Wstęp do Fizyki Środowiska W11 1

Continuum

Opisując zjawiska makroskopowe, takie jak przepływ wody w glebie, nie możemy opisywać poszczególnych porów i ich geometrii,bo już jednym metrze sześciennym mielibyśmy ok. 1018

stopni swobody !! Musimy więc przejść do wartości średnich i traktowania ośrodka porowatego jako continuum.

W opisie mikroskopowym każdy punkt ośrodka należy do jednej z faz: stała frakcja gleby, jakaś ciecz lub gaz (zwykle powietrze).

Mamy więc 3 funkcje „indykacyjne”

Obejmują one olbrzymi zakres skal przestrzennych. Aby uzyskać bardziej użyteczne funkcje opisujące ośrodek dokonujemyuśredniania

Wtedy jest makroskopowym ułamkiem objętościowym fazy.

Podobnie otrzymujemy makroskopowe średnie dowolnej wielkości :

Funkcja wagowa musi spełniać

Najczęstszy wybór: 1) funkcja charakterystyczna kuli2) funkcja Gaussa

uśrednia po obszarze o promieniu Zaletą jest gładkość.

Wartości średnie zależą od wyboru

i . Jeśli jednak zwiększamy , todla pewnej wielkości przestają zależeć.Taki obszar nazywamy „representative elementary volume” (REV)

Wstęp do Fizyki Środowiska W11 2

REV

Rozmiar sześcianu [mm]

Gęstość próbki gleby uśredniana po sześcianachG

ęst

ość

uśr

ednio

na p

o s

ześc

ianie

Cała próbka pokryta została sześcianami o boku . Zbadano rozkład gęstości w funkcji długości bokusześcianu. Jak widać szerokość rozkładu szybko malejez długością boku. Z rysunku można ocenić, że dla tej gleby REV wynosi ok. 17mm.

Fluktuacje na skalach powyżej REV uznajemy za makroskopowe. Za wartości punktowe dla continuumprzyjmujemy wartości uśrednione po REV.

Tę średnia oznaczamy < >

średnia

kwartyle

wartość w punkcie

maksimum

minimum

http://ciks.cbt.nist.gov/~garbocz/isotherm/node3.htm

REV

średnia gęstość skały

typowa

porowatość (ułamek objętościowy porów)

( przyjmujemy za stałe)

nasycenie – szczególnie w odniesieniu do cieczy

ilość cieczy

Wstęp do Fizyki Środowiska W11 3

Parametry stanu, potencjał

Parametry określające stan elementu płynu

Do opisu przepływu wygodniejsze są potencjały niż siły. Definiujemy energię potencjalną elementu płynu,jako energie [potrzebna do przeprowadzenia do istniejącego stanu od pewnego stanu referencyjnego

Rozważamy najprostszy przypadek izotermicznego przepływu czystego płynu.Jedyny wkład do energii potencjalnej (na jednostkę objętości) pochodzi od grawitacji i różnicy ciśnień.

potencjał ciśnienia

potencjał grawitacji

Do tego się sprowadza potencjał w ośrodku nieściśliwym

Wstęp do Fizyki Środowiska W11 4

Rozważmy dwa płyny, wodę i powietrze, w sztywnym ośrodku porowatym, który jest zwilżany przez wodę. Ciśnienie atmosferyczne oznaczmy przez . Wodą związaną nazywamy wodę, w której panuje ciśnienie niższeniż w otaczającym powietrzu. Wodę, w której ciśnienie jest wyższe niż nazywamy wodą swobodną (wolną).

Z wodą związaną mamy zwykle do czynienia w glebie dobrze napowietrzonej na dostatecznie dużej wysokości nad zwierciadłemwody gruntowej. Woda gruntowa, to zwykle woda swobodna.

Uwaga: Podział na wodę związaną i swobodną utożsamia się często z podziałem na ośrodek nienasycony (strefa aeracji) i ośrodek nasycony (strefa saturacji). Nie jest to ścisłe. Pomiędzy strefami występuje skraj kapilarny gdzie ośrodek jest nasycony,ale woda jest związana.

Ujemne ciśnienie

Może się więc zdarzyć, że ciśnienie w wodzie będzie ujemne. Przy czym nie chodzi tu o spadek poniżej ciśnienia referencyjnego(np. atmosferycznego), a ujemną wartość ciśnienia bezwzględnego. Doświadczenia pokazują, że ujemne ciśnienie jest możliwe.Jeśli kapilara jest bardzo cienka, to woda może „znieść” naprężenia rozciągające. W większej objętości ujemne ciśnieniepowoduje kawitację. W bardzo małych objętościach powstawanie bąbla kawitacyjnego jest utrudnione. Wartość ujemnego ciśnieniamożna wnioskować z pomiarów odkształcenia ścianek kanału kapilarnego. W wyniku odkształcenia menisk przybiera skomplikowany kształt

Woda związana i swobodna

http://www.chem.ualberta.ca/~microtas/Volume1/004-52.pdf

Wstęp do Fizyki Środowiska W11 5

Wysokość hydrauliczna, bilans masyW związku z problemem ujemnych ciśnień w definicji potencjału zastępujemy ciśnienie

przez „potencjał matrycowy”, który jest ujemny dla płynu związanego, a dodatni dla swobodnego.

wody często oznaczamy ; wody często oznaczamy

Często wygodnie jest używać potencjału na jednostkę wagi, a nie na jednostkę objętości

WYSOKOŚĆ HYDRAULICZNA

Wysokość hydrauliczna Wysokość hydrauliczna matrycowa

Bilans masy

Bez źródeł Ze źródłami

Średnia gęstość wody Średnia prędkość wodyŚredni przepływ

BILANS

Wstęp do Fizyki Środowiska W11 6

Prawo DarcyBezwymiarowe r-nie Navier-Stokesa

Przepływ zmienia się tak powoli, że uznajemy go za stacjonarny.

Przyjmujemy, że

Równanie Stokesa

Równanie jest liniowe więc jeśli spełnia, to też spełnia

Wobec tego gdzie , a jest bezwymiarową funkcją skalarną

skala rozmiaru porów

R-nie Stokesa jest liniowe więc jest proporcjonalne do

ale nie muszą one być równoległe Prawo Darcy

tensor drugiego rzędu

TENSOR PRZEPUSZCZALNOŚCI

Wstęp do Fizyki Środowiska W11 7

1803 Dijon – 1858 ParisSkonstruował wodociągi miejskie w Dijon28 km rur pod ciśnieniem grawitacyjnym.

Eksperyment Darcy

Model ośrodka porowatego

Henry Philibert Gaspard Darcy

W ośrodku izotropowym mamy jeden skalar

prędkość Darcy’ego

tensor przewodności hydraulicznej charakteryzuje zarówno matrycę skalną jak płyn więc, np. formację geologiczną (skała - ropa naftowa, skała – woda, itp.)

Wstęp do Fizyki Środowiska W11 8

Właściwości ośrodka

dodaliśmy grawitację

Potencjał matrycowy odzwierciedla skok ciśnienia związany z napięciem powierzchniowym.

Wobec tego spodziewamy się, że istnieje zależność miedzy ułamkiem objętościowym obszaru nasyconego,

i potencjałem matrycowym. Definiujemy pojemność wodną ośrodka;

oraz relacje odwrotną:

Model gleby jako wiązki kapilar

W tym modelu charakterystyki rozkładupromieni kapilar można odtworzyćze zmierzonej funkcji

Wstęp do Fizyki Środowiska W11 9

ZadaniaW czasie gwałtownego opadu deszczu trwającego 1 godzinę 10 mm wody wsiąkło w piaszczystą glebę

Oblicz liczby Strouhala, Froude’a i Reynoldsa mikroskopowego przepływu wody w glebie.

Aby oszacować mikroskopową prędkość wody przyjmij, że infiltrująca woda wypełnia 1/3 objętości ośrodka (pozostała część ośrodka to matryca skalna i takie pory, które nie przepuszczają wody, np. zamknięte).

Za skalę długości mikroskopowego przepływu przyjmij rozmiar największych porów – 100 m.

Za skalę czasu „wymuszenia” przyjmij = 103 s

Lepkość kinematyczna wody wynosi = 10-6 m2s-1.

Pokaż, że równanie opisujące mikroskopowy przepływ wody z dobrym przybliżeniem sprowadza się dorównania Stokesa.