Krakowiany

1. Mnożenie krakowianów

301c ;

3

5

2

b ;

416

232

021

a

Krakowiany można mnożyć jeżeli mają taką samą ilość wierszy.Rozmiar krakowiana wynikowego • ilość kolumn taka jak ilość kolumn pierwszego krakowiana• ilość wierszy taka jak ilość kolumn drugiego krakowiana

bac

cab

Kolejność mnożenia jest ważna

eba

dedbac

ZadaniePodaj wyniki mnożenia krakowianów

cb

32

43c ;

4

3

2

2

1

3

b ;

1

2

1

ad

a

64

45

32

43

12

7

32

43

4

3

2

2

1

3

1

2

1

d

bc

;

100

010

001

- ;

100

010

001

3

1

2

1

3

1

2

5

4

0

1

3

c ;

3

1

4

2

b ;

102

231

412

ad

a

r

3

1

4

2

3

3

4

121

125

013

102

231

412

d

3

1

4

2

25

3

10

23

13

3

7

18

17

3

8

13

164106112

2. Obliczanie pierwiastka krakowianowego

Aby obliczyć pierwiastek krakowianowy krakowian musi być symetrycznySchemat Banachiewicza

Oblicz pierwiastek krakowiana

1192

9136

264

a

schemat

a4 6 2

6 13 9

2 9 11

2 3 1

0 2 3

0 0 1

arrr

;

100

320

132

3. Obliczanie układów równań

Rozwiąż układ równań przy pomocy pierwiastka krakowianowego

schemat

r

a L

L’

1x

029922

013217

092

321

321

321

xxx

xxx

xxx

1 -1 2 -9

-1 17 2 13

2 2 9 -29

1 -1 2 -9

0 4 1 1

0 0 2 -6

x1 x2 x3 1

3

062

3

3

x

x

1

0134

014

2

2

32

x

x

xx

2

0961

092

1

1

321

x

x

xxx

Rozwiązać symetryczny układ równań liniowych stosując transformację Banachiewicza

4 -4 2 0 22

-4 20 -18 16 -102

2 -18 18 -18 94

0 16 -18 36 -102

1

1

3

2

4

3

2

1

x

x

x

x

3. Obliczanie odwrotności krakowiana symetrycznego

r

a

r-1

11211 )( rrra

Podstawowe informacje o błędach

Błędem prawdziym i, i-tej obserwacji li nazywamy różnicę między wartością prawdziwą L mierzonej wielkości, a wartością zaobserwowaną:

ii lL Błędem pozornym i, albo poprawką i-tej obserwacji nazywamy różnicę między wartością najprawdopodobniejszą L0 mierzonej wielkości, a wartością zaobserwowaną li

ii lL 0

W geodezji jako kryterium dokładności obserwacji przyjmuje się błąd średni

1-n

;

mn

m

Nn

m

Wzór ogólny na błąd średni

Pomiary nadmiarowe

Błąd średni średniej arytmetycznej

1

nnn

mM

m (błąd średni) Prawdopodobieństwo

Bł. średni m - 68,27%

Bł. przec. t 0,8 m 57,53%

Bł. prawd. r 0,67 m (2/3 m) 50,00%

Bł. gran. g 2 m 95,45%

Bł. gran. g 3 m 99,73%

Zaokrąglanie błędów końcowych

Jeżeli końcowy wynik obliczeń błędu (w) ma więcej niż jedną cyfrę znaczącą należy go odpowiednio zaokrąglić.Końcowy wynik błędu może mieć tylko jedną lub dwie cyfry znacząceNajpierw wynik zaokrąglamy do jednej cyfry znaczącej w górę i przeprowadzamy test.

%1001

w

wWT

Jeżeli T jest mniejsze niż 10% to wynik pozostawiamy z jedną cyfrą znaczącą W1Jeżeli więcej to wynik zaokrąglamy do 2 cyfr znaczących w górę

1W Wynik w zaokrąglony do jednej cyfry znaczącej w górę

][385m ];[2,44 ];[3473,0

][227652 ];[5,1385 ];[564,1233

V

321

21mmmmm

mVmSmS

SS

10% %98,3%100385

385400

10% %12,13%1002,44

2,4450

10% %17,15%1003473,0

3473,04,0

2

1

V

S

S

T

T

T

])[400227700(

];)[451386(

];)[35,056,123(

3

2

1

mV

mS

mS

Pewne obliczenia wykonano dwukrotnie, raz za pomocą arytmometru, a drugi raz za pomocą suwaka. Znaleźć średni błąd rachunku suwakiem w zastosowaniu do tych obliczeń.

A S

548,4 548

572,6 571

551,3 552

562,7 564

567,2 567

558,9 558

560,5 562

A S

548,4 548 +0,4

572,6 571 +1,6

551,3 552 -0,7

562,7 564 -1,3

567,2 567 +0,2

558,9 558 +0,9

560,5 562 -1,5

07,1

7

00,8

nm

%10%87%10007,1

07,12

Test:

1,1m

0,16

2,56

0,49

1,69

0,04

0,81

2,25

8,00

Pole pewnej figury pomierzono pięciokrotnie planimetrem uzyskując wyniki w metrach, zamieszczone w poniższej tabelce. Obliczyć najprawdopodobniejszą wartość pola i jej błąd średni

Pi[m2] vi[m2] vi2[m4]

9456   

52   

53   

55   

51   

Pśr=9453,4    

-2,6

1,4

0,4

-1,6

2,4

6,76

1,96

0,16

2,56

5,76

[v]=0 [vv]=17,20

][ 07,2

4

2,17

12

0 mn

vvm

Średni błąd jednokrotnego pomiaru pola

Średni błąd średniej arytmetycznej

][ 93,0 5

07,2 20 mn

mM

test

%10%7%10093,0

93,01

2)19453( mP

Pewien kąt pomierzono 10 razy uzyskując zamieszczone w poniższej tabeli wyniki. Wyznaczyć najprawdopodobniejszą wartość kąta, oraz jego błąd średni, przeciętny, prawdopodobny oraz graniczny

Obserwacje Obliczenia

  i v vv

1 39o38'27,2"    

2 31,4    

3 28,5    

4 26,3    

5 32,7    

6 30,6    

7 25,6    

8 29,8    

9 28,7    

10 28,8    

=39o38'28,96"    

1,76

-2,44

0,46

2,66

-3,74

-1,64

3,36

-0,84

0,26

0,16

[v]=0

3,098

5,954

0,212

7,076

13,988

2,690

11,290

0,706

0,068

0,026

[vv]= 45,104

"24,29

104,45

1

][0

n

vvm

m0= 2,24 34% 2,3”

t= 1,79 12% 1,8”

r= 1,49 34% 1,5”

g= 4,48 12% 4,5”

g= 6,72 4% 7”

test wynik

"7084,010

"24,200

n

mM

M0= 0,7084 13% 0,71

"71,0"96,28'38390

L1[m]

123.86

123.79

123.73

123.67

123.81

123.75

123.79

123.83

123.76

123.73

123.75

L1śr[m] 123.77

L2[m]

120.45

120.56

120.49

120.51

120.53

120.52

120.47

120.46

120.51

L2śr[m] 120.50

Pewne pomiary długości L1 i L2 wykonano jedną

taśmą i zestawiono wyniki pomiarów w tabeli. Oblicz

błąd pomiaru tej taśmy w zastosowaniu do tych

pomiarów.

 nr [m] v[m] vv[m2] v[cm] vv[cm2]

1 123.86 -0.09 0.0081 -9 81

2 123.79 -0.02 0.0004 -2 4

3 123.73 0.04 0.0016 4 16

4 123.67 0.1 0.0100 10 100

5 123.81 -0.04 0.0016 -4 16

6 123.75 0.02 0.0004 2 4

7 123.79 -0.02 0.0004 -2 4

8 123.83 -0.06 0.0036 -6 36

9 123.76 0.01 0.0001 1 1

10 123.73 0.04 0.0016 4 16

11 123.75 0.02 0.0004 2 4

  123.77  [v]=0 0.0282  [v]=0 282

1 120.45 0.05 0.0025 5 25

2 120.56 -0.06 0.0036 -6 36

3 120.49 0.01 0.0001 1 1

4 120.51 -0.01 0.0001 -1 1

5 120.53 -0.03 0.0009 -3 9

6 120.52 -0.02 0.0004 -2 4

7 120.47 0.03 0.0009 3 9

8 120.46 0.04 0.0016 4 16

9 120.51 -0.01 0.0001 -1 1

120.50   0.0102   102

[cm]Nn

vvm 4.618802

220102282][

0

%25,8%100618802,46118802,45 T

][05.0

][5

0

0

mm

cmm

Prawo przenoszenia się błędów pomiarów niezależnych i zależnych

n

xn

x

x

n

l

x

l

x

lx

l

m

m

m

x

l

x

lx

l

m

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

00

00

00

Jeżeli wielkość fizyczna jest wyznaczana za pomocą pomiarów innych wielości mierzalnych, to błąd wyznaczanej wielkości możemy wyznaczyć znając błędy poszczególnych pomierzonych wielkości ),...,,( 21 nxxxfl

Zapis krakowianowy

n

xn

x

x

n

l

x

l

x

lx

l

m

m

m

x

l

x

l

x

lm

2

1

2

2

2

2

1

21

2

00

00

00Zapis macierzowy

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

... xn

n

xxl mx

lm

x

lm

x

lm

Ten sam wzór

Dla pomiarów niezależnych

Dla pomiarów zależnych

n

xnxnxnxnxn

xnxnxxx

xnxnxxx

n

l

x

l

x

lx

l

mmmrmmr

mmrmmmr

mmrmmrm

x

l

x

lx

l

m

2

1

2

2211

22

2

22112

112112

2

1

2

1

2

Zadanie

Oblicz średni błąd kąta , wyznaczonego z sumy pozostałych dwóch kątów i trójkąta, znając błędy tych kątów m=10” i m=16”

1

180

"868,182561001610 22

2

2

2

2

m

mmm

"20

%6%100868,18

868,1820

m

test

Oblicz pole trójkąta oraz jego błąd wiedząc, że podstawa jest równa a= (377,7 +- 0,7)[m]; Wysokość h pomierzono 9 krotnie instrumentem o dokładności m0=1[m] i uzyskano średni pomiar hśr=288[m]

a

h

]54388,8[m][288][7,37721

21 2 mmhaP

][85,188][7,37721

21

][144][28821

21

mmahP

mmhaP

22

hav m

h

Pm

a

Pm

][334,031

9

1

][7,0

0 mn

mm

mm

h

a

][84,118

][334,085,188][7,01442

2222

mm

mmm

P

P

T>10%

]120[m54390 2P

Szerokość dna rowu wynosi a=1[m] z błędem średnim ma=0,2[m]; głębokość h=2[m], mh=0,2[m], a długość l=1000[m], przy czym ml=1[m]. Obliczyć objętość v tego rowu i jej błąd średni, jeżeli szerokość rowu w koronie jest równa b=3[m], mb=0,3[m].Wskazać wielkość, której błąd średni ma największy wpływ na dokładność wyznaczenia objętości

a

h

b

3400010002312/1

2/1

mv

lhbav

2

2

2

2

4242

1

2

1

2000100042

1

2

1

1000100022

1

2

1

1000100022

1

2

1

mhbal

v

mlbah

v

mlhb

v

mlha

v

2222

lhbav ml

vm

h

vm

b

vm

a

vm

34

2222222

2222

52,538 1029

4104103102

142,020003,010002,01000

m

mv

35404000

%11%10052,538

52,538600

mv

test

W celu wyznaczenia wysokości h1 wieży triangulacyjnej nad głowicą słupa, pomierzono odległość d oraz dwa kąty pionowe 1 i 2

Obliczyć błąd średni tej wysokości, jeślid = 40,00 m 1 = 28o05’ 2 = 2o32’md = 0,02 m m1 = 1’ m2 = 1’

Przyjąć’=3440’

mdh

mdh

tgtgd

h

tgtgdh

1,40998,0

40 ;

cos

4,51778,0

40 ;

cos

0,490 ;

2

2

2

1

1

2

1

1

211

211

mm

mm

m

m

h

h

h

2

2

24222

2222

102,2

10133,2

][1055,40117,0)0149,0(0098,0

'3440'11,40

'3440'14,51

02,0490,0

1

1

1

Obserwacje niejednakowo dokładne

Waga obserwacji:2

1

mp

Błąd średni obserwacji o wadze jedność

p

mm

p

mm

pm

n

pm

f

f

f00

00

;

1-n ;

kkf pl

f

pl

f

pl

fmm

1...

112

2

2

21

2

10

Błąd wielkości mierzonej

Prawo przenoszenia się błędów pomiarów niezależnych

niejednakowo dokładnych

Ogólna średnia arytmetyczna(średnia z wagami)

][ p

plX

Jeżeli wagi są identyczne

n

lX

Kąt pomierzono kilkakrotnie trzema różnymi metodami uzyskując wyniki zestawione w tabelce. Obliczyć najprawdopodobniejszą wartość kąta i jego błąd średni

I metoda II metoda III metoda

87040’29” 87040’31” 87040’28”

27 32 26

32 27 31

26 30 29

28 27

30

Najpierw musimy obliczyć najprawdopodobniejsze wartości kąta dla poszczególnych metod i średnie błędy tych wartości

l

29

27

32

26

28

87040’28,4”

v["] vv

-0,6

1,4

-3,6

2,4

0,4

[v]=0,0

0,36

1,96

12,96

5,76

0,16

21,20

I metoda

l

31

32

27

30

87040’30”

v["] vv

-1,0

-2,0

3,0

0,0

[v]=0,0

1,0

4,0

9,0

0

14,0

II metoda

"03,15

302,2

"302,24

2,21

0

0

n

mM

m

I

"08,14

16,2

"16,23

14

0

0

n

mM

m

II

l

28

26

31

29

27

30

87040’28,5”

v["] vv

0,5

2,5

-2,5

-0,5

1,5

-1,5

[v]=0,0

0,25

6,25

6,25

0,25

2,25

2,25

17,50

III metoda

"764,06

871,1

"871,15

5,17

0

0

n

mM

m

III

Następnie obliczamy wagi otrzymanych wartości najprawdopodobniejszych z poszczególnych metod odnosząc je np. do spostrzeżenia o średnim błędzie +- 1”

713,1764,0

0,1

8573,008,1

0,1

9426,003,1

0,1

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

2

2

2

2

0

III

III

II

II

I

I

M

mp

M

mp

M

mp

Mając obliczone wagi przystępujemy do wyznaczenia ogólnej średniej arytmetycznej oraz błędu średniego średniej arytmetycznej

li p pl v = L - li pv pvv

87o40’28,4”

87o40’30,0”

87o40’28,5”

[p]= [pv]=0,0

9426,08573,0

713,1

Dla ułatwienia obliczeń wydzielamy jakąś część wspólną średnich np.: 87o40’20”

3,513

7,918

8,573

14,562

8,4*0,9426=

31,054

Ogólna średnia arytmetyczna:"84,28'4087

513,3

054,31"20'4087 00 L

0,44

-1,16

0,34

0,41

-0,99

0,58

0,18

1,15

0,20

1,53

"8758,02

53,1

1

][0

n

pvvm 0,467"

513,3

"8758,0

][0 p

mM

Test:%7%100

467,0

467,05,0

"5,0 "8,28'4087 0

Obliczyć średni błąd pomiaru taśmą odcinka stumetrowego opierając się na wynikach wielokrotnych pomiarów odcinków A, B, C, podanych w tabeli

Odcinek Wyniki pomiarów

wielokrotnych

A

średnia

110,20

110,16

110,18

B

średnia

250,10

250,20

250,15

250,15

250,15

C

średnia

170,10

170,12

170,17

170,13

Błędy pozorne v

(w centymetrach)

[vv]ipi

5

-5

0

0

50

-2

2

8

3

1

-4

26

Przy pomiarach taśmą przyjmuje się proporcjonalność błędu średniego do pierwiastka z długości. Wagi będą więc odwrotnie proporcjonalne do długości, czyli przy przyjęciu wagi pomiaru odcinka stumetrowego za jedność otrzymamy:

588,0170

100

400,0250

100

909,0110

100

C

B

A

p

p

p

0,909

0,400

0,588

][ 66,26

56,42

39

588,026400,050909,080 cmm

[cm] 66,21

66,2

1100

100p ; 100

100

0

M

p

mM

Test:

%13%10066,2

66,23

[cm] 7,2M

l A l A l AI II III1 1 2 2 1 2 3 1 2 , , ,

.13 oraz 20,8 321 nnn

.1,1,1 332211 npnpnp

ZADANIE. Obliczyć najprawdopodobniejszą wartość azymutu boku poligonowego, średni błąd typowego spostrzeżenia oraz średni błąd wyrównanej wartości, mając trzy wyniki na azymut tego boku, otrzymane z trzech ciągów poligonowych

o ilości wierzchołków odpowiednio

Wyniki obliczonych azymutów boku 1-2 oraz przebieg wyrównania podano w tabeli

NrSpostrzeżenia li Wagi pi v pv pvv

1 120g30c 95cc

2 120 30 55

3 120 30 10

Suma

Ponieważ przy obliczeniu każdego z trzech azymutów boku brały udział wszystkie kąty każdego ciągu poligonowego, wobec tego dokładność (a więc i waga) obliczonego azymutu boku będzie zależna od ilości kątów, których użyto do obliczenia azymutu. Innymi słowy, waga każdego z tych trzech spostrzeżeń będzie odwrotnie proporcjonalna do ilości kątów:

,

W celu uproszczenia dalszych obliczeń wszystkie wagi pomnożono przez 10.

,6130120 cccg

p

plx

cc

n

pvvm 6,41

2

8,3465

10

mm

px

cc 0 41 6

1 5826 3

,

,, ,

.276130120 cccccgx

%10T

NrSpostrzeżenia li Wagi pi v pv pvv

1 120g30c 95cc 1,25 -34 -42,50 1445,00

2 120 30 55 0,50 6 3,00 18,00

3 120 30 10 0,77 51 39,27 2002,77

Suma 2.52 23 -0,23 3465,77

Pary spostrzeżeń

n

pdd

n

pddm

2

1

2

0

0

Średni błąd pojedynczej obserwacji o wadze jedność

Średni błąd podwójnego spostrzeżenia o wadze jedność

Z pomiaru długości uzyskano wyniki podane w tabeli. Jaki jest średni błąd podwójnego pomiaru odcinka długości 150 [m] a jaki 200 [m]

Zadanie

I pomiar II pomiar

125,182 125,186

122,365 122,386

111,413 111,451

93,637 93,684

99,178 99,180

117,410 117,414

110,536 110,534

107,413 107,381

96,337 96,301

104,438 104,454

125,358 125,404

154,175 154,170

d [mm]

4

21

38

47

2

4

-2

-32

-36

16

46

-5

pddD

p100

0,800

0,820

0,901

1,064

1,010

0,855

0,901

0,935

1,042

0,962

0,800

0,649

12,8

361,5

1300,9

2350,0

4,0

13,7

3,6

957,0

1350,0

246,2

1692,8

16,2

[pdd]=7955

[mm] 21,1824

79550 m

[mm] 87,1248

79550

Odcinkowi o długości 150 modpowiada waga:

667,0150

100150 p

Odcinkowi o długości 200 modpowiada waga:

5,0200

100200 p

][ 21,185,0

87,12

][ 77,15667,0

87,12

200

0200

150

0150

mmp

mmp

Test:

][ 16

][ 20

%9,9%10021,18

21,1820

150

200

mm

mm

Prawo przenoszenia się błędów pomiarów zależnych

Metodą biegunową wyznaczono współrzędne (x2=20,y2=5) punktu B i niezależnie (wcześniej) tą samą metodą współrzędne (x1=15,y1=10) punktu A (współrzędne punktu R uważamy za dokładne). Oznacza to, że x1,y1, są zależne - ich dokładność określa macierz kowariancji Cx1,y1 . Jednocześnie pomiary x2,y2, są też zależne - ich dokładność określa macierz kowariancji Cx2,y2. (Pary wielkości x1,y1 i x2,y2 są niezależne). Wyznaczyć błąd średni odległości l między punktami A i B.

09,0012,0

012,001,0

09,003,0

03,004,0

2,2

1,1

yx

yx

C

C

2 22 1 2 1( ) ( )x x y y

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

12

212

21 1 2 2

22

2

0 0

0 0.

0 0

0 0

x x y

x y y

x x y

x y y

xm m

m m ym

x y x y m mxm m

y

2

2

1

1

2

222

22

2

2

2

111

11

2

1

2

2

1

1

2

00

00

00

00

y

lx

ly

lx

l

mm

mm

mm

mm

y

lx

ly

lx

l

m

yyx

yxx

yyx

yxx

l

2

12

2

12

12

2

2

12

2

12

12

2

2

12

2

12

21

1

2

12

2

12

21

2

12

2

12

12

1 2

12

yyxx

yy

y

l

yyxx

xx

x

l

yyxx

yy

y

l

yyxx

xx

yyxx

xx

x

l

7,0717,0710681051520 222

12

2

12 yyxxl

-0,70711071,7

5

0,70711071,7

5

-0,70711071,7

5

0,70711071,7

5

0,7071-

0,7071

0,7071

0,7071-

09,0012,000

012,001,000

0009,003,0

0003,004,0

0,7071-

0,7071

0,7071

0,7071-

2

lm

0,0730

0,7071-

0,7071

0,7071

0,7071-

0,05515-

0,00141-

0,04243

0,00707-

2

lm

%11%1000,2702

0,2702-0,3

0,27020,0730

lm

0,287,07 l

Przykład. Wyznaczyć kowariancję i błędy średnie współrzędnych x2 i y2:

)sin(

)cos(

12

12

Qdyy

Qdxx

Dane:x1= 1,0 mx1= 0,2y1= 1,0 my1= 0,1mx1y1= 0,01d= 20,0 md= 0,4Q= 30o0’ mQ= 1’

11,005,0201

18,320,866025201

2

2

y

x

1 1 1

2 2 2 1 1 1

2 2

2 2 2

2 2

12

2 2 2 2 2 22 2

1 1 1 1, 2 2

2 2 2 2 2 2

21 1

2 2

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

x x y

x x y x y yx y

x y y d

x y

xm mx x x x x y

m m x y d m m y yy y y ym m x ymx y d d dm

x y

C

1 1 1

1 1 1

2 2

2

2

, 2

2

0 0 1 0

0 01 0 cos sin 0 1

0 1 sin cos cos sin0 0 0sin cos0 0 0

x x y

x y yx y

d

m m

m md

d md dm

C

cossin

sincos

cossin

sincos

10

01

000

000

00

00

22

22

2

2

2

2

2

2

111

111

111

111

dmdm

mm

mm

mm

ddm

m

mm

mm

dd

yyx

yxx

d

yyx

yxx

1 1 1

1 1 1

2 2

1 1 1

1 1 1

2

2

, 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 0 cos sin

0 1 sin cos cos sin

sin cos

cos sin sin cos sin cos

sin cos sin cos sin

x x y

x y yx y

d d

x d x y d

x y d y d

m m

m md

d m m

m d m d

m m m d m m m d

m m m d m m

C

2 2 2cosm d

022

2

0222002

2

002

002

2

002022

2

0222

30cos20'3440

'130sin4,01,030sin30cos20

'3440

'130sin30cos4,001,0

30sin30cos20'3440

'130sin30cos4,001,030sin20

'3440

'130cos4,02,0

0,750,1162790,2516,001,05,00,8660250,1162795,00,86602516,001,0

5,00,8660250,1162795,00,86602516,001,00,250,11627975,016,004,0

0,1372090,028932

0,0289320,210352,2 yxC

0,370418137209,0

0,4586421035,0

2

2

y

x

m

m

0,4

0,5

2

2

y

x

m

m