Algebra liniowaMacierze i układy równań liniowych

Skalary• Skalarem nazywać będziemy dowolną liczbę rzeczywistą,

na przykład:

• Skalary oznaczać będziemy greckimi literami α, β, λ .

−1, 0, 2,715

, 9 +3

3 5

MacierzeMacierzą A wymiaru nazywamy tablicę prostokątną skalarów postaci

i czasami krótko zapisywaną w postaci . Do elementu -tego odwołujemy się pisząc , to znaczy

m × n

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn

A = (aij)(i, j) (A)ij

aij = (A)ij .

MacierzeAby podkreślić, że macierz A ma wymiar piszemy

lub krótko

m × n

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn m×n

A = (aij)m×n

Przykłady

A =−1 32 20 3

A =0 0 02 2 −35 12 7

A =

−3150

2019

A =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

A = [17 − 2 0]A =

0 00 00 00 0

A = [−2] A =

6 4 0 0 0−1 8 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

A = [0 −30 7 ]

Równość macierzyDwie macierze

są równe gdy m = p i n = q oraz

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn m×n

aij = bij,

B =

b11 b12 … b1q

b21 b22 … b2q

⋮ ⋮ ⋮bp1 bp2 … bpq

p×q

i = 1,…, m, j = 1,…, n

Zastosowanie praktyczneDzienna produkcja

Wyroby ZasobysurowcówI II

SurowceA 3 2 12

B 4 5 23

Zyski jednostkowe 11 12

Surowce Wyroby

A

B

I

IIBuble Inc.

Zastosowanie praktyczne

= I3A + 2

B

II

= 4 + 5 [3 24 5]

Macierz współczynników

Surowce Wyroby

A

B

I

IIBuble Inc.

I II

Macierze

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn

Wiersz 1

Wiersz 2

Wiersz m

Macierze

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn

Kol

umna

1

Kol

umna

2

Kol

umna

n

Macierze

aij numer kolumny

numer wiersza

Macierze• Jeśli liczba wierszy macierzy A jest równa liczbie jej kolumn, czyli m=n,

to macierz nazywamy kwadratową.

• Jeśli macierz A ma jedną kolumnę, tzn.

to macierz A nazywamy wektorem kolumnowym.

• Jeśli macierz A ma jeden wiersz, tzn.

to macierz A nazywamy wektorem wierszowym.

A =

a1a2⋮am

,

A = [a1 a2 … an],

Macierze kwadratowe• Elementy macierzy kwadratowej

nazywamy elementami głównej przekątnej macierzy A.

• Jeżeli wszystkie pozostałe elementy macierzy A są równe 0, to macierz A nazywamy diagonalną i oznaczamy

a11, a22, …, ann

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

an1 an2 … ann

A = diag(a11, a22, …, ann) =

a11 0 … 00 a22 … 0⋮ ⋮ ⋮0 0 … ann

Macierze kwadratowe• Jeśli elementy głównej przekątnej macierzy diagonalnej A są wszystkie

równe 1, tzn.

to macierz A nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy

albo I, jeśli wiadomo jakiego wymiaru jest macierz.

In = diag(1,1,…,1) =

1 0 … 00 1 … 0⋮ ⋮ ⋮0 0 … 1

,

aii = 1 dla i = 1,2,…, n,

Działania na macierzach

Transpozycja (przestawienie)

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn

AT =

a11 a21 … am1a12 a22 … am2⋮ ⋮ ⋮

a1n a2n … amn

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn

AT =

a11 a21 … am1a12 a22 … am2⋮ ⋮ ⋮

a1n a2n … amn

Dodawanie macierzy

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn m×n

B =

b11 b12 … b1n

b21 b22 … b2n⋮ ⋮ ⋮

bm1 bm2 … bmn m×n

A + B =

a11 + b11 a12 + b12 … a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 … a2n + b2n⋮ ⋮ ⋮

am1 + bm1 am2 + bm2 … amn + bmn m×n

Mnożenie macierzy przez skalar

λ ⋅ A =

λa11 λa12 … λa1n

λa21 λa22 … λa2n⋮ ⋮ ⋮

λam1 λam2 … λamn m×n

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn m×n

λ ∈ ℝ

Macierz przeciwna

−A = (−1) ⋅ A =

−a11 −a12 … −a1n−a21 −a22 … −a2n

⋮ ⋮ ⋮−am1 −am2 … −amn m×n

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn m×n

Odejmowanie macierzy

A =

a11 a12 … a1na21 a22 … a2n⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amn m×n

B =

b11 b12 … b1n

b21 b22 … b2n⋮ ⋮ ⋮

bm1 bm2 … bmn m×n

A − B = A + (−B) =

a11 − b11 a12 − b12 … a1n − b1n

a21 − b21 a22 − b22 … a2n − b2n⋮ ⋮ ⋮

am1 − bm1 am2 − bm2 … amn − bmn m×n

Mnożenie macierzy

A =

a11 a12 … a1pa21 a22 … a2p

⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amp

m×p

B =

b11 b12 … b1n

b21 b22 … b2n⋮ ⋮ ⋮

bp1 bp2 … bpnp×n

A ⋅ B =

c11 c12 … c1nc21 c22 … c2n⋮ ⋮ ⋮

cm1 cm2 … cmn m×n

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj

PrzykładA = [

1 23 45 6]

3×2

B = [1 2 3 45 6 7 8]

2×4

A ⋅ B =1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 5 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 7 1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 83 ⋅ 1 + 4 ⋅ 5 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 6 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 7 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 85 ⋅ 1 + 6 ⋅ 5 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 6 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 7 5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 8 3×4

A ⋅ B =11 14 17 2023 30 37 4435 46 57 68 3×4

Własności działań na macierzach

• A+B = B+A,

• (A+B)+C = A+(B+C),

• 𝜆(A+B) = 𝜆A+𝜆B,

• (𝛼+𝛽)A = 𝛼A+𝛽A,

• A+(0) = (0)+A = A,

• A-A = A+(-A) = (0),

• A(B+C) = AB+AC,

• (A+B)C = AC+BC,

• (AB)C = A(BC),

• AI = IA = A.

UwagaMnożenie macierzy nie jest działaniem przemiennym, tzn.

A ⋅ B ≠ B ⋅ A .

A = [1 00 0], B = [0 1

0 0],

A ⋅ B = [1 00 0] [0 1

0 0] = [0 10 0],

B ⋅ A = [0 10 0] [1 0

0 0] = [0 00 0],

A ⋅ B ≠ B ⋅ A .

Zastosowanie praktyczne

[3 24 5]

Macierz współczynników

Surowce Wyroby

A

B

I

IIBuble Inc.

= I3A + 2

B

II

= 4 + 5I II

Zastosowanie praktyczne

[ I

II]= [3 24 5][ ]A

B

= I3A + 2

B

II

= 4 + 5I II

Zastosowanie praktyczne

[y1y2] = [3 2

4 5] [x1x2] {y1 = 3x1 + 2x2

y2 = 4x1 + 5x2

Y = [y1y2] X = [x1

x2] A = [3 24 5]

Y = AXKrótko:

Odwrotność macierzy? Dzielenie macierzy?

A−1?

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Wyznacznik jest funkcją det określoną na zbiorze wszystkich macierzy kwadratowych o wartościach będących liczbami rzeczywistymi. Jeśli A jest macierzą kwadratową postaci

to jej wyznacznik, oznaczany przez det(A) lub |A|, jest liczbą którą zdefiniujemy w sposób rekurencyjny:

A =

a11 a12 … a1ma21 a22 … a2m⋮ ⋮ ⋮

am1 am2 … amm m×m

,

Wyznacznik macierzy kwadratowej

Jeśli m = 1, tzn.

to określamy wyznacznik jako wartość jedynego elementu tej macierzy, mianowicie

Jeśli macierz A ma wymiar m×m, przy czym m > 1, to stosujemy tzw. rozwinięcie Laplace’a względem wybranej kolumny lub wiersza. Dokładniej (np. dla wybranego pierwszego wiersza):

gdzie oznacza minor elementu

A = [a11]1×1,

|A | = a11 .

|A | = a11 ⋅ (−1)1+1M11 + a12(−1)1+2M12 + … + a1m(−1)1+mM1m,

Mij aij .

Minory

A =

a11 a12 … a1j−1 a1j a1j+1 … a1ma21 a22 … a2j−1 a2j a2j+1 … a2m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai−11 ai−12 … ai−1j−1 ai−1j ai−1j+1 … ai−1mai1 ai2 … aij−1 aij aij+1 … aim

ai+11 ai+12 … ai+1j−1 ai+1j ai+1j+1 … ai+1m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amj−1 amj amj+1 … amm

m×m

Mij = det

a11 a12 … a1j−1 a1j+1 … a1ma21 a22 … a2j−1 a2j+1 … a2m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ai−11 ai−12 … ai−1j−1 ai−1j+1 … ai−1mai+11 ai+12 … ai+1j−1 ai+1j+1 … ai+1m

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮am1 am2 … amj−1 amj+1 … amm

(m−1)×(m−1)

Przykład

det A = 5 −31 7

= 5 ⋅ (−1)1+1 det[7] + (−3)(−1)1+2 det[1] = 5 ⋅ 7 + 3 ⋅ 1 = 38

A = [5 −31 7 ]

M12 = det [1]Minor dla elementu -3

Wybieramy pierwszy wiersz macierzy A, względem którego stosować będziemy rozwinięcie Laplace’a

M11 = det [7]Minor dla elementu 5A = [5 −31 7 ]

A = [5 −31 7 ]

Przypadki szczególne ułatwiające obliczanie wyznaczników

A = [a11 a12a21 a22]2×2

det A =a11 a12a21 a22

= a11a22 − a21a12

+

-

Przypadki szczególne ułatwiające obliczanie wyznaczników

A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 3×3

+

-

det A =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

a11 a12a21 a22a31 a32+ +

- -

det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

−a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12