝emy powiedzieç, ˝e projektanci wzorów geometrycznych w krajach

t Ryc. 5. Wzorzec ornamentu ze zwoju Mirzy Akbar Khana (ryc. 4). Jest to jeden z ciekawszych, a zarazem typowych wzorców, jakie znajdujemy również na innych zwojach.

t Ryc. 5a. Takie powielenie wzorca nie jest akceptowalne. Linie dochodzące do brzegu wzorca urywają się na brzegu i nie kontynuują dalej.

t Ryc. 5b. Takie połączenie wzorców jest akceptowalne. Tu linie z jednej kopii wzorca kontynuują swoją wędrówkę bez przerw na sąsiedniej kopii wzorca. Zauważmy, w tym przypadku prawa kopia wzorca jest lustrzanym odbiciem lewej kopii.

11s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


muzu∏maƒskich stosowali intuicje le˝àce u pod-staw grup symetrii.

Prostokàtny wzorzec mo˝e byç powielony na p∏aszczyênie na kilka sposobów – lustrzane odbi-cia wzgl´dem jego kraw´dzi, translacje wzorca o d∏ugoÊç jednej z jego kraw´dzi czy obroty wzgl´dem wybranych punktów na kraw´dziach prostokàta. OczywiÊcie, te operacje by∏y akceptowalne, jeÊli (1) kolejne kopie wzorca nie nak∏ada∏y si´ na inne, (2) nie pozostawia∏y one pustych prze-strzeni pomi´dzy poszczególnymi kopiami wzorca oraz (3) jeÊli wzór na ka˝dej kolejnej kopii ∏àczy∏ si´ bez przerw ze wzorami na sàsiednich kopiach. Innymi s∏owy, linie ornamentu nie urywa∏y si´ na kraw´dzi jednej kopii wzorca, tylko ciàgn´∏y si´ dalej na sàsiedniej.

Dwa pierwsze warunki definiujà to, co mate-matyk okreÊli jako teselacj´ lub p∏ytkowanie p∏aszczyzny. Tu takà p∏ytkà jest prostokàt wzorca. Warunek trzeci nie ma nic wspólnego z mate- matykà. Obserwujàc ró˝ne przyk∏ady gerehów,

t Ryc. 6. Ornament geometryczny wykonany ze wzorca z ryc. 4 przez odbicia lustrzane względem jego prawej krawędzi, a następnie dolnej krawędzi. W tym przypadku dominującym elementem jest duża rozeta na środku wzoru. Uwaga patrzącego skupia się właśnie na niej.

t Ryc. 6a. Nieco inny wzór otrzymany z tego samego wzorca poprzez odbicie lustrzane względem lewej, a następnie górnej krawędzi wzorca. W centrum wzoru mamy dość osobliwą, rzadko spotykaną rozetę, na której skupia się wzrok patrzącego. Takie rozwiązanie spotyka się dość rzadko. Element centralny wzoru, o ile istnieje, powinien być jego mocnym akcentem.

t Ryc. 6b. To ciągle jest ten sam wzorzec. Wielokrotne powtórzenie wzorca tworzy wzór geometryczny, w którym nie istnieją punkty centralne. W tym przypadku oczy patrzącego nie mają oparcia w postaci centralnego elementu. Uwaga patrzącego rozprasza się tym bardziej, im więcej powtórzeń wzorca mamy w ornamencie.



mo˝emy dojÊç do wniosku, ˝e projektanci tych wzorów kierowali si´ zasadà „linia nie mo˝e umrzeç”, czyli nie mo˝e nagle si´ urwaç lub zniknàç w kontakcie z brzegiem wzorca lub innà linià. Zdarzajà si´ wprawdzie wzory, gdzie w jednym punkcie zbiega si´ nieparzysta liczba odcinków, co by oznacza∏o, ˝e w tym miejscu jakiÊ odcinek nie jest kontynuowany, ale takie wzory sà stosunkowo nieliczne. Zauwa˝my, ˝e warunek ciàg∏oÊci linii w sztuce geometrycznej jest konsekwencjà tego, i˝ wczeÊniej w Bizan-cjum wiele ornamentów by∏o po prostu posadz-kami sk∏adanymi z wielokàtów. Tam nie mog∏o byç urwanych linii, bo linie by∏y brzegami p∏ytek.

Jak zatem wzorzec z ryciny 4 mo˝e byç u˝yty do utworzenia wi´kszego wzoru geometrycznego?

Ryciny 6, 6a i 6b pokazujà, ̋ e ten sam wzorzec mo˝e byç u˝yty do wykonania wi´kszego orna-mentu na p∏aszczyênie na kilka sposobów. Ile zatem jest tych sposobów?

Tu g∏ówne twierdzenie z teorii symetrii mówi, ˝e mamy 17 takich mo˝liwoÊci. Jest to troch´ zwodnicza prawda, bo w rzeczywistoÊci wszystko zale˝y od kszta∏tu wyjÊciowego wzorca, a jeÊli b´dziemy dodatkowo wymagaç warunku nie-przerywania linii na styku dwóch kopii wzorca, to nasze mo˝liwoÊci b´dà jeszcze bardziej ograni-czone. Optymistyczny fakt jest taki, ̋ e niezale˝nie od tego, jaki mamy rysunek na wzorcu, ist-nieje co najmniej jedna mo˝liwoÊç utworzenia pokrycia p∏aszczyzny ornamentem, mianowicie odbicia lustrzane wzgl´dem kraw´dzi wzorca. Przeglàdajàc zarówno zwój z Topkapi, jak i zwój Mirzy Akbar Khana, zauwa˝ymy, ˝e zdecydo-wana wi´kszoÊç wzorców jest albo prostokàtna, albo kwadratowa. Nieliczne z nich sà trójkàtne i s∏u˝à g∏ównie do wykonania ró˝nego rodzaju rozet. Mo˝na sobie wyobraziç utworzenie orna-mentu, majàc wzorzec o kszta∏cie trójkàta

równobocznego lub prostokàtnego, ale na zwo-jach takich przyk∏adów raczej si´ nie spotyka. U˝y∏em tu s∏owa „raczej”, gdy˝ nie wykluczam istnienia tego rodzaju wzorców, ale nigdy ich nie widzia∏em.

To oznacza, ˝e mo˝emy u˝ywaç g∏ównie ope-racji odbicia wzorca wzgl´dem jego kraw´dzi, aby zachowaç warunek ciàg∏oÊci linii pomi´dzy dwoma sàsiednimi kopiami wzorca, albo przesuni´cia, jeÊli przeciwleg∏e kraw´dzie wzorca majà identyczne w´z∏y (punkty, w któ-rych linie wzoru ∏àczà si´ z kraw´dzià) w tych samych miejscach kraw´dzi. Tylko w nielicznych przypadkach mo˝liwe jest zastosowanie obrotu

t Ryc. 7a, b, c – wzorce ornamentów ze zwoju Mirzy Akbar Khana.

t Ryc. 8. Dekoracja ścian meczetów w Samarkandzie. Tu ornament jest wykonany z glazurowanych cegieł (kolor niebieski). Przestrzeń pomiędzy liniami jest wypełniona arabskimi napisami. Ten ornament pokrywa powierzchnię kilkuset metrów kwadratowych.

13s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


wzgl´dem wierzcho∏ka wzorca lub wzgl´dem Êrodka kraw´dzi wzorca. W praktyce zdecydo-wana wi´kszoÊç wzorców dopuszcza jedynie odbi-cia wzgl´dem ich kraw´dzi. Popatrzmy na kilka wzorców ze zwoju Mirzy Akbar Khana.

Ka˝dy z pokazanych tu wzorców jest przy-gotowany do tego, aby mo˝na by∏o go powieliç za pomocà odbicia lustrzanego wzgl´dem kraw´dzi (ryc. 7a, 7b i 7c) lub przesunićia wzd∏u˝ jednej z kraw´dzi (ryc. 7c). Stàd mo˝na wnioskowaç, ˝e operacje odbicia wzorca wzgl´dem jego kraw´dzi lub przesunićie wzd∏u˝ kraw´dzi by∏y najcz´Êciej stosowane przez Êredniowiecznych rzemieÊlników. Tu musimy pami´taç, ˝e byli to ludzie proÊci, cz´sto nieumiejàcy pisaç i czytaç. Byç mo˝e z tego powodu projektanci ornamen-tów projektowali wzorce w taki sposób, aby uniknàç b∏´dów przy ich realizacji. Pami´tajmy równie˝, ̋ e cz´sto taki ornament musia∏ pokryç gigantyczny obszar, np. Êcian´ budowli, i by∏ wykonywany z cegie∏ glazurowanych (ryc. 8). W Azji Ârodkowej Êciany takie cz´sto mia∏y powierzchni´ oko∏o 1000 m2. Wzorzec dla takiego ornamentu musia∏ byç wyjàtkowo ∏atwy w powie-leniu. Co wićej, jego konstrukcja powinna umo˝liwiç ∏atwe wyliczenie, ile ka˝dego koloru cegie∏ potrzeba do ozdobienia Êciany.

Ca∏a ta nasza dyskusja potwierdza fakt, ˝e choç w islamskich ornametach geometrycz-nych znajdziemy liczne przyk∏ady grup syme-trii, to jest to efekt specyficznych konstrukcji figur geometrycznych wype∏niajàcych wzorzec. Tu z pewnoÊcià znajdziemy wićej geometrii.

KonturyWzorce, które znajdujemy na zwojach archi-

tektów, sà kwadratami lub prostokàtami. Majà one bardzo specyficzne proporcje. Proporcje te cz´sto wynikajà z koniecznoÊci podzielenia

kàta prostego, b´dàcego naro˝nikiem wzorca, na okreÊlonà liczb´ równych cz´Êci – i to w taki sposób, aby jedna z linii podzia∏u kàta by∏a jednoczeÊnie przekàtnà prostokàta. Wynika to cz´sto, choç nie zawsze, z koniecznoÊci utwo-rzenia dwóch gwiazd lub rozet znajdujàcych si´ na przeciwleg∏ych koƒcach przekàtnej (ryc. 7a). Kilka przyk∏adów pokazujàcych, w jaki sposób kontur wzorca by∏ skonstruowany przedstawiono na rycinie 9.

Wićej na temat konturów wzorców opo-wiemy w jednym z kolejnych szkiców. Tymcza-sem poszukajmy kolejnych elementów geometrii w islamskich ornamentach geometrycznych.

Czerwone wielokątyWiele wzorców na zwoju z Topkapi zawiera

wzór geometryczny rysowany czarnym tuszem oraz tajemnicze wielokàty rysowane kolorem czerwonym. Przyk∏ad takiego wzorca jest poka-zany na kolejnej rycinie (ryc. 10).

Jak dotychczas, wielu autorów zwróci∏o uwag´ na istnienie czerwonych wielokàtów na wzor-cach ze zwoju z Topkapi. Ma∏o kto jednak odgad∏ rol´ tych wielokàtów w konstrukcji islamskich ornamentów geometrycznych. Ju˝ ten jeden przyk∏ad pokazuje, ̋ e w∏aÊciwy ornament sk∏ada si´ z osobnych kawa∏ków, z których ka˝dy jest wpisany w odpowiedni wielokàt. W tym momen-cie mo˝emy pokusiç si´ o okreÊlenie tego, co nazywaç b´dziemy gereh.

Gereh jest to teselacja p∏aszczyzny wielokà- tami symetrycznymi oraz wzór geometryczny wpisany w te wielokàty, przy czym zarówno jedno, jak i drugie powinno byç skonstruowa- ne w odpowiedni sposób, który opiszemy za chwil´. Wzór geometryczny (czarne linie) jest tym, co podziwiamy, natomiast teselacja (czerwone linie) jest zazwyczaj ukryta.



t Ryc. 9. Konstrukcje wybranych konturów wzorców.

t Ryc. 10. Czarne linie ornamentu i czerwone wielokąty. Na rysunku mamy rekonstrukcję jednego ze wzorców ze zwoju z Topkapi (niedokładności rysunku zostały również odtworzone). Czerwone wielokąty tworzą teselację płaszczyzny. Są to zawsze wielokąty wypukłe, symetryczne. Tu mamy pięciokąty zbliżone do pięciokątów prawidłowych. W górnych narożnikach mamy ćwiartki dziesięciokątów foremnych. Na dolnej krawędzi mamy połowę dwunastokąta foremnego. Zauważmy, że na brzegach wzorca mamy połówki wielokątów symetrycznych, przy czym linia konturu przecina wielokąt wzdłuż jego linii symetrii.

t Ryc. 11. Czarne linie ornamentu i czerwone wielokąty. Na rysunku mamy rekonstrukcję jednego ze wzorców ze zwoju z Topkapi. Niedokładności rysunku również zostały odtworzone. Liczby na rysunku odpowiadają numerom poszczególnych reguł.

15s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Czerwone wielokàty wraz z wype∏niajàcym je wzorem nazywaç b´dziemy p∏ytkami gerehu (ang. tiles, nazewnictwo zachodnie), natomiast czerwone linie wielokàtów nazywaç b´dziemy siecià gerehu (literatura rosyjska). Punkty, w których linie wzoru przecinajà si´ z siecià lub konturem, nazywaç b´dziemy w´z∏ami gerehu.

Zagadnieniami konstrukcji gerehów zajmiemy si´ w kolejnych szkicach, a tymczasem zwróçmy uwag´ na to, czego jeszcze mo˝emy nauczyç si´ z powy˝szego przyk∏adu i co po- winniÊmy uwzgl´dniç przy konstrukcji gere-hów (ryc. 11). Wymienione tu regu∏y powinny byç traktowane jako aksjomaty geometryczne gerehu.

Reguły konstrukcyjne gerehuG1. Teselacja gerehu jest zbudowana z wielokà-

tów wypuk∏ych, symetrycznych.G2. Teselacja gerehu jest teselacjà kraw´dê do

kraw´dzi.G3. Wielokàty teselacji gerehu albo mieszczà

si´ w ca∏oÊci na obszarze wzorca, albo sà przecinane przez kontur wzorca wzd∏u˝ ich linii symetrii.

G4. Ka˝de dwie linie ornamentu, dochodzàc do wspólnego w´z∏a na brzegu wielokàta teselacji lub na konturze, nie koƒczà si´ w miejscu przeci´cia, tylko idà dalej bez zagi-nania (ta regu∏a oznacza, ̋ e kàty pomi´dzy poszczególnymi odcinkami a linià brzegowà p∏ytki sà identyczne).

G5. JeÊli pojedyncza linia ornamentu docho-dzi do kraw´dzi wielokàta teselacji lub kon-turu ornamentu, to kontynuuje si´ po dru-giej stronie albo nie zmieniajàc kierunku, albo zawracajàc pod tym samym kàtem w stosunku do kraw´dzi wielokàta tesela-cji lub konturu.

G6. Poszczególne odcinki ornamentu ∏àczà si´ wewnàtrz wielokàtów teselacji w miejscach, gdzie przecinajà si´ ich kierunki.

Tu wa˝na uwaga – wprawdzie nie wynika to z pokazanych tu rysunków, ale od czasu do czasu twórcy gerehu nie przestrzegali dok∏adnie powy˝ej wymienionych regu∏. Dotyczy do g∏ównie regu∏ G3 i G4.

A zatem do tego, aby skonstruowaç gereh, wystarczy:1. Skonstruowaç kontur o odpowiednich pro-

porcjach.2. Skonstruowaç teselacj´ obszaru wewnàtrz kon-

turu (czerwone wielokàty).3. Skonstruowaç wzór wewnàtrz ka˝dej z figur

teselacji (czarne linie).Zwróçmy uwag´ na u˝yte powy˝ej trzykrot-

nie s∏owo „skonstruowaç”. Ka˝da linia gerehu powinna byç rezultatem odpowiedniej konstrukcji.

W kolejnym szkicu poka˝emy, w jaki sposób w zadanym konturze mo˝emy skonstruowaç tese-lacj´ czerwonych wielokàtów oraz w jaki sposób mo˝emy wype∏niç wielokàty teselacji wzorem.

Li tera tura1. Allen T., Islamic Art and the Argument from Academic Geometry, Solipsist

Press, Occidental, California 2004 (electronic publication at http://sonic.net/~tallen/palmtree/academicgeometry.htm).

2. Балканов Н.Б., Герих – Геометрический орнамент Средней Азии и Meтоды его построения, Советская Археология, IХ/1947, стр. 101–120.

3. Bourgoin J., Arabic geometrical patterns & design, Dover Publications, Inc., Nowy Jork 1973.

4. Demiriz Y., Islam sanatında geometrik süsleme, Wydawca İkinci Basım, Istambuł 2004 (w języku tureckim).

5. Kharazmi M., A Study of Practical Geometry in Sassanid Stucco Ornament in Ancient Persia, „Nexus Network Journal” vol. 14, no. 2, 2012, s. 227–250.

6. Necipoglu G., The Topkapı Scroll: geometry and ornament in Islamic architecture, Palace Museum Topkapı Library MS H. 1956. XIII, 395 pp., CA: Getty Center for the History of Art and the Humanities, Santa Monica 1995.

Mirosław MajewskiMatematyk, geometra z wykształcenia, autor poszukujący

związków geometrii ze sztuką i architekturą.



T o chyba doÊç naturalna rzecz, zw∏asz- cza w przypadku zawodu nauczyciela, porównywanie do poprzednich cza-sów jest uzasadnione doÊç du˝à liczbà

zmian w szkolnictwie, wprowadzaniem wielu innowacji, komputeryzacji itp. Stàd te˝ nauczyciel powinien byç osobà bardzo elastycznà i otwartà na ró˝ne zmiany czy nowinki.

Ale do rzeczy. Celem tego artyku∏u b´dzie przeglàd wybranych dawnych egzaminów matu-ralnych z matematyki. Zobaczymy, jaki by∏ ich poziom, co matura z matematyki sprawdza∏a i czy zadania nawiàzywa∏y do zastosowaƒ matematyki w codziennym ̋ yciu. Zanim przeÊledzimy kilka zestawów maturalnych, zobaczmy, jak w skrócie wyglàda∏a historia matury w Polsce.

Zacz´∏o si´ w 1773 r. Powsta∏o wtedy w Polsce pierwsze ministerstwo oÊwiaty, zwane Komisjà Edukacji Narodowej – powo∏ane w Rzeczypos-

Czyzda∏byÊdzisiajdawnàmatur´zmatematyki?Wdobiedzisiejszychreformwsystemieedukacjis∏owa„dawniej”czy„kiedyÊ”

padajàdoÊçcz´sto.Porównujemywielezagadnieƒzposzczególnychprzedmiotów:

cosi´zmieni∏owprogramienauczania,coprzyby∏o,aczegouby∏o.Porównujemy

równie˝dzisiejszeumiej´tnoÊciuczniównaposzczególnychetapachnauki

wodniesieniudowczeÊniejszychczasów.MyÊl´,˝eka˝dyznasmatendencj´

doporównywania,szczególniegdywszkolepracujemykilkanaÊcielat.

politej Obojga Narodów przez Sejm Rozbio-rowy 14 paêdziernika 1773 r. na wniosek króla Stanis∏awa Augusta Poniatowskiego, za zgodà ambasadora rosyjskiego Ottona Magnusa von Stackelberga1. Warto podkreÊliç, ˝e Komi-sja Edukacji Narodowej by∏a pierwszà zarówno w Polsce, jak i w ca∏ej Europie w∏adzà oÊwiatowà o charakterze wspó∏czesnego ministerstwa oÊwiaty publicznej2. W kolejnych krajach Europy mini-sterstwa takie powstawa∏y dopiero w XIX wieku, a w Anglii na poczàtku XX w. G∏ównym moto-rem rozwoju oÊwiaty w Europie sta∏a si´ Fran-cja, gdzie stworzono szko∏y ogólnodost´pne, czyli powszechne. Ju˝ Napoleon promowa∏ nauki Êcis∏e, które wspiera∏y rozwój kraju, w szczególnoÊci rozwój militarny. Wtedy matematyka sta∏a si´

1 Michalski J., Stanisław August Poniatowski [w:] Polski Słownik

Biograficzny, Warszawa Kraków 2002, t. XLI/4, s. 620.

2 Tync S., Komisja Edukacji Narodowej, pisma Komisji i o Komisji;

wybór źródeł, Zakład im. Ossolińskich, Wrocław 1954.

Tomasz Grębski

17s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


jednym z najwa˝niejszych przedmiotów nauczania i, jak widaç, jest nim do dziÊ. Pierwszy egzamin (ale jeszcze nie matura), który umo˝liwia∏ studio-wanie, odby∏ si´ w Prusach w 1778 r., gdzie równie˝ w 1812 r. wprowadzono matur´ zwanà egzaminem dojrza∏oÊci, a od 1834 r. matura dawa∏a wst´p na uniwersytet. Na ziemiach polskich matur´ wpro-wadzono na poczàtku XIX w. w zaborze pruskim. Pierwsze matury odby∏y si´ oko∏o 1812 r. w Ksi´stwie Warszawskim. OczywiÊcie, matura ta by∏a wst´pem na uniwersytety, podobnie jak dzisiaj. XIX-wieczna matura cieszy∏a si´ wielkim uznaniem.

Przed II wojnà Êwiatowà matura zdawana by∏a w gimnazjach. Wynika∏o to z ówczesnego sys-temu kszta∏cenia. Równie˝ wtedy posiadanie matury by∏o czymÊ bardzo elitarnym: „Przed-wojenna matura wy∏ania∏a cz∏onków przysz∏ej elity, dlatego nikt nie przejmowa∏ si´ liczbami i danymi statystycznymi, bardziej chodzi∏o o jakoÊç wykszta∏cenia Êredniego ni˝ o masowy dost´p do uczelni wy˝szych”3.

Przejdêmy ju˝ do sedna sprawy – czyli zobaczmy wreszcie, jak wyglàda∏y dawne egzaminy matu-ralne z matematyki. Na potrzeby tego artyku∏u uda∏o mi si´ dotrzeç do kilku naprawd´ dawnych matur z matematyki.

Oto pierwsza z nich – z 1887 r.4

Warto wspomnieç, ˝e z takimi zadaniami zmaga∏ si´ Stanis∏aw Wyspiaƒski. Egzamin zdawa∏ w Gimnazjum Âw. Anny w Krakowie (obecnie I LO im. B. Nowodworskiego)5.

Zadanie 1

Suma pierwszego i siódmego wyrazu post´pu6 arytmetycznego wynosi 46, stosunek drugiego wyrazu do szóstego jest 2:7. Obliczyç sum´ pierw-szych dwudziestu pi´ciu wyrazów.

Zadanie 2

Rozwiàzaç trójkàt, którego boki spe∏niajà rów-nania: b:c = 1:2, a2 + b2 = 4, a2 – b2 = 2.

Zadanie 3

Suma dwóch kàtów dodatnich równa si´ 129° 140' 413''. Wstawy7 tych kàtów tworzà sto-sunek 3:2. Obliczyç te dwa kàty.

Zestaw zadań z 12 maja 1900 r.8

Zadanie 1

Rozwiàzaç uk∏ad równaƒ:

x y x y

x y

3 55 4 3 5

6 7 16

2 2+ = - + +

- =*

Zadanie 2

Bok trójkàta wynosi 8,25 cm, a kàty jemu przyleg∏e wynoszà b= 58° 42' 3'', c = 36° 16' 20''. Oko∏o tego boku trójkàt wiruje i wytwarza bry∏´. Obliczyç obj´toÊç i powierzchni´ tej bry∏y.

Zadanie 3

Cia∏o rzucone pionowo do góry w pierwszej sekun-dzie przebiega 304,11 m, a w ka˝dej nast´pnej o 9,81 m krótszà drog .́ Jak d∏ugo b´dzie si´ ono wznosiç i do jakiej dojdzie wysokoÊci?

3 https://sites.google.com/site/tematmatura/lekcja-historii/

/historia-matury.

4 „Nauczyciele i Matematyka”, Kwartalnik Stowarzyszenia Nauczy-

cieli Matematyki, 13/1995.

5 Jastrzębski S., Wyspiański w Nowodworku, „Życie Literackie” nr 20

(1268) z 16 V 1976 r.

6 „Postęp” – to dawne znaczenie terminu „ciąg”.

7 „Wystawa” – to dawne znaczenie terminu „sinus”

8 „Nauczyciele i Matematyka”, Kwartalnik Stowarzyszenia Nau-

czycieli Matematyki, 20/1996.



Zestaw zadań z 1920 r.9

Zadanie 1

˚elazna kula wydrà˝ona o ci´˝arze 30 kg zanu-rza si´ w wodzie do po∏owy. Obliczyç gruboÊç Êciany kuli, przyjmujàc ci´˝ar w∏aÊciwy ˝elaza s = 7,7.

Zadanie 2

Suma szeÊciu pierwszych wyrazów post´pu geo-metrycznego jest 189, a suma nast´pnych szeÊciu 12 096. Jaki to post´p?

Zadanie 3

Rozwiàzaç równania:

sin sin

sin sin

x y

x y

5 3 4

3 5 2 3 5

+ =

- =^ ^h h)

Zadanie 4

Przez punkty:

, ,Ax

yB

x

yC

x

y

0

0

4

0

2

1

=

=

=

=

=

=) ) )

przeprowadziç ko∏o (napisaç jego równanie), a nast´pnie obliczyç kàt, jaki tworzà ze sobà styczne poprowadzone w punktach A i B.

Zestaw zadań z 1929 r.10

Zadanie 1

Przekàtna prostokàta wynosi 85 m. Powi´kszajàc ka˝dy bok o 2 m, zwi´kszamy jego pole o 230 m2. Obliczyç d∏ugoÊç boków.

Zadanie 2

Trzy ko∏a o promieniach r1 = 1 cm, r2 = 2 cm, r3 = 3 cm stykajà si´ zewn´trznie. Obliczyç pole mi´dzy temi ko∏ami zawarte.

Zadanie 3

Znaleêç warunek dla parametru m, aby oba pier-wiastki równania: by∏y mniejsze od liczby 4.

Zadanie 4

Jak wielki winien byç kàt Êrodkowy nale˝àcy do odcinka kuli, aby powierzchnia tego odcinka równa∏a si´ powierzchni wielkiego ko∏a kuli?

Zestaw zadań z lat dwudziestych XX w.11, 12

Zadanie 1

W beczce znajdowa∏o si´ 240 litrów wina; z tej beczki odlano pewnà iloÊç wina i dolano tyle˝ wody; nast´pnie odlano mieszaniny o 56 litrów wi´cej ni˝ za pierwszym razem i znowu dolano wody do pierwotnej obj´toÊci. Wtedy si´ okaza∏o, ˝e w beczce pozosta∏o wody tyle, ile wina. Ile litrów wina odlano z beczki za pierwszym razem?

Zadanie 2

Dany jest ostros∏up szeÊciokàtny foremny o boku podstawy równym a i kàcie p∏askim przy wierzcho∏ku równym a. Znaleêç pole powierzchni przekroju przechodzàcego przez dwie sàsiednie apotemy13. Dokonaç obliczeƒ przy a= 52,72 cm i a= 38° 12'.

9 Sprawozdanie Dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Karola Mar-

cinkowskiego w Poznaniu: za pierwsze dziesięciolecie zakładu

w niepodległej i wolnej ojczyźnie: 1919–1929.10 Sprawozdanie Dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Karola

Marcinkowskiego w Poznaniu: za pierwsze dziesięciolecie za-

kładu w niepodległej i wolnej ojczyźnie: 1919–1929

11 Zadania maturalne z rozwiązaniami, Wydawnictwo „Pomoc

szkolna” przy księgarni H. Wajnera, Warszawa 1929.12 Zbiór zadań maturalnych w układzie metodycznym, B. Lebiedziń-

ski, nakład autora, Warszawa 1931 r.13„Apotema” – to wysokość ściany bocznej.

19s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Zadanie 3

Ârodki O i O1 dwóch okr´gów o promieniach R = 16 cm i r = 9 cm wyruszajà równoczeÊnie z punktów B i C i posuwajà si´ wzd∏u˝ ramion kàta A = 120° w kierunku jego wierzcho∏ka, z szybkoÊciami: v1 = 10 cm/s; v2 = 4 cm/s. Odleg∏oÊci Êrodków O i O1 od wierzcho∏ka A w chwili wyruszenia sà BA = 25 cm; CA = 20 cm. Kiedy oba okr´gi b´dà do siebie styczne?

Zadanie 4

Na prostej dane sà trzy punkty A, B i C takie, ˝e AB = BC = 2a. Na odcinkach AB i AC, jako na Êrednicach, z tej samej strony AC, zakreÊlono dwa pó∏okr´gi. Na AB obrano pewien punkt M, z którego poprowadzono prostopad∏à do AB, przecinajàcà ∏uk mniejszego pó∏okr´gu w punk-cie N, a wi´kszego w punkcie P. Wyznaczyç takie po∏o˝enie punktu M na odcinku AB, aby by∏o MN2 + MP2 = k2. Dyskusja przy sta∏em a.

Zadanie 5

Rozwiàzaç i przedyskutowaç równanie: sin3x – sin2x – msinx.

Zestaw zadań z 1932 r.

Zadanie 1

W pó∏kolu wystawionym na Êrednicy AB = 2R = = 30,72 m poprowadzono cićiw´ CD równoleg∏à do AB. ¸uk CD = 2a = 72° 36' przepo∏owiono w punkcie E i poprowadzono cićiwy EC i ED. Znaleêç obj´toÊç bry∏y powsta∏ej z obrotu trójkàta CED doko∏a Êrednicy AB.

Zadanie 2

Trzy liczby dodatnie tworzà post´p geometryczny. Je˝eli do drugiej liczby dodaç 3, to post´p

zamieni si´ na arytmetyczny. Je˝eli do trzeciego wyrazu nowego post´pu dodaç 54, to utworzy si´ znów post´p geometryczny. Znaleêç te liczby.

Zadanie 3

W kole o promieniu r poprowadzono stycznà MN i równoleg∏à do niej cićiw´ AB; rzut cićiwy na stycznà oznaczono przez A’B’.a) Wyraziç przekàtnà prostokàta ABB’A’ jako

funkcj´ odleg∏oÊci cićiwy od stycznej.b) Zbadaç, jak zmienia si´ d∏ugoÊç przekàtnej,

gdy zmienia si´ odleg∏oÊç cićiwy od stycznej.

Zadanie 4

Z punktu A (12,9) poprowadzono styczne do paraboli y2 = 6x. Wyznaczyç równanie okr´gu przechodzàcego przez punkty stycznoÊci i wierzcho∏ek paraboli.

Zadanie 5

Parabola y = x2 − 5x + m jest styczna do osi x-ów i do prostej y = 2x − n. Wyznaczyç punkt stycznoÊci paraboli z prostà.

Przejdêmy teraz do czasów powojennych.

Zestaw zadań z 14 maja 1945 r.14

Zadanie 1

W kwadrat dany o boku a wpisano inny kwa-drat (to znaczy wierzcho∏ki jego le˝à na bokach danego kwadratu) o boku najmniejszym. Jaka b´dzie d∏ugoÊç boku tego kwadratu i w jakich punktach na boku kwadratu danego b´dà le˝a∏y jego wierzcho∏ki?

14 „Nauczyciele i Matematyka”, Kwartalnik Stowarzyszenia

Nauczycieli Matematyki, 20/1996.



Zadanie 2

Dana jest funkcja: y xx

11

2

2= -+

. Orzec, dla jakich wartoÊci argumentu x funk-cja jest rosnàca, a dla jakich malejàca.

Zadanie 3

Znaleêç równanie stycznej do krzywej: x2 + 4y2 = 4, je˝eli wiadomo, ˝e styczna ta na dodatnich cz´Êciach osi odcina równe d∏ugoÊci.

Zadanie 4

Rozwiàzaç równanie cos4x + sin4x = 2sin2x.

Zestaw zadań z 4 lipca 1945 r.15

Zadanie 1

Schronisko stojàce tu˝ u stóp góry rzuca na jej stok cieƒ d = 8,5 m d∏ugi, promienie s∏oƒca padajà pod kàtem c= 55°17' (wzgl´dem poziomu w chwili dokonywania pomiaru). Obliczyç wysokoÊç schroniska, znajàc spa-dek stoku w kierunku cienia a= 26°30'.

Zadanie 2

Zbadaç funkcj´:

y x x x2 36 2 1

3 2

= - - + (zrobiç wykres).

Zadanie 3

Z punktu A(2,3) nakreÊliç do krzywej 3x – y2 = 0 styczne. Obliczyç odleg∏oÊç tego punktu od ci´ciwy stycznoÊci oraz obliczyç pole trójkàta utworzonego przez te styczne i ci´ciw´ stycznoÊci.

Zestaw zadań z 1960 r. (Katowice)

Zadanie 1

Rozwiàzaç równanie

x x x xx x

x32+ - - =

+.

Zadanie 2

W trapezie opisanym na okr´gu o promieniu r jeden z kàtów jest prosty, kàt zaÊ ostry równa si´ a . Zbudowaç ten trapez, a nast´pnie obliczyç jego pole. Wykonaç obliczenia dla r = 0,523 dm, a= 70°32'.

Zadanie 3

Romb o boku a i kàcie ostrym a obraca si´ doko∏a prostej, przechodzàcej przez wierzcho∏ek kàta ostrego i prostopad∏ej do jednego z przyleg∏ych boków. Znaleêç obj´toÊç bry∏y otrzymanej z obrotu. Wykonaç obliczenia dla a = 23,45 cm, a= 70°32'.

Zestaw zadań z 1976 r. (Warszawa)

Zadanie 1

W kul´ o promieniu r wpisano walec o mo˝liwie najwi´kszej obj´toÊci. Wyznaczyç stosunek obj´toÊci kuli do obj´toÊci tego walca.

Zadanie 2

Dany jest trójkàt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC|, d∏ugoÊç podstawy AB równa si´ c i miara kàta CAB równa si´ a. Na bokach BC tego trójkàta obrano odpowiednio takie punkty M i N, ˝e MN||AB i |AM| + |BN| = |MN|. Obliczyç d∏ugoÊç odcinka MN i zbadaç, dla jakiej wartoÊci a spe∏niony jest warunek MN = c3

2 .

Zadanie 3

Dane jest równanie z niewiadomà x: ,

15 „Nauczyciele i Matematyka”, Kwartalnik Stowarzyszenia

Nauczycieli Matematyki, 20/1996.

21s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


gdzie 0 1 1a r. Dla jakich wartoÊci parametru a równanie ma dwa ró˝ne pierwiastki rzeczywiste o jednakowych znakach?

Zadanie 4

Na egzamin przygotowano zestaw 45 py- taƒ, z których zdajàcy losuje 4. Uczeƒ otrzymuje ocen´ bardzo dobrà za poprawnà odpowiedê na 4 pytania; ocen´ dobrà za poprawnà odpowiedê na 3 pytania; a ocen´ dostatecznà za poprawnà odpowiedê na 2 pytania. Jakie jest prawdopodobieƒstwo uzyskania oceny bardzo dobrej, a jakie oceny co najmniej dostatecznej, jeÊli uczeƒ umie odpowiedzieç na 3

2 pytaƒ z zestawu?

Zadanie 5

Dany jest zbiór trójkàtów o wspólnym wierzcho∏ku A(0,6). Boki tych trójkàtów przeciwleg∏e wierzcho∏kowi A zawierajà si´ w prostej o równaniu y + 2 = 0 i ka˝- dy z nich ma d∏ugoÊç 4. Napisaç równa-nie krzywej, która jest zbiorem Êrodków okr´gów opisanych na tych trójkàtach.

Zestaw zadań z 1980 r. (Warszawa)

Zadanie 1

Zbadaj przebieg zmiennoÊci funkcji

y e x 112= - i naszkicuj jej wykres.

Zadanie 2

OkreÊl równaniem zbiór Êrodków wszyst-kich okr´gów stycznych zewn´trznie do okr´gu wpisanego w trójkàt o wierz-

cho∏kach (3, 0), (0, – 3 ), (0, 3 ) oraz stycznych do osi OY. Podaj geometrycznà interpretacj´ rozwiàzania.

Zadanie 3

Rozwià˝ równanie:

... ...... ...

sin sin sin sinsin sin sin sinx x x x

x x x xtg x

1 11

n n

n

2 3

2 32- + - + + - +

+ + + + + +=

^ h.

Zadanie 4

Na p∏aszczyênie danych jest siedem punktów, z któ-rych ˝adne trzy sà wspó∏liniowe. KreÊlimy trzy ró˝ne odcinki o koƒcach w tych punktach. Zak∏adajàc, ˝e wszystkie rezultaty sà jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieƒstwo tego, ̋ e wykreÊlone trzy odcinki utworzà trójkàt.

Zadanie 5

W trapezie ABCD krótsza podstawa DC ma d∏ugoÊç b, zaÊ podstawa AB d∏ugoÊç a. Na przed∏u˝eniu podstawy DC zaznaczono punkt X taki, ̋ e prosta AX dzieli trapez na cz´Êci o równych polach. Oblicz |CX|.

Tomasz Grębskiwww.tomaszgrebski.pl

Li tera tura :1. https://sites.google.com/site/tematmatura/lekcja-historii/historia-matury.2. Michalski J., Stanisław August Poniatowski, [w:] Polski Słownik Biograficzny,

Warszawa – Kraków 2002, t. XLI/4, s. 620.3. „Nauczyciele i Matematyka”, Kwartalnik Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki,

23/1995.4. „Nauczyciele i Matematyka”, Kwartalnik Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki,

20/1996.5. Sprawozdanie Dyrekcji Państwowego Gimnazjum im. Karola Marcinkowskiego

w Poznaniu: za pierwsze dziesięciolecie zakładu w niepodległej i wolnej ojczyźnie: 1919–1929.

6. Jastrzębski S., Wyspiański w Nowodworku, „Życie Literackie” nr 20 (1268) z 16 V 1976 r.

7. Tync S., Komisja Edukacji Narodowej, pisma Komisji i o Komisji; wybór źródeł, Zakład im. Ossolińskich, Wrocław 1954.

8. Zadania maturalne z rozwiązaniami, Wydawnictwo „Pomoc szkolna” przy księgarni H. Wajnera, Warszawa 1929.

9. Lebiedziński B., Zbiór zadań maturalnych w układzie metodycznym, nakład autora, Warszawa 1931.


S Z KO Ł A P O D S TAW O WA I G I M N A Z J U MSP G

a

b

c

1. Ka˝de wyra˝enie zapisz w postaci iloczynu:a) 34 = 3 3 3 3$ $ $

b) 56 =c) 43 =d) 23 =e) 73 =

2. Po∏àcz w pary odpowiednie wyra˝enia. Wpisz obok ka˝dej litery odpowiedni numer.A – 25 , B – 64 , C – 36 , D – 81 , E – 100 , F – 4I – 10, II – 2, III – 6, IV – 9, V – 5, VI – 8A – .........., B – .........., C – .........., D – .........., E – .........., F – ..........

3. Po∏àcz w pary nazw´ boku trójkàta prostokàtnego z odpowiednià literà.

przyprostokàtna ..........przyprostokàtna ..........przeciwprostokàtna ..........

4. Wiadomo, ˝e a i b sà d∏ugoÊciami przyprostokàtnych trójkàta prostokàtnego, a c jest d∏ugoÊcià przeciwprostokàtnej tego trójkàta. Uzupe∏nij tabel´. Wpisz w ka˝dà pustà komórk´ odpowiednià liczb´.

a b a2 b2 a2 + b2 c2 c

2 3 4 9 13 13

5 4 25 16

1 7 49

8 1 64

5 5 50

ZadaniadlauczniaklasyIIgimnazjumzespecyficznymitrudnoÊciamiwuczeniusi´matematyki

Agnieszka Zielińska

23s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16

S Z KO Ł A P O D S TAW O WA I G I M N A Z J U M SP G

5. W tabeli znajdujà si´ brakujàce wyrazy, wpisz je w odpowiednie miejsca w poni˝szym zdaniu.

przyprostokątnych prostokątny przeciwprostokątnej

Je˝eli trójkàt jest ................................................., to suma kwadratów d∏ugoÊci ............................................. jest równa kwadratowi d∏ugoÊci .................................................

6. Do ka˝dej nazwy dobierz odpowiedni wzór. Wstaw w ka˝dà pustà komórk´ tabeli odpowiedni wzór wybrany spoÊród podanych.

a3 a 2 a 3

2 2rr rr2

Długość okręgu Pole kołaDługość przekątnej

kwadratuWysokość trójkąta równobocznego

Objętość sześcianu

7. Uzupe∏nij nazwy w graniastos∏upie czworokàtnym. Do ka˝dej strza∏ki dopisz odpowiednià nazw´ wybranà spoÊród podanych:

krawędź boczna, ściana boczna, wierzchołek, podstawa, krawędź podstawy, podstawa

graniastosłup czworokàtny



8. W figurze obok zamaluj trzy trójkàty prostokàtne.

9. Dokoƒcz zdanie: Liczba r wynosi .............................

10. Wpisz jednomiany w odpowiednie komórki w tabeli, tak aby w tych samych kolumnach znajdowa∏y si´ jednomiany podobne.

– 5a2 3ab – 0,5y2x 7a

2a – 3ab a2 2y2x

– 3a 3y2x

0,2ab – a2

11. Pod ka˝dà bry∏à dopisz odpowiednià nazw´, wybierajàc spoÊród podanych.

prostopadłościan, graniastosłup prawidłowy trójkątny, ostrosłup

a

aa

a a

h

a b

c

12. Nazwij poszczególne boki w trójkàcie prostokàtnym.13. Dokoƒcz zdanie: Wielokàtem foremnym nazywamy taki wielokàt, w którym wszystkie boki

............................................. i wszystkie kàty ..........................................................................................................14. Jakich trójkàtów dotyczy twierdzenie Pitagorasa?15. Dokoƒcz zdanie: Graniastos∏up prosty to taki graniastos∏up, w którym Êciany boczne sà ..........

................................... i kraw´dzie boczne sà ............................................. do podstaw. Graniastos∏up prosty, którego podstawà jest wielokàt foremny, nazywamy ......................................................................

Agnieszka ZielińskaNauczyciel matematyki Zespołu Szkół im. Gen. Józefa Bema w Dębowej Łące.

25s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


1

2 3

4 5

6 7 8 9

10

11 12

13 14 15 16

17 18

19 20Poziomo:

2. 123 2 =^ h4. 20 5$ =

5. 2 18 3 12$ $ =+

6. 25 53 3$ =

7. 6 17 8 17$ =

9. 9 33 3$ =

10. 2 11 4 11$ =

11. 1392 32 2 2$ $ =^ ^ ^h h h

13. 32 2$ =

14. 292 32 2 2$ $ =^ ^ ^h h h

16. 2 8$ =

17. 2 8 18 32$ $ $ =^ h18. 27 8 3433 3 3$ $ =

19. 2 41 5 41$ =

Pionowo:

1. 32 2 =^ h2. 36 81 2$ $ =

3. 36 289 31$ $ =

8. 7 17 13 17$ =

12. 8 199 2 199$ =

15. 8 5 11 5$ =

20. 36 49+ =

Agnieszka ZielińskaNauczyciel matematyki Zespołu Szkół

im. Gen. Józefa Bema w Dębowej Łące.

PierwiastkiAgnieszka Zielińska



Zadanie 1: Ulica sk∏ada si´ z jezdni o szerokoÊci 9,5 m, dwóch chodników dla pieszych (ka˝dy po 2 4

1 m szerokoÊci) i jednej Êcie˝ki rowerowej o szerokoÊci 1,8 m. Oblicz szerokoÊç ca∏ej ulicy.Zadanie 2: Jagoda kupi∏a 5 kg owoców: 2,5 kg jab∏ek,

54 kg gruszek, 20 dag moreli i Êliwki. Ile wa˝y∏y Êliwki?Zadanie 3: Kierowca zatankowa∏ 44,5 litra ben-zyny, p∏acàc 4,37 z∏ za 1 litr. Nast´pnego dnia ben-zyna zdro˝a∏a o 12 groszy na litrze. Ile z∏otych zaoszcz´dzi∏ kierowca, kupujàc benzyn´ dzieƒ wczeÊniej?Zadanie 4: W∏aÊciciel sklepu zakupi∏ na gie∏dzie 80 kg cytryn po 3,40 z∏ za kilogram, 24 kg pomidorów po 7,65 z∏ za kilogram i 12 kg Êliwek po 4,55 z∏ za kilogram. Ile zap∏aci∏ za towar i jego przewóz, je˝eli transport kosztowa∏ 60 z∏?Zadanie 5: Kucharz zu˝y∏ do sma˝enia powide∏ 1,5 kg cukru, co stanowi 5

3 ca∏ego zapasu cukru, jaki posiada∏. Ile kilogramów cukru mia∏ przed sma-˝eniem powide∏?Zadanie 6: Klient kupi∏: 6 jaj po 36 gr za sztuk´, 3 kostki mas∏a po 3,56 z∏ za kostk´, 30 dag pol´dwicy po 33,30 z∏ za kilogram oraz 0,6 kg ˝ó∏tego sera po 23,90 z∏ za kilogram. Ile reszty otrzyma∏ z 50 z∏?Zadanie 7: Cena jogurtu wynosi 1,95 z∏. Ile jogurtów mo˝na kupiç za 14 z∏?Zadanie 8: Cena 1 kilograma ziemniaków to 1,25 z∏. Ile zap∏acisz za 2,75 kg ziemniaków?

Agnieszka ZielińskaNauczyciel matematyki Zespołu Szkół im. Gen. Józefa Bema

w Dębowej Łące.

Matematykawpraktyce

Zadanie 9: W jednym s∏oiku mieÊci si´ 0,36 kg d˝emu. Mama Agaty przygotowa∏a 9 kg d˝emu. Ile potrzeba takich s∏oików, aby zmieÊciç ca∏y d˝em?Zadanie 10: Przerwa obiadowa w szkole trwa 12

5 godziny. Ile minut trwa ta przerwa?Zadanie 11: Bartek kupi∏ w sklepiku szkolnym dwa batony po 1,83 z∏ za sztuk´ oraz napój za 2,36 z∏. Ile powinien otrzymaç reszty, jeÊli poda∏ kasjerce 10 z∏?Zadanie 12: Agata kupi∏a 30 dag sera po 23,50 z∏/ /kg, 60 dag w´dliny po 18,70 z∏/kg i 70 dag cukierków po 21,40 z∏/kg. Zap∏aci∏a banknotem o nominale 50 z∏. Ile reszty otrzyma∏a?Zadanie 13: Trzy kilogramy pierników w∏o˝ono do czterech pude∏ek, do ka˝dego po tyle samo. Potem zawartoÊç jednego pude∏ka zjedzono. Ile pierników pozosta∏o?

Agnieszka Zielińska

Odpowiedzi

1. 15,8 m

2. 1,5 kg

3. 5,34 zł

4. 570,20 zł

5. 2,5 kg

6. 12,83 zł

7. 7

8. 3,44 zł

9. 225

10. 25 minut

11. 3,96 zł

12. 16,75 zł

13. 2,25 kg

Wiedzaiumiej´tnoÊcimatematycznepe∏niàw˝yciucodziennymbardzowa˝nà

rol´.Poni˝szezadaniamajànacelupokazanie,jakzdobytàwiedz´wykorzystaç

w˝yciucodziennympodczaszakupówczyplanowaniawydatków.

27s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Domno˝enialiczbnasorobaniepotrzebnajestznajomoÊçpodstawowejtabliczki

mno˝eniaiumiej´tnoÊçdodawanialiczbnasorobanie.Przydatnajestte˝

znajomoÊçprawarozdzielnoÊcimno˝eniawzgl´demdodawania.

Wykonujàcmno˝enie,zaczynamyodzaznaczenianasorobanieobuczynników.

Maria Dudzik

a) 3 × 12

1. Najpierw zaznaczamy na sorobanie pierwszy czynnik, czyli 3, zostawiamy jeden pręcik wolny i zaznaczamy drugi czynnik, czyli 12. Iloczyn tych liczb będziemy zaznaczali po prawej stronie sorobanu.

Mno˝enieliczbnasorobanie

Przyjmijmy, tak jak dotych-czas, oznaczenia: J – jed-noÊci, D – dziesiàtki, S – setki, T – jednoÊci tysi´cy.

Kolorem ciemnoszarym b´dziemy zaz- naczaç odejmowane koraliki, a kolo-rem czarnym dodawane koraliki.

PrzeÊledêmy na kilku przyk∏adach mno˝enie na sorobanie.

3 × 1 2

D JST

iloczyn



2. Przystępujemy teraz do mnożenia.Zauważmy, że 3 × 12 = 3 × 2 + 3 × 10.Tak też mnożymy na sorobanie. Najpierw liczymy 3 × 2.3 × 2 = 6, iloczyn zaznaczamy w rzędzie jedności.

3. Wykorzystaliśmy już do mnożenia 2 (z liczby 12), więc spuszczamy te 2 koraliki.

4. Zostaje nam już tylko obliczyć 3 × 10. 3 × 1 = 3, iloczyn zaznaczamy w rzędzie dziesiątek.

5. Wykorzystaliśmy już do mnożenia 1 (z liczby 12), więc spuszczamy ten koralik. Zatem 3 × 12 = 36.

3 × 2

3 × 1 2 6

3 × 2

3 × 1 2 6

3 × 1

3 × 1 2 3 6

3 × 1

3 × 1 2 3 6

29s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


2 × 2 3 4

b) 2 × 234


2. Przystępujemy teraz do mnożenia.Zauważmy, że: 2 × 234 = = 2 × 4 + 2 × 30 + 2 × 200.Najpierw liczymy 2 × 4.2 × 4 = 8, iloczyn zaznaczamy w rzędzie jedności.


4. Teraz obliczmy 2 × 30.2 × 3 = 6, iloczyn zaznaczamy w rzędzie dziesiątek.

2 × 4 iloczyn

2 × 2 3 4 8

2 × 4

2 × 2 3 4 8

2 × 3

2 × 2 3 4 6 8




6. Zostaje nam już tylko obliczyć 2 × 200. 2 × 2 = 4, iloczyn zaznaczamy w rzędzie setek.


Zatem 2 × 234 = 468.

c) 5 × 37


2 × 3

2 × 2 3 4 6 8

5 × 3 7

2 × 2

2 × 2 3 4 4 6 8

2 × 2

2 × 2 3 4 4 6 8

iloczyn

31s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


2. Przystępujemy teraz do mnożenia.Zauważmy, że: 5 × 37 = 5 × 7 + 5 × 30.Najpierw liczymy 5 × 7.5 × 7 = 35, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie jedności i dziesiątek.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 7 z liczby 37.

3. Zostaje nam już tylko obliczyć 5 × 30.5 × 3 = 15, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie dziesiątek i setek.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 3 z liczby 37.Zatem 5 × 37 = 185.

d) 4 × 236


2. Przystępujemy teraz do mnożenia. Zauważmy, że: 4 × 236 = 4 × 6 + 4 × 30 + 4 × × 200.Najpierw liczymy 4 × 6.4 × 6 = 24, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie jedności i dziesiątek.

5 × 37

5 × 3 7 3 5

5 × 3

5 × 3 7 3 5

4 × 2 3 6

4 × 6

4 × 2 3 6 2 4

+ 1 5 1 8 5

iloczyn



3. Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 6 z liczby 236.

4. Teraz liczymy 4 × 30.4 × 3 = 12, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie dziesiątek i setek.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 3 z liczby 236.

5. Zostaje nam już tylko obliczyć 4 × 200.4 × 2 = 8, iloczyn zaznaczamy w rzędzie setek.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 2 z liczby 236.Zatem 4 × 236 = 944.

4 × 6

4 × 2 3 6 2 4

4 × 3

4 × 2 3 6 1 4 4

4 × 2

4 × 2 3 6 9 4 4

33s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


e) 6 × 287


2. Przystępujemy teraz do mnożenia.Zauważmy, że 6 × 287 = = 6 × 7 + 6 × 80 + 6 × 200.Najpierw liczymy 6 × 7.6 × 7 = 42, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie jedności i dziesiątek.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 7 z liczby 287.

3. Teraz liczymy 6 × 80.6 × 8 = 48, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie dziesiątek i setek.Tutaj musimy wspomóc się przy dodawaniu 10, czyli pamiętając, że +8 = +10 – 2. Zaznaczamy 1 koralik w rzędzie setek i zabieramy dwa koraliki w rzędzie dziesiątek.Teraz powinniśmy zaznaczyć 4 w rzędzie setek, ale tu również brakuje nam koralików, zatem pamiętając, że +4 = + 5 – 1, zaznaczamy górny koralik w rzędzie setek i spuszczamy 1 koralik dolny w tym samym rzędzie. Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 8 z liczby 287.

6 × 2 8 7 iloczyn

6 × 7

6 × 2 8 7 4 2

6 × 8

6 × 2 8 7 4 2 + 4 8

5 2 2



4. Pozostaje nam już tylko obliczyć 6 × 200.6 × 2 = 12, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie setek i jedności tysięcy. Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 2 z liczby 287.Zatem 6 × 287 = 1722

f) 42 × 13

1. Najpierw zaznaczamy na sorobanie pierwszy czynnik, czyli 42, zostawiamy jeden pręcik wolny i zaznaczamy drugi czynnik, czyli 13. Iloczyn tych liczb będziemy zaznaczali po prawej stronie sorobanu.Zauważmy, że: 42 × 13 = 2 × 13 + 40 × 13.Mnożenie zatem zaczniemy od obliczenia na sorobanie iloczynu 2 × 13, a później obliczymy iloczyn 40 × 13.

2. Przystępujemy teraz do mnożenia 2 × 13.Zauważmy, że: 2 × 13 = 2 × 3 + 2 × 10.Najpierw liczymy 2 × 3 = 6, iloczyn zaznaczamy w rzędzie jedności. Nie możemy jeszcze opuścić żadnej z cyfr czynników, bo wszystkie będziemy jeszcze wykorzystywać.

4 2 × 1 3 iloczyn

1

2

43

2 × 3

4 2 × 1 3 6

6 × 2

6 × 2 8 7 5 2 2 + 1 2

1 7 2 2

35s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Pozostaje nam już tylko obliczyć 2 × 10.2 × 1 = 2, iloczyn zaznaczamy w rzędzie dziesiątek.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 2 z liczby 42.

3. Przystępujemy teraz do mnożenia 40 × 13.Zauważmy, że: 40 × 13 = 40 × 3 + 40 × 10.Najpierw liczymy 40 × 3.4 × 3 = 12, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie dziesiątek i setek.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 3 z liczby 13.

4. Pozostaje nam już tylko obliczyć 40 × 10. 4 × 1 = 4, iloczyn zaznaczamy w rzędzie setek. Aby dodać 4 koraliki w rzędzie setek, musimy jednak skorzystać z pomocy górnego koralika (5) w rzędzie setek. Pamiętając, że +4 = +5 – 1, w rzędzie setek dodajemy górny koralik i odejmujemy 1 dolny koralik. Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 4 z liczby 42 i 1 z liczby 13.Zatem 42 × 13 = 546.

2 × 1

4 2 × 1 3 2 6

4 × 3

4 2 × 1 3 2 6 + 1 2

1 4 6

4 × 1

4 2 × 1 3 1 4 6 + 4

5 4 6

+ 1 2



g) 76 × 39

1. Najpierw zaznaczamy na sorobanie pierwszy czynnik, czyli 76, zostawiamy jeden pręcik wolny i zaznaczamy drugi czynnik, czyli 39. Iloczyn tych liczb będziemy zaznaczali po prawej stronie sorobanu.Zauważmy, że 76 × 39 = = 6 × 39 + 70 × 39.Mnożenie zatem zaczniemy od obliczenia na sorobanie iloczynu 6 × 39, a później obliczymy iloczyn 70 × 39.

2. Przystępujemy teraz do mnożenia 6 × 39.Zauważmy, że 6 × 39 = = 6 × 9 + 6 × 30.Najpierw liczymy 6 × 9 = 54, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie jedności i dziesiątek.Nie możemy jeszcze opuścić żadnej z cyfr czynników, bo wszystkie będziemy jeszcze wykorzystywać.

Pozostaje nam już tylko obliczyć 6 × 30.6 × 3 = 18, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie dziesiątek i setek.Aby dodać 8 w rzędzie dziesiątek, musimy pamiętać, że +8 = +10 – 2 oraz –2 = –5 + 3.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 6 z liczby 76.

6 × 9

7 6 × 3 9 5 4

6 × 3

7 6 × 3 9 5 4 + 1 8

2 3 4

7 6 × 3 9 iloczyn

1

2

4

37s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


3. Przystępujemy teraz do mnożenia 70 × 39.Zauważmy, że 70 × 39 = = 70 × 9 + 70 × 30.Najpierw liczymy 70 × 9.7 × 9 = 63, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie dziesiątek i setek.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 9 z liczby 39.

Pozostaje nam już tylko obliczyć 70 × 30.7 × 3 = 21, iloczyn, ponieważ jest dwucyfrowy, zaznaczamy w rzędzie setek i jedności tysięcy.Po zaznaczeniu iloczynu na sorobanie spuszczamy wykorzystaną 7 z liczby 76 i 3 z liczby 39.Zatem 76 × 39 = 2964.

Maria DudzikNauczycielka ze Szkoły Podstawowej nr 82 w Poznaniu. Entuzjastka matematyki,

gier dydaktycznych i origami oraz stosowania technologii informacyjnej w nauczaniu

matematyki.

Na sorobanie mo˝na te˝ mno˝yç wi´ksze liczby, pami´tajàc tylko o prawie rozdzielnoÊci mno˝enia wzgl´dem dodawania, np.:48 × 267 = 8 × 267 + 40 × 267, 1348 × 349 = 8 × 349 + 40 × 349 + 300 × × 349 + 1000 × 349.

+ 1 8Li tera turahttps://sites.google.com/site/osakasoroban

7 × 9

7 6 × 3 9 2 3 4 + 6 3

8 6 4

7 6 × 3 9 8 6 4

7 × 3

+ 2 1 2 9 6 4


L I C E U MLO

W praktyce szkolnej, rozwià- zujàc jakieÊ zadanie, cz´sto odwo∏ujemy si´ do utartych schematów, które od lat tkwià

w podr´cznikach szkolnych, a których sto-sowanie nie zawsze jest dla przeci´tnego ucznia czytelne. Warto zatem szukaç nowych dróg, jest to bowiem jeden z celów nauczania matematyki.

Weêmy np. zadanie: „Rozwià˝ równanie ax bx c 02 + + = dla a 0=Y ”. Uczeƒ w takim przypadku najpierw obliczy wyró˝nik b ac42D = - i zastosuje znane wzory na wyznaczenie pierwiastków, w zale˝noÊci od

Liczbarozwiàzaƒrównaniax2+x+c=y2

Piotr Kmiecik

znaku tego wyró˝nika. Chcia∏bym na tym przy- k∏adzie zaproponowaç nieco inne podejÊcie, majàc na uwadze ostatnià zmian´ programowà, która przenios∏a algebraiczne wzory na kwadrat sumy i ró˝nicy oraz ró˝nic´ kwadratów dwóch wyra˝eƒ algebraicznych z gimnazjum do pierwszej klasy szko∏y Êredniej.

Gdy mamy rozwiàzaç równanie:

ax bx c 02 + + = dla a 0=Y , pomnó˝my obie jego strony przez a4 . Otrzymujemy wówczas a x abx ac4 4 4 02 2 + + = . Nast´pnie dodajmy do obu stron b2 – mamy teraz

a x abx b4 42 2 2+ + = b ac2 4 D- = , stàd ax b2 2 D+ =^ h .

JeÊliwzadaniachobokdanychliczbowychiniewiadomychsàjeszczeinnezmienne,

nazwaneparametrami,zawszestaramysi´podaç,jakwartoÊciparametru

decydujàoistnieniuiliczbierozwiàzaƒtegozadania,dbajàcjednoczeÊnie,

abytorozwiàzanieby∏omo˝liwiepe∏ne.Je˝eliprzytymuwzgl´dniasi´

zbytdu˝àliczb´przypadków,mo˝esi´zdarzyç,˝ezgubimycz´Êçrozwiàzania,

podajàcrozwiàzanieniepe∏ne.Ostatecznywynikniemo˝ebyçzale˝ny

odwyborudrogidoniegoprowadzàcej.

39s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16

L I C E U M LO

Teraz widaç ju˝, ˝e dla 01D mamy jawnà sprzecznoÊç. Dla 0D = jedynym pierwiastkiem naszego równania jest liczba x a

b2=- . Dla 02D mamy ax b2 D+ = , dostajemy dwa ró˝ne pierwiastki:

xb

a21

D=- -

x

ba22

D=- +

Gdyby nasi uczniowie w taki sposób rozwiàzywali równania kwadratowe z jednà zmiennà, zupe∏nie podobnie mo˝e poradziliby sobie z równaniem kwadratowym z niewiadomymi ,x y C!

postaci ax bx c y2 2+ + = , gdzie wspó∏czynniki a, b, c tak˝e sà ca∏kowite, ale tylko w przypadku, gdy wspó∏czynnik a jest kwadratem liczby ca∏kowitej.

Podobnie jak w przypadku równaƒ kwadratowych z jednà zmiennà, gdy pomno˝ymy obie jego strony przez 4a, otrzymamy a abx ac ax y4 4 4 42 2 2+ + = . Po dodaniu do obu stron liczby b2 otrzymamy równanie ax b ay b ac2 4 42 2 2+ - = -^ h . Wówczas, jeÊli liczba a jest kwadratem, np. a k2= , mamy rozk∏ad: k x ky b k x ky b2 2 2 22 2- + + +^ ^h h= b ac42 - =D. Liczba uzyskanych teraz rozwiàzaƒ równania jest podyktowana liczbà mo˝liwych rozk∏adów na czynniki wyró˝nika D. Je˝eli wspó∏czynnik a nie jest kwadratem liczby ca∏kowitej, odwo∏ujemy si´ do ogólnej teorii równaƒ Pella, ale ten temat w szkole Êredniej mo˝emy pominàç.Przyk∏ady takiego typu równaƒ mo˝emy znaleêç m.in. w „Matematyce” (kolejno w numerach 5, 6 i 7 z 2013 r.) w trzech artyku∏ach A. Palczaka, opatrzonych zasadniczo jednym wspólnym tytu∏em „Idee E. Bono w matematyce edukacyjnej, czyli od wyniku do rozwiàzania zadania” (cz. I, II, III). Przeglàdajàc podane tam rozwiàzania tego typu równaƒ, odnosi si´ wra˝enie, ˝e ze wzgl´du na licznà drobiazgowoÊç przy analizie tak wielu przypadków przy uwzgl´dnianiu ró˝nych wartoÊci wspó∏czynników a, b, c zawsze mo˝na coÊ przeoczyç i tym samym zgubiç cz´Êç rozwiàzania. Tak te˝ si´ sta∏o w rozwiàzaniu zadania w drugiej cz´Êci („Matematyka” 6/2013, str. 48).

Rozwià˝my jeszcze raz podane tam równanie: x x y752 2+ = w liczbach ca∏kowitych x, y. W tym równaniu a = 1, b = 75, c = 0. Gdy równanie pomno˝ymy przez 4, otrzymamy x x y4 300 42 2+ = .Nast´pnie dodajemy do obu stron b 752 2= ,otrzymamy w ten sposób: x x y4 300 5625 4 56252 2+ + = + , dalej x y2 75 22 2+ -^ ^h hx y x y2 2 75 2 2 75 5625- + + + =^ ^h h , a rozk∏adajàc lewà stron´ mamy: x y x y2 2 75 2 2 75 5625- + + + =^ ^h hx y x y2 2 75 2 2 75 5625- + + + =^ ^h h .

Pe∏ne rozwiàzanie tego równania uzyskamy, uwzgl´dniajàc wszystkie mo˝liwe rozk∏ady liczby 5625 – otrzymamy wtedy wszystkie rozwiàzania (x, y) równania x x y752 2+ = . Dla kolejnych rozk∏adów liczby 5625 mamy kolejne czwórki rozwiàzaƒ tego równania.1. 1 x 5625, –1x–5625, 4 rozwiàzania (1369, ±1406), (–1444, ±1406)2. 3 x 1875, –3x–1875, 4 rozwiàzania (432, ±468), (–507, ±468)3. 5 x 1125, –5x–1125, 4 rozwiàzania (245, ±280), (–320, ±280)4. 9 x 625, –9x–625, 4 rozwiàzania (121, ±154), (–196, ±154)5. 15 x 375, –15x–375, 4 rozwiàzania (60, ±90), (–135, ±90)6. 25 x 225, –25x–225, 4 rozwiàzania (25, ±50), (–100, ±50)7. 45 x 125, –45x–125, 4 rozwiàzania (5, ±20), (–80, ±20)8. 75 x 75, –75x–75, 2 rozwiàzania (0, 0), (–75, 0).

¸àcznie otrzymaliÊmy 7 x 4 + 2 = 30 rozwiàzaƒ tego równania, a przedstawiony sposób ich uzy-skania pozwala stwierdziç, ˝e lista rozwiàzaƒ jest kompletna. Podobny sposób rozwiàzania mo˝na


L I C E U MLO

przedstawiç w pozosta∏ych przypadkach rozwiàzywanych równaƒ, w ogólnej postaci ax bx c y2 2+ + = , je˝eli tylko a 02 jest kwadratem liczby ca∏kowitej. W dalszej cz´Êci tego artyku∏u chcia∏em pokazaç, ˝e liczba rozwiàzaƒ dla tego typu równaƒ mo˝e byç dowolnie du˝a, wykorzystujàc (tak jak w poprzed-nim przyk∏adzie) liczb´ mo˝liwych rozk∏adów. Jako przyk∏ad weêmy zadanie z „Matematyki” 5/2013 str. 50 (z artyku∏u, którego tytu∏ zosta∏ przytoczony ju˝ wczeÊniej). Czytamy tam, ˝e przy okazji poszukiwaƒ rozwiàzaƒ równania x x c y2 2+ + = w zbiorze liczb ca∏kowitych powsta∏o takie oto pyta-nie: „Na ile sposobów mo˝na przedstawiç liczb´ ca∏kowità za pomocà liczb ca∏kowitych x, y w postacic y x x 12= - +^ h?”. Tak postawione pytanie w sposób równowa˝ny mo˝na zamieniç na zadanie o takiej treÊci: „Ile rozwiàzaƒ ca∏kowitych mo˝e mieç równanie: x x c y2 2+ + = , gdzie dana liczba c tak˝e jest liczbà ca∏kowità?”.

Mno˝àc obie strony tego równania przez 4, otrzymamy x x c y4 4 4 42 2+ + = . Nast´pnie wystarczy dodaç liczb´ 1, aby otrzymaç równanie: x y c2 1 4 1 42 2+ - = -^ h , które dalej zamieniamy na kolejne równanie: y x y x c2 2 1 2 2 1 4 1+ + - - = -^ ^h h .

Minimalna liczba rozwiàzaƒ tego równania ma miejsce, gdy c = 0. Wtedy tylko dwie pary liczb stanowià rozwiàzanie tego równania – sà to (0, 0) i (–1, 0). Liczba rozwiàzaƒ jest tutaj podyktowana liczbà rozk∏adów liczby 4c – 1. Aby uzyskaç dowolnie wiele rozwiàzaƒ, wystarczy podaç takà liczb´, aby liczb´ mo˝na by∏o przedstawiç jako iloczyn na mo˝liwie wiele spo- sobów. Przyjmijmy, c 7 1

4

n2 1

= +- , gdzie liczba c jest liczbà ca∏kowità, co mo˝na potwierdziç prostym dowodem, stosujàc zasad´ indukcji matematycznej.

Nasze równanie przyjmie teraz postaç y x y x2 2 1 2 2 1 7 n2 1+ + - - = -^ ^h h . Liczb´ 7 n2 1- przedstawmy w postaci iloczynu 7 7n k n k1 $+ - - , gdzie k = 1, 2, … n. Nast´pnie, rozwiàzujàc uk∏ad:

y x

y x

2 2 1 7

2 2 1 7

n k

n k

1+ + =

- - =

+ -

-)otrzymujemy, ˝e y 7 7 7 7 1

4 4

n k n k n k k1 2 1

= + =++ - - - -^ h

– widaç, ˝e liczba ta jest liczbà ca∏kowità, bowiem liczba w nawiasie z licznika jest podzielna przez 4.

Podobnie x 7 7 24

n k n k1

= - -+ - -

jest liczbà ca∏kowità, mamy bowiem:

xy

y4 7 7 2

4 27 1

n k n k n k

=- - -

= - +- - -b l licznik u∏amka w nawiasie jest liczbà parzystà.

Podstawiajàc w miejsce k ró˝ne wartoÊci liczb ze zbioru {1, 2, … n}, dostajemy co najmniej n rozwiàzaƒ równania x x c y2 2+ + = . Jak widaç, przyj´ta metoda post´powania pozwoli∏a nam na uzyskanie mo˝liwie pe∏nego rozwiàzania tego równania, w którym, jak czytamy w przyto-czonym artykule, maksymalna liczba rozwiàzaƒ dla tego typu równaƒ wynosi∏a zaledwie 12.

Piotr KmiecikEmerytowany nauczyciel Zespołu Szkół Drogowo-Geodezyjnych w Jarosławiu.

41s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16

L I C E U M LO

Dzieje si´ tak, poniewa˝ zadania te nierzadko posiadajà wiele ró˝norodnych sposobów na roz-wiàzanie. Czasami autor zadania

wià˝e je z danym poziomem, bo jego pierwszà myÊlà jest, ˝e najprostszym uzasadnieniem b´dzie odwo∏anie si´ na przyk∏ad do twierdze-nia sinusów (czy te˝ innej w∏asnoÊci omawia-nej w szkole Êredniej na poziomie rozszerzo-nym). Tymczasem mo˝e si´ okazaç, ˝e uczeƒ, któremu takie zadanie dajemy do rozwiàzania, w ogóle o tym twierdzeniu nie pomyÊli, a co wi´cej, znajdzie du˝o prostszà drog´ do uza-sadnienia podanego faktu. Dlatego te˝ mo˝na przyjàç, ˝e niektóre zadania z planimetrii mogà byç rozwiàzywane przez maturzystów przygotowujàcych si´ do egzaminu na pozio-mie zarówno podstawowym, jak i rozszerzonym. Cz´sto te˝ wÊród zadaƒ maturalnych mo˝na znaleêç takie, które Êwietnie b´dà si´ nadawa∏y do pracy z uczniami gimnazjum. Na egzami-nach zdawanych przez nich zadanie otwarte typu „uzasadnij” niejednokrotnie odwo∏ywa∏o si´ do w∏asnoÊci figur geometrycznych. Pierw-sze z omówionych przeze mnie zadaƒ zosta∏o przypisane do poziomu rozszerzonego.

Geometrianapoziomie…RozwiàzujàczadaniageometrycznewszkoleÊredniej,cz´stotrudnonam

jednoznacznieokreÊliç,czyprzypisaçjedopoziomupodstawowego,czyte˝

rozszerzonego.

Punkt K jest Êrodkiem boku kwadratu (patrz ryc. 1). Jakà cz´Êç pola

kwadratu stanowi pole trójkàta DOK?

Jak b´dzie jednak wyglàda∏a praca z danym problemem, jeÊli u˝yjemy podczas niej pro-gramu GeoGebra? Po raz kolejny dostajemy zadanie z gotowà ilustracjà. Wykonanie inter- aktywnego rysunku zajmie jednak tylko par´ chwil, wi´c warto je przygotowaç. Kwadrat w najprostszy sposób uzyskamy, u˝ywajàc polece-nia wielokàt foremny . Nast´pnie na odcinku CD zaznaczamy Êrodek odcinka – punkt K, prowadzimy odcinki AK oraz BD i zaznaczamy punkt O. Poniewa˝ b´dziemy badaç zale˝noÊci pomi´dzy polami figur, musimy zaznaczyç tak˝e trójkàt DOK (ryc. 2).

Monika Jankowska

t Ryc. 1


L I C E U MLO

W celu uzyskania odpowiednich danych mo- ˝emy wyznaczyç w programie stosunek pola kwadratu do pola trójkàta. Aby go wyÊwietliç w obszarze roboczym, u˝ywajàc przy tym zapisu z u∏amkami, konieczne jest wstawie-nie tekstu z u˝yciem formu∏y LaTeX. Mo˝emy wówczas wpisywaç w u∏amku w∏asne teksty (opis wielkoÊci i nazwy wielokàtów), wstawiaç wielkoÊci odwo∏ujàce si´ do istniejàcych obiek-tów (wielokàt1, wielokàt2), a tak˝e wykonywaç obliczenia na tych wielkoÊciach (wielokàt1/ /wielokàt2). Gotowy komentarz mo˝e wyglàdaç jak ten przedstawiony na ryc. 3.

Po raz kolejny widzimy te˝, ˝e w oknie Geo-Gebry pola figur wyÊwietlane sà w przybli˝eniu. Dla doÊwiadczonych u˝ytkowników programu nie powinno to wymagaç szerszego komenta-rza. Jednak warto przy takich okazjach przy- pominaç naszym uczniom, ˝e program wyÊ- wietla wartoÊci liczbowe z okreÊlonà przez nas

dok∏adnoÊcià, choç obliczenia wykonuje dla liczb bez przybli˝eƒ.

Przy przygotowaniu rysunku do zadania w spo-sób opisany powy˝ej GeoGebra daje nam gotowà odpowiedê na pytanie dane w zadaniu. Warto, oczywiÊcie, poruszajàc punktami wytyczajàcymi kwadrat, pokazaç niezmiennoÊç uzyskanego wyniku. Jak jednak mo˝emy uzasadniç, ̋ e trój- kàt ma pole 12 razy mniejsze od pola kwa-dratu? Niezbyt skomplikowanà argumentacj´ mo˝e podpowiedzieç nam poprowadzenie kilku dodatkowych prostych. Chodzi dok∏adnie o proste równoleg∏e do boków trójkàta ABO i przechodzàce przez ich Êrodki. Je˝eli przygotujemy plik przed zaj´ciami z uczniami, mo˝emy takie proste ukryç za pomocà przycisku i wyÊwietliç je dopiero we w∏aÊciwym momencie (ryc. 4).

Obserwujàc tak uzyskany podzia∏ trójkàta ABO, mo˝emy ∏atwo zauwa˝yç, ˝e d∏ugoÊç wysokoÊci trójkàta DOK opuszczona z wierz-

t Ryc. 2

t Ryc. 3

t Ryc. 4

43s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16

L I C E U M LO

cho∏ka O stanowi jednà trzecià d∏ugoÊci boku kwadratu. Z danych zadania mamy natomiast informacj´, ˝e d∏ugoÊç boku DK jest po∏owà d∏ugoÊci boku kwadratu. W ten sposób ∏atwo potwierdziç postawionà wczeÊniej hipotez´. Jed-nak przy tym spojrzeniu zadanie staje si´ doÊç proste (oczywiÊcie, uzasadnienia wymaga jesz-cze fakt, ̋ e trójkàty uzyskane przy podziale sà przystajàce). Dlatego te˝ uczniom na poziomie rozszerzonym mo˝emy zaproponowaç podobne zadanie, w którym punkt K nie zostanie osa-dzony statycznie, a b´dzie jedynie punktem nale˝àcym do odcinka CD (ryc. 5).

Mo˝emy wówczas badaç zwiàzek pola kwa-dratu zarówno z polem trójkàta DOK, jak i z sumà pól trójkàtów DOK i ABO, obserwowaç przypadki szczególne, odnajdowaç wartoÊci skrajne i zadawaç wiele innych pytaƒ.

W dalszej cz´Êci zajm´ si´ nieco innym zada-niem, równie˝ dotyczàcym planimetrii:

Dwa okr´gi przecinajà si´ w punk-tach A i B. Uzasadnij, ̋ e jeÊli AM i AN sà Êrednicami tych okr´gów, to punkty

M, B, N le˝à na jednej prostej.

Po raz kolejny autorzy zadania do∏àczyli do niego gotowà ilustracj .́ Z pewnoÊcià upraszcza to samà treÊç zadania, gdy˝ nie ma koniecznoÊci wyjaÊniania opisem s∏ownym po∏o˝enia punktów A, B, M i N. Zarówno my, jak i uczniowie jesteÊmy przyzwycza-jeni do takiego podejÊcia do zadaƒ. Czy jednak nie uÊpi∏o to w nas czujnoÊci i dociekliwoÊci badacza? Uczeƒ otrzymuje ilustracj´, nie musi uruchamiaç wyobraêni, aby sobie samodzielnie takà sytuacj´ zwizualizowaç, a ponadto na rysunku widzi po∏o˝enie okr´gów, w którym punkty M, B, N sà wspó∏liniowe. Nie widzi natomiast momentu, w którym tak nie b´dzie, wi´c nie uÊwiadamia sobie, jakie warunki muszà byç spe∏nione, aby wspó∏liniowoÊç zachodzi∏a. Niech zatem nie dziwi nas fakt, ˝e uczniowie cz´sto nie zwracajà uwagi na za∏o˝enia podane w zadaniu (gdy˝ sà one auto-matycznie spe∏niane), a tak˝e nie czujà potrzeby uzasadniania pewnych zale˝noÊci (bo przecie˝ oczy-wiste jest dla nich to, ̋ e sà one prawdziwe, co widaç na rysunku). Absolutnie nie chodzi mi w tym momencie o zarzucanie czegokolwiek autorom zadaƒ. Chc´ tylko zwróciç uwag´ na fakt, jak bar-dzo musimy byç czujni. Nasza m∏odzie˝ si´ zmienia

t Ryc. 5

t Ryc. 6


L I C E U MLO

i trudnoÊci pojawiajàce si´ przy rozwiàzywaniu zadaƒ mogà byç zupe∏nie inne ni˝ u starszych pokoleƒ, a naszym zadaniem jest zrobiç wszystko, aby te trudnoÊci wyeliminowaç. Mo˝e u˝ycie Geo- Gebry oka˝e si´ pomocne?

Rozpoczynajàc analiz´ zadania, mo˝emy poleciç wykonanie rysunku dwóch zupe∏nie dowolnych okr´gów i ich cićiw (ryc. 7). Wówczas dopiero, odpo-wiednio zmieniajàc ich po∏o˝enie, doprowadzimy do sytuacji, kiedy punkty M, B, N b´dà wspó∏liniowe. MyÊl ,́ ̋ e pozwoli to uczniom przekonaç si´ samo-dzielnie, ̋ e dzieje si´ tak tylko wówczas, gdy zazna-czone cićiwy b´dà Êrednicami.

Po uzyskaniu przekonania o s∏usznoÊci twier-dzenia do prowadzenia rozumowania dowodowego bardziej wygodne b´dzie u˝ycie pliku, w którym odcinki AN i AM b´dà przechodzi∏y przez Êrodki okr´gów (w przeciwnym razie nawet delikatne poruszenie myszkà mo˝e sprawiç, ˝e warunek wspó∏liniowoÊci nie b´dzie spe∏niony). W∏aÊnie taki plik warto przygotowaç wczeÊniej.

Na poczàtku kreÊlimy okràg o danym Êrodku przechodzàcy przez punkt , a nast´pnie w celu zaznaczenia Êrednicy prowadzimy prostà (lub pó∏prostà) przez punkt na okr´gu i jego Êrodek. Po zaznaczeniu odcinka zmie-niamy nazwy jego koƒców tak, aby otrzymaç Êrednic´ AN. Nast´pnie prowadzimy okràg o Êrodku w dowolnym punkcie, ale tak, aby

t Ryc. 7

t Ryc. 8

t Ryc. 9

Monika JankowskaNauczyciel matematyki z gimnazjum wykorzystująca

na co dzień program GeoGebra podczas pracy z uczniami.

przechodzi∏ on przez punkt A. Analogicznie zaznaczamy w nim Êrednic´ i zmieniamy nazw´ jednego z koƒców (aby otrzymaç Êrednic´ AM). Pozostaje nam zaznaczyç punkt B – przecićie okr´gów – i zaczàç poszukiwania uzasadnie-nia faktu wspó∏liniowoÊci. Mo˝emy, oczywiÊcie, poprowadziç prostà MN i unaoczniç dodatkowo ten fakt (ryc. 8).

Zadanie to równie˝ zosta∏o przypisane do poziomu rozszerzonego. Ponownie okazuje si´ jednak, ̋ e móg∏by spróbowaç si´ z nim zmierzyç uczeƒ koƒczàcy gimnazjum. W uzasadnieniu wystarczy oprzeç si´ na w∏asnoÊciach trójkàtów wpisanych w okràg (w szkole Êredniej powiemy, ˝e bazujemy na w∏asnoÊciach kàtów wpisanych) – ryc. 9.

45s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16

L I C E U M LO

Zdarza si´, ˝e czasopisma do swoich noworocznych wydaƒ do∏àczajà kalen-darz na nowy rok. Z okazji nowego, 2016 roku Czytelnikom „Matema-

tyki” chcia∏bym zaproponowaç prosty algorytm na wyznaczanie dnia tygodnia dla dowolnej daty dd.mm.rrrr kalendarza gregoriaƒskiego.

Niech: x1 – suma dni od poczàtku roku R (R = rrrr)

do dnia dd.mm.rrrr (w∏àcznie z dniem dd.mm.rrrr),

x2 – reszta z dzielenia (R – 1) przez 400,x3 – cz´Êç ca∏kowita wyniku dzielenia x2 przez

100,x4 – cz´Êç ca∏kowita wyniku dzielenia x2 przez 4,x5 – liczba oznaczajàca dzieƒ tygodnia dla daty

dd.mm.rrrr kalendarza gregoriaƒskiego, którà obliczamy wed∏ug wzoru:

x5 = ((x1 + x2 – x3 + x4) mod 7) + 1 (1)x5 mo˝e wynosiç 1, 2, 3, 4, 5, 6 lub 7 odpowied-nio dla niedzieli, poniedzia∏ku, wtorku, Êrody, czwartku, piàtku i soboty.

AlgorytmnawyznaczaniedniatygodniadladowolnejdatykalendarzagregoriaƒskiegoMarian Maciocha


L I C E U MLO

Przykład 1:

W jakim dniu tygodnia urodzi∏ si´ Stefan Banach (ur. 30.03.1892 r., zm. 31.08.1945)?

ROZWIĄZANIE:

Stosujàc powy˝ej przedstawiony algorytm, mamy:R = 1892, x1 = 31 + 29 + 30 = 90 (rok 1892 jest rokiem przest´pnym, wi´c luty ma 29 dni),x2 = 291 [tyle wynosi reszta z dzielenia (1892 – 1) przez 400],x3 = 2 (tyle wynosi cz´Êç ca∏kowita wyniku dzielenia 291 przez 100),x4 = 72 (tyle wynosi cz´Êç ca∏kowita wyniku dzielenia 291 przez 4),x5 = [(90 + 291 – 2 + 72) mod 7] + 1 = [(91 + 290 + 70) mod 7] + 1 = [(0 + 3 + 0) mod 7] + 1 = 4

Odpowiedź: Stefan Banach urodził si´ w Êrod´.

Przykład 2:

W jakim dniu tygodnia w 2016 r. wypada Êwi´to Trzech Króli?

ROZWIĄZANIE:

Zgodnie z algorytmem mamy:R = 2016, x1 = 6,x2 = 15 [tyle wynosi reszta z dzielenia (2016 – 1) przez 400],x3 = 0 (tyle wynosi cz´Êç ca∏kowita wyniku dzielenia 15 przez 100),x4 = 3 (tyle wynosi cz´Êç ca∏kowita wyniku dzielenia 15 przez 4),x5 = [(6 + 15 – 0 + 3) mod 7] + 1 = [(21 + 3) mod 7] + 1 = [(0 + 3) mod 7] + 1 = 4

Odpowiedź: W 2016 r. Êwi´to Trzech Króli wypada w Êrod´.

SPOSTRZEŻENIE 1:

WartoÊç wyra˝enia (x2 – x3 + x4) zale˝y tylko od roku R. WartoÊç wyra˝enia (x2 – x3 + x4) jest taka sama dla ka˝dego dnia roku R.

SPOSTRZEŻENIE 2 („DLA ROKU 2016”):

Korzystajàc ze spostrze˝enia 1 i przyk∏adu 2, mo˝emy dla roku 2016 uproÊciç wzór (1) do postaci (2):x5 = [(x1 + 15 – 0 + 3) mod 7] + 1,czylix5 = [(x1 + 4) mod 7] + 1 (2)

Marian MaciochaMgr inż. elektronik (absolwent Politechniki Wrocławskiej)

oraz absolwent studiów podyplomowych na Wydziale

Matematyki Uniwersytetu Wrocławskiego.

47s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16

L I C E U M LO

Zadanie 1

Wielomian W(x) ma stopieƒ mniejszy od 2. Ile rozwiàzaƒ ma równanie (W(x) + 1)(W(x) + 2) = 0?

Zadanie 2

Punkt P = (1, 6) jest wierzcho∏kiem wykresu trójmianu kwadratowego f(x), który ma wartoÊç najmniejszà. Wyznaczyç sum´ rozwiàzaƒ rzeczy-wistych równaƒ:a) (f(x) – 8)(f(x) – 10) = 0,b) (f(x) – 3)(f(x) – 12) = 0.

Zadanie 3

Podaç przyk∏ad wielomianu W(x) takiego, ̋ e zbio-rem rozwiàzaƒ równania [W(x)] = 0 jest zbiór pi´cioelementowy. Liczba [a] oznacza cech´ a.

Zadanie 4

Podaç przyk∏ad wielomianów F(x) i G(x), które przyjmujà wartoÊci zarówno dodatnie, jak i ujemne oraz równanie F(x) = G(x) ma rozwiàzanie, nato-miast równanie F(x) = G(2x) nie ma rozwiàzania.

Zadanie 5

Wyznaczyç nieskoƒczenie wiele takich wielo-mianów W(x), ˝e równanie W(x) = W(W(x)) ma dok∏adnie jedno rozwiàzanie.

Michał Kremzer

Równania,nierównoÊciiichuk∏ady

Zadanie 6

Podaç przyk∏ad wielomianu W(x) takiego, ˝e równanie W(x) = sin(2x) ma roz- wiàzanie, a równanie W(x) = sin(x) nie ma rozwiàzania.

Zadanie 7

Podaç przyk∏ad wielomianu W(x) o wspó∏- czynnikach ca∏kowitych tak, aby równanie log(W(x)) = 0 mia∏o dok∏adnie cztery roz- wiàzania, których iloczyn wynosi 10 000.

Zadanie 8

Dla ka˝dego wielomianu W(x) wyznaczyç liczb´ ca∏kowitych rozwiàzaƒ równania W(x) + log(x) = log(2 – x).

Zadanie 9

Niech f, g: R -> R. Zbiorem rozwiàzaƒ nierównoÊci f(x) > 0 jest przedzia∏ <4, 8). Zbiorem rozwiàzaƒ nierównoÊci g(x) > 0 jest przedzia∏ (5, 10>. Wyznaczyç wszyst-kie mo˝liwe zbiory rozwiàzaƒ nierównoÊci:a) f(x)g(x) > 0,b) f(x) + g(x) > 0,c) f(x) – g(x) > 0,d) | f(x) – g(x) | > 0.


L I C E U MLO

Zadanie 10

Podaç przyk∏ad funkcji f: R -> R takiej, ˝e uk∏ad równaƒ:f(x + y) = 0f(x – y) = 0ma dok∏adnie cztery rozwiàzania.

Zadanie 11

Podaç przyk∏ad ograniczonej funkcji wymiernej F(x) takiej, ˝e równanie F(x) ma dok∏adnie trzy rozwiàzania.

Zadanie 12

Podaç przyk∏ad takiej funkcji f(x):a) ciàg∏ej w R,b) nieciàg∏ej w R,˝e w dowolnym niepustym przedziale otwartym istniejà liczby a i b takie, ˝e f(a)f(b) = –5.

ROZWIĄZANIA:

1. 0 lub 2 albo nieskoƒczenie wiele.

2a. 4.2b. 2.

3. W(x) = −(x + 1)2•(x + 2)2•(x + 3)2•(x + 4)2• (x + 5)2.

4. F(x) = 2x + 1, G(x) = x + 2.

5. W(x) = ax, a > 1.

6. W(x) = x 4 1r- +` j .

7. W(x) = (x – 4 )(x – 25)(x – 5)(x – 20) + 1.

8. Je˝eli W(1) = 0, to równanie ma jedno rozwiàzanie ca∏kowite; w pozosta∏ych przypadkach równanie nie ma rozwiàzaƒ ca∏kowitych.

9. A – zbiór rozwiàzaƒ nierównoÊci:a) ,, A B5 85 8 ,3 3^ ^h h ,

gdzie B = R \ <4, 10>,b) , A C5 8 3 3^ h ,

gdzie C = <4, 10>,c) D A E3 3 ,

gdzie D = <4, 5>, E = R \ <8, 10>,d) F G A R, 3 3 ,

gdzie F = <4, 5>, G = <8, 10>.

10. f(x) = x(x + 1).

11. F(x) = tt 12 +

, gdzie t = (x – 1)(x – 2)(x – 3).

12a. Nie ma takiej funkcji. Wskazówka: skorzystaç z twierdze-nia o lokalnym zachowaniu znaku.

12b. f(x) = 5 dla x wymiernego f(x) = –1 dla x niewymiernego

Michał KremzerAutor zadań i artykułów.

49s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16

M AT E M AT Y K A I N A C Z E J

K alejdoskopy zawsze budzi∏y zdumie-nie dzieci i doros∏ych. Tajemnicze urzàdzenia, skrywajàce kolorowe szkie∏ka i kilka luster, ods∏aniajà

przed nami cudowny Êwiat obrazów, pe∏en wielo-barwnych i symetrycznych wzorów. Jak powstaje obraz w kalejdoskopie, jak uzyskaç efekt kalejdo-skopu? Czy to tylko zabawa, czy mo˝e powa˝na matematyka? Zag∏´bimy si´ w niezwyk∏y Êwiat luster i obrazów, wykorzystujàc przy tym dost´pne oprogramowanie umo˝liwiajàce tworze-nie dynamicznych konstrukcji geometrycznych.

Zanim przejdziemy do tematu i zaczniemy komputerowe eksperymenty, warto zwyczajnie pobawiç si´ lustrami.

Wrzuçmy dowolny przedmiot pomi´dzy dwa prostokàtne lustra, z∏àczone pod pewnym kàtem i ustawione prostopadle do blatu sto∏u. Zmieniajàc ten kàt, zaobserwujmy, jak zmienia si´ uzyskany obraz w stosunku do kàta nachyle-nia luster. ̊ eby by∏o ciekawiej, mo˝emy umieÊciç wzorzysty rysunek pomi´dzy lustrami lub w dowolny, twórczy sposób zape∏niç p∏aszczyzn´ pomi´dzy nimi. W zale˝noÊci od ustawienia luster powinniÊmy ujrzeç fantazyjne, syme-tryczne rozety, podobnie jak w kalejdoskopie.

W nast´pnym kroku spróbujmy dodaç kolejne lustro. Jaki Êwiat ujrzymy w trzech lustrach,

zamkni´tych w kszta∏t graniastos∏upa? Jak dobraç kàty pomi´dzy lustrami, aby uzyskany obraz by∏ klarowny i ostry? Mo˝emy w ten spo-sób czyniç kolejne próby i badaç problem. Mo˝na rozdzielaç i rozchylaç lustra, mo˝na te˝ ustawiç je równolegle lub zwi´kszaç ich liczb´.

W kolejnych rozdzia∏ach przeanalizujemy dok∏adniej odbicia w lustrach ustawionych w ró˝ny sposób. WczeÊniej warto jednak dowiedzieç si´ czegoÊ wi´cej o samych kalejdoskopach.

Odrobina historiiPoczàtki wspó∏czesnego kalejdoskopu si´gajà

1816 roku, kiedy szkocki fizyk, matematyk i astro-nom, David Brewster (1781–1868), przeprowa-dza∏ optyczne badania nad polaryzacjà Êwiat∏a. Przypadkowo doprowadzi∏y one do budowy popu-larnego kalejdoskopu. Nadane przez Brewstera okreÊlenie „kalejdoskop” doskonale harmonizuje z jego przeznaczeniem. Pochodzi ono od grec-kich s∏ów: kolos (pi´kny), eidos (forma, obraz) i skopeo (widzieç), co znaczy∏oby „widzieç pi´kny obraz”. W 1817 roku badacz opatentowa∏ swój wynalazek, co okaza∏o si´ wyjàtkowym sukce-sem – w ciàgu zaledwie trzech miesi´cy w Lon-dynie i Pary˝u sprzedano ponad 200 000 kalej-doskopów. Poczàtkowo odkryty przyrzàd s∏u˝y∏

MagiaÊwiat∏ailusterElżbieta Stróżecka



celom naukowym, póêniej zaczà∏ pe∏niç roz-maite funkcje – radowa∏ dzieci, dostarcza∏ roz-rywki doros∏ym, inspirowa∏ artystów, którzy odnajdowali w nim projekty zdobnicze. Mania korzystania z kalejdoskopu obj´∏a wszystkie grupy wiekowe i klasy spo∏eczne. Ponad sto lat temu na dworze królowej Wiktorii w Anglii ulubionà rozrywkà by∏ zwyczajny kalejdoskop. Ju˝ w 1818 roku kalejdoskop pojawi∏ si´ w USA, a w 1819 roku zaw´drowa∏ do Japonii.

W najprostszej wersji kalejdoskop Brewstera by∏ pewnego rodzaju tubà, która zawiera∏a uk∏ad dwóch prostokàtnych, g∏adkich zwier-ciade∏, z∏àczonych wzd∏u˝ d∏u˝szej kraw´dzi, umieszczonych na g∏ównej osi tuby. Zwierciad∏a nachylone by∏y pod kàtem, który by∏ podzielni-kiem 360 stopni. Uk∏ad zwierciade∏ pozostawa∏ otwarty z jednej strony tuby, zaÊ z drugiej strony uk∏adu, dok∏adnie w wierzcho∏ku kàta wyzna-czonego przez kraw´dzie zwierciade∏, znajdowa∏ si´ tylko niewielki otwór dla oka. Patent Brew-stera doÊç dok∏adnie opisywa∏ budow´ kalejdo-skopu. Z biegiem czasu urzàdzenie by∏o „popra-wiane”. W instrumentach Charlesa G. Busha ze Stanów Zjednoczonych znalaz∏y si´ nad-zwyczaj barwne kawa∏ki szk∏a, w du˝ej cz´Êci wype∏nione cieczà z p´cherzykami powietrza, co dawa∏o niezwyk∏e wizualne efekty. Kalej-doskopy Busha uwa˝ane by∏y za najciekawsze w ca∏ym XIX wieku.

W miar´ up∏ywu czasu kalejdoskopy stawa∏y si´ pasjà i natchnieniem wielu ludzi. Od 1986 roku w Stanach Zjednoczonych funkcjonuje wyjàtkowa spo∏ecznoÊç – The Brewster Kale-idoscope Society. Skupia ona kolekcjone-rów i artystów, którzy tworzà kalejdoskopy jako dzie∏a sztuki, projektujà unikalne wzory, a tak˝e prowadzà galerie i sklepy zwiàzane z tà dziedzinà. Towarzystwo organizuje wystawy

i warsztaty dla dzieci i doros∏ych, daje mo˝liwoÊç kontaktu z pi´knem i uczestniczenia w tworze-niu czegoÊ unikalnego.

Kalejdoskopy kojarzymy najcz´Êciej z popu-larnym cylindrem i lustrem, jednak˝e znacznie cz´Êciej majà one kszta∏ty równie imponujàce i niezwyk∏e jak otrzymywane wzory. Mo˝na przecie˝ stosowaç zwierciad∏a p∏askie o ró˝nych kszta∏tach, zwierciad∏a wkl´s∏e czy te˝ wypuk∏e. W 1999 roku w Japonii, w mieÊcie Sendai, powsta∏o pierwsze muzeum kalejdoskopów. Znajdujà si´ tam kalejdoskopy zarówno histo-ryczne, jak i nowoczesne, o efektownym wzor-nictwie. Mo˝na dotknàç, popatrzeç, co majà do „zaoferowania”. Japonia jest wyjàtkowo aktywna na polu „sztuki kalejdoskopów”. Dzia∏a tam szeÊç muzeów kalejdoskopów, tworzy wielu artystów, organizowane sà mi´dzynarodowe wystawy. Czytelnik mo˝e odbyç wirtualny spa-cer po stronach internetowych i podziwiaç nie-zwykle wyszukane pi´kno wzorów, które tworzà si´ w równie niezwyk∏ych instrumentach.

Co widać po drugiej stronie lustra?Czy zastanawialiÊmy si´ kiedyÊ, czym jest

lustro? Jak rodzi si´ obraz w lustrze? Dlaczego nie mo˝emy oglàdaç swojej podobizny nawet w pozornie g∏adkiej kartce papieru? Chocia˝ sà to problemy z zakresu fizyki, ogólna analiza odbi-cia lustrzanego pozwoli nam lepiej zrozumieç cuda kalejdoskopu.

Z punktu widzenia fizyki lustro jest rodzajem p∏askiego zwierciad∏a, którego g∏adka powierzch-nia kierunkowo odbija Êwiat∏o widzialne. Ka˝dy z promieni padajàcych na takie zwierciad∏o odbija si´ od niego zgodnie ze znanà matematycznà zasadà, według której kàt padania jest równy kàtowi odbicia. Kàty te mierzymy w stosunku normalnej do powierzchni, poprowadzonej

51s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


w punkcie padania promienia, która wraz z tym promieniem i promieniem odbitym le˝y w jednej p∏aszczyênie. Obraz ka˝dego punktu powstaje na przed∏u˝eniu promieni odbitych, które przecinajà si´ w jednym punkcie. Odnosimy wra˝enie, ̋ e po drugiej stronie lustra, dok∏adnie w tej samej odleg∏oÊci od zwierciad∏a, znajduje si´ identyczna kopia przedmiotu. Tworzy si´ obraz pozorny, wirtualny, który jest symetryczny do obrazu wyjÊciowego wzgl´dem p∏aszczyzny lustra. Zobrazowano to na ryc. 1.

W odró˝nieniu od zwierciad∏a nawet najbar-dziej g∏adka kartka papieru jest na tyle chropo-wata, ̋ e padajàca na nià wiàzka Êwiat∏a rozpra-sza si´ we wszystkich kierunkach. Sprawia to, ˝e do naszego oka docierajà promienie z ka˝dego punktu takiej kartki i mo˝emy zobaczyç jej oÊwietlonà powierzchni´. Zwróçmy uwag´, ˝e w rzeczywistoÊci powierzchnia czystego lustra pozostaje dla naszego oka niewidoczna. Analizujàc powstawanie obrazów w kalejdoskopie, b´dziemy u˝ywaç pojćia wirtual-nego lustra, ale – w odró˝nieniu od pozornego

obrazu przedmiotu – b´dzie ono poza naszym widzeniem.

Na pierwszy rzut oka przedmiot i jego lus- trzany obraz sà identyczne. Je˝eli jednak zaczniemy uwa˝niej przyglàdaç si´ temu, co widaç po drugiej stronie lustra, stwierdzimy, ̋ e w od- ró˝nieniu od naszej praworćznej postaci nasza kopia sta∏a si´ leworćzna, prawoskr´tna Êruba sta∏a si´ lewoskr´tna, a wskazówki zegara poruszajà si´ w przeciwnà stron´. Wydawa∏oby si´, ˝e to obserwacje bez zna- czenia, okaza∏o si´ jednak, ˝e prowadzà do wa˝nych rozwa˝aƒ z zakresu chemii, fizyki i geometrii. Sà to kwestie zwiàzane z poj´- ciem chiralnoÊci, które nierozerwalnie wià˝e si´ z symetrià. Mieszkajàc na p∏aszczyênie, nie potrafimy na∏o˝yç prawej stopy na lewà, nie pomogà ˝adne translacje ani obroty; aby przekszta∏ciç jednà z nich na drugà, trzeba przejÊç do wy˝szego wymiaru. Nasze stopy, podobnie jak d∏onie, sà chiralne. Nie b´dziemy rozwijaç tych zagadnieƒ, sàdz´ jednak, ˝e ÊwiadomoÊç problemów zwiàzanych

t Ryc. 1. Konstrukcja obrazu w zwierciadle płaskim.



z pozornie banalnym odbiciem w lustrze mo˝e pog∏´biç nasze spojrzenie na obraz w kalejdoskopie.

Świat w kalejdoskopieNierzadko mo˝na us∏yszeç okreÊlenie, ˝e

dzisiejszy Êwiat zmienia si´ jak w kalejdosko-pie. Wskazuje si´ w ten sposób zaskakujàce, ró˝nicujàce przemiany, które przywo∏ujà na myÊl obrazy w kalejdoskopie. Spróbujmy zbli˝yç si´ do tej fascynujàcej ró˝norodnoÊci w obrazach, zrozumieç ich natur´, opisaç s∏owami to, co dyk-tuje oko.

Podró˝ w fascynujàcy Êwiat obrazów zaczniemy od dwóch jednakowych, prostokàtnych luster. Wyobraêmy sobie, ˝e – podobnie jak w kalej-doskopie Brewstera – mamy lustra z∏àczone kraw´dzià i ustawione pod pewnym kàtem; lustra mo˝emy rozchylaç tak, aby tworzy∏y dowolny kàt. Za∏ó˝my, ̋ e kàt pomi´dzy lustrami wynosi 60 stopni. Eksperymentujàc wczeÊniej z lustrami, zauwa˝yliÊmy, ̋ e obraz w kalejdoskopach tego typu powstaje w p∏aszczyênie prostopad∏ej do luster. Przedstawia to ryc. 2. Zaznaczono tam dwa lustra, L1 i L2, a tak˝e tzw. obszar bazowy pomi´dzy tymi lustrami, gdzie umieszczono zie-lone szkie∏ko w kszta∏cie trójkàta. Wprowadze-nie luster wirtualnych znacznie u∏atwia analiz´

obrazu. Przerywane granatowe linie na rysunku to lustra wirtualne L1’, L2’, L1’’, L2’’ – kolejne niewidoczne odbicia luster rzeczywistych. Tym sposobem pole widzenia zosta∏o podzielone na szeÊç jednakowych cz´Êci; w ka˝dej z nich powstaje jeden obraz przedmiotu.

Przy zmianie kàta pomi´dzy lustrami zmie-nia si´ liczba kopii odbijanego przedmiotu oraz liczba obszarów pola widzenia, która roÊnie wraz ze zmniejszeniem kàta pomi´dzy nimi. Zale˝noÊç pomi´dzy kàtem i obrazem nie jest jednozna- czna. Dla kàtów α, które sà podzielnikami 180 stopni, zale˝noÊç jest oczywista – liczba obra-zów to 360°/α – 1. Przepi´knà i czystà mozaikà zachwycajà najbardziej popularne kalejdoskopy, o kàtach nachylenia 30, 45, 60 lub 90 stopni. Inaczej b´dzie, jeÊli kàt α powstaje w wyniku podzia∏u kàta pe∏nego na nieparzystà liczb´ cz´Êci (72 lub 120 stopni) lub przy kàcie, który nie dzieli kàta pe∏nego (np. 50 stopni). Niezbyt z∏o˝onà ana-liz´ tego zagadnienia pozostawiam czytelnikowi.

Pojedynczy trójkàt nie jest zbyt atrakcyjnym obiektem, nie odzwierciedla pe∏nej symetrii obrazu w takim kalejdoskopie. Spójrzmy zatem na ciekawsze obrazy z komputerowego kalejdo-skopu, w którym kolorowych elementów jest ju˝ znacznie wi´cej.

Na ka˝dym z przyk∏adowych obrazów kalejdo-skopu uzyskany wzór przybiera form´ trzyramien-nej gwiazdy. Jest to zrozumia∏e z uwagi na spo-sób powstawania obrazu. Oglàdajàc podobne wzory w kalejdoskopie, powiemy, ˝e sà syme-tryczne. W jaki sposób opisaç ich symetri´? Które z matematycznych przekszta∏ceƒ p∏aszczyzny odwzorowujà przedstawione wzory na siebie?

Odpowiedê na te pytania jest prosta. ¸atwo zauwa˝yç, ̋ e na symetri´ mozaik z rycin 3, 4 i 5 sk∏adajà si´ trzy obroty p∏aszczyzny o kàty 120, 240 i 360 stopni wokó∏ Êrodka obrazu oraz odbicia

t Ryc. 2. Zielony trójkąt pomiędzy lustrami nachylonymi pod kątem 60 stopni.

53s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


lustrzane wzgl´dem trzech prostych tworzàcych pomi´dzy sobà kàty 60 stopni i przechodzàcych przez Êrodek obrazu. Uogólniajàc, sà to ope-racje symetryczne trójkàta równobocznego, czyli przekszta∏cenia, po których trójkàt b´dzie wyglàda∏ dok∏adnie tak samo jak poprzednio. Korzystajàc z bardziej formalnych okreÊleƒ, mo˝emy powiedzieç, ˝e wymienione opera-cje tworzà dwuwymiarowà grup´ diedralnà (ang. dihedral group), okreÊlonà symbolem D3. Sà to bardzo „popularne” grupy przekszta∏ceƒ – skrywajà je kwiaty i p∏atki Êniegu, sà te˝ wa˝ne z architektonicznego punktu widzenia. P∏askie obrazy, powstajàce w kalejdoskopie z∏o˝onym

z dwóch luster, stanowià ich doskona∏y model. Symetri´ kolejnej mozaiki z ryc. 6 opisujà przekszta∏cenia symetryczne kwadratu, które tworzà grup´ diedralnà rz´du 8, oznaczonà sym-bolem D4.

Kontynuujàc nasze rozwa˝ania, rozpatrzymy teraz najprostszy system trzech jednakowych, prostokàtnych zwierciade∏ z∏àczonych w kszta∏t graniastos∏upa. W p∏aszczyênie prostopad∏ej do tak ustawionych luster otrzymujemy pewien trójkàt. W przypadku trzech luster wirtualne lustra i odbi-cia wzgl´dem nich mogà mno˝yç si´ bez koƒca. Bez trudu mo˝na sobie wyobraziç trójkàtnà sieç wirtualnych luster pokrywajàcà ca∏à p∏aszczyzn´, a tak˝e poszczególne kopie szkie∏ek w ka˝dym „oknie” takiej sieci.

¸atwo si´ domyÊliç, ̋ e kàty pomi´dzy lustrami majà du˝e znaczenie dla obrazu. Okazuje si´, ˝e jedynie trzy trójkàty gwarantujà uzyskanie czy-stego, wyrazistego obrazu. Pominiemy w tym miej-scu nietrudne, matematyczne rozwa˝ania, które prowadzà do tego wniosku. Po przeanalizowaniu ryc. 7, 8 oraz 9 to stwierdzenie stanie si´ oczywiste.

Czy potrafimy sobie wyobraziç pe∏en efekt obrazu w kalejdoskopach z podanymi systemami luster? Popatrzmy na niezwyk∏e bogactwo wzo-rów z komputerowych kalejdoskopów trzylustrza-nych, z niewieloma kolorowymi trójkàtami ukry-tymi w ich wn´trzu.

t Ryc. 3, 4, 5. Obrazy z kalejdoskopu dwulustrzanego o kącie 60 stopni.

t Ryc. 6. „Efekt” kalejdoskopu dwulustrzanego o kącie 45 stopni



Sàdz ,́ ̋ e odnalezienie trójkàtnego obszaru bazo-wego w ka˝dym z przypadków nie b´dzie trudne. Znacznie trudniejsze b´dzie opisanie regularnoÊci ornamentów malowanych w kalejdoskopach.

W celu okreÊlenia rodzaju symetrii zdecydu-jemy si´ na terminologi´ zaproponowanà przez J.H. Conwaya w ksià˝ce „The Symmetries of Things”. Jest ona bardzo wygodna, poniewa˝

t Ryc. 7. Obraz pomiędzy lustrami tworzącymi trójkąt równoboczny.

t Ryc. 8. Obraz pomiędzy lustrami tworzącymi trójkąt o kątach 90, 45 i 45 stopni.

t Ryc. 9. Obraz pomiędzy lustrami tworzącymi trójkąt o kątach 90, 60 i 30 stopni.

t Ryc. 10. Mozaika z kalejdoskopu o trzech lustrach z kombinacją kątów 60, 60 i 60 stopni.




55s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Conway u˝ywa terminów, które odnoszà si´ do luster i kalejdoskopów. Linie symetrii orna-mentu nazywa on lustrami, a kalejdoskopy w tym nazewnictwie to punkty przecićia dwu lub wićej luster.

Przeanalizujmy teraz dok∏adnie symetri´ ryc. 12. Lustrami b´dà tutaj linie wyznaczone przez kraw´dzie luster rzeczywistych i wirtualnych kalej-doskopu, czyli przez linie trójkàtnej sieci z ryc. 9. Przedstawiony ornament ma trzy rodzaje luster, które odnoszà si´ do kierunków wyznaczonych przez boki bazowego trójkàta kalejdoskopu. Podob-nie mo˝emy w nim wyró˝niç trzy rodzaje kalejdo-skopów w rozumieniu Convaya, które odpowiadajà poszczególnym wierzcho∏kom tego trójkàta. Przecinajà si´ w nich odpowiednio: dwa lustra – Êrodek czerwonego rombu, trzy lustra – Êrodek ˝ó∏tego szeÊciokàta oraz szeÊç luster – Êrodek zielo-nej gwiazdy. W teorii grup symetrii oznacza si´ to symbolem *632 (według notacji Conwaya). Kalej-doskopy trzylustrzane o kàtach 60, 60 i 60 stopni tworzà wzory z grupy *333, a mozaiki z kalejdo-skopów o kàtach 90, 45 i 45 stopni nale˝à do grupy *442. Symbolika ta jednoznacznie okreÊla jednà z 17 dwuwymiarowych grup symetrii, nazywa-nych grupami tapetowymi (ang. wallpaper group).

Punkty zaliczone do kalejdoskopów sà jednoczeÊnie punktami, wokó∏ których mo˝emy dokonaç obrotów, które nie zmienià ornamentu; kàty obrotów okreÊla liczba przecinajàcych si´ luster. Aby dope∏niç opisu symetrii ornamen-tów z rozwa˝anych kalejdoskopów, nale˝a∏oby tak˝e rozwa˝yç mo˝liwe przesunićia oraz odbicia z poÊlizgiem. Z uwagi na ograniczonà obj´toÊç artyku∏u, pog∏´bienie tematu musz´ pozostawiç czytelnikowi. Mo˝na si´gnàç do Wiki-pedii, odnaleêç w niej has∏o „Wallpaper group” i przeÊledziç dok∏adne opisy grup: p4 mm, p3m1 i p6 mm, które według nazewnictwa u˝ywanego

w krystalografii, odpowiadajà (wg kolejnoÊci) grupom oznaczonym jako *442, *333 i *632.

Rozwa˝ane przypadki kalejdoskopów wraz z kalejdoskopem o systemie czterech luster tworzàcych graniastos∏up prawid∏owy czwo- rokàtny, wyczerpujà wszystkie standardowe modele kalejdoskopów.

W poszukiwaniu piękna obrazuNadszed∏ wreszcie czas na w∏asne ekspery-

menty. JeÊli dysponujemy programem do geo-metrii dynamicznej, który daje mo˝liwoÊç ani-macji obiektów, bez trudu mo˝emy uruchomiç produkcj´ obrazów z kalejdoskopu. To znacz-nie bardziej zajmujàce zajćie, ani˝eli wst´pna zabawa lustrami. W naszej „fabryce” wzorów wykorzystamy program Geometer’s Sketchpad.

Zaczynamy od narysowania bazowego trójkàta, w którym musimy umieÊciç pewnà liczb´ koloro-wych elementów; wystarczy kilka trójkàtów, aby uzyskaç ciekawy rezultat. Spójrzmy na ryc. 14.

Mamy na niej trójkàt o kàtach 90, 60 i 30 stopni. Na rysunku sà punkty ˝ó∏te i czer-wone. Punkty czerwone sà najwa˝niejsze – sà wierzcho∏kami pićiu kolorowych trójkàtów. Punkty ˝ó∏te to sta∏e punkty robocze. Punkty czerwone mogà poruszaç si´ w granicach swo-jej wolnoÊci, wyznaczonej przez pewne odcinki

t Ryc. 14. Obszar bazowy dla mozaiki z ryc. 12.



ograniczone ̋ ó∏tymi punktami. Trójkàt z ryc. 14 stanowi w zasadzie rozwiàzanie ca∏ej zagadki zwiàzanej z naszym komputerowym kalejdo-skopem. Wystarczy utworzyç trójkàtnà sieç z∏o˝onà z tak wype∏nionych trójkàtów, ukryç niepotrzebne elementy rysunku, dopracowaç efekt wizualny (przezroczystoÊç obiektów, t∏o kalejdoskopu) oraz uruchomiç funkcj´ anima-cji punktów wyró˝nionych czerwonym kolorem.

PrzedstawiliÊmy tylko jednà, ma∏o z∏o˝onà ide´, która mo˝e byç pomocna w opracowaniu komputerowego kalejdoskopu i mo˝e byç wyko-rzystana w pracy z uczniem. Naturalnie, takie obrazy to tylko namiastka tego, co mo˝na zobaczyç w dobrym kalejdoskopie. To doÊç wyidealizowany model – nie uwzgl´dniamy wspó∏czynnika odbi-cia, zak∏adajàc, ̋ e padajàce Êwiat∏o zostaje w pe∏ni odbite. Wykorzystany program nie daje mo˝liwoÊci ustawienia kamery ani podÊwietleƒ obrazu, bra-kuje tutaj ca∏ej gamy funkcji zwiàzanej z obróbkà obrazu. Ciekawe efekty mo˝na uzyskaç w progra-mach typu CAS (Computer Algebra System) czy te˝ w popularnym Photoshopie. JeÊli dobrze rozu-miemy proces powstawania obrazów w kalejdosko-pie i dobrze znamy mo˝liwoÊci naszego programu, mo˝emy na d∏ugo zagoÊciç w nierzeczywistym Êwiecie pi´kna.

Czy na pewno warto?DotarliÊmy w zasadzie do koƒca zaplanowa-

nych rozwa˝aƒ. Za∏o˝y∏am, ˝e ograniczymy si´ tylko do standardowych modeli kalejdosko-pów, których obrazy tworzà si´ na p∏aszczyênie. Ca∏kowicie pomin´liÊmy fascynujàce grupy kalej-doskopów, które dajà efekt przestrzenny – obrazy powstajà na sferze lub wieloÊcianie foremnym. Przedstawiony tekst ma byç jedynie wprowadze-niem w niezwyk∏y Êwiat obrazów, gdzie zabawa ∏àczy si´ z matematykà. Od nas samych zale˝y,

jak b´dziemy poruszaç si´ w tej wirtualnej rzeczywistoÊci. Na poczàtku artyku∏u czytaliÊmy, ˝e w przesz∏oÊci kalejdoskopy s∏u˝y∏y ró˝nym celom, fascynowa∏y cz∏owieka z wielu powo-dów. Ka˝dy musi sam zdecydowaç, czy warto poÊwi´ciç czas na zabaw´ matematykà – zabaw´, która uczy, pobudza i rozwija wyobraêni´, pog∏´bia wra˝liwoÊç na pi´kno, wycisza i relak-suje, daje wiele satysfakcji. Zach´cam do dalszej lektury, do poszukiwania ciekawych wizji arty-stycznych, do zg∏´biania nieco innej matema-tyki, która mo˝e byç bardziej przyjazna.

Na sam koniec popatrzmy jeszcze na kilka obrazów z programu MuPAD, który nale˝y do wspomnianego oprogramowania typu CAS. Aktualnie nie jest ju˝ samodzielnym progra-mem, sta∏ si´ cz´Êcià znanego Matlaba.

Uwaga: Wszystkie ilustracje wykonane zostały przez autorkę artykułu.

Li tera tura1. Convay J.H., Burgiel H., Goodman-Strauss C., The Symmetries of Things,

Wellesley Massachusetts, AK Peters Ltd, 2009. 1. 2. https://brewstersociety.com – dostęp 16.11.2015.3. http://www.waynesthisandthat.com/kaleidoscopes2.htm – dostęp

16.11.2015.4. http://www.thekaleidoscopebook.com – dostęp 16.11.2015.5. http://www.kaleidoscopes.jp/eng/exhibitions.htm – dostęp 16.11.2015.6. https://en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group – dostęp 16.11.2015.

t Ryc. 15. „Efekty” kalejdoskopu z programu MuPAD

Elżbieta StróżeckaEmerytowana nauczycielka gimnazjalna, ponadgimnazjalna i akademicka.

57s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Dwa kolejne wieloÊciany jednorodne symetrii szeÊciennooÊmioÊciennej sà do siebie zbli˝one budowà, gdy˝ utworzone sà na bazie szeÊcianu,

na którego Êcianach skonstruowano oktagramy – ryc. 1 i ryc. 2.

Utwórzmy wi´c na Êcianach szeÊcianu okta-gramy (ryc. 3), a nast´pnie w∏àczmy na chwil´ widok w promieniach Roentgena.

W tym celu uaktywniamy z menu Toolbars/ /Styles i wybieramy ikon´ X-ray (ryc. 4).

SzeÊcioÊcianrombowywielki–greatrhombihexahedron(wielkiszeÊcio-oÊmioÊcian)

t Ryc. 1 t Ryc. 2

Bronek Pabich



Widok w promieniach Roentgena umo˝liwi nam dostrze˝enie przenikajàcych si´ wielokàtów foremnych, które utworzy∏y si´ w wyniku wy- kreÊlenia szeÊciu gwiazd oÊmiokàtnych (okta- gramów).

Widzimy tam szeÊç kwadratów – cztery pio-nowe i dwa poziome – ryc. 5.

Ale nie sà to wszystkie przekroje kwadra-towe. Widaç jeszcze szeÊç kolejnych przekrojów

p∏aszczyznami nachylonymi do Êcian szeÊcianu pod kàtem 45°. Cztery z nich sà wyró˝nione na ryc. 6.

Utworzy∏y si´ równie˝ przekroje, które sà trójkàtami równobocznymi – dwa sà widoczne na ryc. 7. Jest ich osiem – tyle, ile szeÊcian ma naro˝y.

Wszystkie te wielokàty foremne przenikajà si´ wzajemnie. Na ich bazie mo˝na skonstruowaç dwa wieloÊciany.

t Ryc. 3 t Ryc. 4

t Ryc. 5 t Ryc. 6

59s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Pierwszy z nich to szeÊcioÊcian rombowy wielki. Przedstawia go ryc. 1.

Powstaje on natychmiast po wykreÊleniu w SketchUp wszystkich dwunastu przekrojów kwadratowych i usuni´ciu narz´dziem Erase wszystkich naro˝y szeÊcianu, a potem jesz-cze Êcianek, które tam si´ utworzy∏y. Na ryc. 8 widaç skutki usuwania naro˝y w górnej Êcianie szeÊcianu. Usuwamy równie˝ Êrodkowy odcinek ka˝dej kraw´dzi szeÊcianu, a˝ utworzà si´ tam trójkàtne zag∏´bienia.

WieloÊcian ten ma ∏àcznie 18 Êcian, w tym szeÊç oktagramów (oÊmiokàtnych gwiazd) oraz dwa- naÊcie przekrojów kwadratowych – dwa poziome, cztery pionowe i szeÊç ukoÊnych. To oznacza, ˝e do jego pomalowania potrzebnych jest siedem kolorów – szeÊcioma malujemy prze-kroje (Êciany) kwadratowe, a siódmym kolorem zewn´trzne oÊmiokàty gwiaêdziste.

SzeÊcioÊcian rombowy wielki posiada 48 kra- w´dzi oraz 24 wierzcho∏ki, co ∏atwo sprawdziç po wykonaniu go w programie SketchUp.

Drugim wieloÊcianem jednorodnym utwo-rzonym przez przekroje szeÊcianu jest wielki szeÊcio-oÊmioÊcian – ryc. 2. Jego Êciany tworzà si´ w wyniku przenikania szeÊciu kwadratowych oraz oÊmiu trójkàtnych przekrojów szeÊcianu. T́ bry∏´ ∏atwo dokoƒczyç, wychodzàc od konstruk-cji przedstawionej na ryc. 8. Wystarczy jedynie usunàç narz´dziem Erase naro˝a szeÊcianu oraz Êrodkowe odcinki na jego kraw´dziach.

Uka˝à si´ w nim wówczas wewn´trzne trójkàty równoboczne (ka˝dy zawarty w p∏aszczyênie odpowiedniego trójkàtnego przekroju) oraz trzy pi´ciokàty (ka˝dy zawarty w odpowiednim kwa-dratowym przekroju szeÊcianu) – ryc. 9.

t Ryc. 7 t Ryc. 8

t Ryc. 9



Do pomalowania wieloÊcianu wystarczy sie-dem kolorów. Trzy z nich (̋ ó∏ty, czerwony i ciem-noniebieski na ryc. 10) s∏u˝à do zamalowa-nia oÊmioÊcianów gwiaêdzistych, zawartych w Êcianach szeÊcianu bazowego. Pozosta∏ymi

czterema malujemy segmenty wspomnianych Êcian oÊmioÊcianu wewn´trznego. Zasada malo-wania polega na tym, aby tym samym kolorem wymalowaç elementy symetryczne wzgl´dem Êrodka bry∏y.

Na ryc. 10–12 pokazano sposób malowania Êcian tego wieloÊcianu.

Na ryc. 10 pokazano zasad´ malowania oÊmio-kàtów gwiaêdzistych trzema kolorami. Pozosta∏e trzy niewidoczne na rysunku Êciany malujemy odpowiednio symetrycznie tymi samymi kolo-rami. Z kolei na ryc. 11 pokazano cztery trójkàtne segmenty zielonej trójkàtnej Êciany oÊmioÊcianu foremnego znajdujàcego si´ w szeÊcianie. Tym samym kolorem malujemy trójkàtnà Êcian´ symetrycznà do niej wzgl´dem Êrodka szeÊcianu bazowego.

Na ryc. 12 ukazano pi´ciokàtne wyci´cia trój- Êcienne naro˝y wieloÊcianu, malowane tymi samymi kolorami co Êciany oÊmiokàtnych gwiazd – porównaj z ryc. 10.

Rysunki te u∏atwiajà obliczenie liczby wszyst-kich Êcian wieloÊcianu. Jest ich ∏àcznie 20, w tym szeÊç oÊmiokàtnych gwiazd, szeÊç kwadratów (dwa poziome i cztery pionowe) oraz osiem trójkàtów.

WieloÊcian ma 24 wierzcho∏ki (po dwa na ka˝dej kraw´dzi szeÊcianu bazowego) oraz 48 kraw´dzi (po szeÊç w szeÊciu Êcianach szeÊcianu bazowego i 12 pod jego kraw´dziami).

W kolejnym artykule pojawià si´ siatki tych dwóch wieloÊcianów jednorodnych w celu skle-jenia z nich modeli kartonowych.

t Ryc. 12

t Ryc. 11

t Ryc. 10

Bronek PabichWieloletni nauczyciel ZSZ w Wieliczce i nauczyciel akademicki – popula-

ryzator matematyki, pasjonat programów geometrii dynamicznej (CABRI,

GEOGEBRA, SKETCHUP, DPGRAPH), członek SNM. Jego strona internetowa

www.pabich.interklasa.pl istnieje od 1998 r. jako pierwsza polska strona

matematyczna z dynamiczną wizualizacją geometrii 3D.

61s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


Najbardziej znany jest romboÊcian z∏oty, którego Êcianami sà z∏ote romby – czyl i tak ie, w których stosunek przekàtnych wynosi:

1: φ ≈ 1: 1,618. Jest to z∏ota proporcja. Jak ka˝dy romboÊcian (z wyjàtkiem szczegól-nego przypadku – szeÊcianu) ma on dwie ró˝ne formy: wyd∏u˝onà i sp∏aszczonà – (ryc. 1).

Tadeusz E. Doroziński

OromboÊcianach–cz´Êç1

t Ryc. 1

RomboÊcian,zwanyte˝romboedrem,

jestszeÊcioÊcianem,któregoÊciany

stanowiszeÊçrombów.Nienale˝yon

dobardzoznanychipopularnych

wieloÊcianów,leczwarto

przyjrzeçmusi´dok∏adniej.



Zauwa˝my, ˝e w romboÊcianie wyd∏u˝onym w dwóch wierzcho∏kach stykajà si´ trzy romby wierzcho∏kami kàtów ostrych, a w sp∏aszczonym wierzcho∏kami kàtów rozwartych.

Innym znanym romboÊcianem jest rombo- Êcian, którego Êcianami sà romby, w których stosunek przekàtnych wynosi 1: √2 ≈ 1: 1,414. Ten nazywany jest cz´sto romboÊcianem srebr-nym (ryc. 2).

¸atwo mo˝na zbudowaç romboÊcian wyd-∏u˝ony z rombów, których kàty ostre wynoszà 60° – przez sklejenie oÊmioÊcianu foremnego i dwóch czworoÊcianów foremnych (ryc. 3). Z takich rombów nie mo˝na zbudowaç romboÊcianu sp∏aszczonego (dlaczego?).

RomboÊciany mo˝na te˝ generowaç, Êciskajàc lub rozciàgajàc szeÊcian. Matematycznie jest to

skalowanie w jednym kierunku. Mo˝na te˝ mówiç o dylatacji, o kontrakcji lub o powino-wactwie prostokàtnym.

Postawmy szeÊcian na wierzcho∏ku tak, aby przekàtna szeÊcianu by∏a pionowa. Teraz mo˝emy dokonaç skalowania w kierunku osi z. Wspó∏rz´- dne z wszystkich wierzcho∏ków pomnó˝my przez wspó∏czynnik (koeficjent) k, przy czym k > 0.

Dla k > 1 szeÊcian zostaje przekszta∏cony w romboÊcian wyd∏u˝ony (ang. prolate Rhom-bohedron), a gdy 0 < k < 1 – w romboÊcian sp∏aszczony (ang. oblate Rhombohedron). Przy-k∏ady mamy na rycinie 4.

Przyjmijmy 1 jako d∏ugoÊç kraw´dzi szeÊcia- nu i oznaczmy d∏ugoÊç kraw´dzi romboÊ- cianu przez a. Podczas skalowania d∏ugoÊç ta

t Ryc. 2

63s t y c ze ń/ l u t y 2 0 16


t Ryc. 4

t Ryc. 3



t Ryc. 5

zmienia si´ – zmniejsza si´ dla romboÊcianów sp∏aszczonych, a zwi´ksza dla wyd∏u˝onych. Ten drugi przypadek ma pewien ciekawy aspekt zwiàzany z teorià liczb naturalnych.

Otó˝ dla pewnych liczb naturalnych k rów-nie˝ a jest liczbà naturalnà. Zale˝noÊç mi´dzy wspó∏czynnikiem k a d∏ugoÊcià a mo˝na wyznaczyç, korzystajàc z ryciny 5.

Tadeusz E. DorozińskiMgr inż. architekt, były pracownik naukowy

Politechniki Wrocławskiej. Na swojej stronie internetowej

www.3doro.de zajmuje się głównie geometrią 3D.

Zale˝noÊç mi´dzy parametrami k i a wyra˝a wzór:

3a2 – k2 = 2

Traktujàc ten wzór jako równanie diofan-tyczne, otrzymujemy takie pary liczb natu-ralnych jako rozwiàzania:

k = 1 a = 1k = 5 a = 3k = 19 a = 11k = 71 a = 41k = 265 a = 153itd.

Liczby te tworzà dwa nieskoƒczone ciàgi liczb naturalnych. Oba ciàgi sà znane w mate-matyce. Na stronie internetowej http://oeis.org/ oznaczono je jako A001834 i A001835. Tam te˝ mo˝na dowiedzieç si´ wi´cej o w∏asnoÊciach obu ciàgów.

Pytanie

Dla jakich wartoÊci k szeÊcian zostaje przekszta∏cony w z∏ote i w srebrne romboedry?

Wi´cej o romboÊcianach w nast´pnej cz´Êci.

Czy zdałbyś dziś dawną maturę z matematyki?dopobrania.e-firma.pl/facebook/Matematyka.pdf ·...

Documents

Transcript of Czy zdałbyś dziś dawną maturę z matematyki?dopobrania.e-firma.pl/facebook/Matematyka.pdf ·...