Antoni GronowiczPodstawy analizyukadw kinematycznychOficyna Wydawnicza Politechniki WrocawskiejWrocaw 2003Wydanie publikacji dofinansowane przez Ministerstwo Edukacji Narodowej i SportuOpiniodawcyFranciszek SIEMIENIAKOStanisaw WOJCIECHOpracowanie redakcyjneAlina KACZAKKorektaHanna JUREKProjekt okadkiZofia i Dariusz GODLEWSCY Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocawskiej, Wrocaw 2003OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCAWSKIEJWybrzee Wyspiaskiego 27, 50-370 WrocawISBN 83-7085-672-1Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wrocawskiej. Zam. nr 23/2003Spis treciWSTP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51. STRUKTURA UKADW KINEMATYCZNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1.Pojcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.1.1. Czony ukadw kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.1.2. Pary kinematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.1.3. acuch kinematyczny, mechanizm, maszyna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.2. Wasnoci ruchowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2.1. Ruchliwo teoretyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.2. Ruchliwo teoretyczna ukadw wielokonturowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211.2.3. Geometryczne warunki ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.2.3.1. Ruchliwo lokalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.2.3.2. Wizy bierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.2.4. Ukady kinematyczne racjonalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .352. KONFIGURACJA UKADW KINEMATYCZNYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462.1.Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462.2. Wzgldne pooenie dwch czonw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472.2.1. Wsprzdne absolutneukady paskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472.2.2.Wsprzdne absolutneukady przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .502.2.3. Wsprzdne DenavitaHartenbergaukady przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .562.3. Wyznaczanie konfiguracji ukadw paskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612.3.1. Rozwizanie graficzno-analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612.3.1.1. Metoda bezporednia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .612.3.1.2. Metoda poredniamodyfikacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .652.3.2. Metody analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .672.3.2.1. Metoda wektorowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .672.3.2.2. Metoda liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .712.3.3. Metoda wsprzdnych absolutnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .742.3.3.1. Rwnania wizw par kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .742.3.3.2. Rwnania wizw ukadw kinematycznych paskich . . . . . . . . . . . . . . . . .802.3.4. Rozwizanie rwna nieliniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .902.3.4.1. Algorytm NewtonaRaphsona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .912.3.4.2. Konfiguracja pocztkowa i krok analizy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .962.4. Wyznaczanie konfiguracji ukadw przestrzennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1002.4.1. Ukady o strukturze szeregowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1002.4.2. Ukady zamknite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1053. PRDKO I PRZYSPIESZENIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1103.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1103.2. Metody graficzne ukady paskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1113.2.1. rodki obrotu chwilowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1113.2.2. Ukady rwnowane kinematycznie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1163.2.3. Rwnania wektorowe, plany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1183.2.4. Ukady zoone paskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12443.3. Metody analityczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1293.3.1. Ruch we wsprzdnych wektorowych ukady paskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1293.3.2. Uporzdkowanie macierzowe ukady paskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1323.4. Ruch we wsprzdnych absolutnychukady paskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1383.5. Ruch we wsprzdnych DHukady przestrzenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1463.5.1. Ukady o strukturze szeregowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1463.5.2. Ukady o strukturze zamknitej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1564. ELEMENTY DYNAMIKI UKADW KINEMATYCZNYCH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1614.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1614.2. Parametry masowe czonu, siy bezwadnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1634.2.1. Masa czonu i masowy moment bezwadnociruch paski . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1634.2.2. Tensor bezwadnociruch przestrzenny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1664.2.3. Wypadkowa si bezwadnociruch paski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1674.3. Rwnowaga kinetostatyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1694.3.1. Siy oddziaywania w parach kinematycznych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1694.3.2. Statyczna wyznaczalno ukadw kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1734.3.3. Macierzowy zapis si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1784.3.4. Metoda prac przygotowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1834.3.5. Tarcie w parach kinematycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1914.3.6. Tarcie w ujciu analitycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1964.4. Dynamiczne rwnania ruchu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2024.4.1. Rwnania NewtonaEulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2024.4.2. Zasada zachowania energii kinetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2074.4.2.1. Modele ukadw typu R i T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2074.4.2.2. Redukcja mas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2094.4.2.3. Redukcja si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2114.4.2.4. Analiza ruchu, nierwnomierno biegu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2134.4.3. Rwnanie Lagrangea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2174.4.4. Rwnania ruchu we wsprzdnych absolutnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2264.4.4.1. Rwnanie ruchu czonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2264.4.4.2. Sia uoglniona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2264.4.4.3. Rwnanie ruchu ukadu wieloczonowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2314.4.4.4. Mnoniki Lagrangea i siy oddziaywania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2495WSTPW przyrodzie i technice istnieje wielu ukadw i systemw, w ktrych budowie a-twowyrniprzemieszczajcesiwzgldemsiebieelementyskadowe.Elementytepoczonewsposbumoliwiajcyruchwzgldnytworzukadykinematyczne.Znajdujsionewmaszynach,pojazdachiurzdzeniach,wszdzietam,gdziejestwymagany ruch elementw wykonawczych. Za przykad niech posu ukady kostnessakw i wzorowane na nich roboty i manipulatory, ukady zawieszenia k pojazdw,wysigniki koparek i adowarek.Podstawowe wasnoci ukadw kinematycznych nie s zwizane z typem maszynyczy urzdzenia. Zarwno w przypadku doni czowieka, jak i chwytaka robota rodzajizakres moliwych ruchw s zalene od sposobu poczenia elementw skadowychorazodwymiarwgeometrycznych.Budowarobotaiukaduprowadzeniaykiko-parki jest zupenie odmienna, chocia ruchowe poczenia elementw mog by iden-tyczne.Z ruchem elementw cz si siy oporw uytecznych lub szkodliwych. W poja-zdach s to opory toczenia i opory powietrza, w koparce siy reakcji urabianego grun-tu, wiolarz zmaga si z oporem ruchu odzi. Pokonanie si oporw wymaga wywoa-nia si napdzajcych. W pojazdach s to siy cinienia gazw spalanej w silniku mie-szanki, w koparce siy napdzajce powstaj w cylindrach hydraulicznych, siy miniwiolarza transformowane s do opat wiose.Przedstawione przykady ukadw kinematycznych odznaczaj si wieloma rny-mi cechami. Rna jest ich budowa oraz rodzaje ruchu elementw. W kadym z przy-toczonych ukadw wystpi znaczce rnice w wartociach rozwijanych prdkoci,przyspiesze i si. S to jednak rnice ilociowe, jednakowe snatomiast zjawiska opisywane jednakowymi metodami.Niniejszaksikaprezentujekilkametodanalizyukadwkinematycznych,ukie-runkowanych na zastosowania komputerowe. Rozwj technik komputerowych i dostp-no pakietw oblicze matematycznych daj nowe, znacznie szersze moliwoci ana-lizy i projektowania ukadw kinematycznych. Ksika w istocie dotyczy metod opisuruchu poczwszy od wasnoci ruchowych wynikajcych ze struktury, przez opis ilo-ciowy w sensie kinematyki i dynamiki.Cz pierwsza obejmuje zagadnienia struktury w zakresie pozwalajcym na stwier-dzenie czy dany zesp elementw, poczonych ze sob w okrelony sposb ma mo-6liwo wykonywania ruchu wzgldnego. Wiele uwagi powicono strukturalnym i ge-ometrycznym uwarunkowaniom ruchu. Przedstawiono sformalizowane metody mody-fikacjistrukturyukadwkinematycznychtak,abybyyruchliwewkadychwarun-kach wykonania. Ta cz umoliwia zrozumienie istoty struktury w stopniu dajcymszans twrczego podejcia do projektowania nowych, innowacyjnych ukadw kine-matycznych.Wczcidrugiejprzedstawionometodyopisukonfiguracjiukadwkinematycz-nych.Tylkobardzoprosteukadysatwewopisie,wikszoniedajesiopisawformie jawnych zalenoci lub ich uzyskanie wymaga uciliwych przeksztace zo-onych wyrae algebraicznych. Midzy innymi pokazano wspczenie stosowany opisza pomoc tzw. wsprzdnych absolutnych. Wzgldnie atwo formuuje siwtedy sto-sowne ukady rwna, rozwizywane metodami numerycznymi.Cz trzecia obejmuje metody okrelania prdkoci i przyspiesze. Skuteczne upo-ranie si z opisem konfiguracji sprowadza ten problem do rozwizywania ukadw rw-na liniowych.Cz czwarta to dynamika opisujca zwizki midzy ruchem, siami i parametramimasowymielementwukadwkinematycznych.Zaprezentowanometodydynamikiodwrotnej, czsto nazywanej kinetostatyk, ktra zajmuje si opisem stanu si w zna-nymruchu.Opisywanozwaszczasiyoddziaywaniamidzypoczonymiruchowoelementami. Omwiono te reguy opisu si tarcia w ruchowych poczeniach. Wieleuwagipowiconobadaniuruchuukadwmasowychdlazadanychobciesiamizewntrznymi. Zaprezentowano metody formuowania rniczkowych rwna ruchu,akcentujc te, ktre s zorientowane na obliczenia za pomoc komputera.Prezentowanemetodyumoliwiajanalizdowolnychukadwpaskichiprze-strzennych. Dla lepszego zrozumienia poszczeglnych metod zamieszczono wiele przy-kadw, cz z nich uzupeniono wynikami liczbowymi.Ksikajestprzeznaczonadlainynierwpraktykwzajmujcychsitwrczymprojektowaniemmaszyniurzdze.Przedstawionometodyanalizwspomagajcychwspczesneprojektowanieukadwkinematycznychmaszyn,pojazdwiurzdze.Niniejszaksikapowinnatebypomocnadlastudentwkierunkw:mechanikaibudowa maszyn oraz automatyka i robotyka, stanowic uzupenienie wykadw zteoriimaszyn i mechanizmw, dynamiki oraz robotyki. Jej efektywne wykorzystanie wyma-ga znajomoci podstaw mechaniki analitycznej oraz rachunku wektorowego i macie-rzowego w zakresie wykadanym na wydziaach mechanicznych.Wstp1.STRUKTURA UKADW KINEMATYCZNYCH1.1.Pojcia podstawoweZa ukad kinematyczny uwaa si powszechnie dowolny zesp elementw (czo-nw) poczonych ze sob (parami kinematycznymi) w sposb umoliwiajcy ich ruchwzgldny, stworzony przez natur lub czowieka do wypenienia celowych funkcji.Ukademkinematycznymjestnp.ukadkostnyczowieka,ktregoczony(koci)s poczone ze sob przegubami (stawami) i wraz z miniami i wizadami umoli-wiaj nam chodzenie, bieganie, pokonywanie si itp. Zbir ukadw kinematycznychw rnego rodzaju maszynach, urzdzeniach i pojazdach stworzonych przez czowiekajest bardzo liczny i bardzo rnorodny.Powszechnie uytkowany przez czowieka samochd osobowy skada sizwielu prze-mieszczajcychsiwzgldemsiebieczonw.Przykadowyukadnapdowy,bdcyzoonymukademkinematycznymprzedstawiononarysunku1.1.CinieniegazwRys. 1.1. Ukad kinematyczny napdu samochodu8 1.Struktura ukadw kinematycznychRys. 1.2. Schemat ideowy ukaduzawieszenia samochoduwcylindrze1silnikapowodujeprzemie-szczanie si toka 2, ktre jest dalej trans-formowane przez korbowd 3 do wau kor-bowego 4, wywoujc jego ruch obrotowy.Obrt wau korbowego 4 jest przenoszonyprzezsprzgo5doskrzynibiegw6,wktrejpodstawowymiczonamiskoazbate, a nastpnie przez mechanizm rni-cowy7dokjezdnychnapdzanych.Utrzymywanie przez kierowc podanegokierunkujazdylubjegozmianajestreali-zowana za pomoc kolejnego ukadu kine-matycznego, ktrego pierwszym elementemjest koo kierownicy, aostatnimi elementa-mikierowanekoajezdne.Komfortjazdyponierwnychnawierzchniachwymaga,aby koa jezdne miay moliwo przemie-szczania si wzgldem nadwozia samocho-du, co wymaga kolejnego ukadu czonw, w tym elementw spryn itumikw, ktrecznie okrela si jako ukad zawieszenia (rys.1.2).Inn grup powszechnie znanych urzdze zoonych z wielu czonw poczonychparami kinematycznymi s roboty imanipulatory, stworzone przez czowieka urzdze-nia w celu wyrczania gowpracach monotonnych, uciliwych iniebezpiecznych. Spe-nianie przez robota podanej funkcji wymaga cile zdefiniowanego prowadzenia jegokocowego czonu (czsto okrela si go mianem efektora), ktrym moe by chwytak(dla zada manipulacyjnych) lub jakie narzdzie, czy nawet gowica (dla zada tech-nologicznych).Efektorwykonujezwyklezoonyruchwprzestrzeni,coumoliwiacelowe skojarzenie wielu czonw w czsto zoony ukad kinematyczny. Przykad ro-botadopracpodwodzamieszczononarys.1.3.Jednozjegoramionwyposaonowchwytak,adrugiepenifunkcjpomocnicz,nakierowujcukad optyczny w okolice efektora.Wpralceautomatycznejbbenzamocowanywobudowie wraz z silnikiem napdowym rwnietworz ukad kinematyczny, a jako rozwizaniaprzejawia si wzachowaniu pralki w fazach inten-sywnego wirowania.Poprzestajcnaomwionychprzykadachod-notujmy,eukadykinematyczneswewszyst-kichtychmaszynach,pojazdachiurzdzeniach,ktrych dziaanie wymaga transformacji ruchu, za-pewnienia przemieszczania elementw wykonaw-czych wedug podanych charakterystyk, trajek-Rys. 1.3. Robot pywajcy9torii itp. Nie s natomiast ukadami kinematycznymi, skdind bardzo zoone, mostywiszce, maszty stalowe czy wiee, cho wszystkie takie obiekty skadaj si z wieluelementw, ktrych ruch mona atwo zaobserwowa lub nawet odczu. S to jednakprzemieszczenia w granicach sprystych odksztace elementw skadowych, nie snatomiast wynikiem celowego ruchowego poczenia elementw.1.1.1. Czony ukadw kinematycznychNa podstawie podanych przykadw mona ju jednoznacznie zdefiniowa pojcieczonujakoelementuukadukinematycznego,ktrywchodziwruchowepoczeniazinnymi czonami. Jednoczenie atwo si domyli, e tak jak wielka jest rnorod-no ukadw kinematycznych, podobnie wielka jest rnorodno czonw. Ich podzia-y, wymieniane w literaturze i przydatne w opisie wasnoci strukturalnych, bazuj narnych kryteriach.Wyrnia si na przykad wzowo czonu wyraon liczb par kinematycznych,jakietworzyonzczonamissiednimi.Przykadowokorbowdsilnikaspalinowego(rys.1.1) czy si z dwoma innymi czonami, tokiem i waem korbowym, jest wicczonem dwuwzowym. Oglnie naley stwierdzi, e im bardziej zoony ukad ki-nematyczny, tym wiksza wzowo jego czonw.Inny podzia czonw jest zwizany z funkcj, jak peni w ukadzie kinematycz-nym. W przypadku ukadu transformujcego ruch odbywa si od czonu czynnego (na-pdzajcego)doczonubiernego(napdzanego),przyczymczonczynnytylkownajprostszychukadachoddziaujebezporednionaczonbierny,najczciejnato-miastwprzekazywaniuruchuuczestniczczonyporedniczce.Wtejklasyfikacjimieci si te podstawa ukadu kinematycznego, inaczej jego korpus (obudowa). Wzgl-dem tego czonu zwykle opisuje si ruch pozostaych.Wiele maszyn i urzdze zawiera w swej budowie siowniki hydrauliczne lub pneu-matyczne,atakeelementyspryste.Whamulcusamochodudociskanieszczkdobbna wykonuje si ukadem kinematycznym, ktrego jednym z czonw porednicz-cych w przekazywaniu ruchu jest pyn hamulcowy. W ukadzie zawieszenia (rys.1.2)wystpuje spryna, ktra akumuluje gwatowne nadwyki energii kinetycznej. Cechyczonwcharakteryzujesiprzezwprowadzenieichpodziaunaczonyostrukturzecia staych i pynnych te ostatnie to czony cieczowe lub gazowe.Dominujc grup czonw w rzeczywistych ukadach stanowi czony nieodkszta-calne,jakkolwiekzewzgldunawasnocisprysteciastaychzmieniajoneswoje wymiary. Jednak takie zmiany, o charakterze odksztace sprystych, s w wie-luanalizachpomijane.Dlauproszczeniaprzyjmujesi,estoczonysztywne,wodrnieniu od czonw podatnych, takich jak np. spryny. Pomijanie sprystychodksztace czonw jest niedopuszczalne w wielu analizach dynamicznych, w szcze-glnoci opis drga towarzyszcych pracy ukadw kinematycznych wymaga uwzgl-dnieniasprystocimateriau,zjakiegoswykonaneczony.Przykadowobadaniewasnoci kinematycznych ukadu korbowego silnika dopuszcza pomijanie faktu zmianydugoci korbowodu pod wpywem obciajcych go si. Jednak szczegowa analiza1.1.Pojcia podstawowe10 1.Struktura ukadw kinematycznychnapre wposzczeglnych jego przekrojach moe ju wymaga uwzgldnienia nawetjego zginania wywoanego siami masowymi.Przykady czonw o rnych cechach przedstawiono na rysunku1.4.1.1.2. Pary kinematycznePara kinematyczna to ruchowe poczenie dwch (para) czonw, poczenie daj-ce czonym czonom moliwo wykonywania ruchw wzgldnych. To niezwykle istot-ny element ukadu kinematycznego. W sensie kinematycznym ma zapewni podanyruchwzgldny,ajednoczeniemusimiezdolnoprzenoszeniasitowarzyszcychruchowi czonw. Pary kinematyczne dzieli si wedug rnych kryteriw, tutaj ogra-niczymy si do podziau par kinematycznych na dwie grupy: wedugliczbystopniswobody,jakwdanejparzedysponujwzgldemsiebieczony j tworzce podzia naklasy, wedug rodzaju styku tworzcych j czonw podzia na pary nisze iwysze,Rys. 1.4. Przykady czonw11 1.1.Pojcia podstawowe1 Mona te spotka podzia, gdzie numer klasy odpowiada liczbie naoonych wizw, np. [22].2 Na przykad kty Eulera, kty Bryanta.Klasyparkinematycznych.Podzianaklasyjestbardzouytecznyzewzgldunawasnoci ruchowe ukadw kinematycznych.Rozpoczniemy ten podzia od par kinematycz-nych,jakiewystpujwukadachpaskich,tj.takich,ktrychczony,wwynikuspecy-ficznychpoczeparamikinematycznymi,poruszaj si w paszczyznach do siebie rw-nolegych. Mona wtedy ruch czonw rozpa-trywanajednej,wsplnejpaszczynie.Wzgldne pooenie dwch czonw joraz kmonaopisazapomocprzypisanychimukadomwsprzdnychprostoktnych(rys.1.5). Dopki nie tworz one pary kinematycz-nej, dopty ich wzgldne pooenie, przypisa-nychimukadwwsprzdnych,opisujesiwektorem:[ ]Tkjkyjkxjkj p p = qco oznacza, e czon k wzgldem j (i odwrotnie) dysponuje trzema stopniami swobody.Utworzenie pary kinematycznej skutkuje ograniczeniem swobody ruchu wzgldnego,inaczej narzuceniem wizw.Nie trzeba wykazywa, e dla par ukadw paskich liczba wizw musi wynosidwalubjedeniwtedyjedenczonwzgldemdrugiegodysponujeodpowiedniojed-nym lub dwoma stopniami swobody( fkj=1,2). Liczb dysponowanych wzgldnychstopni swobody przyjto tutaj1 jako kryterium podziau na klasy, a numer klasy odpo-wiadaliczbiewzgldnychstopniswobodyczonwtworzcychparkinematycznpary klasy I i II. Przykady najczciej wystpujcych par kinematycznych ukadw pa-skich zestawiono na rys.1.6.Identycznerozumowaniedlaparkinematycznychukadwprzestrzennych(ruchyczonw nie ograniczaj si tutaj do rwnolegych paszczyzn) prowadzi dooczywistegowniosku, e tym razem wzgldne pooenie dwch czonw j, k wyraa wektor:[ ]Tkzjkyjkxjkjp p p = qTrzy pierwsze skadowe wektora qkj to wsprzdne liniowe, trzy pozostae kto-we2. Tworzc par kinematyczn, naley wic wprowadzi wizy w liczbie odpiciudo jednego. W wyniku tego czony j, k w ukadach przestrzennych mog mie wzgl-Rys. 1.5. Parametry wzgldnegopooenia czonw12 1.Struktura ukadw kinematycznychRys. 1.6. Pary kinematyczne ukadw paskich131.1.Pojcia podstawoweRys. 1.7. Pary kinematyczne ukadw przestrzennych14 1.Struktura ukadw kinematycznychdem siebie od jednego do piciu stopni swobody ( fkj = 1, 2, ..., 5), tworzc tym razemparyI,II,III,IViVklasy.Najczciejspotykaneparykinematyczneukadwprze-strzennych zestawiono na rys.1.7.Oprczparkinematycznychzestawionychnarys.1.7wystpujrwnieparyIViV klasy. Par IV klasy tworzy np. kula umieszczona w cylindrze, ktra dyspo-nujewtedytrzemaobrotami(jakparaIIIklasysferyczna)iruchempostpowymwzdu osi cylindra. Par V klasy tworzy skojarzenie kuli z powierzchni, awzgldnestopnie swobody to trzy obroty i dwa ruchy translacyjne. W realnych ukadach paryRys. 1.8. Przykady wzw kinematycznych symbole jak na rys. 1.715kinematyczne IV i V klasy s wykonywane czsto jako wzy kinematyczne, inaczejacuchy czonw tworzcych z reguy pary nisze. Takie rozwizania stosuje si tedla innych par ni IV i V klasa wybrane przykady wzw kinematycznych zamie-szczono na rysunku1.8.Pary kinematyczne nisze i wysze. Jak ju wspomniano, wizom, jakie nakada-j na siebie wzajemnie dwa czony tworzce par kinematyczn towarzysz siy tychwizw.Zdolnoprzenoszeniasizaleyodwasnocimateriawkonstrukcyjnychuytych na wykonanie ppar3 i ich cech geometrycznych (ograniczenie wynika z do-puszczalnychnaciskwjednostkowych).Jupobienaanalizaparzestawionychnarys.1.6i1.7wskazujenaistotnernicezwizanezezdolnocidoprzenoszeniasiw postaci rodzaju styku (kontaktu) czonw. Mona wyrni pary, gdzie czony kon-taktujsipowierzchniami(np.paryR,T,Srys.1.7),ktreokrelanesjakoparykinematyczne nisze oraz takie, ktre tworz styk liniowy lub punktowy (np. pary K, J rys.1.6), ktre okrela si jako wysze. Pary nisze maj wiksz zdolno do prze-noszenia si, a przede wszystkim wykazuj si korzystniejszym rozprowadzaniem rodkasmarujcego wsppracujce powierzchnie. Szczeglnie korzystne cechy w tym zakre-sie wykazuje para obrotowa R. W przypadku natomiast kontaktu liniowego lub punk-towego zachodzi zjawisko wyciskania rodka smarujcego spomidzy kontaktujcychsi ppar.Podzia na pary nisze i wysze nie jest tak oczywisty, jeli rozpatruje si kontaktppar w skali mikro. Dla pary obrotowej R, w ktrej musi wystpi luz promieniowy,styk powierzchniowy staje si w istocie liniowy, podobnie jest w przypadku par post-powych T. Korzystniejsze cechy par niszych w stosunku do par wyszych sprawiaj,epodziatenfunkcjonujewpraktyce.Zewzgldunawymienionecechyprzyjosiwydziela grup ukadw kinematycznych, ktrych czony tworz pary nisze, okre-lajc je mianem ukadw dwigniowych.1.1.3. acuch kinematyczny, mechanizm, maszynaPrzedmiotem niniejszego opracowania s ukady kinematyczne. Pojcie toobejmujeniezwykle szerok gam bardzo rnorodnych tworw natury i tych tworzonych przezczowieka charakteryzujcych si ruchem wzgldnym elementw skadowych. Dla po-rzdku jednak przytoczmy definicje spotykanych w praktyce tworw mieszczcych siwgrupieukadwkinematycznych,takichjakacuchkinematyczny,mechanizmimaszyna. W literaturze spotka mona kilka nieco odmiennych definicji. Przytoczy-my definicje przyjte przez IFToMM4 [14].acuch kinematyczny to zesp czonw poczonych parami kinematycznymi.3Zakoczenieczonuuksztatowanedlautworzeniaparykinematycznej;pparamisnp.tulejaisworze w przypadku pary cylindrycznej.4 International Federation of the Theory of Mechanisms and Machines.1.1.Pojcia podstawowe16 1.Struktura ukadw kinematycznychMechanizm to: system czonw zaprojektowany do przeksztacania ruchu jednego lub kilku czo-nw na ruch innych czonw, acuch kinematyczny, ktrego jeden z czonw jest podstaw.Maszyna jest ukadem mechanicznym, ktry wykonuje okrelon prac, na przykadformowanie materiau, z wykorzystaniem przenoszenia i transformacji ruchu oraz si.1.2. Wasnoci ruchowePodstawowe funkcje wypeniane przez ukady kinematyczne s zwizane zruchemwzgldnym ich czonw. W tym celu s czone ze sob parami kinematycznymi. R-norodno czonw i par kinematycznych pociga za sob rnorodno ukadw ki-nematycznych, o rnych wasnociach.Z codziennych obserwacji wnioskujemy, e niektre z ukadw kinematycznych sbardzo proste, a sposb poczenia ich czonw nie pozostawia adnych wtpliwocico do moliwoci wykonywania ruchw wzgldnych. Za przykad mona tutaj podanoyce czy przekadni acuchow roweru. Jednak ju rubowy podnonik samocho-dowy, niezbdny do wymiany koa, w niektrych wykonaniach okazuje siukadem natyle zoonym, edopiero praktycznie stwierdzamy moliwo ruchu wzgldnego czo-nw. Z praktyki wnioskujemy, e obrt ruby skutkuje podnoszeniem samochodu. Wtedywszystkie czony ukadu kinematycznego zoonego zpodnonika ipojazdu (rys.1.9)wykonuj cile okrelone ruchy. Stwierdzamy wic praktycznie, e: sposb poczenia czonw ukadu podnonikpojazd daje moliwo ruchu wzgld-nego, przyoenie jednego napdu (obrt ruby) wywouje jednoznaczny ruch czonw.atwaczynnorcznegowierceniaotworuwymagaodpowiedniego,zoonegoruchu ostrza wierta. Ruch obrotowy wywouje wspczenie silnik elektryczny, nato-Rys.1.9. Ukad kinematyczny podnoniksamochd17 1.2. Wasnoci ruchowewsilnikach przez dziesiciolecia, a jej niedogodnoci jest potrzeba okresowej regula-cji luzu zapewniajcego poprawn prac. W tym ukadzie zatem stwierdzamy moli-wo ruchu wszystkich czonw, ruch ten jest jednoznaczny przy jednym napdzie okrelonemupooeniukrzywki2odpowiadajjednoznacznepooeniapozostaychczonw.Wspczesnkoncepcjukadurozrzduprzedstawiononarysunku1.10b.Czon poredniczcy 3 wykonuje ruch obrotowy wzgldem punktu O, ktry jest usytuo-wanynatoczku4.PooeniepunktuO(toczka)jestutrzymywanecinieniemolejuzukadu smarowania. W konsekwencji takiego rozwizania jednoznaczne pooenie za-woru jest zalene nie tylko od pooenia krzywki2, ale take pooenia toczka 4. Roz-wizanie to, jakkolwiek bardziej zoone w sensie strukturalnym, uwalnia uytkowni-ka od potrzeby regulacji luzw w ukadzie rozrzdu.Z analizy podanych przykadowo ukadw mona wysnu dwa oglne stwierdzenia: czony ukadu kinematycznego powinny by poczone parami kinematycznymitak, aby moliwy by ich ruch wzgldny, w rnych ukadach potrzebne s rne liczby napdw niezbdnych do wywo-ania potrzebnego ruchu.Moliwo ruchu wzgldnego w poczeniu z liczb wymaganych napdw s okre-lane jako wasnoci ruchowe ukadw kinematycznych. Wynikaj one w znacznej mie-miast liniowe przemieszczanie wzdu osi otworu jest realizowane przez czowieka. Tymrazem, nie wchodzc wszczegow budow wiertarki, stwierdzamy praktycznie, e: wszystkie czony ukadu kinematycznego wiertarki wykonuj ruch, jednoznaczny, wymagany ruch ostrza wierta wymaga dwch napdw.Na rysunku1.10 przedstawiono dwa rozwizania ukadu rozrzdu silnika spalino-wego. W obu przypadkach ruch grzybka zaworu1 jest wymuszany za pomoc obroto-wej, odpowiednio uksztatowanej, krzywki 2 za porednictwem czonu 3. Rozwizaniezrys.1.10a charakteryzuje si tym, e czon poredniczcy 3 wykonuje ruch wahado-wywokstaegopunktuobrotuO.Jesttokoncepcjaklasyczna,wykorzystywanaRys.1.10. Schematy ukadw rozrzdu silnika spalinowego18 1.Struktura ukadw kinematycznychrze ze struktury ukadu i wi si cile z liczb stopni swobody, jak dysponuj czo-ny tworzce pary kinematyczne, przyjt wczeniej jako kryterium podziau na klasy.Podobnie jak para kinematyczna, rwnie ukad kinematyczny dysponuje okrelon licz-b stopni swobody, rozumian jako czna liczba stopni swobody czonw ruchomychw relacji do podstawy. atwiejsza interpretacja stopni swobody ukadu kinematyczne-go przypisuje im liczb ogranicze ruchu, jakie naley narzuci, aby sta si on uka-dem sztywnym. W literaturze przyjo si okrela tliczb mianem ruchliwoci. Roz-rnia si przy tym ruchliwo rzeczywist, rozumian jako testopnie swobody, ktrestwierdzamy w ukadzie realnym, w jego modelu lub, dla ukadw prostych, w sposbintuicyjny, ruchliwo teoretyczn (strukturaln), ruchliwo lokaln oraz wizy bierne.1.2.1. Ruchliwo teoretycznaRozpatrzmy paski ukad kinematyczny robota obrbkowego paskiego (rys.1.11),zktrego czonem 2 jest zwizany wrzeciennik z elektrowrzecionem [30]. Ukad tenpokazujewspczesnetendencjewbudowieobrabiarekbazujcychnazamknitychukadach kinematycznych, co skutkuje wieloma zaletami w porwnaniu zrozwizaniamikonwencjonalnymi, a najwaniejsze to dua sztywno i moliwe due prdkoci.Aby uzyska moliwo obrbki rnych ksztatw, o elektrowrzeciona powinnabyprowadzonapodowolnejtrajektorii.atwowykaza,eokrelonepooenierodka S narzdzia (czon2) uzyskuje si przez zapewnienie cile okrelonego poo-eniaczonw1i4opisanegoktami1 i4wpraktycemonatozrealizowazapomoc silnikw liniowych. Czony 1, 2, 3, 4 wzgldem podstawy 0 dysponuj cz-nie dwoma stopniami swobody, a jednoznaczny ruch wymaga dwch napdw. Wtymprzypadku zatem ruchliwo jest rwna dwa.Omwionyukadkinematycznyjeststosunkowoprostyiwystarczyelementarnaanaliza geometryczna, aby bezbdnie okreli jego ruchliwo. Bardziej kopotliwa jestRys.1.11. Schemat kinematyczny robota obrbkowego (frezarki)acuch rwnolegy19analiza ukadu kinematycznego, nawet paskiego, zoonego z wikszej liczby czonw.Podobniestwierdzenieliczbystopniswobodyczonwukaduprzestrzennegomoenastrcza wielu kopotw.W zwizku z tym zaistniaa potrzeba stworzenia metody formalnego, nie intuicyj-nego, okrelania ruchliwoci ukadu kinematycznego. W praktyce przyjo si, ze wzgl-du na ich prostot, wykorzystywa do tego celu wzory GrubleraArtobolewskiego, ktrewi w formu matematyczn ruchliwo teoretyczn WT, liczby czonw ruchomychkorazparkinematycznychpii-tejklasy.Ruchliwoteoretycznawynikazfaktu,ejest ona wyznaczana wycznie na podstawie parametrw strukturalnych ukadw ki-nematycznych, tj. liczby czonw i par kinematycznych poszczeglnych klas. Zaleno-ci te maj nastpujce postaci: dla ukadw paskich2 12 3 p p k WT = (1.1) dla ukadw przestrzennych( )= =516 6ii Tp i k W (1.2)Interpretacja podanych zalenoci jest relatywnie prosta. Dla ukadw paskich ru-chliwo teoretyczna WT (1.1) wynika z tego, e: czony ruchome w liczbiek przed ich poczeniem w ukad kinematycznydys-ponuj cznie na paszczynie stopniami swobody w liczbie 3k (kady czon swo-bodny mana paszczynie 3 stopnie swobody), utworzenie par kinematycznych Iklasy w liczbie p1 oznacza, e odbieramy czo-nom ruchomym 2p1 stopni swobody (w kadej parze Iklasy pozostaje jedna mo-liwo ruchu), utworzenie par kinematycznych IIklasy w liczbie p2 oznacza, e odbieramy czo-nom ruchomym p2 stopni swobody (w kadej parze IIklasy pozostaj dwie mo-liwoci ruchu), wukadachpaskichmogwystpitylkoparykinematyczneIiIIklasy,gdyztrzech stopni swobody mona odebra co najwyej dwa.W ukadach przestrzennych rozumowanie jest identyczne, tylko liczba stopni swo-body pojedynczego czonu swobodnego wynosi 6, a wic utworzenie kadej z par i-tejklasy oznacza zredukowanie oglnej liczby 6k stopni swobody kadorazowo o(6i)pi.Posta wzorw okrelajcych ruchliwo teoretyczn mona atwo uoglni, wpro-wadzajc pojcie liczby cw wizw naoonych na ruch wszystkich czonw acuchakinematycznego. Dla ukadu przestrzennego nie wprowadza si adnych wizw (ruchczonw moe by dowolny) i wtedy cw=0, natomiast dla ukadw paskich, ktrychczony mog wykonywa w paszczynie jedynie dwa ruchy translacyjne i obrt wzgl-dem osi prostopadej do tej paszczyzny mamy cw=3. Takie widzenie ruchu czonwtworzcych ukad kinematyczny umoliwia uwzgldnienie take innych ukadw nipaskie i przestrzenne [6].1.2. Wasnoci ruchowe20 1.Struktura ukadw kinematycznychUoglniony wzr okrelajcy ruchliwo strukturaln (teoretyczn) przybierze posta:( ) ( )= =wcii w w Tp i c k c W516 6 (1.3)Gdyoznaczymyprzezsw=6cwliczbstopniswobody,jakdysponujekadyzruchomych czonw ukadu, wwczas ruchliwo teoretyczna wynosi:( )= =11wsii w w Tp i s k s W (1.4)Podanezalenocidajpewienkomfortwstwierdzaniuruchliwociukadukine-matycznego, zwaszcza gdy jest on zoony lub nie dysponujemy wystarczajc wyo-brani i dowiadczeniem. Z analizy ukadu kinematycznego (rys.1.11) wynika, e: liczba czonw ruchomych k = 4 czony 1, 2, 3 i 4, wszystkie poczenia czonw (A, B, C, D, E) s parami kinematycznymi I klasy,wic p1 = 5, pary II klasy nie wystpuj, wic p2 = 0, z zalenoci (1.1) jest wic ruchliwo WT=2, co potwierdza wczeniejsze usta-lenia.Ocena ruchliwoci ukadu kinematycznego paskiego wedug wzoru (1.1) jest wy-godna,choprzyniewielkiejwprawiemoebydokonywananadrodzeintuicyjnej,przez badanie elementarnych cech geometrycznych. Moliwo ruchu atwo stwierdzi,rozpatrujctrajektoriecharakterystycznychpunktw,azwaszczaanalizujcpunktywsplne czonwrodki par kinematycznych. Intuicja w ukadach paskich moe za-wie dopiero w przypadku ukadw zoonych z wielu czonw. Zupenie inaczej jestw przypadku ukadw przestrzennych. Analiza cech geometrycznych wymaga rozpa-Rys.1.12. Schemat ukadu przestrzennegotrywania nie tylko trajektorii punktw,ale czsto paszczyzn ipowierzchni.Oparciesinaintuicji,anawetdo-wiadczeniu,moeprowadzidobdnychwnioskw.Moliwofor-malnegowyznaczeniaruchliwocizzalenoci(1.2)niemoewicbyprzeceniona. Mona si o tym przeko-nanaprzykadziestosunkowopro-stegoukaduprzestrzennegoprzed-stawionego na rys. 1.12, gdzie: liczba czonw ruchomych k=7, pary kinematyczne: AF (I kla-sy),G,H,J(IIIklasy),wicp1=6, p3=3,21 pary innych klas nie wystpuj, wic p2 = p4 = p5 = 0, z zalenoci (1.2) otrzymujemy ruchliwo WT=3.Ukad kinematyczny z rysunku 1.12 jest jednym z szerokiej grupy tzw. manipulato-rw o strukturze rwnolegej. Czon 7 moe by efektorem robota sterowanego trzemanapdami(np.silnikielektryczne)wymuszajcymiruchobrotowyczonw1,3,5wparach A, B i C.1.2.2. Ruchliwo teoretyczna ukadw wielokonturowychPrzytoczone zalenoci (1.1)(1.4) s oglne, z zastrzeeniem, i odnosz si do uka-dw, dla ktrych jest znana liczba wsplnych wizw cw naoonych naruchy czonwukadu.Jesttoatwedoustaleniawprzypadkuprostychukadwpaskichlubprze-strzennych. Jednak zoono ukadw kinematycznych sprawia, enawet w tych gru-pachobliczonaruchliwoWTwymagajeszczedodatkowejinterpretacji.Dotyczytozwaszcza ukadw zoonych, ktrych czony tworz zamknite kontury. Moe w nichbowiemzaistnietakasytuacja,kiedyruchliwocaegoukaduwskazujenamoli-wo ruchu wzgldnego czonw (WT>0), podczas gdy w pewnych fragmentach ukadmoe by sztywny (WT*=0) lub nawet przesztywniony (WT* 0).Do opisania tych osobliwoci ruchowych pomocne jest wprowadzenie pojcia wy-miarw podstawowych czonw.25Wymiary podstawowe. Cechy geometryczne czonu s opisywane przez wymiaryliniowe i ktowe w liczbie tym wikszej, im bardziej zoone s ksztaty czonw. Wszy-stkie one s istotne w fazie wykonywania czonu, kiedy niezbdne jest podanie ich no-minalnych wartoci uzupenionych dopuszczalnymi odchykami wykonawczymi. Nie-ktre spord wymiarw maj jednak znaczenie szczeglne, a ich wartoci s istotnewe wszystkich fazach projektowania i wytwarzania. Decyduj one w peni o wasno-ciach kinematycznych (trajektorie, prdkoci, przyspieszenia), aporednio o cechachdynamicznych(siymasowe,siyoddziaywania,tarcieisprawno).Zewzgldunaich dominujcy wpyw okrela si je mianem wymiarw podstawowych [15]. Stano-wionetgrupwymiarwczonw,ktreopisujwzgldnepooeniepparkine-matycznych, ktre opisywane s punktami, osiami ipowierzchniami. Nie s natomiastpodstawowymi wymiary samych ppar. Kilka przykadowych czonw z zaznaczeniemich wymiarw podstawowych zestawiono narys.1.14.W przypadku czonu dwuwzowego (rys.1.14a) z pparami w postaci kuli ituleiich wzajemne usytuowanie opisuje tylko jeden wymiar a. Dla opisania najbardziej zo-onego spord czonw przedstawionych na rys.1.14 potrzebne s a cztery wymiarypodstawowe (rys.1.14d).1.2. Wasnoci ruchoweRys. 1.14. Wymiary podstawowe wybranych czonwW ukadzie kinematycznym, w okrelonej jego konfiguracji, wymiary podstawoweczonw tworz przestrzenny wielobok, ktrego opis jest rwnoznaczny zopisem jegokinematyki.Narysunku1.15przedstawionoschematukaduprzestrzennegoRCSR(sekwencja symboli par), zbudowanego zczonw przedstawionych narys.1.14, ktregokonfiguracj opisuje wielobok przestrzenny ABCDEFG.Wartociwymiarwliniowychiktowychwielobokusfunkcjwymiarwpod-stawowych jego czonw. Przykadowo odcinek CB opisuje odlego zwichrowanych26 1.Struktura ukadw kinematycznychosipparczonu2iodpowiadawprostwymiarowi bczonu przedstawionego narys.1.14c. Z kolei wymiar FG jest funk-cjodpowiednichwymiarwpodstawo-wych czonw 1 i 4. Naley przy tym pod-kreli,eniektrezwymiarwukadukinematycznego pozostaj nie zmienione,pomimo e sfunkcjami wymiarw pod-stawowychornychwartociach.Dlaukadu z rys.1.15 wmiejsce pary obroto-wej R, utworzonej przez czony 1i 4 mo-na utworzy parR*. Moe toby wyni-kiemzmianywymiarwpodstawowychczonw 1 i 4. Jeeli jednak, pomimo tychzmian, zachowa siniezmienno geome-tryczn wieloboku ABCDEFG, to wasno-Rys. 1.15. Schemat ukadu przestrzennegoci kinematyczne ukadw RCSR iRCSR* pozostan nie zmienione.Dysponujc pojciem wymiarw podstawowych, mona wskaza kilka konkretnychprzykadw, w ktrych wystpuje rozbieno pomidzy wasnociami wynikajcymiz ich struktury a stanem faktycznym wynikajcym z geometrii.1.2.3.1. Ruchliwo lokalnaJako ruchliwo lokaln rozumie si moliwo wykonywania przez czon (czasemgrupczonw)takiegoruchu,ktryniewpywanaruchcaegoukadu.Oznaczatoinaczej, e w przypadku wystpienia ruchliwoci lokalnej okrelonego czonu moe onwykonywa ruch przy unieruchomieniu pozostaych czonw ukadu, wcznie ztymi,ktre cz si z nim parami kinematycznymi. Przedstawiono dalej kilka przykadwruchliwoci lokalnej.Na rysunku1.16 pokazano dwa mechanizmy krzywkowe paskie. Pierwszy z nich(rys.1.16a) skada si z dwch czonw ruchomych, krzywki 1 i popychacza 2. Czo-Rys. 1.16. Przykady mechanizmw krzywkowych27 1.2. Wasnoci ruchowenem napdzajcym jest krzywka, ktrej ksztat jest dobrany tak, aby uzyska ruch po-pychacza wedug podanej charakterystyki kinematycznej. Nie trzeba wykazywa, eruchpopychacza2jestokrelonydlajednegoczonuczynnego,awicruchliworzeczywistawynosijeden(WR=1)ijestrwnaruchliwociteoretycznej(WT=1),comona potwierdzi korzystajc z zalenoci (1.1). W przypadku ukadu z rys.1.16bzdecydowano zamieni tarcie lizgowe krzywki i popychacza na korzystniejsze tarcietoczne. W tym celu popychacz 2 zakoczono krkiem 3 w taki sposb, aby nie zmie-nia charakterystyki ruchu popychacza. Intuicja wskazuje wic rwnie w tym przy-padku ruchliwo rzeczywist rwn jeden (WR=1), gdy ruch jednego czonu czyn-nego(krzywki1)wywoujejednoznacznyruchczonubiernego(popychacza2).Ru-chliwo teoretyczna natomiast obliczona z zalenoci (1.1) wynosi WT=2.Rozbieno midzy WR i WT jest tutaj wynikiem szczeglnej geometrii. Wprowa-dzonydoukaduelement3(krek)dysponujemoliwociruchuobrotowegoprzynieruchomych czonach ssiednich krzywki1 i popychacza2. Taki lokalny ruch, okre-lany mianem ruchliwoci lokalnej czonu 3 (WL3=1), moe wystpi dlatego ekrek3 ma ksztat koowy. Lokalny ruch czonu, nie wpywajcy na zasadnicz funkcj ukadukinematycznego moe by przez projektanta tolerowany. W tym przypadku zosta na-wet wprowadzony celowo dla poprawienia wasnoci eksploatacyjnych (tarcie tocznezamiast lizgowego). Obliczona ze wzoru (1.1), ktry nie uwzgldnia geometrii, ruchli-wo teoretyczna WT jest poprawna. Nie oddaje jednak stanu rzeczywistego i musi byzweryfikowana. Nietrudno dociec, ewprzypadku gdyby czon 3 nie by koow tar-cz,lecznp.eliptyczn,ruchliwoteoretycznairzeczywistabyybysobierwne(WT=WR=2), jednoznaczny ruch wymagaby dwch czonw czynnych. Odnotujmyna koniec, e wystpienie jednej ruchliwoci lokalnej krka3 skutkuje zmniejszeniemruchliwoci teoretycznej ojeden, ale ukad (rys.1.16) pozostaje ruchliwy.Paski ukad czteroczonowy (rys.1.17a) ma za zadanie transformowanie ruchu obro-towego5 pomidzy czonami 1 i 3. Poniewa czon poredniczcy 2 tworzy zczonami1i3parypostpowe,wicprzemieszczeniaktowe1i3stakiesame.Moliworuchuatwowywnioskowazobserwacji,eosiel2' il2"muszwkadympooeniuukadupozostawawstaychodlegociachh1 ih3odpowiednioodpunktwA iD.Wsensie geometrycznym oznacza to styczno osi l2' i l2" do okrgw 1 i 3, ato moeby zrealizowane na wiele sposobw dopki osie l2' i l2" nie pokrywaj si(20). Takawasno wskazuje, e ruch czonu 1 bdzie transformowany na ruch czonu 3. Zupe-nie odmienny wniosek wysnujemy dla przypadku szczeglnego, kiedy l2' i l2" pokrywajsi(2=0).Sytuacjatakajestdlaukadwprzedstawionychnarys.1.17b,c,d,einietrudno zauway, e istnieje tam jedynie moliwo zmontowania ukadu wczterechkonfiguracjach. Po zmontowaniu natomiast mamy doczynienia z usztywnieniem uka-du,awicbrakiemruchu.Ruchliworzeczywistawynositutajzero(WR=0)ijestojeden mniejsza od ruchliwoci teoretycznej (WT=1). Mamy zatem tutaj rwnie doczynieniazukadem,wktrymnastpiozmniejszenieruchliwocirzeczywistej,ale5 Na takim schemacie oparte jest sprzgo Oldhama.28 1.Struktura ukadw kinematycznychRys. 1.17. Ukad paski R2TRtym razem doprowadzio to do jego zablokowania. Czon poredniczcy 2 ma szcze-glngeometri(osiel2' il2"pokrywajsi),coskutkujejegoruchliwocilokaln(WL2=1).Przestrzennyukadkinematycznyzrys.1.18jestideowymprzedstawieniempo-wszechnie stosowanego, niezalenego zawieszenia k samochodw, znanego jako ko-lumna McPhersona. Zwrotnica 2 takiego ukadu ma dwa rzeczywiste stopnie swobody(WR=2), dziki ktrym moliwe jest poddawanie si zawieszania przy pokonywaniunierwnoci na jezdni (pierwszy stopie swobody) oraz skrcanie pojazdu (drugi sto-pie swobody). Tymczasem obliczenie ruchliwoci ze wzoru (1.2) dla ukadw prze-strzennych6 wskazuje, e ukad ma trzy stopnie swobody (WT= 3). Wtym przypadkuobliczona ruchliwo teoretyczna WT obejmuje ruchliwo lokaln czonu 3(WL3=1).Jest to ruch obrotowy wok osi pary cylindrycznej C i moe wystpi tylko, gdy o6 Pary obrotowe A' i A" potraktowano jako jedn par I klasy (zdwojenie).29pary C przechodzi przez rodek przegubu sferycznego D. Ruchliwo lokalna jest wictutaj take wynikiem specyficznej geometrii i nie jest przeszkod wprawidowym dzia-aniu ukadu, co wicej czon 3 w takim wykonaniu (zpar cylindryczn) jest korzyst-niejszy technologicznie.Na podstawie przytoczonych przykadw stwierdzamy, e w wypadku wystpieniaruchliwoci lokalnej WL obliczona ruchliwo teoretyczna (strukturaln) WT nie odda-je stanu faktycznego. Jest to cecha wszystkich ukadw, a wic w kadym przypadkuwystpienia ruchliwoci lokalnej naley wprowadzi poprawk okrelajc ruchliwoteoretycznirozrniaruchliworzeczywistWRodruchliwociteoretycznejWTwedug zalenoci:L T RW W W = (1.13)Sprawdzenie poprawnoci wzoru (1.13) dla omwionych ukadw z czonami dys-ponujcymiruchliwocilokaln(rys.1.16,1.17,1.18)jestczynnocielementarnipozostawiamy to czytelnikowi.1.2.3.2. Wizy bierneKady czon i kada para ukadu kinematycznego wnosi do ukadu wizy, tj. ogra-nicza wzajemne ruchy czonw. W sensie geometrycznym oznacza to na przykad usta-leniestaejodlegocimidzypunktamidwchczonw,zabraniemoliwociruchu1.2. Wasnoci ruchoweRys. 1.18. Schemat ideowy kolumny McPhersona30 1.Struktura ukadw kinematycznychwzgldnego obrotowego itd. W pewnych warunkach wykonania istnieje moliwozwielokrotniania niektrych wizw i chocia w rezultacie uzyskuje siukady struk-turalnie sztywne lub nawet przesztywnione, to ruch wzgldny czonw jest moliwy.Kilkaprzykadwtakichukadwkinematycznychprzedstawiononakolejnychry-sunkach.Narysunku1.19apokazanoschematkinematycznyczworobokuprzegubowegowwykonaniu szczeglnymwymiary czonw dobrano w taki sposb, e czworobokABCDjestwkadympooeniurwnolegobokiem.atwozauway,eczonBCEnie wykonuje ruchu obrotowego wzgldem podstawy AD, a trajektorie punktw (rod-kw par) B, C i E s okrgami o jednakowych promieniach. atwo te wywnioskowa,erodekokrguEznajdujesiwprostymdowyznaczeniapunkcieF.PoniewaRys. 1.19. Przegubowy czworobok rwnolegobocznywkadym pooeniu ukadu jest staa odlego midzy punktamiE iF, wic monawprowadzi do ukadu dodatkowy czon EF o odpowiedniej dugoci (EF = AB = CD).Tendodatkowyczon(rys.1.19b)wprowadzadoukaduwizybierneustalaodle-go punktwE iF, ktre ju w pierwotnym ukadzie, dziki szczeglnej geometriipozostaway w staej odlegoci. Ograniczenia zatem wprowadzone przez czon EF swizami biernymi.Dodatkowy czon EF zmienia struktur ukadu (rys.1.19b). Jego ruchliwo teore-tyczna, obliczona jak dla ukadw paskich, wynosi tym razem zero (WT=0) iwskazuje,e mamy do czynienia z ukadem strukturalnie sztywnym, chocia ruchliwo rzeczy-wista nie ulega zmianie i dalej wynosi jeden (WR=1). Dla oceny tego stanu wprowa-31 1.2. Wasnoci ruchoweRys. 1.20. Czony o ruchu obrotowym i postpowym7 Sekwencja symboli par kinematycznych od czonu czynnego do biernego.dza si kolejn poprawk do wzoru na ruchliwo rzeczywist ukadu kinematyczne-go, ktry teraz przybiera posta:B L T RW W W W + = (1.14)gdzie WB liczba wizw biernych.Dla ukadu kinematycznego z rys.1.19 na podstawie (1.14) stwierdzamy wystpo-wanie wizw biernych w liczbie jeden (WB=1).Kolejne przykady ukadw o szczeglnej geometrii przedstawiono na rys.1.20.Tarcza 1 (rys.1.20a) tworzy z podstaw par kinematyczn obrotow A (sposb o-yskowania zapewnia podany ruch obrotowy). Rozwizanie takie nie zadowala kon-struktora w przypadku, kiedy czon 1 jest wirnikiem (rys.1.20b) o wymiarach i ob-cieniach wymagajcych dodatkowego oyskowania w parze B. Jeeli zapewnionajest wsposiowo oysk A i B, to ruch obrotowy wirnika jest moliwy. Dzieje sitak,pomimo e utworzenie pary B wprowadza do ukadu dodatkowe ograniczenia ruchu(dodatkowe,boprzecieparaAjuzapewniawymaganyruchobrotowy),zatemiwtymukadziewprowadzonowizybiernezbdnekinematycznieograniczeniaruchu.Ruchliwotegoukadutraktowanegojakprzestrzennywynosiminustrzy(WT=3),czylitymrazemzgodniezzalenoci(1.14)WB=4wirnikmoesiobraca, wic WR=1.32 1.Struktura ukadw kinematycznychPodobninterpretacjatwoprzypisaukadomprowadzeniaplatformy1(rysu-nek1.20c,d). Pierwszy z nich, w ktrym prowadnica 0 tworzy z platform 1 par po-stpowjestkinematycznieistrukturalniepoprawnyWR=WT=1.Wymaganedlakorzystniejszego rozkadu si zdwojenie pary postpowej przez utworzenie dodatkowopary B, moliwe przy spenieniu oczywistych warunkw geometrycznych, oznacza rw-nie wprowadzenie dodatkowych, zbdnych kinematycznie wizw (ogranicze ruchu).Zabieg ten rwnie spowoduje zmian ruchliwoci. Tym razem ukad z rysunku 1.20d,traktowany jak przestrzenny, ma ruchliwo teoretyczn minus cztery (WT=4), a wiczgodniezzalenoci(1.14)mapiwizwbiernych(WB=5).Wprowadzeniewukadzie zrys.1.20d prowadnic o przekroju koowym, dogodniejszym technicznie,jakkolwiek obniy stopie przesztywnienia, to jednak cigle jego ruchliwo oblicza-na z (1.2) bdzie rna od oczekiwanej i wyniesie minus dwa (WT=2), chocia plat-forma1dysponujemoliwociruchu(WR=1),wiczgodniezzalenoci(1.14)wukadzie pozostan jeszcze trzy wizy bierne (WB=3).Rozbienoci midzy ruchliwoci teoretyczn i rzeczywist wystpuj take w uka-dach z zaoenia przestrzennych. Przeniesienie ruchu obrotowego midzy dwoma wa-kami, od czonu czynnego 1 do biernego 3, ktrych osie s zwichrowane, umoliwiamidzy innymi ukad czworoboku przestrzennego R2SR7 (rys.1.21a). Jego ruchliworzeczywistawynosijeden(WR=1),teoretycznanatomiastjestrwnadwa(WT=2).Wystpuje tutaj tolerowana w praktyce ruchliwo lokalna czonu poredniczcego 2Rys. 1.21. Ukad przestrzenny transformacji ruchu obrotowego33 1.2. Wasnoci ruchowe(WL2=1) ruch obrotowy czonu 2 wok osi przechodzcej przez rodki par sferycz-nych. W wykonaniu szczeglnym tego ukadu (rys.1.21b), wktrym osie czonw 1i3przecinaj si, mona zaobserwowa pewne cechy szczeglne. Jak nietrudno zauwa-y w tym przypadku w czasie ruchu trjkt ABC jest geometrycznie niezmienny. Wa-sno ta umoliwia modyfikacj struktury, ktra nie tylko nie zmieni ruchliwoci rze-czywistej, ale nawet nie zmieni charakterystyki kinematycznej wrelacji czon czynny1 bierny 3.Noweruchliweukady(WR=1)uzyskanewwynikumodyfikacjiukaduR2SRtoukadyRS2Ri4R(rys.1.21c,d).Wkadymznichnastpiozmniejszenieruchli-woci teoretycznej, a wic w kadym wystpuj wizy bierne: WT = 0 i WB = 1 dla ukadu RS2R, WT = 2 i WB = 3 dla ukadu 4R.Prostotazalenoci(1.14),wicejruchliworzeczywistWR,teoretycznWT,lokaln WL i wizy bierne WB, jest nie do przecenienia. Bardzo wana dla konstruktorajest niesiona przez ni informacja o wystpowaniu w ukadzie dodatkowych, zbdnychkinematycznie ogranicze ruchu. Jak pokazuj przytoczone przykady wystpowaniewizw biernych zawsze oznacza konieczno spenienia geometrycznych warunkwruchu, tj. zwizkw funkcyjnych pomidzy wymiarami podstawowymi czonw.Posta tych warunkw moe by rna, czasem jest bardzo zoona [8]. Dla oma-wianych ukadw sformuujemy je werbalnie: dla ukadu zdwojonego czworoboku (rys.1.19) wymiary czonw musz zapew-nia w kadym pooeniu istnienie dwch rwnolegobokw ABCD i CDFE, dla oyskowania wirnika (rys.1.20b) trzeba, aby ppary A i B podstawy iwirnikabyy wsposiowe, dla platformy (rys.1.20d) na prowadnicach o przekroju koowym osie ppar plat-formy 1 i prowadnic 0 musz by do siebie rwnolege i w jednakowej odlego-ci, dla ukadu RS2R (rys.1.21c) osie ppar podstawy 0 i czonu 3 musz si prze-cina w jednym punkcie, dla ukadu 4R (rys.1.21d) wymagane jest ju przeci-nanie siwjednym punkcie osi wszystkich par kinematycznych; w tychuka-dachswymaganetepewne,pominitetutaj,zwizkinaoonenawymiarypodstawowe liniowe [25].Przedstawione ukady z wizami biernymi raz jeszcze potwierdzaj tez, e o rze-czywistychwasnociachruchowych,omoliwociruchuwzgldnegoczonw,oprcz struktury w znacznym stopniu decyduje te geometria. Kady zukadw jed-nokonturowych(rys.1.22),ktrychstrukturawskazujenabrakmoliwociruchu(WT0),wszczeglnychwarunkachwykonaniastaniesiukademruchliwym.Wliteraturzeopisanowieletakichukadw[1],[9],[29]kilkaznichzestawiononarys.1.23.34 1.Struktura ukadw kinematycznychRys. 1.22. Struktury ukadw teoretycznie sztywnych i przesztywnionych351.2.WasnociruchoweRys. 1.23. Schematy ukadw ruchliwych o szczeglnej geometrii1.2.4. Ukady kinematyczne racjonalnePraktycznarealizacjaukadukinematycznego,polegajcanawykonaniuposzcze-glnychczonw,jestnieuchronniezwizanazodchykamiwykonawczymi.Ich wartoci s uzalenione od wielu czynnikw, jak np. stanu technicznego dyspono-wanegoparkumaszynowego,poziomutechnicznegoobsugi,zawszejednaksnieu-niknione.36 1.Struktura ukadw kinematycznychRys. 1.24. Geometria ukaduczworoboku przegubowegoSzczeglnie wane bd odchyki wymiarw podstawowych, ktre decyduj o istot-nych parametrach ukadu kinematycznego. Maj one m.in. wpyw na dokadno reali-zowanychruchw,trajektorii,pooe,atakenawartociobcie.Teostatniewwyniku bdw wykonawczych mog osign wartoci powodujce nawet zniszcze-nie elementw ukadu. W ukadach szybkobienych mog by powodem znacznie wik-szych, od przewidywanych, si dynamicznych. Efektem niedotrzymania wymiarw no-minalnych moe by take wejcie w stref samohamownoci wtych ukadach, ktrepracuj w pobliu pooe martwych.W przypadku ukadw z wizami biernymi aspekt dokadnoci wykonania wymia-rw czonw nabiera dodatkowego istotnego znaczenia. Nieuniknione odchyki wyko-nawcze sprawiaj bowiem, e geometryczne warunki ruchu takich ukadw mog byspenione tylko z pewnym przyblieniem. Oznacza to w praktyce, ejeszcze przed wy-stpieniem obcie zewntrznych ukadu z wizami biernymi w parach kinematycznychpojawi si dodatkowe siy. S one wywoane koniecznoci dopasowywania si czo-nw, oznaczajcego w praktyce spryste odksztacenie (rozciganie, zginanie itd).Wartoci tych dodatkowych obcie, zwizane z wartociami odchyek wykonaw-czych i sztywnoci czonw, zmieniaj si w zalenoci od pooenia ukadu. Ich kon-sekwencj jest przede wszystkim zmniejszona sprawno mechaniczna oraz nadmier-ne zuycie elementw par kinematycznych. Tym samym mog nie by osignite za-kadanewartociistotnychwskanikw,jaksprawno,ywotnoiniezawodno.Wdrastycznych przypadkach moe nawet zachodzi zmczeniowe (dodatkowe obci-enia zmieniaj si cyklicznie) zniszczenie ktrego z czonw.37 1.2. Wasnoci ruchoweRys. 1.25. Efekty odchyek wymiarwzdwojonego czworobokuWpaskimczworobokuprzegubowym(rys.1.24a),oprczoczywistegowarunkurwnolegociosiwszystkichparkinematycznych(tylkowtedyjesttoukadpaski),wymagane jest spenienie zalenoci:a + b c d = 0 (1.15)Sytuacja idealna, tj. przy zerowych odchykach wykonawczych, jest przedstawionanarys.1.24a.Wwarunkachrzeczywistych,kiedyczonywykonanozbdami,juwfaziemontaupojawisitrudnoci.ZakadajcmontaparwkolejnociA,B,Ciw ostatniej kolejnociD, utworzenie tej ostatniej okae siniemoliwe (rys.1.24b),pparyD' iD"bowiembdodsiebieoddalone,aichwzgldnepooeniemoeby opisane za pomoc parametrw h, , l', l". Sytuacja taka bdzie wystpowa rw-nie przy prbach utworzenia pary D (zamknicia ukadu) dla innych pooe czonuAB,chociawartociparametrwh,,l',l"bdsizmienia.Wwypadkuwystpieniaodchyek monta ostatniej pary D jest zatem moliwy tylko w przypadku przyoeniazewntrznych si, ktre spowoduj odpowiednie, wymagane dla montau, odksztace-nia czonw. Sytuacj wynikow obrazuje rys.1.24c, na ktrym czony sodksztacone.Nie trzeba dowodzi, ewparach kinematycznych tak zmontowanego na si uka-du bd w czasie ruchu wystpowa dodatkowe, cyklicznie zmienne siy, a wywoanieruchu bdzie moliwe po pokonaniu si tarcia oraz si odksztacenia sprystego czo-nw.Wyznaczenie tych dodatkowych obcie jest zagadnieniem zoonym, wymaga sto-sowania zaawansowanych metod analizy przemieszcze ukadw przestrzennych orazznajomoci materiau i postaci konstrukcyjnej czonw. Skal zjawiska obrazuje poda-ny przykad.W przeniesieniu jednego z napdw robota IRb [23] stosuje si rwnolegobocznyukad (rys.1.25a), sucy do transformacji ruchu obrotowego od czonu 1 doczonu2.38 1.Struktura ukadw kinematycznychUkad ten speni swoj funkcj w sensie kinematycznym take wtedy, gdy pozbawi sigojednego z cznikw 3 lub 4. Stosowanie dwch cznikw jest podyktowane korzyst-niejszym rozkadem si, powodujc jednak, e nawet przy idealnym spenieniu warun-kwpaskoci(osiewszystkichparrwnolege)jesttoukadzwizamibiernymi,awarunki wystpienia ruchu to: = = == =, , CD AB DF AEEF BC AD(1.16)Wykonaniezbdamiwymiarwwchodzcychwzwizki(1.16)doprowadzidosytuacji, e ju w czasie montau, zwaszcza w jego ostatniej fazie polegajcej np.na wmontowaniu cznika 4, wymagane bdzie uycie siy. Wynika to z faktu, e rze-czywista dugo lEF bdzie rna od odlegoci ppar E i F wynikajcej z rzeczywi-stych wymiarw czonw 0, 1, 2 i 3. Rnic t reprezentuje odchyka l (rys.1.25b),ktrej warto zmienia si w funkcji pooenia ukadu.Przyjmujemy wymiary nominalne:2 / mm 60mm 450= == = = == = = CD AB DF AEEF BC ADna rys.1.25c przedstawiono przebieg zmianl() dla dwch klas dokadnoci wyko-nania IT5 oraz IT8, po zaoeniu symetrycznego rozkadu tolerancji. Z wykresu wida,e istnieje pooenie, w ktrym l=0, a monta w tym pooeniu nie wymaga odkszta-cania czonw jest moliwy bez uycia si. Jednak w czasie ruchu odchyka l zmie-nia si co do wartoci i znaku. Powoduje to na przemian rozciganie i ciskanie czni-ka4,wywoujcteodksztaceniapozostaychczonw.Wartocisi,ktretemuto-warzysz s zalene od sztywnoci czonw. Zakadajc na pocztek, e odksztaceniupodlega wycznie czon 4, wykonany ze stalowego prta o przekroju osiowym 104m2,jest on obciony si osiow F o wartociach:8 dla kN 6 , 44 , 6 , 95 dla kN 7 , 12 , 6 , 2IT FIT F + + Uzyskane wartoci odnosz si do stosunkowo prostego ukadu, i wyznaczone zo-stay dla znacznych uproszcze, przez co rzeczywiste wartoci mog odbiega od przy-toczonych. W realnym ukadzie odksztaceniom ulega bd przecie take pozostaeczony,awartocisizostanzmniejszonewwynikuwystpowanialuzwwparachkinematycznych. Jednak ju na podstawie analizy tego prostego ukadu naley stwier-dzi, e rzeczywiste ukady z wizami biernymi, ktrych czony s wykonywane z nie-uniknionymi odchykami wymiarw, zawsze bd charakteryzoway siwystpowaniemw parach kinematycznych dodatkowych si, nie przewidzianych przez konstruktora wrazze wszystkimi negatywnymi skutkami.39Rys. 1.26. Odchyki wymiarw wirnika i podstawySpecyfika ukadw z wizami biernymi, w szczeglnoci kopoty techniczne zwi-zane z ich montaem i eksploatacj, spowodowaa, e nadano im miano ukadw nie-racjonalnych. Termin ten wynika wprost z niewaciwej, nieracjonalnej struktury, skut-kujcej nadmiern liczb ogranicze ruchu wizw biernych, ktre s wizami bier-nymi w przypadku spenienia okrelonych warunkw geometrycznych naoonych nawymiary podstawowe czonw.Oglnie naley stwierdzi, e stosowanie takich ukadw powinno by ograniczanena rzecz ukadw racjonalnych, bez wizw biernych, w ktrych moliwo ruchu niejest ograniczona adnymi warunkami. Przedstawiono dalej wybrane przykady ukadwnieracjonalnych,wskazujcnageometrycznewarunkiruchuorazpokazanosposobymodyfikacji ich struktury w celu uzyskania rozwiza racjonalnych.Zdwojone oyskowanie wirnika (rys.1.26a), korzystne ze wzgldu na wielkosiwparachkinematycznych,wprowadzajakjuwiadomowizybierne.Oznaczato, eprzy wystpieniu odchyek wykonawczych ju ze zmontowaniem takiego ukadubd okrelone kopoty. Sytuacj tak, z celowo wyolbrzymionymi bdami, przed-stawiono na rys.1.26b, c. W przypadku oglnym osie ppar podstawy 0 s zwichro-wane,aichwzgldnepooenieopisujeodlegoh0iktzwichrowania0.Iden-tyczniewirnik1,wykonanyzodchykami,bdziemiaosiepparzwichrowaneodlego h1, kt 1.Wprowadzoneczterywymiarypodstawowe,przypisaneposzczeglnymczonom,umoliwiaj okrelenie geometrycznych warunkw ruchu w postaci:h0 = h1 = 0oraz0 = 1 = 040 1.Struktura ukadw kinematycznychKierunek modyfikacji struktury ukadu, aby uzyska rozwizanie racjonalne, awicbez wizw biernych, wynika wprost z zalenoci (1.14) i (1.2).W zmodyfikowanym ukadzie powinno by: WB = 0, brak wizw biernych, WL = 0, brak ruchliwoci lokalnych, pi = 2, wirnik powinien tworzy z podstaw dwie pary kinematyczne, WR = WT = 1, k = 1.Po rozpisaniu rwnania (1.2) mamyWT= 6k 5p14p23p32p41p51 = 61 50 41 30 20 111 = 61 50 40 31 21 10W wyniku otrzymalimy wic dwa rozwizania: k = 1, p2 = 1, p5 = 1 (rys.1.27a), k = 1, p3 = 1, p4 = 1 (rys.1.27b).Rys. 1.27. Racjonalne oyskowaniewirnikaZwrmyuwag,ewynikiemrozwaasklasy par kinematycznych, jakie ma tworzywirnik z podstaw. Mog by one rwnie zre-alizowanewpostaciwzw(rys.1.8),wanejest tylko, aby w okrelonym poczeniu zapew-niodpowiedniliczbstopniswobody.Takwanie utworzono propozycje rozwiza racjo-nalnych przedstawione narys.1.27a, b, z ktrychostatnie, uzyskane w sposb formalny, jest zna-nym oyskowaniem za pomoc dwch oyskwahliwych,przyczymjednodajemoliwoprzesuwu wzdunego.Wielemaszyniurzdzewymagarealiza-cji ruchu przesuwnego elementu w podstawie.Jedno zmoliwych i chtnie stosowanych roz-wizaprzedstawiononarys.1.28a.Jesttoukad z picioma wizami biernymi (WB=5),w ktrym dwie cylindryczne prowadnicel' il"zapewniaj moliwo ruchu przesuwnego czo-nu 1, gdy s spenione warunki geometryczne. Oba czony wykonane z bdami przed-stawiono na rys.1.28b, c, przy takich odchykach zmontowanie ukadu jest niemoli-we. Osie l' i l" prowadnic podstawy 0 oraz osie l' i l" ppar czonu 1 s odpowiedniowzgldem siebie zwichrowane. Dla poprawnego dziaania trzeba, aby byy spenionewarunki:0 = 1 = 0orazh0 = h141 1.2. Wasnoci ruchoweRys. 1.28. Odchyki wymiarw elementu przesuwnego i prowadnicyOdchyki wykonawcze wymiarw wystpuj zawsze, ich wartoci zale od wieluczynnikw, ale mniejsze odchyki oznaczaj wiksze koszty. Zabezpieczenie moliwo-ci wsppracy obu elementw (rys.1.28), nawet w warunkach niedokadnego wyko-naniawymagamodyfikacjiwceluuzyskaniarozwizaniaracjonalnego,bezwizwbiernych.Podobnerozwaania,jakieprzeprowadzonodlapoprzedniegoukadu(rys.1.26 i 1.27), prowadz do formalnego zdefiniowania wymaganych klas par kine-matycznych. Cztery przykady rozwiza racjonalnych przedstawiono na rys.1.29, gdziepozostawionotylkojednparcylindryczn,drugiepoczenienatomiastzapewniawkadym ze schematw pi stopni swobody. Jednak czyst par pitej klasy, o stykupunktowym, zastosowano tylko w rozwizaniu c, wpozostaych natomiast przypadkachzastosowano wzy, eliminujc par wysz, oograniczonych moliwociach przeno-szenia si.Kady ukad paski ju z definicji zawiera wizy bierne, na ruch czonw bowiemnaoone s wizy, ktre zmuszaj je do ruchu w paszczynie, cilej wpaszczyznachrwnolegych. Oznacza to w praktyce konieczno zapewnienia rwnolegoci i pro-stopadoci osi okrelonych par kinematycznych.Rozpatrzmy dla przykadu ukad czworoboku przegubowego (rys.1.30a, b). Dla spe-nienia warunku paskoci tego ukadu osie wszystkich par obrotowych musz by pro-42 1.Struktura ukadw kinematycznychstopadedopaszczyznyruchu.Oznaczato,ekademuzczonwnaleyzapewnirwnolego osi ppar8. Obecno wizw biernych potwierdza formalne obliczenieruchliwoci teoretycznej (WT=2) ze wzoru (1.2) dla ukadw przestrzennych. Wobectego, e nie wystpuje tutaj ruchliwo lokalna (WL=0), zaleno (1.14) wskazuje naistnienie trzech wizw biernych (WB=3).Ukady paskie wystpuj wpraktyce masowo, wiele z nich to rozwizania struktu-ralnie nieracjonalne. Dla zwartej budowy, zzapewnieniem duej dokadnoci wykona-nia czonw, ukady paskie pracuj zupenie poprawnie. W kadej parze kinematycz-nejwystpujponadtoluzy,ktrewistotnysposbmogzniwelowaniekorzystnywpyw ewentualnych niedokadnoci wykonawczych.Racjonalno struktury czworoboku przegubowego (rys. 1.30) atwo uzyska przeztakmodyfikacjklasparkinematycznych,abyuzyskaruchliwoteoretyczndlaukadu przestrzennego rwn jeden (WT=1). Pozostawiajc bez zmiany pary kinema-tyczne utworzone przez czony ruchome (1,3) z podstaw 0, uzyskuje sijednoznacz-neklasyparyB iC.Przykadowo,najczciejuywanewariantyprzedstawiononarys.1.30c, d, rozwizania szczegowe natomiast, po wstawieniu szczeglnych postacipocze wparach B,C prezentuje rys.1.31a, b, c. Ukad przedstawiony narys.1.31dma ruchliwo teoretyczn rwn dwa, jednak zawiera si w tej liczbie ruchliwo lo-kalna czonu2 (WL2=1), ktra nie wpywa na ruch transformowany odczonu 1 do 3.Jesttoczstostosowanerozwizanie,wktrymcznik2czworobokujestczonyzczonami ssiednimi 1, 3 za pomoc oysk wahliwych.8 Pomijamy tutaj inne, niezbdne warunki naoone na wymiary podstawowe czonw.Rys. 1.29. Rozwizania racjonalne ukadw, element przesuwny prowadnica43 1.2. Wasnoci ruchoweRys. 1.30. Czworobok przegubowy paski (a), (b) i struktury racjonalne (c), (d)Rys. 1.31. Czworobok przegubowy rozwizania racjonalne44 1.Struktura ukadw kinematycznychJednymzukadwkinematycznychumoliwiajcychredukcjobrotwjestprze-kadnia obiegowamechanizm zoony z k zbatych, z ktrych niektre wykonujruchobiegowy(ichosieprzemieszczajsiruchemliniowym)przedstawionanarys.1.32a, b. Skada si ona z koa centralnego 1 (czon czynny) ozazbieniu ze-wntrznym, drugiego koa centralnego 0, bdcego jednoczenie podstaw oraz trzechkobiegowych2uoyskowanychwjarzmieJ(czonbierny).Dlajednoznacznegoprzeniesienia ruchu midzy koem 1 i jarzmem J wystarczy jedno koo obiegowe. Sto-sowanie wikszej liczby tych k (tutaj trzech) podyktowane jest chci zwikszeniamomentw, jakie mog by transformowane przez ten mechanizm. Jednak wprowadze-niedoukaduwikszejliczbykobiegowychjestrwnoznacznezwprowadzeniemdodatkowych,zbdnychkinematycznie,wizwbiernych.Ruchliwoteoretycznawynosi tym razemWT=7, co oznacza, e ukad jest przesztywniony, awic niera-cjonalny strukturalnie.Rys. 1.32.Przekadnia obiegowa rozwizania nieracjonalne (a) i racjonalne (c) i (d)45 1.2. Wasnoci ruchoweKonsekwencj nieuniknionych odchyek wykonawczych moe by m.in. to, e po-dany jednoczesny kontakt wszystkich par zazbie nie bdzie realizowany. Moe toskutkowa wikszymi od zakadanych siami wystpujcymi w zazbieniach, co w skraj-nych przypadkach prowadzi do przedwczesnego zuycia przekadni. Nie trzeba wyka-zywa, e uniknicie tych niekorzystnych zjawisk pociga za sob konieczno bardzoduych dokadnoci wykonania.Innym rodkiem zaradczym moe by poszukiwanie drg modyfikacji struktury uka-du w kierunku rozwizania racjonalnego, w ktrym wyeliminowane zostan wizy bier-ne. Dwa przykady takich rozwiza przedstawiono na rys.1.32c, d. Pierwsze znichcharakteryzuje si tym, e zby k obiegowych wykonano jako barykowe, akoo cen-tralne1niejestoyskowanesztywnojegopooeniejestustalaneprzezzbykobiegowych. Przeniesienie ruchu od wau wejciowego odbywa sizaporednictwemdwch par II klasy P2, ktre w realnych ukadach s sprzgami zbatymi.Wdrugimrozwizaniu(rys.1.32d)koaobiegowe2majjuzbyproste,alesczone z jarzmem J za pomoc oysk wahliwych (pary sferyczne III klasy P3), akoocentralne 1 czy si z waem wejciowym za pomoc jednego sprzga zbatego. Oby-dwa rozwizania s racjonalne, co atwo stwierdzi czytelnik korzystajc zwzorw (1.2)i (1.13).Pokazane tutaj rozwizania racjonalne przekadni obiegowej naley traktowa jakoprzykadowe.Konstruktorzystosujwielejeszczeinnychmodyfikacji[18],[25],alewszystkie one zmierzaj do cakowitego lub co najmniej czciowego wyeliminowa-nia wizw biernych.Problematyka racjonalnoci ukadw kinematycznych jest doceniana przez konstruk-torwpraktykw.Czstocakiemniewiadomie,opierajcsiwycznienaintuicji,wswoich rozwizaniach konstruktorzy stosuj takie pary kinematyczne (oyska), ktrenadaj rozwizaniom cechy racjonalnoci. Jednak bazowanie wycznie naintuicji moeby zawodne w przypadku ukadw zoonych, wiadczy o tym wiele realnych uka-dw zawierajcych wizy bierne. Obserwacja wskazuje na pewn prawidowo: im bar-dziej odpowiedzialny i zaawansowany technologicznie ukad kinematyczny, tym mniej-sze szanse na spotkanie choby fragmentw rozwizanych wsposb nieracjonalny.Nie oznacza to jednak, e stosowanie ukadw z wizami biernymi jest z definicjibdem konstruktora. S przypadki, kiedy jest to niezbdne i w peni uzasadnione, ukadyz wizami biernymi s te prostsze. Decyzja o ich stosowaniu w praktyce powinna bypodjta ze wiadomoci potencjalnych kopotw technologicznych ieksploatacyjnych.46 2.Konfiguracja ukadw kinematycznych2.KONFIGURACJA UKADWKINEMATYCZNYCH2.1.WprowadzenieIstot ukadu kinematycznego jest ruch czonw. W kadej chwili czony zajmujokrelonepooeniewzgldempodstawy,atymsamymrwniewzgldemsiebie.Wszelkie rozwaania, zarwno dotyczce kinematyki, jak i dynamiki maj za zadanieodpowiedzie na pytanie, jakie jest biece pooenie poszczeglnych czonw, awic,jakajestkonfiguracjaukadu.Wkinematycepooenieczonwukadujestzalenewycznie od wymusze kinematycznych, zaniedbuje si natomiast masy czonw, siyzewntrzne bierne i czynne. Te ostatnie s natomiast istotne wrozwaaniach dynamicz-nych. Analiza dynamiczna kadego ukadu musi by zawsze poprzedzona analiz ki-nematycznnie ma dynamiki bez kinematyki!Kady ukad kinematyczny zoony z okrelonej liczby czonw poczonych zesobrnymi parami kinematycznymi jest okrelony co do ruchu, jeli znane swymuszeniakinematyczne w liczbie rwnej liczbie stopni swobody1. Zdecydowana wikszo me-chanizmw to ukady o jednym stopniu swobody, oznacza to, edookrelenia ich ru-chu wystarczy podanie jednego wymuszenia. Przykadowo wymuszeniem kinematycz-nym ukadu korbowego silnika spalinowego jest funkcja opisujca przemieszczeniestoka w czasies=s(t), ktre jednoznacznie opisuje pooenie czonw tego mechani-zmu,jesttobowiemukadoruchliwociW=1.Wpowszechnieznanychukadachwysignikowych adowarek, ktrych ruchliwo wynosi dwa (W=2) do opisu ruchuyki s potrzebne ju dwa wymuszenia kinematyczne, naog w postaci zmian dugo-cidwchsiownikwwczasie(s1=s1(t)orazs2=s2(t)).Jeszczewicejwymuszejest potrzebnych w analizie mechanizmw robotw. Ukady te s tak zbudowane, abyostatni element (efektor) dysponowa kilkoma stopniami swobody.Opis konfiguracji ukadu kinematycznego tylko pozornie jest najprostszym zadaniemkinematyki, na og nastrcza wielu kopotw. Tylko bardzo proste ukady paskie lubmechanizmy manipulatorw o strukturze szeregowej s atwe w opisie, znakomit wik-szo ukadw natomiast nie mona opisa w formie jawnych zalenoci lub ich uzy-1 Wyjtkiem od tej reguy s ukady z wizami biernymi i wtedy przez stopnie swobody naley rozu-mie ruchliwo rzeczywist.47skanie wymaga uciliwych przeksztace zoonych wyrae algebraicznych. Zdrugiejstrony wzgldnie atwe jest sformuowanie ukadw rwna algebraicznych nielinio-wychwyraajcychzwizkimidzyparametramikinematycznymiukadw.Ichroz-wizanie, dajce w wyniku informacj opooeniach poszczeglnych czonw, a tymsamymcaegoukadu,monauzyskazapomocuniwersalnychprogramw,korzy-stajc z procedur opartych na metodach numerycznych. Trudnoci przenosz si na roz-wizywanie ukadw rwna nieliniowych.Techniki opisu konfiguracji ukadu kinematycznego s rne i rne rodki s dotegostosowane. Metody graficzne maj nie tylko znaczenie dydaktyczne. W zwizku z po-wszechnym stosowaniem programw graficznych uzyskiwane dokadnoci metod gra-ficznych nie ustpuj metodom analitycznym czy numerycznym, ajednoczenie rysu-nekdajeczytelneinformacjeistotnewprojektowaniu.Dysponowanienaschemacieukadu wektorem prdkoci czy przyspieszenia lub wektorem siy oddziaywania mi-dzy czonami w parze kinematycznej jest wan informacj dla konstruktora, znacznieczytelniejsza ni dwie liczby: modu siy i kt nachylenia wektora siy.Metodyopartenarysunkumajniestetytwad,esczasochonnewraziepo-trzeby wielokrotnego powtrzenia oblicze w celu porwnania wielu rozwiza, r-nych w sensie geometrycznym. Naley wwczas stosowa metody analityczne i nume-ryczne. Dostpne pakiety oprogramowania matematycznego wraz zrozwijanymi w ostat-nich latach metodami analizy umoliwiaj badanie dowolnych ukadw bez potrzebysigania po drogie, a czsto niedostpne oprogramowanie specjalistyczne. Wprzypadkuprofesjonalnych programw analizy ich poprawne iefektywne wykorzystanie wymagaznajomoci metod, na jakich te programy bazuj.2.2. Wzgldne pooenie dwch czonw2.2.1. Wsprzdne absolutneukady paskieOpis konfiguracji ukadu wieloczonowego mona rozpatrywa jako opis wzgldnegopooenia ukadw wsprzdnych lokalnych zwizanych zposzczeglnymi czonamiczonowi odniesienia (podstawie) przypisuje si tzw. ukad globalny. Takie podejciedo opisu ukadu kinematycznego, jakkolwiek skutkuje wiksz liczb rwna, znako-micie porzdkuje i formalizuje modelowanie ukadw zarwno wzakresie kinematy-ki, jak i dynamiki.Na rysunku2.1 przedstawiono dwa czonyj, k ukadu paskiego, ktrym przypisa-noukadywsprzdnychprostoktnych{j}oraz{k}.Naczoniek-tymobranopunktM,ktregopooeniewukadzie{k}czonukopisujewektor krM.Tensampunkt M wukadzie {j} czonu j jest opisany wektorem jrM. Obydwa wektory opisuj-ce pooenie punku M wraz zwektorem jpk opisujcym pooenie pocztku ukadu {k}wukadzie {j} wie nastpujce rwnanie:kjMkkjMjp r R r +(2.1)2.2. Wzgldne pooenie dwch czonw48 2.Konfiguracja ukadw kinematycznychPierwszy skadnik prawej strony rwnania (2.1) wynika z koniecznoci transformo-wania wektora krM (jego skadowe swyraone w ukadzie {k}) doukadu {j}. W for-mie macierzowej rwnanie (2.1) przybiera posta:]]]

+]]]

]]]

]]]

kjkjMkMkkjkjkjkjMjMjyxyx yxcos sinsin cos(2.2)Wystpujca w rwnaniu (2.1) macierz jRk w postaci:[ ]]]]

kjkjkjkjkyjkxjkj cos sinsin cose e R (2.3)jest tzw. macierz rotacji, a jej elementy, zestawione w kolumny to wektory jednostko-we (wersory) ekx, ekyosi ukadu {k} wyraone w ukadzie {j}:]]]]

]]]]

kjkjkyjkjkjkxjcossinsincose e(2.4)Naley tutaj odnotowa ciekaw wasno macierzy rotacji polegajc na tym, ejejodwrcenie jest tosame transponowaniu:]]]

kjkjkjkjTkjjkkj cos sinsin cos1R R R (2.5)Rys. 2.1. Wsprzdne absolutne ukadu paskiego49Prawdziwo zalenoci (2.5) mona atwo potwierdzi, pamitajc e iloczyn ma-cierzy i jej odwrotnoci daje w wyniku macierz jednostkow:I R R ]]]

]]]

]]]

1 00 1cos sinsin coscos sinsin cos1kjkjkjkjkjkjkjkjkjkj (2.6)Zaleno (2.1) mona w prosty sposb przeksztaci tak, aby z prawej strony rw-nania zamiast sumy wystpi iloczyn, co upraszcza zapis ukadw wieloczonowych.W tym celu rwnanie (2.1) naley uzupeni neutraln rwnoci jedynek, uzyskujcw rezultacie:MkkjMjr A r(2.7)gdzie]]]

1 0 0kjkjkjp RA (2.8)a po rozpisaniu:]]]]]

]]]]]

]]]]]

1 1 0 0cos sinsin cos1MkMkkjkjkjkjkjkjMjMjyxy x yx(2.9)Jak wida z(2.9), wektory opisujce pooenie punktu M w ukadzie wsprzdnychmaj teraz trzy skadowe, w tym jedn neutraln jedynk, macierz rotacjijRk natomiastwraz z wektorem pozycjijpk tworz teraz macierz transformacji jednorodnej (homo-genicznej)jAk o postaci:]]]]]

1 0 0cos sinsin coskjkjkjkjkjkjkjy x A (2.10)ElementymacierzytransformacjijAkswyraonetrzemaparametrami,ktreze-brane w wektor:[ ] [ ]TkjkjkjTkj Tkjkj y x p qs okrelane mianem wsprzdnych absolutnych2 [3], [5].2 Spotykane jest te okrelenie wsprzdne uoglnione kartezjaskie [13], [26].2.2. Wzgldne pooenie dwch czonw50 2.Konfiguracja ukadw kinematycznychPodobniejakwprzypadkuczystejrotacjiistniaamacierzrotacjiodwrotnej(zalenoci(2.5),(2.6)),tak te w przypadku macierzy transformacji jednorodnej ist-niejejejformaodwrotna.Jejpostamonauzyskawykorzystujcdwaoczywistespostrzeenia: po odwrceniu podmacierzjRk macierzyjAk ulegnie prostej transpozycji, poniewa po odwrceniu ukad {j} ma by wyraony w ukadzie {k}, wic wek-tor pozycjijpk musi zmieni znak, a jego skadowe naley teraz wyrazi w uka-dzie {k}.Prowadzi to, po wykorzystaniu (2.4) oraz (2.5), do nastpujcych wyrae:]]]]

1 0 01 kp R RA Aj Tkj Tkjkjjk(2.11)]]]]]

1 0 0kj Tkyjkj TkxjTkjjkp ep eRA(2.12)Korzystajc z omwionej formy zapisu, mona atwo okrela wzgldne pooeniadowolnychczonworazichpunktw,anaichbazietworzyzwizkialgebraiczne,wyraajce wizy wynikajce z czenia czonw za pomoc par kinematycznych orazdefiniowa kinematyczne wymuszenia ruchu.2.2.2.WsprzdneabsolutneukadyprzestrzennePodobnie jak w przypadku ukadw paskich istniej zalenoci okrelajce trans-formowanie wsprzdnych punktw czonw ukadw przestrzennych. Narysunku2.2pokazano dwa czony i przypisane im ukady wsprzdnych prostoktnych {j}i{k}.Analogicznie do ukadw paskich mamy tym razem rwnanie:kjMkkjMjp r R r +(2.13)Macierz rotacjijRk w przypadku ukadu przestrzennego ma wymiar 33, arwnanie(2.13) po rozpisaniu doformy macierzowej ma posta:]]]]]]

+]]]]]]

]]]]]]

kjkjkjMkMkMkkjMjMjMjzyxzyxzyxR(2.14)51KolumnymacierzyrotacjijRktowektoryjednostkowe(wersory)osiukadu{k}wyraone w ukadzie {j}, aposzczeglne elementy tych kolumn to inaczej rzuty we-rsorwosiukadu{k}naosieukadu{j}.Poniewawersoryzdefinicjimajmoduyrwne jednoci, wic elementy kolumn s wprost kosinusami kierunkowymi [20]. Przy-kadowo skadowe wersora osi x ukadu {k} wyraone w{j} wynosz:]]]]]]

)) , ( cos()) , ( cos()) , ( cos(k jk jk jkxjx zx yx xe(2.15)Jest wic[ ]kzjkyjkxjkje e e R(2.16)Macierz rotacji jRk dla ukadw przestrzennych, podobnie jak w ukadach paskich(ukady s take ortogonalne), maprost form odwrcon odwracanie jest tosamez transponowaniem, a zatem]]]]]]

TkzjTkyjTkxjTkjkjjkeeeR R R1(2.17)Rys. 2.2. Wsprzdne absolutne ukadu przestrzennego2.2. Wzgldne pooenie dwch czonw52 2.Konfiguracja ukadw kinematycznychSpord dziewiciu elementw macierzy rotacji jRk tylko trzy s niezalene. Mo-na si o tym przekona na podstawie iloczynu:[ ]]]]]]]

]]]]]]

1 0 00 1 00 0 1zjyj jTkzjTkyjTkxjkjjkk k kxe e eeeeI R R(2.18)Powykonaniumnoeniaiporwnaniuelementwmacierzyobustronrwnania(2.18) uzyskuje si zalenoci:( )( ) 1 kxjTkxje e ( )( ) 0 kyjTkxje e( )( ) 0 kzjTkxje e( )( ) 0 kxjTkyje e ( )( ) 1 kyjTkyje e ( )( ) 0 kzjTkyje e (2.19)( )( ) 0 kxjTkzje e( )( ) 0 kyjTkzje e( )( ) 1 kzjTkzje eW rwnaniach (2.19) wystpuje trzykrotne powtrzenie (porwnaj jednakowo pod-krelone).Dziewielementwmacierzyrotacjijestzatempowizanychszeciomarwnaniami,atooznacza,etylkotrzyznichsniezalene3.Oznaczato,eznajo-mo trzech elementw macierzy transformacji pozwala obliczy pozostae.Podobnie jak w przypadku ukadu paskiego transformacja jednorodna (homogenicz-na) realizuje si wedug zalenoci:MkkjMjr A r(2.20)Po przedstawieniu w formie macierzowej jest to rwnanie]]]]]]]]

]]]]]]]

]]]]]]]]

11 0 0 01MkMkMkkjkjkjkjMjMjMjzyxzyxzyxR(2.21)Macierztransformacjijednorodnej,awicuwzgldniajcejjednoczenierotacjitranslacj, ma posta:]]]]

]]]]

1 0 0 0 1 0 0 0kjkzjkyjkxjkjkjkjp e e e p RA(2.22)3 Potwierdza to powszechnie znan prawd, e orientacj czonu w przestrzeni wyznaczaj trzy kty.53Macierz transformacji odwrotnej uzyskuje si podobnie jak dla ukadu paskiego:]]]]]]]

1 0 0 01kj Tkzjkj Tkyjkj Tkxjjkkjjkp ep ep eRA A(2.23)Wartoci elementw macierzy transformacjijAk s tym razem zalene od wieluparametrw, z ktrych oczywiste s jedynie skadowe wektora pozycjijpk. Niestetynie istniej w tym przypadku niezalene kty, ktre mog posuy do atwego obli-czania elementw podmacierzy odpowiedzialnej za rotacj. Z tego wzgldu macierztransformacjitworzysiwpraktycewsposbporedni,np.przezskadaniekolej-nychtransformacjielementarnychtranslacjiirotacjiwokposzczeglnychosiukadu wsprzdnych.Przedstawiona posta macierzy transformacjijAk jest oglna i atwo z niej monawyprowadzi macierze transformacji elementarnych, a mianowicie: translacj( )]]]]]]]

1 0 0 01 0 00 1 00 0 1: translkjkjkjkjkjzyxp A(2.24) rotacj wok osi x( )]]]]]]]

1 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 1, : rotx xx xx kjx A(2.25) rotacj wok osi y( )]]]]]]]

1 0 0 00 cos 0 sin0 0 1 00 sin 0 cos, : roty yy yy kjy A(2.26)2.2. Wzgldne pooenie dwch czonw54 2.Konfiguracja ukadw kinematycznych rotacj wok osi z( )]]]]]]]

1 0 0 00 1 0 00 0 cos sin0 0 sin cos, : rotz zz zz kjz A (2.27)Naleyzwrcitutajuwag,ektytransformacjielementarnychx,y,zsodmierzane zgodnie ze zwrotami poszczeglnych osi.Skadanie transformacji elementarnych. Jak ju wspomniano, oglna posta ma-cierzy transformacjijAk jest czsto trudna do zdefiniowania. Jednak mona jokrelizapomoc macierzy transformacji elementarnych, wzgldne pooenie bowiem dwchelementw (ukadw wsprzdnych) wynika wprost z kolejnych przemieszcze ele-mentarnychtranslacjiirotacji.Wynikowamacierztransformacjibdziewtedyilo-czynem transformacji elementarnych.PRZYKAD 2.1Skadanie transformacji elementarnych przeledzimy na przykadzie (rys.2.3) opi-su przemieszczania elementu z pooenia k0, kiedy osie zwizanego z nim ukadu {k0}wsprzdnych prostoktnych pokrywaj si z osiami ukadu odniesienia {j} donowegopooenia k, uzyskanego w wyniku translacji i dwch rotacji.Kolejne przemieszczenia elementarne pokazane na rys.2.3 skadaj sinaprzemie-szczenie cakowite, ktre opisuje macierz:( ) ( ) }`

.| }`

.|2, : rot2, : rot : transl transfx y kjkj x y A p(2.28)Macierz (2.28) atwo mona wyprowadzi przez podstawienie kolejnych macierzyelementarnych (zal.(2.24),(2.25),(2.26)), co daje w rezultacie:]]]]]]]]

}`

.|

}`

.|

}`

.| }`

.| ]]]]]]]]

}`

.| }`

.|

}`

.| }`

.| ]]]]]]]]

1 0 0 002cos2sin 002sin2cos 00 0 0 11 0 0 002cos 02sin0 0 1 002sin 02cos1 0 0 01 0 00 1 00 0 1kjkjkjkjzyxA55 2.2. Wzgldne pooenie dwch czonwPodstawienie wartoci funkcji trygonometrycznych i kolejne mnoenia macierzy]]]]]]]

]]]]]]]

]]]]]]]]

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 01 0 00 1 00 0 1kjkjkjkjzyxA]]]]]]]

]]]]]]]]

1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 01 0 00 1 00 0 1kjkjkjkjzyxARys. 2.3. Skadanie transformacji elementarnych56 2.Konfiguracja ukadw kinematycznychdaj w efekcie posta macierzy transformacji]]]]]]]]

1 0 0 00 0 11 0 00 1 0kjkjkjkjzyxA(2.29)Poprawno (2.29) atwo potwierdzi wprost z rys.2.3, pamitajc, e trzy pierw-sze elementy pierwszej kolumny to skadowe wersora osix ukadu {k} (wektora jed-nostkowego na osi xk) wyraone skadowymi w ukadzie {j}. Podobnie w drugiej kolu-mnie mamy skadowe wersora osi y, a w trzeciej kolumnie skadowe wersora osi z ukadu{k} wyraone skadowymi w ukadzie {j}.Zgodnie z wasnociami iloczynu macierzy4 w przypadku skadania transformacjielementarnych naley bezwzgldnie przestrzega kolejnoci poszczeglnych przemie-szcze, ktre s dokonywane w sukcesywnie zmieniajcych si ukadach wsprzd-nych5. W omawianym przykadzie (rys.2.3) mielimy: translacj w ukadzie bazowym {j}, rotacj w ukadzie przesunitym {k1}, rotacj w ukadzie obrconym {k2}.2.2.3. Wsprzdne DenavitaHartenbergaukady przestrzenneDupopularnowopisieukadwprzestrzennychzdobyasobienotacjaDH6,szczeglnie chtnie stosowana do opisu ukadw kinematycznych robotw (manipula-torw), chocia jej pierwotna prezentacja dotyczya ukadw kinematycznych zamkni-tych. Dominujca grupa praktycznie wykorzystywanych ukadw jest zbudowana z czo-nw tworzcych przewanie pary kinematyczne obrotowe R i postpowe T. W wypad-ku wystpowania par o wikszej liczbie stopni swobody mona atwo przeksztaca jedo wzw kinematycznych zawierajcych wycznie pary obrotowe ipostpowe. Dwaprzykady takich przeksztace, dla pary cylindrycznej C i przegubu sferycznego S, za-prezentowano na rys.2.4. Ju z tych dwch przykadw wida, ezastpienie dowol-nejparykinematycznejodpowiednikombinacjparobrotowychipostpowychniezmienia wasnoci kinematycznych ukadu.4 AB BA5Skadanietransformacjiniejestprzemienne,awicuzyskaniepoprawnejtransformacjizoonejwymaga zachowania odpowiedniej kolejnoci transformacji elementarnych oraz dokonywania ich w ko-lejnych porednich ukadach wsprzdnych.6 Po raz pierwszy opublikowana w pracy: Denavit J., Hartenberg R.S.:A Kinematic Notation forLowerPairsMechanismsBasedonMatrices.TransactionsofASME,JournalofAppliedMechanics,Vol.22,1955.57Rys. 2.4. Przeksztacenie par C i S w wzy RT i 3R2.2. Wzgldne pooenie dwch czonwWukadachzawierajcychwycznieparyobrotoweRipostpoweTmonapo-szczeglnymczonomprzypisalokalneukadywsprzdnychkierujcsidwiemazasadami: osie zj poszczeglnych ukadw s zawsze poprowadzone wzdu osi par wyzna-czajcych odpowiednio kierunek przesuwu (dla pary T) lub o obrotu (dla pary R), osie xj poszczeglnych ukadw s zawsze poprowadzone w taki sposb, aby byyprostopade do osi zj+1 ukadu kolejnego.Zgodnie z tymi zasadami na rys.2.5 pokazano dwa ukady wsprzdnych {j} i{k}zzaznaczeniem ich kolejnych przemieszcze. Jak ju pokazano macierz transformacjijAkmidzyukadami{j},{k}moebyuzyskanaprzezzoeniekolejnychtransfor-macji elementarnych, tak aby przemieci ukad {k0} tosamy z {j} dopooenia osta-tecznego {k} wedug nastpujcej sekwencji:) : ( rot ) : ( transl ) : ( rot ) : ( transl ) ( transfk k k k j j j j kj z d z x a x A (2.30)Jak nietrudno zauway cakowita transformacja bdzie zalena od tylko czterechparametrwzaangaowanychwkolejnetransformacjeelementarne,ktrewystpiywzalenoci(2.30). S nimi (rys.2.5): odlego aj midzy osiami zj oraz zk, kt j zwichrowania osi zj oraz zk, odlego dk pocztku ukadu {k} od osi xj mierzona wzdu osi zk, kt k orientacji osi xk wzgldem xj obrconej wzgldem osi zk.58 2.Konfiguracja ukadw kinematycznychPopodstawieniuposzczeglnychmacierzytransformacjielementarnych,zgodniezzalenociami (2.24), (2.25), (2.27) mamy:]]]]]]]

]]]]]]]

]]]]]]]

]]]]]]]

1 0 0 00 1 0 00 0 cos sin0 0 sin cos1 0 0 01 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1k kk kkj jj jjkj da ARys. 2.5. Ukady wsprzdnych usytuowane zgodnie z notacj DH59 2.2. Wzgldne pooenie dwch czonwa po wykonaniu mnoenia macierzjAk dla notacji DH uzyska nastpujc posta:]]]]]]]

1 0 0 0cos cos cos sin sin sinsin sin cos cos sin cos0 sin cosj k j k j k jj k j k j k jj k kkjd d a A(2.31)Zwrmy uwag, e struktura macierzy DH (2.31) jest taka sama jak dla wsprzd-nychabsolutnych.Ostatniajejkolumnazawieraskadowewektorapozycji jpk ukadu {k} w {j}, a pozostae elementy to wyraone porednio odpowiednie kosi-nusy kierunkowe. Kolumna pierwsza, a cilej jej trzy pierwsze elementy, toskadowewersora osi xk ukadu {k} wyraone w ukadzie {j}, podobnie kolumna druga i trzeciatokolejno skadowe wersorw osi yk i zk w ukadzie {j}.Macierz odwrotna powstaje zgodnie z zasadami, o ktrych bya mowa wprzypadkumacierzy transformacji (2.23). Wymagane jest wykonanie dwch zabiegw, a miano-wicie: odwrcenie podmacierzyjRk macierzyjAk odpowiedzialnej za rotacj wymagaprostego transponowania, poniewa ukad {j} ma by wyraony w ukadzie {k}, wic wektor pozycjijpkmusizmienizwrot,ajegoskadowenaleyterazwyraziwukadzie{k},cowymaga jego transformowania, a wic wykonania mnoeniakRjjpk.Prowadzi to do nastpujcej zalenoci:

]]]]]]]

1 0 0 0cos sin 0sin cos sin cos cos sincos sin sin sin cos cos1k j jk j k j k j kk j k j k j kkjjkd a a A A(2.32)Cztery parametry, z ktrych mona obliczy poszczeglne elementy macierzy DHdogodnie jest zebra w wektor:[ ]Tk k j j kjd a A (2.33)co porzdkuje i uatwia opis ukadw wieloczonowych.Dysponujc macierz transformacji zgodn z zaoeniami DH, przeanalizujemy te-raz znaczenie geometryczne i kinematyczne poszczeglnych parametrwskadowychwektora (2.33). W tym celu czonom j, k fragmentu ukadu kinematycznego przypisu-jemy ukady lokalne {j}, {k}. Na rysunku2.6 pokazano przypadek, kiedy czonyj,k60 2.Konfiguracja ukadw kinematycznychRys. 2.6. Ukady wsprzdnych dla notacji DH para obrotowaRys. 2.7. Ukady wsprzdnych dla notacji DH para postpowatworz par obrotow, na rys.2.7 par postpow. Zgodnie z regu osie zj i zk s po-prowadzone wzdu osi par kinematycznych, natomiast o xj jest prostopada do osi zk.Jak nietrudno zauway w obu przypadkach (rys.2.6,2.7) czon j wsensie geometrycz-nym moe by rozpatrywany jako dwie proste zwichrowane, ktrych odlego (mie-rzona wzdu prostopadej do tych prostych) ma warto sta ijest pierwszym elemen-tem aj wektora (2.33). Kt zwichrowania j tych osi jest kolejnym parametrem w(2.33)i take ma warto sta. Dwa pozostae parametry naley rozpatrywa oddzielnie dlapary obrotowej ipostpowej.W przypadku pary obrotowej (rys.2.6) kt k jest zmienny i wyraa przemieszcze-niektowewtejparze.Dokadniejktkopisujeobrtukadu{k},zwizanego61zczonem k, precyzyjnie osi xk wzgldem osi xj wok osi zk, a pomiar kta k nast-puje zgodnie z regu ruby prawoskrtnej. Brak przemieszczenia czonu k wzdu osizk wskazuje jednoznacznie, e czwarty parametr zalenoci(2.33) mawprzypadku paryobrotowej warto sta (dk=const).Wprzypadkuparypostpowej(rys.2.7)ktkmawartosta,poniewakon-strukcja tej pary nie umoliwia ruchu obrotowego wzgldem osizk. Natomiast moli-we jest tutaj przemieszczenie liniowe czonu k wzgldem j wzdu osi zk. Odlego dkmierzona wzdu osi zk midzy osiami xj i xk wyraa przemieszczenie liniowe wparzepostpowej. Rwnie tutaj istotny jest znak tego przemieszczenia, dodatni znak dk ozna-cza, e od osi xj do osi xk przemieszczamy si zgodnie ze zwrotem osi zk.2.3. Wyznaczanie konfiguracji ukadw paskich2.3.1. Rozwizanie graficzno-analityczne2.3.1.1. Metoda bezporedniaBezporednia metoda geometryczna opisu konfiguracji ukadu kinematycznego sta-nowiwistociezapisanalitycznykolejnychetapwmetodywykrelnej,ktrapolegana znajdowaniu pooe charakterystycznych punktw czonw. Pooe tych punktwposzukuje si na ich trajektoriach wynikajcych z wizw (dugoci, ktw) narzuca-nych przez poszczeglne czony i pary kinematyczne. Naley podkreli, eobecnie,gdykonstruktordysponujekomputerowymisystemamigraficznymi,uzyskiwanedo-kadnoci metod graficznych nie ustpuj metodom analitycznym.Mona z pen odpowiedzialnoci stwierdzi, e wiele zalet rozwizania graficz-nego czsto skania do ich wykorzystywania w praktyce. Przede wszystkim otrzymanyschemat jest najlepszym nonikiem informacji o wasnociach ukadu kinematycznegozwizanych z jego konfiguracj. Zasadnicz niedogodnoci metod graficznych jest brakmoliwoci szybkiego uzyskiwania wynikw przy jakichkolwiek zmianach wymiarw.Metoda tamoe by zatem polecana do analiz jednostkowych oraz, co zostanie uwy-puklone w dalszej czci, jako pierwsze rozwizanie przydatne w metodach numerycz-nych. Dalej przedstawiono przykady analizy pooe, ktre wskazuj na metod po-stpowania.PRZYKAD 2.2Jako pierwszy rozpatrzmy prosty ukad jarzmowy (rys.2.8), w ktrym czon nap-dzajcy1 obraca si wok punktuA, w wyniku czego sworzeB wchodzi okresowowruchowe poczenie zczonem napdzanym 2, przemieszczajc si w odpowiedniouksztatowanej szczelinie. Jak wida z rysunku2.8 przejcie punktu B po trajektorii B2.3. Wyznaczanie konfiguracji ukadw paskich62 2.Konfiguracja ukadw kinematycznychzpooeniaBdoB1wywoaprzemie-szczenieczonu2oskoks2.Zwrmyuwag,epowyjciusworzniaBzeszczeliny czonu 2, ten ostatni bdzie po-zostawa w spoczynku. Ukady tego typunosz miano mechanizmw przystanko-wych transformuj cigy ruch czonuczynnego naruch przystankowy czonubiernego. Sformuowanie zalenoci ana-litycznejwicejktobrotuczonu1zprzesuwem czonu 2 nie nastrcza ko-potw.Rys. 2.8. Mechanizm przystankowy rysowaniepooeniaPRZYKAD 2.3Narysunku2.9przedstawionoczworobokprzegubowywdwchpooeniachzzaznaczeniem konstrukcji graficznej znajdowania tych konfiguracji. Niezbdne czyn-noci graficzne wynikaj wprost z cech tego ukadu. Jest oczywiste, e trajektoriBpunktu B jest okrg, natomiast punktu C uk C okrgu, co w poczeniu ze sta du-goci czonu BC umoliwia zakrelenie z punktu B1 uku promieniem R=BC, ustala-jc pooenie punktu C1. Dowolna zmiana wartoci kta 1 jednoznacznie ustala poo-enie punktu B, a to skutkuje zmian konfiguracji czworoboku.Sposb postpowania w metodzie geometrycznej omwiony na przykadzie czwo-roboku przegubowego (rys.2.9) moe stanowi podstaw do wyznaczenia zalenociumoliwiajcych cise okrelanie zmiennych konfiguracyjnych, a zadanie sformuo-wane jest nastpujco:Znale konfiguracj ukadu (rys. 2.10) dla zadanego pooenia czonu napdza-jcegoAB(kt1),cowistocieoznacza,poprzyjciuukaduodniesieniax0y0Rys. 2.9. Czworobok przegubowy rysowanie pooenia63 2.3. Wyznaczanie konfiguracji ukadw paskichzwizanego zpodstaw AD, konieczno zdefiniowania zalenoci wyraajcychorientacjczonw2i3(kty2 i3)orazpooeniepunktuM(wsprzdnexM i yM).Znane s wymiary czonw (rys.2.10), a zadanie polega na wyprowadzeniu zale-noci:) , , , , , , ( ), , , , , , , () , , , , ( ), , , , , (1 11 3 3 1 2 2 e d c b a y y e d c b a x x d c b a d c b a M M M M Rys. 2.10. Czworobok przegubowy oznaczenia wymiarw i zmiennychPo przyjciu ukadu odniesienia x0y0 (o odcitych przyjto wzdu wymiaru d pod-stawy AD) wyznacza si wsprzdne punktu B:1cos a xB(2.34)1sin a yB(2.35)Gdy s ju umiejscowione punkty B i D, pooenie punktu C okrela si graficznie