App 10 rekurencja

Podprogramy rekurencyjne 1

Podprogram lub strukturę danych nazywamy rekurencyjną, jeżeli częściowo składa się z samej siebie lub jej definicja odwołuje się do niej samej.

Przykłady definicji rekurencyjnych stosowanych w matematyce

1. Definicja liczb naturalnych

2. Funkcja silnia

3. Ciąg liczb Fibonacci

4. Potęga naturalna liczby rzeczywistej

5. Wielomiany Legendre’a


Rekurencja jest użyteczna, bo umożliwia definiowanie nieskończonych zbiorów obiektów przy pomocy skończonych wyrażeń.

Program rekurencyjny P można zapisać jako złożenie instrukcji podstawowych Si nie zawierajęcych P i samego programu P.

P = (Si;P)

Definicja. Jeżeli podprogram P zawiera bezpośrednio odwołanie do samego siebie, to P nazywamy podprogramem bezpośrednio rekurencyjnym.


Definicja. Jeżeli podprogram P zawiera odwołanie do podprogramu Q, który zawiera bezpośrednie odwołanie do P, to P nazywamy podprogramem pośrednio rekurencyjnym.

Definicja. Wywołaniem rekurencyjnym podprogramu nazywamy wywołanie podprogramu, który zawiera wywołanie samego siebie (pośrednie, lub bezpośrednie)

Podprogramy rekurencyjne umożliwiają wykonywanie nieskończonego procesu obliczeniowego i dlatego powstaje:


Problem. Zakończenie nieskończonego procesu obliczeniowego w skończonym czasie.

Rozwiązanie. Wywołanie podprogramu P uzależnione jest od warunku W, który w pewnym momencie przestaje być prawdziwy, co kończy proces obliczeniowy.

Zapisujemy to następująco:

P = if W then (Si;P),

albo równoważnie:

P = (Si; if W then P).


Prostą i skuteczną metodą zatrzymania procesu rekurencyjne-go jest zastosowanie w podprogramie P parametru wejściowego n i wywołanie podprogramu z wartością n-1. Jeżeli W = n > 1, to następujące schematy gwarantują wykonanie podprogramu w skończonej liczbie kroków:

P(n) = if n > 1 then (Si;P(n-1)),

P(n) = (Si; if n > 1 then P(n-1)).Algorytmy rekurencyjne, a co za tym idzie podprogramy

rekurencyjne stosuje się wtedy, gdy rozwiązywany problem, lub przetwarzane dane definiujemy rekurencyjnie.

Nie zawsze algorytm rekurencyjny jest najefektywniejszym rozwiązaniem problemu.


Przykład. Funkcja potęga

Program. Potega_Rekurencyjnie

Program. Potega_Iteracyjnie

Przykład. Funkcja silnia

Program. Silnia_Rekurencyjnie

Program. Silnia_Iteracyjnie


Potega_RekX = 2.0, N = 3



Potega_Rek (2.0, 3)

Potega_Rek (2.0, 2)

Potega_Rek (2.0, 1)

Wartoœæ obliczona = 2.0




Definicja. Wariantem podstawowym, albo bazowym algorytmu nazywamy wariant, którego rozwiązanie może być wyznaczone bez rekurencji.

Definicja. Wariantem ogólnym algorytmu nazywamy wariant, którego rozwiązanie jest wyrażone w postaci prostszej wersji tego samego wariantu.

Definicja. Algorytmem rekurencyjnym nazywamy algorytm wyznaczający rozwiązanie problemu obliczeniowego wg wariantu ogólnego i wariantu podstawowego (bazowego)

Zadanie. Napisać program wypisujący wartości funkcji Silnia_Rek i Silnia_Iter dla N = 0,1,..,10.


Pisanie programów rekurencyjnych wymaga:

• Zrozumienia istoty rozwiązywanego problemu

• Zdefiniowania wariantów bazowych

• Zdefiniowania wariantów ogólnych

Zadanie. Napisać funkcje Lucas_Iter i Lucas_Rek obliczające N-ty wyraz ciągu Lucasa określonego wzorami:

L(1) = 1, L(2) = 3,

L(k) = L(k-1) + L(k-2), k>2

Program. Permutacje_Rekurencyjnie

Program. Wypisz_Liste_Rekurencyjnie


Program. Wieze_Hanoi

1 2 3


Program. Write_List_In_Reverse_Recursively

Wyszukiwanie. Wyszukiwanie liniowe.

Dane wejściowe: Lista - tablica A(1..n) elementów i element v.

Dane wyjściowe: Indeks i taki, że v = A(i), lub informacja, że v nie jest elementem listy.

Program. Iterative_Version_Of_Sequential_Search

Program. Recursive_Version_Of_Sequential_Search


Możliwe jest przypadkowe wprowadzenie rekurencji w sytuacji, gdy nazwa podprogramu jest użyta jako identyfikator zmiennej w podprogramie.Zmienna := Nazwa_Podprogramu;

Jeżeli podprogram ma parametry, to kompilator wykryje błąd.

Jeżeli podprogram nie ma parametrów, to może powstać nieskończona rekurencja odpowiadająca pętli nieskończonej.

W takim przypadku wystąpi STORAGE_ERROR.Zadanie. Napisać funkcję obliczającą rekurencyjnie iloczyn M*N dwóch liczb całkowitych dodatnich korzystając wyłącznie z operacji dodawania.

App 10 rekurencja

Documents

Transcript of App 10 rekurencja