Badanie dynamiki wielu zjawisk jednocześnie

Janusz Górczyński

2

Indeksy proste i agregatowe

Dotychczas zajmowaliśmy się wyznaczaniem wskaźników dynamiki dla pojedynczych zjawisk, stąd tego typu wskaźniki będziemy nazywać indywidualnymi lub prostymi.

W praktyce z reguły będziemy chcieli badać wiele zjawisk jednocześnie (np. zmiany cen szeregu artykułów, wielkość produkcji kilku różnych produktów).

3

Indeksy zespołowe

Ocena łączna dynamiki zmian takich niejedno-rodnych zjawisk wymaga zbudowania zespołowego (agregatowego) wskaźnika. Poprawna konstrukcja takiego zespołowego wskaźnika nie jest prosta, a jedna z głównych trudności związana jest z wyrażeniem roli (wagi) pojedynczych zjawisk .

Jednym z możliwych rozwiązań jest zbudowanie wskaźnika agregatowego jako ważonej średniej z indywidualnych wskaźników. Wagi muszą być tak dobrane, aby spełniony był warunek proporcjonalności.

4

Indeksy zespołowe (cd)

Warunek proporcjonalności można sformułować następująco:

• Jeżeli wszystkie wskaźniki indywidualne są takie same, to wskaźnik agregatowy również musi być taki sam.

• W sytuacji, gdy wskaźniki indywidualne są zróżnico-wane, to wskaźnik agregatowy musi być zawarty między najmniejszym a największym wskaźnikiem indywidualnym.

5

Podstawowe wskaźniki agregatowe

W dalszej części tego pokazu będziemy się zajmować trzema najważniejszymi w badaniach ekonomicznych wskaźnikami agregatowymi:

indeksem agregatowym cen,

indeksem agregatowym ilości,

indeksem agregatowym wartości

6

Założenia ogólne

Powiedzmy, że interesuje nas dynamika zmian cen, ilości i wartości m produktów w ustalonym momencie czasu t=1 (moment badany) względem ustalonego czasu t=0 (moment podstawowy). Oznaczmy odpowiednio przez:

wj0; wj1 Wartość j-tego (j=1,2,...m) produktu w okresie

podstawowym i badanym

qj0; qj1 Ilość j-tego (j=1,2,...m) produktu w okresie podstawowym i badanym

pj0; pj1 Cenę jednostkową j-tego (j=1,2,...m) produktu w okresie podstawowym i badanym

7

Podstawowe związki

Między wartością, ilością i ceną dla poszczególnych produktów w obu badanych momentach czasu zachodzi związek:

jtjtjt pqw

dla t = 0; 1 oraz dla j = 1, 2, ..., m

8

Indeksy indywidualne

Dla poszczególnych produktów możemy oczywiście wyznaczyć indeksy indywidualne opisujące zmianę ich wartości, ilości i ceny w okresie badanym względem okresu podstawowego.

)...,,2,1(0

1 mjw

wi

j

jwj

Indywidualny indeks wartości

)...,,2,1(0

1 mjq

qi

j

jqj Indywidualny indeks

ilości

)...,,2,1(0

1 mjp

pi

j

jpj Indywidualny indeks

cen

9

Formalne warunki poprawności

Indeksy indywidualne wartości, ilości i cen muszą spełniać pewne formalne warunki poprawności zwane testami. Do najważniejszych testów należą:

Test odwracalności w czasie

)...,,2,1;,,(11

0

0

1 mjpqwkk

k

k

k

j

j

j

j

Test odwracalności czynników

)...,,2,1(00

11

0

1 mjiipq

pq

w

wi p

jqj

jj

jj

j

jwj

10

Agregatowy indeks wartości

Dla określenia łącznej dynamiki zmian wartości wszystkim produktów w momencie badanym względem momentu podstawowego można wyznaczyć agregatowy indeks wartości:

m

jjj

m

jjj

m

jj

m

jj

w

pq

pq

w

w

I

100

111

10

11

11

Standaryzacja agregatowego indeksu wartości

Łączne zmiany wartości wszystkim produktów w momencie badanym względem podstawowego mogą wynikać zarówno ze zmian ilości produktów jak i ich ceny.

Indywidualny wpływ każdego z tych dwóch czynników na zmiany wartości może być ustalony poprzez tzw. standaryzację agregatowego indeksu wartości polegającą na ustaleniu w obu badanych momentach na stałym poziomie drugiego z tych czynników.

12

Indeksy agregatowe cen i ilości

Wybranie momentu podstawowego do ustalenia ilości produktów lub ich ceny prowadzi nas do agregatowego indeksu wg tzw. formuły Laspeyresa, a wybór momentu badanego prowadzi do indeksu wg tzw. formuły Paaschego

Agregatowy indeks określający wpływ zmian cen na dynamikę wartości (ustalone są ilości produktów) nazywamy indeksem agregatowym cen. Podobnie agregatowy indeks określający wpływ zmian ilości produktów na dynamikę wartości (ustalone są ceny produktów) nazywamy indeksem agregatowym ilości.

13

Indeks agregatowy cen wg formuły Laspeyresa

m

jjj

m

jjj

Lp

qp

qp

I

100

101

Agregatowy indeks cen wg formuły Laspeyresa informuje nas o tym, jak zmieniałaby się łączna wartość produktów w okresie badanym względem podstawowego, gdyby ilości produktów w obu badanych momentach były takie same i równe ich ilości w momencie podstawowym.

14

Indeks agregatowy cen wg formuły Laspeyresa (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu cen agregatowy indeks cen wg formuły Laspeyresa można zapisać w trochę innej postaci:

m

jjj

m

jjj

pj

Lp

qp

qpi

I

100

100

wykorzystano zależność: 01 jpjj pip

15

Indeks agregatowy cen wg formuły Laspeyresa - interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 14 agregatowy indeks cen wg formuły Laspeyresa jest ważoną średnią arytmetyczną indywidualnych indeksów cen, gdzie rolę wag spełniają wartości poszczególnych produktów w momencie podstawowym.

Tym samym tak zdefiniowany agregatowy indeks cen informuje nas o przeciętnej zmianie cen w badanym okresie.

16

Indeks agregatowy cen wg formuły Paaschego

m

jjj

m

jjj

Pp

qp

qp

I

110

111

Agregatowy indeks cen zdefiniowany wg formuły Paaschego informuje nas o tym, jak zmieniałaby się łączna wartość produktów w okresie badanym względem podstawowego, gdyby ilości produktów w obu badanych momentach były takie same i równe ich ilości w momencie badanym.

17

Indeks agregatowy cen wg formuły Paaschego (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu cen agregatowy indeks cen wg formuły Paaschego można zapisać w trochę innej postaci:

m

jpj

jj

m

jjj

Pp

i

qp

qp

I

1

11

111

wykorzystano zależność: pj

jj i

pp 1

0

18

Indeks agregatowy cen wg formuły Paaschego-interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 17 agregatowy indeks cen wg formuły Paaschego jest ważoną średnią harmoniczną z indywidualnych indeksów cen, gdzie wagami są wartości produktów w momencie badanym.

19

Indeks agregatowy ilości wg formuły Laspeyresa

m

jjj

m

jjj

Lq

qp

qp

I

100

110

Agregatowy indeks ilości zdefiniowany wg formuły Laspeyresa informuje nas o tym, jak zmieniałaby się łączna wartość produktów w okresie badanym względem podstawowego, gdyby ceny produktów w obu badanych momentach były takie same i równe ich cenom w momencie podstawowym.

20

Indeks agregatowy ilości wg formuły Laspeyresa (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu ilości agregatowy indeks ilości wg formuły Laspeyresa można zapisać w trochę innej postaci:

m

jjj

m

jjj

qj

Lq

qp

qpi

I

100

100

wykorzystano zależność 01 jqjj qiq

21

Indeks agregatowy ilości wg formuły Laspeyresa-interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 20 agregatowy indeks ilości jest ważoną średnią arytmetyczną z indywidualnych indeksów ilości, gdzie wagami są wartości produktów w momencie podstawowym.

Tym samym indeks ten informuje nas o przeciętnym poziomie zmian ilości produktów w obu badanych okresach

22

Indeks agregatowy ilości wg formuły Paaschego

m

jjj

m

jjj

Pq

qp

qp

I

101

111

Agregatowy indeks ilości zdefiniowany wg formuły Paaschego informuje nas o tym, jak zmieniałaby się łączna wartość produktów w okresie badanym względem podstawowego, gdyby ceny produktów w obu badanych momentach były takie same i równe ich cenom w momencie badanym.

23

Indeks agregatowy ilości wg formuły Paaschego (cd)

Korzystając z definicji indywidualnego indeksu ilości agregatowy indeks ilości wg formuły Paaschego można zapisać w trochę innej postaci:

m

jqj

jj

m

jjj

Pq

i

qp

qp

I

1

11

111

wykorzystano zależność: qj

jj i

qq 1

0

24

Indeks agregatowy ilości wg formuły Paaschego - interpretacja

Zgodnie z wzorem ze slajdu 23 agregatowy indeks ilości wg formuły Paaschego jest ważoną średnią harmoniczną z indywidualnych indeksów ilości, gdzie wagami są wartości produktów w momencie badanym.

25

Uwagi co do równości indeksów

W zastosowaniach praktycznych wartości indeksów agrega-towych cen lub ilości obliczone wg formuł Laspeyresa czy Paaschego nie będą takie same. Im większe będą zmiany w cenach czy ilościach produktów, tym bardziej indeksy te będą się różnic miedzy sobą. Można wykazać, że dla obu indeksów zachodzą związki:

)1(

)1(

;

;

qpqpLq

Pq

qpqpLp

Pp

VVrII

VVrII

26

Indeksy są równe w trzech sytuacjach

Nie istnieje związek między indywidualnymi indeksami cen i

ilości rpq= 0.

Nie występuje zmienność indywidualnych indeksów cen (Vq=0),

co oznacza jednakowe tempo zmian cen dla wszystkich

produktów.

Nie występuje zmienność indywidualnych indeksów ilości

(Vp=0), co oznacza jednakowe tempo zmian ilości wszystkich

produktów.

27

Indeks „idealny” Fishera

Omówione dotychczas indeksy agregatowe cen i ilości wg formuł Laspeyresa i Paaschego nie spełniają warunków testu odwracalności w czasie i odwracalności czynników.

W 1927 roku I. Fisher zaproponował formułę indeksu, który spełnia te warunki:

Pp

Lp

Fp III P

qLq

Fq III

Jak widzimy „idealny” indeks Fishera jest średnią geometryczną z odpowiednich indeksów wyliczonych wg formuł Laspeyresa i Paaschego.

28

Związki między indeksami

Dla zdefiniowanych w tym materiale indeksów spełniona jest następująca równość:

Fq

Fp

Lq

Pp

Pq

Lpw IIIIIII

Powyższa relacja nosi nazwę równości indeksowej

Wynika z niej, że kryterium odwracalności czynników zostaje spełnione, jeżeli stosujemy tzw. mieszanie formuł, czyli mnożymy indeks Laspeyresa cen przez indeks Paaschego ilości lub odwrotnie.

29

Przykład liczbowy 1

Na podstawie poniższych danych przeprowadźmy analizę dynamiki cen, ilości i wartości niektórych artykułów spożywanych przez jednego mieszkańca w roku 1990 względem spożycia tych artykułów w roku 1985

Lp Nazwa Jedno-stki 1985 1990 1985 1990produktu

1 Jaja świeże szt. 14,12 1 137,00 220 190

2 Masło kg 400 23 284,00 6,7 7,83 Mięso schab kg 540 32 330,00 30 37,6

4 Ziemniaki kg 17,11 491 143 148

Cena Ilość

j 0jp 1jp0jq 1jq

30

Przykład liczbowy 1 (cd)

Nazwa produkt

Jaja świeże 3 106,40 216 030,00 80,524 0,864 69,544Masło 2 680,00 181 615,20 58,21 1,164 67,767Mięso schab 16 200,00 1 215 608,00 59,87 1,253 75,038Ziemniaki 2 446,73 72 668,00 28,697 1,035 29,7

24 433,13 1 685 921,20

00

0

jj

j

qp

w

11

1

jj

j

qp

w

0

1

j

jpj p

pi

0

1

j

jqj q

qi

0

1

j

jwj w

wi

Analizę dynamiki zaczniemy od wyznaczenia wartości poszczególnych produktów w obu badanych okresach oraz wyznaczymy indeksy indywidualne cen, ilości i wartości.

31

Przykład liczbowy 1 - wstępna interpretacja

Analiza indeksów indywidualnych cen poszczególnych produktów wskazuje, że w badanym okresie ceny jaj świeżych wzrosły ponad 80-cio krotnie, ceny masła ponad 58-krotnie, ceny schabu prawie 60-cio krotnie, a ceny ziemniaków prawie 29-cio krotnie.

Ilości produktów nie podlegały oczywiście takiej dynamice; spożycie jaj świeżych zmalało o prawie 13%, masła wzrosło o ponad 16%, mięsa schabowego o ponad 25%, a ziemniaków jedynie o 3,5%.

Indeksy indywidualne wartości można zinterpretować analogicznie jak indeksy indywidualne cen; widzimy, że wartości trzech pierwszych produktów wzrosły 68-75-cio krotnie, a wartość ziemniaków prawie 30-to krotnie.

32

Wyznaczenie indeksów agregatowych

Przed wyznaczeniem agregatowych indeksów cen i ilości wg formuł Laspeyresa i Paaschego wyznaczymy jeszcze pomocnicze wielkości:

Nazwa produktu

Jaja świeże 2 682,80 250 140,00

Masło 3 120,00 156 002,80Mięso schab 20 304,00 969 900,00Ziemniaki 2 532,30 70 213,00

28 639,10 1 446 255,80

10 jj qp 01 jj qp

33

Wyznaczenie indeksów agregatowych (cd)

Korzystając z pośrednich wyników zawartych w obu ostatnich tabelach wyliczamy agregatowe indeksy:

Wartości

0014,6913,43324

20,9216851wI

Interpretacja: przeciętna wartość badanych produktów spożywczych wzrosła ponad 69-cio krotnie w 1990 roku względem roku 1985

34

Wyznaczenie indeksów agregatowych (cd)

Cen wg Laspeyresa 59,1924433,13 24

255,804461L

pI

58,8678639,1028

921,20 6851P

pICen wg Paaschego

Analiza indeksów cen i ilości wskazuje, że główną przyczyną tak dużego wzrostu wartości był wzrost cen – odpowiednio ponad 59-cio krotny wg formuły Laspeyresa i prawie 59-cio krotny wg formuły Paaschego.

35

Wyznaczenie indeksów agregatowych (cd)

Ilości wg Laspeyresa 1,1721433,13 24

639,1028L

qI

Ilości wg Paaschego 1,1657255,804461

921,20 685 1P

qI

Zmiana ilości spożytych produktów w niewielkim stopniu przyczyniła się w badanym okresie do wzrostu wartości produktów (rzędu 16,5% do 17,2%) .

36

Indeksy Fishera

Na zakończenie tego przykładu wyznaczmy jeszcze indeksy Fishera cen i ilości produktów. Otrzymamy odpowiednio:

59,02998678,581924,59 FpI

1,16891657,11721,1 FqI

37

Indeksy Fishera - interpretacja

Możemy więc powiedzieć, że w badanym okresie zmiana cen produktów (przy ustalonej ilości) spowodowałaby ponad 59-cio krotny wzrost wartości spożywanych produktów. W tym samym okresie zmiana ilości spożywanych produktów (przy ustalonej cenie) spowodowałaby wzrost wartości produktów o 16,89%.

38

Dziękuję za uwagę