1

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.

MACIERZE Macierzą o wymiarach nm× (m na n) nazywamy prostokątną tablicę, której elementami jest

nm ⋅ liczb rzeczywistych, mającą m wierszy i n kolumn postaci

kolumny

wiersze

↑↑↑↑

←←←←

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

Stosujemy zapis [ ]mxnijaA = lub [ ]ijaA = lub A

Pierwszy indeks elementu macierzy ija określa w którym wierszu macierzy jest ten element.

Drugi indeks elementu macierzy ija określa w której kolumnie macierzy jest ten element.

jia

Macierz której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową. Gdy wymiary tej macierzy wynikają z kontekstu lub są nieistotne to stosujemy wtedy uproszczony zapis A = 0. Macierz w której jest tylko jedna kolumna nazywamy macierzą kolumnową albo wektorem. Jeśli nm = to macierz nazywamy macierzą kwadratową stopnia n.

nstopniakwadratowamacierz

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

L

LLLL

L

L

21

22221

11211

Elementy nnaaa ....,,, 2211 stanowią przekątną tej macierzy.

Śladem macierzy kwadratowej A nazywamy sumę elementów jej przekątnej, co zapisujemy

tr nna....aaA +++= 2211

Macierz kwadratowa [ ]ijaA = jest diagonalna jeśli 0=ija dla ji ≠ , tzn. elementy poza

przekątną są równe 0. Stosujemy oznaczenie ),...,,( 2211 nnaaaA diag= .

nr kolumny

nr wiersza

element macierzy

2

nstopniadiagonalnamacierz

=

nna

a

a

A

L

LLLL

L

L

00

00

00

22

11

Macierz diagonalna jest jednostkowa jeśli 1=iia dla ni ,....,1= , tzn. wszystkie elementy na

przekątnej są równe 1.

nstopniaajednostkowmacierz

nn

A

×

=

100

010

001

L

LLLL

L

L

Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy nI lub I (można też spotkać oznaczenie nE

lub E ). Elementy macierzy jednostkowej możemy zapisać za pomocą symbolu Kroneckera ijδ ,

gdzie

=≠

=ji

jiij gdy

gdy

1

0δ . Wtedy [ ]ijI δ= .

Macierz kwadratowa [ ]ijaA = jest (górna) trójk ątna jeśli 0=ija dla ji > , tzn. elementy

pod przekątną są równe 0. Analogicznie jeśli 0=ija dla ji < , tzn. elementy nad przekątną są

równe 0 to macierz jest (dolna) trójk ątna.

( )górnatrójkątnamacierz

=

nn

n

n

a

aa

aaa

A

L

LLLL

L

L

00

0 222

11211

( )dolnatrójkątnamacierz

=

nnnn aaa

aa

a

A

L

LLLL

L

L

21

2221

11

0

00

Zapis macierzowy Przykład (wektor produkcji) Piekarnia wypieka: chleb staropolski, chleb baltonowski, bułki paryskie i kajzerki. Pewnego dnia na I zmianie wypieczono:

500 szt. chleba staropolskiego, 1200 szt. chleba baltonowskiego, 500 szt. bułek paryskich, 2500 szt. kajzerek.

Wielkości te możemy zapisać wektorowo.

3

=

2500

500

1200

500

Iw

i nazywać wektorem produkcji (istotna jest informacja jaka jest interpretacja poszczególnych składowych). W tej samej piekarni na II zmianie wektor produkcji wyglądał następująco:

=

100

0

800

200

IIw

(0 na trzeciej składowej oznacza, że na II zmianie nie wypiekano bułek paryskich) Natomiast dla III zmiany wektor produkcji był następujący:

=

6000

800

2000

300

IIIw

Zauważmy, że suma tych wektorów

=++=

8600

1300

4000

1000

IIIIII wwww

jest wektorem produkcji całodobowej. Przykład (macierz produkcji) I, II, III – oddziały produkcji danej firmy, A, B, C, D – produkty produkowane przez te oddziały w ciągu jednej zmiany. Niech

=

=

=

43

33

23

13

42

32

22

12

41

31

21

11

,,

x

x

x

x

w

x

x

x

x

w

x

x

x

x

w IIIIII - wektory produkcji poszczególnych oddziałów

Jeśli wektory te zestawimy w jedną macierz to otrzymamy macierz produkcji całej firmy

[ ]34xijxM=

ijx – ilość i - tego produktu wytwarzanego przez j - ty oddział,

np.

4

←←←←

=

D

C

B

A

M

IIIIII44 344 21

Oddz.

20515

5100

02520

5010

Produkt

Uwaga. Np. 12x = 0 - oznacza, że II oddział nie wytworzył ani jednej jednostki produktu A. Macierz produkcji dobowej jest równa sumie macierzy produkcji dla poszczególnych zmian. Przykład (macierz jednostkowych kosztów transportu) Dwie cementownie I, II, zaopatrują w cement cztery wytwórnie betonu. Jednostkowe koszty transportu (koszt [zł] przewozu 1 tony) do poszczególnych odbiorców dla cementowni I wynoszą odpowiednio 3, 5 , 8, 4 a dla cementowni II: 6, 4, 10, 2. Koszty te możemy zapisać w postaci macierzy kosztów jednostkowych:

44 344 21(odbiorcy)betonuwytwórnie

=

21046

4853k

cementownie (dostawcy)

Działania na macierzach Mnożenie macierzy przez liczbę

Niech [ ]mxnijaA = , c – liczba rzeczywista.

Wtedy [ ]mxnijcacA = (mnożymy przez c wszystkie elementy tej macierzy).

Przykład

−−=

⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅

=

−−⋅

040

262

042

02)2(202

1232)1(2

022212

020

131

021

2

Transponowanie macierzy

Niech [ ]mxnijaA = ,

wtedy [ ]nxmji

T aA = (wiersze macierzy A zapisujemy jako kolumny macierzy AT).

Zauważmy, że (AT)T = A. Przykład

=

333

222

111

321

321

321T

Dodawanie (odejmowanie) macierzy

Niech [ ]mxnijaA = , [ ]

mxnijbB =

(rozmiary macierzy muszą być zgodne),

5

wtedy [ ]mxnijij baBA ±=±

(dodajemy (odejmujemy) odpowiednie elementy macierzy). Przykład

−−=

=

+−−+++−−+++

=

−−+

−−

060

393

063

004200

216321

004221

040

262

042

020

131

021

Przykład Macierze produkcji dla poszczególnych trzech zmian firmy są następujące:

=

20515

5100

02520

5010

1M

=

0015

050

01520

0010

2M

=

0010

000

0010

005

2M

Zauważmy, że oddział II nie pracuje na trzeciej zmianie, a oddział III nie pracuje na drugiej i trzeciej zmianie Wyznaczymy macierz M produkcji tygodniowej tej firmy (zakładamy, że w ciągu pięciu dni roboczych produkcja jest identyczna).

)(5 221 MMMM ++⋅= =

=

⋅

20540

5150

04550

5025

5 =

10025200

25750

0225250

250125

Mnożenie macierzy Niech [ ]mxrikaA = , [ ]

rxnkjbB =

(liczba kolumn pierwszej macierzy musi być równa liczbie wierszy drugiej macierzy), wtedy

mxn

r

kkjik baBA

⋅=⋅ ∑=1

(mnożymy wiersze pierwszej macierzy przez kolumny drugiej macierzy). Niekiedy wygodnie jest zapisywać mnożenie macierzy w następujący sposób (schemat Falka):

6

Przykład Niech

−−

=1200

4312A

−−

−

=

102

010

312

101

B

Wyznaczymy iloczyn tych macierzy (mnożenie to jest wykonalne bowiem macierz A ma 4 kolumny a macierz B ma 4 wiersze). Stosujemy zapis (schemat Falka): poszczególne elementy macierzy AB otrzymujemy mnożąc odpowiadający temu elementowi wiersz macierzy A przez znajdującą się nad nim kolumnę macierzy B. np. (-2)⋅(-1) +1⋅3+3⋅0+4⋅1 = 9 Przykład Firma produkuje wyroby A, B stosując trzy rodzaje surowców S1, S2, S3. Normę zużycia surowców można zapisać w tabeli np.

Surowiec (kg) Wyrób A Wyrób B S1 1 0 S2 2 3 S3 4 2

lub w postaci macierzy

321wyroby

24

32

01

=N

surowce

1200

4312

−−

102

010

312

101

−−

−te wymiary muszą być równe

AB A

B

122

928

−−−

7

Znając wektor planowanej produkcji dobowej np.

=

200

100w

możemy wyznaczyć (mnożąc macierz norm zużycia surowców przez wektor produkcji) wektor zużycia surowców.

=⋅=800

800

100

wNZ

zużycie poszczególnych surowców

Oznacza to, że aby zrealizować zaplanowaną produkcję należy codziennie zapewnić 100 kg surowca S1, 800 kg surowca S2 i 800 kg surowca S3. Potęga macierzy Jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n to 43421

k

k AAAA ⋅⋅⋅= ... .

Własności a) mnożenie macierzy jest łączne, tzn. A(BC) = (AB)C, dlatego zapis ABC jest jednoznaczny, b) mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tzn.

BC AC C BA AC, AB CB A +=++=+ )()( , c) mnożenie macierzy nie jest przemienne, d) AI = A, IA = A, o ile wymiary macierzy umożliwiają mnożenie, e) (AB)T = BTAT,

f) tr(AB) = tr(BA), tr(A + B) = trA + trB, (A, B – macierze kwadratowe stopnia n). Obliczanie wyznacznika macierzy Wyznacznik obliczamy tylko dla macierzy kwadratowych (jest to liczba przyporządkowana macierzy kwadratowej). Wyznaczniki macierzy niskiego stopnia można liczyć następująco: Dla macierzy stopnia 1: det[a] = a

Dla macierzy stopnia 2: det

dc

ba =

dc

ba = ad - cb

Dla macierzy stopnia 3 (metoda Sarrusa): det

ihg

fed

cba

= det

h

e

b

g

d

a

ihg

fed

cba

=

= aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb. Dla macierzy dowolnego stopnia (>1) wyznacznik można rozwijać (twierdzenie Laplace’a) względem wybranego wiersza lub wybranej kolumny (najlepiej wybrać wiersz lub kolumnę z największą liczbą zer). Dopełnienie algebraiczne elementu aij jest równe ij

ji Adet)1( +− gdzie Aij jest macierzą

otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i – tego wiersza oraz j – tej kolumny.

8

Uwaga Jeśli w dowolnej macierzy A wybierzemy dowolne k wierszy i k kolumn to elementy znajdujące się na ich przecięciu tworzą macierz kwadratową stopnia k. Wyznacznik tej macierzy nazywamy minorem stopnia k. Zatem ijAdet jest minorem stopnia n – 1.

Twierdzenie Laplace’a Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) tej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne, tj.

inni

inii

iii

i AaAaAaA det)1(...det)1(det)1(det 22

211

1+++ −++−+−=

dla i – tego wiersza

njjn

njjj

jjj

j AaAaAaA det)1(...det)1(det)1(det 22

211

1+

+++ −++−+−= dla j – tej kolumny

Twierdzenie Laplace’a pozwala sprowadzić obliczanie wyznacznika macierzy stopnia n do obliczania wyznaczników macierzy stopnia n – 1, np. rozwinięcie wyznacznika czwartego stopnia względem pierwszego wiersza ma postać

434241

333231

232221

14

444241

343231

242221

13

444341

343331

242321

12

444342

343332

242322

11

44434241

34333231

24232221

14131211

det

aaa

aaa

aaa

a

aaa

aaa

aaa

a

aaa

aaa

aaa

a

aaa

aaa

aaa

a

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

−+−

+==

Przykład

Obliczymy wyznacznik macierzy

−−

0230

0011

2100

1021

rozwijając go względem drugiego

wiersza.

det

−−

0230

0011

2100

1021

= (-1)2+3(-1)

030

011

121

− + (-1)2+4(2)

230

011

021

− = 9

Dwa pierwsze składniki rozwinięcia zostały pominięte bo są równe zero. Uwaga Jeśli wyznacznik macierzy jest równy zero to macierz nazywamy osobliwą. Jeśli wyznacznik macierzy jest różny od zera to macierz jest nieosobliwa. Własności wyznacznika a) detA = detAT b) jeśli macierz A jest stopnia n, to dla dowolnej stałej a mamy det(aA) = andetA c) detAB = detAdetB

9

d) dla macierzy nieosobliwej A mamy detATA > 0, e) jeśli w macierzy A jest wiersz (kolumna) złożony z samych zer to detA = 0, f) jeśli w macierzy A są jednakowe wiersze (kolumny) to detA = 0, g) jeśli wiersz (kolumnę) macierzy A pomnożymy przez dowolną liczbę rzeczywistą to

wyznacznik powstałej macierzy będzie równy wyznacznikowi macierzy A pomnożonemu przez tę liczbę,

h) jeśli w macierzy A zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny) to wyznacznik powstałej macierzy będzie równy – detA,

i) wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli do pewnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez liczbę różną od zera.

j) wyznacznik macierzy trójkątnej (pod przekątną same zera) jest równy iloczynowi elementów na przekątnej.

Uwaga a) operacje na wierszach (kolumnach) o których mowa w punktach

g), h), i) nazywamy operacjami elementarnymi, b) Własność i) pozwala uprościć liczenie wyznacznika macierzy jeśli wykonamy takie

operacje na elementach wiersza (kolumny) które wyzerują pewną liczbę elementów. Przykład

Obliczymy wyznacznik macierzy

−

−

1102

1114

3120

3112

zerując niektóre elementy w trzeciej

kolumnie. + + +

det

−

−

1102

1114

3120

3112

= det

−

4014

2026

6032

3112

=

= (-1)1+3(-1)

414

226

632

= -

850

1670

632

−−−− =

=-(-1)1+1(2)85

167

−−−−

= 48

(strzałki wskazują, który wiersz jest dodawany (po ewentualnym pom-nożeniu przez liczbę) do wskazanego wiersza inny sposób zapisu to np. Iw + IIw, -2 Iw + IIIw). Wyznaczanie macierzy odwrotnej Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną do macierzy A jest macierz A-1 spełniająca warunki:

A-1 ⋅ A = A ⋅ A-1 = I Gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia n.

(-2)+ (-3)+

10

Własność: tylko dla macierzy nieosobliwych istnieje macierz odwrotna. Macierz odwrotną można wyznaczyć następująco: Sposób I (metoda dopełnień algebraicznych):

[ ]TDAA

Adet

11 =−

gdzie AD jest macierzą dopełnień algebraicznych elementów macierzy A. Uwaga W szczególnym przypadku gdy mamy nieosobliwą macierz stopnia 2:

A =

dc

ba

to

−−

−=−

ac

bd

cbadA

11

Przykład

Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A =

−

−

110

220

011

.

Zauważmy, że detA = 4 więc A-1 istnieje.

A-1 =

T

−−

−−−

−−−

−

−−

−

20

11

20

01

22

0110

11

10

01

11

0110

20

10

20

11

22

4

1 =

T

−− 222

111

004

41

= =

−−

5,025,00

5,025,00

5,025,01

Sposób II (metoda przekształceń elementarnych) Własność Anxn – macierz nieosobliwa, Inxn – macierz jednostkowa. Jeśli [ I, B] otrzymamy za pomocą

operacji elementarnych na wierszach macierzy [A, I] to B = A-1. Przykład Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy

=112

210

321

A ,

detA = 1 zatem A jest macierzą nieosobliwą.

11

A I przekształcenie 1 2 3 1 0 0 0 1 2 0 1 0 2 1 1 0 0 1 –2wI + wIII 1 2 3 1 0 0 –2wII + wI 0 1 2 0 1 0 0 –3 –5 –2 0 1 3wII + wIII 1 0 –1 1 –2 0 wIII + wI 0 1 2 0 1 0 –2wIII + wII 0 0 1 –2 3 1 1 0 0 –1 1 1 0 1 0 4 –5 –2 0 0 1 –2 3 1 I A-1

Zatem

−−−

−=−

132

254

1111A

Własność − macierzą odwrotną do macierzy jednostkowej jest ta sama macierz tzn. I-1 = I,

− ( ) ( ) ( ) ( )( )1122

111

12211 ,...,,),...,,( −−−− = nnnn aaaaaa diagdiag

− (A-1)-1 = A, − (A-1)T = (AT) -1, − (AB) -1 = (B) -1(A) -1, − det (A-1) = (detA)-1. Rząd macierzy Niech A będzie dowolną macierzą. Rzędem macierzy A jest stopień największej podmacierzy kwadratowej nieosobliwej otrzymanej z A przez wykreślenie pewnej liczby wierszy i (lub) kolumn czyli maksymalny stopień nieosobliwego minora tej macierzy. Rząd macierzy będziemy oznaczać rzA lub rA. Uwaga a) Rząd macierzy jest równy zero tylko dla macierzy zerowej, b) Rząd macierzy jednostkowej stopnia n jest równy n, c) Rząd macierzy AT jest równy rzędowi macierzy A, d) Rząd macierzy nie może przekraczać żadnego z wymiarów macierzy, e) Jeśli macierz kwadratowa jest nieosobliwa to jej rząd jest równy stopniowi tej macierzy, f) Jeśli dowolny wiersz macierzy pomnożymy przez stałą różną od zera i dodamy do innego

wiersza to rząd macierzy nie ulegnie zmianie. Jeśli zamienimy dwa wiersze między sobą miejscami to rząd macierzy nie ulegnie zmianie. Podobne operacje można wykonywać na kolumnach macierzy.

g) Jeśli wykreślimy wiersz (kolumnę) złożony z samych zer to rząd nie ulegnie zmianie.

12

Przykład

Rząd macierzy A =

−− 01021

02310 jest równy 2 bo wykreślając kolumny 1, 4 i 5

otrzymamy podmacierz kwadratową stopnia 2 nieosobliwą. Przykład

Wyznaczymy rząd macierzy A =

−−−

−

20111

10110

10201

Wykonując elementarne działania na wierszach (patrz własność f) powyższej uwagi) dążymy do uzyskania pod przekątną elementów zerowych.

rzA = rz

−−

−

10110

10110

10201

= rz

−−

00000

10110

10201

= 2

Najpierw dodaliśmy I wiersz do III wiersza, następnie II wiersz pomnożyliśmy przez (-1) i dodaliśmy do III wiersza.

MACIERZE - Zadania

Zadanie 1 a) Niech

−−

=1220

1012A

−−

=

01

10

22

03

B

−=

0221

3014C

Wyznacz macierz AT + 2B - CT.

b) Wyznacz macierz X wiedząc, że ` ( )

−=

06

633 TX

(odp. a)

−−−−

12

60

46

14

, b)

−=

02

21X )

Zadanie 2 Przyjmując macierz produkcji dobowej (patrz przykład)

M =

10025200

25750

0225250

250125

13

i wiedząc że wektor cen jednostkowych (tys. zł) dla produktów A, B, C, D ma postać

=

3

1

5

2

p

wykonując mnożenie W = MT⋅p wyznacz wektor wartości produkcji. Który oddział ma najmniejszą wartość produkcji?

(odp.

=375

1275

2100

W , najmniejszą wartość produkcji ma oddział trzeci)

Zadanie 3

a) Dla macierzy A =

−−

232

101 i B =

13

01

21

wyznacz iloczyny A⋅B i B⋅A,

b) Niech A =

−− 12

01, B =

− 13

10, wyznacz A⋅B , B⋅A , (A⋅B)T i BT⋅AT

c) Wyznacz macierz X jeśli [ ] [ ]

−=−−⋅−3

1

0

0

2

1

3221110

T

T X

(odp. a) A⋅B =

−−

21

12, B⋅A =

−−−

535

101

565

;

b) A⋅B =

− 33

10, B⋅A =

−−−−

15

12; (A⋅B)T =

−31

30, BT⋅AT =

−31

30;

c)

−=3

2X )

Zauważ, że mnożenie macierzy nie jest przemienne. Zauważ, że spełniona jest własność (A⋅B)T = BT⋅AT

Zadanie 4 Uzasadnić, że dla macierzy kwadratowych zachodzi własność

tr(AB) = tr(BA)

Zadanie 5

Oblicz AB i BA jeśli A =

−

−

876

254

232

,

14

a) B =

100

00

001

a , b) B =

100

10

001

b , c) B =

000

100

000

,

(odp. a) AB =

−

−

876

254

232

a

a

a

, BA =

−

−

876

254

232

aaa ,

b) AB =

+−+−

8776

2554

2332

b

b

b

, BA =

−++−−

876

827564

232

bbb ,

c) AB =

700

500

300

, BA =

−000

876

000

)

Zadanie 6 Oblicz,

a)

3

000

100

010

, b)

n

a

a

a

00

10

01

, c)

n

− 300

020

012

(odp. a) 0, b)

−

−

−−

n

nn

nnn

a

naa

a)n(n

naa

00

02

1

1

21

,

c)

−

−

n

n

nn n

)3(00

020

022 1

)

Zadanie 7

Oblicz 52)( 2 +−= xx Af jeśli A =

−12

34,

(odp.

−−

26

97)

Zadanie 8 Oblicz wyznaczniki macierzy:

A =

−31

12, B =

100

321

321

, C =

−−

−

0210

0301

2000

1021

, D =

−−

1000

0300

2010

1022

,

(odp. detA = 7, detB = 0, detC = –2, detD = –6)

15

Zadanie 9 Oblicz wyznaczniki macierzy:

A =

−169489

43231

11171

00054

00032

, B =

−−−

−

430000

540000

000063

005200

002300

000051

,

(odp. detA = -4, detB = -99)

Zadanie 10 Sprawdź, że ( ) nTT ABBA 4)4det( 1 =− , dla dowolnych nieosobliwych macierzy stopnia n.

Zadanie 11 Rozwiąż równanie:

0

4012

312

43

=+

−−

x

x

(odp. -10, 2)

Zadanie 12 Wyznacz (jeżeli istnieje) macierz odwrotną do macierzy:

a)

120

041

321

; b)

−−

−

333

222

111

;

c)

−

−

011

200

111

; d)

−−−−−−

1111

1111

1111

1111

; e)

1101

0110

1000

0001

.

(odp. a)

−−

−

25,025,025,0

375,0125,0125,0

5,15,05,0

, b)

6

1

4

10

6

10

2

1

04

1

2

1

, c)

−

05,00

5,025,05,0

5,025,05,0

,

d)

−−−−−−

25,025,0251,025,0

25,025,025,025,0

25,025,025,025,0

25,025,025,025,0

, e)

−−−

0010

1011

1111

0001

)

16

Zadanie 13 Wyznacz (stosując jedną i drugą metodę) macierz odwrotną do macierzy:

A =

−−32

21, B =

110

231

002

, I =

100

010

001

.

(odp. A-1 =

−− 12

23, B-1 =

−−−315,0

215,0

005,0

, I-1 = I)

Zadanie 14 Wyznacz macierz X jeśli

a)

−=⋅

1

0

1

110

231

002

X b) [ ]102

110

231

002

−=⋅

⋅X

c)

−=⋅

20

01

10

110

231

002

X d)

−=⋅

⋅120

111

110

231

002

X

e)

−−

=

−−

⋅⋅

13

42

35

23

23

12X f)

=

⋅⋅

10

00

60

25

01

10X

g) TT

X

−

=

⋅⋅

−

43

21

10

01

43

21

43

211

(odp. a)

−=

5,2

5,1

5,0

X , b) [ ]315,0 −−=⋅X , c)

−−=5,61

5,41

5,00

X

d)

−−−−

=⋅115,0

525,0X , e)

−−=

1834

1324X , f)

=

006

10X , g)

−−−

=33

20X )

Zadanie 15 Znaleźć rząd macierzy:

a)

1111

7212

4321

;b)

0011

1100

0432

; c)

21

54

33

22

; d)

−− 110301

200200, e)

−00

10

23

10

,

f)

−− 10112

20101

10200

, g)

210

312;h) [ ]72 ; i) [ ]00 ; j)

−−−−−−

1111

1111

1111

1111

(odp. a) 3, b) 3, c) 2, d) 2, e) 2, f) 3, g) 2, h) 1, i) 0, j) 4)

17

Zadanie 16

Wyznacz rząd macierzy

=

c

cA

1

1 w zależności od parametru c.

(odp. rzA = 1, gdy c = 1 lub c = -1, rzA = 2, dla pozostałych c)

Zadanie 17 Ile powinien wynosić wyznacznik macierzy A spełniającej równanie 02 =− TAA .

(odp. 0 lub 1)

Zadanie 18 Oblicz

a)

1111

1110

1100

1000

det , b)

00005

00041

00311

02111

11111

det

(odp. a)1, b) 5!)

UKŁADY RÓWNA Ń LINIOWYCH

Układ równań liniowych – postać macierzowa Układ równań liniowych ma postać ogólną:

(*)

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...............

...

...

2211

22222121

11212111

ija – współczynniki; ix – niewiadome; jb – wyrazy wolne

n – liczba niewiadomych; m – liczba równań

Jeśli [ ]mxnijaA = – macierz współczynników

=

nx

x

X M

1

– wektor niewiadomych;

=

mb

b

B M

1

– wektor wyrazów wolnych

to powyższy układ równań można zapisać w postaci macierzowej BAX =

Jeśli B = 0 to układ nazywamy jednorodnym. Macierzą rozszerzoną układu (*) nazywamy macierz

M = [A|B]

(do macierzy współczynników dopisujemy kolumnę wyrazów wolnych)

18

Układ n liczb (x1, x2, ..., xn) spełniających każde równanie układu (*) nazywamy rozwiązaniem tego układu. Układ równań liniowych może być: − oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie), − nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), − sprzeczny (nie ma żadnego rozwiązania). Uwaga Układ jednorodny nie może być sprzeczny, (ma przynajmniej rozwiązanie zerowe). Własności układu równań liniowych charakteryzuje na podstawie rzędu macierzy współczynników A i rzędu macierzy rozszerzonej M twierdzenie Kroneckera - Capellego: Twierdzenie

Jeśli rzA ≠ rzM to układ (*) jest sprzeczny (nie ma żadnego rozwiązania).

Jeśli rzA = rzM = n to układ (*) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie).

Jeśli rzA = rzM < n to układ (*) jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań).

W ostatnim przypadku niewiadome dzielimy na niewiadome bazowe i parametry.

Rozwiązanie zależy od n - rzA parametrów, natomiast liczba niewiadomych bazowych jest

równa rzA.

Metody rozwiązywania układów równań liniowych

1. Metoda macierzowa

X = A-1B

(można stosować gdy m = n i detA ≠ 0, wtedy układ jest oznaczony). Przykład

=+−=+=++

0

1

0

zy

zx

zyx

Rozwiązanie.

=110

101

111

A detA = –1

−−

−=

−−

−−−=−

111

011

101

101

110

1111

T

A

−=0

1

0

B

z

y

x

X

←←←

−=

−

−−

−=

1

1

0

0

1

0

111

011

101

Zatem rozwiązaniem tego układu równań są liczby x = 0, y = 1, z = -1, fakt ten możemy sprawdzić podstawiając te liczby do równań układu i porównać strony.

19

2. Metoda wyznacznikowa Twierdzenie Cramera Jeśli m = n i detA ≠ 0, wtedy układ jest oznaczony (układ Cramera) oraz:

W

Wx........,,

W

Wx,

W

Wx n

n === 22

11

gdzie W = detA, Wj = detAj j = 1, 2, ..., n Aj – macierz otrzymana z A przez zastąpienie j-tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych. Uwaga Jeśli W = 0 i co najmniej jeden wyznacznik Wj ≠ 0 to układ jest sprzeczny. Jeśli W = W1 = W2 = .... = Wn = 0 to układ jest sprzeczny lub nieoznaczony. Przykład

=+−=+=++

0

1

0

zy

zx

zyx

Rozwiązanie.

=110

101

111

A detA = –1 = W W1 = 0, W2 = –1, W3 = 1

zatem x = 0, y = 1, z = –1. 3. Metoda eliminacji Gaussa Przekształcenia elementarne układu równań liniowych.

a) mnożenie równania przez liczbę różną od zera,

b) zmiana kolejności równań w układzie,

c) dodanie do dowolnego równania innego równania tego układu pomnożonego przez

dowolną liczbę.

Wykonywanie przekształceń elementarnych na danym układzie równań nie zmienia zbioru jego rozwiązań (otrzymujemy układ równoważny danemu). W przypadku zapisu macierzowego powyższe operacje wykonujemy na wierszach macierzy rozszerzonej. Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej przekształcamy macierz rozszerzoną do postaci:

20

+

+

+

+

+

00000000

00000000

0000000

0000000

00

0

1

1

2212222

111111211

........................

b~

........................

b~b~

a~...a~a~...

........................

b~

a~...a~a~...a~b~

a~...a~a~...a~a~

kr

r

rrnrrrr

nrr

nrr

gdzie 11a~ , 22a~ , ..., rra~ ≠ 0; r = rzA

− Jeśli dla pewnego i = 1, 2, ..., k 0~ ≠+irb to układ sprzeczny,

− Jeśli dla i = 1, 2, ..., k 0~ =+irb i r < n to układ nieoznaczony, zmienne xr+1, xr+2, ..., xn

przyjmujemy, że są parametrami (mogą przyjmować dowolne wartości) i przy wyznaczaniu niewiadomych bazowych przenosimy je na prawą stronę traktując jak wyrazy wolne, niewiadome x1, x2, ..., xr przyjmujemy, że są bazowe i obliczamy ich wartość rozpoczynając od najniższego równania różnego od zera (obliczone wartości podstawiamy do kolejnych równań).

− Jeśli dla i = 1, 2, ..., k 0~ =+irb i r = n to układ oznaczony, wszystkie niewiadome są

bazowe i obliczamy ich wartość rozpoczynając od najniższego równania różnego od zera. Przykład

−=−+−+−=+

=−++

1

12

0

54321

31

5421

xxxxx

xx

xxxx

Rozwiązanie.

−−−−

−=

111111

100102

011011

M

Po zastosowaniu przekształceń elementarnych otrzymamy:

−−−

=000000

122120

011011~

M

x1, x2 – przyjmujemy, że są bazowe x3, x4, x5 – przyjmujemy, że są parametrami z równania II 1222 5432 =+−+− xxxx

obliczamy 5432 5,05,0 xxxx +−+−=

z równania I 05421 =−++ xxxx po podstawieniu x2

obliczamy 31 5,05,0 xx −=

21

Uwaga W przypadku układu nieoznaczonego można rozpatrywać różne układy niewiadomych

bazowych (wszystkich takich układów jest najwyżej

r

n). Rozwiązanie układu

nieoznaczonego jest rozwiązaniem bazowym jeśli pod parametry podstawiamy wartość zero. Rozwiązania bazowe są przydatne w zagadnieniach optymalizacji. Rozwiązania bazowe układu nieoznaczonego Z metody Gaussa wynika istnienie rozwiązania bazowego (pod parametry podstawiamy zera). Rozwiązań bazowych może być wiele. Aby otrzymać inne rozwiązanie bazowe należy przyjąć, że w nowym rozwiązaniu bazowym jeden z dotychczasowych parametrów będzie zmienną bazową a jedna z dotychczasowych zmiennych bazowych będzie parametrem. Następnie pod nowe parametry podstawiamy wartość 0 i rozwiązujemy otrzymany układ równań liniowych. Możliwe są dwie sytuacje: − otrzymany układ jest oznaczony i otrzymujemy nowe rozwiązanie bazowe, − otrzymany układ jest nieoznaczony lub sprzeczny, wtedy należy szukać innego

rozwiązania bazowego.

Wszystkich rozwiązań bazowych nie może być więcej niż

r

n.

Przykład Rozpatrzmy układ równań:

=−+=−+−

2

42

432

6521

xxx

xxxx

Macierz rozszerzona tego układu jest równa

−−−

2001110

4210011

jest to układ nieoznaczony r = rzA = rzM = 2, n = 6. Niech x1, x2 – zmienne bazowe; x3, x4, x5, x6 – parametry, rozwiązując układ:

==−2

4

2

21

x

xx otrzymamy rozwiązanie bazowe (6, 2, 0, 0, 0, 0).

Rozpatrzmy nowy układ niewiadomych x1, x5 – zmienne bazowe; x2, x3, x4, x6 – parametry, wtedy odpowiedni układ:

==

20

41x jest sprzeczny, zatem układ ten nie daje rozwiązania bazowego.

Rozpatrzmy nowy układ niewiadomych x1, x3 – zmienne bazowe; x2, x4, x5, x6 – parametry, wtedy odpowiedni układ:

==

2

4

3

1

x

x daje rozwiązanie bazowe (4, 0, 2, 0, 0, 0).

Przykład Wyznaczyć wszystkie rozwiązania bazowe dla układu równań:

=+−=−−+

0

623

421

4321

xxx

xxxx

22

Uwaga. Wszystkie 6 możliwości najłatwiej rozpatrzyć wypełniając tabelkę: Zmienne bazowe

(1) (2) (3) (4) (5) (6) Zmienn

e x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4

x1 0 0 0 x2 0 0 0 x3 0 0 0 x4 0 0 0

W tym celu rozwiązujemy układy równań:

(1)

=−=+0

63

21

21

xx

xx

==

5,1

5,1

2

1

x

x (2)

==−

0

62

1

31

x

xx

=−=0

3

1

3

x

x

(3)

=+=−

0

6

41

41

xx

xx

−==

3

3

4

1

x

x (4)

==−

0

623

2

32

x

xx

=−=0

3

2

3

x

x

(5)

=+−=−

0

63

42

42

xx

xx

==

3

3

4

2

x

x (6)

==−−

0

62

4

43

x

xx

=−=0

3

4

3

x

x

wyniki wpisujemy do tabelki Zmienne bazowe

(1) (2) (3) (4) (5) (6) Zmienne x1 x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 x4 x3 x4

x1 1,5 0 3 0 0 0 x2 1,5 0 0 0 3 0 x3 0 –3 0 –3 0 –3 x4 0 0 –3 0 3 0

Zatem rozwiązania bazowe są następujące: (1,5; 1,5; 0; 0); (0; 0; –3; 0); (3; 0; 0; –3); (0; 3; 0, 3).

UKŁADY RÓWNA Ń - Zadania

Zadanie 1 Rozwiąż układ równań metodą macierzy odwrotnej:

a)

=−=−

12

52

21

21

xx

xx, b)

−=−=+

1

5

21

21

xx

xx, c)

=−−=+=−+

2

12

32

31

31

321

xx

xx

xxx

d)

−=−=+−

=−+

2

932

0

31

321

321

xx

xxx

xxx

e)

=+−=+−

=−=+++

1

22

22

2

42

43

21

4321

xx

xx

xx

xxxx

f)

=−+−=+−

=−+−=+−+

03

62

1232

4

4321

431

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

(odp. a) (3,1), b) (2,3), c) (1, 0, –1), d) (1, 2, 3), e) (1, 0, 0, 1), f) (1, 2, 3, 4))

Zadanie 2 Rozwiąż układy równań z zadania 1 metodą Cramera.

23

Zadanie 3 Rozwiąż układy równań metodą Cramera:

a)

=−=+=−

=+−

44

33

22

1

41

31

21

431

xx

xx

xx

xxx

b)

=−=+=−

=−+

44

33

22

1

31

41

21

431

xx

xx

xx

xxx

(odp. a) (1, 0, 0, 0), b) (1, 0, 0, 0))

Zadanie 4 Sprawdź, czy następujące układy równań są sprzeczne:

a)

=−=−

842

2

21

21

xx

xx b)

=−−=−+

2342

12

321

321

xxx

xxx c)

=−++=+−+=++−

=+++−

13

13

13

13

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Zadanie 5 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa:

a)

=−+−=+−

=−+

107

522

52

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b)

=−+−=+−

=−+−=+−+

03

62

1232

4

4321

431

4321

4321

xxxx

xxx

xxxx

xxxx

c)

=−+=++−=−+

12

87

533

532

543

531

xxx

xxx

xxx

d)

=−=+

=−=+−

831383

3332

32

21

31

321

xxxx

xxxxx

e)

=+++=+++=+++

2749

42253

6372

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

(odp. a) układ nieoznaczony, np. x3 – parametr, x2 = x3 + 3, x1 = 1, b) układ oznaczony, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4,

c) układ nieoznaczony, np. x4, x5 – parametry, d) układ sprzeczny,

e) układ nieoznaczony, np. x3, x4 – parametry )

Zadanie 6 Przeanalizuj rozwiązalność następujących układów równań z parametrem:

a)

−−=+=−

525

152

21

21

kxkx

xx b)

=++=++=++

0

0

0

321

321

321

kxxx

xkxx

xxkx

c)

=−++=++−

=−−+=++−

02

0432

032

032

4321

4321

4321

4321

xxxkx

xxxx

xxxx

xxxx

(odp. a) układ nieoznaczony dla k = –2, dla pozostałych k układ oznaczony, b) układ nieoznaczony dla k = –2 i k = 1, dla pozostałych k układ oznaczony

c) układ nieoznaczony dla k = 15, dla pozostałych k układ oznaczony)

Zadanie 7 Czy dany układ równań ma rozwiązania niezerowe:

24

a)

=−=−

022

0

21

21

xx

xx b)

=−+=+−

=++−

0

0

0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

c)

=+−=++−0

0

321

321

xxx

xxx d)

=−+=++−

=−−+=++−

02

0432

032

032

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

(odp. a) tak, b) nie, c) tak, d) nie)

Zadanie 8 Rozwiąż układy równań jednorodnych:

a)

=−+−−=−+−+=−++−

023

02

02

54321

54321

54321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

b)

=−+=++−

=−−+=++−

02

0432

032

032

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

(odp. a) układ nieoznaczony, np. x4, x5 – parametr,

b) układ oznaczony, x1 = x2 = x3 = x4 = 0)

Zadanie 9 Napisz układ równań którego jedynym rozwiązaniem są liczby (1, –1, 0, 0, 2).

Zadanie 10 Napisz układ równań nieoznaczonych, którego jednym z rozwiązań są liczby (1, –1, 0, 0, 2).

Zadanie 12 Wyznaczyć wszystkie rozwiązania bazowe dla układu równań:

(a)

=++=++1280168

700510

421

321

xxx

xxx

(b)

=−=−+=−+

55

123262

52

421

321

xx

xxxxxx

(odp. a) (40, 60, 0, 0), (160, 0, –900, 0), (70, 0, 0, 720), (0, 80, 300, 0),

(0, 140, 0, –960), (0, 0, 700, 1280), b) (4,5; 1, 4, 0, 0), (2,5; 1; 0; –4; 0),

(1,5; 3; 0; 0; 10), (6; 0; 6; 0; -5), (3; 0; 0; –6; –5), (0, 1; -5; –9; 0), (0; 4; –2; 0; 15), (0; 6; 0; 6; 25),

(0; 0; –6; –12; –5))

25

Zadania powtórzeniowe.

Zadanie 1.

d) Niech A =

321

402

131

, B =

−123

211

012

, wyznacz A⋅B , B⋅A ,

Odp. a) AB =

7513

41016

708

, BA =

14118

371

664

.

Zadanie 2. Oblicz wyznaczniki macierzy:

A =

−21

12, B =

−−−

600

321

321

, C =

−

−−

0210

0301

2000

1021

, D =

−−−−

1000

0100

2010

1022

,

Odp. detA = 5, detB = 0, detC = 2, detD = -2,.

Zadanie 3. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy:

A =

32

21, B =

435

131

223

,

Odp. A-1 =

−−

12

23, B-1 =

−−−−

4,12,04,2

2,04,02,0

8,04,08,1

,

Zadanie 4. Wyznacz rząd macierzy:

A =

−− 310301

200001, B =

−−−

00

13

26

13

, C =

−10243

00102

10300

Odp. rA = 2, rB = 1 , rC = 3.

Zadanie 5. Rozwiąż układ równań:

a)

=++=+−=++−

4

13232

743

321

321

321

xxx

xxx

xxx

b)

=−+−=−+−

=+−+=+−

1232

03

4

62

4321

4321

4321

431

xxxx

xxxx

xxxx

xxx

26

c)

−=−−=+−2

423

321

321

xxx

xxx d)

−=+−=+−

=−=+

622

332

8313

83

31

321

32

21

xx

xxx

xx

xx

e)

=++−−=−++−

=+−+

432

2232

2

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

a) ukł. oznaczony, x1 = 2, x2 = -1, x3 = 3,

b) ukł. oznaczony, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4,

c) ukł. nieoznaczony, np. x3 - parametr,

d) ukł. sprzeczny,

e) ukł. nieoznaczony, np. x4 - parametr .

Zadanie 6. Wyznacz macierz X jeśli

a)

−=⋅

2

0

2

110

231

002

X b) [ ]306

110

231

002

−=⋅

⋅X

Odp. a)

−=

5

3

1

X , b) [ ]935,1 −=⋅X ,