DERYWATYWY HEDGINGLiteratura uzupełniająca

W.Tarczyński, Instrumenty pochodne na rynku

kapitałowym, PWE, 2003

A.McDougall, Swapy, Dom Wyd.ABC, Kraków 2001

F.Taylor, Rynki i opcje walutowe, Dom Wyd.ABC, Kraków 2000

George Crawford, Bidyut Sen, Instrumenty pochodne,

narzędzia podejmowania decyzji, Liber, Warszawa, 2002

ZASTOSOWANIA POCHODNYCH

• Subsytut innych inwestycji (np..indeksy)

• Zabezpieczenie inwestycji

• Spekulacja

• Inżynieria finansowa

• Dźwignia finansowa odgrywa dużą rolę w

transakcjach pochodnych

HEDGE ? - EKSPOZYCJA;

POZIOM TOLERANCJI• Można dostarczyć wiele instrumentów

zabezpieczających pod warunkiem, że zna się

własną ekspozycję na ryzyko

• “Określ swoją ekspozycję (profil ryzyka) a

powiem Ci, jakich instrumentów należy użyć”

• Trzeba mieć prawidłowe oczekiwania zmian cen

i czasu, w jakim się one dokonają

• Mieć świadomość motywacji i tolerancji na

ryzyko (jakim kapitałem może ryzykować)

ZASTOSOWANIA POCHODNYCH

• Substytut innych inwestycji (np.indeksy)

• Zabezpieczenie inwestycji

• Spekulacja

• Inżynieria finansowa

• Dźwignia finansowa odgrywa dużą rolę w

transakcjach pochodnych

DERYWATY - INSTRUMENTY

POCHODNE• Derywaty (instrumenty pochodne)

• definicja: kontrakty, których wartość zależy od

wartości instrumentu (primary instruments), na

które są wystawione. Wartość zależy od cen

(obligacje, akcje, towary) lub nominalnej wartości

kontraktu (np.kursy walut). Instrumenty pochodne

zawsze mają jakąś wartość (dodatnią lub ujemną).

Rozliczenie jest odnoszone do przyszłości

• Wartość zmienia się w sposób ciągły w zależności

od rynku. Służą zabezpieczeniu lub spekulacji,

dostosowanie do potrzeb inwestorów (zwiększają

kompletność rynku)

DERYWATY - INSTRUMENTY

POCHODNE

• Istnieją w zasadzie dwa główne typy transakcji pochodnych: forward i opcje (inne to kombinacje tych podstawowych).

• Derywaty wypełniają paletę instrumentów (kompletność rynku) i mają najniższe koszty transakcyjne.

• Podstawą decyzji jest zysk & ryzyko.

• Transakcje derywatywne są grą o sumie zerowej

DERYWATY - INSTRUMENTY

POCHODNE• Fundamentalne założenie, że rynek powoduje brak istnienia

możliwości bezkosztowego arbitrażu (Modigliani Miller 1958 -efektywność rynków – prawo jednej ceny u klasyków) – ta sama cena dla tych samych cashflow, ryzyka i zysku !!!

• Valuation by replication – czyli nawet skomplikowany instrument można replikować na cash flow dający ten sam efekt.

• Założenie frictionless market – dla uproszczenia brak kosztów transakcyjnych, podatków, nieograniczone możliwości pożyczkowe po stopie wolnej od ryzyka, wolno sprzedawać short, ciągłość handlu

• Mogąc wycenić cash flow – można wycenić ryzyko instrumentu.

• Dla derywatów kluczową koncepcją jest net cost of carry

• Silna korelacja między cenami forward i przyszłymi cenami spot

WARTOŚĆ DERYWATÓW

• Wartość derywatów jest funkcją wartości

nominalnej lub ceny instrumentu (też

indeksu) pochodnego.

• Szeroki podział to instrumenty:

• Linearne – forward, future, swaps

• Nielinearne: opcje, warranty,

• Suma gry zysków i strat jest w samych

kontraktach zerowa

DERYWATY SEPARACJA

WOLUMENU I CEN

Innowacyjne zarządzanie

Zarządzanie ceną Zarządzanie wolumenem

Zakupy dostosowane

do popytu

Zarządzanie zapasami

Stała cena w okresie

Wykorzystanie cen

rynkowych

Wybór właściwego

instrumentu

hedgującego

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM

Zarządzanie

ryzykiemhedging

instrumenty

strategie

ZARZĄDZANIE RYZYKIEM

hedging

ekspozycja

Ryzyko

środowisko

instrumenty

asset liability

mapowanie ekspozycji

wycena ryzyka

Var/stress test

strategie

organizacja

procedury

systemy

polityka

Zarządzanie

ryzykiem

• Produkty hedgujące symetryczne i

asymetryczne

• Produkty proste i złożone

• Doskonałe zabezpieczenie dają tylko

instrumenty symetryczne - tu korelacja = -1

• Produkty rynków dewizowych

• Produkty bazujące na stopach procentowych

• Commodities

• Produkty kredytowe

• Pogoda, indeksy ekonomiczne

HEDGING ZEWNĘTRZNY

INSTRUMENTY POCHODNE

• O ryzyku

symetrycznym:

– kontrakty terminowe

(outright, FRA),

– kontrakty terminowe

(futures),

– kontrakty wymiany

(swap)

• O ryzyku niesymetrycznym:

– opcje

– (cap, floor, collar)

– warranty (prawo subskrypcji

np.akcji po ustalonej cenie; rodzaj

opcji, trochę jak długi call)

– Egzotyczne (power option, cliquet,

reset, compound, lookback,

barrier&binary…)

Instrumenty pochodne w każdym momencie mają

wartość

Mogą służyć hedgowaniu, spekulacji, arbitrażowi,

tworzeniu pozycji syntetycznych

HEDGING SYMETRYCZNY

Hedge symetryczny ma doskonałą korelację negatywną dla krótkiej

i długiej pozycji

Zyski i straty z pozycji pierwotnej pokrywane są przez symetryczny hedge

Pozycja pierwotna Symetryczny hedge

Pozycja netto

ZYSK

STRATA

INSTRUMENTY POCHODNE

ROZWÓJ RYNKU

• Pozagiełdowe OTC

– opcje

– forwards

– swaps

– strukturyzowane

• Giełdowe

– opcje

– financial futures

– warranty

Forwardy stosowane były już w XII w

Giełdy towarowe XVII w

futures stosowane były już w XVI w

opcje stosowane były już w XVII w

swap dopiero od 1981 roku

INSTRUMENTY POCHODNE

GIEŁDOWE

IZBA

ROZLICZ.

GIEŁDABROKER BROKER

KLIENT KLIENT

RYNEK GIEŁDOWY

• Brak ryzyka kredytowego - Izba rozrachunkowa

gwarrantuje wykonanie kontraktów

• Instrumenty standardyzowane

• Jawność obrotu

• Jednorodność klientów

• Notowania cen

• Zamykanie transkacji z Izbą

• Płynność

• Depozyty zabezpieczające (initial margin,

maintenance margin, przyrost variation margin)

INSTRUMENTY POCHODNE

POZAGIEŁDOWE

BROKERBANK BANK

KLIENTKLIENT

RYNEK POZAGIEŁDOWY

• Ryzyko kredytowe

• Instrumenty niestandardowe

• Mała jawność obrotu

• Ograniczona symetryczność stron

• Ceny indywidualne

• Transakcje rzadko zamykane przed maturity

• International Swaps and Derivatives Association ISDA (1985)

KLIENCI

• RYNEK GIEŁDOWY

– Fundusze

inwestycyjne

– Fundusze

emerytalne

– Firmy

ubezpieczeniowe

– Klienci

indywidualni

• RYNEK

POZAGIEŁDOWY

– Przedsiębiorstwa

– Firmy

ubezpieczeniowe

– Fundusze

niepubliczne

– Klienci

indywidualni

– Banki

GENEZA• 1750 B.C. Kodeks Hamurabiego opcja defaultowania odsetek, gdy zbiór wyschnie lub zmyje go woda

• 350 b.c. Opcja na dostawy oliwy Arystoteles Polityka

• Rzym rynki towarowe - zorganizowane

• XI/XII w targi sformalizowane

• 1600 forwardy i opcje na cebulki tulipanów

• 1848 CBOT forward na zboże

• 1865 CBOT forwardy na rolne i surowce, standardowe kontrakty, izba rozliczeniowa

• 1870 NY Cotton Exchange futures na bawełnę

• 1878 Londyn Corn Trade futures

• 1882 Futures na kawę

• 1904 Winningpeg Canada futures na commodities

• 1919 San Paolo, Chicago Mercantile Exchange, 1933 Comex futures na srebro,1952 London Metal Exchange, 1960 Sydney Futures Exchange wełna,

• 1972 CME futures na FX

• 1973 Chicago Board Options Exchange na 16 akcji NY

• 1975 CBOT futures na stopę %, opcje na akcje Kanada, Amex, Philadelphia

• 1978 Opcje w Londynie, Holansii, NY futures na olej opałowy

• 1980 Londyn futures na ropę

• 1981 OTC interest rate swap

• 1982 powstaje LIFE futures na instrumenty finansowe, CME futures na S&P500, CBOT opcje na T-bondy, T-bills, Comex opcje na futures na złoto

• 1984 Singapore International Monetary Exchange futures w Azji, 1986 Hong Kong

• 1992 credit derivative na OTC

• 1996 NYMEX futures na prąd

• 2004 CBOT futures na volatility index i warianancję S&P500

HEDGING

• Ryzyko, które jest mierzalne może podlegać

zarządzaniu

• Hedging:

– Statyczny – polega na przyjmowaniu lub

wychodzeniu z pozycji w odpowiednim horyzoncie

(forward, futures…)

– Dynamiczny – polegający na ciągłej zmianie sald

struktury portfela (opcje…)

POCHODNE - RYZYKO KURSOWE

INSTRUMENTY

RYZYKO KURSOWE

przygotowaniekontraktu

podpisaniekontraktu

zrealizowaniekontraktu

wystawieniefaktury

Okresowesprawozdanie

datasprzedazy

waluty

Źródłem ryzyka jest czas, który upływa od momentu

podjęcia decyzji do momentu jej realizacji - ostatecznego

rozliczenia (transakcyjne, translacyjne, ekonomiczne,

podatkowe) data

platnosci

RYZYKO KURSOWE

• Zdefiniowanie pozycji (aktywa, pasywa,

terminy zapadalności, wymagalności…)

• Określenie poziomu dopuszczalnego

ryzyka (np.bpv, luka, duracja, greeks, VAR,

stress test, crash test...)

• Wybór narzędzi i strategii

zabezpieczających

PROFIL RYZYKA W EKSPORCIE

zysk

strata

kurs wymianye

P

PROFIL RYZYKA W IMPORCIE

zysk

strata

kurs wymiany

TRANSAKCJE DEWIZOWE

FX

forward

spot opcje

NDF

produkty

strukturalne

Fade-In Forw.

Conditional

Forward.etc

.

strategie

financialfutures

Currency

swaps

SPOT: WYMIANA WALUT FX

• SPOT fizyczna dostawa instrumentu lub towaru w

ciągu 2 dni roboczych (niekiedy dawniej 7 dni)

• Banki zapewniają swoim klientom możliwość

dokonywania transakcji dewizowych. Transakcje

opiewające na kwoty przewyższające

równowartość EUR 100 000 zawierane są

bezpośrednio z dealerami Interest and Currency

Management , Corporate Desk etc..

• Oferuje się wówczas kwotowania oparte o

aktualne ceny na międzybankowym rynku

walutowym. Dzięki temu klienci otrzymują

najlepsze kwotowania, aktualizowane z każdą

zmianą na rynku międzybankowym.

TRANSAKCJE SPOT

Data transakcji

Zawarcietransakcji

Pierwszy

dzieñ

Drugi

dzieñ

Rozliczenietransakcji

Standardowo transakcje na rynku walutowym s¹ rozliczane na

datê waluty SPOT, tzn na drugi dzieñ roboczy od momentu

zawarcia transakcji

Jeżeli klient nie posiada linii kredytowej waluta musi być

najpóźniej na koncie w dniu rozliczenia

(overnight (od dziś do jutra), tomnext (od jutra do dnia następnego),

spot (za dwa dni), spot next (od pojutrza do następnego), forward)

HEDGING WALUTOWY

FORWARD, FUTURES, NDF

RYNEK FORWARD

• Definicja: Transakcja kupna/sprzedaży ustalona w dniu

dzisiejszym na określoną datę w przyszłości (nie mniej

niż 2 dni - spot), po ustalonym kursie określonej kwoty

(outright) – czyli ilość, cena, data.

• Forward outright vs NDF (rozliczenie różnicą)

• Obowiązek dostarczenia, odbioru, rozliczenia,

symetryczny obowiązek dla obu stron kontraktu

• Standardowe terminy FX: {tom/next, spot,} 1 tydz., 1

mies., 2 mies, 3 mies, 6 mies, 12 mies.

• Przy płynnym rynku można wyjść z forward zawierając

kontrtransakcję. Hedge a spekulacja na rynku forward.

• Nieduże ryzyko kredytowe - settlement risk

• Forward może dotyczyć też stóp %, towarów, indeks etc

Zapłacę za szczeniaka 1000 PLN, jak tylko przestanie ssać sukę

MOTYWY TRANSAKCJI

FORWARD, FUTURES

• Zabezpieczające, spekulacyjne, arbitrażowe

• Instrumenty: waluty, papiery dłużne, akcje,

indeksy giełdowe, towary

• XVII w Holandia cebulki tulipanów, Japonia

ryż

• 1859 CBOT (utworzona 1848) pierwsze

futures oraz Chicago Mercantile Exchange

(1911)

• 1972 CBOT rynek futures International

Money Market (IMM)

16

Kontrakt Forward long - zakup

At the money forward

Elimiminuje ryzyko FX

Klient ponosi koszty negatywnego carry,

ponieważ stopa % dla PLN jest wyższa niż stopa %

dla EUR.

Klient nie partycypuje w aprecjacji PLN .

Notes

Koszt zerowy at the money forward

Klient: kupuje EUR

sprzedaje PLN

Wartość: EUR 10m

Strike: 5.06

Maturity: 12m

Warunki wymiany

W dniu realizacji klient zobowiązany jest dokonać

wymiany wartości nominalnych.

Klient jest związany kursem forward ale też jest

zabezpieczony przed aprecjacją Euro.

To jednak też nie pozwala klientowi partycypować w

aprecjacji PLN.

SPOT

ATMF EURPLN

Spot Ref. = 4.9000

FORWARD

• Wypłata z transakcji forward

WYPŁATA Z TRANSAKCJI FORWARD

Zysk

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Strata FORWARD=4 KURS

SYNTETYCZNY FORWARD

• SYNTETYCZNIE FORWARD SHORT: TO

SHORT (POŻYCZKA,KREDYT) W

OBLIGACJI ZAGRANICZNEJ I LONG

(LENDING) W OBLIGACJI KRAJOWEJ

• SYNTETYCZNIE FORWARD LONG: TO

LONG (INWESTYCJA) W OBLIGACJI

ZAGRANICZNEJ I SHORT (POŻYCZKA) W

OBLIGACJI KRAJOWEJ

FORWARD – ZAŁOŻENIA WYCENY

• Zakłada się brak istnienia bezkosztowego

arbitrażu (zasada jednej ceny dla dwóch

doskonałych substytutów)

• Substytut forward/futures to replikacja

transakcji polegającej na kupnie na kredyt i

przetrzymaniu aktywu (buy and hold, cost of

carry)

• Albo kupuję aktyw na kredyt (odsetki) albo

kupuję forward = ta sama wycena

FORWARD

MODEL COST OF CARRY• Cena forward bazuje nie na zgadywaniu czy

oczekiwaniach ale na cenie dostawy towaru w

przyszłości = spot + cost of carry

• Cost of Carry = Cena zakupu towaru + koszt

finansowania pozycji do terminu realizacji

• FORWARD PRICE = SPOT + COST OF CARRY

• Zakup kury na termin za np. 3 miesiące (karmienie

przez 3 miesiące)

• Kurs terminowy = spot+/-punkty swapowe (można

wyliczyć stopę implikowaną)

• Forward na $ = zakup USD za PLN (w kredycie) i

złożenie depozytu w USD (lokata)

WYCENA FORWARDStrategia Wartość dziś Wartość w t

Strategia I Wartość Spot =Kes Spot +cost of carry

= es (1+c)

Strategia II

Zainwestowanie kwoty

K*es

Koszt finansowania

-

K oraz zabezpieczenie

kursem forward ef

Kupno Forward

Zarobek (Kef-Kes)/Kes

Kes (1+i )/ef

K(1+i‘)

Łącznie strategia II Jeżeli równowaga to

zarobek = kosztowi

Kes (1+i)/ef-K(1+i’)=0

Cost of carry wynika z:

es (1+c)=ef=es (1+i)/(1+i‘)

1+c=(1+i)/(1+i‘)

Premia forward

(1+i)/(1+i‘)-1>0

Dyskonto forward

(1+i)/(1+i‘)-1<0

(1+i)

-------------=ef/es

(1+i‘)

TRANSAKCJA FORWARD

• Alternatywa sekwencji operacji:

– pożyczka na rynku krajowym

– kupno dewiz

– lokata za granicą

– sprzedaż dewiz na termin

• Wzór:

– e sub f - kurs forward

– e sub s - kurs spot

– e podstawa ln

– i - stopa krajowa (risk free)

– i‟- stopa zagraniczna

eee

eeii

sf

sf i

i

'*

'1

1*

COST OF CARRY

Terminy dotyczące transakcji

terminowych• KURS TERMINOWY - kurs rozliczenia ewentualnej transakcji terminowej,

powstały jako suma:

KURS SPOT + PUNKTY SWAPOWE = KURS TERMINOWY

PUNKTY SWAPOWE - różnica między kursem terminowym, a kursem spot,

wyliczana na podstawie różnicy w oprocentowaniu dwóch wymienianych

walut.

• r1 – oprocentowanie waluty terminowej

• r2 – oprocentowanie waluty bazowej

• Baza – baza dni (większość walut 360, wyjątek – GBP i PLN – 365)

))*(1(

))*(1(

2

1

baza

dnir

baza

dnir

spotForward

TRANSAKCJA SHORT FORWARD

W EKSPORCIE

zysk

strata

kurs wymiany

Zabezpieczenie transakcją terminową.

Profil przychodu z forward

Profil ryzyka

RYZYKO W TRANSAKCJI

EKSPORTOWEJ

brak ryzyka

zysk

strata

kurs wymiany

Zabezpieczenie transakcją terminową.

Transakcja forward polega na ustaleniu w dniu dzisiejszym kursu walutowego,

po jakim dokonana zostanie wymiana określonych sum

dwóch walut w ustalonym dniu w przyszłości (w dniu płatności kuponu).

Je¿eli w dniu płatności kuponu euro

na rynku pieniężnym kosztuje mniej niz F,

wówczas wynikające z tego korzyści

są zbilansowane stratą poniesioną

na transakcji forward

F

Jezeli w dniu platnosci kuponu euro na

rynku pienieznym kosztuje powyzej F,

wowczas straty z tytulu nadmiernej

dewaluacji zlotego zostaja pokryte zyskiem

wypracowanym na transakcji forward

FORWARD PLN

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

0 2 3 4 5 6 7

zysk forward

KUPNO (LONG) FORWARD 4 PLN/$, KUPNO 1000$

DZIAŁANIE FORWARD JAKO HEDGE• Zabezpieczenie ryzyka spadku kursu waluty polega na ustaleniu jej ceny przed datą wymiany.

• Daje to pewność korzyści, gdy kurs rynkowy waluty w dniu zapadnięcia forwarda jest niższy

niż kurs terminowy z dnia zawarcia transakcji.

• Odbiera to możliwość sprzedaży waluty na rynku, gdy kurs rynkowy waluty w dniu zapadnięcia

forwarda jest wyższy niż kurs terminowy z dnia zawarcia transakcji.

Forward

3.72

3.78

3.84

3.90

3.96

4.02

4.08

4.14

4.20

4.26

4.32

3.72 3.78 3.84 3.90 3.96 4.02 4.08 4.14 4.20 4.26 4.32

Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji

Bez zabezpieczenia

Forward

• kurs rozliczenia transakcji

dewizowej w powyższym

przykładzie nie zależy od kursu

rynkowego i wygląda następująco:

Rzeczywisty kurs

sprzedaży

EUR/PLN

RYNEK FORWARD - WYCENA

• Zastosowanie: hedging, spekulacja

• Pokryty arbitraż stóp procentowych

– np kurs 4

– i=5%

– i’=2%

0599.04

360*100

180*21

360*100

180*5*44

360*100

'*%1

360*100

*%*

swappunkty

spotdnii

dniispotspot

swappunkty

i'

i

es

ef

i')(efi)es(

esi'esi')(efesi'esi

es

esef

i')(

i'i

1

1

11

1

1i:stopa% krajowa

i’:stopa% za granicą

es:kurs spot

ef:kurs forward

FORWARD - PRZYKŁAD

9,1% PLN p.a.

2.275% USD p.a.

PLN 4,4450

1 USD180 dniWartoϾpo 180 dniach 1.011375

USD/PLN 4,3000

Wartość po 180 dniach 1,0455

1.0455/1.011375=1.0337412

1.0337412*4.3=4.4450871

FORWARD - PRZYKŁAD

Obliczenie kursu terminowego (1)

Kurs Terminowy = Kurs Spotowy x 1 + PLN stopa procentowa

1 + USD stopa procentowa

Zalozenia: 6 mies. PLN WIBOR = 9,1%6 mies. USD LIBOR = 2,275%Kurs Spotowy = 4,3000

a wiec punkty swap’owe = 4,3000 x - 4.31 + (0.091x (180/360))

1 + (0.02275 x (180/360))

= 0.1451 Forward może być traktowany jako para pożyczek 0-kuponowych

Polski importer musi zapłacić 130 mln EUR za 2 miesiące (62 dni po dacie spot). Proszę

skalkulować kurs forwardowy wykorzystując poniższe kwotowania rynkowe:

SPOT EUR/PLN 4.00

Money Market 2 miesiące

EUR 1.90% - 1.95%

PLN 4.5% - 4.6%

Co musi zrobić bank aby zagwarantować klientowi już dziś kurs zakupu EUR/PLN za dwa

miesiące?

Już dziś musi pożyczyć PLN po stawce 4.6%

Następnie za pożyczone PLN kupuje na rynku EUR po 4.00

Zakupione EUR lokuje po stawce 1.9%

Trzy powyższe operacje obrazuje następujące równanie:

PUNKTY SWAPOWE = kurs Outright Forward – kurs spot. W Naszym przypadku:

4.0181 – 4.00 = 0.0181 czyli 1,81 grosza

PRZYKŁAD WYCENY FORWARD

0181.4

))360

62*019.0(1(

))365

62*046.0(1(

00.4

Forward

BAZA W TRANSAKCJI FORWARD

• Wartość wewnętrzna forward S-X ;

deterministyczna bo stopy % są znane ex ante

FORWARD

BAZA

SPOT

X, S

FORWARD

NY

FRANKFURT-3 -2 -1 0

0 1 2 3

-2

-1

0

1

2

2

1

0

-1

-2

RÓZNICE W STOPACH %

R

Ó

Z

N

I

C

E

W

K

U

R

S

A

C

H

EFEKTYWNE KURSY

3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3

4.0

3.9

3.8

3.7

BEZ HEDGU

FORWARD

KURS

EFEKTYWNY

PRZYSZŁY KURS SPOT

WPŁYW HEDGINGU NA CASH

FLOW

KURS FUNT/EURO 0.5 0.55 0.6 0.61 0.65

SPRZEDAŻ 500 550 600 610 650

KOSZT OPERACYJNY 550 550 550 550 550

DOCHÓD -50 0 50 60 100

ZYSK Z FORWARDU 0.61 110 60 10 0 -40

ZYSK PO

FORWARD 60 60 60 60 60

Hedge, forward po 0.61 Ł/EUR, przychód 1000 M euro

EKRAN Z BLOOMBERG

PREMIA DODATNIA RÓŻNICA MIĘDZY KURSEM TERMINOWYM A KASOWYM

DLA WALUTY KWOTOWANEJ (premia dla waluty o niższym oprocentowaniu

może być ze znakiem (-)) np. $ 9,3% (-174bps)

kurs terminowy 1/4.3 $/PLN-1/4 $/PLN

DYSKONTO - UJEMNA RÓŻNICA MIĘDZY KURSEM TERMINOWYM

A KASOWYM DLA WALUTY KWOTOWANEJ (dyskonto dla waluty

o wyższym oprocentowaniu) PLN 7,5% (+3000) KT 4.3- KK 4

ZNAK + DO WALUTY KWOTOWANEJ• Spot, dyskonto, kurs terminowy PLN

• 3,1780 - 3,1800 spot marża kupno/sprzedaż 20 bps

• 220 - 250 dyskonto PLN/premia USD

• 3,2000 - 3,2050 kurs terminowy marża 50 bps

• Spot, premia, kurs terminowy USD

• 0,3144 - 0,3147 spot USD/PLN marża 3 bps

• -24 - -22 premia USD

• 0,3120 - 0,3125 kurs terminowy marża 5 bps

WYCENA FORWARD

dlugiejpozycjidlaKeSV

WALUTDLA

dlugiejpozycjidlaKeSV

spotcenaS

PVforwardwdokonanainwestycjaKe

nettokontraktuforwardrynkowawartoscV

OGÓLNIE

tTitTi

tt

tTi

tt

t

tTi

t

)()('

)(

)(

)(

Wycena wartości forwardu

St 4,1

K 4

i 0,05

T-t 1

V t 0,295082

PREMIA;DYSKONTO

• Jeżeli i‟<i to Ft>St i jest premia forward

• Jeżeli i‟>i to Ft<St i jest dyskonto forward

FORWARD

14.03.02 3.89 102404250

14.03.03 4.16 109512000

14.03.04 4.47 117672750

14.03.05 4.78 125833500

26.325 M EUR

spot 3.5324

Kursy wyliczone z różnicy oprocentowania na powyższe terminy

FORWARD KOSZT

• Formalnie forward jest bez kosztu ale są koszty ukryte w kursie:

• - prowizja – mark-up

• - różnica w bid-ask spread w stopach i kursach walut

• - potencjalnie oportunity cost, gdy wymagane jest zabezpieczenie rozliczenia forwardu

• - może też wystąpić forward rate biased, obserwuje się, że rynek systematycznie wyżej wycenia kursy forward niż jest przyszłu kurs spot (implicit premium)

• Korzyść eliminacja ryzyka kursu walutowego

FORWARD

ZALETY

• Klient zna z góry swój

kurs walutowy

• Klient jest zabezpieczony

przed zmiennością kursu

• W szczególności, gdy

wybucha spekulacja

walutowa

WADY

• Nie można spekulować,

czy wycofać się z transakcji

• Klient nie może

partycypować w korzstnych

dla niego zmianach na

rynku

•Klienci biorą poważne

ryzyko kredytowe,

ponieważ forward oznacza

lewarowanie transakcji

FINANCIAL FUTURES• Kontrakt futures jest standaryzowanym, giełdowym, kontraktem

terminowym (ilość, termin, miejsce dostawy, rozliczenie). Elementem zmiennym jest tylko cena kontraktu. Przedmiotem obrotu jest kontrakt. Kupując lub sprzedając futures przyjmuje się ekspozycję na ryzyko rynkowe. Wartość dodana giełdy to większa płynność, niższe koszty i ryzyko rozliczenia. Rozliczenie cashowe.

• CURRENCY FUTURES

• INTEREST RATE FUTURES

• INDEX FUTURES

• COMMODITY FUTURES

• Cena futures – spot = swap

• Convergence= czyli pozytywne zbliżanie się futures do przyszłego spot – (tak nie jest dla commodities)

• Właściwie wyceniony futures powinien dawać neutralną pozycję – kupić i przetrzymać instrument albo kupić futures.

FINANCIAL FUTURES

• Różnice futures i forwards:

– Handel na zorganizowanych giełdach

– Standaryzowane kontrakty, terminy, kwotowania,

– Aktywny rynek wtórny

– Zyski i straty na futures są wykazywane

codziennie (sposób ciągły)

– Izba rozliczeniowa gwarrantuje rozliczenie

– Wycena mark to market

– Margin jako bufor up-front collateral

– Suma pozycji long musi się równać sumie pozycji

short

FINANCIAL FUTURES• Kontrakty futures na dostawy towarów były notowane na

giełdach towarowych od lat 60-tych XIX stulecia. Chicago

Board of Trade 1842

• Financial Futures pojawiły się na giełdach dopiero w 1972

roku (Chicago Mercantile Exchange).1982 futures na

index S&P (open outcry na otwartym parkiecie, 67 giełd)

• Profil ryzyka jest taki sam jak w forward ale

wyeliminowane jest ryzyko kredytowe (initial margin -

zróżnicowany od instrumentu, jeżeli przekroczy wartości

graniczne musi być uzupełnione – variation margin,

roszczenie do giełdy)

• Kontrakty futures są rozliczane w sposób ciągły (każdego

dnia) według rynku (można w uproszczeniu powiedzieć -

rozliczane w gotówce) mark to market

• Futures jest jakby serią jednodniowych forwardów

GIEŁDA:FINANCIAL FUTURES

• Wystandaryzowany kontrakt kupna lub sprzedaży,

na określony termin np 12.09,

• Kupno 1.VI 1.IX 12.IX

• spot 1.5$/Ł 1.59 $/Ł spot ?

• Futures 1.52 1.61

• strata spot 9c zysk na futures 9c

• initial margin 10-20%, maintaining margin 75%

initial margin, variation margin, izba rozliczeniowa

• F(aktyw, cena kontraktu, ilość kontraktów, termin)

INNY PRZYKŁAD

FX. Np $/Fs=0.4220

0.4220*125000Fs=52750$ za kontrakt, gdy Fs drożeje 0,4240

To wartosc kotraktu wyniesie 0,4240*125000=53000$ zysk 250$

Index

np.500$* indeks np 300,5=150250$

Surowce

• Styczeń cena surowca 500 kontrakt futures 500

• Czerwiec cena surowca 800.

• Strata na zakupie 300 ale zysk na futures 300

Obligacje

• 10 po 1000=1000 futures sprzedaje na czerwiec po 90 czyli za 900

• Cena spada czerwiec do 800

• Traci 200 a z futures odzyskuje 100

CURRENCY FUTURES

• Kalkulacja futures walutowego:

• es=4, i=8%, i‟=4% T=365

• eF=1.0408108*4=4.1632431

• Futures towarowy:

• Futures index

eTii

SF ee)'(

*

)()()1(

)()()1(

odsetekkosztPVdywidendyPVSi

F

yieldeconveniencPVskladukosztyPVSi

F

t

f

t

f

FINANCIAL FUTURES

• Wycena – generalnie jak przy forward, ale tu

zmiana wartości realizowana jest codziennie,

a nie na koniec okresu jak w forwardzie

• Wysoka korelacja cen futures i forwardów

• Zależność jest dwukierunkowa – wzrost

futures zależy od stóp%, ale i wzrost futures

jest zapowiedzią wzrostu stóp%

FINANCIAL FUTURES

• KALKULACJA KORZYŚCI Z FF

• SPOT 0.9800 10.10.02

• FF 0.9805 10.10.02 KUPNO 21.XII (LONG)

• FF (10.11.02) 0.9880 NA XII

• (0.9880-0.9805)*100000=750$

• Kontrakty F<lub=spot+cost of carry

• E(Spot t)=Ft jeżeli model oczekiwań poprawny

FUTURES -> RISK FREE RATE

ft

t

f

t

f

tf

irEPFE

rE

Pr

PPF

i

PPF

iP

PFi

)()(

)(

1)()1(

0

0

0

0

0

0

00

Stopa przychodu wynika z zabezpieczenia kontraktu futures

w obligacjach skarbowych oraz przychodu z kontraktu futures.

Oczekiwana stopa przychodu z racjonalnymi oczekiwaniami = risk

free rate

deterministyczny charakter wartości

r:stopa przychodu

if:risk free rate

P0:wartość bieżąca instrumentu

Ft:wartość przyszła instrumentu

FINANCIAL FUTURES

• International Monetary Market IMM Chicago 1972 7 walut (część

Chicago Mercantile Exchange CME),

• od 1985 łącznie z Singapurem SIMEX

• od 1987 Post(pre) market trade razem 24h

• NY Future Exchange, London LIFE, 30.09.82 4 waluty, Kanada,

Australia, Hong-Kong, Amsterdam….Polska

• Transakcje nierzeczywiste

• IMM 125000DM, 100000CAD, 250000FF,125000 FS, 62500 Ł,

initial margin 900-2000$, gwarancja wykonania

• Futures na złoto 100 uncji, T-bills, S&P (500$*index)…

• termin 3 środa III,VI,IX,XII, open outcry, clearing

• tick 10$,LIFE 2,5$

• 5% fizyczne dostawy,currency futures 14% wszystkich

transakcji futures, najczęściej nierzeczywiste

BAZA DLA FINANCIAL FUTURES

SPOT

CZAS

SPOT

FUTURES

Cena futures

Ryzyko bazy (F-Spot),gdy termin zapadalności futures

inny od terminu rzeczywistego kontraktu

Contango-spadek cen futures

Backwardation-wzrost cen futures

Kierunek zale¿y

od nachylenia

krzywej stóp

NON-DELIVERABLE FORWARD

Różnica pomiędzy „zwykłym-outright” FORWARDEM a NDF

polega przede wszystkim na sposobie rozliczenia transakcji.

W przypadku FORWARD’u następuje fizyczny przepływ

waluty.

W przypadku NDF’u następuje rozliczenie różnic kursowych

pomiędzy kursem terminowym a kursem referencyjnym

(kurs fixing’owy NBP) z dnia rozliczenia.

Nierzczywista transakcja typu forward - rozliczenie dokonywane jest w dacie waluty poprzez

zapłatę iloczynu różnicy między kursem referencyjnym a kursem oraz kwoty nominalnej

transakcji

NDF - ROZLICZENIE

• Płatność netto, mniejsze ryzyko kredytowe,

mniejsze ryzyko płynności

• Przykład

– klient kupił forward ef = 4.2 obecny kurs spot es =

4.1 kontrakt 10M USD

– bank uzyska:

– (4.2-4.1)/4.1 * 10 M USD = 243902.44 USD = 1 MPLN

NDF

• Deutsche Bank Polska oferuje również możliwość zamknięcia transakcji terminowych

bez dostawy, w której następuje jedynie płatność kompensacyjna między stronami

transakcji.

• Transakcja taka nosi nazwę NON-DELIVERY FORWARD (NDF)

• Płatność kompensacyjna NDF równa jest różnicy pomiędzy znanym wcześniej

kursem terminowym, a fixing„iem NBP z dwóch dni roboczych przed dniem

rozliczenia transakcji. • Efektywny kurs sprzedaży

waluty jest wynikiem

wyrównania między

bankiem a klientem różnicy

kursu ustalonego i kursu

spot w dniu realizacji

• Rekompensaty ze znakiem

ujemnym oznaczają kwoty,

jakie klient zapłaci na rzecz

banku, w przypadku gdy w

dniu realizacji kurs spot

znajdzie się na żądanym

poziomie

ARF

• AVERAGE RATE FORWARD (ARF) polega na zawarciu kilku transakcji terminowych

na różne daty rozliczenia po TYM SAMYM KURSIE TERMINOWYM.

• Sytuacja wyjściowa:

Nabywca chce sprzedać walutę - znane z góry kwoty w określonych terminach - od

T1 do T9.

Czas

T1 T2 T5T4 T6T3 T8 T9T7

Kurs w transakcji

AVERAGE RATE

FORWARD

Kursy rozliczenia

poszczególnych

transakcji terminowych

Ku

rs te

rmin

ow

y

• Zawierając transakcję AVERAGE RATE FORWARD sprzedawca waluty

rozlicza poszczególne transakcje po jednym kursie terminowym - w każdym

terminie od T1 do T9 .

• Daje to możliwości przejrzystego księgowania, a przez to efektywnego

zarządzania przepływami walutowymi.

MECHANIZM ARF - PRZYKŁAD.

Parforward

3.74

3.80

3.86

3.92

3.98

4.04

4.10

4.16

4.22

4.28

4.34

3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34

Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji

Bez zabezpieczenia

Parforward

• W przypadku transakcji AVERAGE

RATE FORWARD możliwe jest

rozliczenie rzeczywiste jak również

rozliczenie NDF.

Rzeczywisty kurs

sprzedaży

EUR/PLN

SWAP

• Wymiana przyszłych cash flow np. vanilla

swap to wymiana flow o stałej stopie% na

flow o zmiennej stopie%.

• Przedmiotem wymiany może być każdy aktyw

• Np. waluty, akcje, obligacje, ropa etc.

• Alternatywą transakcji swap jest seria

forwardów

SWAP WALUTOWY

• Transakcja walutowa swap oznacza wymianę przez

dwie strony cash flows w różnych walutach wg

ustalonej formuły

• Transakcja swap walutowy składa się z transakcji

spot i forward zawartych w tym samym momencie

jako transakcje powiązane

• Klient kupuje walute spot i bank odsprzedaje walutę

forward

• Transakcja dwuwalutowa, dwukrotna wymiana

kapitałów, brak płatności odsetek

SWAP

• Swap np. walutowy polega na wymianie

przepływów gotówkowych denominowanych

w dwóch walutach w oparciu o zmienne lub

stałe stopy procentowe

• Podstawą swapów jest wycena przepływów

gotówkowych przyszłych okresów, gdzie

wartość bieżąca tych przepływów powinna

być sobie równa.

• Metodologia wyceny swapa jest taka sama

jak innego instrumentu finansowego

SWAP WALUTOWY

• Strona A kontraktu

swapowego:

• Płaci: R(PLN)=i*Kwota(PLN)

• Otrzymuje:

• R(EUR)=i‟*Kwota (EUR)

• Strona B kontraktu

swapowego

• Płaci:

• R(EUR)=i‟*Kwota (EUR)

• Otrzymuje:

• R(PLN)=i*Kwota(PLN)

BANK

A BANK

A

ODSETKI PLN

ODSETKI EUR

KAPITAŁ EUR

KAPITAŁ PLN

SWAP WALUTOWY

• Wykorzystuje się, gdy:

• bezpośredni dostęp do rynku jest

ograniczony,

• w celu wyrównania pozycji A/P,

• w celu obniżenia kosztów finansowania,

• dywersyfikacji ryzyka walutowego,

• dywersyfikacji bazy inwestorów

• ryzyko kredytowe - settlement risk

STOPA SWAPOWA

• Rynkowa stopa procentowa po stronie stałej

stopy procentowej swapa (payer swap = płaci

fixed rate)

• LUB:

• punkty swapowe doliczane do kursu

kasowego kompensujące różnicę parytetu

stóp procentowych dwóch walut

SWAP CENA

• Wartość swapa

• Wartość forwardu

• Wartość sumy

forwardów

ii

ii

i

T

i

iforward

i

Tforward

eFSnV

okresówwieludla

eFSV

PYPY

SV

)(

)(

($))('$

SWAPY WALUTOWE

FORWARD-FORWARD• Transakcja wymiany między dwoma terminami w

przyszłości.

• Np. Sprzedaż $ za 2 miesiące i odkupienie za 3

miesiące

• Może chce zamknąć wcześniejszą niekorzystną

transakcję oraz przesunąć forward o miesiąc

• Np.Kurs EUR.$ 1.1525-1.1555 EUR i= 4%

$ i=1.72%

• 1 mies 65 61

• 3 mies 165 181

• efekt 165-65=100 181-61=120

HEDGING

OPCJE

optio łac. Prawo, nie obowiązek

OPCJE – PLAIN VANILA• DEFINICJA: Prawo kupna (holder,buyer) lub sprzedaży (writer, seller)

po określonym kursie, w określonym czasie (do expiration

amerykańskie; w maturity europejskie, atlantyckie, Bermuda - kilka

terminów, azjatyckie średnia premia w danym okresie) aktywu (w tym

walut).

• Zobowiązanie niesymetryczne i nielinearne- można ale nie trzeba

korzystać z prawa, prawo do nieograniczonego zysku i

ograniczonego kosztu, opcja = ubezpieczenie

• Option writer (sprzedawca, wystawca) cena = premii, strike price

(zmiana ceny co 5c), premia jako % w danej walucie NPA(Notional

potential am.) Opcje na OTC lub giełdowe, opcje pokryte i niepokryte

(posiadanie przedmiotu opcji)

• Instrument bazowy - underlying (waluta, stopy%, papiery, indeksy)

• Cena bazowa, rozliczeniowa, wykonania (exercise, strike price)

• Opcje stosuje się, gdy kierunek zmian nie jest znany

• (greenshoe option- manager emisji ma krótką pozycję, którą pokrywa opcją na nową

emisję)

POJĘCIA DOTYCZĄCE OPCJI

• Plain Vanilla – zwykła opcja

• Strike/ exercise price– kurs rozliczenia, kurs po którym nabywca opcji może kupić (sprzedać) walutę

• Premia - cena, jaką nabywca płaci za opcję- wyrażona kwotowo, w postaci kursu walutowego lub

procentowo do kwoty nominału.

• Opcja Call – nabywca opcji Call ma prawo (nie obowiązek) kupienia waluty w przyszłości, po kursie

Strike

Przykład: Opcja USDCallPLNPut - nabywca ma prawo kupienia USDPLN po kursie Strike

• Opcja Put – nabywca opcji Put ma prawo (nie obowiązek) sprzedania waluty w przyszłości, po

kursie Strike

Przykład: Opcja USDPutPLNCall - nabywca ma prawo sprzedania USDPLN po kursie Strike

Opcja europejska:

• Opcja At-the-Money Forward (ATMF) - opcja, w której kurs Strike = kurs terminowy (Forward)

• Opcja Out-of-the-Money Fwd (OTMF) - opcja, w której kurs Strike jest gorszy niż kurs terminowy

• Opcja In-the-Money Forward (ITMF) - opcja, w której kurs Strike jest lepszy niż kurs terminowy

• Expiry - data wygaśnięcia opcji

• Delivery - data rozliczenia opcji

OPCJE

• Zabezpieczającym opcja pozwala redukować efekty pogorszające wynik pod wpływem czynnika ryzyka (downside protection).

• Spekulanci używają natomiast opcji do zlewarowania ryzyka. Premia za nabycie opcji jest zawsze tańsza od samego instrumentu.

• Kupione opcje nie dają nigdy negatywnej wypłaty –albo dodatnia, albo 0.

• Sprzedający opcję ma nieograniczone zobowiązanie.

• Opcje mogą być wpisywane w wiele produktów finansowych – depozyty, obligacje…

OPCJE

• Dzień transakcji – trade date

• Dzień płatności premii – premium date

• Dzień wygaśnięcia – expiry date

• Dzień dostawy – delivery date

• Rozliczenie

• Dostarczenie – deliverable

• Rozliczenie różnicowe – cash settled

• Bez zabezpieczenia no hedge=live price

• Zabezpieczenie – delta hedge – vol price

OPCJE CALL & PUT

OPCJE

prawo kupna

BUY

zobowiazanie

dostarczenia

SELL

OPCJA

CALL

prawo sprzedazy

BUY

obowiazek kupna

SELL

OPCJA

PUT

OPCJE

• Zakup opcji to jak kupno ubezpieczenie

• Rzeczywiste - rozliczenie dokonywane jest

przez wymianę kwot w walutach i np. w PLN

• Nierzeczywiste - rozliczenie w dacie jest

dokonywane jedynie przez zapłatę iloczynu

różnicy kursowej między kursem spot a kursem

referencyjnym oraz kwoty nominalnej transakcji

w walucie

• Ograniczona strata, nieograniczony zysk

• Efekt dźwigni, przy małym kapitale duże zyski

OPCJE - GENEZA• Pierwowzory Grecja/Rzym - transakcje - opcja na

zakup lub sprzedaż - głównie produktów rolnych

XVII w Holandia np. Cebulki tulipanów - przed

przybyciem statków

• CBOT (Chicago Board Of Trade) akcje 26.04.1973

Chicago Board Option Exchange, do 1977 tylko call

• 1981 instrumenty dłużne

• X 1982 pierwsze opcje obligacje rządowe

• 1984 opcje na futures (Chicago)soja 1985

kukurydza

• 1992 Filadelfia opcje walutowe na Ł

• 1995 Polska WIBOR, WIG

OPCJE - GENEZA

• Koniec XIX w poszukiwania reguł opcji – Russel Sage opisał parytet opcji call-put

• 1973 Fischer Black i Myron Scholes opisali mechanizm wyceny opcji europejskiej n a akcje bez wypłaty dywidendy

• Rozszerzenie modeli Garman- Kollhagen oraz Grabbe

• Merton opcje na akcje spółek wypłacających dywidendę

• Thorpe model znoszący ograniczenie krótkiej sprzedaży

• Cox i Ross wprowadzili model z nieciągłymi zmianami instrumentu bazowego

• Jarrow Rudd odejście od założeń rozkładu log-normalnego

• Merton wprowadzenie zmiennej stopy procentowej

• 1973 Merton zbudował pierwszy model do wyceny opcji barierowych dla opcji kupna w barierą wyjścia w dół

• Opcje złożone model Geske

• Opcje wsteczne model Goldman, Sosin, Gatto

• Lata 80. model Stulza – model na maksimum lub minimum dwóch instrumentów bazowych

• Ingersoll model opcji azjatyckich

PODSTAWOWE SKŁADNIKI OPCJI

• Typ opcji (Put/Call)

• Sposób wykonania opcji (europejskie

oznaczenia c,p (małe litery), amerykańskie

oraz C,P (duże litery), atlantyckie...)

• Rodzaj instrumentu bazowego (waluty,

akcje, bony skarbowe, CD, …underlying)

• Cena bazowa, cena wykonania (exercise,

strike price)

• Czas

• Premia za opcję – cena opcji czyli koszt dla

nabywcy

OPCJA PRZYKŁAD• Notowania premii

FX

forwar

d

Baza II V VIII II V VIII

3,8 c c c p p P

3,4000 4500 5300 5900 300 800 1400

3,6000 2500 3500 4100 1000 2000 2300

3,8000 1500 2500 3200 1600 2600 3200

4,0000 1000 1500 2400 2500 3500 4100

4,3000 200 900 1400 4500 5500 6000

MECHANIZM WYNIKU NA OPCJI

OPCJE

zysk

prawa

obowiazki

strata

kurs wymiany

ROZKŁAD PRAW I OBOWIĄZKÓW W TRANSAKCJI FORWARD

OPCJE

• Geneza - syntetycznie opcja to połączenie jakby w

portfelu kontraktu forward ze zobowiązaniem z

instrumentu nieobciążonego ryzykiem (risk free

rate) Zakup forward

Instrument bazowy

emitowany

bez ryzyka P=const

OPCJA BUY CALL

Wartość opcji S-X

oraz koszt długu

Wartość opcji =0

koszt spłata długu

OPCJE

Opcja

=

Ubezpieczemie

danej

transakcji

Premia opcyjna

=

Premia za

ubezpieczenie

OPCJE

•IMPLIKACJE:

•Nabywca opcji ma prawo, lecz nie obowiązek - zakupu lub

sprzedży waluty po określonej z góry cenie w określonym

terminie

•Nabywca opcji płaci za to prawo premię

Sprzedawca opcji ma obowiązek kupić lub sprzedać dany

instrument, jeżeli nabywca opcji zdecyduje się ją wykonać

•Efektywny kurs call ze względu na premię jest wyższy niż

forward

•Efektywny kurs put ze względu na premię jest niższy niż

forward

KALKULACJA OPCJI

• Przychód z opcji Buy Call:

– long call=max(S-X;0)

• Przychód z opcji Buy PUT:

– long put=max(X-S;0)

• Przychód z opcji Sell Call

– short call=max(S-X;0)

• Przychód opcji Sell PUT

– short put=max(X-S;0)

• Obliczając efektywny payoff korygujemy o

premię (+lub-)

17

Vanilla Options – ochrona upsideATM Vanilla Option

At the money vanilla option - Call Option

Premia płatnad upfront

Eliminuje ryzyko FX.

Potencjalnu udział w aprecjacji PLN.

Notes

Warunki wymiany:

Na koniec okresu klient ma prawo ale nie

obowiązekwymienić naminał po kursie striek

Klient jest całkowicie zabezpieczony przed wprecjacją

EUR ponad poziom strike (atmf) I może

partycypować w możliwej aprecjacji PLN

SPOT

ATMF

Klient: kupuje EUR Call / PLN Put

Nominał: EUR 10m

Strike: 5.0600 (at-the-money forward)

Maturity: 12m

Premia 4.35% od nominału

EURPLN

18

Vanilla Options – Zabezpieczenie

downside ATM Vanilla Option

At the money vanilla Option - Put Option

Premia płatna upfront

Eliminuje ryzyko FX downside

Potencjalna partycypacja gdy EUR się

aprecjonuje

Uwagi

Warunki wymiany:

Na koniec okresuklient ma prawo ale nie obowiązek

wymienić wartość nominalną po kursie strike

Klient jest w pełni zabezpieczony przed możliwą

aprecjacją PLN poniżej poziomu Strikel (atmf) i może

partycypować w przypadku wprecjacji EUR

SPOT

ATMF

Klient: kupuje EUR Put / PLN Call

Nominałl: EUR 10m

Strike: 5.0600 (at-the-money forward)

Maturity: 12m

Premia 4.35% od nominalnej wartości

EURPLN

OPCJA CALL / PUT: PAYOFF

•USD - Call = prawo do kupna USD

importer

USD - Put= prawo do sprzedaży USD

eksporter

czyli IMPORTER ->USD - Call / PLN - put

EKSPORTER ->USD - Put / PLN - call

Opcje europejskie:WARTOŚĆ KUPNA OPCJI KUPNA C=max[0,(forward (S)-Strike (X))]

WARTOŚĆ SPREDAŻY OPCJI KUPNA -C=max[0,(Strike (X)-forward (S))]

Układ wypłaty nielinearny (hockey stick)

C=0 C=SPOT-STRIKE

spot

C

C=0

C

-C=-SPOT +STRIKE

spot

OPCJA CALL LONG (BUY):

Zysk/strata

zysk

Koszt

PREMIA

kursy4 4.1 4.2 4.3

Zysk

punktprzelomu

OUT AT IN

REZULTAT

BIZNES

Wstępny kurs call=strike

np.forward 3M 4.1550

premia 250bps

4.1550+0.0250=4.1800

RISK-REWARD - za 250 bps

może partycypować w up-side

0

Strata

ATMF

SPOT

ZWIĄZEK CENY OPCJI I RYZYKA

X S

X S

OPCJA SHORT CALL (SELL):

zysk/strata

zysk

strata

4.0 4.1 4.2 4.3

Zysk

strata

X

OPCJA LONG PUT (BUY):

zysk/strata

4.0 4.1 4.2 4.3

zysk

Koszt-premia

Zysk

strata

ATMF

SPOT

OPCJA SHORT PUT(SELL):

zysk/strata

strata

zysk

4.0 4.1 4.2 4.3

Zysk

strata

Kombinacje opcji

Long Call Short Call

Long Put Short Put

OPCJE - POWTÓRZENIE

• Opcja jest dla właściciela

prawem (ale nie

obowiązkiem) zakupu lub

sprzedaży aktywów, po

określonej cenie, w

określonej przyszłości

– kupujący płaci premię

nabywcy

– sprzedawca (“writer”)

ma obowiązek zakupu

lub sprzedaży

aktywów, jeżeli

właściciel opcji zechce

ją wyegzekwować

DIAMENT Z OPCJI

LONG

CALL

SHORT CALL

LONG PUT

SHORT PUT

ZYSK

STRATA

ZABEZPIECZANIE RYZYKA

premium

EKSPORT

+

-

kurs wymiany

Tu pokazuje się jak z put i otwartej

pozycji dewizowej (lub forward)

powstaje syntetyczna opcja call

ZABEZPIECZANIE RYZYKA

premium

kurs wymiany

IMPORT

+

-Tu pokazuje siê jak z call i otwartej pozycji (lub forward)

powstaje syntetyczna opcja put (daje udział w zyskach kursowych)

OPCJA UZGODNIENIE

• Typ opcji (plain vanilla, azjatycka,

egzotyczna)

• Sprzedający/ kupujący

• Rodzaj opcji (europejska, amerykańska,

atlantycka)

• Typ opcji (call, put)

• Waluta, kwota, cena realizacji, data,

realizacji, data rozliczenia, premia, dzień

zapłaty premii

OPCJE

• Callable, putable, extendable..

• Cap, floor, spread

• Opcje odroczone (forward start options)

• Opcje na opcję na instrument pierwotny (copound

options)

• Opcje z wyborem typu buy/call (chooser options)

• Opcje z pułapami (barrier options, knock-in/out options,

digital)

• Opcje z wypłatą lub bez (binary, cash or nothing, gap

options, supershares)

• Opcje z premią zależną od minimalnej ceny (look back

options) ), opcje różnicowe (Qanto)

• Opcje azjatyckie (average options), bermudzkie

OPCJA A FORWARD

+

-

kurs wymiany

Long call _+ short put = syntetyczny long forwardTen sam strike oraz ten sam czas do wygaśnięcia opcji.

OPCJA A FORWARD

Short call + long put = syntetyczny short forward

Ten sam strike oraz ten sam czas do wygaśnięcia opcji.

OPCJA KOSZT

DZIEŃ FORW. PREMIA

14.03.02 3.89 4%

14.03.03 4.16 6%

14.03.04 4.47 8%

14.03.05 4.78 9%

Im agresywniejszy kurs tym wyższa cena opcji, im dłuższy okres, im większe

volatility

opcja call na 14.03.02 dla 3.89 wyniesie 4% od 26,325 M EUR

WARTOŚĆ OPCJI

• Intrinsic (wewnętrzna) = reference - strike

• czyli cena instrumentu bazowego - cena wykonania

• Wartość wewnętrzna call

• max{0,max(spot-strike) amerykańskie * (czasami futures)

• lub max(futures-strike)} europejskie

• Premia opcji (cena opcji) = time value + intrinsic value

(wewnętrzna, nieodłączna)

• Time value = premia - wartość wewnętrzna opcji

• Zawsze istnieje time value ze względu na niepewność

do wygaśnięcia opcji (w dniu wygaśnięcia =0)

• Cena opcji zależy od prawdopodobieństwa, że zostanie

ona zrealizowana, używa się modeli rozkładów gęstości

dla oceny prawdopodobieństwa

OPCJE - WARTOŚĆ

• Wartość wewnętrzna opcji:

• Wartość opcji jest nieujemna

• Wartość opcji amerykańskiej jest co najmniej

taka jak europejska

• In-the-money, at-the-money, out-of-the-money

),0(

),0(

eMax

Put

eMax

Call

e

e

strike

strike

OPCJE - WARTOŚĆ, WARTOŚĆ

CZASOWA & WEWNĘTRZNA• Opcja out of the money; at the money; in the

money

• Wartość opcji - intrinsic value= time value

• Intrinsic = ref.(spot lub forward) - strike price

• Time value wynika z możliwości zmian ceny

waluty do maturity - zawsze time value powiększa

intrinsic value

• Volatility nie jest zupełnie obiektywne na rynku -

bierze się pod uwagę przeszłe (hist.), bieżące i

przyszłe (implied)

• Niższe volatility dla buyer, wyższe jako seller opcji

OPCJE

Opcje europejskie: at the money strike=futures/forward

Opcje amerykańskie: zależy od relacji spot i forward:

CALL PUT

Forward > spot forward spot

Forward < spot spot forward

Dwa dni po dacie transakcji zapłata premii oraz dwa

dni po dacie ekspiracji opcji value date

OPCJE

• A) EUR call /Ł put

• spot EUR 1 = 0.6 Ł

• forward EUR 1 = 0.6175

• Czy strike 0.625 jest in, at, out of the money

• B) USD put/CHF call

• spot USD 1=CHF 1.7100

• forward USD 1=CHF 1.6855

• Czy strike 1.650 jest in, at, out of the money

• A) out, bo europejska i porównanie z forward

• B) out, bo amerykańska tu: do spot

WYCENA OPCJI

• Założenia, że no-arbitrage price relations (prawo jednej ceny), czyli cena rynkowa bez możliwości bezkosztowego arbitrażu (albo opcja albo replikacja)

• Opcja to tylko prawo a nie obowiązek

• Złożenie cen dla call i put daje forward a więc daje net cost of carry

• Istnieje parytet call i put

• Wycena opcji wychodzi z równości między zdyskontowaną wartością cash flow opcji a zdyskontowaną wartością różnicy instrumentu w przyszłości do ceny i spot (BS pokazali, że risk free rate wyłącza problem indywidualnych oczekiwanych stóp zwrotu (o ile jest neutralne podejście do ryzyka)

•

WYCENA OPCJI

• Balck, Scholes 1973, Merton 1973 – model jednookresowy, wartość opcji jest taka sama bez względu czy założymy risk neutral, czy risk averse individual. Rozkład zwrotu jest lognormal. Opcja europejska.

• Cox, Ross, Rubinstein 1979 opcje amerykańskie, discret jump, – Binominal

– Trinominal

– Monte Carlo simulation

• Dyskrecjonalne wersje geometrycznych ruchów Browna

WYCENA OPCJI PARYET PUT-CALL

• Dla opcji europejskiej premia put może być wyceniona

jako premia call + wartość zdyskontowana strike price –

cena instrumentu.

• Parytet put-call

opcjiawygasniecidoczast

ryzykaodawostopai

strikespot epremiapremiaitcallput

ln

*

WYCENA OPCJI PARYET PUT-CALL

TT

iT

iT

T

T

TT

SSXepcRAZEM

XXXeInwestycja

SXpputSell

XSccallBuy

XSXS

tWyplatatWyplataPozycja

0)(

0

10

iTiTiT eXFXeSepc )(

Bardziej generalna zależność put-call w opcji europejskiej:

WYCENA OPCJI• Przykład: strike call 3.9250 PLN/$ , premia 1500, break-even

= 3.9875, czas do wygaśnięcia opcji 180 dni, stopa wolna

od ryzyka 2%, S= 4 PLN/$ (oczekiwany spot = futures)

• Put-call parity opcja at the money put oraz call mają tę

samą premię (symetria put-call)

• P=-4+0.1500+3.9250*e^(0.02*180/360)=0.0359

• Tu premia w punktach bazowych,

• Gdy nierównowaga -arbitraż (patrz syntetyczny call i put)

prowadzą do wyrównania się premii at the money

opcjiawygasniecidoczast

ryzykaodawostopai

strikespot epremiapremiaitputcall

;;;

;;ln;

*

P= S C X e iT

0,035946 -4 0,15 3,925 0,99005

SKŁADNIKI TWORZĄCE WARTOŚĆ

OPCJI• Cena opcji składa się z następujących

komponentów:

• Cena opcji = wartość wewnętrzna + czasowa

• Dla wyższych cen premia zmienia się convex##### 100 83,00 0,05 10,00% ### ### 0,02 0,00

##### 100 84,00 0,05 10,00% ### ### 0,04 0,00

##### 100 85,00 0,05 10,00% ### ### 0,06 0,00

##### 100 86,00 0,05 10,00% ### ### 0,10 0,00

##### 100 87,00 0,05 10,00% ### ### 0,15 0,00

##### 100 88,00 0,05 10,00% ### ### 0,21 0,00

##### 100 89,00 0,05 10,00% ### ### 0,30 0,00

##### 100 90,00 0,05 10,00% ### ### 0,42 0,00

##### 100 91,00 0,05 10,00% ### ### 0,58 0,00

##### 100 92,00 0,05 10,00% ### ### 0,77 0,00

##### 100 93,00 0,05 10,00% ### ### 1,01 0,00

##### 100 94,00 0,05 10,00% ### ### 1,29 0,00

##### 100 95,00 0,05 10,00% ### ### 1,64 0,00

##### 100 96,00 0,05 10,00% ### ### 2,03 0,00

##### 100 97,00 0,05 10,00% ### ### 2,49 0,00

##### 100 98,00 0,05 10,00% 0,10 0,03 3,00 0,00

##### 100 99,00 0,05 10,00% 0,25 0,18 3,57 0,00

##### 100 100,00 0,05 10,00% 0,39 0,32 4,19 0,00

CENA OPCJI

Intrinsic

Time

WARTOŚĆ RYNKOWA OPCJI

Time value (premia-intrinsic)

Intrinsic value Max(S-X,0)

Strike ! price kurs

Wartość rynkowa

opcji

OUT AT IN

TOTAL VALUE (PREMIA)

Pay-out

OPCJA CALL

WARTOŚĆ WEWNĘTRZNA

• Realizacja opcji

• Wartość wewnętrznaCall = max[S-X,0]

• Wartość wewnętrznaPut = max[X-S,0]

Call Put

kurs > ceny bazowej In-the-moneyWartość wew. > 0

Out-of-the-moneyWartość wew. = 0

kurs = ceniebazowej

At-the-moneyWartość wew. = 0

At-the-moneyWartość wew. = 0

kurs < cena bazowa Out-of-the-money

Wartość wew.= 0

In-the-money

Wartość wew. > 0

WARTOŚĆ CZASOWA

• Wartość czasowa (time value) – funkcja

prawdopodobieństwa wystąpienia korzystnych dla

nabywcy zmian cen instrumentu.

• Wartość czasowa = Cena opcji - wartość

wewnętrzna

• Wartość czasowa jest składnikiem, jaką płaci nabywca

za szansę, że przez pozostałą część czasu kurs

instrumentu bazowego rozwinie się pozytywnie dla

niego.

• Z reguły wartość czasowa jest dodatnia.

• Wyjątek: gdy głęboko (deep-in-the-money Puts)

europejska

WARTOŚĆ OPCJI W CZASIE

EROZJA WARTOŚCI

Wartość opcji

w czasie

Data zapadalnościCzas do umorzenia

TIME VALUE - PRZYKŁAD

• Wartość czasowa tym większa im większe

jest prawdopodobieństwo znaczącej zmiany

instrumentu bazowego

OPCJE KUPNA OPCJE SPRZEDAZY

Kurs wyk. cena kurs opcji wartosc wewnetrzna wartosc czasowa kurs opcji wartosc wewnetrzna wartosc czasowa

1.5 1.6 0.165 0.1 0.065 0.05 0 0.05

1.3 1.25 0.074 0 0.074 0.108 0.05 0.058

OPCJE• Koszt opcji - premia zależy od: kwota, call czy

put, spot, strike, volatility, i,i’, data,

• Volatility: historyczna, zakładana, oczekiwana,

ocena pozycji przez dealera

• Motywy: ostrożnościowy, spekulacyjny,

rentowności

• Opcje inter-bank 5-10 mln$ zwykle do 3 lat

• Opcje walutowe, na stopy%, papiery

wartościowe, indeksy, commodities, futures

• Np.koszt opcji call można sprowadzić

syntetycznie do zakupu waluty na kredyt

NON-DELIVERABLE OPTION

• PRZYKŁAD:

• Rozliczenie dla opcji call: strike $3.9000,

referencyjny $4.0000

• 1000000$*(4.0000-3.9000)=10000PLN

• Rozliczenie opcji put: strike $4.1000,

referencyjny $4.0000

• 1000000$*(4.1000-4.0000)=10000PLN

GŁÓWNE CZYNNIKI

WYZNACZAJĄCE CENĘ OPCJI

Zmiana ceny

Wzrost Call Put

Kurs (S)

Ceny bazowej (X)

Reszta czasu ()

Stopa wolna od

ryzyka (r)

Volatility ()

ZMIENNOŚĆ

ZMIENNOŚĆ

• Zmienność ceny aktywu jest miarą ryzyka dotyczącego jego ceny w przyszłości

• Różne rodzaje zmienności powoduję, że cena opcji z modelu może się różnić od rzeczywistej ceny opcji (historyczna, z symulacji, zakładana, implikowana)

• Odchylenie standardowe jest dobrą miarą ale też z wadami. Mierzy rozrzut wokół wartości oczekiwanej i często przyjmuje się, że ma on rozkład normalny

• Tymczasem to nie rozkład cen ma charakter normalny lecz rozkład naturalnych logarytmów stóp wzrostu

ZMIENNOŚĆ

• W rozkładach symetrycznych = odchylenie standardowe

• Pozwala mierzyć prawdopodobieństwo

• Mierzy się ryzyko, aby zakończyć transakcję in the money

• Zmienność jest postawą wyceny opcji

• Mierzy jak wartość danego aktywu może fluktuować

(market confusion),

• Determinuje premię opcji

• Im większa zmienność tym większa szansa, że opcja stanie

się zyskowna i skończy in the money

• Dla rozkłądów niesymetrycznych modele binominalne,

trinominalne

TYPY ZMIENNOŚCI (VOLATILITY)

• ZAKŁADANA:

– Trzeba znać: cenę rynkową,

stopę %, dzień ekspirowania,

cenę strike

– Model Black-Scholes

• Zakładana zmienność jest

miarą raczej zmienności

opcji niż aktywu

• HISTORYCZNA:

– Zmienność statystyczna,

obserwacja przeszłości,

– Miarą zmienności jest

odchylenie standardowe

ceny aktywu (często 21-23

dni)

KWANTYFIKACJA ZMIENNOŚCI

VOLATILITY

• Ponieważ zmienność jest wartością

nieobserwowalną nie może być mierzona, a

jedynie szacowana.

• Zazwyczaj stosuje się dwie metody szacowania

zmienności:

– Zmienność historyczna:

• Zmienność szacuje się za pomocą historycznych danych o kursach.

– Zmienność zakładana (implied Volatility):

• Zmienność bazuje na cenach rynkowych instrumentów

derywatywnych.

ZMIENNOŚĆ

EUR/$=1

EUR/$=1.1

EUR/$=0.9

Zmienność = 10%, średnia kursu = 1

VOLATILITY PRZY GEOMETRYCZNYCH

RUCHACH BROWN’A

• Te kursy wskazują na tę samą zmienność

równą 0 (=0).

a) b) c)

• Te kursy mają tę samą zmienność (=/0).

d) e) f)

PROCES STOCHASTYCZNY

• Random walk (opisuje

błądzenie losowe, zakłócenie

losowe ma rozkład normalny

(0;1), dla procesu ciągłego

white noise)

• Geometryczne ruchy

Browna,

losowazmiennaX

cenyzmiennosc

losowejzmiennejwartoscidryft

WieneraGaussaprocestz

tXdBXdttdX

nageometryczOdmiana

BoBdttztBdttB

losowezakłakłócet

BoBttBtB

)1,0()(

)()(

)0(),()()(

)(

)0(),1()()1(

SZACOWANIE HISTORYCZNEJ

ZMIENNOŚCI

• Jeżeli zmiany kursu

odpowiadają

geometrycznym ruchom

Brown‟a (1905 teoria), to

rentowności w stałych

interwałach (z próby)

mają rozkład normalny

• Szacunek średniej :

i wariancji:

lub odchylenie

standardowe (Volatility)2=Wariancja

=Średnia

m

n

i

i mrn 1

2

1

1

n

i

i mrn 1

22

1

1

n

i

irn

m1

1

ANNUALIZACJA VOLATILITY

• Dla obliczenia zmienności

stosuje się różne przedziały

czasu - dzień, miesiąc,

kwartał.

• Aby uzyskać

porównywalność dokonuje

się anualizacji odchylenia

standardowego

• dla historycznej zmienności:

.

1

212

lub

*

ann

T

T

oznacza ilość obserwacji

w roku:

4 rentowność kwartalna

12 rentowność miesięczna

52 rentowność

tygodniowa

250 rentowność dzienna

VOLATILITY - IMPLICITE

• Przy szacowaniu pojawiają się następujące

problemy:

– Jak długi ma być czas obserwacji?

– W jakich interwałach obserwować kursy? (dziennie,

tygodniowo, miesięcznie ...)

• Każdy trader ma inną odpowiedź. A więc pogląd

odzwierciedla się w volatility.

• W centrum uwagi rynku jest przyszła

zmiennność rynku aby zweryfikować własne

oszacowania.

• Implicite zawarta zmienność w oferowanych

cenach jest tą implicite Volatility.

KWOTOWANIA, ROZLICZENIE

OPCJI

KWOTOWANIE OPCJI FX

• Czasami premia kwotowana jako % od

strike price

• Np. EUR call/Ł put, strike 0.625, call

Ł=0.025, czyli 0.025/0.625=4%, lub od

spotu 0.025/0.6=4.17%

• USD put/CHF call strike 1.6855, premia

0.0783 CHF/$, stąd 0.0783/1.6855=4.65%

• lub 0.0783/1.71=4.58% od spot (1.71)

KWOTOWANIA OPCJI

USD/PLN 1M 2M 3M 6M 1Y

KURS 4.0842 4.1224 4.1546 4.2459 4.3231

CALL 435/482 643/709 840/918 1266/1378 1825/1982

Np. 1 000 000 usd, koszt opcji call 643/10000*1000000=64300 pln

1 punkt bazowy 10 pln

OPCJA BREAK-EVEN• CALL

• BREAK-EVEN=STRIKE + PREMIA BPS

• PREMIA BPS=SPOT*PREMIA%

• PUT

• BREAK-EVEN=STRIKE-PREMIA BPS

• PREMIA BPS=SPOT*PREMIA %

• np.0.625 Ł/EUR+0.025=0.650, bo 0.6*4.17%=0.025

• np.1.71CHF/$*4.58%=-0.0783+1.6855=1.6072

OPCJE ROZLICZENIE

• CALL, strike 105, wartość aktywu 110 at

maturity, premia 10,

• nabywca może kupić po 105 i sprzedać po

110,

• zysk z realizacji opcji 110-105=5 ale,

• koszt opcji 10, a więc efektywnie 5-10=-5

• opcje kwotowane np. jako np. 5c od 1$ a

więc można łatwo wyliczyć premię

OPCJE ROZLICZENIE

• Sprzedawca opcji tworzy ryzyko

kredytowe, kupujący tego ryzyka jest

pozbawiony

• Istnieją przy strategiach opcyjnych net

settlement options, gdzie rozlicznie

następuje różnicą

• Ryzyko kredytowe - potencjalne ryzyko:

• Potencjalne ryzyko = stress spot - strike1

1

*,))1/*(645.1*(

put

call

spotpriceStress et

RYZYKO KREDYTOWE

• Opcja call 3 miesiące, strike 54$, spot 52$,

odchylenie standardowe na rok 26,5%

• Stress

price=52*e^(26,5%(3/12)^0.5*1.645=64.68

• Potencjalne ryzyko 64.68-54=10.68

• stress kurs $= 4*e^(15%(3/12)0.5*1.645=4.52

• potencjalne ryzyko 4.52-4=0.52

• W przypadku put różnica między strike - stress

=potencjalne ryzyko

EFEKTYWNY KURS FX BUY PUT

EUR.65

.64

.63

.62

.61

.60

.59

.58

.57

.55 .56 .57 .58 .59 .60 .61 .62 .63 .64

Aktualne przysz³e kursy

Efe

kty

wn

y k

urs

w h

ed

gu

FORWARD

BUY PUT

BEZ HEDGU

Czerwona linia pokazuje złożenie buy put EUR i forward - efektywne

i przekształcenie się ich w collar na kurs walutowy

collar

collar

OPCJE

• UPROSZCZONA CENA OPCJI

EUROPEJSKIEJ AT THE MONEY:

• CENA

OPCJI=0,4**T/365*(1/(1+i*(DNI/365))

• lub pierwiastek z 256 dni roboczych

• np. Volatility roczne 10%, 183 dni, i=10%

• 0,4*10%(0,5^0,5)*(1/(1+0,05))=2,69374%• lub volatility dzienne * dni^0.5

WYCENA OPCJI

OPCJE

CENA OPCJI A CENA BAZOWA

CENA INSTRUMENTU

CENA OPCJI BUY

CENA INSTRUMENTU

CENA WYKONANIA CENA WYKONANIA

CENA OPCJI SELL

CENA OPCJI BUY CENA OPCJI SELL

WYCENA OPCJI

MODELE DWUMIANOWE

OPCJE – GENEZA WYCENA

• Koniec XIX w poszukiwania reguł opcji – Russel Sage opisał parytet opcji call-put

• 1973 Fischer Black i Myron Scholes opisali mechanizm wyceny opcji europejskiej n a akcje bez wypłaty dywidendy

• Rozszerzenie modeli Garman- Kollhagen oraz Grabbe

• Merton opcje na akcje spółek wypłacających dywidendę

• Thorpe model znoszący ograniczenie krótkiej sprzedaży

• Cox i Ross wprowadzili model z nieciągłymi zmianami instrumentu bazowego

• Jarrow Rudd odejście od założeń rozkładu log-normalnego

• Merton wprowadzenie zmiennej stopy procentowej

• 1973 Merton zbudował pierwszy model do wyceny opcji barierowych dla opcji kupna w barierą wyjścia w dół

• Opcje złożone model Geske

• Opcje wsteczne model Goldman, Sosin, Gatto

• Lata 80. model Stulza – model na maksimum lub minimum dwóch instrumentów bazowych

• Ingersoll model opcji azjatyckich

WYCENA OPCJI

• Z kalkulatorem i rozkładem prawdopodobieństwa

inteligentna osoba mająca dobre rozumienie finansów

może wykalkulować cenę opcji - mimo, że model

matematyczny wyceny opcji jest skomplikowany

• Istnieje jednak wiele modeli wyceny opcji (założenia,

metoda)

• Podstawowe założenie racjonalności:

– Prawo jednej ceny oznacza, że jeżeli istnieją 2 instrumenty dające tę

samą wypłatę w przyszłości to aby nie wystąpił wolny od ryzyka

arbitraż to bieżące ceny tych instrumentów muszą być równe.

it

t

t

XeSc

oraz

SCc

musicallopcjiCana

:

WYCENA OPCJI

• Rozważmy alternatywę:

• Zakup opcji call

• Zakup na kredyt instrumentu X

XSXeS

miectrzebatoeponiewaz

XSXSXeSRAZEM

XXXekredytuz

SSSaktywuZakup

XSccallZakup

XSXS

KONIECPOCZATEKPOZYCJA

t

iT

t

iT

TT

iT

iT

TTt

T

TT

:1

0

0

WYCENA OPCJI

• Tu założenie tzw. niższego poziomu, gdzie konstrukcja polega na przyjęciu, że bez względu co się stanie w przyszłości wartość call nigdy nie spadnie poniżej wartości portfela. Czyli albo 0 albo Vt-Vo (wtedy nie ma arbitrażu wolnego od ryzyka)

• Jeżeli wypłata z opcji da się replikować portfelem = instrument oraz jego finansowanie, to przy założeniu jednej ceny, cenę opcji determinuje aktualna wartość portfela (replikacja).

• Portfel będzie pozbawiony ryzyka bez względu na zmiany ceny instrumentu podstawowego (neutralne ryzyko)

• Tu jednak opcja nie spełnia swojej roli a jedynie replikuje wypłaty, które już zostały osiągnięte przez utrzymanie istniejącego instrumentu.

WYCENA OPCJI (ARBITRAŻ)

Przykład wyniku założenia o arbitrażu bez ryzyka między instrumentami

OKRES 0 OKRES T

120

Akcja A 70

60

Ile powinna kosztować akcja B

100

Akcja B b?

50

Analiza:

120-100=20 b=

A-B= 70-b

60-50=10 stąd b= 70-10/1.11

Inwestor skalkuluje wynik pewny co najmniej 10 b= 60,99099

Czyli w warunkach arbitrażu cena bieżąca b<60,99

Tu założenie tzw. Niższego poziomu, gdzie konstrukcja polega na przyjęciu, że bez

względu co się stanie w przyszłości wartość call nigdy nie spadnie poniżej wartości

portfela. Czyli albo 0 albo Vt-Vo (wtedy nie ma arbitrażu wolnego od ryzyka)

WYCENA OPCJI

• Wycena opcji przeprowadzona na podstawie

drzew dwumianowych może się odbywać

poprzez wykorzystanie:

– techniki portfela replikującego wypłaty z opcji

(replicating portfolio)

– lub prawdopodobieństw w warunkach

powszechnej neutralności na ryzyko (risk neutral

approach)

WYCENA OPCJI - REPLIKACJA

PRZEPŁYWÓW

• I.Metoda portfela replikującego przepływy z opcji oznacza budowę portfela złożonego z instrumentów wolnych od ryzyka oraz określonej liczby instrumentów bazowych, których wartość oszacowano na moment wykonania opcji. (np.portfel z akcji kupionych z kredytu) Z założenia taki portfel ma generować dokładnie taki sam strumień pieniędzy, jaki przynosi wyceniona w każdym scenariuszu rozwoju sytuacji opcja.

• Z arbitrażu wynika, że wartość opcji call może być 0 lub nie mniej niż So-xBo(0,T), czyli niż zakup akcji (pozycja długa) powiększonej o finansowanie (pozycja krótka) (dlatego tu znak -)

MODEL DWUMIANOWY

• Założenia

– Istnieje określona dyskretna ilość prób

– Z każdej próby dwa rezultaty (up, down)

– Prawdopodobieństwo trwałe w czasie

– Próby są niezależne

– Nie jest potrzebne założenie o preferencjach ryzyka inwestorów

• J.C.Cox, S.Ross, M.Rubinstein 1978

• Proces:

– Skonstruowanie portfela o zerowym ryzyku

– Długa pozycja np. w akcjach, krótka w opcji (risk neutral) lub replikacja

wartości opcji przez portfel akcje i krótka w kredycie

– Proporcja akcji wynika z delta – hedge ratio

WYCENA OPCJI PORTFEL

REPLIKUJĄCY

• Warunki konstrukcji portfela replikującego

• m ilość instrumentów,

• B wartość instrumentów wolnych od ryzyka tworzących portfel replikujący przepływy z opcji

• rf stopa wolna od ryzyka

• Cu wartość opcji w dniu jej wygaśnięcia przy założeniu wzrostu wartości instrumentu bazowego

• Cd wartość opcji w dniu jej wygaśnięcia przy założeniu spadku wartości instrumentu bazowego

• m wyznacza ilość instrumentów (czyli delta zmiana wartości opcji do zmiany wartości instrumentu bazowego)

• Bo wzór na wartość instrumentów wolnych od ryzyka

• Znajomość m oraz Bo pozwala na kalkulację dzisiejszej wartości portfela doskonale replikującego przepływy z opcji i zastosowania prawa jednej ceny.

• PORTFEL REPLIKUJĄCY

00

0

0

0

0

1

1

)1(

)1(

BmSC

r

mSCB

r

mSCB

SS

CCm

CrBmS

CrBmS

f

dd

f

uu

du

du

dfd

ufu

MODEL DWUMIANOWY

PRZYKŁAD REPLIKACJA

• Opcja call na akcje w procesie dwumianowym (model drzewa

dwumianowego)

• Stopa wolna od ryzyka 25%

• Replikacja opcji w postaci portfela. Zastępujemy płatność opcji przez

portfel złożony z akcji kupionych za pożyczone pieniądze. Wartość obu portfeli

musi być równa C1 lub C2. Portfel składa się z m akcji i B wydatku

inwestycyjnego.

Cena spot So=100

cena opcji Co?

Su=150

Cu=50

Sd=50

Cd=0

Cu=m*Su+B

Cd=m*Sd+B

50=m*150+B

0=m*50+BB=-m*50

50=m*150-m*50->50=100*m->m=0.5 stąd B=-0.5*50=-25

czyli portfel składa się z 1/2 akcji i pożyczki 25

wartość zdyskontowana pożyczki Bo=B/(1+i) czyli -25/(1.25)=-20

wartość opcji Co=Bo+m*So=-20+0.5*100=50-20=30

Założenie akcja może wzrosnąć o 50

lub spaść o 50%

Z określonym prawdopodobieństwem

P(ω)=0,5=1-P(ω)

So=[p*Su+(1-p)Sd]/(1+i)

MODEL DWUMIANOWY PRZYKŁAD

So 100,00

Su 150,00

Sd 50,00

Cu 50,00

Cd 0,00

rf 0,25

m= 0,50

Bo= -20,00

Bo= -20,00

Call C= 30,0000

0

0

0

0

1

1

)1(

)1(

BmSC

r

mSCB

r

mSCB

SS

CCm

CrBmS

CrBmS

f

dd

f

uu

du

du

dfd

ufu

MODEL DWUMIANOWY – RISK

NEUTRAL

• Protfel składa się z akcji oraz opcji na akcje

• Założenie akcja może wzrosnąć o 50

• lub spaść o 50%

• Z określonym prawdopodobieństwem

• P(ω)=0,5=1-P(ω)

• So=[p*Su+(1-p)Sd]/(1+i)

• Założenie neutralności na ryzyko:

• Zdyskontowana wartość akcji musi =100 stąd p=0,75:

• 100=[p*150+(1-p)*50]/1.25 p=0.75

• Przy p=75% wartość zdyskontowana opcji:

• c=[0.75*50+0.25*0]/1.25=30

REPLIKACJA/POWIELANIE

POCHODNYCH ZA POMOCĄ

PORTFELA

• Np.T-t=4, volatility 0.4, S=140, I=12.47%, X=160.

• Black Scholes: Cena call wynosi 60.34 $, Delta 79%

• To można kupić opcję call za 60.34$

• Lub replikować przez portfel składający się z 79%

akcji od 140$=110.60$ oraz pożyczki z banku

110.60$-60.34$=50.26$

• Delta to pierwsza pochodna opcji względem ceny

akcji, czyli jak zmieni się cena opcji, gdy cena akcji

zmieni się o 1%

MODEL DWUMIANOWY –

NEUTRALNOŚĆ NA RYZYKO• Popularny model wyjaśnienia wyceny opcji (J.C.Cox,

S.Ross, M.Rubinstein, 1976)

• Przyjmuje się, że sprzedaż opcji nie wynika ze spekulacji

lecz kalkulacji kosztów (awersja do ryzyka oraz

neutralność na ryzyko)

• Dążenie do wykorzystania dźwigni finansowej –

finansowanie obligacjami zakupu.

• Dwa instrumenty - kasowy i opcja tak dobrane, aby ruch

cen był przeciwstawny, a przychód równy stopie wolnej

od ryzyka. Kupno ackji oraz pożyczka z banku

• Np. Długa kasowa i krótka na opcji kupna lub długa opcja

oraz krótki instrument. Taka proporcja aby dała i.– wart.końc.portfela=wart.końc.walorów spot-wart.koń.opcji

– wart.pocz.portfela=wart.pocz.walorów spot-war.pocz.opcji =i

WYCENA OPCJI – NEUTRALNOŚĆ NA

RYZYKO

• II.Metoda a/ portfela bez ryzyka oraz b/prawdopodobieństw w warunkach powszechnej neutralności wobec ryzyka:

• A/Budowany jest portfel złożony z jednej opcji w pozycji krótkiej oraz określonej liczby instrumentów bazowych. W założeniu portfel ten ma być wolny od ryzyka, a więc bez względu na przewidywane zmiany wartości instrumentu bazowego, wartość końcowa całego portfela musi pozostać na stałym poziomie. Taki portfel powinien dawać stopę wolną od ryzyka.

• B/Neutralny na ryzyko portfel daje stopę wzrostu = risk free. Stąd cena dzisiejsza aktywu = zdyskontowanej cenie przyszłej. Ale wartość przyszła oczekiwana aktywu zależy od „risk neutral” prawdopodobieństwa tego, że z „p” cena wzrośnie oraz, że z (1-p) spadnie.

• W obu przypadkach wyliczona wartość opcji w to jest taka sama

MODEL DWUMIANOWY – NEUTRALNY

NA RYZYKO• MODEL MOŻNA ZAPISAĆ:

• Instrument pierwotny So zabezpiecza się wystawieniem h

opcji call C. B - wartość wypłaty stała bez względu

na zmianę wartości instrumentu

• Ilość h musi być taka aby wypłata była B bez względu na

kierunek zmian cen (u wzrost, v spadek)

• Współczynnik zabezpieczenia h=

• Portfel WP złożony z instrumentu pierwotnego oraz

sprzedanych h opcji call trzeba porównać ze stopą wolną

od ryzyka

• stąd z prównania obu stron

• wylicza się wartość opcji call

• gdzie p oznacza tzw. Prawdopodobieństwo arbitrażowe

• Cu,Cv-max i min wartość opcji w T, Su,Sv-max,min cena

wygaśnięcia instrumentu,S-Oczekiwana cena bieżąca

instrumentu, C- bieżąca cena opcji, wp- wartość portfela

(akcje/opcje), i- stopa %, t- czas, du

d

it

du

it

it

uu

it

uu

du

dduu

SS

Sp

ppC

hCSh

kosztPWP

hCSKosztP

hWP

duh

hCShCSB

hCSB

es

CCe

eCS

eCS

CC

SS

*

(

0

)*)1(*(

*)(

*)(

)

00

MODEL DWUMIANOWY

PRZYKŁAD• Cena instrumentu w to 100, w t1 może być 120

lub 90, strike 110, wtedy cena wykonania opcji

wyniesie 10 lub 0. Czas opcji 1 rok, stopa wolna

od ryzyka 10%. Ile wyniesie cena opcji w modelu

dwumianowym?

Cena kasowa So 100

Cena wykonania 110

Su 120

Sd 90

Cu 10

Cd 0

h= -3 współczynnik zabezpiecznia

i= 0,1 stopa wolna od ryzyka

t 1 czas 1 rok

WP= 92,85488

Koszt P= ?

p= 0,016125 prawdopodobienstwo arbitrazowe

C= 0,145903 cena call

B=B1= 90 sprawdzenie dla SuCu

B=B2= 90 sprawdzenie dla SvCvdu

d

it

du

it

it

uu

it

uu

du

dduu

SS

Sp

ppC

hCSh

kosztPWP

hCSKosztP

hWP

duh

hCShCSB

hCSB

es

CCe

eCS

eCS

CC

SS

*

(

0

)*)1(*(

*)(

*)(

)

00

MODEL DWUMIANOWY CD

Cena

spot 100

S=150

S=175

S=187.5

S=50

S=25

S=12.5

Model dla zmiennych nieciągłych (skokowych)

a co gdy ilość okresów -> nieskończoności - to ten dąży do modelu Black-Scholes

WYCENA OPCJI – NEUTRALNOŚĆ NA

RYZYKO• ustalenie m pozwala określić ilość instrumentów bazowych

(delta)

• taki portfel jest wolny od ryzyka a więc stopa zwrotu z tego portfela musi być równa stopie wolnej od ryzyka.

• Ze wzoru trzeciego wyliczamy wartość bieżącą opcji C, do wzoru 3 podstawia się formułę m z wzoru 2 I przekształca się

• Wartość instrumentu bazowego jest sumą zdyskontowanych stopą wolną od ryzyka nieobarczonych ryzykiem przyszłych wartości instrumentu bazowego (certainty equivalent values)

• Wyznaczenie nieobarczonych ryzykiem przyszłych wartości instrumentu bazowego jest możliwe poprzez przemnożenie przyszłych obarczonych ryzykiem wartości tego instrumentu przez prawdopodobieństwa właściwe dla warunków powszechnej neutralności wobec ryzyka ( risk neutral probabilities), u: wzrost indkesu akcji, d: spadek indeksu akcji

• Daje to wzór na V

• P – prawdopodobieństwo w warunkach neutralności na ryzyko.

• Stąd można wyliczyć wartość bieżącą opcji C.

• Przemnożenie wartości opcji w momencie jej wygaśnięcia przez prawdopodobieństwa w warunkach neutralności na ryzyko pozwala wyznaczyć wolną od ryzyka wartość opcji, która po zdyskontowaniu daje jej wartość bieżącą.

f

du

f

f

f

du

f

f

d

f

u

f

uu

du

du

dduu

r

CppCC

du

rup

du

drp

r

pVpVV

r

du

ruC

du

drC

C

dtddtu

r

CmVCmV

VV

CCm

CmVCmV

1

))1((

)1(1

)1(

1

)1(

1

)1()1(

11

1

ROZKŁAD LOGNORMAL

• Jeżeli rozkład jest normalny o parametrach μ oraz σ to dla

lognormalnego rozkładu prametry μ‟ oraz σ‟ są:

Powstały różne modele oparte o różne założenia:

• Black-Scholes, rozkład log normal

• Black-Derman-Toy, binary interest tree

• Heat-Jarrow-Morton, techniki Monte Carlo

1'

'

2

2

2

2

2

ee

e

GENEZA

• Fischer Black- Myron Scholes 1973 zrobili dla opcji to co

Einstein dla teorii względności

• Podstawa matemetyczna wyceny opcji to identyfikacja

prawdopodobieństwa realizacji opcji

• Premia za opcję musi być równa oczekiwanemu zyskowi

• Podstawowy pomysł to specyfikacja warunków dla

dynamicznego hedgowania ceny instrumentu oraz że

portfel nie obciążony ryzykiem daje stopę przychodu

wolną od ryzyka

• Rozwiązanie równań dla tych warunków, dla przyjętych

granic wartości opcji w dniu ekspirowania, daje fair value

opcji w każdym czasie

• Zakłada się, że cena instrumentu zmienia się według

pewnego procesu stochastycznego

MODEL B-S

• To formuła wyceny zwykłych opcji europejskich

• Założenie, że logarytmy stóp zwrotu (z akcji) mają

rozkład normalny

• Zysk z opcji kupna max(St-X,0)

• Cena akcji podlega procesowi stochastycznemu z

multiplikatywnym ciągiem zmian – geometryczne

procesy ruchów Browna

• Czyli St=Sexp(lnSt/S)=Sexp(µt+εσt), gdzie zmienna

losowa ma rozkład normalny

• Rozwiązanie różniczkowe to model B-S

B-S

• Stochastyczny proces opisują geometryczne ruchy Browna o małych zmianach w czasie dt

• Logarytmiczny zwrot z aktywu ma rozkład normalny o nadziei dt i wariancji ^2dt

• Całkowity zwrot wynosi

• Proces zakłada, że końcowa wartość aktywu ma rozkład gdzie N(0,1)

• Z tego procesu B-S zbudowali model

)2/(ln)ln(

0ln

/

2

0SS

dtwariancjiimeanrozkladzieymnormaodz

dzdtSdS

T

BLACK-SCHOLES - ZAŁOŻENIA

• Opcja jest opcją europejską

• Nie istnieją podatki, koszty transakcyjne, depozyty

zabezpieczające, podatki, rynki kapitałowe doskonałe

• Udzielanie oraz zaciąganie pożyczek jest możliwe po stałej

stopie wolnej od ryzyka, kapitalizowanej w sposób ciągły

• Instrument bazowy może być w krótkiej sprzedaży

• Instrument bazowy w okresie opcji nie przynosi żadnego

dochodu/dywidendy

• Cena instrumentu jest ciągła w czasie

• Zmienność ceny oraz stopy zwrotu z aktywu w okresie opcji

są stałe (stała wariancja) i rozwija się jak proces Wiener‟a

• Stopa procentowa jest znana i stała

• Lognormalny rozkład przyrostu cen

SPECYFIKA MODELU DLA OPCJI

EUROPEJSKICH (BLACK-

SCHOLES)• The Option Pricing Model

• Dwie statystyki - wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe =

volatility. Rozkład log-normalny prawdopodobieństwo - to pole pod krzywą

Gaussa

• Założenie godziwej wartości rynkowej opcji (fair market price)

• Model ten jest rozwinięciem wielookresowego modelu dwumianowego dla

bardzo dużej ilości okresów

2

201

2

2

)/(ln

201

2

1

21

*

2

1)/(ln

2

1)()(

)()(

*

tt SS

ttGaussa

d dx

ii

eSSP

dxedxxdN

dNXedNSec

tVolatilitytoczekiwanaWartosc

B-S

d10

0,5

1N(d1)

(d)

d1(S)

FUNKCJA GĘSTOŚCI

PRAWDOPODOBIEŃSTWA

DELTA

SKŁADNIKI KALKULACJI OPCJI W

B-S• C = Call-cena wartość

• P = Put-cena wartość

• S = Kurs spot

• X = Cena bazowa, strike

• i = Stopa wolna od

ryzyka p.a.

= Volatility p.a.

zmienność implikowana

• T = Czas ekspiracji

• t = Czas obserwacji

(dziś) stochastyczny od dziś

do daty

=T-t= Reszta czasu do

ekspiracji (w latach)

• N(.) = Funkcja rozkładu

Rozkład normalny

standaryzowany

• n(.) = Funkcja gęstości

rozkładu normalnego

• e = liczba e

podstawa ln

BLACK-SCHOLES - OPCJA

EUROPEJSKA 1973

analiziewużżytzmiennarb

Wienerprocesz

momenturentownośe

ddtd

ynormarozkłozkN

opcjiczasuresztatT

zmiennośm

riskfreer

strikeX

Ffuturesspot

tt

tTbXStT

tT

tTbX

NXN

zSS

S

dd

S

d

dedSC

t

t

Tt

t

tTr

tt

///

//1

`

ln'(.)

``

%

/

)(

))(2/()/ln(

))(2

(ln

)(**)(*

1

2

12

2

1

2

)(

1

• Black-Scholes Option:

PV (call) = [FT N(d1) - X N(d2)] * e-rT

PV (put) = [X N(-d2) - FT N(d1)] * e-rT

gdzie: N(.) dystrybuanta rozkładu normalnego

d1 ={ln (FT/X) + (r+σ2 / 2) * (T-t)} / (σ (T-t) )

d2 = d1 - (σ (T-t) )

• Cena zależy od następujących parameterów:

FT Forward rate at maturity (funkcja spot i

stóp %)

X strike

T- t time to maturity

σ volatility

r discount rate (stopa % zagranicy)

• Ilustracja d1 and d2:

• N(d1)- prawdopodobieństwo, że nie przekroczy d1 czyli,

prawdopodobieństwo, że rentowność inwestycji nie zwiększy się

o więcej niż d1 od wartości oczekiwanej

• N(d2)- prawdopodobieństwo, że nie przekroczy d2

- N (d2) Prowdopodobieństwo egzekucji opcji

FTx N(d1) / N(d2) Najbardziej prawdopodobna

wartość aktywów

BLACK-SCHOLES - PRZYKŁAD

OBLICZENIE WARTOSCI OPCJI CALL

cena akcji 100 $

zmiennosc 0,2 20%

okres do wygasniecia 0,2 T-t ROKU

strike 98 $

stopa % 0,1 r=10%

ln S/X 0,020203 LN

skorygowany dochod 0,016 (r-0.5wariancji)*(T-t)

skorygowana zmiennosc0,089443 od.standar(T-t)

d2= 0,404759

N(d2)= 0,657172 dystrybuantaprawdopodbienstwo

wykonania opcji

65%bo opcja in the m

d1= 0,494201 d1=d2-skor.zmiennosc

N(d1)= 0,689418 dystrybuantawspol.delta

wspolczynnik dyskontujacy0,980199

WAROSC OPCJI CALL 5,81416 $

)(

))(2/()/ln(

))(2

(ln

)(**)(*

2

12

2

1

2

)(

1

tT

tTrXStT

tT

tTrX

NXN

dd

S

d

dedSC

t

tTr

tt

DLA OPCJI EUROPEJSKIEJ St TO CENA

BEZWARUNKOWEJ TRANSAKCJI TERMINOWEJ

eddStTr

tNXNP

)(

21)(*)(*

BLACK-SCHOLES – OPTION ON

FUTURES• Zastępuje się S przez

futures F i wtedy opcja call=

• W świecie neutralnego ryzyka formuła =

• Zmienna d2 zależy rzeczywiście od ceny wykonania opcji

• Przekształcając dochodzimy do wniosku, że

2

2

0

2

)()()(

)(

21

*

*)())(2/()ln()ln(

)(

])([)([)0,([

)](*)(*[

d

tTtTiSK

dNwykonanianeutralRisk

dSSfKedSSSfeKSMaxeEc

edNKdNFc

K K

tTitTi

T

tTi

tTi

BLACK-SCHOLES – PORTFEL

ZABEZPIECZAJĄCY

• Formułę B-S można przekształcić

w portfel replikujący: opcja C daje

dokładnie ten sam efekt co portfel

akcji oraz pożyczki. Wartość opcji

kupna równa się inwestycji netto w

akcje na kredyt.

• Drugie przekształcenie pokazuje

warunek neutralności na ryzyko –

definiuje portfel zabezpieczający

dla opcji zakupu. Kupując h akcji i

sprzedając opcję kupna tworzymy

portfel o zdefiniowanej wartości B,

która musi dać nam stopę wolną

od ryzyka. N(d1)=h=delta

eniazabezpieczilorazh

dNhająjązabezpieczportfel

ChSB

stronaprawatoCopcjęyreplikująePortfel

NXorazdNhgdzieBhSC

cenieprzekształ

NXdNC

ed

edS

tTr

tTr

t

:

)(

)(*)(

)(*)(*

1

)(

21

)(

21

B

OPCJA DYNAMIKABLACK SCHOLES OPTION PRICING Dynamic Chart Call

Inputs

Option Type: 1=Call, 0=Put 1 1

Standard Dev - Annual () 20% 2

Riskfree Rate - Annual (R) 8.0% 8

Exercise Price (E) $98.00 98

Time To Maturity - Yrs (T) 0.20 2

Dynamic Chart Outputs

Stock Price Now (Ps) $0.01 $20.00 $40.00 $60.00 $80.00 $100.00 $120.00 $140.00 $160.00 $180.00 $200.00 $0.01 $98.00 $200.00

Option Price $0.00 $0.00 $0.00 $0.00 $0.06 $5.59 $23.59 $43.56 $63.56 $83.56 $103.56

Intrinsic Value $0.00 $0.00 $102.00

d1 -101.760 -17.412 -9.720 -5.221 -2.029 0.448 2.471 4.182 5.663 6.970 8.140 -101.760 0.223 8.140

d2 -101.850 -17.502 -9.811 -5.311 -2.119 0.358 2.381 4.091 5.573 6.880 8.049 -101.850 0.133 8.049

N(d1) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.021 0.673 0.993 1.000 1.000 1.000 1.000 0.000 0.588 1.000

N(d2) 0.000 0.000 0.000 0.000 0.017 0.640 0.991 1.000 1.000 1.000 1.000 0.000 0.553 1.000

Call Price (Vc) $0.00 $0.00 $0.00 $0.00 $0.06 $5.59 $23.59 $43.56 $63.56 $83.56 $103.56

-d1 101.760 17.412 9.720 5.221 2.029 -0.448 -2.471 -4.182 -5.663 -6.970 -8.140 101.760 -0.223 -8.140

-d2 101.850 17.502 9.811 5.311 2.119 -0.358 -2.381 -4.091 -5.573 -6.880 -8.049 101.850 -0.133 -8.049

N(-d1) 1.000 1.000 1.000 1.000 0.979 0.327 0.007 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.412 0.000

N(-d2) 1.000 1.000 1.000 1.000 0.983 0.360 0.009 0.000 0.000 0.000 0.000 1.000 0.447 0.000

Put Price (Pp) $96.43 $76.44 $56.44 $36.44 $16.49 $2.03 $0.02 $0.00 $0.00 $0.00 $0.00 $96.43 $2.77 $0.00

Dynamic Chart of Black Scholes Option Pricing

$0

$20

$40

$60

$80

$100

$0 $50 $100 $150 $200Stock Price Now

Op

tio

n P

ric

e

FORMUŁY OPCJI

Założenia Formuła opcji

b=r Tradycyjny Black-Scholes

b=r-q

q=-(1/T)ln[1-

NPV(dywidendy)/S]

Merton 1973 – model opcji akcji

z dywidendą q

b=0 Black 1976 model dla opcji na

futures, cap, floor

b=r-rf Garman & Kohlhagen 1983

opcje na waluty

ROZKŁAD DWUMIANOWY DRZEWO

Jarrow-Rudd (uproszczone)

Rozkład dwumianowy Drzewo JR

liczba krokow 9

rozmiar kroku 0,33 czyli 1/9-½

o 0,5 p(A)

cena końcowaliczba ścieżek

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 3,000 1 0,002

8 2,67 2,330 9 0,018

7 2,33 2 1,670 36 0,07

6 2 1,67 1,33 1,000 84 0,164

5 1,67 1,33 1 0,67 0,330 126 0,246

4 1,33 1 0,67 0,33 0 -0,330 126 0,246

3 1 0,67 0,33 0 -0,33 -0,67 -1,000 84 0,164

2 0,67 0,33 0 -0,33 -0,67 -1 -1,33 -1,670 36 0,07

1 0,33 0 -0,33 -0,67 -1 -1,33 -1,67 -2 -2,330 9 0,018

0 0 -0,33 -0,67 -1 -1,33 -1,67 -2 -2,33 -2,67 -3,000 1 0,002

SREDNIA 0,0000

Odchyle Std 1

UŚMIECH ZMIENNOŚCI

• Uśmiech zmienności to wykres wewnętrznej zmienności opcji będącej funkcją jej wykonania. Gdyby prawdziwe było założenie Balck-Scholes dotyczące normalności rozkładu to uśmiech zmienności byłby linią prostą

• Natomiast w rzeczywistości na krańcach wyraźnie implikowana zmienność rośnie, ponieważ rynek spodziewa się większych zmian

UŚMIECH VOLATILITY

AT-THE-MONEY CALL/PUT

IN THE MONEY CALL

OUT OF THE MONEY PUT

IN THE MONEY PUT

OUT OF THE MONEY CALL

IMP

LIE

D V

OL

AT

ILIT

Y WYKRES STRIKE PRICE

I ZMIENNOŚCI GRUP OPCJI

O TEJ SAMEJ DACIE EKSPIRACJI

ZMIENNOŚĆ OPCJI ROŚNIE WRAZ Z

RUCHEM IN LUB OUT OF THE MONEY

Im dalej od punktu at-the-money tym większa szansa, że cena się zmieni

Implied volatility

PUT at CALL

Dla pln call dro¿szy ni¿ putDelta

Delta

Implied volatility

GIEŁDA: OPCJE

• XII 1972 Philadelphia, później Chicago 73,

ale walutowe od 1882 Londyn IFFE 1985..

• Model wyceny opcji F.Black & M.Scholes

1973 (univ.Chicago)

• Opcje giełdowe - regulowany rynek: kontrakt,

przedmiot, kurs bazowy, tic, termin

rozwiązania opcji, open out cry, initial margin,

clearing, gwarancja wykonania, realizator

przypadkowy

• opcje na futures

OPCJE - WPŁYW ZMIENNYCH NA

PREMIĘ

Long

call

Short

call

Long

put

Short

Put

Wzrost ceny bazowej (SPOT) > < < >

Wzrost zmienności implikowanej > < > <

Wzrost stopy procentowej waluty bazowej < > > <

Wzrost stopy procentowej waluty kwotowanej > < < >

Upływ czasu < > < >

>Wzrost

<spadek

OPCJE

GREEKS

WRAŻLIWOŚĆ

HEDGING OPCJI

HEDGING OPCJI

• Opcje zmieniają się nieliniowo i mają nielinearną wypłatę

• Strata na opcji jest kombinacją dwóch czynników:– Ekspozycji

– Czynnika ryzyka

• A więc nie tylko ważny jest czynnik ryzyka ale i ekspozycja nominalna (często to wygląda jak sprzedaż instrumentu short)

HEDGING OPCJI

• Np.wartości instrumentu jest funkcją czynników ryzyka

• Korzystając z rozwinięcia Taylora można pokazać wpływ pochodnych cząstkowych na zmianę ceny instrumentu

...2

1

2

1'

'2

1'

'

2

1

2

1

,,

,,,

),,',,(

2

2

22

2

22

2

2

2

2

22

2

2

df

df

df

df

dii

fdi

i

f

dii

fdi

i

fdS

S

fdS

S

fdf

ekspiracjidoczaszmiennoscopcjiwykonaniacena

azagranicznstopakrajowastopaSpot

XiiSff tttttt

HEDGING OPCJI

• Aproksymacja ceny opcji przy delta-gamma opcji

delta

Delta-gamma

Rzeczywista cena

90 100 110

0

5

10

Wartość

opcji

Cena aktywu

GREEKS-MIERNIKI

WARAŻLIWOŚCI• Cena opcji ulega zmianie do jej ekspiracji

• Do momentu realizacji cena opcji jest wrażliwa na

zmianę wielu czynników

• Dealerzy posługują się podziałem ryzyka w opcji na

elementy cząstkowe - ułatwiające budowanie

oczekiwań i starają się uodpornić na zmiany

• Greeks pokazują zależności między założeniami

teoretycznymi a zmianami na rynku

• Mierzą siłę wpływu czynników na wartość opcji

• Są to współczynniki wrażliwości ceny opcji – dają

podstawy do szukania sprawiedliwej ceny opcji

GREEKS – POCHODNE CZĄSTKOWE

• Pochodne cząstkowe w pojedynkę pokazują

wrażliwość ceny opcji na czynniki ryzyka

WRAŻLIWOŚCI (GREEKS)

• Grupa współczynników

• Wyprowadzenie modelu

ceny opcji każdorazowo

z jednego czynnika

• Analiza dokonywana jest

przy izolowaniu od

innych czynników

• Ceny opcji call (ż) & put (z)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Call

Put

DELTA OPCJIDelta opcji pokazuje stopę zmiany premii (ceny opcji) względem zmiany

ceny instrumentu bazowego (spot np. o 1%)

Delta pokazuje wrażliwość ceny opcji na zmianę ceny spot instrumentu

Delta może też być definiowana jako prawdopodobieństwo, że opcja

ekspiruje in-the-money lub teoretyczna ilość transakcji futures, przy

których holder jest długi (przy call option)

Delta matematycznie jest pierwszą pochodną ceny opcji w punkcie

Delta zmienia się od -100% do 0% dla put i od 0% d0 100% dla call

Cena aktywu Spot (dla opcji europejskiej forward)

tan=delta=δPc/δSCena opcji

tu: call Pc

Wartość wewnętrznaCena opcji

DELTA OPCJI

1

-1CENA

CENA

DE

LTA

ZMIANA DELTA W OPCJI CALL I PUT

DELTA DLA OPCJI AT THE MONEY =0.5 CALL I -0.5 PUT

premia

cena

premia

cenastrikestrike

0,5

0.25

DELTA

• Put ma negatywne delta “negative relationship” bo

premia maleje, gdy rośnie cena danego aktywu

• Call ma pozytywny stosunek bo premia rośnie,

gdy rośnie cena danego aktywu

• At the money - delta 0.5, co znaczy, że premia

zmieni się o 0.5% na zmianę ceny o 1%

• Jeżeli delta zbliża się do 1 (call) lub -1 (put) to

oznacza, że procentowa zmiana premii jest taka

sama jak ceny tzn. Że nie ma time value i jest tylko

intrinsic value

DELTA• Delta to zmiana w procentach ceny opcji na każdy

procent zmiany ceny danego aktywu

• Delta pokazuje wrażliwość premii opcji w stosunku

do zmiany spot

• Delta np.100% dla underlying czyli pozycji długiej i

minus 100% dla krótkiej

• Dla każdej zmiany ceny aktywu o 1% cena opcji

zmienia się o 1%*Δ

• Np.USD/YEN spot 100, cena opcji call 5%, delta

=50%, gdy spot wzrośnie do 101 (1%) cena opcji

wzrośnie do 5%+1%*50%=5,5%

• Δcall=Δ*ΔSpot ile trzeba kupić spot aby pokryć

zmianę ceny opcji na skutek zmiany spot.

DELTA

• Delta hedging:

- Zabezpiecza wystawcę opcji przed ryzykiem strat

– strategia hedgingu z użyciem portfela opcji, które są niewrażliwe na zmiany cen aktywu

– Kupno lub sprzedaż aktywu w proporcji delta

– Strategia dynamiczna lub statyczna:

– dynamiczna: zmiana okresowa portfela aby utrzymać zakładaną deltę

– statyczna: tylko przyjęcie delty na początku

– Dodatnia korelacja ceny aktywu z wartością opcji call i ujemna z opcją put

• Neutralna delta

– Portfel, gdzie delty dodatnie i ujemne się znoszą. Zbilansowanie powoduje zmianę netto =0

– Strategie: short & long straddle, short & long strangle …

– Można zarobić bez względu na kierunek ruchu ceny aktywu

DELTA HEDGING

• Wielkość zabezpieczona H=Δ*Notional przy sprzedaży CALL

• Dla Δ=50% Notional=100$ Strike 400

• H=50%*100$=50$ przy cenie 400

• Przy wzroście ceny do 480 pozycja =-80

• Zmiana wartości opcji = Δ* Δceny=50%*-80=-40$

• Ale zmienia się też wartość akcji =50%*80=+40

• Czyli strata na cenie opcji -40=+40 zysk na zmianie ceny spot (czyli offset)

• Gdy Δ rośnie trzeba dokupić aktywów, gdy Δ maleje sprzedajemy aktywa

DELTA JAKO CZYNNIK HEDGE

• Delta jest hedge factor dla opcji:

– Reprezentuje ona, jaka jest potrzebna pozycja spot, aby

pokryć zmianę w cenie opcji na skutek ruchu spot

– np. Jeżeli kupujemy opcję o delta +32% to musimy

sprzedać 32% wartości nominalnej

– np. Jeżeli kupujemy opcję o delta -25% wtedy musimy o

25% zwiększyć nominał

• Tak więc, jeżeli sprzedamy $10m, 35 delta EUR

call/USD put musimy kupić $3.5m EUR/$, aby się

zabezpieczyć

DELTA JAKO CZYNNIK HEDGE

• Inny przykład: Wystawca opcji w dniu zakupu

sprzedał 10 mln eur za usd. Delta opcji była

0.5 (50% szans). Dziś delta opcji wynosi 0.6

(60% in the money). Tak więc sprzedawca

aby się zabezpieczyć na dzień realizacji opcji

musi dokupić 10% z kwoty 10 mln eur.

• To jest tzw. Procedura zabezpieczania delty,

czyli delta-zabezpieczona lub delta-neutral.

Wtedy małe ruchy instrumentu bazowego są

zabezpieczone dla sprzedawcy opcji

DELTA

• Delta rośnie im bliżej ekspiracji w pobliżu

ceny at the money

• Delta zmienia się silnie

• Delta zmienia się wraz ze zmiennością

• Dla obligacji: delta to zmiana duration pod

wpływem zmian stopy %, a gamma to

convexity, mierzy stopę zmiany duration

DELTA

Forward delta zawsze = 1

W opcji delta zmiania się przy

różnych wartościach zmiennej

DELTA

• 1. Wyprowadzenie z

kursu

• Wskazuję jak zmienia się

cena opcji przy zmianie

instrumentu bazowego o

jednostkę. Dla krótkiego

czasu pomija się czynnik

dyskontujący

• 0 <= C <= 1

• -1 <= P <= 0

C - P = 1

ti

C edNS

C

1

]1[ 11

dNeedN

S

Ptt ii

P

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

00

40

00

500

0

60

00

70

00

80

00

90

00

100

00

Call

Put

Gdy zmienia się spot bardzo rosną d1 oraz d2 a delta dąży dla call do 1 dla put do -1

DELTA; WRAŻLIWOŚĆ I

LEVERAGE

• Jeżeli spot się zmienia opcja o wysokiej delta

ma większą wartość absolutną niż opcja o

małej delta

• Jednakże opcje o małej delta mają większą

zmianę relatywnie do ceny opcji (wyższy

leverage) niż opcje z wysoką delta

DELTA PRZYKŁAD

Pozycja Spot 1.40

Cena

opcji

Delta Spot 1.41

Wartośc

opcji

Zmiana

absolutna

Zmiana

względna

2mies 1.4

USD call

CHF put

1.64% 51% 2% 0.36% 22%

2mies1.45

USD call

CHF put

0.53% 24% 0.70% 0.17% 32 %

DELTA EUR CALL/USD PUT: DNI

DO EKSPIRACJIDELTA

FORWARD

0%

50%

100% 1 DZIEŃ 30 DNI

45 DNI

10090 110

INTERPRETACJA

• Opcje mogą być dynamicznie hedgowane

• Kiedy zmienność jest wysoka, hedging

dynamiczny jest kosztowny a ceny opcji

wysokie

• Kiedy zmienność jest mała, dynamiczny

hedging jest tani a ceny opcji niskie

• Implied volatility reprezentuje oczekiwane

koszty dynamicznego hedgingu opcji

DELTA - PODSUMOWANIE

• Delta jest wrażliwościa ceny opcji na zmianę

spot

• Delta reprezentuje prawdopodobieństwo, że

opcja będzie in-the-money w maturity

• Delta jest czynnikiem hedgu do hedgowania

ceny opcji w stosunku do małych ruchów w

cenie spot

11

Volatility Smile

Volatility Smile

“Insurance” options (opcja ze strike dalekow out-of-

the-money) kosztuje proporcjonalnie więcej niż

opcja at-the-money. Opcja out-of-the-money jest

wyceniana przy uzyciu wyższegowkładu implied

volatilityniż volatility dla opcji at-the-money

Jeżeli spot porusza się w kierunku ekstremów, rynek

bedzie w unchartered / unfamiliar territory. Warunek

osiągnięcia przez spot poziomu strike out-of-the-

money, ktoś jest bardziej niepewny poziomu

przyszłego spot niż ja mam obawy dotyczące zmian

spot obecnie

Tak więc większe volatility jest stosowane kiedy

strike opcji porusza się poza poziom at the money.

Volatility Skew

Dodatkowo, uczestnicy rynku mogą mieć większe

obawy gdy spot porusza się w kierunku jednego

ekstremum.

Ta duza obawa odzwierciedla się w większej

zmienności przy zabezpieczeniu się w jednym

kierunku niż w drugim w stosunku do poziomu at

the money. Krzywy uśmiech. Np. Obawa, że

waluta sie łatwiej zdeprecjonuje niż aprecjonuje

Volatility

Atm X Delta CallX Delta Put

Volatility

Atm X Delta CallX Delta Put

Volatility

silnie rz¹dzi

cen¹ opcji

The volatility

smile

reprezentuje

pogl¹d rynku

opcji na Spot

GAMMA

• Gamma (γ ) mierzy zmianę delty względem spot

• a więc nie mierzy wrażliwości opcji, lecz wrażliwość

delty opcji

• Δ(ΔC/ΔS)=γ np. Δ=50%,Δ=70% γ=(70%-50%)=20%,

czyli zmiana ceny powoduje zmianę Δ o 20 pkt%

• Gamma ma się tak do delty jak przyspieszenie do

prędkości- tzw. Krzywizna opcji

• A więc sprzedawca opcji musi tym częściej

dokonywać zabezpieczenia im gamma jest wyższa.

• Wysokie gamma trudniej zabezpieczać opcje

• Dla tej samej delty: call gamma=put gamma

GAMMA OPCJI

• GAMMA (wrażliwość ) zmiana delta ceny opcji w stosunku do zmiany ceny

instrumentu bazowego

• Pokazuje jak delta jest wrażliwa na zmianę instrumentu bazowego

• im większa gamma tym większe ryzyko

• Matematycznie jest to druga pochodna ceny opcji

Cena aktywu

tan=deltaCena opcji

Błąd gamma

GAMMA

• 2. Wyprowadzenie z

kursu

• Wyprowadzenie Delta

względem zmiany kursu

• Pokazuje jak zmienia się

Delta przy zmianie ceny

instrumenu o jednostkę.

• Krzywizna funkcji opcji

• Dla opcji at-the-money

jest gamma najwyższa

i

d

i

PC

eeTS

deltanaWrazliwosc

tS

dne

S

C t

)2

(

1

2

2

21

2

11

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

0.0006

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

GAMMA OPCJI• Możliwe wartości gamma mają kształt rozkładu o

normalnej gęstości i pokazują jak szybko zmienia się

delta względem ceny aktywu

Cena

Gam

ma

=Δ

Δc/Δ

S

Gamma najmniejsza dla głęboko out lub in the money

gamma najwyższa wokół at the money

gama dodatnia dla long option i negatywna dla short option

GAMMAgamma

forward

30%

20%

10%

0%

Kurs

odchyl.standardowe 10%

7 dni

30 dni

45 dni

GAMMA

• Kiedy kupuje się opcję ma się dodatnią

pozycję gamma

• Kiedy sprzedaje się opcję ma się ujemną

pozycję gamma

• Opcje z wysokim gamma wymagają

częstszego hedgu dostosowawczego niż

opcje o małym gamma

GAMMA - HEDGE

Pozycja Spot 1.40

Delta Gamma

Spot 1.41

Delta Gamma

2mies

1.45 USD

call CHF

put

24% 7.34% 29% 8.11%

1 tydz.1.4

USD call

CHF put

51% 28.58 71% 25.53%

• Przypadek 1. Trzeba kupić tylko 5% (29%-24%) nominału spot aby

utrzymać pozycję hedge delta

• Przypadek 2. Trzeba kupić 20% (71%-51%) nominału spot aby

utrzymać pozycję delta hedge

GAMMA - PRZYKŁAD OBLICZEŃ

cena akcji 100 $

zmiennosc 0,2 20%

okres do wygasniecia 0,2 T-t ROKU

strike 98 $

stopa % 0,1 r=10%

ln S/X 0,020203 LN

skorygowany dochod 0,016 (r-0.5wariancji)*(T-t)

skorygowana zmiennosc0,089443 od.standar(T-t)

d2= 0,404759

N(d2)= 0,657172 prawdopodbienstwo

wykonania opcji

65%bo opcja in the m

d1= 0,494201 d1=d2-skor.zmiennosc

N(d1)= 0,689418 wspol.delta

wspolczynnik dyskontujacy0,980199

WAROSC OPCJI CALL 5,81416 $

wspolczynnik 0,398942

(d1 2/2) 0,122117

EXP(d1 2/2) 0,885044

N'(d1)= 0,353081

gamma= 0,039476

INTERPRETACJA:

JEŻELI CENA AKCJI WZROŚNIE O 1$

TO DELTA WZROŚNIE O 0,0395

GAMMA

• Gamma jest zmianą delty ze względu na zmianę spot

i mierzy wrażliwość ceny opcji przy większych

ruchach spot.

• Gdy się kupuje/sprzedaje opcję ma się

pozytywne/negatywne gamma

• Gamma mierzy jak dostosować hedge aby być delta-

neutral, gdy zmienia się spot

• Gamma jest wysoka, gdy opcja jest bliska ekspiracji,

bliska strike price lub ma małe volatility

VEGA OPCJI

• Vega - stopa zmiany ceny opcji ze względu na zmianę volatility

Cena strike

veg

a

Vega może się zmieniać nawet bez zmian

ceny aktywu (zmiana implied volatility)

Vega może szybko rosnąć na skutek np.

szybkiego spadku lub wzrostu ceny aktywu

Vega spada w pobliżu ekspiracji opcji

VEGA

• Wyprowadzenie z

Volatility

• Pokazuje,jak zmienia się

cena opcji przy zmianie

volatility o jednostkę.

• Dla opcji at-the-money

wartość najwyższa

• Vega ma normalną

funkcję gęstości

t

t

i

d

i

PC

eeS

zmiennoscizmianynaWrazliwosc

dnteC

)2

(

1

21

2

1

100

%1

0

200

400

600

800

1000

1200

30

00

40

00

50

00

60

00

700

0

80

00

90

00

100

00

VEGA - PRZYKŁADcena akcji 100 $

zmiennosc 0.2 20%

okres do wygasniecia 0.2 T-t ROKU

strike 98 $

stopa % 0.1 r=10%

ln S/X 0.020203 LN

skorygowany dochod 0.016 r-0.5wariancji+(T-t)

skorygowana zmiennosc0.089443 od.standar(T-t)

d2= 0.404759

N(d2)= 0.657172 prawdopodbienstwo

wykonania opcji

65%bo opcja in the m

d1= 0.494201 d1=d2-skor.zmiennosc

N(d1)= 0.689418 wspol.delta

wspolczynnik dyskontujacy0.980199

WAROSC OPCJI CALL 5.81416 $

wspolczynnik 0.398942

(d1 2/2) 0.122117

EXP(d1 2/2) 0.885044

N'(d1)= 0.353081

gamma= 0.039476 VEGA= 15.79027

JEDNOPROCENTOWY PRZYROST

ZMIENNOŚCI SKUTKUJE WZROSTEM

WARTOŚCI OPCJI O 0.1579

VEGA

• Vega mierzy wrażliwość ceny opcji ze

względu na zmiany volatility

• Vega jest więc zmianą w procentach wartości

opcji na 1% zmiany implikowanej zmienności

• Vega call=vega put (dla danego strike)

• Vega jest duża, jeżeli opcja ma dużo czasu

do ekspiracji, bliska at-the- money, lub ma

wysoką absolutną zmienność

• Vega zmienia się jak pierwiastek z czasu

VEGA

90 100 110

10 dni

30 dni

60 dni

90 dniVEGA

SPOT

0

0,1

0,2

THETA LUB TIME DECAY

• Theta jest wrażliwością ceny opcji względem zmian w

czasie (ceteris paribus)

• Na początku opcja ma 100% swojej wartości w czasie

i maleje ta wartość z każdym upływającym dniem

(time decay)

• Wartość opcji neutralnej jest największa przed

wygaśnięciem

• Zwykle mierzy się theta na 1 dzień bazowy

• Gdy kupuje się opcję ma się negatywną pozycję theta

- płaci się za time decay

• Gdy sprzedaje się opcję ma się pozytywną pozycję

theta - zarabia się za time decay

THETA

• Theta zmiana procentowa ceny opcji ze względu

na zmianę czasu - time decay of a portfolio

• Miara reakcji ceny opcji na zmianę okresu do

terminu wygaśnięcia Theta= dC/dt

• Wartość zmienia się od 0 do ceny opcji kupna

• Theta może być wysoka dla opcji out of the

money, jeżeli zawiera dużo oczekiwanej

zmienności

• Theta jest zwykle najwyższa dla opcji at the

money

• Theta zwykle rośnie w ostatnim okresie przed

ekspiracją i może wpłynąć na posiadaczy opcji,

szczególnie gdy spada volatility

e

d

xxN

NSe

d

dc

ti

c

2/

1

2

2

1)(

2

)(

THETA

• Call/put theta: theta call=theta put (dla tej

samej delta)

• Im większa zmienność tym wyższa theta

• Im bliżej do “the money” tym wyższa theta

THETA

• Theta EUR call USD put zgodnie z volatility

theta

spot

5 dni

10 dni

15 dni

THETA/GAMMA

• Gdy się zmienia spot gamma oraz theta

poruszają się w tę samą stronę

• Relacja gamma/theta są stałe

• To co otrzymuje się lub płaci za time decay

jest uzależnione od ryzyka jakie się

podejmuje

THETA - PRZYKŁAD

cena akcji 100 $

zmiennosc 0.2 20%

okres do wygasniecia 0.2 T-t ROKU

strike 98 $

stopa % 0.1 r=10%

ln S/X 0.020203 LN

skorygowany dochod 0.016 (r-0.5wariancji)*(T-t)

skorygowana zmiennosc0.089443 od.standar(T-t)

d2= 0.404759

N(d2)= 0.657172 prawdopodbienstwo

wykonania opcji

65%bo opcja in the m

d1= 0.494201 d1=d2-skor.zmiennosc

N(d1)= 0.689418 wspol.delta

wspolczynnik dyskontujacy0.980199

WAROSC OPCJI CALL 5.81416 $

wspolczynnik 0.398942

(d1 2/2) 0.122117

EXP(d1 2/2) 0.885044

N'(d1)= 0.353081

gamma= 0.039476 theta -7.89514

PO UPŁYWIE 1/100 ROKU PREMIA

OPCYJNA MALEJE O 0,0789 $

THETA

• Theta jest wrażliwością ceny opcji na

jedniodniową zmianę w czasie - znana jako

time-decay

• Kiedy się kupuje/sprzedaje opcję ma się

negatywną/pozytywną pozycję theta

• Kiedy theta jest dodatnie, gamma jest

negatywne i odwrotnie

• Theta jest wielka, gdy opcja jest blisko

wygasnięcia, blisko at the money lub ma duże

volatility

RHO,PHI, LAMBDA OPCJI

• Rho - zmiana procentowa ceny opcji ze względu na zmianę stopy % - wrażliwość na zmiany stopy krajowej% rho=dC/dr.

• Phi - zmiana procentowa ceny opcji ze względu na zmianę zagranicznej stopy procentowej

• Lambda - zmiana procentowa premii do zmiany procentowej ceny

)(

:

)(

:

2

2

dNXei

p

putDla

dNXei

c

callDla

i

p

i

c

)('

:

)('

:

2

'

2

'

dNSei

p

putDla

dNSei

c

callDla

i

p

i

c

GREEKS

• Delta dodatnie - chcesz

wzrostu spot

• Gamma dodatnie - chcesz

ruchu spot w dowolnym

kierunku

• Theta dodatnia czas

zwieksza wartość opcji

• Vega dodatnia - chcesz

wzrostu implied volatility

• RHO,PHI dodatnie chcesz

wzrostu stóp %

• Delta ujemna - chcesz

spadku kursu bazowego

• Gamma ujemna - chcesz

stabilnego kursu

• Theta ujemna - upływ

czasu zmniejsza wartość

pozycji

• Vega ujemna chcesz

spadku volatility

• RHO,PHI ujemne chcesz

spadku stóp %

GREEKS - PODSUMOWANIEMIERNIK NOTACJA CALL PUT

DELTAS

Cc

)(1dN

C 1 CP

GAMMAS

C

c

2

TS

N dC

)(

1

CP

THETAT

Cc

)(

2

)(

2

1

ded NiE

T

NS iT

C

e

iT

CPiE

RHOi

C

c

)(2de NTE

iT

C

e

iT

CPTE

VEGA

Cc

)(1dNTS

C CP

20

Żargon opcji: The Greeks

The Greeks są miarami ryzyka przyjęcia pozycji oraz pomocą w zarządzaniu portfelem

Pierwsze pochodne

Delta

Vega

Theta

Rho

Drugie pochodne

Gamma

Vol Gamma

d Vega / d Spot

dSdP

ddP

dtdP

drdP

dSd

ddV

dSdV

Zmiana ceny opcji na 1% zmiany spot

Zmiana wartości opcji na 1% change w volatility

Zamiana wartości opcji powodowana upływem czasu

Zmiana wartości opocji powodowana przez 1%

zmiany walutowej stopy %

Zamiana w Delta powodowana przez 1% zmiany spot

Zmiana Vega powodowana 1% zmiany volatility

(czasami określana mianem “convexity”)

Zmiana w Vega powodowana 1% zmiany spot

OPCJE

• KORZYŚCI

– klient zna

maksymalny kurs

– partycypuje w

korzyściach

rynkowych

• WADY

– Klient płaci premię

OPCJE

• Strategia krótkoterminowa: zabezpieczenie delty

• Strategia średnioterminowa: wybór pomiędzy

dodatnią gammą a dodatnią deltą (nastawienie na

wahania lub ich brak)

• Strategia długoterminowa: handel vegą

(pozycjonowanie względem oczekiwanej zmienności)

• Analiza: krzywa volatility par walut, volatility w czasie

(np.. Dla miesiąca, kwartału, roku), volatility

względem delty np..ATM oraz delta-25, delta 50

OPCJE NA AKCJE warrantY

• warrant daje prawo nabywcy do zakupu (buy) lub sprzdaży (sell) określonej ilości tytułów do aktywów po stałej cenie w danej dacie (europejska) lub w danym czasie (amerykańska) w przyszłości

• Zwykle płaci się premię za cenę akcji w przyszłości

• Zwykle 4 rodzaje warrantów: europejskie, amerykańskie, bermudzkie, azjatyckie

• Wypłata z europejskiego call= max[0,S-X] put=[0,X-S]

• Np. call warrant 0,06c, parytet na akcje 10 warrantów, cena spot akcji 10$, a cena w warancie 11$. A więc opłaci się gdy cena przekroczy 11,60$ bo opłata za 10 warrantów 10*0,06$=60c

• Wycena jak opcje czyli Black-Scholes

STRATEGIE OPCYJNE

Strategie opcyjne to równoległa sprzedaż opinii

rynkowych, dzięki czemu strona zabezpieczająca otrzymuje

quasi-subsydiowanie kosztu zabezpieczenia

STRATEGIE OPCYJNE

• Tradersi przyjmują bardzo różne strategie w

zarządzaniu swoim ryzykiem

• Generalnie dążą do minimalizacji ryzyka (też stop loss)

• Profil ryzyka zależy czy są brokerami (unikanie

otwartych pozycji), czy spread traderami (limit straty),

czy market makersami

• Ryzyko zależy też od percepcji ruchów na rynku

• Doskonały hedge to skompensowanie opcji kontr opcją.

Ta strategia wymaga jednak dużych obrotów i licznych

klientów, aby była zyskowna

• Market makers nie robią opcji za opcję, bo ta strategia

jest kosztowna i nieefektywna

STRATEGIE OPCYJNE

ELEMENTY UKŁADANKI

Waluta long

Waluta short

Long call Long put

Short call Short put

STRATEGIE OPCYJNE - GRUPY• Naked - zakup tylko jednej opcji

• Hedge - zakup jednej np.akcji oraz jednej opcji

• Spread - zakup jednej opcji oraz sprzedaż innej opcji

• Combination - zakup call lub put jednej serii sprzedaż call lub put innej serii

• Strategie pionowe (money spreads) zakup i sprzedaż opcji o różnych cenach bazowych na ten sam termin: bull call spread, bull put spread, bear call spread, bear put spread.

• Strategie poziome: różny czas – calendar spread

• Strategie diagonalne: rózny czas i różna kombinacja opcji

• Konwersja kupno put, sprzedaż call i kupno kontraktu terminowego

• Ratio hedge (delta neutral)

STRATEGIE OPCYJNE

• Naked

• Hedge – pozycja w aktywie oraz opcja 4 warianty

• Spread pionowy:– vertical bull call- long call A, short call B

– vertical bull put - long put A, short put B

– vertical bear call - short call A long call B

– vertical bear put - short put A, long put B

• Horizontal spread (calender spread)

• Diagonal spread (różnica ukośna)

• Strip - long call, 2 long put

• Strap - 2 long call, long put

PRZYKŁAD STRATEGII HEDGE

• Zabezpieczenie przed

spadkiem kursu opcją

Kurs styczeń 3,500

Kurs lipiec 3000 ale premia

opcji zdrożała

Gotówkowo strata

A na cenie opcji zysk 550 bps

Transakcja gotówkowa

kurs

Opcja

Styczeń 3,500 Styczeń zakup

put 3,3500 IX

Premia 200bps

Lipiec 3,000 Lipiec sprzedaż

put na wrzesień

3,350; premia

750 bps

Strata 0,500 Zysk 550 bps

POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM

BAZOWYM

LONG ASSET

SHORT CALL

EFEKT SYNTEYCZNY

SELL PUT

ZYSK

STRATA

x

POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM

BAZOWYM

LONG CALL

SHORT ASSET

EFEKT SYNTEYCZNY

BUY PUT

ZYSK

STRATA

X

POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM

BAZOWYM

LONG ASSET

LONG PUT

EFEKT SYNTEYCZNY

BUY CALL

ZYSK

STRATA

X

POŁĄCZENIE OPCJI Z AKTYWEM

BAZOWYM

SELL PUT

SHORT ASSET

EFEKT SYNTEYCZNY

SELL CALL

ZYSK

STRATA

X

SYNTETYCZNE PRODUKTY RYNKU

DEWIZOWEGO

• Synthetic long - długa pozycja forward: zakup call i

sprzedaż put, ten sam strike, expiry date,

• synthetic short - sprzedaż forward: zakup put oraz

sprzedaż call

• synthetic long call - zakup put i forwardu

• synthetic long put - zakup call i sprzedaż forward

• synthetic short call - sell put oraz sell forward

• synthetic short put - sprzedaż call zakup forward

ODWRÓCENIE POZYCJI

+ =

LONG PUT LONG WALUTA LONG CALL

LONG CALL SHORT WALUTA LONG PUT

+ =

STRATEGIE

SPREAD

SPREAD BYKA (wertykalny-CALL)

LONG CALL

SHORT CALL

SPREAD BYKA

K1 K2

Zakup call (droższy) dla jednej ceny i sprzedaż call dla wyższej ceny, to samo maturity

Jeżeli cena rośnie to pierwszy call zarabia, gdy cena rośnie dalej powyżej K2

to zysk jest ograniczony

Spread pionowy byka ogranicza upside dla long call i dlatego jest tańszy

Premia droższego call jest subsydiowana uzyskaną premią put

Zysk/strata

S

SPREAD BYKA (wertykalny-CALL)

Zakup opcji call:

waluta 1000000 FS

e1 kurs waluty 1,5 PLN/Fs

c1 cena opcji 0,15 groszy za opcję

k1 koszt opcji 150000

Sprzedaż opcji call:

waluta 1000000

e2 kurs waluty 1,9 PLN/Fs

c2 cena opcji 0,1 groszy za Fs

k2 koszt opcji 100000

Maksymalna strata: -50000 k2-k1

Maksymalny zysk: 350000 1000000*(e1-e2)-(k1-k2)

SPREAD NIEDŹWIEDZIA (wertykalny-

CALL)

LONG CALL

SHORT CALL

SPREAD NIEDŹWIEDZIA

K1 K2

Zakup call dla niższej ceny i sprzedaż call dla wyższej ceny, to samo maturity

Jeżeli cena spada zarabia się na short call, gdy cena spada dalej poniżej K1

to strata jest ograniczona

Spread pionowy niedźwiedzia ogranicza downside dla short call i dlatego jest tańszy

Zarabek na wyższej premii od short call i niższej od long call

ZYSK

STRATA

SPREAD BYKA (wertykalny- PUT)

K1 K2

Zakup put dla niższej ceny i sprzedaż put dla wyższej ceny, to samo maturity

Jeżeli cena rośnie zarabia się na long out, gdy cena rośnie dalej powyżej K2

to zysk jest ograniczony

SHORT PUT

LONG PUT

ZYSK

STRATA

SPREAD NIEDŹWIEDZIA (wertykalny -

PUT)

SHORT CALL

K1 K2

Sprzedaż put dla niższej ceny i zakup put dla wyższej ceny, to samo maturity

Jeżeli cena rosnie strata ograniczona, gdy cena spada dalej poniżej K1

to zysk jest ograniczony

LONG PUT

SHORT PUT

ZYSK

STRATA

-+

- - kurs wymianypremia K1

K2 K3

-

+

Long call K1, long call K3, short call K2 * 2,

Gra na oczekiwanej kurtozie rozkładu zwrotów

SPREAD MOTYLA - Butterfly

OTM OTM

ZYSK

STRATA

CALENDER SPREAD (horyzontalny)

• W tym samym momencie sprzedaż opcji w

pobliżu ekspiracji i zakup opcji o późniejszej

ekspiracji, obie dla tej samej strike price

• Zakłada wykorzystanie spadku wartości

czasowych opcji o różnych terminach

wygaśnięcia

• Gra na krzywej volatility względem

wygaśnięcia

CALENDER SPREAD (horyzontalny)

SHORT CALL

PREMIA DŁUGIEJ

OPCJI W DNIU

WYGAŚNIĘCIA

NETTO DOCHÓD

ZYSK

STRATA

DIAGONAL SPREAD (wertykalno-

horyzontalny)

• Jednoczesny zakup i sprzedaż opcji dla

różnych strike price oraz dla różnych

terminów

STRATEGIE KOMBINOWANE

KOMBINACJA OPCJI

• Opcje kombinowane to jednoczesny zakup

lub sprzedaż opcji call oraz put

• Zerokosztowe

• Straddle – stelaż

• Strangle – pętla

• Kondor

• Mewa

• Strips & straps

OPCJA ZEROKOSZTOWA

• Klient oczekuje zabezpiecznia opcją w

określonym przedziale

• Klient wybiera Zero Cost Collar

• Collar składa się z dwóch opcji: Buy i sell

(Buy call i sell put)

RISK REVERSAL• (Cylinder, superforward) kombinacja dwóch opcji o niskiej

wartości delta (out-of-the-money) - kupna i sprzedaży.

• To pokazuje, jak out of the money option są kwotowane

przez dealerów. Różnice w cenach opcji PUT oraz CALL dla

np.delta 0.25.

• Zakup opcji call z delta 0.25 i sprzedaż put z delta 0.25 (lub

odwrotnie), maks. oraz minimalny strike

• Jak widać rynek oczekuje rozwoju w takim kierunku, że w

obu przypadkach jest on korzystny, niska cena lub 0, gdy

obie opcje są o tym samym koszcie,

• Popyt i podaż na rynku powodują, że czasem opcje put i

call mają różną cenę

• Risk reversal ma uzasadnienie, że jego sprzedaż wpływa na

sytuację kupujących

RISK REVERSAL -Zero Cost Collar

Long

Call

Strike

Short

Put

Strike

StrikeStrike

+• premia za sprzedaż

put jest

inkorporowana do

zakupu call

• Struktura instrumentu

jest zero cost

Risk

Reversal

Risk Reversal

3.74

3.80

3.86

3.92

3.98

4.04

4.10

4.16

4.22

4.28

4.34

3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34

Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji

Bez zabezpieczeniaForwardRisk Reversal

Rzeczywisty kurs

sprzedaży

EUR/PLN

• Efektywny kurs sprzedaży waluty

jest wynikiem wyrównania między

bankiem a klientem różnicy kursu

ustalonego i kursu spot w dniu

realizacji

• Rekompensaty ze znakiem

ujemnym oznaczają kwoty, jakie

klient zapłaci na rzecz banku, w

przypadku, gdy w dniu realizacji

kurs spot znajdzie się na żądanym

poziomie

21

Klient: kupuje EUR Call / PLN Put,

Strike = 5.6500

Sprzedaje EUR Put / PLN Call,

Strike = 4.8000

Nominał: EUR 10m

Maturity: 12m

Risk Reversal Finansowanie vanilla Call option poprzez vanilla Put option

Zero premium Collar

Ponieważ różnica stóp % i

volatility, potencjalna partycypacja nie

jest równa ryzyku downside

Od początku klient jest świadomy

najlepszego i najgorszego

scenariusza.

Uwagi

Warunki wymiany:

W dniu wygaśnięcia opcji, jeżeli EURPLN

jest pomiędzy dwoma strikami klient

poprostu robi transakcję na rynku

Klient jest chroniony powyżej 5.65

Klient partycypuje w stracie poniżej 4.80

ATMF

EURPLN5.65

4.80

forward jest w

zero cost collar

tam gdzie strikes

EUR Call / PLN

Put i EUR Put/

PLN Call są takie

same

PORÓWNANIE PROFILÓW

RYZYKA

Profit

LossUnderlying Business

PLN per USD

Forward

Option

Collar

PORÓWNANIE PROFILÓW

RYZYKA

Profit

LossUnderlying Business

PLN per USD

Forward

Collar

PORÓWNANIE PROFILÓW

RYZYKA

Profit

LossUnderlying Business

PLN per USD

Forward

Collar

PORÓWNANIE PROFILÓW

RYZYKA

Profit

LossUnderlying Business

PLN per USD

Forward

Collar

PORÓWNANIE PROFILÓW

RYZYKA

Profit

LossUnderlying Business

PLN per USD

ForwardCollar

PORÓWNANIE PROFILÓW

RYZYKA

Profit

LossUnderlying Business

PLN per USD

ForwardCollar

PORÓWNANIE PROFILÓW

RYZYKA

Profit

LossUnderlying Business

PLN per USD

Forward

+

-

kurs wymiany

-

premia

RISK REVERSAL (tzw. opcja 0 kosztowa lub collar)

+

Jednoczesny zakup put I sprzedaż call po różnych strike price

Złożenie opcji out of the money buy put oraz out of the money sell call

Gra na oczekiwanej skośności rozkładu

RISK REVERSAL Opcja 0-Cost, Collar

Zalety

• Klient jest zabezpieczony

przed wzrostem cen

• Klient chroniony jest w

przedziale

• Stukutra jest zero kosztowa

Wady

• Jeżeli rynek się przesunie

poza granicę strata jest

nieograniczona

+ +

-kurs wymiany

-

+

premia

Long straddle (bottom)-Opcje put long&call long,

LONG STRADDLE - STELAŻ

ATM

ZYSK

STRATA

LONG STRADDLE - STELAŻ

cena akcji opcja kupnaopcja sprzedażystelaz

X=30 x=30 zysk/strat

c=4 c=2

10 -4 18 14

20 -4 8 4

24 -4 4 0

28 -4 0 -4

30 -4 -2 -6

34 0 -2 -2

36 2 -2 0

40 6 -2 4

50 16 -2 14

kurs wymiany

-

+

premia

short straddle (top)

- short put&call ten sam strike i maturity (siedzieć okrakiem)

SHORT STRADDLE - STELAŻ

ATM

SHORT PUT

SHORT CALL

premia

--

+

ZYSK

STRATA

+ +

-kurs wymiany

premia

-

+

Long call+long put, ale różne strike price, to samo maturity

LONG STRANGLE - PĘTLA

ATM put ATM call

ZYSK

STRATA

LONG STRANGLE - PĘTLA

Cena akcji opcja kupnaopcja sprzedazystrangle

x=30 x=25

c=3 c=5

10 -3 10 7

17 -3 3 0

20 -3 0 -3

25 -3 -5 -8

30 -3 -5 -8

33 0 -5 -5

38 5 -5 0

40 7 -5 2

--

+

kurs wymiany

premia

-

+

Short call+short put, ale różne strike price, to samo maturity

SHORT STRANGLE - PĘTLA

ATM put ATM call

ZYSK

STRATA

24

Brak kierunku ani bullish ani bearish

Czysta gra na volatility

Brak ryzyka delta

EURPLNEURPLN

Strangle Straddle

Strike Strike

1

Strike

2

STRANGLE & STRADDLE volatility

+

- - kurs wymianypremia K1

K2

K4

K3

-

+

CONDOR

ZYSK

STRATA

SEAGUL - MEWA

LONG CALL

SHORT CALLSHORT PUT

K1 K2 K3

Zamknięcie ryzyka w określonych widełkach. Składa się z 3 opcji o niskim delta

z tym, że jedna delta jest bliska 0.

ZYSK

STRATA

SEAGULL - MEWA

Seagull

3.74

3.80

3.86

3.92

3.98

4.04

4.10

4.16

4.22

4.28

4.34

3.74 3.80 3.86 3.92 3.98 4.04 4.10 4.16 4.22 4.28 4.34

Kurs spot w dniu wygaśnięcia transakcji

Bez zabezpieczeniaForwardSeagull

• Seagull - strategia złożona z 3 opcji

- lepsze ustawienie barier niż w Risk Reversal

- przy ekstremalnie negatywnym rozwoju kursu – brak

zabezpieczenia

- strategia dla klientów o bardzo precyzyjnym „view rynkowym”

Rzeczywisty kurs

sprzedaży

EUR/PLN

• Efektywny kurs sprzedaży waluty jest

wynikiem wyrównania między bankiem a

klientem różnicy kursu ustalonego i

kursu spot w dniu realizacji

• Rekompensaty ze znakiem ujemnym

oznaczają kwoty, jakie klient zapłaci na

rzecz banku, w przypadku gdy w dniu

realizacji kurs spot znajdzie się na

żądanym poziomie

22

Klientt: kupuje EUR Call / PLN Put,

Strike = 5.4000

sprzedaje EUR Call / PLN Put,

Strike = 5.9500

sprzedaje EUR Put / PLN Call,

Strike = 4.8000

Nominałl: EUR 10m

Maturity: 12m

SEAGULL - MEWA

Kombinacja vanilla optionZero premium Seagull

Stosując dużą zmienność oraz

skrzywieniue klient sprzedaje upside po

rozsądnej wartości poprawiając ochronę

Od początku klient jest świadomy

pozytywnego oraz negatywnego

scenariusza.

UwagiWarunki wymiany:

W dniu, jeżeli EURPLN jest pomiędzy dwoma

strikami klient dokonuje transakcji z rynkiem

Klient jest chroniony ponad 5.40 ale ochrona jest

ograniczona do ponad 5.95

Klient partycypuje poniżej 4.80

ATMF

EURPLN5.40

4.80

5.95

23

INVERSE SEAGULL

Vanilla option CombinationZero premium Inverse Seagull

UwagiWarunki wymiany:,

w dniu, jeżeli EURPLN jest pomiędzy dwoma

strikami klient robi transakcję z rynkiem

Klient jest chroniony ponad 5.65

Klient partycypuje poniżej 4.90

Ale jest cap ponizej 4.55

ATMF

EURPLN5.65

4.90

4.55

Klient: kupuje EUR Call / PLN Put,

Strike = 5.6500

sprzedaje EUR Put / PLN Call,

Strike = 4.9000

kupuje EUR Put / PLN Call,

Strike = 4.5500

Nominał: EUR 10m

Maturity: 12m

Klient ogranicza zobowiązania

przy możliwej aprecjacji PLN

Od początku klient jest

świadomy najlepszego oraz

najgorszego scenariusza.

STRIPS & STRAPS

STRIPS & STRAPS

Zakup strip w pozycji długiej składa się z długiej

pozycji call oraz długiej put + dodatkowy put.

Zakup strap składa się z dwóch pozycji call oraz

zakupu jednej pozycji call

STRIP

DWIE OPCJE PUT ORAZ JEDNA OPCJA CALL

Zakłada się znaczną zmianę ceny ale prawdopodobieństwo spadku

Jest większe niż wzrostu

Zysk

Strata

STRAP

DWIE OPCJE CALL ORAZ JEDNA OPCJA PUT

Zakłada się znaczną zmianę ceny ale prawdopodobieństwo wzrostu

jest większe niż spadku

ZYSK

STRATA

OPCJE EGZOTYCZNE

Literatura

Izabela Pruchnicka-Grabias: Egzotyczne opcje finansowe. CeDeWu.Pl, Warszawa, 2006

N.A Chriss:Black-Scholes and beyond:option pricing models McGraw-Hill Book Co,NY 1997

D.F DeRosaOptions on foreign exchange, John Wiley&Sons, NY 2000

OPCJA EGZOTYCZNA

• W opcjach egzotycznych łamana jest co najmniej jedna

reguła z definicji opcji: cena opcji, cena realizacji opcji,

rodzaj instrumentu bazowego, ilość instrumentów

bazowych albo data wygaśnięcia opcji

• Np. Opcja europejska uzależniona od spełnienia się

dodatkowych warunków określonych przez strony

• Np. Czy cena przekroczy lub czy jest mniejsza od

ustalonej ceny strike.

– Można wyróżnić: różnicowanie kontraktów (contract

variation), opcje graniczne (path dependent options),

opcje scenariuszowe (limit dependent options), opcje

wieloczynnikowe (multi factor options)

– Opcje egzotyczne są nazywane produktami

zarządzania ryzykiem trzeciej generacji

OPCJE EGZOTYCZNE

• Zmodyfikowane prawo nabywcy do wykonania praw wynikających z opcji, pod warunkiem spełnienia się warunków określonych w kontrakcie

• Dodatkowe elementy – uśrednienie, bariera, okres etc.

• Niższa cena wynika z niższego ryzyka

• Cechą egzotycznych są wybuchające –skokowo zmieniające się Greeks

OPCJE EGZOTYCZNE

DEFINICJA:

Opcja egzotyczna to umowa, w której wystawca

opcji daje nabywcy prawo w danym czasie

lub w kilku punktach w czasie otrzymania

wypłaty, której wysokość jest zależna od

rozwoju kursu jednego lub wielu

instrumentów finansowych

Instrumenty - underlyings: akcje, kursy walut,

indeksy, futures, commodities…

OPCJE EGZOTYCZNE

• Opcje egzotyczne – termin użyty przez Mark

Rubinstein w 1990 roku – monografia Exotic

Options

• Wcześniej – lata 60-te - na opcje egzotyczne

mówiono boutique options lub designer

options

OPCJE EGZOTYCZNE - PODZIAŁ

• I.Nelken – kryteria podziału opcji egzotycznych

– Struktura funkcji wypłaty

– Stopień dźwigni finansowej

– Zależność wypłaty od ścieżki instrumentu

– Korelacja instrumentów bazowych

– Czas wyboru – czas wykonania

– Inne elementy

OPCJE EGZOTYCZNE - PODZIAŁ

• Michael Onga: Kryteria: struktura wypłaty, ciągłość funkcji dochodu z opcji, stopień uwarunkowania opcji ceną aktywu bazowego w okresie opcji, liczba instrumentów, czas wyboru ceny wykonania opcji, rodzaj instrumentu bazowego– Opcje pojedyncze (singular payoff options) nieciągły dochód

– Opcje elastyczne (time dependent) możliwość wyboru momentu realizacji

– Opcje złożone (compound) instrumentem bazowym inny kontrakt opcyjny

– Opcje nieliniowe (nonlinear payoff)

– Opcje korelacyjne (multivariate options) – więcej niż jeden instrument bazowy

– Opcje uwarunkowane (path dependent) uwarunkowane ścieżką ceny instrumentu bazowego

OPCJE EGZOTYCZNEOPCJE

EGZOTYCZNE

PATH

DEPENDENT

LIMIT

DEPENDENT

KORELACYJNE

Multi factor

PAYOFF

CONTRACT DEP

AZJATYCKA

LOOKBACK

BARRIEROWE

LADDER

FORWARD

START

SHOUTRATCHET

CLIQUET

CAPPED

WYMIENNE

OUTPERFORMANCE

ILORAZOWE

SPREAD

BEST-WORST

RAINBOW

BASKET

FLEXO

BEACH

QUANTO

BINARNEDUAL STRIKE

BINARNE

SUPERSHARES

GAP

OPTIOM

CONTINGENT

TIME

DEPENDANT

CHOOSER

PREFERENCE

POWEROPCJE NA OPCJE

OPCJE EGZOTYCZNEGrupa Nazwa RodzajPath dependent Barrier Partial,outside,multiple

Lookback Partials, modified

ladder Modefied, step-lock

Ratchet zapadkowe

Shout okrzykowe

Average azjatyckie

Capped

Caps floors

Singular paysoff Contingent premium

Digitals binarne Cash or nothing, correlations

Digitals barrier

Time dependant Chooser

Forward start

Ratchet zapadkowe

Multivariate Basket

Rainbow

Best/worst

Min or max of n-asset

Piramide, madonna, spread

Quantos

Nested zagnieżdżone Chooser, compound, caption, floortion

leveraged Power, curvilinear,inverse

Embeddos Dual-index, stepped cap, range floater,

range rover…

POCHODNE: STOPY

PROCENTOWE

INSTRUMENTY

Transakcje na stopach procentowych

Oferowane transakcje

depozyty FRA Produkty

strukturalneIR Swap

Caps/floorsDepo +

strategie

Financial F

RYZYKO STÓP PROCENTOWYCH

OTOCZENIE SCENARIUSZ RYZYKO ROZWIĄZANIE

Stagnacja Cięcia stóp % Inwestora Floating debt lub cap/collar

option

Zagrożenie

polityczne

Spadek stóp Inwestor Floating rate debt na okres

niepokoju

Deficyt

budżetowy

Wzrost stóp % Pożyczkobiorca Stała stopa poprzez IRS,

forward

Negatywna

stopa %

Wzrost stóp % Pożyczkobiorca Stała stopa % przez IRS,

forward

RYZYKO STÓP PROCENTOWYCHRyzyko stóp procentowych może występować w postaci ryzyka:

• Odsetkowego: niedopasowanie strumieni odsetek według różnych stóp w jednej

walucie

Przykład: Firma finansuje się przez kredyt o odsetkach naliczanych wg zmiennej stopy,

otrzymuje natomiast strumienie wpływów wg stopy stałej

• Odsetkowo – walutowego: niedopasowanie strumieni odsetek wg różnych stóp w

różnych walutach

Przykład: Firma finansuje się kredytem o odsetkach naliczanych wg zmiennej stopy w

EUR, otrzymuje natomiast strumienie wpływów wg stopy stałej w PLN (lub

zmiennej w PLN)

• Niestabilności kosztów finansowania

Rolą zarządzania ryzykiem stóp procentowych może być:

• Eliminacja niedopasowań strumieni wpływów i odpływów gotówki

• Eliminacja ryzyka niestabilnych / wysokich kosztów finansowania

– Najczęściej poszukiwana rola instrumentów zabezpieczających ryzyko stóp procentowych,

szczególnie w branżach o niskiej marży sprzedaży !

Droga efektywnego zarządzania ryzykiem stóp procentowych:

kwantyfikacja niedopasowańIndentyfikacja ryzyk Pogląd na krzywe (fwd vs forecast)

Dobór

Instrumentu

I

transakcja

FORWARD RATE AGREEMENT• FRA klient i bank umawiają się zastosować w

przyszłości określone oprocentowanie w odniesieniu

do kredytu lub depozytu (transakcja pozabilansowa)

• Krótkoterminowe zabezpieczenie przed

nieoczekiwanym wzrostem lub spadkiem stóp %.

• Jest to kontrakt nierzeczywisty i nie wymaga

zaciągania kredytu, czy składania depozytu.

• Nabywca FRA rozlicza się kwotą odsetek:

• PŁATNOŚĆ=NOMINAŁ*CZAS*RÓŻNICA STÓP %

• Rozliczenie odbywa się na początku okresu poprzez

wypłatę wartości zdyskontowanej

• Nabywca zabezpiecza sobie maksymalną stopę a

sprzedający FRA zabezpiecza sobie minimalną %

FRA

• Rozliczenie syntetycznego FRA polega na

skompensowaniu depozytu i dwóch lokat.

• Kupując FRA strona płaci stałą stopę

procentową a otrzymuje zmienną

DEPOZYT to DO t2

12%

LOKATA to DO t1

12,3%

LOKATA t1 DO t2

FRA 11%

Data

transakcji

S

L

• Mechanika zbliżona do FX-forward

– Rozliczenie gotówkowe netto

– Nabywca FRA otrzymuje „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest niższa od stopy

referencyjnej

– Nabywca FRA płaci „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest wyższa od stopy referencyjnej

– Stopa referencyjna – wartość stopy zmiennej (np. 6M-EURIBOR) w konkretnej dacie

w przyszłości

– Przykład – FRA 3/9:

FRA

Data transakcji Data referencyjna Data startu Data końca

6M-EURIBORFRA

Rozliczenie

gotówkowe FRA

OKRES ZABEZPIECZONY

3 miesiące 3 miesiące

FRA

Cena forward instrumentu zależy od kosztu finansowannia

Dla obligacji 0-coupon zachodzi zależność między stopą forward a stopą 0-coupon

Krzywa forward zawiera prognozę przyszłych stóp 0-coupon

Wartość transakcji FRA

forwardspot Pdnii

P )360

*1(*

nm

nm

n

nmm

m

m iii

,0,,0 11*1

T

TTS

alNoFSV

1

1*min**)(

FRA

0 3 6 9 12

3X6

6X9

9X12

Koszt po¿yczek

FRA jest nieobciążoną stopą forward

oczekiwaną na dzień początku kontraktu

3x6 to 3 miesiêczny forward oczekiwany

za 3 miesiące

stopy forward zależą również od rynku spot

Œrednia FRA = stopa swap

FRA

• Przykład: mam wziąć kredyt za rok na rok:

• FRA 11%

• Stopa rynkowa za rok 12%

• Zysk z zabezpieczenia -1%

• =======================

• Efektywny koszt kredytu 11%

• Oczywiście efekt transakcji przy niższej

przyszłej stopie % może być również

negatywny dla kupującego Forward interest

rate agreement

FRA: przykładUNHEDGE SHORT FRA

POZYCJA NETTO

ZYSK

STRATA

Stopa %

Klient pożycza pieniądze w przyszłości

i nie chce ryzyka zmiany stopy %

Klient ma pozycję wyjściową krótką

i używa FRA do jej zamknięcia

KORZYŚCI Z FRA

NIE WYMAGA WYPŁAT Z GÓRY

DOSTOSOWANIE DO KLIENTA

RYZYKO KLIENTA OGRANICZONE DO RÓŻNICY

STÓP PROCENTOWYCH

FRA TO TRANSAKCJE POZA BILANSEM A/P

FRA - rozliczenie

PLNnp

stopaFRAS

rynekstopaL

dniL

dnikwotaSL

.37.4854360/180*%61

360/180*1000000*%]5%6[

360/*1

360/**][

Profil przychodu z FRA

długa pozycja

zys

k

L-S

zysk

L-S

Profil przychodu z FRA

krótka pozycja

FRA - przykład

• Kredyt 100 M PLN za 3 miesiące wibor

• Zabezpieczenie dziś FRA 3x9 np.15.28%

• Za 3 mies. Stopa 16%

• Klient uzyskuje różnicę

• 100 M PLN*(16%-15.28%)*180/360=360T

• Przy płatności z 3 mies. Wartość

zdyskontowana

• 360T/[1+.16(180/360)]= 333,333PLN

• Ryzyko kredytowe partnerów

WYZNACZANIE FORWARD-FORWARD

dniSdniL

baza

baza

dniSS

baza

dniLL

FORWARDFORWAR

*}

*1

*1

{

L= 0,1

S= 0,09

dniL= 90

dniS= 60

baza= 360

Forward-forward 0,118226601

HEDGE DLA ROLLOVER

• Seria FRA nazywana jest strip i może być

używana dla zabezpieczenia się przed

ryzykiem stopy procentowej w kredycie

odnawialnym

• Ryzyko kredytowe przy FRA jest obustronne

ale niewielkie

FRA:FORWARD-FORWARD RATE

L - DNI

S DNI L-S DNI

SLS

L

SL

SLSL

dnidniS

dniL

rr

r

rrr

360*]1

360/*)1(

360/*)1([

)1)(1(1

Bank zobowiązuje się do finansowania po określonej z góry stopie przez okres L-S

FWD-FWD

• Stopa 3 mies. 15% p.a.

• stopa 9 mies 14% p.a.

• [1+.14*270/360] -1}*360/(270-90)

• [1+.15 * 90/360]

• {0.065}*2*100=13%

– dokładniej (1.105/1.0375)^2=1.1343532

• w kolejnym okresie koszt finansowania może

wynieść 13%

• Reinwestowanie jest na kliencie więc nie ma

ryzyka

PRZYKŁAD - PORÓWNANIE FRA I

STOPY RYNKOWEJ

• Stopa rynkowa 12 mies. 5,90625-6,03125

• 3 mies 5.90625

• 3-6 FRA 5.87

• 6-9 FRA 5.88

• 9-12 FRA 5.93

• Kalkulacja

(1+(5.906258%91/360)(1+5.87%*91/360)(1+

5.88%*91/360)(1+5.93%*91/360)-1=6.1139%

6.1139%*360/365=6.0301%

INTEREST RATE FUTURES

• Bony skarbowe 1 M Chicago Mercantile Ex

• Obligacje 5&30lat 100T.Chicago Board

• 3 mies euro$ 1 M Chicago Mercantile Ex

• Obligacje 5&10 lat RFN 250T$ EUREX

• 3 mies euroDM 1 M DEM LIFFE

• Gilts 50 T Funtów LIFFE

• 1 mies LIBOR 3 M DEM EUREX

• 3 mies. Bony skarbowe PGF

INTEREST RATE FUTURES

• Transakcje w kontraktach np. 1 M eurodolar

• Dostawa Marzec, Czerwiec, Wrzesień, Grudzień

• Kwotowanie 100%-stopa % np.1*(100%-4.5%)

np.1000000*0.955=955000 p.a.(przybliżenie)

• Rozliczenie cash (vs. LIBOR)

• Tick 0.005% = 1/2 bp

• Tick value 0.005% * 1 m

• Initial margin 675$, clearing house, pozycje mark to market

• Np. Jeżeli stopa wzrośnie do 5,5% wartość spadnie do 945000

(czyli kurs 94.5)

INTEREST RATE FUTURES

• Kalkulacja ceny Eurodollar

futures

• FQ kwotowanie futures

eurodolar np. 0,9447

• Ft stopa procentowa

• 0,25 = 3miesiące• Np. P=10tys[100-0,25(100-5,53)]=98,175

• Cena kontraktu w dniu

ekspiracji ]25,0100[*000,10

)25,0100(000,10

)]100(25,0100[*000,10

TT SP

F

FQP

FUTURES CONVEXITY ADJUSTMENT

• Stopy procentowe na kontrakty futures zmieniaja się jak w

obligacjach, czyli kontrakt traci jak stopy% rosną

• Pojawia się różnica w przypadku długich kontraktów

futures (ciągła zmiana) do zwykłych FRA (stały okres) co

implikuje wyższą stopę futures interest rate, która pokrywa

convexity adjustment:

21

2)2/1( ttrateforwardrateFutures

FUTURES CONVEXITY ADJUSTMENT

• Przykład

• Kontrakt 10 lat eurodolar t1=10 t2=10,25 stopa 10 lat plus 3 miesiące, volatility 1%

• Stąd adjustment:

• (½)0,01^2*10*10,25=0,51%

• Czyli stopa forward 6% dla futures powinna wynieść 6,51%

• To tylko ma sens przy bardzo długich kontraktach

FUTURES NA TREASURY BONDS

• Kontrakty na instrumenty > 15 lat

• lub na 2,5,10 treasury notes

• US, Kanada, Japonia, EU

• Nominal 100000$, skok 1/32, phisical delivery

• Np. kwotowanie 97 02 oznacza 97+2/32

• 100000(97+2/32)/100=97062,50

• Ważny conversion factor CF, gdy nie można nabyć

instrumentu

• Cost=price-Futures Qoute*CF

SWAPY

I.Tymuła, Swapy finansowe, Biblioteka menadżera i bankowca, Warszawa, 2000

A.Wolańska, Elementarne modele wyceny swapów walutowych i procentowych, Rynek

Terminowy, 8/2/2000

230

SWAP

•Swap (ang. Przehandlować):•Swap jest umową między dwiema stronami

dotyczącą wymiany strumieni płatności

A B

SWAPY

• Swapy - wymiana między partnerami różnych

strumieni/aktywów w określonym czasie w przyszłości wg

określonej formuły - początek 1981 rok (swap walutowy IBM -

Bank Światowy) ale już pierwsze w latach 60-tych na stopy%

• a właściwie wymiana cash flow z jednego aktywu na cashflow

z drugiego

• Swap to rodzaj derywatu modyfikującego A/P

• Pierwowzorem były pożyczki back to back MN‟s

• Podrap moje plecy, a ja podrapię twoje

• cel: redukcja ryzyka stopy procentowej, obniżanie stopy

procentowej, redukcji ryzyka walutowego i stopy procentowej,

łatwiejszy dostęp do funduszy

• Reguluje International Swap Dealers Assocciation

SWAPY RODZAJE

• Interest rate swap

• cross currency swap: fixed/fixed, fixed/float, float/float

• basis swap np.3 m libor na 6 mies.libor

• asset swap

• debt swap

• amortizning swap - skonsolidowanie rat amortyzacyjnych w jedną płatność

• forward dated swap - ustalenie przyszłych warunków

• zero-coupon swap

• callable swap - możliwość odroczenia swapa

• indexed swap - indeksowanie np.ceną ropy

• multilegged swap

• debt to equity, debt to debt, debt to money

• forward-forward swap, swaption

SWAPY RODZAJE

• INSTRUMENT:

– PROCENTOWE

– WALUTOWE

– WALUTOWO-PROCENTOWE

– TOWAROWE

– BONDS

– EQUITIES

– KREDYTOWE

– INDEKSOWE

WALUTY:

JEDNO, DWU WALUTOWE

• CZAS: KRÓTKIE DŁUGIE

• ZAMKNIĘCIE:

– W TERMINIE

– Z PRAWEM WCZEŚNIEJSZEGO ZAMKNIĘCIA

– Z PRAWEM PRZEDŁUŻENIA

ZMNIENNOŚĆ KWOTY:

DOPASOWANE

AMORTYZOWANE

ZALICZKOWE

ZMIENNE

ROZWÓJ RYNKU SWAPÓW

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

IRS

CCS

231

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

•Swap na stopy%:•W swapie na stopy procentowe np. zmienna na stałą

(floating vs. fix)” partnerzy dokonują w określonym

czasie wymiany płatności, gdzie A płaci B stałą stopę

procentową w zamian za co otrzymuje wypłaty według

zmiennej stopy procentowej po stopach ustalonych

zgodnie z referencjami.

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

• Wymiana strumieni zgodnie z wcześniej uzgodnioną formułą

• Polega na wymianie płatności odsetkowych w różnych walutach (często fixed-floating)

• Najczęściej również wymiana końcowych wartości kapitału

• Cel - obniżenie kosztów finansowania, hedge

• Brak up-front fees,

• Ryzyko kredytowe ISDA

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

PROFIL RYZYKA 5-LAT KREDYT

• Wartość nominalna 100 m EUR

• spłata 1X200X

• odsetki 6mEuribor +1%

• Wartość bieżąca odsetki EUR 23.74 :

kapitał EUR 80.82 ::

razem EUR 104.56

• Ryzyko odsetki 23.% kapitał 77%

232

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

•PRZYKŁAD:•A i B zawierają umowę swap na stopy

procentowe w odniesieniu do kapitału EUR 100

000 000. A płaci corocznie 6% pa i otrzymuje

półrocznie libor + 0,5%. Czyli oszczędza na

liborze 0,5%

A B

5%

3M Libor -50

”ubezpieczenie na stopy %" ”swap stóp procentowych"

- zobowiązanie jednej ze stron - zobowiązanie obu stron

- kupujący ma prawo, a nie obowiązek - wymiana płatności

odsetkowych

- premia płacona z góry - bez premii

np. cap, floor

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

Przed.BBBPrzed. AAA

10.8% 10.9%

Libor+3/4

libor

Libor -1/4%-0.1%=0.35%

AAA 10.8%

libor +1/4%BBB 12%

libor +3/4%

10.9%+3/4%=11.65%-12%=0.35%

Klient BBBdostaje kredyt wg stałej stopy 10.9%

I daje kredyt po stopie Libor

Klient AAA osiąga korzyść z odpożyczenia po 10.9%

I otrzymuje kredyt po Libor a więc taniej niż rynek

BASIC SWAP

PLAIN VANILLA

Gdy kredyt wg stałej stopy to istnieje opcja wcześniejszej spłaty, tego nie ma

przy swapie, tzn. korzyść 0.35% jest premią za pozbycie się takiej opcji

KORZYŚCI KOMPARATYWNE

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

• Korzyść absolutna, gdy koszty innego rynku

są niższe

• Korzyść komparatywna, gdy względne koszty

są niższe

FIRMA Fixed Float

A 10,8% Libor+1/4%

B 12% Libor+3/4%

INNY PRZYKŁAD SWAP NA STOPY % -IRS

KATEGORIA DEFINICJA PRZYKŁAD

NOTIONAL BAZA

KALULACJI

$ 100 M

INDEX FLOATING 3 MIES.LIBOR

TERMIN DLUGOŚĆ

UMOWY

3 LATA

RESET CZĘSTOSTLIW

OŚĆ STOPY

3 MIES

SWAP RATE STAŁA 5%

METODA

KALULACJI

KALKULACJA

DNI (A/360,)

ACTUAL/360

KLIENT BANK

FIXED 5%

FLOAT

LIBOR +150

ROZLICZENIE KASOWE W KAŻDYM RESET

(NOMINAŁ)(LIBOR-SWAPRATE)*{DNI/360)

PRZYKŁAD: (100)*(libor-5%)(90/360)

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

• KWOTOWANIA:

• Kwotowane często jako spready do odpowiednich yieldów to maturity dla treasury notes

• Np. 31/34 pbs, czyli dla YTM 6,72% koszt wyniesie 6,72+0,31=7,03% w zamian za otrzymanie libor lub 6,72+0,34=7,06% za płacenie libor

• Dla partnera AA

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

• Pozycja pozyskania stałej stopy jest jak długa

pozycja w obligacjach finansowana krótką

pozycją w obligacji o zmiennej stopie

procentowej

• Mechanika zbliżona do serii FRA na wiele dni referencyjnych

– Rozliczenie gotówkowe netto

– Nabywca IRS otrzymuje „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest niższa od stopy referencyjnej

– Nabywca IRS płaci „wyrównanie” jeśli stopa FRA jest wyższa od stopy referencyjnej

– Praktycznie – zamiana strumieni odsetkowych liczonych wg stopy zmiennej na stała

– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6

miesięcy)

– Możliwe wersje dla nominału bez amortyzacji, z amortyzacją liniową, niestandardową

– Przykład – IRS: client pays fixed% EUR, client recieves 6M-

EURIBOR

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

6M Euribor

4.57%

Klient6M Euribor

BankFinansujący

SWAP % - INTEREST RATE SWAP• Zamiana ze stopy zmiennej na stałą (można to

interpretować jako serię transakcji forward na stopę%). Podstawą wyceny zmiennej nogi swapa są stawki 0-kuponowe na LIBOR (badania empiryczne wskazują jednak, że wyliczane przyszłe zmienne stopy z krzywej swapowej były zawsze zawyżone)

• Kapitał nominalny nie jest wymieniany lecz stanowi podstawę kalkulacji odsetek

• Możliwe obniżenie kosztów finansowania

• W zależności od swap curve różne rozłożenie kosztów finansowania w czasie

• Możliwość tailor made solution

• Ze względu na ryzyko ISDA Master agreement

• Market to market valuation (credit support annex)

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

• IRS może być traktowany jako seria FRAs

• Stała stopa procentowa jest ważona czasem

średnią FRAs

• Można swapa traktować jak zamianę dwóch

obligacji, z których jedna płaci fixed, druga float

0 3 6 9 12

3 mies 3x6 6x9 9x12

Swap rate

czas

SCHEMAT ROZLICZANIA SWAPA NA

STOPY % - IRS

WIBOR 3M

WIBOR 3MWIBOR 3 M

WIBOR 3M

FIXED PÓŁROCZNIEFIXED PÓŁROCZNIE

BANK PłACI KLIENTOWI

KLIENT PłACI BANKOWI

ZAMIANA ZMIENNEJ STOPY 3 M NA STAŁĄ STOPĘ PÓŁROCZNĄ 10% p.a

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

• ZALETY SWAP:

• Zabezpieczenie przed ryzykiem stopy%

• Równomierne rozłożenie kosztów odsetkowych

• Możliwość dopasowania swapa do cash-flow

• Wykorzystanie oczekiwanych obniżek stóp % do redukcji kosztów finansowania

• Możliwość wyjścia z transakcji przed dniem zapadalności

SWAP % - INTEREST RATE SWAP

• RYZYKO SWAP:

• Stopy % zmieniają się szybciej niż

oczekiwano

• Szybszy wzrost stóp obciąża tego kto płaci

zmienną stopę %

• Szybszy spadek stóp obciąża tego kto płaci

stałą stopę %

234

INTEREST RATE SWAP – STOPY%

•UWAGA: „Stopa % nie jest równa

stopie %“•Przy tym samym czasie i tej samej klasie

ryzyka np. AAA na pytanie o stopę procentową

uzyska się różne odpowiedzi np. : 4%; 4,05%;

4,1%

•Z czego to wynika ?

235

INTEREST RATE SWAP – STOPY%

•Np. roczny czynnik dyskontujący

•df = 0,961025.

To odpowiada na pytanie ile np. eur należy

zapłacić za 1 eur, który otrzyma się za rok.

Czynnik dyskontujący jest jakby obligacją

zerokuponową na okres 1 roku.

236

INTEREST RATE SWAP – STOPY%

•Stopa procentowa zależy od sposobu liczenia dni (day count

fraction ) oraz od składania odsetek Compounding (liniowo,

narastająco) :

•Przy metodzie liniowej

df = 1 / ( 1 + R * dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) )

Metoda dni „30/360“ lub „act/365“ przy tym

dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) = 1.

Ale przy metodzie „act/360“

dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) = 365/360 = 1,01388.

•Ta sama stopa i = 4% prowadzi w zależności od metody do

różnych czynników dyskontujących:

df = 0,961538 przy „30/360“

df = 0,961025 przy „act/360“

237

INTEREST RATE SWAP – STOPY%

•W podejściu teoretycznym często stosuje się stopę

procentową wynikającą z tzw. (continuous

compounding). Wtedy czynnik dyskontujący wynika z:

df = exp( - i * dcf(6.10.XX, 6.10.XX+1) )

Przy „act/365“ oraz 1 = 4% uzyskuje się

df = 0.960789

•Można też przy danej stopie procentowej i mówić o

stopie swapowej. Z krzywej stóp swapowych można

rekurencyjnie uzyskać czynniki dyskontujące dla

przyszłych okresów. Ale wtedy trzeba mieć informacj e o

wszystkich stopach swapowych składających się na

krzywą.

SWAP YIELD CURVE (EUR)

%

0 0.25 0.5 0.75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A jak wygląda krzywa dla PLN?

3,65%

5,25%

SWAP CURVE vs FORWARD

LIBOR

PV(Fixed Rate)=PV(Forward LIBORs)

Spot Fixed swap rate

Forward Libor curve%

czas

Teoretycznie swap rate jest średnią forwardów na Libors

Rynek jest obojętny czy dostanie serię odsetek zmiennych

czy stałych pod warunkiem, że ich wartość jest równa w PV

KRZYWA SWAPOWA DYNAMIKA

US YIELD CURVE DYNAMICS Dynamic Chart

Monthly Dynamics: Month = lip-01Inputs Sigma= 3880% X = 0 Graph Inputs

T = 0,00 r = 0%

Row 0,0000

388 0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

Outputs

Time To Maturity 0,0833333 0,25 0,5 1 2 3 4 5 7 10 15 20 25 30

Yield To Maturity 3,43% 3,64% 3,62% 3,84% 4,24% 4,60% 4,93% 5,08% #N/A 5,68% 6,03% 6,10% 6,03% 5,58%

Dynamic Chart of US Yield Curve Dynamics

0%2%4%6%8%

10%12%14%16%

0 5 10 15 20 25 30Time To Maturity (Years)

Yie

ld T

o M

atu

rit

y

Wycena swapa z fixed coupon C używając YTM:

• Bierze się „Yield to Maturity‟ - the swap rate= r

• Znajduje sie present value (PV) DLA fixed rate bond,

coupon C – czyli stała noga swapa:

• Wartość swapa PV Fixed - FRN

432 )1(

100

)1()1()1( r

C

r

C

r

C

r

CPVFixed

FRNFixedSwap PVPVPV

INTEREST RATE SWAP – WARTOŚĆ

(YTM)

INTEREST RATE SWAP – WARTOŚĆ

eeW

eeW

WW

trKtrO

trKtrO

V

nforwardiiforward

ncoupnicoupi

n

ifloat

n

ifixed

floatfixed

**

** 00

W zasadzie obie nogi swapa powiny być równe w momencie zawierania umowy

tu szczególny przypadek obligacji oraz zobowiązania płaconego na bieżąco

Wyzwaniem jest określenie oczekiwanych przyszłych stóp procentowych,

czego można dokonać znając wartości stóp procentowych z krzywej swapowej

oraz wyliczając stawki 0-kuponowe a z nich stawki forward na przyszłe okresy

SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE

PVswap=PVfixed-PVfloat

71,110071.101

100

71.1012%)^6,31(

5,4100

%6,31

5,4

PVswap

PVfloat

PVfixed

Przykład 2 lata swap fixed 4,5% za libor

stopa 0-coupon na 2 lata 3,6%

Wartość swapa jest dodatnia, stała stopa otrzymywana

jest wyższa niż 0-coupon na ten termin

STRUKTURA TERMINOWA STÓP

PROCENTOWYCH

STRUKTURA TERMINOWA STÓP

PROCENTOWYCH

• Podstawą do dyskontowania przyszłych strumieni finansowych są stopy spot – zerokuponowe na odpowiednie okresy.

• Zmieniają się one w zależności od tzw. term to maturity.

• Zwykle aby abstrahować od ryzyka kredytowego bierze się pod uwagę stopy wolne od ryzyka – czyli stopy wynikające z oprocentowania zobowiązań skarbowych.

• Trzeba odróżnić krzywą stóp spot (czy też 0-coupon) od krzywej stóp swapowych, czy krzywej stóp forwardowych.

•

• Dyskontowanie cash flow stawkami

swapowymi nie dostosowanymi do terminów

dyskonta daje fałszywe wyniki (częsty błąd)

• Wyprowadzenie stawek zerokuponowych z

krzywej swapowej

• Rozdzielenie cash-flow na poszczególne

przepływy

• Znalezienie wartości bieżącej przy użyciu

stawki 0-coupon

• Dla niestandardowych terminów interpolacja

stóp

n

iiswap

Ti

tt

t

t

t

PVNPV

PVi

CFPV ioieCF

t)^1(0

SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE

• Podstawa to stawki swap

• 1 roczna stopa procentowa to stawka swap,

ale i 0-coupon

• Np. dla okresu 2 lat wartość bieżąca dla swap

i 0-coupon jest taka sama

• Rekurencja

3)^1(

%100

2)^1(1%100

2)^1(

%100

1%100

03

3

02

3

01

331

02

2

01

221

ir

ir

ir

ir

ir

PV

PV

SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE

SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE

• A) Obligacja 4% na 1 rok

• wypłata 104 za rok 104/(1+0.04)=100

• a więc stawka swap = 0-coupon

• B) Obligacja 2 lata, kupon 4.5% , wartość100

ROK Platnosc stopa dysk wartosc zdyskontowana

1 4.5 1/1.04=0.9615 4.3269

2 104.5 1/(1+x) 2 z

=========================== ==================

100

z=100-4.3269=95.6731

1/(1+x) 2=95.6731/104.5=0.9155 x=4.5113= 2 lata 0-coupon

SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE

• C) obligacja 4 lata, kupon 6%, wartość 100

ROK Platnosc Stopa dyskontowa Platnosci zdyskontowane

1 6 1/1.04=0.9615 5.7692

2 6 1/1.045113^2=0.9155 5.4932

3 6 1/1.050341^3=0.8630 5.178

4 106 1/(1+x)^4=y z

100

x=6.1274%= 4 letnia 0-coupon z=83.5596

106:83.5596=

RÓŻNICA YIELD I 0-COUPON

• Yield to maturity jest kalkulowaną średnią

stopą przyjmującą możliwość reinwestowania

według tej samej stopy

• Stawki 0-kuponowe są poszczególną stawką

w danym punkcie czasu (bez reinwestycji), są

najwłaściwsze do dyskonta cash flow

•

SWAP WYCENA – STAWKI 0-KUPONOWE

• Stawki zerokuponowe są powyżej

swapowych przy rosnącej yield curve oraz

poniżej przy malejącej yield curve

• Stawki swap to średnia ważona przyszłych

libor

• Krzywa swap oraz zerokuponowa są od

siebie zależne

• Stawki forward to przyszłe rynkowe (implied)

stopy libor - do wyliczenia

WYLICZENIE STAWEK FORWARD

ZE STAWEK 0-KUPONOWYCH

• Znając stawki zero dla

roku i dwóch lat można

wyliczyć forward dla

roku 21

2)^1(

3)^1(

1)1(

2)^1(

)1(*)1(2)^1(

02

03

2,1

01

02

1,1

1,10102

ii

i

ii

i

iii

i02

i01i11

iorTr

i

ij

ji

ji

ij

iijj

ji

ecoupondyskontowyczynnikDF

TT

DFDFf

TT

TrTrf

ratesForward

0

)/ln(

:

,

,

STAWKI FORWARD

• A) inwestycja 3 lata 0-rate 5.0341%

• B) inwestycja 2 lata 0-rate 4.5113%

• Forward:

• [(1.050341)^3/(1.045113)^2]-1=6.0875%

coupondyskontowyczynnikDF

e

e

TT

DFDFf

TT

TrTrf

ratesForward

i

T

T

ij

ji

ji

ij

iijj

ji

0

060797,023

)ln()/ln(

060797,023

2*045113,03*050341,0

:

)2(*045113,0

)3(*050341,0

,

,

SWAP – WYCENA

• Wycena swapa

swapwuzgodnionastopaK

forwardstopaf

eKfnV

i

i

Tr

iiii

)(

CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS

• To umowa miedzy stronami, które

zobowiązują się do wymiany serii płatności

odsetkowych w różnych walutach,

naliczanych od uzgodnionej kwoty nominalnej

dla całego ustalonego okresu

• Zabezpieczenie ryzyka kursu walutowego i

stopy procentowej

CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS

Waluta 1

% stałe

Waluta 1

% stałeWaluta 2

% zmienne

Waluta 2

% stałe

Waluta 2

% stałe

Waluta 1

% zmienne

Waluta 2

% stałe

Waluta 1

% zmienne

PRZEDSIÊBIORSTWO BANK

100 M USD

100 M USD

400 M PLN

Stała 6% w USD

WIBOR +spread

6% USD

Spłata nominałów na koniec okresu

CURRENCY INTEREST RATE SWAP CIRS

CROSS CURENCY SWAP

• Wymiana przepływów walutowych opartych o różne

stopy% i w różnych walutach = IRS + swap bazowy

• Zamiana płatności walutowych odsekowych

• Stopy forward kalkulowane z założenia arbitrażu

nieubezpieczonego (mając stopy % obu rynków)

• Wartość nominałów wymienia się standardowo na

początku transakcji

• CCS to złożenie swapa bazowego i walutowego -

CIRCUS: Combination Interest Rate and Currency

Swap lub Currency Coupon SWAP

CROSS CURRENCY SWAP

• Kurs forward z parytetu stóp procentowych

• CCS: taka sama analiza - czyli Discounted

Cash Flow, oba NPV=0, może być in-the-

money, out-of-the-money, at-the-money w

czasie trwania

• Ryzyko kredytowe - wahania kursów walut

• Wymiana strumieni odsetkowych po stopie zmiennej w jednej walucie na stopę stałą

w innej.

– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6

miesięcy)

– Klasyczny wariant: wymiana kapitału początkowa + wymiana kapitału końcowa

– Wariant najczęstszy: bez wymiany początkowej + wymiana końcowa (bullet / amortyzacja –

zależnie od kredytu)

– Przykład – Cross Currency Swap: client pays fixed% PLN, client recieves 6M-

EURIBOR

initial exchange: none, final exchange: ammortized

6M Euribor

Fix PLN %

Klient6M Euribor

BankFinansujący

EUR 100 000

PLN 400 000

KlientEUR 100 000

BankFinansujący

Wymiana odsetek

Wymiana końcowa

+

CROSS CURRENCY SWAP

CROSS CURRENCY SWAP• A cross-currency swap jest wymianą fixed / floating rate cashflows w

jednej walucie za fixed / floating rate cashflows w innej walucie

• Kapitał wymieniany jest zwykle na początku

• Kombinacja:

– Interest rate swaps (IRS)

– Cross-currency basis swaps (BS)

Swap House Corporate A

EUR

Fixed Rate

US$

Floating Rate

=

Swap House Corporate A

EUR Fixed

EUR Floating

Swap House Corporate A

EUR Floating

US$ Floating

+

IRS

BS

13

CROSS CURRENCY SWAP

Spłata kredytu walutowego(EUR 100 MIO)

3M EURIBOR+marża 100 mio EUR

Zaciągnięcie kredytu(EUR 100 Mio)

Deutsche Bank Klient

Bank

Początkowa wymiana PLN(ekwiwalent EUR 100 mio)

Końcowa wymiananominalu kredytu PLN

Końcowa wymiananominalu kredytu

(100 mm EUR

Początkowa wymiana waluty kredytu(EUR 100 Mio)

3M WIBOR+marża XXX mio PLN.

3M EURIBOR+marża 100 mm EUR

CROSS CURRENCY SWAP

CROSS CURRENCY SWAP

• KORZYŚCI:

• Eliminacja ryzyka deprecjacji

• Eliminacja ryzyka wzrostu walutowych stóp

procentowych

• Stały koszt kredytu w długim okresie

CROSS CURRENCY SWAP

• RYZYKO:

• Brak możliwości obniżenia kosztu przy

spadających stopach na rynkach

• Brak możliwości korzystania z ewentualnej

aprecjacji danej waluty

STAWKI SWAPOWE - REUTERS

KRZYWA SWAP, 0-COUPON,

FORWARD DLA PLN

ROCZNE STOPY SWAP, 0-COUPON, FORWARD

swap rate 0-couponIndex0-coupon FORWARD

% % %

1 10.50 1.1050 10.50

2 9.70 1.0966 9.66 8.83

3 9.52 1.0948 9.48 9.11

4 9.49 1.0945 9.45 9.38

5 9.44 1.0940 9.40 9.19

6 9.34 1.0928 9.28 8.69

7 9.17 1.0907 9.07 7.79

8 9.00 1.0885 8.85 7.34

9 8.83 1.0863 8.63 6.87

10 8.65 1.0839 8.39 6.25

PROBLEM CONVEXITY STÓP %

SWAPY DRUGIEJ GENERACJI

• AMORTYZOWANY

• ZALICZKOWY

• ROLLER COASTER

• FORWARD START LUB DEFFERED

• EXTENDABLE

• CALLABLE

• PUTABLE

• CAPPED,FLOORED COLLARED

• SWAPTION

• TOTAL RETURN

• Zmiany wartości w czasie - maleje

• Kwota swapa rośnie w czasie

• Zmienna kwota w czasie

• Rozpoczęcie swapa w przyszłości lub opóźnienie w czasie

• Prolongowanie swapa w czasie

• Prawo wcześniejszego wyjścia

• Prawo wyjścia

• Prawo limitowania stóp w swapie odpowiednio

• Opcja na swapa

• Swap całkowitego dochodu zachowanie aktywu

CAP, FLOOR, COLLAR

Opcje na stopy procentowe

OPCJE NA STOPY PROCENTOWE

•DEFINICJA:•Muszą być dwa punkty w czasie t1 < t2. Na koniec okresu (t1, t2 ) caplet wypłaca (czyli w t2 )

•• Nominal*dcf( t1, t2 ) *max( RRef ( t1, t2 ) – cena bazowa, 0).

•Oznaczenia:

• RRef ( t1, t2 ) referencyjna stopa % dla okresu np. libor

• dcf( t1, t2 ) Day count fraction, np. (t2- t1)/360.

•Caplet jest opcją call na referencyjną stopę procentową:

CAP FLOOR• Cap to OTC kontrakt, gdzie

sprzedawca godzi się płacić

kupującemu kontrakt kwotę

wynikającą z różnicy stopy

referencyjnej oraz stopy rynkowej

• Cap opcja call na stopę %

• Floor opcja put na stopę %

• Składniki:

• Nominalna kwota

• Stopa referencyjna

• Stopa procentowa wykonania

• Częstość rozliczeń

• Termin

flooriiP

capiiC

TFT

cTT

)0,max(

)0,max(

CAP

•PRZYKŁAD:•Kupiono ex ante Caplet na okres odsetkowy 1.7.

do 1.10 na 3 miesięczny libor ze stopą bazową

3% na nominał EUR 10.000.000.

•29.6 (tzn. na 2 dni robocze przed okresem

odsetkowym) libor był zafiksowany 3,125%. Dnia

1.10. nastąpiła wypłata

• 10.000.000 EUR * 0,125% * 92 / 360 = 3194,44

EUR

• Mechanizm zbliżony do opcji FX-Call

– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6

miesięcy)

– Zabezpieczenie przed wzrostami zmiennej stopy procentowej w długim okresie

– Pełna możliwość korzystania ze spadków stopy zmiennej

– Przykład – Cap na 6M-EURIBOR: klient płaci premię upfront,

klient płaci 6M-EURIBOR, ale nie więcej niż Strike

– Odpowiednikiem FX-Put jest Floor – instrument zabezpieczający przed spadkami stopy

referencyjnej

CAP

FLOOR

•DEFINICJA:•Istnieją dwa punkty w czasie wyznaczające okres (t1, t2) , tzn. w t2 flooret wypłaca:•• Nominal * dcf( t1, t2 ) * max( cena bazowa - RRef ( t1, t2 ) , 0).

•Oznaczenia:

• RRef ( t1, t2 ) stopa referencyjna w okresie np Libor,

•Floorlet jest opcją Put na referncyjna stopę%:

• dcf( t1, t2 ) część płacona za okres Day count fraction, np. (t2- t1)/360.

•

CAP FLOOR

•DEFINICJA:•Cap (Floor) jest serią Caplets (lub Floorlets) na

następujące po sobie okresy odsetkowe.

•ZASTOSOWANIE: •np. Zawierając swapa, gdzie płaci się stopę

zmienną a otrzymuje stałą można przez zakup

cap z bazową ceną 3% zabezpieczyć się przed

zapłatą wyższych niż 3 % odsetek.

CAP FLOOR

•WYCENA:•Wystarczy znaleźć formułę wyceny dla caplets i

floorlets aby poprzez ich sumowanie obliczyć cap

& floor.

•Proste podejście pokazuje Black 76.

CAP

• Każdy caplet jest

wyceniany wg modelu

Black

• Cap jest sumą capletów

• Cena caplet

12

1

21

1

2//)/ln(

)]()([

dd

KFd

edKNdFNc

cc

k

r

k

K

k

k

k

ZWIĄZEK INSTRUMENTÓW

PIERWOTNYCH

CZAS

SWAP - SERIA TRANSAKCJI FORWARD,

FORWARD SERIA TRANSAKCJI OPCYJNYCH

CAP/FLOOR

• Sprzedający capa/floora musi wywiązać się z przyjętego na

siebie zobowiązania, czyli płaci różnicę pomiędzy poziomem

zmiennego oprocentowania referencyjnego (np. 1M WIBOR) i

przyjętym w instrumencie poziomem oprocentowania.

• Cap stworzono, by umożliwić kupującemu zabezpiecznie przed

wzrostem stóp procentowych. Jednocześnie zastosowanie tego

instrumentu umożliwia wykorzystanie sytuacji, gdy stopy

procentowe spadają.

• Analogicznym instrumentem, który z kolei zabezpiecza przed

spadkiem stóp procentowych jest floor.

• Kupujący musi z góry zapłacić pewną cenę za tego typu

zabezpieczenie.

CAP, FLOOR, COLLAR• Caplet, floorlet jednostkowa opcja na konkretny termin

• Cap - za premię kupno zabezpieczenia przed wzrostem stóp%

ponad stopę referencyjną (chroni pożyczkobiorcę),

• floor - zabezpieczenie przed spadkiem stóp % (chroni

inwestora),

• collar kupno cap i sprzedaż floor

• Cap to seria opcji put (europejskich)- prawo dostarczenia po

określonej cenie, w praktyce wykorzystywana zawsze, gdy jest

in the money

• Floor - seria opcji call (europejskich) - prawo otrzymania po

określonej cenie

• Kompensata może być wypłacana albo na początku lub na

końcu okresu odsetkowego

• Mechanizm zbliżony do transakcji FX-RiskReversal

– Rozliczenie dla każdego okresu odsetkowego dłuższej transakcji (np. przez 5 lat co 6

miesięcy)

– Zabezpieczenie przed wzrostami zmiennej stopy procentowej w długim okresie

– Ograniczona możliwość korzystania ze spadków stopy zmiennej

– Przykład – Cap na 6M-EURIBOR: client pays NO premium upfront,

client pays 6M-EURIBOR, but

not higher then Strike Cap

and not lower then Strike Floor

COLLAR

OPCJE NA STOPĘ PROCENTOWĄ

CAP, FLOOR

• Elementy transakcji strike price, notional principal amount

(NPA), premia upfront (w punktach bazowych)

• Ryzyko kredytowe jest asymetryczne, w odniesieniu do klienta

banku niewielkie

• Przykład strike cap ic= 5,75%, aktualna ir=6,5%, NPA 1M, 3 m

• np. 1000000* (6,5%-5,75%)*91/365:

(1+6,5%*91/365)=1840.04

• Trzeba doliczyć koszt opcji np.1,5% up front/3(średni okres

kredytu)=0.3%

TKORWyplataFLO

TKWyplataCAP

iiii

rf

cr

*}max{

*}max{

CAP WYCENA

• Cash flow z CAP

• Cap suma caplets

• Z formuły Black-Scholes-Merton

• Φ dystrybuanta rozkładu normalnego

• Cj to opcja call na libor –R

• B(t,T) stopa dyskontowa

• dj z wzoru

• σ zmienność stopy F(t,T-1,T)

tT

tTE

TTtF

d

TTtFTtB

TRTTtF

tTdEdTTtFTtBN

tCaplettCap

ETRNC

jj

jj

jj

j

jj

j

J

L

jj

n

j

jjjjjjj

n

j

j

j

L

j

1

1

21

1

11

1

11

1

1

)(5.0),,(

ln

),,(1

1),(

),(),,(

()(),,((*),(**

)()(

]),([**

CAP PRZYKŁAD

• Przykład wyceny cap

• Cap na 1 mln

• Cap rate 5%

• Volatility 20%

• Stopa na rynku 5,5%

• Dyskonto

• Zmienność na ½ roku

cap 1000000

cap rate 0,05

volatility 0,2

okres 184

forward rate 0,055

Pvfactor 0,947181 1/(1+0,55*(365/360))

volatility 0,141814 *SQRT(t)

d1 0,742987

d2 0,601174

N(d1) 0,7713

N(d2) 0,6012

cap= 0,011709

cap na 184 0,005984

INTEREST RATE CALL

Long call

Net position

4%

PROFIT

LOSSUNHEDGE - SHORT EUROIBOR

STRATA MA CAP - NIE ZAPŁACI WIĘCEJ NIŻ 4%

INTEREST RATE COLLAR

UNHEDGE

LONG CAP

SHORT FLOOR

NET POSITION CAP

4%

3.75%

4.25%

Cena capa zależy od:

• im dłuższy okres ważności instrumenty tym cena wyższa

• im wyższa oczekiwana zmienność stóp procentowych

(volatility) tym cena wyższa

• im wyższy poziom stóp procentowych przyjętych jako

poziom zabezpieczenia tym cena niższa

Cena floora zależy od :

• im dłuższy okres ważności instrumenty tym cena wyższa

• im wyższa oczekiwana zmienność stóp procentowych

(volatility) tym cena wyższa

• im niższy poziom stóp procentowych przyjętych jako

poziom zabezpieczenia tym cena niższa

CAP FLOOR CENA

PORÓWNANIE KOSZTÓW

POŻYCZEK

Bez hedgu

Cap

Interest rate swap

Cap strike price

Efektywny

koszt

po¿yczki %

%

5%

5%

Koszt np.2%

Bez hedgu - pełne ryzyko

swap - fix dla stopy

opcja cap - korzyść przy niskich stopach

7%

CAP, FLOOR, COLLAR

• Skala korzyści zależy od: steep yield

environment lub flat yield envinronment

FIRMABANK

Min(wibor6;15%)

WIBOR6-50BP

FIRMABANK

Max[(floor%-6wibor);0]

premia

14

Opcje na stopę procentową - cap & floor

Stopaprocentowa

StawkaCap

czas

Stopa procentowa p³acona przez posiadacza opcji CAP

Stawka WIBOR

StawkaFloor

czas

Stopa procentowaotrzymywana przez posiadacza opcji FLOOR

Stawka WIBOR

Stopaprocentowa

CAP, FLOOR

14

Opcje na stopę procentową - collar

Stopaprocentowa

Cap

Time

Stopa placona przez posiadacza COLLAR

Stawka WIBOR

Floor

Collar

COLLAR

CAP, FLOOR, KOSZTY

• Premia jest płatna up-front, a więc trzeba

policzyć roczny koszt premii

• Np. 5 lat cap, strike 7%, premia 1,79% od

kwoty (notional)

• Trzeba uwzględnić wartość pieniądza w

czasie - premia płatna up-front

CAP A PRICING

• Cap vs Caplets - seria call opcji europejskich

z tym samym strike na LIBOR

• Cap zależy od yield curve (jak kształtują się

FRA)

• Koszty cap są wysokie, dlatego strategie -

risk reversal - collar - redukcja premii (buy

cap sell floor np. 5 lat collar z cap 7%, floor

5%, premia 1.79 - 0.45 = netto 1.34%

• lub participating option

FLOOR WYCENA

• Cash flow z floor

• Floor suma floorlet

• Black Scholes Merton

• Stopa call R na libor

• Dyskonto

• dj wg wzoru, σ

zmiennośćtT

tTE

TTtF

d

TTtFTtB

TRTTtF

tTdEdTTtFTtBN

tFloorlettFloor

TRENF

jj

jj

jj

j

jj

j

J

L

jj

n

j

jjjjjjj

n

j

j

j

L

j

1

1

21

1

11

1

11

1

1

)(5.0),,(

ln

),,(1

1),(

),(),,(

()(),,((*),(**

)()(

)],([**

INNE INSTRUMENTY HYBRYDY

SWAPY & ETC

SWAPTIONS

• Nabywca ma prawo ale nie obowiązek uzyskać

stałą cenę na swap na dany dzień lub w

określonym czasie w przyszłości

• Jest to opcja na kontrakt w postaci swapa (pre-

wyspecyfikowanego) (od 1 roku do >30lat)

• Rozliczenie gotówką, jako różnica między

zdyskontowaną wartością strike price a bieżącą

wartością swapa na dzień rozliczenia swaption

• Stopa % - Strike, ekspiracja, premia,

• Może być europejska, bermudzka, amerykańska

SWAPTIONS

•DEFINICJA:•Swaption jest opcją na swap na stopy

procentowe. Nabywca swaption ma prawo

wejść w transakcję swap, której warunki

zostały wcześniej ustalone w umowie

swapowej. W zależności czy płaci stałą stopę,

czy uzyskuje stopę stałą rozróżnia się między

Payer- oraz Receiver- Swaption.