CIAGI FIBONACCIEGO

1. O Fibonaccim2. Ciągi Fibonacciego

3. Zagadka Fibonacciego4. Ciągi w przyrodzie

5. Ciekawostka

Grupa badawcza z Matematyki I LO NowogardOpiekun: Zbigniew Michalak

LEONARDO FIBONACCI

Znany jest również jako: Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego) czy Leonardo Pisano (z Pizy).

Kupiec i podróżnik z Pizy (swoje podróże zakończył około 1200r.) Matematyk epoki średniowiecza Wprowadził do europy cyfry arabskie Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego Autor słynnego zadania o królikach Autor „Liber Abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy

matematycznej (1202r.)

Kliknij aby powiększyć

ur. 1175r. - zm. 1250r.

CIĄGI FIBONACCIEGO Ciąg liczb nazywany ciągiem Fibonacciego tworzą liczby naturalne powstałe z sumy dwóch

poprzedzających je wartości.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 …

Dla przykładu liczba 5 powstała poprzez dodanie 2 i 3, liczba 8 to suma 5 i 3, 13= 8+5 itd.

Jeśli będziemy dzielić kolejne liczby w sekwencji przez liczby występujące przed nimi okazuje się, że za każdym razem otrzymamy wynik oscylujący wokół niewymiernej wartość 1,61803398875….. np. 21 podzielone przez 13 daje w przybliżeniu 1,618.

Dzielenie liczb z ciągu przez liczbę następną daje nam wartość 0,618…, czyli 13 podzielone przez 21 da mam w przybliżeniu 0,618.

0,618 jest więc odwrotnością 1,618.

Obie te właściwości znane są w geometrii jako złoty podział Zobacz !

Współczynnik 1,618033…. w średniowieczu został nazwany boską proporcją. Współcześnie spotyka się głównie dwie nazwy: złoty podział lub złoty środek. W algebrze oznacza się go grecką literą phi ɸ

Φ= 1,618

ZŁOTY PODZIAŁ ODCINKAPODZIAŁ HARMONICZNY, ZŁOTA PROPORCJA, BOSKA PROPORCJA

Złota podział polega na podziale odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ ).

Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka.

Liczby, które otrzymujemy w wyniku dodawania i/lub mnożenia A = 1,000000 cmB = 1,618033 cmC = 2,618033 cmD = 4,236067 cmwyznaczają długości kolejnych kości dłoni - oczywiście przy założeniu, że długość najkrótszej kości wynosi 1cm. Jednak niezależnie od długości kości, proporcje między nimi zawsze będą wyznaczone przez liczbę Fi = 1,618...

ZAGADKA FIBONACCIEGO

Ile par królików będziesz miał po roku jeżeli: Każda para staje się płodna po 2 miesiącach, Każda para rodzi jedna nowa parę co miesiąc, Króliki nigdy nie umierają ?

„Pewien człowiek wział pare królików i umiescił je w miejscu otoczonym ze wszystkich stron

murem. Ile par królików urodzi sie z tej pary w ciagu roku, jesli załozymy, ze z kazdej pary po

miesiacu rodzi sie nowa para, która staje sie płodna po upływie kolejnego miesiaca?”Liber abaci rozdział III.

Rozwiązanie!

1 miesiąc – 1 para

2 miesiąc – 1 para

3 miesiąc – 2 pary

4 miesiąc – 3 pary

5 miesiąc – 5 par

6 miesiąc – 8 par

7 miesiąc – 13 par

8 miesiąc – 21 par

9 miesiąc – 34 pary

10 miesiąc – 55 par

11 miesiąc – 89 par

ROK – 144 pary

Oto obraz graficzny pierwszych 5 miesięcy:

1

1

2

3

5

Z warunków rozmnażana się królików wnioskujemy, że w kolejnym miesiącu liczba par królików będzie równa liczbie par z poprzedniego miesiąca, gdyż króliki nie wymierają,

plus liczba par królików nowonarodzonych, a tych było tyle, ile dwa miesiące wcześniej. Zatem kolejna liczba Fibonacciego jest sumą dwóch poprzednich.

     Stosując oznaczenie na liczbę par królików w danym miesiącu, ten wniosek można zapisać w następującej postaci:

Fk = Fk-1 + Fk-2

CIĄGI W PRZYRODZIE Gdyby przyjrzeć się z bliska łuskom szyszki, ananasa, ziarnom

na tarczy słonecznika czy kwiatom kalafiora – można zauważyć, że układają się spiralnie, a ich przyrost również podlega regułom słynnego ciągu – wystarczy policzyć liczbę prawo- i lewoskrętnych spiral – pestki słonecznika czy różyczki kalafiora ułożone są wzdłuż logarytmicznych krzywych, które grupami biegną w różnych kierunkach, np., 34 lewoskrętne i 55 prawoskrętnych. A 34 i 55 to nic innego, jak liczby Fibonacciego ;)

CIEKAWOSTKA Liczby Fibonacciego

występuja również u człowieka, najbardziej popularnymi liczbami z ciągu Fibonaciego są 1, 2, 5. Dwie nogi, dwie ręce, pięć zmysłów, jedna głowa, pięć palców u rąk, podwójne organy: dwie nerki, dwa płuca, pojedyńcze organy - serce, wątroba itd. Zauważmy że nie znajdziemy tutaj raczej liczby 4 .

Dalej

Ciąg Fibonacciego był stosowany przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego rozkładania rytmu. Uważa się również, że liczby Fibonacciego są proporcjami części skrzypiec budowanych przez Antonio Stradivariusa. Ze złotych propocji Fibonacciego korzystał również Leonardo da Vinci w swoich dziełach.