物理学セミナー2004 May20

林田 清 ・ 常深 博

惑星の運動、力学法則、万有引力

ケプラーの法則（惑星の運動を記述）

どんな力が働いているべきか？

導きだせるはず

ニュートンの力学の３法則（古典力学の基礎法則）

万有引力の法則（重力を性質を記述）

ニュートンの３法則を仮定し、惑星の運動を説明できるような重力の性質を探ってみよう。

ケプラーの法則

1. 惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道を公転する

2. 惑星の面積速度は一定である

3. 惑星の軌道半長径aの３乗と公転周期Pの２乗とは比例する

焦点

近日点

遠日点 半長軸a

r

θθ∆

r θ∆

21 1/2 2

dS r r t rdtθθ⎛ ⎞≈ × ∆ ∆ ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠

面積速度

ニュートンの法則

1. 物体は外力を受けない限り、静止している物体は静止し続け、運動している物体は一定速度の運動（等速直線運動）をし続ける [慣性の法則]

2. 物体の加速度はそれに作用する合力に正比例し、その質量に反比例する [運動方程式]

3. 二つの物体が相互作用するとき、物体１が物体２に及ぼす力は、物体２が物体１に及ぼす力と大きさが等しく方向が反対向きである [作用反作用の法則]

極座標表示の位置と速度

cos sinsin cos

sin cos

cos sin

r x y

x y

rx y

x y r

e e ee e e

de e e edtde e e edt

θ

θ

θ

θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

= +

= − +

= − + =

= − − = −

v v v

v v v

vv v v& & &

vv v v& & &

θ

eθv

revy

x

太陽（楕円の焦点）を原点にとり、惑星の位置で動径方向とそれに垂直な方向の単位ベクトルを考える。

( )

y

cos sincos ,sin ,

x y

rr

de edt

de d dedt dt dt

θθ

θ θθ θ

≡

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

v v &

rr

, 　x方向、 方向の単位ベクトル、　

成分表示でかくと 、その微分は

注釈）

面積速度一定->向心力

θ

eθv

revy

x

面積速度 が一定であれば、加速度は 成分のみ。( )212

r θ= &rev

( ) ( )( ) ( )

2

2 2

2

1

r

rr r

rr

r

r

r redev re r re r edt

dedere r r e r e rdt dt

r r e r r e

dr r e r er dt

θ

θθ θ

θ

θ

θ

α θ θ θ

θ θ θ

θ θ

=

= + = +

= + + + +

= − + +

= − +

v v

vv v v v&& &

vvv v v v& && &&& & &

v v& & &&&& &

v v& &&&

位置

速度

加速度

2

2

ddtθθ ≡&&

加速度//力の方向であるから、常に原点（太陽）の方向に向う“向心力”が働いていなければならない。

ケプラーの第３法則->万有引力の式簡単のため、円運動(r=軌道長半径a）の場合を考える

加速度の大きさは

ケプラーの第３法則 ＝一定より向心力

距離の２乗に反比例し、惑星の質量mに比例する引力が太陽から働いていればよい

力の大きさが太陽の質量Mにも比例すれば作用反作用の法則を自然に満たす

22 2 2r r a a

Pπθ θ ⎛ ⎞= − = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠& &&&

3

2

a CP

=2

22

2 1(2 )F ma mCP aπ π⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

1F mGMa

= Gを定数として万有引力の式

万有引力による惑星の運動

極座標表示の加速度 太陽からの万有引力が（中心力として）働くので

( ) ( )( ) ( )

2

2 2

2

1

r

rr r

rr

r

r

r redev re r re r edt

dedere r r e r e rdt dt

r r e r r e

dr r e r er dt

θ

θθ θ

θ

θ

θ

α θ θ θ

θ θ θ

θ θ

=

= + = +

= + + + +

= − + +

= − +

v v

vv v v v&& &

vvv v v v& && &&& & &

v v& & &&&& &

v v& &&&

( )

( )

22

2

2

0

rmMm r r Gr

d rdt

r h

θ

θ

θ

− = −

=

≡ =

v

&&&

&

&

方向の運動方程式

それに垂直な方向

より （ 一定値）

軌道の式

2

2 2 2 2

2 2 2 2

22

2 2 2

2 2 3 2

2

2 2

1

dr dr h dr duhdt d r d d

ur

d r d u h d uhdt d r d

Mr r Gr

h du h MGr d r r

d u GMud h

θθ θ θ

θθ θ

θ

θ

θ

= = = −

=

= − = −

− = −

− − = −

+ =

&

&

&&&

ここで

運動方程式

は

2

2 2

0 2

0 2

2 2

0

cos( )

1

cos( )

,

1 cos( )

d u GMud h

GMu Ah

r GMAh

h hl AGM GM

lr

θ

θ θ

θ θ

ε

ε θ θ

+ =

= − +

=− +

= =

=+ −

の解は

が軌道の式

とおけば

楕円の式2 2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

( , )

( ) , ' ( )' 2

1

x y

r x c y r x c yr r a

x ya b

a bb a c

c a ba a

ε

= − + = + +

+ =

+ =

= −

−= =

楕円上の１点P について

上を代入して整理すると

という楕円の式を得る

は長軸半径、 は短軸半径

は離心率

bc

a

a

P(x,y)

O

y

xr'

r

楕円の式（極座標表示）

c

P(r,θ)

O

r

F

θr'

2 2

2

2

( , )

' (2 ) 4 cos' 2

( cos )

1 cos

r

r r c crr r a

r a c bbla

lr

θ

θ

θ

ε θ

= + +

+ =

+ =

=

=+

楕円上の１点P について

上を代入して整理すると

（半直弦）を使うと

という楕円の式を得る

楕円と双曲線と放物線

2 2

2 2

' 2

1

1 cos1

r r ax ya b

lrε θ

ε

− =

− =

=+>

双曲線

で

2 2

2 2

' 2

1

1 cos1

r r ax ya b

lrε θ

ε

+ =

+ =

=+<

楕円

で1 cos

1

lrε θ

ε

=+=

放物線

楕円の式あるいは

双曲線の式

で の極限

楕円、双曲線、放物線

ε=0.5 （楕円の例）ε=1.5（双曲線の例）ε＝1.0（放物線）

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

軌道の形

楕円 (ε=0.5)双曲線 (ε=1.5)放物線 (ε=1.0)

X

1 cos1

lr

lε θ

=+=で と置いて

作図

エネルギー積分

( )22

2

2

3 2

22

3 2( ) ( )2

rmMm r r Gr

r h

mh mMmr Gr rr

m d mh mM drr Gdt r r dt

θ

θ

− = −

≡

= −

= −

v

&&&

&

&&

&

&

方向の運動方程式

から

両辺に をかけると

22

3 2

22

2

22

2

( ) ( )2

(

( )2

( )2

m mh mMd r G drr r

Em h mMr G E

r rm hK r

rmMU G

r

= −

+ − =

= +

= −

&

&

&

これを積分して積分定数を

全エネルギー）とおくと

　運動エネルギー

　

　　ポテンシャルエネルギー

自由落下運動のエネルギー保存則との比較

惑星の運動 地表面での自由落下運動

22 2 2 2

2

2

( ) ( )2 2

2

m h mK r r rr

m v

mMU Gr

K U E

θ= + = +

=

= −

+ =

&& & 2

2mK v

U mghK U E

=

=+ =

2

( )

1 1 ( / )1 ( / )

e e

e

e e

e

GM GMU m mR h R

h RGMmR h R

GMm h mghR

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ − −= − ⎜ ⎟ +⎝ ⎠

⎛ ⎞≈ ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠

全エネルギーＥと軌道の形の関係

22

2 2

21 h EmG M

ε = +

惑星の軌道の離心率は0.0-0.3の間。 円に近い楕円軌道。

彗星の中には双曲線軌道をとるものもある。

000

EEE

<

=

>

　楕円軌道

放物線軌道

双曲線軌道

22

2

22

min max

( )2

1( )2 2

0 00

m h mMr G Er r

m m hr E GMr r

E r r rE r

+ − =

= + −

≥

< < ≤ ≤ < ∞

>

&

&

左辺 0の条件を満たすには。。。

の場合

の場合 は無限大になり得る。

彗星の軌道の例彗星名：C/2000 O1 (Koehn) 元 期 2000 Jan. 17.0 TT近日点通過時刻 = 2000 Jan. 27.34146 TT 離心率 = 1.0008468近日点距離 = 5.9218894 au 近日点引数 = 55.10783 °昇交点黄経 = 88.86214 °軌道傾斜角 = 148.09741 °観測期間 1998年12月14日～2000年７月23日観測数 27 個軌道要素は少年自然の家で計算（９惑星の摂動を含む）

http://www.city.kakamigahara.gifu.jp/naturehome

彗星名：P/2000 R2 (LINEAR) 近日点通過時刻 = 2000 Sept. 12.6931 TT 離心率 = 0.585854 近日点距離 = 1.390773 au 近日点引数 = 147.1076 °昇交点黄経 = 187.4607 °軌道傾斜角 = 3.2222 °公転周期 = 6.15年観測期間 2000年９月３日～27日観測数 48 個軌道要素は MPC41338 より

/sub5-2d.htmlより転載 （各務原市少年自然の家）

第１宇宙速度

地球（表面付近）を周回する人工衛星を打ち上げるための速度

2

2

1 7.9 /

e

ee

e

e

mM vG mRR

GMv km sR

=

= ≈

http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/arny/instructor/graphics/ch02/0203.htmlCopyright ©1999 The McGraw-Hill Companies.

•１周するのに何時間かかるか？•１周するのに１日かかる（静止衛星）ようにするにはどうすればいいか？

第２宇宙速度

地球の重力圏を脱出するロケットを打ち上げるための速度（地球からのの脱出速度）

2

2 1

1 02

2 2 11.2 /

e

e

eesc

e

mME mv GR

GMv v v km sR

= − ≥

= = = ≈

であれば無限遠まで到達できる

http://www.mhhe.com/physsci/astronomy/arny/instructor/graphics/ch02/0203.htmlCopyright ©1999 The McGraw-Hill Companies.

運動エネルギー 位置エネルギー

第３宇宙速度 太陽系からの脱出速度

11 30

3 11

3

2 23 3 2

2 2 6.67 10 1.99 10' 42.1 /1.50 10

2'' 12.3 /

( '' ) ( ) 16.7 /

s

s

s

s

s s

s s

GMv km sr

GMr

GM GMv km sr r

v v v km s

× × × ×= = ≈

×

= − ≈

= + ≈

地球の公転軌道の位置で太陽系の外へ

脱出するための速度

地球の公転速度 の方向にうちあげると対地球速度として

ですむ。　ただし、地球の重力圏を脱出する

ためのエネルギー分を考慮すると

まとめ

惑星の運動を題材に力学の復習・予習を行った。

ケプラーの法則、ニュートンの力学の３法則、万有引力の法則

中心力、面積速度一定の法則

惑星の軌道

エネルギー積分、エネルギー保存則

3種の宇宙速度