7. UKŁADY AUTOMATYCZNEJ REGULACJI

7.1. STEROWANIE I REGULACJA AUTOMATYCZNA

Celem sterowania, czyli zamierzonego oddziaływania na układ

dynamiczny zwany obiektem, jest zwykle zapewnienie pożądanego

stanu tego obiektu, mimo działania zakłóceń lub pożądanego

przebiegu procesu w układzie. Rozróżnia się dwa podstawowe spo-

soby sterowania: sterowanie w układzie otwartym i sterowanie w

układzie zamkniętym (ze sprzężeniem zwrotnym).

w (t)Wymuszenie

il

T

Elementsterujący

u!tlSterowanie

-iz(t)' Zakłóceniei

Obiekty(t)

Wyjście

Rys.7.1. Zasada sterowania w układzie otwartym

Schemat blokowy otwartego układu sterowania przedstawionona rys.7.1. Oprócz obiektu zaznaczono tu element sterujący,który wytwarza sygnał sterujący obiektem. Element sterujący nieotrzymuje żadnych informacji o aktualnym stanie obiektu, leczco najwyżej o celu sterowania za pośrednictwem sygnału w(t) i ozakłóceniach z(t) działających na obiekt. W związku z tym ste-rowanie w układzie otwartym ma sens tylko wtedy, gdy na podsta-wie znajomości sygnału sterującego można z wystarczającą do-kładnością przewidzieć zachowanie się układu. Może być ono sto-sowane do obiektów o dokładnie znanych modelach i stanach po-czątkowych, na które nie działają żadne zakłócenia lub wyłącz-nie zakłócenia o znanym przebiegu. Takimi obiektami są przedewszystkim układy cyfrowe opisane w rozdz.8, w których stosowa-nie dwuwartościowych (0 i 1) stanów oraz sygnałów całkowicieokreśla ich modele i praktycznie eliminuje wpływ zakłóceń.W urządzeniach mechanicznych o działaniu ciągłym spotyka się

- 173 -

często sterowanie położeniem w układzie otwartym realizowane zapomocą mechanizmów krzywkowych, np. w obrabiarkach i rozrządziesilników spalinowych.

Jeżeli nie są dokładnie znane własności obiektu lub prze-biegi zakłóceń, bardziej celowe jest sterowanie ze sprzężeniemzwrotnym zwane regulacją.

Układem regulacji automatycznej nazywa się układ ze sprzę-żeniem zwrotnym, który samoczynnie zapewnia pożądany przebiegwybranych wielkości charakteryzujących proces, zwanych wielkoś-ciami regulowanymi. Schemat prostego układu regulacji o jednejwielkości regulowanej jest przedstawiony na rys.7.2. W tymschemacie wyróżnia się dwa elementy, tj. obiekt regulacji orazregulator.

e!tl

Regulatorult)

z(t)

Obiekty tt)

Rys.7.2. Zasada sterowania ze sprzężeniem zwrotnym

Aktualna wartość wielkości regulowanej y(t) jest porównywa-na z wartością zadaną tej wielkości y (t) na wejściu do regula-tora. Różnica tych sygnałów

e(t) = yz(t) - y(t), (7.1)

zwana uchybem regulacji, jest przetwarzana w regulatorze na

sygnał sterujący obiektem u(t) , tak aby mimo działania zakłóceń

z(t) układ dążył do zmniejszenia uchybu e(t).

Cel regulacji jest określony charakterem sygnału zadającego

y (t). W przypadku gdy y (t)=const (regulacja stałowartościowa)

zadaniem układu jest kompensacja zakłóceń z(t). Natomiast, gdy

y (t) jest z góry określoną funkcją czasu (regulacja programo-

wa) lub gdy ma charakter nieprzewidziany z góry (regulacja na-

dążna), zadanie układu regulacji polega na zapewnieniu możliwie

wiernego "kopiowania" sygnału y (t) przez wielkość regulowaną

Y(t).

- 174 -

palnik

Rys.7.3. Schemat ideowy układu regula-cj i temperatury w piecu

Regulacja stałowartościowa jest stosowana m.in. w sieci

energetycznej do stabilizowania napięcia i częstotliwości, a

regulacja programowa w obrabiarkach sterowanych numerycznie i

robotach przemysłowych. Przykładem regulacji nadążnej jest na-

prowadzanie na cel za pomocą radaru ognia artylerii przeciwlot-

niczej .

Na rys.7.3 przed-stawiono schemat ideowyukładu regulacji tempe-tatury w komorze piecaopalanego gazem. Tempe-ratura ta jest przetwa-rzana na zmiany ciśnie-nia w mieszku termosta-tu, który wywiera siłęna jedno ramię dźwigni.Na drugie ramię dźwignijest wywierana siła re-prezentująca wartość za-

daną, realizowana za pomocą sprężyny o nastawianym ugięciuwstępnym. W tym przypadku uchyb regulacji w postaci przemiesz-czenia dźwigni oddziałuje bezpośrednio na zawór sterujący do-pływem gazu. W praktyce przemysłowej stosuje się zwykle układybardziej skomplikowane.

Schemat blokowy typowego układu regulacji uwzględniającyelementy funkcjonalne jest przedstawiony na rys.7.4. Opróczobiektu i regulatora wyróżniono tu element pomiarowy wielkościregulowanej, zadajnik wprowadzający do regulatora wartość zada-ną, wzmacniacz mocy i element nastawczy sterujący obiektem. Za-znaczono również sygnały zakłócające działające na obiekt orazszumy pomiarowe powodujące zniekształcenia sygnału zawierające-go informacje o wielkości regulowanej w torze sprzężenia zwrot-nego.

Należy podkreślić, że w układzie ze sprzężeniem zwrotnym

skorygowanie sygnału sterującego obiektem nie następuje bezpo-

średnio po wystąpieniu zakłócenia, lecz dopiero wtedy, gdy po-

jawią się jego skutki w postaci uchybu regulacji. Dlatego też w

niektórych układach regulacji mierzy się również ważniejsze za-

- 175 -

kłócenia i wyniki tych pomiarów wykorzystuje do sterowaniaobiektem (co pokazano na rys.7.4 linią przerywaną).

wartość i

zadana \ \

\ 1Z a daj ni k Regulator

Element pomiarowyzakłóceń obiektu

Wzmacniaczmocy

L.

1 zakłóceniaobiektu

Elementnastawczy

Elementpomiarowy

i

szumy

wielkośćreguwan

Obiekt

lo-

m-

pomiarowe

Rys.7.4. Schemat blokowy układu regulacji

7.2. OPIS I WŁASNOŚCI LINIOWEGO UKŁADU REGULACJI

Ciągłe układy regulacji, przy niewielkich odchyleniach odstanu równowagi statycznej, można traktować jako liniowe i opi-sywać za pomocą transmitancji. Wymaga to jednak odpowiedniegodopasowania zakresów sygnałów wejściowych i wyjściowych wszyst-kich połączonych ze sobą elementów. Na przykład wartości ciś-nienia na wyjściu regulatora pneumatycznego, sterującego po-przez siłownik odpowiednim zaworem na wejściu do obiektu, musząsię mieścić w zakresie odpowiadającym możliwym do zrealizowaniaotwarciom zaworu. Przy dużych odchyleniach od nominalnego punk-tu pracy, występujących podczas rozruchu lub spowodowanych bar-dzo dużymi zakłóceniami, warunki dopasowania zwykle nie sąspełnione i układ nie może być traktowany jako liniowy.

Jeżeli układ regulacji jest traktowany jako liniowy, tojego schemat blokowy wygodnie jest przedstawić w postaci poka-zanej na rys.7.5, przy następujących oznaczeniach:G (s) - transmitancja operatorowa obiektu z elementem nastaw-

czym i wzmacniaczem mocy,G (s) - transmitancja operatorowa regulatora,H (s) ... H (s) - transmitancje operatorowe odpowiadające po-

szczególnym zakłóceniom obiektu.

- 176 -

n(t)

——*QY—

"

z7(t)

z (t)

zr/tl

(t)

L _ .

»z

• *

G

(s)

(s) —s\

* * * \ I(s) ——WVN+

0<S> - < y

Obiekt

1

yftt

Rys.7.5. Schemat blokowy liniowego układu regulacji

Wydzielenie bloków odpowiadających różnym zakłóceniom jest ce-

lowe przy rozpatrywaniu procesów przejściowych wywołanych tymi

zakłóceniami. W przypadku pieca opalanego gazem sygnałami za-

kłócającymi są. m.in. zmiany temperatury otoczenia oraz wartości

opałowej i ciśnienia gazu, przy czym na każde z tych zakłóceń

obiekt reaguje inaczej.

W niektórych rozważaniach wygodnie jest zastąpić zakłócenia

z (t) ... z (t) jednym zakłóceniem wypadkowym z(t) sprowadzonym

na wyjście obiektu. Przebieg tego zakłócenia można wyznaczyć

doświadczalnie dokonując pomiaru wielkości wyjściowej obiektu

y(t) przy stałej wielkości sterującej u(t) .

Sygnał n(t), oznaczony linią przerywaną na schemacie bloko-

wym, reprezentuje szumy pomiarowe oraz błędy przetwarzania

przetwornika pomiarowego i zadajnika, które powodują że sygnał

na wejściu regulatora nie jest dokładnie równy uchybowi regula-

cji tzn, różnicy między wartością zadaną a wartością rzeczywis-

tą wielkości regulowanej.

Do dalszych rozważań wprowadzimy pojęcie transmitancji

układu otwartego

K(s) = Gr(s)GQ(s). (7.2)

- 177 -

Z przyjętego schematu blokowego (rys.7.5) wynika następujący

wzór

( 7 . 3 )

Z definicji uchybu (7.1) i (7.3) otrzymuje się

lV s>V s)l -Tmh-n(s)- (7-4)i=i -I

Ze wzorów tych można wyznaczyć przebiegi sygnału wyjściowego(wielkości regulowanej) y(t) lub uchybu regulacji e(t) dladanych przebiegów zakłóceń z (t) i n(t) oraz sygnału zadającegoy (t) . Zwykle rozpatruje się oddzielnie szczególne przypadkiwymuszeń i na tej podstawie dokonuje oceny własności układu re-gulacji. Własności te zależą przede wszystkim od transmitancjiukładu otwartego K(s), będącej iloczynem transmitancji obiektui regulatora. Projektowanie układu regulacji polega na takimdobraniu transmitancji regulatora dla zadanej transmitancji o-biektu, aby otrzymana transmitancja układu otwartego zapewniałaspełnienie przyjętych kryteriów dotyczących jakości regulacji.

W przemysłowych układach regulacji ciągłej wykorzystuje sięzwykle uniwersalne regulatory liniowe realizujące w przybliże-niu następujące działania: proporcjonalne (P), całkujące (I) iróżniczkujące (D). Znaczenie praktyczne ma pięć typów regulato-rów oznaczonych symbolami P, I, PI, PD i PID, zależnie od tego,które z wymienionych wyżej działań podstawowych są przez nierealizowane. W tablicy 7.1 zestawiono transmitancje operatoroweoraz charakterystyki skokowe i częstotliwościowe takich regula-torów. Dotyczą one tzw. regulatorów idealnych, stanowią więcprzybliżony opis matematyczny regulatorów rzeczywistych. Para-metry k , T oraz T występujące w związkach określających

p i d

własności regulatorów mogą być zmieniane w szerokich granicachi są nazywane nastawami. Przez odpowiedni dobór nastaw zapewniasię pożądane własności regulatora. Parametr k nazywany jestwspółczynnikiem wzmocnienia, T( - czasem zdwojenia (całkowania)a T - czasem wyprzedzenia (różniczkowania). W regulatorach PIoraz PD nastawy są niezależne, tzn. każdy z parametrów może być

prop

orcj

onal

ny P

prop

orcj

onal

ny-

-cał

kują

cy

PI

prop

orcj

onol

no-

-raż

nicz

kują

cy P

D

prop

orcj

onal

no-

-caT

kują

co-

-róż

nicz

kują

cy P

ID

Tran

smita

ncja

oper

ator

owa

G/s

)

*pd+

T ds)

Cha

rakt

erys

tyka

sko

kow

a

k,

Mn

*kpiw

0 r

0

k p

hlt

hk

[1(f

)-^-

tJ i

t '

h(t)

=kp[

1(t)

+

T dó"(

t)]

». t

0 7

Loga

rytm

iczn

aam

plitu

dow

a

Llu)

< 0

\

0

L ld

>) 0

L(C

J)

\

0

20lg

k p

tgu

i i

OJ r

-L

'9 U

Tj W ui =

—

Igcj

"

i i

i i

w

1 u

- '

Igu

ch

ara

kte

ryst

yka

fazo

wa

<p d

o)'

tp (

ej)

—

0

0 l g

uj

""

" 0 TT i__

V

TT U 0 TT 2 0

•

/^

~

/,

1

lao

j/

1

'

Jr 2

l 178 -

Tabl ica -j

- 179 -

zmieniany za pomocą oddzielnego pokrętła. W uniwersalnych regu-latorach (szczególnie pneumatycznych) typu PID występuje zwyklesprzężenie między nastawami. Oznacza to, że w takim regulatorzeo transmitancji

T7I + T a S ) '

zmiana położenia jednego z pokręteł wywołuje równoczesną zmianę

wszystkich trzech parametrów k , T oraz T . Tylko przy szcze-p 1 d

gólnych wartościach niektórych nastaw, np. gdy regulator jest

wykorzystywany jako proporcjonalny (T =00, T =0) lub proporcjo-i d

nalno-różniczkujący (1̂ =00) , albo proporcjonalno-całkujacy(T =0) , wartości pozostałych nastaw można zmieniać niezależnie.

d

Regulator ma zwykle postać układu ze sprzężeniem zwrotnym,zawierającym w torze głównym element proporcjonalny o bardzodużym współczynniku wzmocnienia (k >103) , a w pętli sprzężeniazwrotnego element o transmitancji .- . . Transmitancja takiegoukładu równa się

G(s) = =- = -, . « G (B). (7.6)

Jeżeli w pętli sprzężenia zwrotnego umieści się np. element

inercyjny o transmitancji , to uzyskany tak regulator ma

transmitancj ę

Gp(s) = jjrd+Ts),

typu PD o nastawach k =r- i T =T.p K d

Analizę własności liniowego układu regulacji przeprowadza

się zwykle na podstawie wzorów (7.3) i (7.4) określających

transformaty przebiegów wielkości regulowanej y(t) oraz uchybu

e(t) przy dowolnych wymuszeniach. Wzory t e wygodnie j e s t przed-

stawić w postaciY(s) = Go(s)Z(s) + Gz(s) [Yz(s)+N(s)j, (7.7)

E(s) = Go(s) [Yz(s)-Z(s)] -Ga<ą)N(s), (7.8)

gdzie:

- 180 -

rZ(S) = £ H^sJZ^s), (7-9)

Wi=Z(s) jest transformatą wypadkowego zakłócenia z(t) sprowadzone-

go na wyjście obiektu (rys.7.5). Funkcja Ge(s) nazywa się

transmitancją uchybową, a funkcją Gz(s) transmitancją układu

zamkniętego lub transmitancją nadążania. Obie te transmitancje

można wyznaczyć na podstawie transmitancji układu otwartego

K(s). Warto zwrócić uwagę, że równanie charakterystyczne układu

zamkniętego ma postać

L(s) + M(s) = 0, (7.12)

gdzie: L(s) i M(s) są wielomianami występującymi w liczniku i

mianowniku układu otwartego K(s).

7.3. OCENA JAKOŚCI REGULACJI

7.3.1. Dokładność statyczna

Układom regulacji stawia się różne wymagania zależne od ichprzeznaczenia, przy czym podstawowym wymaganiem jest stabil-ność. Dalsze rozważania będą dotyczyły układów stabilnych.

Wymagania dotyczące dokładności statycznej formułowane są wpostaci dopuszczalnych wartości uchybu regulacji w stanie usta-lonym. Uchyb ustalony można wyznaczyć ze wzoru (7.4) na podsta-wie twierdzenia granicznego rachunku operatorowego

eu = lim e(t) = lim s E(s). (7.13)t Xxi S—»0

Transformata uchybu E(s) jest sumą trzech składników, z których

pierwszy zależy od sygnału zadającego y (t) , drugi - od zakłó-

ceń obiektu z((t), a trzeci (często pomijany) - od szumów i

błędów pomiarowych n(t). Można więc wyznaczyć oddzielnie skład-

niki uchybu ustalonego odpowiadające ustalonym wartościom każ-

dego z tych wymuszeń jako y , z oraz n . Pierwszy z tychzu i u u •* J

- 181 -

składników wyraża się wzorem

5

i jest równy zeru tylko wtedy, gdy lim K(s)=o>, tzn. kiedys—>0

transmitancja układu otwartego ma bieguny zerowe, czyli układ

otwarty zawiera elementy całkujące połączone szeregowo z ele-

mentami o skończonym wzmocnieniu. Układ zawierający elementy

całkujące, który zapewnia zerową wartość uchybu określonego

wzorem (7.14) jest nazywany układem astatycznym.

W przypadku układów statycznych (bez elementów całkujących)

lim K(s)=k, gdzie k jest wzmocnieniem układu otwartego. Te sames—->0określenia odnoszą się również do obiektów, tzn. w przypadkuobiektu astatycznego lim G (s)=«, a w przypadku obiektu sta-

s—>0 °tycznego lim GQ(s)=k , gdzie k jest wzmocnieniem obiektu.

Dla układów statycznych uchyb ustalony wywołany ustalonązmianą wartości zadanej y wyraża się wzorem

e, = y JTK. (7.15)lu •'zu 1+k

Można zmniejszyć jego wartość zwiększając współczynnik wzmoc-

nienia k. Możliwość ta jest jednak ograniczona ze względu na

stabilność układu.

Drugi ze składników uchybu ustalonego zależy od transmitan-

cji obiektu względem zakłócenia oznaczonej na schemacie bloko-

wym jako H (s) . Dla uproszczenia uwzględnia się tylko jedno

zakłócenie o wartości ustalonej Zy i zakłada, że Hl(s)=GQ(s).

Wówczas

G (S) -e = - lim z °. . . . = - lim z —-= , (7.16)Zu

s_*o u l+Gr(s)Go(s) s_^ 0 u ~T- + G ( s )G0(s)

a jego wartość jest równa zeru tylko wtedy, gdy lim G (s)=«,s—»0 r

tzn. gdy regulator ma własności całkujące, np. jest typu I, PIlub PID.

W układach regulacji wyposażonych w regulatory P lub PDwystępuje uchyb ustalony o wartości określonej wzorami:

- 182 -

e = - z i- - w przypadku obiektów astatycznychp

oraz

- w przypadku obiektów statycznych,

gdzie: k - współczynnik wzmocnienia regulatora, k - współczyn-nik wzmocnienia obiektu.

Również w tym przypadku istnieje pewna, ale ograniczona wzglę-dami stabilności, możliwość zmniejszenia uchybu statycznegopoprzez zwiększenie wzmocnienia regulatora.

Trzeci ze składników wyraża się wzorem

a jego wartość wynosi: -n w przypadku układu astatycznego oraz-n Y^j- w przypadku układu statycznego o współczynniku wzmoc-nienia k. Oznacza to, że uchybu ustalonego wywołanego ustalonąwartością szumu lub błędu pomiarowego n nie można wyeliminowaćcałkowicie.

Przeprowadzona analiza dokładności statycznej jest wystar-czająca dla układów regulacji stałowartościowej. Odrębnego omó-wienia wymaga zagadnienie dokładności układów regulacji nadąż-nej (serwomechanizmów) w przypadku szybko zmieniających sięwymuszeń.

Układ zamknięty nazywa się astatycznym m-tego rzędu, jeżeliukład otwarty zawiera m szeregowo połączonych elementów całku-jących, tzn. jego transmitancję można przedstawić w postaci

K(s) = ̂ £iei.f (7.18)s" N(s)

przy czym: lim M(s) = lim N(s).s—»0 s—>0

Można wykazać, że układ astatyczny m-tego rzędu odtwarza bez

uchybu tylko te wymuszenia, których pochodne począwszy od m-tej

są równe zeru dla dostatecznie dużego czasu. Na przykład w

przypadku wymuszenia liniowo narastającego y =vt dla zapewnie-

nia e

l u=0 konieczny jest astatyzm drugiego rzędu, w przypadku

wymuszenia parabolicznego y =at2 - astatyzm- trzeciego rzędu

itd. Wymagania te zwykle są niemożliwe do spełnienia bez dodat-

- 183 -

kowych członów korekcyjnych, ponieważ już po wprowadzeniu dwóch

elementów całkujących połączonych szeregowo układ staje się

strukturalnie niestabilny.

7.3.2. Jakość dynamiczna

Oprócz wymagań dotyczących stabilności i dokładności sta-tycznej żąda się od układów regulacji dobrej jakości dynamicz-

nej. Jest to pojęcie dość szerokie, które obejmuje m.in.: cha-

rakter i czas zanikania procesów przejściowych, wartości maksy-

malnych uchybów, a także pasma częstotliwości, w których zacho-

dzi wystarczająco dokładne odtwarzanie sygnałów wymuszających

lub tłumienie zakłóceń. Jakość dynamiczną określa się zwykle za

pomocą wskaźników liczbowych odnoszących się do niektórych cech

charakterystyki skokowej lub charakterystyk częstotliwościowych

układu zamkniętego o transmitancji G (s) opisanej wzorem (7.11).

Na podstawie odpowiedzi układu zamkniętego na skokowy sygnał

wymuszający określa się czas regulacji t oraz przeregulowanie

K, w sposób przedstawiony na rys.7.6.

Czas regulacji jest

to czas liczony od chwi-

li wystąpienia wymusze-

nia skokowego do chwili, j

po której wielkość regu-

lowana różni się od war-

tości ustalonej y mniej

niż o założoną wartość A

(zwykle od 1% do 5% war-

tości y ) .

Przeregulowaniem na-

zywa się maksymalną róż-

Rys.7.6. Określenie czasu regulacjit i przeregulowania K na podstawier charakterystyki skokowej

nicę między wartością chwilową a wartością ustaloną wielkości

regulowanej, odniesioną do tej wartości ustalonej

- y(dla y >0). (7.19)

Wartość K jest tym mniejsza, im szybciej tłumione są oscylacjew procesie przejściowym; w przypadku przebiegu aperiodycznegoK = 0 .

- 184 -

Zwykle wymaga się, aby czas regulacji tp i przeregulowanieK nie przekraczały wartości dopuszczalnych. Wartości liczbowewskaźników t i K zależą od położenia pierwiastków równania

r

charakterystycznego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej s. Moż-

na wykazać, że w przybliżeniu czas regulacji spełnia związek

( 7 - 2 0 )

gdzie |Re s | jest wartością bezwzględną części rzeczywistejID

pierwiastka położonego w lewej półpłaszczyźnie najbliżej osi

urojonej, któremu odpowiada najwolniej zanikająca składowa

(mod) procesu przejściowego. Jeżeli s jest pierwiastkiem rze-

czywistym, to w procesie przejściowym najdłużej zanika składowa-s t

o przebiegu wykładniczym Ce ™ , gdzie C jest wartością począt-

kową tej składowej. Jeżeli s jest pierwiastkiem zespolonymn

(parą pierwiastków sprzężonych), to w procesie przejściowym

najdłużej trwają tłumione oscylacje o pulsacji u=|Im s |.m ni

Przeregulowanie < jest tym większe, im większa jest maksy-

malna wartość bezwzględna stosunku części urojonej do części

rzeczywistej wśród wszystkich pierwiastków równania charakte-

rystycznego. Zwykle o wartości przeregulowania decyduje para

pierwiastków sprzężonych położona najbliżej osi urojonej.

Istnieje również wyraźny związek między wskaźnikami t i K,

a kształtem częstotliwościowej charakterystyki amplitudowej

M (<J)=20 loglG (jw)l układu zamkniętego (rys.7.7). Zakres czę-

stotliwości, w którym ta charakterystyka jest płaska nazywa się

pasmem przenoszenia (nadążania) , a pulsacja w ograniczająca to

pasmo nazywa się pulsacja graniczną układu.

Pulsacja graniczna jest określana w różny sposób, a jej

wartość jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do czasu

regulacji t̂ . W przypadku charakterystyki amplitudowej bez re-

zonansu, tzn. malejącej w sposób monotoniczny, można oszacować

czas regulacji, korzystając z przybliżonego związku [2]9

gdzie: tp - czas regulacji dla A=0,05yu, u - częstotliwość

graniczna określająca pasmo, w którym charakterystyka

amplitudowa zmienia się nie więcej niż o 3 dB.

- 185 -

tUKIju)!

b)

dB

Rys.7.7. Typowe logarytmiczne charakterystyki amplitudoweukładu zamkniętego: a) bez rezonansu, b) z rezonansem

Charakterystykę amplitudową z rezonansem określają dwa

wskaźniki liczbowe: pulsacja rezonansowa w oraz szczyt rezo-

nansowy tzn. stosunek m =|'G (jw )I/IG (jO)i lub AM =201og m =

=M (w )-M (0) w dB. Zwykle wymaga się spełnienia warunku

AM 33,5 dB, czyli msl,5 i wtedy w jest traktowana jako częs-

totliwość graniczna, a czas regulacji może być wyznaczony ze

wzoru [2]

t -32Ł.r W

(7.22)

W wielu przypadkach pulsację graniczną można oszacować na

podstawie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej układu

otwartego M(w)=20 log|K(jco) I . Charakterystyka amplitudowa ukła-

du zamkniętego wyraża się wzorem

IG | '(7.23)

z którego wynika, że zakres częstotliwości, w którym spełniony

jest warunek |K(ju)|»l, jest pasmem przenoszenia układu zam-

kniętego, ponieważ w tym zakresie IG^jw) |«1. W takich przypad-

kach przyjmuje się, że pulsacja graniczna równa się w przybli-

żeniu tzw. pulsacji przecięcia w , określonej przez związek

M(w )=0 (logarytmiczna charakterystyka amplitudowa przecina ośm

odciętych).

- 186 -

Szczyt rezonansowy zależy od zapasu stabilności. Dla typo-wych układów przy zapasie modułu 6 dB i zapasie fazy 3 0°+45°wartość AM nie przekracza na ogół 3,5 dB. Na podstawie szczyturezonansowego można oszacować przeregulowanie te. W zakresielsms2 wartość K spełnia przybliżony związek [1]

r

m -1 , -AM /20, C - - i - - l - i - - i - 1 0 r . (7.24)

r r

Duża szerokość pasma przenoszenia i mała wartość szczytu rezo-

nansowego są wymagane przede wszystkim w układach regulacji na-

dążnej. Wierne odtworzenie przebiegu sygnału wymuszającego

y (t) jest bowiem możliwe tylko wtedy, kiedy jego pasmo jest

węższe niż pasmo przenoszenia układu nadążnego.

W niektórych układach nadążnych przeregulowania są niedo-

puszczalne (K=0), co jest równoznaczne z wymaganiem AM =0.

Wygodnym kryterium oceny jakości dynamicznej układu jest

wskaźnik regulacji

q(jw) = l(Ąfu)> (7-25>definiowany jako stosunek transformat Fouriera1 odpowiedzi na

to samo wymuszenie układu zamkniętego y(t) i układu otwartego

y'(t). Ze schematu blokowego przedstawionego na rys.7.5 i wzoru

(7.3) wynika, że przy dowolnym wymuszeniu z^ (t) , y2(t) lub n(t)

wskaźnik regulacji wyraża się wzorem

opisującym również widmową transmitancję uchybową G (jw). Moduł

wskaźnika regulacji

( 7' 2 7 )

oznaczający stosunek amplitud składowych harmonicznych sygnału

wyjściowego i wymuszenia o pulsacji w jest miarą zwiększenia

efektywności tłumienia zakłóceń, uzyskanego dzięki sprzężeniu

zwrotnemu. Wartość lg(jw)| dla danej pulsacji u można wyznaczyć

i) Niektórzy autorzy definiują wskaźnik regulacji jako stosunekmodułów transformat Fouriera.

- 187 -

w sposób pokazany na rys.7.8a jako odwrotność modułu wektora1+K(jw) na charakterystyce amplitudowo-fazowej układu otwarte-go. Typowy wykres modułu wskaźnika regulacji w funkcji pulsacjiw przedstawia rys.7.8b. Istotnym parametrem tego wykresu jest

a)

Rys.7.8. Porównanie charakterystyk częstotliwościowych układustatycznego (1) i astatycznego (2): a) charakterystyka amplitu-dowo-f azowa układu otwartego, b) wykres modułu wskaźnika regu-

lacji, c) charakterystyka amplitudowa układu zamkniętego

- 188 -

pulacja u ograniczająca pasmo tłumienia zakłóceń, w którymtłumienie układu zamkniętego jest większe niż układu otwartego.Najbardziej efektywne tłumienie zakłóceń, tzn. minimalna war-tość lq(jw)|, występuje przy w=0 (w przypadku układów astatycz-nych |q(jw)|=O). Warto zwrócić uwagę, że w paśmie wi<u<wz układzamknięty słabiej tłumi zakłócenia niż układ otwarty. Pasmo to,określone przez warunek |l+K(jw)l<l, występuje we wszystkichukładach wyższego rzędu (n>l).

Maksymalna wartość lq(jw)| występująca przy pulsacji, któ-rej odpowiada punkt charakterystyki amplitudowo-fazowej układuotwartego K(ju) położony najbliżej punktu -l,jO, może być uwa-żana za miarę zapasu stabilności.

W zakresie u»u tłumienie zakłóceń w obydwu układach, zam-kndętym i otwartym, jest praktycznie jednakowe.

Ze wzorów (7.8) i (7.10) wynika, ze wskaźnik regulacjiq(jw)=G (jw) jest również stosunkiem transformaty Fourierauchybu regulacji E(jw) do transformaty wymuszenia Y (jw) lubZ(jw) i może być stosowany do oceny uchybów wywołanych tymiwymuszeniami. Nie dotyczy to jednak uchybów wywołanych szumamilub błędami pomiarowymi n(t), ponieważ zachodzi związek

(7.28)

Oznacza to, że do oceny uchybów regulacji wywołanych szumami ibłędami przetwornika pomiarowego należy wykorzystać transmitan-cję widmową układu zamkniętego i jego charakterystykę amplitu-dową (rys.7.8c). Z porównania tej charakterystyki z wykresemmodułu wskaźnika regulacji (7.8b) wynika, że szumy pomiarowemieszczące się w paśmie przenoszenia układu nie są w układzietłumione tak intensywnie jak zakłócenia obiektu. Dlatego teżprzetwornik pomiarowy i cały tor sprzężenia zwrotnego powinnybyć zabezpieczone przed zakłóceniami, szczególnie o niskichczęstotliwościach.

Należy dodać, że do oceny jakości regulacji stosuje sięrównież wskaźniki całkowe, określane zwykle na podstawie cha-rakterystyki skokowej. Najprostsze z tych wskaźników mają pos-tać

00

It = J(e(t)-eu) dt (dla e(t) aperiodycznego), (7.29)0

- 189 -

\ = J(e(t)-eu)2 dt, (7.30)

O

00

I3 = J|e(t)-eJ dt, (7.31)O

gdzie: e - uchyb ustalony.

Dla typowych układów regulacji minimalną wartość I otrzymuje

się dla najkrócej trwającego przebiegu aperiodycznego e(t), a

minimalną wartość I3 dla najkrótszego przebiegu z przeregulowa-

niem <ao,2.

7.4. PROJEKTOWANIE UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI

Synteza układu regulacji automatycznej ogranicza się zwykledo wyboru elementu pomiarowego, regulatora i elementu wykonaw-czego oraz wyznaczenia nastaw regulatora zapewniających wymaga-ną jakość regulacji. W przypadku układów o jednym wejściu ijednym wyjściu jakość regulacji najwygodniej jest określić napodstawie logarytmicznych charakterystyk częstotliwościowychukładu otwartego, które otrzymuje się w prosty sposób przez su-mowanie odpowiednich charakterystyk obiektu i regulatora. Pod-czas projektowania należy więc dobrać takie charakterystyki lo-garytmiczne regulatora, które po zsumowaniu ze znanymi charak-terystykami obiektu zapewnią pożądany kształt charakterystyk u-kładu otwartego, scharakteryzowany przez następujące wielkości:

- wartość M(0), od której zależy uchyb ustalony,

- pulsację przecięcia u , będącą oszacowaniem pulsacji granicz-m

nej, od której zależy czas regulacji,- zapas modułu i zapas fazy, od których zależy przeregulowanie

JC oraz szczyt rezonansowy AM .Znając charakterystyki częstotliwościowe obiektu oraz wyma-

gania dotyczące jakości regulacji można stosunkowo łatwo ocenićprzydatność poszczególnych typów regulatorów analizując ichcharakterystyki częstotliwościowe przedstawione w tablicy 7.1.Przy stosowaniu regulatora typu P charakterystyka fazowa układuotwartego nie ulega zmianie, a charakterystyka amplitudowa ze