Andrzej Szal asflash.wwsi.edu.pl/wwsivideo/2007/pdf/15.05Szalas.pdf · poje´c takich, jak֒...

Wprowadzenie do logiki

Andrzej Sza las

1

Wprowadzenie do logiki &sz

Modelowanie

Dobry model to mniej lub bardziej uproszczony opisrzeczywistosci, prowadzacy do wnioskow dobrze te

rzeczywistosc oddajacych (przyblizajacych).Dazy sie do doboru mozliwie najprostszych formalnych

srodkow dla opisu modelu na danym poziomie uproszczenia.

c©A. Sza las - 2/44 -


Przyk lad

Model samochodu:

• z punktu widzenia kierowania samochodem:kierownica, peda ly, drazek biegow, starter, przyciski w laczaniaswiate l, wycieraczek, migaczy itp.

• z punktu widzenia projektowania: np. model przep lywowaerodynamicznych, modele wytrzyma losci materia low i czesci

• z punktu widzenia prowadzenia pojazdu na drodze: modelesytuacji drogowych.

c©A. Sza las - 3/44 -


Srodowiska systemow inteligentnych

K1 K2 Kn. . .

percepcja, jezyk, logika

ZyWiStos

RZECZYWISTOSCRZECZYWISTOSC

RZECZYWISTOSCRZECZYWISTOSC

CzY wiStOAÆ⁀ooRzEc

zyWiΣ

c©A. Sza las - 4/44 -


Wnioskowanie ilosciowe

• metody algorytmiczne

• metody analityczne/numeryczne

• metody probabilistyczne

• logika rozmyta

c©A. Sza las - 5/44 -


Wnioskowanie symboliczne

• logika klasyczna/programowanie w logice

• logiki troj- i wielowartosciowe

• logiki modalne

• wnioskowanie aproksymacyjne

• wnioskowanie niemonotoniczne

c©A. Sza las - 6/44 -


Od sensorow do wnioskowania symbolicznego

. . .

� � � ] ]

. . .

Wnioskowanie ilosciowe

. . .

6 6

6

Symboliczne

bazy danych6

Sensory, kamery,...

Zaszumione,

niepe lne,

sprzeczne dane

Wnioskowanie symboliczne/jakosciowe

6 666 6 6. . .

6 6

Niepe lne,

sprzeczne

dane

Ilosciowebazy danych

c©A. Sza las - 7/44 -


Czym sa logiki?

Logika (w przyblizeniu) to widzenie swiata przez pryzmatstopnia prawdziwosci w lasnosci (formu l) wyrazonych

w danym jezyku o dobrze zdefiniowanej sk ladnii precyzyjnej semantyce (znaczeniu).

Logika ≈ jezyk + semantyka/modele (semantycznie)

≈ jezyk + metoda wnioskowania (syntaktycznie)

c©A. Sza las - 8/44 -


Modelowanie w logikach

• ustalamy jezyk formalny (s lownik, sk ladnia)

• ustalamy mechanizmy poprawnego wnioskowania

• opisujemy rzeczywistosc w wybranym jezyku –uzyskujemy model

• testujemy model – wnioskujemy o w lasnosciach opisanejrzeczywistosci

• badamy rzeczywistosc wy lacznie przez pryzmat stopniaprawdziwosci wyrazonych w lasnosci

c©A. Sza las - 9/44 -


Ustalenie jezyka

Jezyk dostosowuje do sie danej dziedziny zastosowan. Na przyk lad

1. mowiac o polityce uzywamy pojec takich, jak:

”partia polityczna”,

”premier”,

”parlament”,

”program”, itd.

2. mowiac o zjawiskach wystepujacych w informatyce uzywamypojec takich, jak

”system informatyczny”,

”baza danych”,

”program”, itd.

Uzywamy roznych s lownikow pojec, choc niektore pojecia mogasie nak ladac, czasem majac inne znaczenie.

c©A. Sza las - 10/44 -


Jezyk logiki

Jezyk logiki definiuje sie zaczynajac od pojecpodstawowych, spojnikow i operatorow logicznych oraz

formu l.Spojniki i operatory logiczne maja ustalone znaczenie.

S lowniki odzwierciedlajace konkretne dziedziny zastosowanzmieniaja sie.

c©A. Sza las - 11/44 -


Elementy jezyka logiki

• sta le indywiduowe (sta le), reprezentujace pewne obiekty

– przyk lady: 0, 1, Jan

• zmienne indywiduowe, reprezentujace obiekty– przyk lady: x, y,m, n

• symbole funkcyjne, reprezentujace funkcje,– przyk lady: +, ∗, ojciec()

c©A. Sza las - 12/44 -


Elementy jezyka logiki – cd.

• sta le logiczne: Prawda, Fa lsz, czasem rowniez inne,– przyk lady: Nieznana, Sprzecznosc

• zmienne logiczne (zdaniowe), reprezentujace wartoscilogiczne– przyk lady: p, q

• symbole relacyjne, reprezentujace relacje,– przyk lady: =,≤,�

c©A. Sza las - 13/44 -


Elementy jezyka logiki – cd.

• spojniki zdaniowe i operatory, pozwalajace tworzycbardziej skomplikowane formu ly na podstawie formu lprostszych,– przyk lady spojnikow:

”i”,

”lub”,

”implikuje”,

– przyk lady operatorow:”dla kazdego”,

”istnieje”,

”jest konieczne”,

”zawsze”

• symbole pomocnicze, uczytelniajace notacje– przyk lady:

”(”,

”)”,

”[”,

”]”.

c©A. Sza las - 14/44 -


Dlaczego”symbole funkcyjne/relacyjne”

zamiast”funkcji/relacji”?

W jezyku naturalnym nazwy nie sa nazywanymi nimiobiektami!

W logice symbole odpowiadaja nazwom.Symbol relacyjny/funkcyjny nie jest funkcja/relacja,

ale nazwa funkcji/relacji.Porownujac z jezykiem naturalnym – w logice

symbol oznacza jednoznacznie okreslony obiekt.

c©A. Sza las - 15/44 -


Przyk lady

1. Nazwa”Jan” nie jest osoba o imieniu

”Jan”.

2. Dany obiekt moze miec wiele nazw,– np.

”Jan” oraz

”ojciec Jacka” moga oznaczac te sama osobe.

3. Obiekt moze nie miec nazwy – np. nie dajemy odrebnejnazwy kazdemu atomowi we wszechswiecie.

4. Wiele roznych obiektow moze miec te sama nazwe,– np.

”Jan” oznacza wiele osob.

5. Pewne nazwy nie oznaczaja zadnych istniejacych obiektow,– np.

”Pegaz”.

c©A. Sza las - 16/44 -


Klasyczny rachunek zdan

Bada prawdziwosc zdan z lozonych na podstawie prawdziwosci/fa lszywosci zdan sk ladowych.

Wartosci logiczne: Prawda, Fa lszZdania: zmienne zdaniowe p, q, r, . . ., zdania z lozone

budowane za pomoca spojnikow ¬ (nie), ∧ (i),∨ (lub), → (implikuje = jezeli ... to ...), itp.

c©A. Sza las - 17/44 -


Przyk lady

peda l srodkowy wcisniety → hamowanie

silnik w laczony

∧ bieg w laczony

∧ prawy peda l wcisniety

→ jazda

(¬bieg w laczony

)→

(pojazd stoi ∨ predkosc maleje

)

. . .

c©A. Sza las - 18/44 -


Logiki trojwartosciowe

Za lozmy, ze prowadzony przez robota samochod zbliza sie doskrzyzowania z droga rownorzedna. Powinien zadac swojej baziedanych wiedzy pytanie

”czy nadjezdza pojazd z prawej”. Jesli

otrzyma odpowiedz Prawda, powinien sie zatrzymac, gdyFa lsz - jechac dalej.

Moze sie okazac, ze w danym momencie odpowiedz na topytanie nie jest znana (np. droga z prawej nie jest jeszczedostatecznie dobrze widoczna). Jaka powinna byc wtedyodpowiedz? Tak Prawda, jak i Fa lsz sa odpowiedziamib lednymi, mogacymi prowadzic do sytuacji niebezpiecznej.

c©A. Sza las - 19/44 -


Logiki trojwartosciowe - cd.

Logiki trojwartosciowe zosta ly wprowadzone przez J. Lukasiewiczaw 1920 roku.

Wartosci logiczne: Prawda, Fa lsz, NeutralnaZdania: zmienne zdaniowe p, q, r, . . ., zdania z lozone

budowane za pomoca spojnikow ¬ (nie), ∧ (i),∨ (lub), → (implikuje = jezeli ... to ...), itp.(tak jak poprzednio)

c©A. Sza las - 20/44 -


Inne interpretacje trzeciej wartosci logicznej

•Niezdefiniowana (Nieznana: Kleene, 1952)

•Nonsens: Bocvar, 1939

•Bez znaczenia: Hallden, 1949

• i wiele innych

c©A. Sza las - 21/44 -


Przyk lady (dla logiki Kleeneego)

Rozwazmy formu le:

wolna prawa → jedz

Jesli wartosc logiczna zdania wolna prawa jest Nieznana, tonie mozna wywnioskowac ze wartoscia jedz jest Prawda(w wiekszosci semantyk praktycznego wnioskowania przyjmujesie zasade minimalizacji wartosci konkluzji i wtedy wartoscialogiczna zdania jedz jest Nieznana).

c©A. Sza las - 22/44 -


Rozwazmy formu le:

silnik w laczony

∧ bieg w laczony

∧ prawy peda l wcisniety

→ jazda

Jesli wartosc logiczna zadan:

silnik w laczony, jazda

jest Nieznana, zas wartosc zdan

bieg w laczony, prawy peda l wcisniety

jest Prawda, to wartosc powyzszej implikacji jest Nieznana.

c©A. Sza las - 23/44 -


Logiki czterowartosciowe

Za lozmy, ze mamy do czynienia z wieloma zrod lamiinformacji. Wowczas fakt A moze miec wartosc logiczna:

•Prawda, np. gdy pewne zrod la twierdza A i zadne munie przeczy

•Fa lsz, np. gdy pewne zrod la twierdza, ze A nie zachodzii zadne temu nie przeczy

•Nieznana, np. gdy zadne zrod lo nie ma wiedzy o A

• Sprzecznosc, np. gdy pewne zrod la twierdza A orazpewne przecza A.

c©A. Sza las - 24/44 -


Przyk lad

Dojezdzajac do skrzyzowania widzimy czerwone swiat loi policjanta sygnalizujacego, ze mamy przejechac, mamy doczynienia z dwoma sprzecznymi zrod lami informacji:

swiat la sygnalizuja”nie jedz’”, zas policjant

”jedz”.

Sprzecznosc czesto potrafimy wyeliminowac, np. poprzez

”g losowanie” lub preferowanie pewnych zrode l wiedzy.

Daje to mozliwosc sensownego wnioskowania ze sprzecznejinformacji.

c©A. Sza las - 25/44 -


Jak ma sie do tej sytuacji logika klasyczna?

W logice klasycznej sprzecznosc jest modelowana wartoscia Fa lsz,bowiem

p∧¬p ≡ Fa lsz.

Jednakze Fa lsz implikuje kazda formu le, tak wiec teoriesprzeczne sa trywialne (ich konsekwencjami sa wszystkie formu ly),mamy bowiem

tautologie: Fa lsz → q (dla dowolnej formu ly q)

oraz regu le: na podstawie p oraz p → q wnioskuj q.

Skoro mamy sprzecznosc jedz∧¬jedz (czyli Fa lsz) oraz wiemy,ze np. Fa lsz︸︷︷︸

p

→ jestem UFO︸︷︷︸

q

, zatem wnioskujemy jestem UFO︸︷︷︸

q

.

c©A. Sza las - 26/44 -


Logiki wielowartosciowe

Wspo lczesne logiki wielowartosciowe zosta ly zainicjowane takzepracami Lukasiewicza w 1920r. Po nim:

1. Logiki Posta (1921)

2. Logiki Godla (1932)

3. Logiki Kleenego (1938)

4. Logika rozmyta Zadeha (1965) (tak naprawde pewnanieskonczenie wartosciowa logika Lukasiewicza i Tarskiego)

5. Logika Belnapa (1977) — czterowarosciowa (modelujaca wielosczrode l informacji).

c©A. Sza las - 27/44 -


Co to jest wnioskowanie?

Poprawne wnioskowanie, to wnioskowanie oparteo poprawne regu ly. Poprawna regu la to taka, w ktorej

kazdy kto akceptuje jej przes lanki powinienakceptowac tez jej wnioski.

c©A. Sza las - 28/44 -


Aby przekonac sie czy dany argument jest poprawny,sprawdzamy jaki jest zwiazek miedzy przes lankami

i wnioskiem. Nie oceniamy, czy sa powody do akceptowaniaprzes lanek ale czy akceptacja przes lanek, bez wzgledu na

powody, powinna prowadzic do akceptacji wnioskow.

c©A. Sza las - 29/44 -


Przyk lady

1. Poprawne regu ly:

• jesli x jest ojcem y oraz y jest rodzicem z,to x jest dziadkiem z

• jesli p i q jest prawda, to p jest prawda.

2. Niepoprawne regu ly:

• jesli p implikuje q to q implikuje p

• jesli p lub q jest prawda, to p jest prawda.

3. czy nastepujace regu ly sa poprawne:

• jesli p implikuje q to nie q implikuje nie p

• jesli p jest prawda, to p lub q jest prawda?c©A. Sza las - 30/44 -


Jak definiujemy logiki?

W logice kazda formu la musi miec okreslone znaczenie

(nazywane tez interpretacja). Znaczenie to definiuje sie:

• syntaktycznie, poprzez pojecie systemu wnioskowaniai dowodu

• semantycznie, poprzez pojecia modelu, spe lnialnoscii prawdziwosci

c©A. Sza las - 31/44 -


Podejscie semantyczne

W podejsciu semantycznym przypisujemy znaczenie(”rzeczywiste obiekty”) do symboli:

• elementy z dziedziny do sta lych

• zakres elementow z dziedziny do zmiennych

• funkcje do symboli funkcyjnych

• relacje do symboli relacyjnych.

Znaczenie spojnikow, operatorow i symboli pomocniczychjest ustalone przez dana logike.

c©A. Sza las - 32/44 -


Przyk lad

Rozwazmy zdanie”Jan jest podobny do ojca Jacka”.

W postaci logicznej powyzsze zdania zapisalibysmy z grubszajako: pod(Jan, ojc(Jacek)), gdzie pod i ojc sa odpowiednimiskrotami dla jest podobny do oraz ojciec.

Aby stwierdzic prawdziwosc/fa lszywosc tego zdania musimy znacznaczenie:

• sta lych Jan, Jacek

• funkcji oznaczonej symbolem ojc

• relacji oznaczonej symbolem pod.

c©A. Sza las - 33/44 -


Podejscie syntaktyczne

W podejsciu syntaktycznym przypisujemy znaczeniesymbolom jezyka poprzez podanie

aksjomatow i regu l wnioskowania (regu l).

• Aksjomaty to fakty”w sposob oczywisty prawdziwe”

w danej rzeczywistosci.

• Regu ly pozwalaja na wnioskowanie nowych faktowna podstawie faktow juz znanych.

Aksjomaty wraz z regu lami nazywamysystemami wnioskowania.

c©A. Sza las - 34/44 -


Przyk lad

Rozwazmy regu le (nazywana modus ponens):

jesli prawdziwe jest p

oraz z prawdziwosci p wynika prawdziwosc q

(tzn. p implikuje q)to wnioskuj, ze prawdziwe jest q.

c©A. Sza las - 35/44 -


Za lozmy, ze mamy aksjomaty:

Czytam dobra ksiazke.Jesli czytam dobra ksiazke, ucze sie czegos nowego.

Przyjmujac

p jako”czytam dobra ksiazke”,

q jako”ucze sie czegos nowego”,

mamy”p” i

”p implikuje q”, stosujac modus ponens uzyskujemy

”q”, tzn.

”ucze sie czegos nowego”.

c©A. Sza las - 36/44 -


Dyskusja

W semantycznym wnioskowaniu tez stosujemy regu ly,moze w sposob bardziej ukryty. Jaka jest wiec roznica?

W podejsciu syntaktycznym nie interesuje nas znaczenieformu l. Transformujemy formu ly czysto syntaktycznie na

podstawie ich kszta ltu. Znaczenie jest dane przezprawdziwosc/fa lszywosc formu l.

c©A. Sza las - 37/44 -


Przyk lad

Rozwazmy regu le:

jesli osoba x jest rodzicem osoby y

to x ma wiecej lat niz y.

Za lozmy, ze mamy aksjomaty:

Jan jest osoba.Ewa jest osoba.Jan jest rodzicem Ewy.

Stosujac rozwazana regu le uzyskujemy:

Jan ma wiecej lat niz Ewa.

c©A. Sza las - 38/44 -


Co to jest logika? – konkluzja

Przez logike rozumiemy trojke 〈T ,L, I〉, gdzie

• T jest zbiorem wartosci logicznych,np. T = {Prawda, Fa lsz}

• L jest zbiorem formu l

• I jest”wyrocznia” przypisujaca znaczenie formu lom,

I : L −→ T , tzn. dla kazdej formu ly A ∈ L, wartoscI(A) jest wartoscia logiczna.

c©A. Sza las - 39/44 -


Przyk lad

Ustalmy arytmetyke liczb rzeczywistych i zdefiniujmy”wyrocznie”,

m.in. mowiaca, ze formu ly postacidla kazdej liczby rzeczywistej x jest prawdziwa formu la A(x)

maja wartosc Prawda wttw

dla kazdej liczby rzeczywistej zastepujacej x w A(x),jest prawdziwa formu la A(x).

Ta definicja jest wysoce niekonstruktywna!

c©A. Sza las - 40/44 -


W praktyce uzywa sie innych technik.

Na przyk lad, aby wykazac, ze dla kazdej liczny rzeczywistej x

mamy x < x + 1, nie sprawdzamy tej w lasnosci dla wszystkichliczb rzeczywistych, w tym np:

2.5 < 2.5 + 1√5 <

√5 + 1

1238 < 1238 + 1 . . .

Raczej obserwujemy, ze

1. 0 < 1

2. dodawanie x do obu stron nierownosci zachowuje te nierownosc

i uzyskujemy, ze x + 0 < x + 1, tzn. x < x + 1.c©A. Sza las - 41/44 -


Meta-w lasnosci

Meta-w lasnosc jest w lasnoscia logiki, a nie rzeczywistoscimodelowanej przez te logike.

Istnieja dwie istotne meta-w lasnosci wiazace podejsciesemantyczne i syntaktyczne, a mianowicie

poprawnosc i pe lnosc systemu wnioskowaniawzgledem danej semantyki.

c©A. Sza las - 42/44 -


Poprawnosc i pe lnosc

Za lozmy, ze logika jest zdefiniowana przez semantyke S orazprzez system wnioskowania P . Wowczas mowimy, ze:

• system wnioskowania P jest poprawny wzgledem semantykiS wttw kazda formu la ktora mozna wykazac w P ma wartoscPrawda w semantyce S,

• system wnioskowania P jest pe lny wzgledem semantyki Swttw kazda formu la majaca wartosc Prawda w semantyceS moze byc wykazana w systemie P .

c©A. Sza las - 43/44 -


Podsumowanie

W czasie wyk ladu odpowiadalismy na pytania:

• co to jest modelowanie i modelowanie logiczne?

• co to jest wnioskowanie ilosciowe i symboliczne?

• czym sa logiki? czym jest jezyk logiki?

• ile jest wartosci logicznych?

• co to jest podejscie semantyczne i syntaktyczne?

• czym jest poprawnosc i pe lnosc?

c©A. Sza las - 44/44 -

Andrzej Szal asflash.wwsi.edu.pl/wwsivideo/2007/pdf/15.05Szalas.pdf · poje´c takich, jak֒...

Documents

Transcript of Andrzej Szal asflash.wwsi.edu.pl/wwsivideo/2007/pdf/15.05Szalas.pdf · poje´c takich, jak֒...