Analiza matematyczna I

Michał Trynieckipopr. i uzup. Łukasz Pawelec

20 lutego 2007

Założenia wstępneZakłada się znajomość materiału szkoły średniej oraz pierwszego roku przedmiotów "Mate-matyka" i ”Logika” wykładanych na SGH. W szczególności:

• Rachunek zbiorów i kwantyfikatorów

• Wiadomości z zakresu analizy matematycznej : ciąg, szeregi - badanie zbieżności, funk-cje jednej zmiennej rzeczywistej - rachunek różniczkowy i całkowy; funkcje wielu zmien-nych - granica, ekstrema

• Wiadomości z zakresu algebry liniowej - przestrzeń liniowa, baza, odwzorowanie liniowe.

Wykład 1 Zanim przystąpimy do właściwej części wykładu wypada przytoczyć trzy nierów-ności, które znać się po pierwsze powinno a po drugie, ułatwiają one często wiele rozumowań.Nie przedstawiam tu ich dowodów, gdyż nie stanowią one głównych tematów naszych rozwa-żań.

Twierdzenie 0.1 (Nierówność Jensena) Niech f - funkcja wypukła, pi > 0, xi ∈ domf ,p1 + . . . pn = 1. Wtedy zachodzi:

f(p1x1 + . . .+ pnxn) 6 p1f(x1) + . . .+ pnf(xn)

przy czym dla f ściśle wypukłej równośc zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x1 = x2 = . . . = xn.

Twierdzenie 0.2 (Nierównośc Höldera) Niech p, q > 0, 1p+ 1q= 1. Wtedy zachodzi:

n∑i=1

xiyi 6

(n∑i=1

|xi|p)1/p ( n∑

i=1

|yi|q)1/q

Twierdzenie 0.3 (Nierównośc Minkowskiego) Niech p > 1. Wtedy

(n∑i=1

|xi + yi|p)1/p

6

(n∑i=1

|xi|p)1/p+(n∑i=1

|yi|p)1/p

1

1 Przestrzenie metryczneDefinicja 1.1 (metryka) Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcja

d : X ×X → R+

spełniająca warunki:

1o d(x, y) = d(y, x) (symetria)

2o d(x, y) + d(y, z) > d(x, z) (nierówność trójkąta)

3o d(x, y) = 0⇔ x = y

nazywa się metryką. Gdy spełnione są jedynie warunki 1o i 2o, wtedy d nazywa się półmetryką.Parę (X, d) nazywamy przestrzenią metryczną.

Przykłady:

• metryka euklidesowa(Rn, d), gdzie d(x, y) = (∑ni=1(xi − yi)2)

1/2

Nierównośc trójkąta wynika bezpośrednio z nierówności Minkowskiego.

• metryka miasto (Rn, d), gdzie d(x, y) =∑ni=1 |xi − yi|

Nierównośc trójkąta w zasadzie oczywista

• metryka dyskretna (X, d), gdzie

d(x, y) ={0 dla x = y1 dla x 6= y

• metryka supremum (zbieżności jednostajnej).Zanim zaprezentujemy tę metrykę potrzebne będą nam trzy definicje.

Definicja 1.2 (średnica zbioru) Średnicą zbioru A ⊂ X gdzie (X, d) - przestrzeńmetryczna definiujemy jako:

diam A = supx,y∈Xd(x, y)

W przypadku gdy supremum to nie jest skończone mówimy, że zbiór ma średnicę nie-skończoną.

Definicja 1.3 (zbiór ograniczony) Zbiór A ⊂ X nazywamy ograniczonym,jeśli diam A <∞.

Definicja 1.4 Przekształcenie f : X → Y , gdzie Y - przestrzeń metryczna nazywamyograniczonym jeśli zbiór f(X) (czyli obraz przekształcenia f) jest ograniczony. Zbiórprzekształceń ograniczonych z przestrzeni X do przestrzeni metrycznej (Y, dY ) oznacza-my B(X,Y ).

2

Niech f, g ∈ B(X, Y ). Określamy:

d(f, g) = supx∈XdY (f(x), g(x))

Wtedy (B(X,R), d) jest przestrzenią metryczną. W szczególności, gdy za Y przyjmiemyR z metryką euklidesową otrzymamy B(X,R) - zbiór funkcji o wartościach rzeczywi-stych ograniczonych określonych na przestrzeni X. Metryka przyjmuje wówczas postać:

d(f, g) = supx∈X|f(x)− g(x)| dla f, g ∈ B(X,R).

• iloczyn kartezjański przestrzeni metrycznych. Jeśli (Xi, di), dla i = 1, . . . n są przestrze-niami metrycznymi, to (X, d) gdzie

X =n∏i=1

Xi, d =(n∑i=1

d2i (xi, yi))1/2

jest również przestrzenią metryczną. Nierównośc trójkąta wynika z nierówności Min-kowskiego.

Zbiory w przestrzeni metrycznej

Definicja 1.5 (kula) Kulą (otwartą) o środku w punkcie o i promieniu r (ozn. K(o, r),B(o, r)) definiujemy:

B(o, r) = {x ∈ X : d(o, x) < r}.

Definicja 1.6 (wnętrze zbioru) Niech A ⊂ X. Punkt a ∈ A nazywamy punktem we-wnętrznym zbioru A jeśli istnieje kula o środku w tym punkcie zawarta w zbiorze A. Zbiórwszystkich punktów wewnętrznych zbioru A nazywamy wnętrzem zbioru A i oznaczamy int A.

Mamy oczywiście int A ⊂ A dla każdego zbioru A.

Definicja 1.7 (zbiór otwarty) Zbiór U ⊂ X nazywamy otwartym jeśli int U = U . Uwaga:zbiór pusty traktujemy jako otwarty.

Stwierdzenie 1.1 Kula otwarta jest zbiorem otwartym w sensie powyższej definicji.

Uwaga; proszę się zastanowić, że to faktycznie wymaga dowodu. Dowód pozostawiam jakoćwiczenie.

Twierdzenie 1.1 Dla dowolnego zbioru A zbiór int A jest zbiorem otwartym.

Twierdzenie 1.2 Suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Prze-cięcie skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

3

Dowód:Niech U =

⋃i∈I Ui, gdzie każdy ze zbiorów Ui jest otwarty. Ustalmy punkt x należący do

zbioru U . Z definicji U mamy, że dla pewnego i punkt x ∈ Ui. Ponieważ Ui jest otwarty więcx ∈ int Ui. Istnieje więc kula K zawarta w Ui zawierająca x. Wobec tego K ⊂ U ⊃ Ui, więcx ∈ int U , więc U jest otwarty.

Niech teraz U =⋂ni=1 Ui, gdzie Ui jak wyżej. Niech x ∈ U . Wobec tego dla wszystkich i

mamy x ∈ Ui. Ponieważ Ui są otwarte więc x ∈ int Ui. Istnieją więc kule Ki zawarte w Uio środku w x. Niech K0 będzie kulą o najmniejszym promieniu spośród wszystkich kul Ki.Wobec tego ∀i K0 ⊂ Ui, stąd K0 ⊂

⋂Ui co daje x ∈ K0 ⊂ U , więc x ∈ int U , więc U jest

otwarty.

Definicja 1.8 (otoczenie) Otoczeniem (otwartym) punktu x ∈ X nazywamy dowolny zbiórotwarty U taki, że x ∈ U .

Definicja 1.9 (domknięcie zbioru) Punkt x ∈ X nazywamy punktem skupienia zbioruA ⊂ X jeśli dla każdego otoczenia U punktu x mamy: U ∩A\{x} 6= ∅. Jeśli x ∈ A oraz x niejest punktem skupienia zbioru A to x nazywamy punktem izolowanym zbioru A. Domknięciemzbioru A nazywamy zbiór złożony z wszystkich jego punktów skupienia i punktów izolowanychi oznaczamy cl A.

Mamy oczywiście A ⊂ cl A dla każdego zbioru A.Definicja 1.10 (zbiór domknięty) Zbiór F ⊂ X nazywamy domkniętym jeśli cl F = F .Uwaga: zbiór pusty traktujemy jako domknięty.

Twierdzenie 1.3 Dla dowolnego zbioru A zbiór cl A jest zbiorem domkniętym.

Twierdzenie 1.4 Niech A ⊂ X. Wtedy A otwarty wtedy i tylko wtedy gdy A′ = X \ A jestdomknięty.

Dowód:Załóżmy, że zbiór A jest otwarty. Przeprowadzimy dowód nie wprost. Załóżmy więc, że zbiórA′ nie jest domknięty, czyli zgodnie z definicją domkniętości mamy: A′ 6= cl A′. Ponieważ napewno A′ ⊂ cl A′, więc musimy mieć: cl A′ * A′. Stąd mamy:

∃x∈clA′ x /∈ A′.Równoważnie:

∃x∈clA′ x ∈ A.Z otwartości zbioru A otrzymujemy:

∃x∈clA′ x ∈ int A.To daje:

∃x∈clA′ ∃U−otwarty x ∈ U ∧ U ⊂ A.Co oznacza, że U \ {x} ∩ A′ = ∅ i dostajemy sprzeczność z definicją domknięcia zbioru, box ∈ clA′. To kończy dowód implikacji w jedną stronę. Dowód drugiej implikacji jest podobny- polecam jako ćwiczenie.Definicja 1.11 (brzeg zbioru) Brzegiem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór bdA = clA\ intA.Wniosek: Brzeg dowolnego zbioru jest zbiorem domkniętym. Wynika to z tego, że bdA =clA ∩ (X \ intA); zbiór clA jest domknięty, a intA jest otwarty.

4