CCáállccuulloo DDiiffeerreenncciiaall ee IInntteeggrraall ...

CCáállccuulloo DDii ffeerreenncciiaall ee IInntteeggrraall

Matemática

55ºº AAññoo CC óó dd .. 11 55 00 33 -- 11 66

PP rr oo ff .. BB EE tt ii nn aa CC aa tt tt aa nn ee oo PP rr oo ff .. MM ii rr tt aa RR oo ss ii tt oo

RR ee ss .. DD ee PP rr oo bb ll ee mm aa ss :: PP rr oo ff .. NN ee rr ii nn aa TT oo ss cc aa

DD pp tt oo .. dd ee MM aa tt ee mm áá tt ii cc aa

P O L I T E C N I C O 1

1. INTEGRAL INDEFINIDA

1.1. FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Definición: Se llama función primitiva o antiderivada de una función f a otra función P tal

que para todo x perteneciente al dominio de f se cumpla que P´(x) = f(x). Es decir:

Así:

P1(x)= x sen es una primitiva de f1(x) = x cos pues x cosx sen'

P2(x)= x arcsen es una primitiva de f2(x) = 2x1

1

pues 2

'

x1

1x arcsen

P3(x) = 3

x3

es una primitiva de f3(x) = 2x pues 2

'3

x3

x

Resuelve: 1) Determina una primitiva de cada una de las siguientes funciones y verifica tu

respuesta por derivación

a) xxx)x(h 3 b) 4xx5)x(g 34 c) 23 )5x()x(h

d) 2

34

x

6x3x)x(t

e)

3

3

t

15t)t(f f)

1x

x)x(g

2

2

2) Indica si cada una de las siguientes afirmaciones es V(verdadera) o F (falsa) .

Justifica tu respuesta.

a) Una primitiva de xex)x(f , es x2/3 ex2

3)x(P

b) Las funciones 2

2

x

1x)x(F

y 3log

x

1)x(G

2 son primitivas de una misma función.

c) Las funciones

x

3xln)e1(e)x(F xx y

x

6x2lne)x(G x son primitivas de

una misma función.

P es una primitiva de f P´(x) = f(x) x Domf

Cálculo Diferencial e Integral

Matemática


Observando las respuestas del ejercicio anterior, notamos que existen dos primitiva para la misma función. ¿siempre existirán dos o habrá más?. Si hay más, ¿existirá alguna relación entre ellas?

El siguiente teorema nos resuelve estos interrogantes.

TEOREMA Dos funciones P y H son primitivas de una misma función f, en el intervalo (a; b), si y sólo si

dichas funciones difieren en una constante real. En símbolos:

C b a;x ;C)x(H)x(Pb) (a; en f de primitivas H y P

Observación: en el teorema hay un si y sólo si, por lo tanto tendremos que demostrar la ida y la vuelta del mismo.

) )

H) P(x) y H(x) primitivas de f en (a; b) H) C)x(H)x(P con C

T) C)x(H)x(P con C T) P(x) y H(x) primitivas de f en (a; b)

Demostración (para la ida y la vuelta):

)3()2(

)1(

)1(

0)x´(H)x´(P

)x(f)x´(Hb ;aen)x(fdeprimitivaes)x(H

)x(f)x´(Pb ;aen)x(fdeprimitivaes)x(P

C con C)x(H)x(P0´)x(H)x(P)4()3(

(1) Por definición de primitiva (2) Restando miembro a miembro (3) Por propiedad de la derivada de suma de funciones (4) Por propiedad de la derivada de una función constante

Nota: El teorema anterior nos permite afirmar que si f tiene una primitiva P, en realidad tiene

infinitas primitivas, pero tales que dos cualesquiera de ellas, difieren en una constante arbitraria real C.-


Problema resuelto

Encuentra tres primitivas de la función f(x)= x cos

Resolución:

Tres primitivas de la función f(x)= x cos podrían ser P1(x)= 3 x sen ; P2(x)= 2e x sen ;

P3(x)= 1 x sen pues

xcos1 x sene x sen3 x sen''2'

1.2. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN

Definición: Al conjunto de todas las primitivas P(x) + C de f, se lo llama integral

indefinida de f y se simboliza dx )x(f (esta expresión se lee «integral de efe de equis

diferencial de equis») Es decir:

f(x) ' C P(x) C P(x) dx )x(f

En dicha expresión, convenimos en llamar:

símbolo integral

f función integrando

C constante de integración

Observaciones:

Resolver una integral indefinida, consistirá en calcular todas las primitivas de f.

Diremos que una función f es integrable si existe la función P(x) tal que

C P(x) dx )x(f

Poblemas resueltos

1) Calcula las siguientes integrales indefinidas

a) dx ex

Resolución:

Puesto que una primitiva de f(x)= xe es P(x) = xe , entonces

Cedx e xx

b) dx x2

Resolución:

Una primitiva de f(x)= 2x es P(x)= 3

x3

, entonces

C3

xdx x

32


Matemática


c)

dx x1

t

2

Resolución:

Una primitiva de f(x)=2x1

1

es P(x)= xarctan y como t es una constante (pues la

variable es x), entonces

Cxarctan tdx x1

t2

Para pensar

Justifica la siguiente afirmación:

“La integral indefinida representa un conjunto de funciones cuyas gráficas constituyen una familia de curvas paralelas entre sí, a lo largo del eje y”

Problema resuelto

Calcula la primitiva de f(x) = 2x que pase por A(0; 1) Resolución:

1 x P(x) 1 C 1 C 0 C xdx x2 22(1)

2

(1) pues A(0; 1) pertenece a una de las infinitas funciones de la forma Cx2

1.3. INTEGRALES INMEDIATAS

Se denomina integrales inmediatas a todos los resultados obtenidos en forma directa

teniendo en cuenta la definición de integral indefinida y utilizando la derivación de funciones elementales. La siguiente tabla, llamada tabla de integrales inmediatas, muestra dichos resultados, que serán necesarios aprender si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas.

C x dx C x cos - dx x sen

-1n , C x1n

1 dx x 1nn

C x tan dx

x cos

1

2

C x ln dx x -1 C x cotan - dx x sen

1

2

C x sen dx x cos C sec x dx x cos

xsen

2

C cosec x - dx x sen

xcos

2 C e dx e xx

1a y 0a ,C a a ln

1 dx a xx

C x tgarc dx

x 1

1

2

C x arcsen dx

x- 1

1

2 C x arccos dx

x- 1

1-

2


Problemas resueltos

1) Calcula las siguientes integrales

a) dx x4

Resolución:

C5

xC

14

xdx x

5144

b) dx x

1

5

Resolución:

C4x

1C

4-

xC

15-

xdx xdx

x

1

4

-41-55

5

c) dx x x 32

Resolución:

Cx9

2C

2

9

xC

12

7

xdx x dx x xdx x x 9

291

27

27

23

232

d) dx 3x

Resolución:

C3 ln

3dx 3

xx

2) Prueba que

a) Cxln x

dx

Resolución:

Para demostrar dicha igualdad basta con verificar que x

1xln

'

Sugerencia: utilizar para derivar 2xx

x

xx

x2x2x

xlnxln222

'2' 1

1

1

1


Matemática


Observación: si en lugar de tener xln , tendríamos ln x, la fórmula sólo da la primitiva 0x .

Al operar con xln , función par con derivada x

1 en todos los reales excepto en 0, se tiene mayor

dominio de validez.

b) Cx1

x1ln

2

1

x-1

dx2

Resolución:

Para demostrar dicha igualdad basta con verificar que 2

'

x-1

1

x1

x1ln

2

1

Sugerencia: utilizar para derivar

2

x1

x1

x1

x1

222

'2'

x1

1x1x1

x1

x1 2

x1

x12

1

x1

x1

1

2

1

x1

x1ln

2

1

x1

x1ln

2

1

2222 x1

1

x1

2

x1

x1

2

1

x1

1x1x1

x1

x1

x1

x1

1

2

1

Por lo tanto, podemos concluir que:

Cx1

x1ln

2

1

x-1

dx2

xln)x(f

x

y

0 1 -1


1.3.1. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA En las propiedades que se enuncian a continuación el símbolo D significa derivada

P1. Si f es integrable f(x) dx f(x)D

Demostración

C P(x) dx )x(f(1)

)x(fCDP(x) DC P(x) Ddx )x(fD )4(y)3()2(

(1) f es integrable (2) La derivada de la suma es la suma de las derivadas

(3) P(x) es una primitiva de f(x) )x(f)x(PD

(4) C es una constante 0CD

Ejemplo:

5x tg dx 5x tgD

P2. Si f es derivable Cf(x) dx Df(x)

Demostración

Derivando el segundo miembro (f es derivable) resulta:

egrandoint f unción

)2()1(

)x(fDCD)x(fDCf(x)D

(1) La derivada de la suma es la suma de las derivadas

(2) C es una constante 0CD

Ejemplo:

C 5x tg dx )5x tg D(

P3. Si f y g son integrables βα, condx g(x)β dx (x)fα dx ) βg(x) αf(x) (

h

Esta propiedad recibe el nombre de Propiedad Lineal de la Integral Indefinida. Demostración

Si la propiedad es cierta entonces bastará probar que

h

βg(x) αf(x) dx g(x)β dx (x)fαD

h

(3)(2)(1)

βg(x) αf(x) dx gDβdx fDα dx gβDdx fαDdx gβ dx fαD

(1) La derivada de la suma es la suma de las derivadas (2) La derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de

la función (3) Propiedad anterior P1


Matemática


Ejemplo:

dx senx 6 dx x 5 dx senx) 6- x(533

Casos particulares: Completa en cada caso teniendo en cuenta P3:

a) Si 0 resulta .................................

b) Si 1 resulta .............................

1.4. INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN

Este método consiste en la aplicación de la propiedad lineal (P3), transformando una

integral compleja en varias inmediatas:

Problemas resueltos

1) Calcula las siguientes integrales aplicando el método de descomposición

a) dx ) x 5 x4 - x sen (2 2

Resolución:

C

3212

33

2122

)5C 4C - C (2 x3

10 x

3

4 - x cos 2-

dx x 5 dx x 4 dx x sen 2 dx ) x 5 x4 - x sen (2

Observación: Los ejercicios serán concluidos con una única C al final, sin considerar las operaciones algebraicas de constantes previas

b)

dx x ·2 4 e -

x 1

2 x3 31x2

2

21-

Resolución:

C x4

3 2

2 ln

4 x e - x tgarc 2 x6 dx x ·2 4 e -

x 1

2 x3 34x22131x2

2

21-

c) dx 2 x22

Resolución:

Cx4x3

4x

5

1

dx 4dx x4dx xdx 4x4 xdx 2 x

35

242422


d) dx x 1 x22

Resolución

Cx11

2 x

7

4 x

3

2

dx x x2 xdx x2x 1 xdx x 1 x

211

27

23

29

25

21

422122

e)

dx x

25x-x

3

24

Resolución:

Cx

1xln 5-x

2

1dx 2x5x-xdx

x

25x-x

2

23-1-

3

24

Problemas

3) Analiza la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justifica tu respuesta

a) dxxxdxdxxx 44

b)

xdx

dxxdx

x

x33

c) Si 4x)x(g , las primitivas de g(x) son C5

x)x(G

5

d) Si 32 )1x()x(f , las primitivas de f(x) son C)1x(4

1)x(F 42

e) Si xcos)x(h , las primitivas de h(x) son Csenx)x(H

f) Si 3xcosx)x(f 4 , las primitivas de f(x) son Csenx5

xF(x)

5

g) Si xcosx)x(g 4 , las primitivas de g(x) son Csenx5

x)x(G

5

h) Cttcosdt)t3sent( 32

i) Cx4

3xlndxx

x

5 3/43

j) C5x43

1dx5x4

3222

k) C)x(sendx)xcos( 33

l)

C2

)x(fdx)x('f)x(f

2


Matemática


4) Calcula las siguientes integrales

a) dx)4x( 2 g) dx)excos4( x

b) dx)8x8( 8x h) dx)x

1x3x5( 3

c) dx)1x2( 22 i) dx)2x( 32

d) dx)x2x(x 32 j) dx)x/1x( 2

e) dyy)1

y

1y(

5 k)

dx

x

x3x2

f)

dxx

xx2 32

5) Determina

a) )x(g si x2x8)x('g 3 y 0)1(g

b) )x(f si 2e)x('f x y 5)0(f

c) )x(h si 8x12x24)x(''h 2 , 8)0(h y 2)1(h

6) Grafica todas las funciones f(x) tales que 2x3)x('f y 8)2(f

7) Una partícula se mueve en línea recta con velocidad t3)t(v y su posición inicial es

m 5)1(s . Determina su posición en función del tiempo )t(s .

8) Una partícula se mueve en línea recta y tiene aceleración .4t6)t(a Su velocidad inicial

es cm/s. 6)0(v

a) Sabiendo que su posición inicial es s(0) = 9 cm, determina su posición s(t) b) Encuentra la velocidad en función del tiempo, v(t) y calcula la velocidad media entre t = 2

s y t = 4 s

9) Determina, en cada caso, f(x) sabiendo que

a) es continua en su dominio; 1)0(f y la siguiente gráfica es la de (x)'f


b) es continua en [0; 3]; 1)0(f y la siguiente gráfica es la de (x)'f

10) Una partícula se mueve con función aceleración senttcos)t(a . Su velocidad inicial es

cm/s 5)0(v y su posición inicial es cm. 0)0(s Determina su posición después de t

segundos.

11) Determina la función f(x) cuya gráfica pasa por el punto (1, 6) y la pendiente de su recta

tangente en cada punto ))x(f,x( está dada por la función 1x2)x(g .

12) Resolviendo las integrales, demuestra las siguientes igualdades.

a) 2 2 1sec x 5(1 x ) dx tgx 5arctgx C

b) Ct22

e

2

edt)ee(

t2t22tt

c) C5

z2

7

z3zdz)zz(

2

5

3

7

3

d) Cy7

4dyyy 4/7

e) Cw2w3

2dw

ww

1w 2/12/32

f)

2

2

x 2dx x arctgx C

x 1

g) Carctgyydy1y

y

2

2

h)

C4/x3/x2/xxdx

x1

x1 4324

i) C1z

1zdz

)1z(

z2z

2

2

j)

dx)x1

3

xcos

2(

22=2tgx-3arctgx+C

k) dx)xx)(2x( 3/4 = C2

x

3

x4

7

x6

17

x6 22

3

3

7

6

17


Matemática


1.5. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

Hasta aquí, hemos resuelto integrales sencillas y/ o inmediatas. Cuando la integral a

calcular no es de alguno de estos tipos, se recurre a los métodos de integración. En este curso, sólo desarrollaremos dos de ellos, sustitución (cambio de variable) y

partes.

Antes de comenzar con los métodos, presentamos un concepto que será de utilidad en el desarrollo de los mismos.

Diferencial de una función

Definición: Sea y = f(x) derivable en el intervalo (a; b). Si x y xx son dos puntos

arbitrarios de b ;a , llamaremos diferencial de la función f(x) y lo notaremos df(x), al producto

de la derivada de f(x) por un incremento de la variable x , es decir :

x · (x)' f df(x)dy (1)

Ejemplos:

Si:

a. x sen)x(f , entonces x x cosx send)x(df

b. 3x)x(g , entonces x x3xd)x(dg 23

c. x)x(h , entonces xdx)x(dh (2)

Si reemplazamos (2) en (1), resulta :

dx · (x)' f x · (x)' f df(x) dy (3)

Es decir, el diferencial de una función f(x) es igual al producto de la derivada por el diferencial de la variable independiente. De (3) surge:

dx

dy)x('f)x(Df (recordar que D significa derivada)

de modo que la derivada de una función puede ser considerada como la relación entre el diferencial de la misma función y el diferencial de la variable independiente.


Interpretación geométrica del diferencial de una función

Recordemos además que la recta tangente en el punto 00 xf ;xP tiene por ecuación:

000 xx).x('f)x(fy

Como Q pertenece a la recta anterior tendremos:

000Q xx . )x('f)x(fy

de donde

x

)x(fy

xx

)x(fy)x('f

0Q

0

0Q0

teniendo en cuenta la definición de diferencial (1) obtenemos:

)x(fyx . x

)x(fyx . )x('fxdf 0Q

0Q00

Luego , si 0x

)d)x(fxxf 00 0f(x (4)

Aplicación Una aplicación en la cual se utiliza la fórmula (4) es para la aproximación de valores de funciones.

Por ejemplo, si deseamos conocer un valor aproximado de 05,1 ln sin el uso de la

calculadora, procedemos de la siguiente manera:

Consideremos la función x ln)x(f . Si tomamos 1x0 y 05,0x (valor pequeño), la

expresión (4) resulta:

05,00,05 1

1 1 ln05,1 ln1df)1f()05,01f(

O

¿df(x)?

0x x

y

P

Q

f(x)

f(x)

x

xx0

)x(f;xP 00

)x(f;xxT 00

Q0 y;xxQ

PQ: recta

tangente en P T


Matemática


Es decir, podemos aproximar el valor del 05,1 ln , siendo 0,04879 el valor encontrado con

la calculadora.

Problemas

13)

a) Determina gráficamente 0xdf y 00 xfxxf)x(f

b) Completa la relación de orden entre 0xdf y )x(f en cada uno de los siguientes casos:

i)

ii)

14) Utilizando la expresión (4), calcula el valor aproximado de:

a) 03,4

b) º31 sen

c) 05,0e

O 0x

x

y

P

Q

f(x)

x

xx0

P 0xdf ........ )x(f

xx0 0x

P

Q

x

0xdf ........ )x(f

x

y


1.5.1. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

Notemos que si y = F(u) con u = g(x) , por la regla de la cadena :

dx

d F [g(x)] = F’ [g(x)] · g’(x)

d(F(g(x)) = F´(g(x)) . g´(x) . dx = F´(g(x)) . dg(x) Integrando miembro a miembro y aplicando la propiedad P2 de la integral indefinida resulta

d(F(g(x))= F´(g(x)) . g´(x) . dx .

(5)

Llamaremos:

En muchas ocasiones se nos presentarán integrales en las que teniendo en cuenta la expresión (5) y efectuando una elección oportuna de la función g(x) , la misma resultará fácilmente calculable. Para lograr dicho objetivo se presenta una posible estrategia de resolución. Estrategia de integración por cambio de variable o sustitución

1) Por inspección del integrando elegimos una g(x) que llamaremos u, es decir g(x) = u

(sustitución). En muchos casos será la parte interior de una potencia, de una raíz, de un logaritmo, etc.

2) Rescribimos la integral original planteada, en términos de u. Recordando que:

u = g(x) du = dg(x) = g’(x) dx

3) Calculamos la integral en u resultante.

4) Expresamos el resultado obtenido en la variable inicial, sustituyendo u por g(x).

C)x(gF)x(dg·)x(g'Fdx)·x('g·)x(g'F

FUNCIÓN INTERIOR

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INTERIOR

PRIMITIVA DE f

FUNCIÓN EXTERIOR

C)x(gF)x(dg·)x(g'Fdx)·x('g·)x(g'F


Matemática


Observaciones: El procedimiento de selección de u depende de cada caso . Se trata de simplificar

la forma de la función integrando, transformándola en inmediata.

En lugar de u suelen utilizarse algunas de las últimas letras del abecedario.

Problemas resueltos

1) dxx.)x3( 475

Cx340

1Cu

40

1C

8

u

5

1

du.u5

1

5

du.udxx.)x3(

8588

77475

2)

x1

dx I

C 1 x ln 2 - x 2 C 1t ln 2 - t 2

dt 1t

1 - 1 2 dt

1t

1-1t 2

t1

dt 2t I

3)

u u

du I

4121

C 1 u ln 4 u 4 - u 2 C 1 w ln 4 w 4 - w2

dw 1w

1 1 - w 4

1w

dw w 4

w w

dw w4 I

442

2

2

3

Problemas

15) Demuestra las siguientes igualdades

a) x x xe cos(e )dx sen(e ) C b) senx senxe cosxdx e C

c) 4 51sen x cosx dx sen x C

5 d)

2x

2x1x4 dx 4 C

2ln4

e)

xx

2x

edx arctg e C

1 e

f) tg x

tg x

2

edx e C

cos x

Sustitución

ux3 5

dux3d 5

dudxx5 4

5

dudxx4

Sustitución 2tx

2tddx

tdt2dx

Sustitución 4wu

4wddu

dtw4du 3


g) 3

2 3 3 224x 4x 5dx 4x 5 C

9 h) cxcoslnxdxtan

i) 21senxcosxdx sen x C

2 j) 2 31

cos x senx dx cos x C3

k)2

3

3

x 1dx ln 5 x C

35 x

l)

5 32 2

2x x 3 dx x 3 2 x 3 C

5

m) 1

2 2

2

udu 2 u C

2 u

n) C3

x3arcsen

x3

dx

2

o)2

dx 5 5arctg x C

5 55 x

p) 2

2

6lnx dx 3ln 3 ln x C

x(3 ln x)

q) 8x 2 8x 21e dx e C

8

r) 3z 3z19 dz 9 C

3ln9

s)2

3

3

x 2dx 1 x C

31 x

t) 101

3 4 100 41x (1 x ) dx 1 x C

404

u)

dx2 arctg x C

1 x x

v)

32

2senx cosxdx cosx C

3

w)x

xe 1dx 2e 2 x C

x

x)

2

1 2dx C

1 xx(1 x)

y) c)x1(3

1)x1(

5

2)x1(

7

1dxx1x 2

3

22

5

22

7

225 z) 2lnx 1dx ln x C

x 2

aa)3

4

2

arctg x 1dx arctg x C

41 x

ab)

23

2

arcsen x 1dx arcsen x C

31 x

ac) cxlog2

10lndx

x

xlog 2 ad) 2x

2x 1/ 3

3edx

(3 e )

= Ce3

4

9 32

x2

ae) 2

2

8xdx 4ln x 1 C

x 1

af)

2

3 2

x dx 1 2ln x 1 C

x 1x 1 2 x 1

ag)2

3(ln y) 1dy ln y C

y 3 ah)

101z z 100 z1

e (10 e ) dz 10 e C101

ai)sen x

dx 2cos x Cx

aj) x

x

x

edx ln e 1 C

e 1

ak) 2

cosxdx arctg senx C

1 sen x

al) 2

2

1 y 1dy ln 2y y C

22y y

am) 2xdx 1ln x 1 C

(x 1)(x 1) 2

an)

5 32 2

2 2x x 1 dx x 1 x 1 C

5 3

ao) senxsen(cosx)dx cos cosx C ap) senx cosx

dx 2 senx cosx Csenx cosx

aq) 3

22

arcsenx 2dx arcsenx C

31 x

ar) 2tg x dx tgx x C


Matemática


as)ctgx 2

dx Csenx senx

at)2

2x 6x 5 1dx x 4x 3ln x 2 C

x 2 2

au) cxlnlnxln.x

dx av)

sen2xcosx dx 2x senx C

senxcosx

aw)3

3 2x 6x 5 1dx x x 2x ln x 2 C

x 2 3

ax) c)2x(3)2x(7

12)2x(

10

3dx2xx 3

4

3

7

3

10

32

az) 5 2 3 5 71 2 1sen x cos x dx cos x cos x cos x C

3 5 7

ba) Cxtg2xcosx

dx

2

bb) Cctgxtgxxsen xcos

dx

22

1.5.2. MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método se basa en la integración de la fórmula de la derivada del producto de dos

funciones derivables. Sean f(x) y g(x) derivables, entonces:

)x('g.)x(f)x(g.)x('f')x(g.)x(f))x(g.)x(f(D

dg(x) · f(x) df(x) · g(x) dx f(x) · (x)' g g(x) · (x)' f dx ' g(x) · f(x)

De donde:

dg(x) · f(x) df(x) · g(x)g(x) · f(x)

Si despejamos una de las integrales, resulta:

(6)

Esta fórmula se utiliza cuando en el interior de la integral se presenta un producto

especial. Será importante la adecuada selección de f(x) y dg(x), puesto que su aplicación conduce a una nueva integral, la cual deberá ser más sencilla que la inicial. La ecuación (6), se puede expresar, teniendo el cuenta el concepto de diferencial, de la siguiente manera: (7)

En muchas ocasiones, se presentan dos caminos, uno de los cuales puede conducir a una integral más complicada que la original, o a un problema de otra dificultad.

df(x) · g(x) - g(x) · f(x) dg(x) · )x(f

dx · (x)f' · g(x) - g(x) · f(x) dx · (x)g' · )x(f


Problemas resueltos

1) dxex I x

Utilizando la fórmula (6)

C e -e x dx e - ex )(edx dxe xI xx

dfg

xx

g

x

fdg

x

f

Utilizando la fórmula (7)

C e -e x dx 1 e - e x dxe xI xx

f 'g

x

g

x

fg'

x

f

Observación:

Si se hubiese elegido: dx x dg , e f(x) x , resultaría:

original la que complicada más integral

' f

x

f

22x

dfg

22x

g

2

f

x

dgf

x dxe2

x -

2

xe dx

2

x -

2

x.e )

2

x(de dxx e

Observación: En los ejemplos que siguen, utilizaremos una de las dos fórmulas, queda a

criterio del alumno la elección de la misma en la resolución de la práctica.

2) dxlnx.x I 4

Cx25

1 -lnx

5

x C

5

x

5

1 -lnx

5

x dx x

5

1- x

5

1 · x ln

dx · x

1 · x

5

1 - x

5

1 · xln )

5

x(dxln dx · x · xln I

5555

45

df

5

g

5

fg

5

fdg

4

f

¿Qué hubiera pasado si elegíamos dx · x ln dg , x f(x) 4 ?

3)

dg

dx

f

xtgarc I

C 2 x 1 ln 2

1 - x tgarc x

df

2 x 1

dx

gx - x tgarc x

dg

dx

f

xtgarc I

4) dx ·e · x I x 2

Cálculos auxiliares

xx e)x(gdxe)x(dg

dx)x(dfx)x(f

Cálculos auxiliares

xx e)x(ge)x('g

1)x('fx)x(f


Matemática


1I

xx2

g

x

f

2

dg

x

f

2 dx ·e ·x 2 - e x)e(dx dx ·e · x I (1)

1xxx

1dg

x

1f1 C e 1)-(x dx · e · 1 - e x dx · e·x I (2)

Sustituyendo (2) en (1), resulta:

C e ) 2 2x (x C 1)e-2(x - e x I x 2xx2

5) dx ·e · x sen I x

dg

x

f

dx ·e · xsen I = )e(d.senxg

x

f

= dx xcosex sen e

1I

x x

(1)

I x cosedx · x sen ·e x cose

dx · x)(-sen · e - e · x cos )ed(.cosx dx · e · xcos I

x

I

xx

xx

1g

x

1f1dg

x

1f

1

(2)

Sustituyendo (2) en (1), resulta:

C x)cos - x (sen 2

e I C x)cos - x (sen e 2I I - e · x cos - ·e x sen I

xxxx

Concluyendo: Estos cinco ejemplos muestran el “universo” de lo que puede suceder con la integración por

partes. ejemplos 1; 2 y 3: aplicamos la fórmula una única vez y obtenemos el resultado ejemplo 4: se debe aplicar la fórmula varias veces consecutivamente ejemplo 5: se presenta la integral que debemos calcular dentro del resultado y queda

planteada una ecuación

Problemas

16) Resuelve las siguientes integrales, aplicando integración por partes

a) xdxsenx b) xdxcosx7 c) xdxlnx

d) zdzln e) dx)x(ln 2 f) dxxe x4

g) tdtlnt2 h) xdxsen2 i) xdxcos2

j) dzzln k) dxe)1x( x2


17) Demuestra las siguientes igualdades, resolviendo la integral

a) Cxcosxsen4

1xsenx

2

1x

4

1xdxcosxsenx 2

b) Cx1xarcsenxxdxarcsen 2

c)

Cx/1xlndxx

1x

2

d) Cxarctan2

1x

2

1xarctanx

2

1xdxarctanx 2

e) C)x1(5

2)x1(

3

2dxx1x 2/52/3

f) C)x1(5

2)x1(

3

2dxx44x 2/522/3223

g)

C)2/x6arctan(6

6

2x3

dx

2

h)

C

12ln

)xcosxsen2(ln2xdxsen2

2

xx

i)

C)21ln(2ln

1dx

21

2 x

x

x

j) cxlncosxlnsen2

xdx)x(ln sen

k)

Cxxlndx

)1x(x

1x2 2

l) C)x(cos5

2)x(cos

3

2dx

x

xcosxsen 5323

m)

Cx41ln12

1dx

x41

x 3

3

2

n)

C

bx

axlndx

bx

1

ax

1

o) Cxxarctanxarctanxdxxarctan

p)

C)5/z5(arcsen

z5

dz

2

q) C)x3(15

1)x3(

9

1dx)x3()x3(cos3 532 sensensen


Matemática


2. INTEGRAL DEFINIDA

2.1. INTRODUCCIÓN – INTRODUCCIÓN AL ÁREA

En el cálculo existen dos ideas muy importantes, que fueron motivadas por dos

problemas geométricos. Una de ellas fue encontrar la recta tangente a una curva, problema que desencadeno en la definición de derivada. En este capítulo nos dedicaremos a encontrarle solución al segundo problema, el cual consiste en encontrar el área de figuras no convencionales.

Definición: Llamaremos PARTICION de un intervalo b ;a , al conjunto de puntos P tal que

b x; ...... ; x; xa P n1 0 que verifique, a = x0 < x1 < x2 < ...... < xn = b,

Observación: Una partición del intervalo [a, b] determina una colección de subintervalos

contenidos en [a, b]. Ejemplo:

Una partición del intervalo 5 ;1 podría ser

5 ;4 ;

2

5 ;2 ;0 ;1P y la colección de

subintervalos determinada por P sería 5 ;4y4 ;2

5,

2

5;2,2 ;0,,0;1

En general, indicaremos k1k x ;x un intervalo genérico de la colección de subintervalos

determinados por la participación P. Definimos amplitud del intervalo k1k x ;x a

. x- x x 1-kkk A la mayor de todas las amplitudes de todos los intervalos determinados por

una partición la llamamos NORMA de la partición y la simbolizaremos .

Es decir: = x max k con k = 1, 2, 3,......,n

2.2. SUMA DE RIEMANN

Consideremos la función f : [a;b] . Efectuemos una partición P del intervalo [a;b] en

n subintervalos y en cada k1k x;x ubiquemos un punto k1kkx;xh .

A la suma x · )hf( n

1kkk

, la llamaremos una suma de Riemann para f

correspondiente a la partición P.


En el siguiente gráfico veremos su interpretación geométrica. Observando el gráfico resulta:

n4321

n

1kkk A......AA-A-A x · )hf(

Observaciones:

A1; A2; ...; An representan las áreas de los rectángulos que se muestran en la figura

de función es no , ya que dependerá de la partición hecha y de la

elección de hk Problemas:

18) Calcula la norma de cada una de las siguientes particiones del intervalo 0; 5 :

1P {0; 1; 2; 4; 5} , 2P {0; 2; 4; 4,5; 4,8; 5} , 3P {0; 1,5; 2; 3; 4; 5} .

19) Escribe una partición del intervalo 1;0 que tenga al menos 8 elementos y cuya norma sea

igual a 0,5.

20) Grafica la función f en el intervalo 4;0 , interpreta gráficamente el valor de

x · )hf( n

1kkk

y calcúlalo en cada caso, considerando kh al punto medio del intervalo

k1k x;x .

a) }4;2;1;0{P ;x )xf(

b) }4;3;2;1;0{P ;)4x(x )xf(

21) Resuelve el apartado (b) del ejercicio anterior pero considerando kh al extremo derecho del

intervalo k1-k x;x

An

A4

A3

A1

A2 a = x0 x1 h1 h2 h3

h4 hn x2 x3 xn-1 xn = b ..... x

y


Matemática


Gr f a = x0 h1 x1 h2 x2 ...... xk-1 hk

xk ...... xn = b

Definición: Sea f una función definida en b ;a , si

n

1kkk

0x · )f(h lím existe, decimos que f es

integrable en b ;a y llamaremos a dicho límite integral definida (o integral de Riemann) de f de a

a b. En símbolos:

Llamaremos: a : extremo inferior de integración b : extremo superior de integración x : variable ( muda ) de la integral f : función integrando [a;b]: intervalo de integración

Observaciones

1. Se puede probar que si f es continua en [a;b], es integrable en dicho intervalo (Teorema de Cauchy)

2. La integral no dependerá de la letra de la variable, por tal motivo resultan

equivalentes las siguientes expresiones:

b

a

b

a

b

a

b

a

f du )u(f dt )t(f dx )x(f

3. Si f es continua y no negativa en [a;b], podemos encontrar una interpretación

geométrica de la integral definida. Para ello, reiteramos paso a paso la definición:

n

1kkk

b

a0

x · )f(h lím dx · )x(f


Podemos visualizar mejor la interpretación gráfica, ampliando un intervalo genérico k. Veremos que el área del rectángulo ABCD es aproximadamente igual a la del sector debajo de la gráfica AEFD

Observemos que cuando tiende a cero, xk se aproxima a xk-1 y la base del rectángulo

es cada vez más pequeña y la aproximación nombrada en el párrafo anterior es mayor. Definición: Llamaremos RECTANGULOIDE R al conjunto de puntos del plano limitados por las verticales x=a , x=b , el eje x y la gráfica de f, es decir:

R = f(x)y0 bxa / )y;x(

Luego:

b

a

R de área dx · )x(f

4. Existen funciones integrables no continuas, como las que son continuas por

tramos, tales como las seccionalmente continuas. Un ejemplo de ello es la función f(x) = [x] en [a;b]

Problema resuelto

Resuelve, aplicando la definición, la integral de f(x) = c (constante real) e interpreta geométricamente su resultado para c > 0:

a)-(bc a)-(b lím c x lím c x ·c lím dx · c0

n

1kk

0

b

a

n

1kk

0

Si c > 0, la interpretación gráfica de la integral nos dice que la integral es el área del rectángulo de base ab y altura c:

a b

c

f(hk)

B

E

F f

C

D A

xk -1 hk xk


Matemática


b

a

b

a

b

a

g f g) f(

b b

a a

b b b

a a a

En particular :

Si 0 resulta f f

Si 1 resulta (f g ) f g

b

a

b

c

c

a

f f f

Problemas

22) Evalúa cada integral teniendo en cuenta su interpretación en términos de área

a) 2

1xdx2 b)

1

1dx)1x( c)

1

1dx1x d)

2

0

2dxx4

23) Teniendo en cuenta la interpretación de la integral en términos de área, calcula un número

que sea mayor que la integral:

a) 2

1dx

x

1 b)

5

2

2dxx c) 5

2

2dxx

2.3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

i) Linealidad

Sean f, g integrables en [a;b] , : Planteamos .β , α

b n n n

k k k k k k k0 0 0k 1 k 1 k 1a

b b b

a a a

( f g) lím f(h ) g(h ) x lím f(h ) x lím g(h ) x

( f g) f g

Es decir, una constante puede extraerse de la integral y la integral de una suma es la suma de las integrales.

ii) Aditividad Si f es integrable en [a; b] y c (a;b) , entonces resulta:

Válida cualquiera sea la posición relativa de a, b, c, supuesta la integrabilidad.


iii) Comparación

Si f y g son integrables [a; b] y gf en [a; b], entonces resulta

b

a

b

a

g f

iv) Si f es integrable en [a; b] y a = b, entonces resulta

v) Si f es integrable en [a; b], entonces resulta

Problemas:

24) Sabiendo que 51 f(x) dx 7 y que 5

1 g(x) dx 2 calcula:

a) 5

1dx)x(g2)x(f3

b) 1

1

5

1dx)x(fdx)x(g5)x(f3

25) Escribe como una integral de la forma b

adx)x(f

a) 3

2

2

1dx)x(fdx)x(f b)

5

0

8

5dx)x(fdx)x(f

c)

6

5

0

3

5

3dx)x(fdx)x(fdx)x(f d)

2

3

2

1dx)x(fdx)x(f

26) Sabiendo que 10dx)x(f0

1 ; 7dx)x(f

1

1 y 4dx)x(f

4

1 , calcular:

b) 4

1dx)x(f b)

4

0dx)x(f c)

1

0dx)x(f3

2.4. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL

H) f continua en [a;b]

T) a)-(b f(c) f / b a; c b

a

Demostración:

Como f es continua en [a;b], por el teorema de Weierstrass, existe máximo (M) y mínimo

(m) absolutos de f en [a;b], es decir:

m f(x) M x a;b

0 fa

a

a b

b a

f - f


Matemática


Por propiedad de comparación, resulta

b b b

a a a

m dx f(x) dx M dx

Resolviendo la integral, nos queda

b

a

m(b-a) f(x) dx M(b a)

Dividiendo miembro a miembro por (b-a), obtenemos

b

a

(*)

1m f(x) M

b-a

Como f es continua en [a;b], por el teorema del valor intermedio, la expresión (*) debe ser un valor de f, ya que Im f = [m; M]. Es decir:

Observando el siguiente gráfico podeos encontrar una interpretación gráfica de teorema anterior si f es no negativa en [a;b]:

El área del rectanguloide de f es igual a la del rectángulo sombreado de la misma base Problema

27) Si f es continua en 1; 3 y 31 f(x) dx 8 , demuestre que f toma el valor 4 por lo menos una

vez sobre el intervalo

c a;b / f(c) a)-(b f(c) f(x)dx (x)dx f ab

1 b

a

b

a

y

f(c)

c b x

f


3. FUNCION INTEGRAL

Definición: Sea f integrable en a; b y c a; b , llamamos FUNCIÓN INTEGRAL de f a

una función tal que para cada x a; b le hace corresponder el número x

cf(t) dt . Si llamamos

con g a dicha función resulta:

x

cg: a; b / g(x)= f(t) dt

Observación: la función g depende de la variable x, que es el extremo superior de la integral, por lo tanto serán equivalentes las siguientes expresiones

x

cf(t) dt ;

x

cf(u) du ;

x

cf(x) dx ;

x

cf

Si f es continua no negativa, se puede hallar una interpretación geométrica de g, como el área del rectanguloide de f limitado por sendas verticales en c y en x con c < x :

3.1. Teorema fundamental del cálculo integral

H) f continua en a; b

T) g(x) = x

c

f (t) dt es derivable en (a; b) y g'(x) = f(x)

Demostración:

Para demostrar que g es derivable x a; b , recordemos la definición de derivada en

un punto

x 0

g(x x) - g(x)g'(x) lím

x

y f(t)

a c x x x b t

g(x)


Matemática


Reemplazando en g(x) = x

c

f (t) dt, obtenemos

(1) permutando extremos de integración (2) propiedad conmutativa

(3) propiedad de aditividad

(4) teorema del valor medio, donde c* está comprendido entre x y x + x

Entonces podemos escribir:

x 0 x 0

c* x

g(x x) - g(x) f(c*) xg'(x) lím lím f(x)

x x

En conclusión g´(x) existe y es igual a f(x)

Problemas 28) Aplica el Teorema Fundamental del Cálculo para derivar las siguientes funciones:

a) 3 20x1g(x) (t - 5) dt b) 3x

5g(x) cos(z ) dz c) 3 73xg(x) (cos(u ) u ) du

29) Si 5x1F(x) cos(t ) dt , calcula F(1), F’(x) y F”(0)

30) Si x1F(x) g(t) dt y 2t

1g(t) t 5 dt calcula F’’(x)

x x x (1)

c c

x x c c x x(2) (3)

c x x c

x x(3) (4)

x

g g(x x) - g(x) f(t)dt - f(t)dt

f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(t)dt

f(t)dt f(c*) · x


3.2. Teorema de Barrow

H) f continua en [a;b];

x

a

g(x) f(t)dt primitiva de f

T)

b

a

f(t) dt P(b) - P(a) , siendo P una primitiva cualquiera de f

Demostración:

Teniendo en cuenta por hipótesis que

x

a

g(x) f(t)dt es una primitiva de f, puede expresarse

x

1

a

g(x) f(t)dt P(x) C , con P una primitiva cualquiera de f

a

1 1

a

b b(1)b

1 aa a

Si x a g(a) f(t)dt P(a) C 0 C -P(a) (1)

Si x b g(b) f(t)dt P(b) C f(t)dt P(b) P(a) P(x)

Es decir:

Problema resuelto

1) Resuelve las siguientes integrales definidas

a)

11 2

0 0

x 1 1xdx - 0

2 2 2

b)

22

00

cos x dx sen x sen 2 - sen 0 1

bb

aa

f(x) dx P(b) - P(a) P(x)


Matemática


Problemas

31) Evalúa las siguientes integrales definidas:

a) 3 231 t ( t - 1 ) dt b) 0

-2 x y dy

c) ba

1 dx

ab d) 5

4 2

x dx

x 1

e) 0 4

2x dx

x

f) e1

lnx dx

x

g) 1-1

2

x dx

x 6

h) 2 x10 x e dx

32) Determina una función f y un valor de la constante a de tal manera que

x

a2 f(t)dt 2senx -1

33) Si f’ es continua en [a ; b] demuestra que 2 2'b

a2 f(x) f (x) dx f(b) - f(a)

34) Determina la expresión de P(x) si : ' '' 2P(x) 2 f(0) 3 f (0) x 4 f (0) x y x

0 2

dtf(x)

1 2t

35) Comprueba usando la Propiedad de Comparación que 2112 1 x dx 2 2

36) Suponiendo que 10 f(x) dx 6 ; 2

0 f(x) dx 4 y 52 f(x) dx 3 , halla

a) 0

5dx)x(f b) 5

1 f(x) dx c) 21 f(x) dx

37) Grafica la región R limitada por y = x + 6 ; y = x3 y 2y + x = 0 .Calcula el área de R.

38) Si una función f es tal que 3f(x) x para todo x > 0, calcula un número C tal que

21 f(x) dx C


a

b

A f(x) dx

4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

4.1. AREAS PLANAS

4.1.1. Areas de rectanguloides

En el siguiente capítulo estudiaremos los diferentes casos para calcular áreas de rectanguloides

Primer caso: Si f continua no negativa en [a;b] . En tal caso (visto en capítulos anteriores) resulta: Segundo caso:

Si f es continua y no positiva en [a;b]. Definimos allí g(x) = - f(x), sabiendo que las gráficas de g y de f serán simétricas respecto del eje x y determinarán rectanguloides de igual área A.

Sabemos:

b b a

a a b

A g(x) dx - f(x) dx f(x) dx

Es decir:

b

aA f(x)dx

A

f

a b x

y

A

g

f

x

y

a b


Matemática


A = A' + A'' +A''' = b

a

b

c

d

cfff

1 6

x

y

Tercer caso: Este aso es el más general, es cuando f es continua en [a;b], anulándose un número finito de veces. Para calcular el área A de todos los rectanguloides, utilizaremos los casos anteriores en forma conjunta:

Problemas resueltos

1) Сalcula el área rayada en cada caso a)

b) En este caso conviene pensar a x en función de y

x A'

A''

A'''

A'

a b c

d

y

f

A

2

2f(x)=x 7x+6

2

32 2 2

66

x 7 56A x 7x+6 dx= x +6x

3 2 3

x

f(x)= x

A

y

4

44 32

0 0

y 64A y dy

3 3


c)

4.1.2. Área de dominios normales

Definición: Dadas f, g, continuas en [a;b] tal que f(x) g(x), se llama DOMINIO NORMAL DEL PLANO relativo a f, g, de base [a;b], al conjunto de puntos del plano limitado por las

rectas x = a; x = b y las gráficas de f y g. En símbolos:

D = g(x)yf(x) bxa / y)(x;

En donde se denomina a: f: función minorante

g: función mayorante

Ahora nos interesa calcular el área A de D. Para ello tendremos en cuenta los siguientes

casos.

Primer caso: Para 0 f g , es decir ambas funciones no negativas

0 2 -1 3

A = f-gb

a

A

f

g

a b x

y

A´

A´´

A´´´

4x3

xx

3

xx

3

x

dxx2xdxx2xdxx2x

´´´A ´´A ́A

3

2

23

0

2

23

0

1

23

3

2

20

2

20

1-

2

x2x)x(f 2

y

c

d

e

A = área adeb - área aceb =

b

a

b

a

b

a

f)-g( f - g


Matemática


Segundo caso: Las funciones pueden encontrarse en cualquier lugar del plano. Por el teorema

de Weierstrass, al ser f continua en [a;b], debe tener mínimo absoluto m:

Definiendo dos nuevas funciones en [a;b]: f* = f + m ; g* = g + m . Las mismas resultan

tener sus gráficas idénticas a las originales trasladadas verticalmente hacia arriba m unidades.

En consecuencia estarán sobre el eje x o tocándolo como mínimo:

Ahora podemos aplicar las conclusiones del primer caso:

m

b x

f

g

a

y

A

f *

g*

a

y

A

b x


a a a

g * - f * g + m - (f m ) g - f

b b b

A

Es decir, independientemente de la ubicación de las gráficas en el plano, resulta:

Problemas resueltos

1) Calcula el área rayada en cada caso

a) A = 3

4

3

x -xdx xx2 dx xxx

0

2 3

22

º

22

º

2

b) Aquí conviene considerar a x como función de y:

3

40

6

yy4

2

ydy

2

y4yA

4

0

324

º

2

b

a

fg A

A


Matemática


Problemas

39) Encuentra utilizando integración el área del triángulo en cada caso:

a) Sus vértices son los puntos (-1;4) ; (2;-2) y (5;1) b) Limitado por la recta y = x + 2; el eje de las x y la vertical x = 3

40) Calcula el área de la región limitada por la parábola y = x2; la tangente a ella en (1;1) y el eje

x. 41) Traza la región limitada por las curvas dadas y calcula su área:

a) y = cos x; y = sen 2x; x = 0; x = /2 b) y = I x I – 1 ;y = x2 – 3 0x

c) y = ex ; y = e-x ; x = -2 ,x = 1 d) y2 - 2x = 0 ; y2 + 4x –12 = 0

42) Calcula el área limitada por las parábolas y2 = 8(x + 2 ); y2 = 32(8 - x ) 43) Determina el área encerrada por la parábola y = 1 + 2x – x² y por la cuerda que une los

puntos (-1; -2); (2; 1). 44) Determina el área limitada por las siguientes curvas

a) b)

y = x³ - x y = x

x = y² x – y = 2

A


c) d)

45) Calcula los valores de “c” tales que el área de la región acotada por las parábolas y = x2 – c2

; y = c2 – x2 sea 576. 46) Plantea la o las integrales que permiten calcular en cada caso el área de la región

sombreada y obtiene su valor con el uso del software “Geogebra” (www.geogebra.org)

d) c)

b) a)

f) e)

y = ln x y = -x +1 y = 1

y² = 2x + 6 y = x - 1


Matemática


Respuesta a algunos de los problemas

1)a)H(x)=

34 22

x x 2- x

4 2 3 b)G(x)= xxxx 4.

4

3 35 c)H(x)= 7 41 5x - x 25x

7 2

d)T(x)=4 32x - 9x - 36

6x e)F(t)=

25

322 15

t - t5 2

f)G(x)=x-arctgx

2)a) Falso , pues P´(x) f(x) b)Verdadero , pues F´(x)= G´(x) c) Verdadero, pues F´(x)= G´(x) 3) a)Falso b) Falso c) Verdadero d)Falso e) Falso f)Falso g) Falso h) Verdadero i) Falso j) Falso k) Falso l) Verdadero Todos los apartados se justifican por derivación de las primitivas respectivas.

4) a) cxx

43

3

b) cxxx

892ln.3

2 93

c) cxxx

)152012(15

24

d) cxx

6

)3( 24

e) cyyy 2

3

12

5

3

2

5

2 f) cxx 2

7

2

5

7

2

5

4

g) 4senx+ex+c h) cxxx

ln2

3

4

5 24

i) cxxxx

35

)280140425( 246

j) cx

xx

3

36 24

k) cxx

32

2

5) a) G(x)=2x4+x2-3 b)F(x)=ex-2x+4 c) h(x)=2x4+2x3-4x2-6x+8 6) f1(x)=x3 f2(x)=x3-16 (no se presenta la gráfica)

7) s(t)=2 32

3

t

8) a) s(t)=( t3 + 2t2 – 6t + 9 ) cm b) v(t)= (3t2+4t-6 )s

cm vel.media=34

s

cm

9) a)

01

01)(

2

2

xx

xxxf b)

3;24

2;1

1;012

x

x

x

10) s(t)=-cost-sent+6t+1 11) f(x)=x2+x+4


16)

a)-x.cosx+senx+c b)7x.senx+7cosx+c c) c4

x

2

lnx.x 22

d) zlnz-z+c e)xln2x-2xlnx+2x+c

f) cxe x

)4

1(

4

4

g) c9

t

3

lntt 33

h) c2

senxcosxx

i) c

2

senxcosxx

j) cz2

1zzln k)ex(x2-2x+3)+c

18) norma P1=2 norma P2=2 norma P3=1.5

20)a)2

6231 b)11

21)10 22)a)3 b)2 c)3 d)

24)a)25 b) 1037

25)a) 3

1f b)

8

0f c)

6

0f d)

-3

1f

26)a)3 b)-7 c) 33

28)a)g´(x)=(x3-5)20 b)g´(x)=cosx3 c)g´(x)= - cosx3-x7 29)F(1)=0 F´(x)=cosx5 F´´(0)=0

30)F´´(x)= 52 x

31)a) 33645

3098 b)-2x c)

ab

ab d)

5

8ln e)

π

arctgπ 2

3

f)2

1 g)0 h) 2

5

e

32)f(t)=cost 6

πa


Matemática


34)P(x)=3x 36)a)-7 b)1 c)-2 37)22

38)4

15 entre otros

39) a) 13,5 b)2

25

40) 12

1

41) a)2

1 b)10/3 c) 4

e

1eee2

34

d)8

42) 3

320

43) 2

9

44) a) 2

9 b)2 c)18 d)e-

2

3

45) 6

47) a) 3

8 b)

6

23 c)

2

7 d)8/3 e)2 f) 14

4

3 3


Práctica complementaria 1) Resuelve las siguientes integrales

a) dx e x x Rta: Cexe xx

b) dx senx x Rta: Csenxxcosx

c) dx xln x Rta: C4

xxln

2

x 22

d)

dx

6xx

1x22

Rta: C6xxln 2

e)

dx

6x2x

1x2

Rta: C6x2xln 2

1 2

f)

dx

x1

x212

Rta: C)x1ln(arctgx 2

g)

dx

1x

1x2

Rta: C1xln2x2

x2

h) dxex x2 Rta: Ce2xe2ex xxx2

i) dx x3cosx2 Rta: Cx3sen27

2x3cosx

9

2x3senx

3

1 2

j)

dx)1x(

12

Rta: C1x

1

k)

dx

5x6x3

1x2

Rta: C5x6x3ln6

1 2

l) dx xsen5 Rta: C5

xcox

3

xcos2xcos

53

m)

dxxcos1

xcos Rta: Cxx ctg

senx

1

n) dx 49x

3x2

Rta: C

7

xarctg

7

3)49xln( 2

o) dxx

xln3

Rta: C4

xln4

p) dxe)1x( x Rta: Cee)1x( xx

q) dx xcos2 Rta: C2

xxcossenx

r) dx )x1ln( x Rta: C1xlnx2

x

2

1x1ln

2

x 22

s)

dxxcos

tgxsenx Rta: C

xcos

1xcosln

t)

dx3x2x

82

Rta: C2

1xarctg24

u) senx1

dx Rta: C

xcos

1tgx


Matemática


v)

Idx

xa

a

22 Rta: C

a

xarcsen.a

w)

dx

xx67

1

2 Rta: C

4

3xarcsen

x)

20x8x

dx2

Rta: C2

4xarctg

2

1

y)

dx

1e

e3ex

xx2

Rta: C)1eln(4e xx

z)

dxxcossenx

xsen1 2

Rta: Csenxlnxcosln2

aa)

dx1e

1x

Rta: C)1eln(x x

2) La función f(x)=2x+5 tiene infinitas primitivas que difieren en una constante. ¿Cuál de estas

funciones toma el valor 18 para x=2?

Rta: 4x5x)x(F 2

3) Halla una función cuya derivada sea 1574)( 23 xxxxf y que se anule para x=1.

Rta:6

1x

2

x5

3

x7x)x(F

234

4) Halla la función G tal que G"(x)=6x+1; G(0)=1 y G(1)=0

Rta: 1x2

5x

2

1x)x(G 23

5) Dada la función f(x) = 6x halla la primitiva que pasa por el punto A(1; 2).

Rta: 1x3)x(F 2

6) Resuelve las siguientes integrales definidas

a) dx3e

1eeln5

0 x

xx

Rta: 4 -

b) 1

0

2dxx1 Rta: 4

Sugerencia: Considera x = sen t

7) Resuelve.

x3

0sen tdt Rta:

31 2cosx cos x

3 3 º


0 1 2 3 4 x

y

1

0 1 2 3 4 x

y

8) Sabiendo que f(x) es derivable y su gráfica en el intervalo (-1, 5) es:

a) Dibuja f’(x) en forma aproximada en este intervalo b) Calcula 2

1(x)dx'f y

3

1(x)dx'f

Rtas: a.

b. 1(x)dxf'2

1 y 0(x)dxf'

3

1

9) Calcula 4

3-f(x)dx, siendo /4 ;3:f

4x2si1

2x1si1

1x3si2

)x(f

Rta: 5

10) Calcula 3

2-h(x)dx , siendo h(x) = x

Rta: 0 Bibliografía Cálculo de Roland Larson,Robert Hostetler y Bruce Edwards.Editorial Mc.Graw Hill.Quinta

edición . Cálculo de Edwin J. Purcell , Dale Varberg y Steven E Rigdon .Editorial Prentice Hall.Octava

edición . Apunte Código 1301-07 de Prof.Rogelio Balestra, Prof. Erica Hinrichsen , Prof.María del

Luján Martinez y Prof. Graciela Rivas.

1


Matemática


CCáállccuulloo DDiiffeerreenncciiaall ee IInntteeggrraall ...

Documents

Transcript of CCáállccuulloo DDiiffeerreenncciiaall ee IInntteeggrraall ...