10. UKŁADY NIELINIOWE AUTOMATYCZNEJ REGULACJI

10.1. UWAGI WSTĘPNE

Omówione dotychczas układy, były liniowe albo dawały się

sprowadzić do liniowych na drodze linearyzacji (por. p.2.,5).

W wielu praktycznych przypadkach wyniki analizy teoretycznej

takich zlinearyzowanych układów pokrywają się z wynikami doś-

wiadczalnymi. Są jednak przypadki, że wyniki teoretyczne uzys-

kane dla układów zlinearyzowanych różnią się znacznie od wyni-

ków doświadczalnych. Obserwuje się to powszechnie w układach

automatycznej regulacji, gdy co najmniej jeden element układu

ma silnie nieliniową charakterystykę statyczną.

Ograniczenia czasowe programu przedmiotu DAU pozwoliły na

zamieszczenie w tym rozdziale tylko elementarnych wiadomości z

zakresu teorii układów nieliniowych. Mają one głównie charakter

wskazówek praktycznych, z pominięciem dowodów użytych twierdzeń

i dotyczą głównie układów nieliniowych, w których bezwładność

elementów nieliniowych jest pomijalnie mała, w porównaniu z

bezwładnością części liniowej. Czytelnik zainteresowany pogłę-

bieniem wiadomości z zakresu układów nieliniowych może skorzys-

tać ze źródeł: [1,2,4,5,7]. Przypomina się jednocześnie, że

ogólne metody badania stabilności układów nieliniowych przed-

stawiono już w rozdziale 6.

10.2. PODSTAWOWE NIELINIOWOŚCI

Zakłada się symboliczny opis elementów nieliniowych w po-staci schematu blokowego, pokazanego na rys.10.1. Sygnałemwejściowym jest tu uchyb e(t); sygnałem wyjściowym zależnośću=f(e), uzyskana na podstawie charakterystyki statycznej ele-mentu. W dalszym ciągu tego rozdziału stosuje się opis w posta-ci podanej na rys.10.la (z wrysowaną charakterystyką elementu)lub - uproszczony, wg rys.10.lb.

- 273 -

a)

u= fle)

Rys.10.1. Oznaczenie elementów nieliniowych na sche-matach blokowych

a) Nieczułość

Jeżeli zmiana sygnału e w pewnym przedziale (-a,a) (pomi-

nięto tu czas, bo rozważania dotyczą wyłącznie charakterystyki

statycznej) nie powoduje zmiany sygnału wyjściowego u, a dla

e>a lub e<-a występuje liniowa zależność między tymi sygnałami,

to nieliniowość tego rodzaju nazywana jest nieczulością. Anali-

tycznie można ją opisać zależnościami

u = (e-a)

(e+a)

dladladla

lelsa,e>a,e<-a,

(10.1)

gdzie: k i są stałymi współczynnikami.

Charakterystykę statyczną elementu z nieczułością pokazano na

rys.10.2a dla k =k =k. Kąt pochylenia charakterystyki jest

równy arctg k ale tylko dla jednakowych podziałek osi e i u-

Przykład techniczny nieczulości obrazuje rys.10.2b. Współczyn-

nik k jest tu równy jedności i nie dotyczy sztywności zaznaczo-

nej schematycznie sprężyny.

a)

AA

un1

arc tgk i arc tgk

b)

e> 0 e < 0

tarcie

Rys.10.2. Nieczułość Rys.10.3. Nasycenie

- 274 -

b) NasycenieZjawisko nasycenia ma miejsce wtedy, gdy po przekroczeniu

przez sygnał wejściowy pewnej wartości ustaje przyrost sygnałuwyjściowego. Analityczny opis jest wtedy następujący:

u

ke

uni

un2

dla u

dla

dla

n 1

e>uii."

/k,

/k, (10.2)

e<u /kn2'

-ur

Charakterystykę statyczną odpowiadającą takiemu opisowi

przedstawiono na rys.10.3a. Przykład realizacji nieliniowego

elementu z nasyceniem pokazano na rys.10.3b. Dotyczy on siłow-

nika pneumatycznego, w którym e jest przyrostem ciśnienia (e>0

oznacza przyrost ciśnienia po lewej stronie membrany, a e<0 -

przyrost po stronie prawej). Sygnał wyjściowy u jest tu prze-

mieszczeniem elementu związanego z membraną (suwak o przemiesz-

czeniu u nie dotyczy tego przypadku) .

c) Nieczułość wraz z nasyceniem

W tym przypadku charakterystyka sta-

tyczna jest taka jak na rys.10.4. Można ją

opisać w podobny sposób jak to miało miej-

sce dla typu a) i b). Przykładem technicz-

nym jest siłownik membranowy z rys.10.3b,

przy czym sygnałem wyjściowym jest teraz

Rys.10.4. Nieczu- u .

łość z nasyceniem

d) Luz

Usunięcie sprężyny ustalającej położenie zerowe elementu

napędzanego w elemencie nieliniowym z rys.10.2b powoduje po-

wstanie nieliniowości o zupełnie innej charakterystyce statycz-

nej od pokazanej na rys.10.2a. W tym przypadku przy zmianie

kierunku ruchu członu napędzającego (e) człon

napędzany (u) pozostanie w spoczynku do chwi-

li przejścia przez człon napędzający drogi

równej 2a (dotyczy to powolnego przemieszcza-

nia się obydwu członów).

Charakterystykę statyczną członu nieli-

niowego z luzem pokazano na rys.10.5. JeżeliRys.10.5. Luz zmiany e są okresowe w przedziale e >a oraz

max

- 275 -

e <-a, to charakterystyka u=f(e) kontur zamknięty.

u=u,

Kontur taki nazywany jest pętlą histerezy.

Nieliniowość typu luzu jest typowa dla mechanizmów i wystę-

puje we wszystkich rzeczywistych parach kinematycznych z zam-

knięciem kinematycznym.

e) Luz wraz z nasyceniem

Usunięcie sprężyny ustalającej położenie elementu napędza-

nego w przypadku członu z rys.10.3b przynosi podobne następstwa

co usunięcie sprężyny w członie z rys.10.2b i

powoduje zmianę charakterystyki statycznej

członu. Zamiast charakterystyki z rys.10.4

otrzymuje się charakterystykę pokazaną na

rys.10.6. Jest to typowa charakterystyka ele-

mentu nieliniowego, w którym występuje jedno-

cześnie nieliniowość typu luzu i typu nasyce-

nia.Rys.10.6. Luz z

nasyceniemf) Nieliniowości przekaźników

Przekaźnikami nazywa się elementy, w których sygnał wyjś-ciowy u zmienia się skokowo, ze zmianą znaku dla pewnych war-tości ciągłego sygnału wejściowego e. Najważniejsze typy cha-rakterystyk statycznych zestawiono na rys.10.7.

Użyta tu nazwa "prze-kaźnik" nasuwa skojarze-nie z układami elektrycz-nymi, gdzie charakterys-tyki takie mają przekaź-niki, a ponadto elementystykowe stosowane w re-gulacji dwupołożeniowej. Rys.10.7. PrzekaźnikiNieliniowości tego typu występują jednakże i w innych, nieele-ktrycznych elementach. Można za ich pomocą opisać np. siły tar-cia suchego (rys.10.7a), gdy zakłada się uproszczony model dy-namiczny ze stałą wartością tych sił. Analityczny opis przekaź-nika dwupoloźeniovego z rys.10.7a jest następujący:

u dla (e>0) V [(e=0) /\ u(t-At) = Unl]

u dla (e<0) V [(e=0) A u(t-At) = u '

a) 'um

u b) •

G Q

|un2

u c)

a

n/ —»

i

n 1

-a

i u

a

dl •

— -aj

'Wun2

t u

•

1

ea1 a2

un2

u = (10.3)

- 276 -

We waorze tym wprowadzono czas t 'dla uniknięcia nieoznaczoności

dla e=0. Sygnał u(t-At) jest opóźniony względem u(t) o dowolnie

małą chwilę czasu At.

Charakterystyki, które cechują zamknięte kontury (pętle

histerezy) są niejednoznaczne. Pozostałe są jednoznaczne. Ele-

menty nieliniowe z pętlami histerezy cechuje właściwość, którą

można nazwać pamięcią.

Charakterystykę przekaźnika dvupolożeniovego z histerezą

(rys.10.7c) , z uwzględnieniem tej pamięci można opisać następu-

jąco

u(t) = u sign[e + a sign u(t-At)], (10.4)

gdzie u =u =u ; 2a - szerokość pętli histerezy; At - dowolnieni n2 ii

mała chwila czasu.

l dla x>0,

0 dla x=0, (10.5)

-1 dla x<0.

Funkcja sign x =

W podobny sposób można opisać niejednoznaczny przekaźnik

trójpoloźeniowy z rys.10.7d oraz nieczułość typu luz z rys.10.5

i 10.6.

Po przyjęciu w (10.4) małej wartości a (np. 103) uzyskuje

się dobre przybliżenie opisu przekaźnika dwupołożeniowego bez

histerezy. Opis taki jest wygodniejszy do celów symulacji kom-

puterowej niż opis zależnością (10.3).

Wszystkie omówione dotychczas elementy nieliniowe mogą być

łączone szeregowo lub równolegle. Zespół takich elementów zas-

tępuje się wówczas jednym elementem zastępczym o charakterysty-

ce statycznej, którą łatwo wyznacza się w sposób opisany np. w

[1].

X0.3. PRZEKSZTAŁCANIE SCHEMATÓW BLOKOWYCH UKŁADÓW NIELINIOWYCH

Większość metod analizy układów nieliniowych wymaga prze-kształcenia schematu blokowego układu do postaci pokazanej narys.10.8. W tym celu przekształca się odpowiednio wstępny sche-mat blokowy opracowany na podstawie przebiegu sygnałów w modelufizycznym układu rzeczywistego.

- 277 -

yz(t) filt)N

u(t) Częśćliniowa

yltj—»•

Rys.10.8. Zastępczy schemat blokowy ukła-du nieliniowego

,(" O

yzl

Rys.10.9. Przykład przekształceniu schematu blokowego

Sposób postępowania pokazany będzie na przykładzie schematublokowego przedstawionego na rys.10.9a. W układzie tym występu-je 5 członów liniowych, o znanych transmitancjach operatorowychG (s)+G (s) i jeden człon nieliniowy oznaczony N. Sygnałemwejściowym jest y , wyjściowym - y.

Pierwszy etap upraszczania schematu polega na otwarciuukładu przed członem nieliniowym N i takim przesunięciu węzłówsumujących i zaczepowych, ażeby możliwe było doprowadzenie dowęzła sumacyjnego na wejściu N odpowiedniego sygnału y j # któryzsumowany z sygnałem doprowadzonym gałęzią sprzężenia zwrotnegozapewniłby w układzie zastępczym taki sam przepływ sygnałów jakw układzie pierwotnym.

Uproszczony w ten sposób schemat pokazano na rys.10.9b.Łatwo tu sprawdzić, że przepływ sygnałów od wejścia y do wyjś-cia y układu uproszczonego jest taki sam jak w układzie pier-wotnym. Na schemacie tym wystąpił zastępczy sygnał wejściowy

- 278 -

y (t) określony związkiem: L[yzJ (t)]=Y2(s)Gi (s)G2(s) . Sygnał

y (t) po przejściu przez dwa człony liniowe zmienia swój cha-

rakter i y (t) różni się od yz(t) ale związek między nimi jest

jednoznaczny i znając y (t) można łatwo określić Yzl(t) . Dlate-

go w następnym etapie upraszczania schematu przyjmuje się

y (t) za sygnał wejściowy układu uproszczonego.

Na schemacie rys.10.9b występuje nadal sygnał wyjściowy y

schematu wstępnego. Dla uzyskania dalszego uproszczenia schema-

tu wygodniej jest jednak przyjąć za sygnał wyjściowy y^, czyli

sygnał na wyjściu z członu o transmitancji Gz(s). (Jeżeli celem

analizy upraszczanego układu będzie w przyszłości badanie jego

stabilności to na podstawie przebiegów czasowych y^t) będzie

można ocenić stabilność układu. Dodatkowe badanie przebiegów

y(t) jest zwykle zbędne).

Przedstawiając teraz część liniową układu w postaci jednego

członu o transmitancji

G(s) = [G4(s)Gs(s)G1(s)-G3(s)]Gz(s),

otrzymuje się ostateczną wersję uproszczonego schematu, pokaza-

ną na rys.io.9c.

Na omawianych tu schematach podaje się przebiegi czasowe

sygnałów, ponieważ wygodniej jest operować zmiennymi będącymi

funkcjami czasu. Jednocześnie utrzymuje się dla wygody opisy

członów liniowych przy użyciu ich transmitancji operatorowych.

10.4. ANALIZA UKŁADÓW NIELINIOWYCH METODA. PRZESTRZENI FAZOWEJ

Układy jednowymiarowe liniowe lub nieliniowe opisane równa-

niami różniczkowymi zwyczajnymi dowolnie wysokiego rzędu n moż-

na zastąpić n równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu (równa-

niami stanu). Poszczególne zmienne stanu tworzące wektor x(t)

są. tu coraz wyższymi pochodnymi czasowymi pewnej zmiennej pod-

stawowej lub kombinacji liniowej tej zmiennej i sygnału steru-

jącego (wymuszenia) u(t). Przebieg trajektorii x(t)1J w prze-

strzeni stanu (nazywają ją również przestrzenią fazovą) dla do-

wolnego, skończonego sterowania i dowolnych warunków początko-

Nazywany również portretem fazowym.

- 279 -

wych jc(O) może dostarczyć informacji o takich właściwościachanalizowanego układu, jak np. stabilność. Dla n=2 (lub 3) prze-strzeń fazowa jest dwuwymiarowa (trójwymiarowa) i wykorzystaniewspółczesnych metod grafiki komputerowej pozwala na ocenę ja-kościową takiej trajektorii, a tym samym właściwości badanegoukładu. Dla n>3 występują komplikacje wynikające z trudnościodwzorowania graficznego badanych trajektorii w przestrzeni fa-zowej. Występują również trudności związane z komplikacją meto-dy analizy. Jest to przyczyną tego, że metody analizy układówdynamicznych przy użyciu przestrzeni fazowej ograniczano do-tychczas do przypadku n=2 (przestrzeń fazowa redukuje się wtedydo płaszczyzny fazowej), ponieważ interpretacja wyników uzyska-nych w dowolny sposób na płaszczyźnie była uproszczona. Obecniemożna te metody rozszerzyć również na przypadki n=3 ale dlaułatwienia zrozumienia metody będzie nadal mowa tylko o ukła-dach, dla których n=2. Rozpatrywane więc będą układy, o właści-wościach których będzie można wnioskować na podstawie przebiegu(trajektorii) na płaszczyźnie fazowej pochodnej czasowej dowol-nej wielkości, np. x(t) w funkcji tej wielkości x(t).

Sposób postępowania będzie wyjaśniony na dość prostym przy-kładzie, który można rozwiązać analitycznie. Bardziej skompli-kowane przypadki mogą wymagać rozwiązania numerycznego i posłu-żenia się komputerem.

Przykład 10.1

Rozpatruje się nieliniowy układ automatycznej regulacjipieca hartowniczego lub suszarki. Schemat aparaturowy układupokazano na rys.10.10a. Dla łatwiejszego zrozumienia zasadydziałania układu wydzielono tam 3 obwody elektryczne, spełnia-jące różne zadania. Obwód 1 to obwód zasilania grzejnika. Ilośćdostarczonej energii regulowana jest tu za pomocą autotransfor-matora, którego napięcie zasilania wynosi U Q. Gdy regulatorjest wyłączony, to temperaturę w suszarce można ustawiać ręcz-nie, przestawiając suwak autotransformatora.

Zadaniem obwodu 2 jest mechanizacja czynności przestawianiasuwaka autotransformatora. Jeżeli przy odłączonym obwodzie 3zewrze się rozwarte styki P , to prąd od źródła zasilania o. na-pięciu U popłynie przez uzwojenia (uzw. l i uzw. 2) silnika iuruchomi go w kierunku, który powoduje przestawienie suwaka

- 280 -

autotransformatora zwiększające ilość energii dostarczanej do

grzejnika. Jeżeli natomiast w tych samych warunkach zewrze się

zamiast P rozwarte styki Pg to silnik zostanie uruchomiony w

kierunku przeciwnym, powodującym zmniejszenie ilości energii

dostarcznej do grzejnika. (W pierwszym przypadku kondensator

rozruchowy był dołączony do wejścia uzw. 2, a w drugim - do

wejścia uzw. 1)•

Zadaniem obwodu 3 jest automatyzacja czynności włączania i

wyłączania silnika. Znajduje się tam regulator z elementem nie-

liniowym o jednoznacznej charakterystyce przekaźnika trójpoło-

żeniowego (por. rys.10.7b). Sygnałem wejściowym tego regulatora

jest uchyb temperatury wewnątrz szafy e=yj-y, sygnałem wyjścio-

wym - napięcie ±U zasilające silnik.

Regulator wyposażony jest w trzy rzeczywiste przekaźniki

elektryczne P , P i P (symbolami tymi oznaczono na schemacie

zarówno uzwojenia przekaźników, jak również ich styki). Należy

tu wyjaśnić, ze każdy przekaźnik ma po 2 pary styków. Gdy na-

pięcie zasilające uzwojenie przekaźnika jest odłączone, to

zwarta jest jedna para styków, a rozwarta druga (często ozna-

czają je dla odróżnienia NO iotwarty i normalnie zamknięty).

NZ, co jest skrótem normalnie

Po włączeniu napięcia zasilania

UZWOJENI'A PRZEKAŹNIKÓWSTYKI ,PRZEKAŹNIKÓW

bl

Rys.10.10. Schemat aparaturowy i blokowy układu nieliniowego

- 281 -

role tych par się zmieniają. W położeniu układu pokazanym na

rys.10.10a uzwojenia przekaźników P i P są odłączone od żród-2 3

ła zasilania u^, a przyłączone jest tylko uzwojenie przekaźnika

P . W tym położeniu normalnie zamknięte (NZ) styki przekaźnika

P są rozwarte (drugiej pary styków, czyli NO tego przekaźnika

nie wykorzystano w tym układzie); jest to położenie stałej rów-

nowagi układu, w którym silnik jest wyłączony.

Jeżeli temperatura obiektu będzie mniejsza od zadanej, a

uchyb e mniejszy od -a, to styki 20-3 0 termometru rtęciowego

zostaną rozwarte. Spowoduje to wyłączenie przekaźnika P , zwar-

cie jego styków P (NZ) i przyłączenie do źródła zasilania

przekaźnika P . Włączenie tego przekaźnika powoduje powiększe-

nie ilości dostarczonej energii do suszarki. Dla e>a zostają

zwarte styki 10-20, włączony przekaźnik P , zwarte jego styki

(NO) P i uruchomiony silnik w kierunku przeciwnym do poprzed-

niego. Gdy w wyniku takiego postępowania temperatura obiektu

spadnie tak, że a>e>-a to styki 20-20 znowu się rozewrą, prze-

kaźnik P zostanie wyłączony, a silnik zatrzyma się. Przy dal-

szym spadku temperatury, dla es-a rozwierają się styki 20-30,

włącza przekaźnik P i zostaje uruchomiony silnik w kierunku

zwiększenia ilości energii dostarczanej do obiektu. Takie okre-

sowe włączanie i wyłączanie silnika połączone z jego nawrotami

trwa do chwili uzyskania zgodności między ilością dostarczanej

energii, a zadaną w granicach strefy nieczułosci -a<e<a tempe-

raturą obiektu. Wtedy wystąpi stan ustalony układu.

Na rys.10.10b przedstawiony jest schemat blokowy omawianego

układu. W części liniowej występują następujące elementy: sil-

nik elektryczny o transmitancji G (s)=k /s; autotransformator

G (s)=k oraz obiekt, czyli suszarka o transmitancji G (s)=AT 2 OB

=k3/(Ts+l).Transmitacja tej części ma postać

= TfTiy- = UTT ( 1 0 6 )

gdzie: k=k k k - współczynnik wzmocnienia części liniowej, T -1 2 3

stała czasowa obiektu.

Przyjmując umownie, że na wejście części liniowej (silnik ele-

ktryczny) podawane jest napięcie u=U dla es-a, a napięcie

u=-U dla eaa, ponadto że dla -a<e<a napięcie zasilania jest

- 282 -

odłączone, można dla tych trzech przedziałów zmienności e napi

sać następujące zależności

dla es-a,

^ dla -a<e<a, (10.7)

d l a

Wprowadzając zmienne stanu: xt=e oraz xg= gc = gt^y~ yz' ' c o

dxdla y = const daje x •

-a<e<a równanie

orazdtŁ

, otrzymuje się dla

0,dx dx

czyli T aF + dT = 0 <

Po przemnożeniu tego równania stronami przez dt i scałkowaniu

znaleziono

X2 = -^ + Ct, (10.8)

gdzie: C jest dowolną stałą całkowania. Przyjmując różne war-

tości Ct w przedziale (-m,+w) , otrzymuje się dla wycinka -a<e<a

płaszczyzny fazowej nieskończenie wiele prostych o kącie a po-

chylenia względem osi e=xt równym arctgj-= jeżeli podziałki x

i x są jednakowe. Pokazano je na rys.10.lla. Proste te przeci-

nają oś x w punktach 0, C .

b)

'MO UM>

Rys.10.11. Układ z przekaźnikiem trójpołożeniowym

- 283 -

Dla &£-a otrzymuje się z (10.7) równania różniczkowe

T a r + X2 - k u„-

dt~ = V

a po wyrugowaniu z tych równań czasu, równanie różniczkowe tra-

jektorii fazowej dla es-a

d X 2

Rozdzielając zmienne, można to równanie przedstawić w postaci

Tx dx

Po scałkowaniu otrzymuje się

x = -T[x„ -kU + kU ln|x -kU I] + C . (10.11)1 2 M M 2 M 2

Stałą całkowania C znajduje się podstawiając do (10.11) warun-

ki początkowe x =x , x =x . Równanie trajektorii fazowej

jest ostatecznie następujące

-kU

1 1.0 I 2.0 2(10.12)

Po podstawieniu do tego równania wartości U oraz różnych par

wartości początkowych x , x otrzymuje się rodzinę trajek-

torii fazowych dla przedziału wartości regulowanej x =es-a. W

podobny sposób otrzymuje się rodzinę trajektorii fazowych dla

przedziału e^a, z równania (10.7) jeżeli podstawi się w nim

-U . Przykłady takich trajektorii pokazano na rys.10.lla.

Charakter przebiegu procesu przejściowego na płaszczyźnie

fazowej wygodnie jest prześledzić na konkretnym przykładzie.

Zakłada się, że układ uruchomiono gdy w chwili t=0 temperatura

ustalona obiektu wynosiła y (e«-a). W chwili tej włączył0b 10

się regulator, w którym na drodze przestawiania zespołu styków

10-20 i 20-30 ustalono strefę nieczułości 2a i zadaną tempera-

turę y (rys.10.10a) . Ponieważ w chwili t=0 temperatura obiektu

była ustalona, to dx /dt=x =0. Początek trajektorii zacznie

- 284 -

się więc w punkcie 1 wykresu o współrzędnych (x i 0,0). Odpowia-

da mu niskie położenie słupka rtęci termometru, przy którym

styki 10-20 i 20-30 są rozwarte, a silnik przesuwa suwak auto-

transformatora w kierunku zwiększenia ilości dostarczonej ener-

gii. Temperatura obiektu wzrasta więc, zgodnie z odcinkiem

krzywej 1-2. Punkt 2 odpowiada chwili zwarcia przez rtęć styków

20-30 i wyłączeniu silnika. Temperatura obiektu będzie jednak

przez pewien czas nadal wzrastać, ponieważ ilość dostarczanej

energii przekracza ilość potrzebną do utrzymania stanu ustalo-

nego. W punkcie 3 temperatura obiektu osiąga wartość zadaną

5^=0 i wzrasta nadal ponieważ xg>0. Punkt 4 odpowiada chwili

zwarcia styków 10-2 0 i uruchomieniu silnika w kierunku przeciw-

nym do poprzedniego. Powoduje to szybki spadek wartości x ,

która w punkcie 5 zmienia znak, co przejawia się zmianą kierun-

ku ruchu słupka rtęci na przeciwny (na dół).

W punkcie 6 styki 10-20 zostają rozwarte i silnik zatrzymu-

je się. Temperatura obiektu spada, osiągając w punkcie 7 war-

tość zadaną. W punkcie 8 następuje ponowne włączenie silnika,

znowu w kierunku zwiększenia ilości energii dostarczanej do

grzejnika.

W punkcie 9 silnik zostaje wyłączony. Temperatura spada do

chwili, gdy xa=0 (punkt 10). Następuje wówczas zrównanie ilości

energii doprowadzanej do obiektu i od niego odprowadzanej. Tem-

peratura obiektu ustala się: x =x a proces przyjściowy

ustaje. Uchyb statyczny e t=Xj jest tu różny od zera i może

przybierać dowolną wartość z przedziału (-a,a).

Dla uzyskania przebiegu czasowego uchybu e=x (t) całkuje

się pierwsze z równań (10.9), przyjmując warunki początkowe

t = 0 ' X2 = X

2,0

X2 = X2,o e~ t / T + *U M(l-e~t / T). (10.13)

Całkując następnie drugie z równań wzoru (10.9), znajduje się

wyrażenie dla zmian uchybu x =e w funkcji czasu

X, = Jx2dt + C3 = -Tx 2 oe"t / T + kUM(t+Te"

t/T) + C3, (10.14)

gdz'.e C3 - stała całkowania.

- 285 -

Z warunków początkowych t=0, xi=*1 oraz x =x wynika, że

C3=xi Q+Tx 2 Q-kU M. Podstawiając tę wartość do (10.14) otrzymuje

się ostatecznie

xi = xi,o + X 2 , o T ( 1 " e ~ t / T ) + kUM[t-T(l-e~t/T)]. (10.15)

Na rys.10.llb podano przebieg czasowy uchybu uzyskany po

wykorzystaniu (10.15) i przyjęciu tych samych założeń, co w

przypadku szczegółowo omówionego przykładu z rys.10.lla (punkty

1+10). Odpowiadający mu przebieg czasowy napięcia zasilającego

silnik U (t) ilustruje rys.10.lic.

Jeżeli w chwili początkowej zarówno x *0, jak również

x *0, to punktem początkowym trajektorii jest punkt płasz-

czyzny fazowej o współrzędnych ( x

1 0 /x

z 0 ) ' w szczególnym przy-

padku: x =kU traci sens wzór (10.12) i należy skorzystać ze

wzoru (10.13). Po podstawieniu do (10.13) x 2 Q=kU otrzymuje

się x =kU =const, a ze wzoru (10.15) x =x +kUMt. Oznacza to,

że trajektoria dla x s-a i x =kU jest poziomą linią prostą,1 2^0 H

zdążającą do strefy nieczułości.

Układ regulacji temperatury, opisany w przykładzie 10.1 ma

już obecnie raczej znaczenie historyczne2 . Użyto go jedynie do

zilustrowania rozpatrywanej tu metody. Posługując się nim dalej

można przyjąć niezbyt praktyczne założenie, że jednoznaczny

przekaźnik trójpołożeniowy został zastąpiony przekaźnikiem dwu-

położeniowym z histerezą wg rys.10.7c. (Użycie takiego przekaź-

nika spowoduje przemienne ruchy silnika w obydwie strony bez

możliwości zatrzymania silnika. Analiza układu z takim przekaź-

nikiem pozwoli jednakże na poczynienie pewnych, bardziej ogól-

nych spostrzeżeń). Do opisu matematycznego układu wystarczą

obecnie tylko dwa równania wzoru (10.7) sprowadzone do postaci

(10.9), po uzupełnieniu ich dodatkowym opisem

dxT d T ł x

2

= k U n d l a ( V a > V [(-a<x i<a)A(V0 )^' (10.16)

T gc= + x 2 = -kUM dla (Xi*a) V [(-a<x i<a)A(x

2

< 0 )] ' (10.17)

gdzie 2a jest teraz strefą nieczułości przekaźnika.

2 Nie dotyczy to samych układów przekaźnikowych, które są na-dal stosowane m.in. w układach regulacji współczesnych sil-ników wysokoprężnych.

- 286 -

Rys.10.12. Układ z prze-kaźnikiem niejednoznacz-

nym dwupołożeniowym

Rozwiązaniem (10.16) jest (10.15). Rozwiązanie (10.17) otrzymu-

je się z (10.15) po zmianie znaku UM na ujemny.

W rozpatrywanym tu przypadku przełączenia przekaźnika dla

rosnącego x występują w chwili gdy xt=a, a dla malejącego xg -

gdy x=-a. Trajektorie fazowe wykreślone na podstawie uzyska-

nych rozwiązań (10.16) i (10.17) pokazano na rys.10.12. Jeżeli

dowolna bezwzględna wartość począt-

kowa uchybu regulowanej temperatury

jest większa od pewnej wartoś-1,0

ci A to trajektorie fazowe, podob-

nie jak na rys.10.lla dążą do środ-

ka układu współrzędnych. Nie osią-

gają go jednak, tylko od pewnego

momentu zaczynają krążyć po orbicie

nazywanej cyklem granicznym. Jeżeli

lx l<a to trajektorie początkowo

oddalają się spiralnie od środka

układu, a po asymptotycznym osiąg-

nięciu brzegu orbity, również za-

czynają ją okrążać. Cykl graniczny, który tu występuje nazywany

jest stabilnym. Odpowiada mu pewna, specyficzna dla układów

nieliniowych, postać samowzbudnych drgań własnych ze stałą pul-

sacją w i ze stałą amplitudą A. Obydwie te wielkości nie zależą

od wymuszeń zewnętrznych, a wynikają wyłącznie z takich właści-

wości (parametrów) samego układu automatycznej regulacji, jak

stała czasowa obiektu, strefa nieczułości lub pętla histerezy

elementu nieliniowego, wartość całkowitego wzmocnienia układu

itd.

Przebieg czasowy opisanego procesu

przejściowego oraz ustalone drgania samo-

2 vzbudne układu przedstawiono na rys.10.13.

t Wyniki uzyskane przy omawianiu tego

szczególnego przypadku można wykorzystać

do ogólniejszych spostrzeżeń, dotyczących

stabilności układów nieliniowych o znanymportrecie fazowym.

Rys.10.13. Przebiegczasowy

- 287 -

Jeżeli mianowicie wszystkie możliwe trajektorie fazowe

zbiegają się w pobliżu początku układu współrzędnych, przebie-

rając wartość końcową X2=O oraz taką wartość xt, że -CKK^KC ,

gdzie ±e jest dopuszczalną tolerancją uchybu statycznego, to

układ automatycznej regulacji jest stabilny. Przykładem portre-

tu fazowego takiego stabilnego układu jest rys.10.lla.

W przypadku, gdy dla dowolnych wartości początkowych wszys-

tkie trajektorie fazowe dążą do cyklu granicznego, którego am-

plituda jest mniejsza od dopuszczalnej wartości uchybu sta-

tycznego, a częstotliwości drgań samowzbudnych układu nie prze-

kracza wartości uznanych za dopuszczalne, to układ taki uważa

się za praktycznie stabilny. Jeżeli natomiast, mimo istnienia

cyklu granicznego, jego amplituda przekracza wartości dopusz-

czalne, względnie częstotliwość drgań samowzbudnych jest nie-

dopuszczalna, bo powoduje w układzie niepożądane efekty akus-

tyczne, drganiowe itp., to układ uważa się za praktycznie nie-

stabilny (przykład portretu fazowego z cyklem granicznym poka-

zano na rys.10.12).

Jeżeli na płaszczyźnie fazowej trajektorie fazowe oddalają

się od początku układu współrzędnych, to układ automatycznej

regulacji jest niestabilny.

10.5. ANALIZA NIELINIOWYCH UKŁADÓW REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

PRZY UŻYCIU KOMPUTERA

Przedstawiona w poprzednim punkcie metoda przestrzeni fazo-

wej jest metodą dokładną. Rozwiązania analityczne uzyskuje się

jednak tylko 'w najprostszych przypadkach. Poza nią znane są

również przybliżone metody analizy układów nieliniowych. Wśród

nich - metoda funkcji opisującej (por. np.[3]). Dostarczają one

tylko ograniczonych informacji o zachowaniu się badanego ukła-

du. Znacznie więcej informacji można uzyskać z symulacji kompu-

terowej modelu matematycznego układu. Symulacje takie można

zrealizować w technice analogowej lub w technice cyfrowej.

Jeszcze do niedawna wiele takich symulacji realizowano przy

użyciu maszyn analogowych. Obecnie przy rozpowszechnieniu mik-

rokomputerów i udoskonaleniu programów symulacyjnych stosuje

się najczęściej technikę cyfrową.

- 288 -

W punkcie 2.4 omówiono program CSSP i podano przykłady za-

stosowań do symulacji układów dynamicznych (również nielinio-

wych) . Program ten można zastosować skutecznie do symulacji

prawie dowolnie skomplikowanych, nieliniowych układów regulacji

automatycznej, których model matematyczny ma postać zwyczajnych

równań różniczkowych pierwszego rzędu. Nieliniowości badanego

układu mogą mieć dowolny charakter, bez ograniczeń, które wpro-

wadzono na początku tego rozdziału. Wyniki symulacji uzyskuje

się w postaci graficznej (wykresy czasowe, portrety fazowe) lub

w postaci liczbowej. Podobną rolę do CSSP spełniają również

liczne języki symulacyjne.

Bibliografia

1. Amborski K., Marusak A.: Teoria sterowania w ćwiczeniach.PWN, Warszawa 1978.

2. Gibson J.E.: Nieliniowe układy sterowania automatycznego.WNT, Warszawa 1968.

3. Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. CzęśćII, Zeszyt 2. WPW, Warszawa 1974.

4. Kudrewicz J.: Częstotliwościowe metody w teorii nieliniowychukładów dynamicznych. WNT, Warszawa 1970.

5. Mazurek J., Vogt H., Żydanowicz W.: Podstawy automatyki.WPW, Warszawa 1983.

6 . He/iennH P. A. (pea. ) : MeTOflu MccTieflOBamifl HemineuiHbix cwcTeMaBTOMaTMHecicoro ynpaB/iem/tfl. Haa. "HayKa", MocKBa 1 9 7 5 .

7. Żelazny M.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1976.

8. Thaler G.J., Pastel M.O.: Nieliniowe układy automatycznegosterowania. WNT, Warszawa 1965.