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確率・統計

講義ノート２０１９演習

2

koko ここまでは、18-ps.pdfとほぼ同じ。

以下は 18-td.txt、問題のみ切り出したもの。

toi をリセット

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第1章 1～ 6章の問題と解(確率)

1.1 基礎概念

p.4

問 1 赤球２個，白球１個の入った箱から次のようにして 2個の球を取り

出すとき，赤球 2個が取り出される確率を次の各々の場合に求めよ。

（１）１個取り出してもとに戻し，さらに１個取り出す。

（２）１個取り出して，もとに戻さずにまた１個取り出す。

（３）同時に２個の球を取り出す。

問１（１）49（２）1

3（３）1

3

問 2 (1)A，A，A，B，C の 5 文字を一列に並べる並べ方は何通りあるか。

(2) サイコロを 10回投げる。1の目が 1回、3の目が 4回、6の目が 2

回、残り 3回が他の目が出る確率はいくらか。

問２ (1) 5!3!1!1!

(2) 10!1!4!2!3!

1610

問 3 (1) 1、2、3、4、5、6、7、8、9の 9個の数字から 1つづつ数字を選び 4

桁の整数をつくる。千のくらい、百のくらい、十の くらい、一のくらい

をそれぞれ a, b, c, dとする。a < b < c < dをみたす整数はいくつあるか。

(2) 1、2、3、4、5、6、7、8、9の 9個の数字から重複を許して 4個を選ん

で 4桁の整数をつくる。a ≤ b ≤ c ≤ dをみたす整数はいくつあるか。た

だし、4つの数字の中に使われない数字があってもよい。

問 3 (1) 9C4 (2) 9+4−1C4 = 12C4

4 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

問 4 りんご，なし，もも　の 3 つのフルーツから，重複を許して 5 個

選ぶ。選び方は何通りあるか求めよ。ただし，一つも選ばれないものが

あってもよいとする。

問 4 7C2

問 5 A, Bを事象とする。A = (B∩A)∪ (Bc∩A)，(B∩A)∩ (Bc∩A) = ∅

であることに注意して，下の問いに答えよ。

（１）P (A) = 0.3, P (B∩A) = 0.2であるとき，P (Bc∩A)をもとめよ。

（２）P (A) = 0.3, P (B ∩ A) = 0.2, P (Ac ∩ B) = 0.4であるとき，

P (A ∪ B)をもとめよ。

問 5 （１）0.1 （２）0.7

問 6 P (A) ≥ 13, P (B) ≥ 1

4, P (A∪B) ≤ 1

2のとき，P (A∩B) ≥ 1

12を示せ。

問 6 略

1.1.1 確率の基本2

p.8

問 7 次の確率計算は実験にあうか。

（１）明日の天気は，雨が降るか（A），降らないか（Ac）のどちらか

である。よって，P (A) = 1/2。

（２）水野は矢島を好きか（A），好きでないか（Ac）のどちらかであ

る。よって，P (A) = 1/2。

問 7 略

N 個の箱に r個の玉を入れる問題

＜仮定 I＞　 1つの玉がどの箱に入るかは同等に確からしく、各々1/N

である。

1.1. 基礎概念 5

次のように書いても同じ：

＜仮定 I’＞　いろいろな玉の入れ方は全部でN r通りあるから、これら

の書く場合を同等に確からしいと仮定して、各々1/N rとする。

これは重複順列 NΠr = N r個の場合をすべて同等とみなす立場。

この仮定は，箱を空間の小領域、玉を気体の分子と見たときに，「マッ

クスウエル-ボルツマンの統計」とよばれる。しかし、この統計（確率の

決め方）では実験にあわなかった（黒体輻射の実験を説明できない）。

＜仮定 II＞　玉は区別がつかない。

区別がつくのは、どの箱に何個づつ玉が入っているか、という様相の

みである。したがって、重複組み合わせ（異なるN 種類のものから重複

を許して r個とる組み合わせ）NHr = N+r−1Cr個の場合をすべて同等と

みなす立場。言い換えると、

＜仮定 II’＞　玉の盛り分け方は全部で NHr通りあり、それらをすべて

同等とする。

問 8 　例えば、N = 3, r = 2ならば、3H2 = 3+2−1C2 = 6。これら 6通

りをすべて書き出せ。

問 8 略

＜仮定 III＞　 1つの箱に玉は 1つしか入らない

とする。この場合には重複を許さない組み合わせ NCr通りの場合があ

る。言い換えると、

＜仮定 III’＞　玉の盛り分け方は全部で NCr通りあり、それらをすべ

て同等とする。

この仮定は、電子や陽子（フェルミ粒子）を取り扱うときに用いられ，

「フェルミ-ディラクの統計」とよばれる（この場合実験に当てはまる）。

（物理では＜仮定 III＞は，「パウリの排他原理」（異なる粒子は同時に同一

状態を取ることはない）に対応する。）

問 9 　N = 4, r = 3とする。仮定 I − IIIのもとで同等に確からしい場

合を、各々すべて書き出せ。

問 9 略

p.10 (問題 1～ ）

6 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

問 10 ２つのさいころを同時に投げる試行を T とし，出た目の数の和を

Xとする。試行T を 10回反復して行ったとき，X = 7となるのが９回で

ある確率をもとめよ。

問 10 10C9(16)9 · 5

6= 52

29·310

問 11 Aさん, Bさん, Cさんの３人がじゃんけんをして勝者を１人選ぶ。

３人あいこならばじゃんけんを繰り返し，２人勝ちならば勝った２人で

決戦をするものとする。次の確率をもとめよ。

（１）Aさんが１回目で優勝する確率

（２）Aさんが２回目で優勝する確率

（３）Aさんが３回目で優勝する確率

（４）３回目が終わっても勝者が決まらない確率

問 11 （１）19（２）1

9（３） 5

81（４） 4

27

問 12 nを 2以上の整数とする。中の見えない袋に 2n個の玉が入ってい

て，そのうち 3個が赤で残りが白とする。Aさんと Bさんが，Aさんか

ら始めて交互に 1個ずつ玉を取り出し，先に赤の玉を取り出したほうが

勝ちとする。ただし，取り出した玉は袋に戻さないとする。Bさんが勝

つ確率をもとめよ。

問 12 4n−54(2n−1)

問 13 「幸福な家庭はみな同じように似ているが，不幸な家庭は不幸な

さまもそれぞれ違うものだ」（「アンナ・カレーニナ」トルストイ）とい

う命題について，確率論の観点から解説せよ。

問 13 略

1.2. 条件つき確率 7

問 14 nを 4以上の整数とし、1，2, ..., nの数字がそれぞれ 1つづつ書か

れた n枚のカードが箱に入っている。この箱から 4枚のカードを同時に

取り出し、それらを無作為に横 1列に並べる。このときカードの数字が

小さい順に並んでいる確率を求めよ。

問 14 14!

= 124

1.2 条件つき確率

p.15 (問 10～ ）

問 15 １枚の硬貨を３回投げ，表が出た回数をXとする。次にさいころ

をX回投げる。そうして，１または２の目が出た回数を Y とする。ただ

し，X = 0の場合には，Y = 0ときめる。Y = 0という条件のもとで，

X = 2である条件つき確率をもとめよ。

問 15 36125

問 16 ある病気Bの患者３００人のうち２００人は喫煙者である。また

全人口のうち喫煙者の割合は３０％である。喫煙者は非喫煙者に比べて

どのくらい病気Bにかかりやすいか。

問 16 143倍

問 17 事象Aが自分自身と独立になるとき P (A) = 0 or 1であることを

示せ。

問 17 略

問 18 区別のできる 2つのさいころを同時に投げる試行を行う。

はじめのさいころの目が４であると言う事象をA、

2つめのさいころの目が２であると言う事象をB、

2つのさいころの目の和が３であると言う事象をC、

2つのさいころの目の和が９であると言う事象をD、

8 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

2つのさいころの目の和が７であると言う事象をEとおく。

（１）AとBは独立か。

（２）AとCは独立か。

（３）AとDは独立か。

（４）AとEは独立か。

問 18（１）独立である（２）独立でない（３）独立でない（４）独立

である

問 19 ある事件で，本当のことを言う確率が 80％である証人X1, X2, X3

がいる。いま３人とも「Yが犯人だ」と証言した。本当にYが犯人であ

る確率はいくらか。ただし，Yは上の３人とは別人である。

問 1912(( 4

5)3)

12(( 1

5)3+( 4

5)3)

= 6465

問 20 鳥インフルエンザ検査の正確さが 98%だとする。つまり、鳥イン

フルエンザにかかっている鶏がこの検査を受けた場合に陽性と出る確率

が 98%であり、鳥インフルエンザにかかっていない鶏がこの検査を受け

た場合 98%の確率で陰性と出る。さらに、実際に鳥インフルエンザにか

かっている鶏の割合は 0.5%だとする。

ある鶏がこの検査を受けたところ、結果は陽性であった。この鶏が鳥

インフルエンザにかかっている確率はいくらか。

問 20 49248

問 21 ある製品を製造する工場A, Bがあり，A工場の製品には 5％，B

工場の製品には 3％の不良品が含まれている。A工場の製品と B工場の

製品を 2：3の比で混ぜた中から１個を取り出すとき

（１）それが不良品である確率を求めよ。

（２）不良品であったとき，それがA工場の製品である確率を求めよ。

問 21 （１） 19500（２）10

19

1.3. 平均と分散 9

問 22 各問が 3つの選択肢からなる小問が 10問ある。この選択肢のうち

1つが正解で他の 2つは不正解である。受験者は理解している問いには正

しい選択肢を選び，理解していないものについてはでたらめに（すなわ

ち各選択肢を等確率で）選んで解答する。

ある受験者がちょうど 7問正解したとき，「この受験者はどの問にもでた

らめに回答した」という判断が正しい確率を次のようにしてもとめよう。

（１）Aを「受験者がちょうど 7問正解した」という事象とし，Bi, i =

0, ..., 10を「この受験者がちょうど i問正解を知っていた」という事象とす

る。P (A|Bi)をもとめよ。ただし，P (A|B8) = P (A|B9) = P (A|B10) = 0

とする。

（２）P (B0) = · · · = P (B7)という仮定のもとで，問題の確率を

P (B0|A) =P (B0 ∩ A)

P (A)=

P (B0).P (A|B0)∑7

i=0 P (Bi).P (A|Bi)

により計算せよ。

問 22 （１）P (A|Bi) = 10−iC7−i(13)7−i(2

3)3, i = 0, ..., 7

（２） 120(10C7+39C6+...+1·1)

問 23 E君は一目ぼれの彼女に熱烈なメイルを出したが、ついに返事は

来なかった。ただし出した先は私信のメールもチェックするので悪名高い

女子寮で、検閲に引っかかって彼女のもとに渡らない確率が 0.3, 彼女が

それを見ても一笑に付してメイルを削除する確率が 0.5, 見て好意を抱い

てくれても羞恥心から返事を書かない確率が 0.7である。E君にはどれく

らいの確率で望みが残されているか。

問 23

1.3 平均と分散

p.25 (問）

10 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

問 24 さいころを投げて出た目の数だけ得点がもらえるゲームがある。た

だし、出た目が気に入らなければ 1回だけ投げなおすことができる。こ

のゲームでもらえる得点の期待値が最大になるように振舞ったとき、そ

の期待値を求めよ。

問 24 12· 7

2+ 1

6(4 + 5 + 6) = 17

6

p.23 (例題６）

問 25 さいころを２回投げて，出る目の数の和をXとする。Xの分布の

分散 V (X)を求めよ。

問 25 7, 356

p.27 (例 11）

問 26 確率変数Xのとる値 xの範囲が 1 ≤ x ≤ 3で，その密度関数 ρ(x)

が

ρ(x) = −3

4x2 + 3x −

9

4(1 ≤ x ≤ 3)

で与えられるとき，Xの平均と分散をもとめよ。

問 26 順に 2, 15

p.27 (問 15）

問 27 確率密度関数 ρ(x)がつぎで与えられる確率分布にしたがう確率変

数の期待値（平均），分散，標準偏差をもとめよ。

（１）ρ(x) = 1β−α

(α ≤ x ≤ β)

（２）ρ(x) = 34(1 − x2) (−1 ≤ x ≤ 1)

問 27 (1) (β+α)2

, β−α

2√

3(2) 0,

√5

5

問 28 同じ設定で V (aX + b) = a2V (X), a, b は定数を示せ。

1.3. 平均と分散 11

問 28 略

問 29 同じ設定で V (X + Y ) = V (X) + V (Y )を示せ。

問 29 略

p.31

問 30 次をしめせ。

（１）A1, ..., Anを事象とするとき

P (∪ni=1Ai) ≤

n∑

i=1

P (Ai)

（２）A, B, Cを事象とするとき

P (A ∩ B ∩ C) ≥ 1 − P (Ac) − P (Bc) − P (Cc)

問 30 (1)

(2)

問 31 (p.31)上の４つが同値であることを証明せよ

問 31 略

p.31 (問題)

問 32 原点Oを出発して，数直線上を動く点Pがある。さいころを投げ

て，５か６の目が出れば Pは＋ 1だけ移動し, それ以外の目が出れば P

は－ 1だけ移動する。この試行を 10回繰り返した後の，点Pの座標をX

とする。

（１）Xの期待値（平均）と分散を計算せよ。

（２）X2の期待値（平均）を計算せよ。

12 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

問 32 （１）−103, 80

9（２）20

問 33 10枚のカードがあり、その各々に 0，2，6のいずれかの数を記入

する。これら 10枚のカードから１枚を選び，そのカードに記された数を

X とするとき，その平均が 3で分散が 6以下になるようにしたい。数 0，

2，6の記されたカードの枚数をそれぞれいくらにすればよいか。

問 33 順に１枚，６枚，３枚

問 34 Xは連続分布に従う確率変数で，その密度関数が

ρ(x) = C1

(1 + |x − 1|)5

で与えられるとする。ただし，Cは正定数である。

（１）定数Cを計算せよ。

（２）Xの期待値と分散を計算せよ。

（３）|X | ≤ 1となる確率を計算せよ。

問 34 （１）2 （２）1, 13（３）40

81

問 35 集団の中から無作為に 13人を選ぶとき，日曜日生まれの人の数を

X，土曜日生まれの人の数を Y とする。ただし，どの曜日に生まれる確

率も 17とする。

（１）X = k, Y = mとなる確率 P (X = k, Y = m)を k, mの式として

表せ。ただし，k ≥ 0, m ≥ 0, k + m ≤ 13とする。

（２）P (X = k), P (Y = m)をもとめよ。X, Y は独立か。

問 35

問 36 Xは離散型または連続型確率分布にしたがう確率変数とし，Xの

平均E[X]，分散 V (X)ともに有限とする。次をしめせ。

V (X) = E[X2] − (E[X])2

1.3. 平均と分散 13

問 36 略

問 37 さいころを 2回投げ、1回目の目を X, 2回目の目を Y とする。

U = X + Y, V = X − Y とおく。Xと Y は独立か。

p.32 (総合問題)

総　合　問　題

問 38 nを２以上の整数とする。１つのさいころを n回続けて投げ，同

じ目が初めて２回続けて出るまで投げた回数をXとする。ただし，n回

までに続けて同じ目が出なかったときには，X = n + 1とする。Xの期

待値（平均）を求めよ。

問 38 7 − 5(56)n−1

問 39 1枚の硬貨を投げて，表が出ればAさんに 1点を与え，裏が出れ

ばBさんに 1点を与える。硬貨を n回投げるとき，Aさんの総得点をX，

Bさんの総得点を Y とする。２人とも持ち点 0から始めるとして

（１）Xの確率分布と期待値を求めよ。

（２）X − Y の確率分布と期待値を求めよ。

（３）n回投げてX = iであったとき，1回目に表が出ていた条件つき

確率を，i = 1, 2, ..., nについてもとめよ。

問 39 (1)nCk(12)n(2)0(3) i

n

問 40 １枚の硬貨を６回投げ，各回ごとに表が出たら次の規則にしたがっ

て点を与え，裏が出たらその回は０点として，６回の合計点をXとする。

１回目 · · · ３点

２,３回目 · · · ２点

４,５,６回目 · · · １点

（１）Xの期待値（平均）と分散を求めよ。

（２）P (X = k)を k = 2, 3, 7, 8について求めよ。

14 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

問 40 (1)5, 5(2) 564

, 864

, 864

, 564

問 41 3つの箱 A，B，Cがあり，箱 Aには 4個の赤球と 2個の白球が

入っている。箱 Bには１から８までの数字を 1つづつ書いた札が計 8枚

入れてあり，箱Cには４から 11までの数字を１つづつ書いた札が計 8枚

入れてある。

まず箱Aから球を 1個取り出して，もしそれが赤球ならば箱Bから札

を 1枚取り出し，もしそれが白球ならば箱 Cから札を 1枚取り出す。こ

のようにして取り出される札の数をXとする。

（１）3 ≤ X ≤ 5となる確率をもとめよ。

（２）Xの期待値（平均）と分散をもとめよ。

問 41

(1) 3r+2s8(r+s)

(2)3(3r+5s)2(r+s)

ただし r = 4, s = 2

問 42 つぼAには数字 2, 4, 6, 8がひとつずつ書かれた札が計４枚，つ

ぼBには数字 1, 3, 5, 7がひとつずつ書かれた札が計４枚入っている。ま

ず，つぼAから無作為に 1枚取り出しその札に書かれた数をXとする。

もしX = 8ならば，つぼBから無作為に 1枚取り出しその札に書かれ

た数を Y とする。

もしX 6= 8ならば，つぼAの残りの 3枚から無作為に 1枚取り出しそ

の札に書かれた数を Y とする。

Z = X + Y とする。

（１） E[X]および V (X)をもとめよ。

（２）E[Y ]および V (Y )をもとめよ。

（３）Xと Y は独立か。

（４）E[Z]および V (Z)をもとめよ。

問 42 (1)5 (2)6712

(3)独立でない (4)8712

1.4. いろいろな分布 15

1.4 いろいろな分布

p.37 (問 18)

問 43 ○，×で答える６つの問題が与えられている。この解答をするの

に考えないででたらめに○，×をつけるとき，そのうちの正解数をXと

する。Xの期待値，分散および標準偏差をもとめよ。

問 43 　 3, 32,√

62

問 44 日本人の血液型は，10人に３人の割合でO型である。5人の日本

人を任意に選んだとき，そのうちのO型の人数をXとする。Xの期待値，

標準偏差をもとめよ。

問 44 32, 21

20,√

2120

p.41 (問 20)

問 45 ある家に 1日にかかってくる電話の回数はポアソン分布に従い，そ

の平均は８（回）である。この家に電話が 1日に 10回以上かかってくる

確率と，1日に高々４回しかかかってこない確率をもとめよ。

問 46 あるレンタカーの営業所、には 3台の車があり 1日単位で貸し出

す。レンタカーの需要は 1日平均 2台でポアソン分布に従う。1台貸し出

すと 7000円の収入がある一方、営業所全体の経費として 1日あたり 8000

円かかる。その営業所全体での 1日の利益額の期待値を求めよ。

問 46 3 − e−2 , 4,474円

16 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

1.4.1 連続分布

p.42 (問 22)

問 47 ある電話局管内の電話の通話時間（分）は確率変数X で表され，

その確率密度関数 ρ(x)は

ρ(x) = Ce−x3 (0 ≤ x < 180), = 0 (x ≥ 180)

である。一方，通話料は 3(n− 1) ≤ x < 3n （nは自然数）の通話時間に

対して 10n円である。

（１）定数Cの値をもとめよ。

（２）1回の通話時間の平均をもとめよ。

（３）1回の通話料の平均をもとめよ。

問 47 (1) 13

(2) 3 (3) 42.96

p.46 (問 23)

問 48 ある試験での成績の結果は，平均点 64点，標準偏差 14点であっ

た。得点の分布は正規分布にしたがうとするとき，次の問に答えよ。

（１）得点が 36点から 92点の者が 400人いた。受験者の総数は約何

人か。

（２）合格点を 50点とすると，約何人が合格することになるか。

問 48 (1) 419 (2) 353

p.47 (問題)

問 49 50歳の夫と 48歳の妻が 20年後まで生存する確率は，夫が 0.15，

妻が 0.2である。現在夫が 50歳，妻が 48歳である夫婦が 10組いるとし

て，このうち 20年後に夫婦のうち少なくとも一方が生存している組の数

をXとする。Xが二項分布に従うとして，Xの期待値，標準偏差をもと

めよ。

問 49 3.2, 1.475

1.4. いろいろな分布 17

問 50 2 じゃがいもの山積みがあって，その不良品率は 10%である。こ

の中からでたらめに 25個取り出すとき

（１）不良品がちょうど３個含まれる確率をもとめよ。

（２）良品が少なくとも 20個含まれる確率をもとめよ。

（３）良品が 20個以下である確率をもとめよ。

問 50 (1) 12548

e−52

(2) 498153840

e−52

(3) 1 − 416903840

e−52

追加：

3 人口 100万人のある県では，ある病気Bの発生が１年間に平均 10件

みられる。この県で病気Bにかかる人が 1年間に 2人以下である確率を

もとめよ。

問追加　 61e−10

追加：

4 E大学で花粉症が流行し，対策に追われた当局は花粉の数を調べる

ため構内に 10000個の観測皿を設置してその中の花粉数を調べた。その

結果，10000個の観測皿のうち花粉が２個入っていたものが 109個，３個

入っていたものが６個あった。

(1) 降りそそいだ花粉の数を推定せよ。

(2)　花粉が 1つも入っていない観測皿の枚数を求めよ。

問追加 (1) 180000109

(2) e−18109

練　習　問　題

問 51 nを２以上の整数とする。１つのさいころを n回続けて投げ，同

じ目が初めて２回続けて出るまで投げた回数をXとする。ただし，n回

までに続けて同じ目が出なかったときには，X = n + 1とする。Xの期

待値（平均）を求めよ。

18 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

問 51 7 − 5(56)n−1

問 52 1枚の硬貨を投げて，表が出ればAさんに 1点を与え，裏が出れ

ばBさんに 1点を与える。硬貨を n回投げるとき，Aさんの総得点をX，

Bさんの総得点を Y とする。２人とも持ち点 0から始めるとして

（１）Xの確率分布と期待値を求めよ。

（２）X − Y の確率分布と期待値を求めよ。

（３）n回投げてX = iであったとき，1回目に表が出ていた条件つき

確率を，i = 1, 2, ..., nについてもとめよ。

問 52（１）nCk(12)n （２）0 （３） i

n

問 53 １枚の硬貨を６回投げ，各回ごとに表が出たら次の規則にしたがっ

て点を与え，裏が出たらその回は０点として，６回の合計点をXとする。

１回目 · · · ３点

２,３回目 · · · ２点

４,５,６回目 · · · １点

（１）Xの期待値（平均）と分散を求めよ。

（２）P (X = k)を k = 2, 3, 7, 8について求めよ。

問 53（１）5, 5 （２）順に 564

, 864

, 864

, 564

問 54 3つの箱 A，B，Cがあり，箱 Aには 4個の赤球と 2個の白球が

入っている。箱 Bには１から８までの数字を 1つづつ書いた札が計 8枚

入れてあり，箱Cには４から 11までの数字を１つづつ書いた札が計 8枚

入れてある。

まず箱Aから球を 1個取り出して，もしそれが赤球ならば箱Bから札

を 1枚取り出し，もしそれが白球ならば箱 Cから札を 1枚取り出す。こ

のようにして取り出される札の数をXとする。

（１）3 ≤ X ≤ 5となる確率をもとめよ。

（２）Xの期待値（平均）と分散をもとめよ。

1.4. いろいろな分布 19

問 54（１） 3r+2s8(r+s)

（２）3(3r+5s)2(r+s)

ただし r = 4, s = 2

問 55 つぼAには数字 2, 4, 6, 8がひとつずつ書かれた札が計４枚，つ

ぼBには数字 1, 3, 5, 7がひとつずつ書かれた札が計４枚入っている。ま

ず，つぼAから無作為に 1枚取り出しその札に書かれた数をXとする。

もしX = 8ならば，つぼBから無作為に 1枚取り出しその札に書かれ

た数を Y とする。

もしX 6= 8ならば，つぼAの残りの 3枚から無作為に 1枚取り出しそ

の札に書かれた数を Y とする。

Z = X + Y とする。

（１） E[X]および V (X)をもとめよ。

（２）E[Y ]および V (Y )をもとめよ。

（３）Xと Y は独立か。

（４）E[Z]および V (Z)をもとめよ。

問 55（１）5 （２）6712（３）独立でない（４）87

12

問 56 人口 100万人のある県では，ある病気Bの発生が１年間に平均 10

件みられる。この県で病気Bにかかる人が 1年間に 2人以下である確率

をもとめよ。

問 56　 61e−10

問 57

次の表（次ページ）のような宝くじ（1枚 200円）の賞金額の期待値を

計算せよ。

20 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

等級 当選金 本数

１等 40000000 7

１等前後賞 10000000 14

１等組違い賞 200000 903

２等 10000000 5

２等組違い賞 100000 645

３等 1000000 130

４等 140000 130

５等 10000 1300

６等 1000 26000

７等 200 1300000

はずれ 0 （引き算）

合計 13000000

問 57

約 89.41(円)

1.5 モーメント母関数

5章の問題

問　題

1　 (Max とMinの分布) X1, ..., Xnは独立同分布の確率変数で、指数

分布 e(λ)に従うとする。

(1) Z1 = max(X1, ..., Xn)とおく。Z1のモーメント母関数を求めよ。

(2) Z2 = min(X1, ..., Xn)とおく。Z2のモーメント母関数を求めよ。

問 5-1(58) (1) MZ1(t) = n!λn

(nλ−t)···(λ−t)

1.6. 正規分布の応用 21

(2) MZ2(t) = nλnλ−t

2　（１）Xが [0, 1]上の一様分布にしたがうとき、Y = aX +b (a > 0)

の確率密度関数を求めよ。

（２）Xが平均µ,分散σ2のR上の正規分布にしたがうとき、Y = aX+b

の確率密度関数を求めよ。

問 5-2(59) (1) 1a(b ≤ y ≤ a + b) (2) 1√

2πaσe−

(y−b−aµ)2

2σ2a2

3　 X と Y が、平均 0, 分散 1のR上の正規分布にしたがう独立な確

率変数であるとき、Z = X + Y の確率密度関数を求めよ。

問 5-3(60) 1√2π

√2e− z2

2√

22 , = N(0, 2)の密度関数

4　 Xと Y が、[0, 1]上の一様分布にしたがう独立な確率変数であると

き、Z = X + Y の確率密度関数を求めよ。

問 5-4(61) f(z) = z (0 ≤ z ≤ 1), = (2 − z) (1 ≤ z ≤ 2)

1.6 正規分布の応用

6章の問題

問　題

問 58 (1) あるくじは 1000本発行され、このうち 2本が当たりである。

このくじを何本か買って当たる確率を 12以上にするためには、少なくと

も何本買わなければならないか。

(2) このくじは毎週発行される。太郎君は毎週このくじを 1枚買う。少

なくとも 1回当たる確率を 12以上にするためには、少なくとも何本買わ

なければならないか。

22 第 1章 1～ 6章の問題と解 (確率)

問 58 (1) (1000−r)(999−r)1000·999

< 1/2より r > 293

(2) r log(1 − p) < log 12より r > 342.2

問 59 次を示せ。∫ x

0

e−t2

2 dt ≥

√

π

2(1 −

1

x2)

問 59　（チェビシェフの不等式による）

問 60 (Xi)i=1,2,...を平均 λ = 1のポアソン分布をもつ独立同分布の確率

変数列とし、Sn = X1 + X2 + ... + Xnとする。

(1) Snの分布は何か。

(2) P (Sn ≤ n) = e−n∑n

k=1nk

k!を示せ。

(3) 中心極限定理を使って

limn→∞

e−n

n∑

k=1

nk

k!=

1

2

を示せ。

問 60 (1) Po(λ) (帰納法) (2) 略　 (3)　略

問 61 ある町には 20000人の住人がいて、このうちある病気の免疫を持っ

ていない人の割合は 0.4である。この病気になる人の割合を全体の 1割以

下にする確率を 90パーセント以上にするためには、ワクチンを少なくと

も何個用意しなければならないか。

問 61

1.6. 正規分布の応用 23

prob.tex ここまで

まずは 6章に対応するここまで。

25

7～ 9章までの問題と答え(統計):

未整備