構成的場の理論

寺西 功哲

‐自由場‐

•目的

•意義

公理系を満たす自由場を構成する。

•意義

・公理系の無矛盾

・時刻０のCCR（Canonical Commutation Relations）表現

構成的場の理論とは構成的場の理論とは

場の量子論の発散の困難

繰り込み

数学的懐疑数学的懐疑

公理的場の理論

構成的場の理論

スピンと統計の関係

CPT定理

Constructive Quantum Field Theory

•相対論的場の量子論のモデルで非自明な(自由場でない)ものを数学的に厳密な方法で構成し、そ学的に厳密な方法で構成し、その物理的特性を明らかにする。

枠組み

公理系

意義

•非摂動の場の量子論のモデル

•紫外発散と赤外発散の両方を同時に外せるか？時に外せるか？

•質量ギャップの存在

• カットオフの無い理論

• etc

Garding-Wightman axiom

• 場の対称性

• 場の緩増加性

• 真空の巡回性

• 相対論的不変性

• スペクトル条件

• 微視的因果律

• 真空の一意性

Wightman axiom

• Wiｇhtman超関数を用いてG‐W公理系を言い換えたもの

Osterwalder-Schrader axiom

• Wightman超関数の時間を虚数時間へ解析接続したSchwinger関数によるWightman公理系の翻訳

• ユークリッド化される。

構成法

•ハミルトニアン法

•ユークリッド法

ハミルトニアン法

• の本質的自己共役性と下界性の証明

• の真空 の存在。•

• の真空の期待値が切断を除く極限 をとるとき収束する。

• Wightman公理系を満たす。

ユークリッド法(格子近似)

• 空間切断の入った格子空間上のSchwinger関数を定義する。

• 無限体積極限の存在を示す。

• 格子間隔０の極限の存在を示す。

• O-S公理系を満たすことを示す。• Non-trivialかどうか？

自由場の構成自由場の構成

ヒルベルト空間

生成・消滅演算子

Segalの場の演算子

場の作用素

(場の対称性)

Klein-Gordon方程式に従う

(場の緩増加性)

(真空の巡回性)

ハミルトニアンを定義

(物理的真空の存在)

相対論的不変性

(相対論的不変性)

(真空の一意性)

微視的因果律

結果

次の組が公理系を満たす。

今後の課題

• 公理は正しいか？

• ４次元でのノントリヴィアルなモデルの構成の構成

補足補足