7. FORUM MATEMATYKÓW POLSKICH Z UDZIAŁEM MATEMATYKÓW...

7. FORUM MATEMATYKÓWPOLSKICH

Z UDZIAŁEM MATEMATYKÓWUKRAIŃSKICH

12–17 września 2016Olsztyn

PogramStreszczeniaInformacje

OrganizatorzyOddział Olsztyński Polskiego Towarzystwa MatematycznegoWydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w Olsztynie

Patronat HonorowyRektor Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego w OlsztyniePrezydent Miasta OlsztynaWojewoda Warmińsko-MazurskiZwiązek Ukraińców w PolsceKuratorium Oświaty w Olsztynie

Patronat MedialnyRadio OlsztynGazeta OlsztyńskaTelewizja KortowoRadio UWM 95,9fmWiadomości UniwersyteckieNasz Olsztyniak

Konferencja współfinansowana przezMinisterstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego

Witamy na 7. Forum Matematyków Polskichz Udziałem Matematyków Ukraińskich!!

Forum jest tradycyjnym, cyklicznym spotkaniem matematy-ków polskich, gromadzącym naukowców ze wszystkich polskichośrodków akademickich i zajmujących się różnorodną tematykąnaukową. Sprzyja wymianie myśli oraz dyskusjom o aktualnychzadaniach matematyki współczesnej oraz o problemach nurtują-cych środowisko matematyczne w Polsce. Jest także znakomitąokazją do spotkań towarzyskich w gronie przyjaciół. Na programkonferencji składają się wykłady laureatów nagród głównychPTM, wykłady plenarne zaproszonych prelegentów oraz odczytyw sesjach tematycznych. W tym roku Forum ma specjalny cha-rakter, ponieważ ma się odbyć przy udziale matematyków ukra-ińskich.

Forum jest kontynuacją Zjazdów Polskiego Towarzystwa Ma-tematycznego, których początki sięgają dwudziestolecia między-wojennego. W 1927 roku Polskie Towarzystwo Matematycznezorganizowało we Lwowie Pierwszy Polski Zjazd Matematyczny.Chcąc podkreślić otwartą formułę spotkań, w których biorąudział nie tylko członkowie Towarzystwa, od 2006 roku ZjazdyPTM noszą nazwę Forum Matematyków Polskich. Tegoroczne7. Forum Matematyków Polskich gości ponownie w Olsztyniena Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Warmiń-sko-Mazurskiego. Poprzednie miały miejsce w Gdańsku (2006),Częstochowie (2008), Krakowie (2009), Olsztynie (2010), Rze-szowie (2013) i Warszawie (2015).

Jak na każdym Forum będziemy świadkami uroczystego wrę-czania nagród Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Nagrodęim. Stefana Banacha za osiągnięcia w dziedzinie badań matema-tycznych otrzyma prof. Jan Okniński, a nagrodę głównąim. Hugona Steinhausa za osiągnięcia w dziedzinie zastosowańmatematyki otrzyma prof. Dariusz Wrzosek. Nagroda dla mło-dych matematyków za osiągnięcia badawcze została przyznanadr. Adamowi Kanigowskiemu, który został też laureatem mię-dzynarodowej nagrody The International Stefan Banach Prizefor a Doctoral Dissertation in the Mathematical Sciences fundo-wanej przez firmę Ericpol.

Ponadto Polskie Towarzystwo Matematyczne przyznajewspólnie z Instytutem Matematycznym Polskiej Akademii Nauk

nagrodę im. Kazimierza Kuratowskiego, która w tym roku zo-stanie wręczona dr. Piotrowi Achingerowi.

Życzymy udanego i ciekawego pobytu w stolicy pięknego re-gionu Warmii i Mazur!

7. Forum Matematyków Polskich jest finansowane w ramachumowy 764/P-DUN/2016 ze środków Ministra Nauki i Szkolnic-twa Wyższego przeznaczonych na działalność upowszechniającąnaukę.

Program ramowy 9

Wykłady Laureatów nagród PTM 13

Wykłady plenarne 18

Odczyty sesyjne 25

Dydaktyka matematyki i historia matematyki 25

Geometria i topologia rozmaitości 31

Integrable systems 38

Mathematical models of gene regulationand signalling pathways in cells 45

Metody topologiczne w układach dynamicznych 56

Metryczna teoria punktu stałego i jej zastosowania 68

Obliczeniowa teoria liczb i kryptografia 73

Równania różniczkowe cząstkowei symulacje komputerowe 83

Sesja ogólna 98

Topological dynamics and ergodic theory 101

Popołudnie popularyzujące matematykę 110

Imprezy towarzyszące 114

O Wydziale Matematyki i InformatykiUniwersytetu Warmińsko-Mazurskiegooraz Olsztyńskim Oddziale PTM 116

9

Program ramowy

Poniedziałek, 12 września 2016

17:00–19:00 A1/22 – Posiedzenie Zarządu Głównego PTM

Wtorek, 13 września 2016

9:00–9:30 Aula B – Uroczyste otwarcie i nadanie CzłonkostwaHonorowego PTM Prof. Stanisławowi Kwapieniowi

9:30–10:15 Aula B – Prezentacja Laureatów nagród PTMi The International Stefan Banach Prizefor a Doctoral Dissertation in the MathematicalSciencesWręczenie dyplomu uznania zespołowiorganizującemu konkurs Kangur Matematyczny

10:15–11:00 Konferencja prasowaPrzerwa kawowa

11:00–11:45 Aula B – wykład Laureata Nagrody Głównej PTMim. Hugona Steinhausa:Dariusz Wrzosek, Matematyczna ekologia w krainiejezior

11:45–12:30 Aula B – wykład Laureata Nagrody PTMdla młodych matematyków oraz The InternationalStefan Banach Prize for a Doctoral Dissertationin the Mathematical Sciences:Adam Kanigowski, Smooth systemson low-dimensional manifolds

12:30–14:30 Przerwa obiadowa

14:30–15:15 Aula B – wykład Laureata Nagrody Głównej PTMim. Stefana Banacha:Jan Okniński, Struktury algebraiczne związanez teoriomnogościowymi rozwiązaniami kwantowegorównania Yanga-Baxtera

15:15–16:00 Aula B - wykład Laureata Nagrody im. KazimierzaKuratowskiego:Piotr Achinger, Deformation, degeneration,and reduction mod p

10

16:00–16:30 Przerwa kawowa

16:30–18:00 Sesje tematyczne

Środa, 14 września 2016

9:00–9:45 Aula B – wykład plenarny:Szymon Peszat, Stochastyczne RównaniaEwolucyjne – krótkie wprowadzenie

9:45–10:30 Aula B – wykład plenarny:Radosław Adamczak, Asymptotic behaviourof spectral measures of non-Hermitian randommatrices with dependent coefficients




Aula B – Popołudnie popularyzujące matematykę,m.in. wykłady:

Wojciech Dzik, Jaki język zrozumie automat?

Urszula Foryś, Czego ekolog może się dowiedziećod matematyka, czyli słów kilka o modeludrapieżnik-ofiara

14:30–19:00 Wycieczki

19:30–23:00 Bankiet

11

Czwartek, 15 września 2016

9:45–10:30 Aula B – wykład plenarny:Agata Smoktunowicz, Matrix problemsin noncommutative ring theory







Piątek, 16 września 2016

9:00–9:45 Aula B – wykład plenarny:Maciej Bocheński, Clifford-Klein formsof homogeneous spaces

9:45–10:30 Aula B – wykład plenarny:Olena Karpel, Bratteli diagrams: structure,measures, dynamics




14:30–15:15 Aula B – wykład plenarny:Michał Horodecki, A handful of quantuminformation topics and the related mathematicaltools

15:15–16:00 Aula B - wykład plenarny:Oleksiy Teplinsky, Renormalization of circle homeosand interval exchanges: linear-fractionality, duality,hyperbolicity, and rigidity

12


16:30–17:00 Aula B – Koncert

17:00–17:30 Aula B – Zamknięcie Forum

Sobota, 17 września 2016

Dzień wyjazdu

Wszystkie przerwy kawowe – parter bryły A budynku RCI.

Wszystkie obiady – Stołówka Akademicka KUŹNIA SMAKÓW(ul. Prawocheńskiego 4).

Wszystkie sesje tematyczne – bryła A budynku RCI.Szczegółowe plany sesji tematycznych zamieszczone są w rozdzia-le Odczyty sesyjne na str. 25.

Szczegółowy plan Popołudnia popularyzującego matematykę jestzamieszczony na str. 110.

13

Wykłady Laureatów nagród PTM

Piotr AchingerDeformation, degeneration, and reduction mod p (str. 14)

Adam KanigowskiSmooth systems on low-dimensional manifolds (str. 14)

Jan OknińskiStruktury algebraiczne związane z teoriomnogościowymirozwiązaniami kwantowego równania Yanga-Baxtera (str. 15)

Dariusz WrzosekMatematyczna ekologia w krainie jezior (str. 16)

14 Wykłady Laureatów nagród PTM

Deformation, degeneration,wtorek

15:15–16:00 and reduction mod p

Piotr AchingerInstitute of Mathematics Polish Academy of [email protected]

To understand an object of geometric origin, an often fruitfultechnique is to consider it as a member of a family some of whosefibers are degenerate. Such degenerate objects can be easierto understand (think of a hyperbola degenerating into the unionof two lines), and oftentimes one might deduce statements aboutthe object one started with. In algebraic geometry, this methodhas an interesting variant, when we vary the characteristic of thefield over which the object is defined. The study of deformationsand degenerations is also central in approaches to mathematicalmirror symmetry, particularly in recent work of Grossand Siebert. I will discuss some examples of these methods,circling around a developing field of ”arithmetic mirror sym-metry”.

Smooth systems on low-dimensionalwtorek

11:45–12:30 manifolds

Adam Kanigowski (Laureat Nagrody dla MłodychMatematyków za rok 2015, Laureat MiędzynarodowejNagrody im. Stefana Banacha za rok 2016)Penn State [email protected]

We will study smooth systems (automorphisms and flows)on compact, connected, smooth manifolds (with no boundary)in dimension 1 and 2. We will mostly focus on ergodic and spec-tral properties describing chaoticity of the system. These prop-erties are entropy, mixing and Lebesgue spectrum. We will startfrom Denjoy theory for diffeomorphisms of the circle. The main


result of Denjoy theory is that every orientation preservingsmooth diffeomorphism with irrational rotation number (flow)is conjugated to an irrational rotation (irrational flow). Suchsystems are therefore completely deterministic (entropy 0, dis-crete spectrum).

The situation changes completely in dimension 2. There are

natural algebraic diffeos (the matrix(

2111

)for example) of two-

dimensional torus which are conjugated to Bernoulli systemsand therefore have positive entropy and Lebesgue spectrum.For smooth flows in dimension 2 the situation is a different: theyalways have entropy 0. We will give examples of smooth flowson two-dimensional torus which are mixing and have Lebesguespectrum, representing thus the maximal possible chaoticity.

Struktury algebraiczne związane wtorek

14:30-15:15z teoriomnogościowymi rozwiązaniamikwantowego równania Yanga-Baxtera

Jan Okniński (Laureat Nagrody im. Stefana Banachaza rok 2015)Uniwersytet [email protected]

Kwantowe równanie Yanga-Baxtera jest jednym z ważnychrównań fizyki matematycznej. Badania rozwiązań tego równania,i ich zastosowań, doprowadziły do burzliwego rozwoju teorii grupkwantowych i teorii algebr Hopfa, [1], [5]. W roku 1992 Drinfeldzaproponował badanie tak zwanych rozwiązań teoriomnogościo-wych, [2]. Metody algebraiczne służące temu celowi w znacznymstopniu zainspirowane były fundamentalnymi pracami autorstwaEtingofa, Schedlera i Solovieva [3] oraz Gatevy-Ivanoweji Van den Bergha [4]. Wynikające stąd podejście opiera sięna dwóch klasach grup (pewnej klasy skończonych grup permu-tacji i pewnej klasy grup Bieberbacha) oraz na związanej z nimiklasie algebr łącznych. Później, w serii prac zapoczątkowanej

16 Wykłady Laureatów nagród PTM

w 2005 roku, Rump wprowadził i wykorzystał w kontekście rów-nania Yanga-Baxtera nową strukturę - tak zwane klamerki(‘braces’). W ostatnim czasie powstało wiele prac wykorzystu-jących w istotny sposób to nowe narzędzie (patrz przeglądowapraca [6]).

Wykład poświęcony będzie prezentacji wspomnianych wyżejstruktur algebraicznych pojawiających się w naturalny sposóbw kontekście badania rozwiązań równania Yanga-Baxtera.Przedstawimy też otwarte problemy i wybrane wyniki dotyczącetej dynamicznie rozwijającej się tematyki.

Literatura

[1] Brown K. A., Goodearl K. R., Lectures on AlgebraicQuantum Groups, Birkhauser, 2002.

[2] Drinfeld V. G., On some unsolved problems in quantum grouptheory, Lect. Notes in Math., 1510 (1992), 1-8.

[3] Etingof P., Schedler T., Soloviev A., Set-theoretical solutionsof the quantum Yang-Baxter equation, Duke Math. J.,100 (1999), 169-209.

[4] Gateva-Ivanova T., Van den Bergh M., Semigroups of I-type,J. Algebra, 206 (1998), 97-112.

[5] Kassel C., Quantum Groups, Springer-Verlag, 1995.

[6] Rump W., The brace of a classical group, Note Mat.,34 (2014), 115-144.

Matematyczna ekologia w krainie jeziorwtorek

11:00-11:45Dariusz Wrzosek (Laureat Nagrody im. HugonaSteinhausa za rok 2015)Uniwersytet [email protected]

Jednym z podstawowych celów ekologii populacyjnejjest określenie czynników wpływających na występowanie róż-nych grup organizmów zasiedlających daną niszę ekologiczną.


Podstawowe pytania dotyczące populacji odnoszą się do jej li-czebności, struktury (np. wiekowej) czy rozmieszczenia osobni-ków w przestrzeni w określonej chwili czasu. W oparciu o zało-żenia odzwierciedlające wiedzę biologiczną można konstruowaćmodele matematyczne, których wyniki ułatwiają zrozumieniezłożonych procesów biologicznych i wyjaśnienie zjawisk obser-wowanych w przyrodzie. Jeśli model matematyczny reprezentujeprzebieg czasu w sposób ciągły to w naturalny sposób otrzymujesię równania różniczkowe zwyczajne lub cząstkowe. Przedstawięmodele matematyczne dotyczące populacji drobnych stawono-gów powszechnie występujących w jeziorach i mających kluczoweznaczenie dla ekosystemu. Wykład odnosi się między innymido artykułów [1], [2], [3] i [4].

Literatura

[1] Gliwicz Z. M., Wrzosek D., Predation-Mediated Coexistenceof Large- and Small-Bodied Daphnia at Different Food Levels,Am. Nat., 172 (2008), 358–374.

[2] Krzyżanowski P., Wrzosek D., Wit D., DiscontinuousGalerkin method for a nonlinear age structured populationmodel, Math. Biosci., 203 (2006), 277-300.

[3] Gliwicz Z. M., Maszczyk P., Jabloński J., Wrzosek D., Patchexploitation by planktivorous fish and the concept of aggreg-ation as an antipredation defense in zooplankton, Limnol.Oceanogr., 58 (2013), 1621-1639.

[4] Tello J. I., Wrzosek D.,Predator-prey model with diffusionand indirect prey-taxis, Math. Models Methods Appl. Sci.,ukaże się (2016).

18

Wykłady plenarne

Radosław AdamczakAsymptotic behaviour of spectral measures of non-Hermitianrandom matrices with dependent coefficients (str. 19)

Maciej BocheńskiClifford-Klein forms of homogeneous spaces (str. 19)

Michał HorodeckiA handful of quantum information topics and the relatedmathematical tools (str. 20)

Olena KarpelBratteli diagrams: structure, measures, dynamics (str. 21)

Szymon PeszatStochastyczne Równania Ewolucyjne – krótkie wprowadzenie

Stochastic Partial Differential Equations – a shortoverview (str. 22)

Agata SmoktunowiczMatrix problems in noncommutative ring theory (str. 23)

Oleksiy TeplinskyRenormalization of circle homeos and interval exchanges:linear-fractionality, duality, hyperbolicity, and rigidity (str. 23)


Asymptotic behaviour of spectral środa

9:45–10:30measures of non-Hermitian randommatrices with dependent coefficients

Radosław AdamczakUniwersytet [email protected]

After presenting a brief overview of the spectral theoryof non-Hermitian random matrices with independent coefficients,culminating in the proof of the Circular Law Theorem due toTao and Vu, I will discuss recent advances concerning randommatrices with dependencies between the entries. Special em-phasis will be put on various types of probabilistic and geometricconditions guaranteeing that despite dependencies, the limitingspectral measure is the uniform distribution on the unit disc,just as in the i.i.d. case.

Clifford-Klein forms of homogeneous piątek

9:00-9:45spaces

Maciej BocheńskiUniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

Let G be a Lie group and H a closed subgroup. We saythat the homogeneous space G/H admits a Clifford-Klein formif there exists a discrete subgroup Γ of G that acts properlyand freely on G/H. If Γ\G/H is compact, we say that G/Hadmits a compact Clifford-Klein form. In this talk I will introducethe existence problem of (compact) Clifford-Klein formsand a general machinery to study such forms. In particular I willdescribe:

1. The notion of proper and co-compact actions on pseudo-Riemannian manifolds and examples given by Kulkarni.

20 Wykłady plenarne

2. The Kobayashi’s results concerning Clifford-Klein forms:generalized Calabi-Marcus phenomenon, standard compactClifford-Klein forms and a criterion of proper actions on ho-mogeneous spaces of reductive type.

3. A machinery to study Clifford-Klein forms: ergodic theory(Margulis, Zimmer), Cartan map (Benoist, Kobayashi,Kassel), cohomological methods (Kobayashi, Morita,Tholozan).

4. Results obtained using algebraic methods (Oh, Tralle,Witte, Bocheński) [1], [2].

The theory of Clifford-Klein forms is well described in the fol-lowing survey: [3].

References

[1] Bocheński M., Tralle A., Clifford-Klein forms and a-hyper-bolic rank, Int. Math. Res. Notices 5 (2015), 6267-6285.

[2] Bocheński M., Tralle A., On solvable compact Clifford-Kleinforms, Proc. AMS (2016), doi: 10.1090/proc/13370.

[3] Kobayashi T., Compact Clifford-Klein forms of symmetricspaces – revisited, Pure Appl. Math. Q. 1 (2005), 591-663.

A handful of quantum informationpiątek

14:30–15:15 topics and the related mathematicaltools

Michał HorodeckiUniwersytet Gdań[email protected]

I will describe several topics developed in quantum inform-ation theory, with emphasis on employed mathematical tools.Three topics will be related to majorization theory:

1. modern approach to quantum uncertainty principle,

2. novel research on thermodynamics in microregime,


3. quantum entanglement.

Next I will present a single topic – Bell inequalities – and showhow it is connected with three mathematical areas: incidencegeometry, free probability, Banach space geometry. Finally I willdescribe a version of quantum teleportation (a topic relatedto position based cryptography), and its relation with repres-entations of walled Brauer algebra.

Bratteli diagrams: structure, measures, piątek9:45–10:30dynamics

Olena KarpelInstitute for Low Temperature Physics NAS UkraineInstitute of Mathematics Polish Academy of [email protected]

The talk is devoted to Bratteli diagrams, the object that iswidely used for constructions of transformation models in variousdynamics. A class of infinite graphs, later called Bratteli dia-grams, was originally introduced in 1972 by O. Bratteli in hisbreakthrough article on the classification of approximately finiteC∗-algebras. The ideas developed in 1980-s by A. Vershik led toa realization of any ergodic automorphism of a standard measurespace as a transformation acting on a path space of a graph(afterwards called a Vershik map). The dynamical systems ob-tained in this way are called Bratteli-Vershik dynamical systems.During the last two decades, Bratteli diagrams turned out to bea very powerful tool for the study of dynamical systems not onlyon a measure space but also on Cantor and Borel spaces.

In the talk, we will focus on the applications of Brattelidiagrams in Cantor dynamics. By a Cantor dynamical systemwe mean a pair (X,T ) consisting of a Cantor set X and a homeo-morphism T : X → X. The results proved in 1992 by R. Herman,I. Putnam and C. Skau build a bridge between Cantor dynamicsand Bratteli diagrams. It was proved that any minimal Cantordynamical system (X,T ) is realized as a Bratteli-Vershik homeo-morphism defined on the path space XB of a Bratteli diagram B.


In 2006 this result was extended by K. Medynets to the caseof every aperiodic homeomorphism.

The main reason why Bratteli diagrams are convenient to usefor the study of homeomorphisms T : X → X is the fact thatvarious properties of T become more transparent when one dealswith corresponding Bratteli-Vershik dynamical systems. This ob-servation is related to T -invariant measures and their supports,to minimal components of T , structure of T -orbit, etc. In par-ticular, the problem of finding all ergodic T -invariant measuresand their supports for a given (X,T ) is traditionally a centralone in the theory of dynamical systems, especially for specificinteresting examples of homeomorphisms T . For Bratteli-Vershikrealization of T , we are going to discuss some natural methodsfor the study of the set of invariant measures based on thestructure of the underlying diagram. Moreover, these methodswork even for Bratteli diagrams that do not support any Vershikmap.

Stochastyczne Równania Ewolucyjneśroda

9:00–9:45 – krótkie wprowadzenieStochastic Partial Differential Equations– a short overview

Szymon PeszatUniwersytet Jagielloński w KrakowieInstytut Matematyczny [email protected]

Wiadomo, że proces Wienera (ruch Browna) można otrzymaćjako granicę przeskalowanych procesów bładzenia przypadkowe-go. Pokażę, że przy odpowiednim skalowaniu granicą gałąsko-wych procesów błądzenia przypadkowego jest tak zwany super-ruch Browna. Proces ten jest rozwiązaniem pewnego nieliniowegostochastycznego równania z pochodnymi cząstkowymi. Następniepodam przykłady stochastycznych równań z pochodnymi cząst-kowymi, które mają naturalne fizyczne interpretacje lub któresą ważne z punktu widzenia zastosowań. Tak więc omówię równa-nia Zakai filtracji, równanie KPZ (Kardar-Parisi-Zhang) oraz tak


zwany paraboliczny problem Andresona. Na końcu chciałbympowiedzieć coś o problemie konstrukcji procesów Markowa.

At the beginning I would like to derive some Stochastic Par-tial Differential Equations (SPDEs in short) from interactingparticle models. Then I would like to talk about several SPDEshaving natural interpretation and applications. In particularZakai equation of filtering, the famous Kardar-Parisi-Zhangequation, and the so-called Parabolic Anderson models willbe discussed. Finally I am going to discuss applications of SPDEsto the construction of Markov processes.

Matrix problems in noncommutative czwartek

9:45–10:30ring theory

Agata SmoktunowiczThe University of [email protected]

In the first part of this talk we mention some surprisingconnections between finite and infinite matrices and noncom-mutative rings. In the second part of this talk we mention somerecent applications of ring theoretical methods to study Acons,potential algebras, R-matrices and set-theoretic solutionsof the Yang-Baxter equation.

Renormalization of circle homeos and piątek

15:15–16:00interval exchanges: linear-fractionality,duality, hyperbolicity, and rigidity

Oleksiy TeplinskyInstitute of Mathematics NAS [email protected]

When investigating smoothness of conjugacies between piece-wise smooth circle homeomorphisms using renormalization tools(for the case of a single break the whole procedure is expounded


in [1]), we have stumbled upon some properties of the appropriaterenormalization operators that may have much wider interest.In this talk we will restrict our attention mostly to circularsmooth nonlinear IETs (interval exchange transformations, seefor ex. a survey [2]), which correspond to piece-wise smooth circlehomeomorphisms, although our construction can be generalizedto general smooth nonlinear IETs.

We will explain why any induction (or renormalization) pro-cess applied to smooth nonlinear IETs that refines their intervalsleads in the limit to certain finite-dimensional subspaces consist-ing of linear-fractional IETs. We will pinpoint the time-reverseduality we have discovered for induction/renormalizationin those linear-fractional subspaces. We will also explain howthis duality helps to prove hyperbolicity of a renormalizationoperator and to obtain rigidity results by that mean.

References

[1] Khanin K., Teplinsky A., Renormalization horseshoe and ri-gidity for circle diffeomorphisms with breaks, Commun.Math. Phys., 320 (2013), 347-377.

[2] Viana M., Ergodic theory of interval exchange maps, Rev.Mat. Complut., 19 (2006), 7-100.

25

Odczyty sesyjne

Dydaktyka matematyki i historia matematyki

Organizatorzy:Agnieszka Bojarska-Sokołowska(Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie),[email protected] Jureczko (Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiegow Warszawie), [email protected]

Czwartek, 15 września 2016, 11:00–16:00, sala A2/17

Czwartek

11:00–11:30 Tomasz SzembergTwierdzenie Sylvestra-Gallai w ujęciu historycznymi szkolnym (str. 29)

11:30–12:00 Daniel WójcikWędrując ścieżkami uczniów (str. 30)

12:00–12:30 Joanna JureczkoThe strategies of using a special kind of numberpatterns in different stages of education (str. 27)

14:30–14:50 Agnieszka Bojarska-SokołowskaInteraktywne zajęcia dla dzieci i młodzieży (str. 26)

14:50–15:15 Anna PająkKilka słów o kształceniu studentów na nauczycielimatematyki (str. 28)

15:15–15:40 Joanna JureczkoSpatial modelling as motivation for studyingmathematics (str. 27)

15:40–16:00 Agnieszka Bojarska-SokołowskaMatematyczne eksperymentowanie przez dzieci,młodzież (str. 26)

26 Dydaktyka matematyki i historia matematyki

Interaktywne zajęcia dla dzieciczwartek

14:30–14:50 i młodzieży

Agnieszka Bojarska-SokołowskaUniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

W swoim wystąpieniu przedstawię interaktywne zajęcia z ma-tematyki dla dzieci z klas I-III szkoły podstawowej oraz młodzie-ży. Sposób interaktywnego nauczania-uczenia się polega na mani-pulowaniu, eksperymentowaniu i samodzielnym odkrywaniuprzez osoby uczestniczące w tego typu zajęciach ”świata mate-matyki”. W tej chwili w Polsce interaktywną edukację możemyodnaleźć w centrach nauki, w interaktywnych muzeach, czy uni-wersytetach dziecięcych. Omówię również wyniki badań prowa-dzonych podczas tego typu zajęć dla dzieci i młodzieży.

Matematyczne eksperymentowanieczwartek

15:40–16:00 przez dzieci, młodzież

Agnieszka Bojarska-SokołowskaUniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

W swoim wystąpieniu przedstawię warsztaty matematycznepolegające na eksperymentowaniu. Eksperymenty te dotyczyłyskładania z klocków Reko różnych obiektów matematycznychtakich jak: parkietaże, wielościany platońskie i archimedesowe.Uczestnicy zajęć mieli okazję samodzielnie odkrywać własnościtakie jak: układanie parkietaży, wielościanów na podstawie koduna wierzchołek, wzór Eulera, warunki dostateczne do stworzeniaparkietaży archimedesowych, itp. Warsztaty te poprowadzonodla dzieci (II-III klasy szkoły podstawowej) i młodzieży(II-III klasa gimnazjum).


Spatial modelling as motivation czwartek

15:15–15:40for studying mathematics

Joanna JureczkoCardinal Stefan Wyszyński University in [email protected]

Motivation for learning is one of the most important elementsof education. At present, both researchers and teachers con-stantly aspire to further develop this matter. It can be observedthat, for the last two decades, mathematical education is beingapplied in different contexts of human knowledge, and not onlyin science. Also, school textbooks contain so-called real-life tasks,in which students can notice that the theoretical backgroundwhich they are learning is really important for solving real-worldproblems. The aim of this paper is to present an analysis of stu-dents’ solutions to a task concerning architectural problems,which really engaged and the motivated students, as well as themanner in which the students made use of IT in the proposedsolutions.

The strategies of using a special kind czwartek

12:00–12:30of number patterns in different stagesof education

Joanna JureczkoCardinal Stefan Wyszyński University in [email protected]

Patterns and generalization are one of the most fundamentalto mathematics so it is very important in mathematics educationsince early years. The mathematical tasks including patterns notimportant if they are numerical or graphical in the texts aremostly used in researching such activity as generalization forlast decades. The aim of this paper is to investigate how onespecial kind of the task concerning well known palindromes candiverse the process of generalization in three different age groupsof student.


Kilka słów o kształceniu studentówczwartek

14:50–15:15 na nauczycieli matematyki

Anna PająkUniwersytet Pedagogiczny im. Komisji Edukacji Narodowejw [email protected]

Obecnie zarówno w dydaktyce ogólnej, jak i w dydaktykachprzedmiotowych bardzo dużo uwagi poświęca się szeroko rozu-mianemu pojęciu efektywności kształcenia. Wyniki egzaminówzewnętrznych, konkursów, testów o zasięgu międzynarodowych,itp. stanowią główne narzędzie do mierzenia poziomu owej efek-tywności. Należy jednak zwrócić uwagę na fakt, iż zdecydowanawiększość w.w. sprawdzianów ukierunkowana jest na uczniów– dokładniej – na ich wiedzę i umiejętności. Jednak ewaluacjakształcenia przebiegająca tylko w tej płaszczyźnie, pomija szeregistotnych czynników mających wpływ na jego efekty. Nieodzow-nym ogniwem w procesie nauczania są oczywiście nauczyciele,których poziom i jakość wykształcenia winny być sukcesywniemonitorowane i podnoszone. Odnosząc tę kwestię do nauczycielimatematyki, można przywoływać wyniki różnych badań o zasię-gu ogólnopolskim oraz między krajowym, a na ich podstawie wy-suwać różnorodne wnioski, tworzyć rankingi – mówiąc krótko –oceniać polskich nauczycieli matematyki. Ja jednak chciałabymporuszyć kwestię już na etapie samego kształcenia studentówna przyszłych nauczycieli matematyki. Kolokwializując – przyj-rzę się temu procesowi „od kuchni”. W tym celu wykorzystamprowadzone przeze mnie zajęcia ze studentami matematykina specjalności – matematyka nauczycielska. Doświadczenia orazmateriały zebrane w toku tej współpracy, mimo, iż dotyczą nie-licznej grupy studentów, to jednak dostarczają ciekawych spo-strzeżeń dotyczących: po pierwsze - wybranych kompetencji,w jakie wyposaża się osoby wkraczające jako nauczyciele mate-matyki do polskich szkół, po drugie - ogólnych kompetencji ma-tematycznych, z jakimi uczniowie wkraczający w dorosłe życie,opuszczają polskie szkoły.


Twierdzenie Sylvestera-Gallai w ujęciu czwartek

11:00–11:30historycznym i szkolnym

Tomasz SzembergUniwersytet Pedagogiczny im. Komisji Edukacji Narodowejw [email protected]

Zapewne najstarszą nietrywialną konfiguracją prostych poja-wiającą się w matematyce jest konfiguracja związana z Twier-dzeniem Pappusa. Być może była ona motywacją dla problemupostawionego przez Jacksona [2] na początku XIX wieku:czy możliwe jest takie posadzenie 9 drzew w sadzie, że w każdejlinii wyznaczonej przez 2 drzewa znajduje się jeszcze co najmniejjedno drzewo? Ze względu na sformułowanie, problem bywa czę-sto nazywany Problemem Sadowym.

W ogólniejszej postaci problem został powtórzony przezSylvestera [3] w 1893 roku: czy istnieje taki zbiór niewspółlinio-wych punktów na płaszczyźnie, że na prostej wyznaczonej przezdowolne dwa z nich znajduje się jeszcze co najmniej jeden punktze zbioru?

Ten problem został rozwiązany przez Gallaia około roku 1943.Pokazał on, że dla dowolnego zbioru niewspółliniowych punktówna płaszczyźnie zawsze można wskazać prostą zwyczajną tj. takąprostą, która przechodzi przez dokładnie dwa punkty z danegozbioru.

Hipoteza dotycząca minimalnej liczby prostych zwyczajnychw zależności od liczby punktów w danym zbiorze została rozwią-zana dopiero niedawno przez Greena i Tao [1].

Na wykładzie przedstawię historię problemu oraz opowiemw jaki sposób został użyty do pracy z uczniami w szkole gimna-zjalnej i w liceum, [4].

Literatura

[1] Green, B., Tao, T., On sets defining few ordinary lines,Discrete Comput. Geom., 50 (2013), 409-468.

[2] Jackson, J., Rational Amusement for Winter Evenings,Longman, Hurst, Rees, Orme and Brown, 1821.


[3] Sylvester, J. J., Problem 11851, Math. Questions from theEducational Times, 59 (1893), 98-99.

[4] Konfiguracje prostych i stożkowych, red. Szemberg T.,Wydawnictwo Szkolne Omega, 2015.

Wędrując ścieżkami uczniówczwartek

11:30–12:00Daniel WójcikUniwersytet Pedagogiczny im. Komisji Edukacji Narodowejw Krakowiedaniel [email protected]

Są ścieżki, które nie prowadzą do gotowych rozwiązańani nie wykonują za ucznia żadnych operacji, pozwalając na po-budzenie myślenia od postawienia problemu i skierowanie w kie-runku rozwiązania. Prowadzenie nie odbywa się poprzez oczywi-ste pytania sugerujące oczekiwane odpowiedzi. Uczeń samodziel-nie myśląc czyni kolejne kroki ku jej znalezieniu. Musi on na tychścieżkach stawiać hipotezy, argumentować za ich poprawnościąlub je obalać, testować pomysły, błądzić, wycofywać się ze wcześ-niejszych wniosków, sam siebie przekonywać. Trud owocuje zbu-dowaniem nowej wiedzy i pozyskaniem kolejnych doświadczeń.Istotny jest wkład nauczyciela, prowadzącego uczniów w sposóbdla nich niemalże niezauważalny, dający przekonanie , że sąw stanie odkryć coś sami, budujący ich pewność siebie orazzachęcający do wysiłków. Nauczyciel zgadza się aby uczniowieprzejęli odpowiedzialność za lekcję. Okazuje się, że pytania sądużo ważniejsze od rozwiązania konkretnego problemu.

31

Geometria i topologia rozmaitości

Organizatorzy:Bogusław Hajduk (Uniwersytet Warmińsko-Mazurskiw Olsztynie), [email protected] Shevchishin (Uniwersytet Warmińsko-Mazurskiw Olsztynie), [email protected]

Środa, 14 września 2016, 11:00–12:30, sala A3/15Czwartek, 15 września 2016, 11:00–16:00, sala A3/15

Piątek, 16 września 2016, 11:00–12:30, sala A3/15

Środa

11:00–11:45 Krzysztof M. PawałowskiDziałania grup na rozmaitościach (str. 35)

11:45–12:30 Andrzej BiśDynamika skończenie generowanychgrup homeomorfizmów (str. 32)

Czwartek

11:00–11:45 Andrzej WeberTopologiczny dowód istnienia wielu bazAuerbacha (str. 36)

11:45–12:30 Bogusław HajdukGeometria kontaktowa w wymiarze 5 (str. 33)

14:30–15:10 Witold MozgawaTwierdzenie Mellisha dla krzywycho stałej uogólnionej szerokości (str. 34)

15:10–15:40 Magdalena SkrzypiecTrajektorie ortogonalne izooptyk owali (str. 35)

15:40–16:00 Anna GąsiorSpin struktury na rzeczywistych kahlerowskichrozmaitościach Botta (str. 33)

32 Geometria i topologia rozmaitości

Piątek

11:00–11:45 Artur WoikeSymplektycznie grube wiązki (str. 37)

11:45–12:30 Anna SzczepkowskaO riemannowskich grubych wiązkachstowarzyszonych (str. 36)

Dynamika skończenie generowanychśroda

11:45–12:30 grup homeomorfizmów

Andrzej BiśUniwersytet Ló[email protected]

Klasyczny układ dynamiczny, wyznaczony przez ciągłe od-wzorowanie f zwartej przestrzeni metrycznej X w siebie, spełniatak zwaną zasadę wariacyjną. Zasada wariacyjna mówi, że en-tropia topologiczna odwzorowania f jest równa kresowi górnemujego entropii miarowych względem miar f-niezmienniczych.Na skończenie generowaną grupe homeomorfizmów zwartej prze-strzeni metrycznej można patrzeć jak na uogólniony układ dyna-miczny. Topologiczna entropia grupy w sensie Ghysa-Langevina--Walczaka pokrywa się z pojemnością wyznaczoną przez pewnąstrukure Caratheodoriego. W ogólności, dla uogólnionego układudynamicznego nie zachodzi zasada wariacyjna. Natomiast istnie-je oszacowanie entropii topologicznej grupy poprzez jej lokalneentropie względem miary. Dodatkowe założenia o strukturze gru-py (takie jak wzrost grupy, hiperboliczność w sensie Gromowalub kwazi-konforemność) pozwalają na uzyskanie ciekawych wła-sności rozpatrywanego układu dynamicznego.


Spin struktury na rzeczywistych czwartek

15:40–16:00kahlerowskich rozmaitościach Botta

Anna GąsiorUniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej w [email protected]

W pracy zostaną przedstawione warunki istnienia Spin struk-tury na rzeczywistych kahlerowskich rozmaitościach Botta.

Literatura

[1] Ishida H., Symplectic real Bott manifolds, Proc. Amer. Math.Soc., 139 (8) (2011), 3009-3014.

[2] Kamishima Y., Masuda M., Cohomological rigidity of realBott manifolds, Alebr. & Geom. Topol. 9 (2009), 2479-2502.

[3] Popko J., Szczepański M. A., Cohomological rigity of orientedHantzsche-Wendt manifolds, arXiv:1303.2807.

Contact geometry in dimension 5 czwartek

11:45–12:30Bogusław HajdukUniversity of Warmia and Mazury in [email protected]

I will present some problems on contact manifold of dimen-sion 5 as well as some answers and constructions.


Twierdzenie Mellisha dla krzywychczwartek

14:30–15:10 o stałej uogólnionej szerokości

Witold MozgawaUniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej w [email protected]

A. P. Mellish w pracy [2], która miała duży wpływ na wieleprac z geometrii różniczkowej, podał szereg warunków równoważ-nych na to, by owal był o stałej szerokości. Wykorzystując pojęcieα-izooptyki owalu, ([1]), czyli miejsca geometrycznego punktów,z których owal jest widziany pod kątem π − α, wprowadzamypojecie sinus-krzywizny κα owalu. Owalem o uogólnionej stałejα-szerokości nazywany owal, którego sinus-krzywizna κα jest sta-ła. W szczególności pokazujemy, że owal jest krzywą o stałejπ-szerokości wtedy i tylko wtedy, gdy ma stałą szerokość w zwy-kłym sensie. Ponadto pokazujemy, że dla 0 < α < π owal jesto stałej α-szerokości wtedy i tylko wtedy, gdy jego α-izooptykajest okręgiem. Wykazujemy twierdzenieDla ustalonego kąta α ∈]0, π] stwierdzenia:

(i) owal jest o stałej α-szerokości;(ii) owal jest o stałym α-rozprzestrzenieniu;(iii) każdy wektor q(t, α) jest równoległy do wektora Q(t, α);(iv) jeśli α1 i α2 są kątami pomiędzy wektorem q(t, α) a prosty-

mi podpierającymi owal w punktach z(t) i z(t+ α), to wy-

rażenie 1|q(t,α)|2

(2|q(t, α)| −

(sinα1k(t+α) + sinα1

k(t)

))jest stałe,

gdzie k oznacza krzywiznę owalu;są równoważne.

(v) Dla wszystkich krzywych o tej samej stałej α-szerokościa stowarzyszone jeżeli Hα mają tę samą długość L = πa.

Dla α = π wszystkie stwierdzenia tego twierdzenia redukująsię do stwierdzeń z pracy Mellisha [2].

Literatura

[1] Benko, K., Cieślak, W. Góźdź, S., Mozgawa W., On isopticcurves, An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi Ser. Noua Mat.,36 (1) (1990), 47-54.

[2] Mellish A. P., Notes on differential geometry, Ann. Math.,32 (2) (1931), 181-190.


Group actions on manifolds środa

11:00–11:45Krzysztof M. PawałowskiAdam Mickiewicz University in Poznań[email protected]

We shall described methods of constructing compact Liegroup actions on manifolds with prescribed properties of thefixed points sets and their equivariant normal bundles, as wellas the corresponding orbit types. In particular, we shall see howgroup actions on spheres lead to group actions on another mani-folds with similar fixed point data. The methods were developedto solve a number of problems posed in the Theory of Trans-formation Groups.

Trajektorie ortogonalne izooptyk owali czwartek

15:10–15:40Magdalena SkrzypiecUniwersytet Marii Curie-Skł[email protected]

Ewolucja owali według izooptyk jest zagadnieniem od latbadanym przez matematyków z Lublina. W tym referacie wyzna-czymy równanie różniczkowe na trajektorie ortogonalne izooptykdanego owalu sparametryzowanego za pomocą funkcji podparcia.Następnie przedstawimy wykresy trajektorii ortogonalnychdla izooptyk przykładowych, znanych owali. Dla izooptyk owaluposiadającego oś symetrii pokażemy, że trajektoria ortogonalnazaczynająca się na osi symetrii jest półprostą leżącą na rozważa-nej osi.

Czasem wygodnie jest przenieść rozważania o izooptykachdo przestrzeni dualnej i studiować krzywe dualne do izooptykna cylindrze Blaschke’go. Przyjrzymy się dokładniej krzywymdualnym do izooptyk krzywej o funkcji podparciap(t) = a + b cos 3t, a > 8b i zauważymy, że izooptyki danegoowalu przy oddalaniu się od wyjściowej krzywej mogą utracićwypukłość, a następnie znów ją odzyskać. Powiemy wtedy,że dla izooptyk tej krzywej mamy dwa kąty graniczne. Na za-kończenie rozważymy problem kątów granicznych dla izooptyk


owalu o funkcji podparcia p(t) = a+ b cosnt, wzdłuż trajektoriiortogonalnych zaczynających się w ekstremach krzywizny tegoowalu.

O riemannowskich grubych wiązkachpiątek

11:45–12:30 stowarzyszonych

Anna SzczepkowskaUniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

Grube wiązki stowarzyszone stanowią istotne narzędzie kon-struowania metryk riemannowskich z dodatnią bądź nieujemnąkrzywizną. Warunek na grubość wiązki jest raczej skomplikowa-ny i stąd analizowany był tylko w pewnych przypadkach wiązekstowarzyszonych. W swoim wystąpieniu przypomnę klasycznerezultaty i przedstawię najnowsze wyniki związane ze znalezie-niem warunków koniecznych dla istnienia wiązek tego typu.Wspomniane warunki dają pewnego rodzaju klasyfikację gru-bych wiązek stowarzyszonych z G-strukturami nad zwartymiprzestrzeniami jednorodnymi, przy założeniu, że koneksjaw G-strukturze jest kanoniczna.

Topologiczny dowód istnienia wielu bazczwartek

11:30–11:45 Auerbacha

Andrzej WeberUniwersytet WarszawskiInstytut Matematyczny [email protected]

Niech V będzie przestrzenią Banacha skończonego wymiaru.Mówimy, że α1, α2, . . . , αn ∈ V jest bazą Auerbacha,gdy |αi| = |α∗i | = 1 dla każdego i = 1, 2, . . . , n. Istnienie takiejbazy dla dowolnej przestrzeni Banacha zostało wykazane przezAuerbacha w 1930 roku. Własności baz Auerbacha były badane


przez wielu autorów. W roku 2005 Plichko wykazał, że musząistnieć conajmniej dwie istotnie różne bazy Auerbacha. Następ-nie Pełczyński postawił hipotzę, że w przestrzeni wymiaru nistnieje conajmniej n baz Auerbacha. Wykażemy, że w dowolnejprzestrzeni Banacha wymairu n musi być conajmniej n(n−1)

2 + 1baz Auerbacha. Dowód jest topologiczny i korzysta z kategoriiLusternika-Schnirelmanna. Dla przestrzeni Banacha ogólnego ty-pu otrzymujemy oszacowanie lepsze stosując teorię Morse’a.

Praca wspólna z Michałem Wojciechowskim.

Literatura

[1] Weber A., Wojciechowski M., On the Pełczyński conjectureon Auerbach Bases, arXiv:1608.00495.

Symplektycznie grube wiązki piątek

11:00–11:45Artur WoikeUniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

W geometrii symplektycznej jednym ze znanych sposobówkonstruowania rozmaitości symplektycznych są tak zwane sym-plektyczne rozwłóknienia. Są to wiązki z symplektycznym włók-nem i włóknistą strukturą symplektyczną na przestrzeni totalnej.Znane są dwie ogólne metody pozwalające uzyskać na przestrzenitotalnej wiązki włóknistą strukturę symplektyczną. Pierwsza me-toda jest opisana w twierdzeniu Thurstona, a druga w twierdze-niu Sternberga i Weinsteina. Symplektyczne rozwłóknienia skon-struowane na podstawie drugiej metody są nazywane symplek-tycznie grubymi wiązkami. Referat ten jest poświęcony nowymkonstrukcjom takich wiązek. Konstrukcje te uzyskano poprzezzastosowanie odwzorowania Kirwan oraz poprzez wyrażenie wa-runku grubości w terminach reprezentacji izotropii pochodzącejod G-struktury nad przestrzenią jednorodną. Z konstrukcji tychwynikają nowe przykłady symplektycznie grubych wiązek,na przykład wiązki twistorów nad parzysto wymiarowymi gras-smannianami maksymalnego rzędu.

38

Integrable systems

Organizatorzy:Adam Doliwa (Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie),[email protected] Panasyuk (Uniwersytet Warmińsko-Mazurskiw Olsztynie), [email protected]

Wtorek, 13 września 2016, 16:30–18:00, sala A1/6Środa, 14 września 2016, 11:00–12:30, sala A1/6

Wtorek

16:30–17:00 Nikolai N. Bogolubov (Jr.)On a new exactly solvable spatiallyone-dimensional quantum superradiancefermi-medium model (str. 40)

17:00–17:30 Anatoliy K. PrykarpatskyThe Hamiltonian operators and relatedintegrable differential-algebraic Novikov-Leibnizstructures (str. 42)

17:30–18:00 Andriy PanasyukNonlinear PDEs related to Veronese webs (str. 42)

Środa

11:00–11:45 Julia BernatskaMultivariative σ-functions: theory, examplesand applications (str. 39)

11:45–12:30 Adam DoliwaNon-commutative discrete KP system,and the corresponding pentagon, tetrahedronand Yang-Baxter maps (str. 40)


Multivariative σ-functions: theory, środa

11:00–11:45examples and applications

Julia Bernatska(joint work with Dmitry Leykin)National University of ‘Kyiv-Mohyla Academy’[email protected]

The talk is devoted to the theory of multivariate σ-functionsdeveloped by V. Buchstaber and D. Leykin (see [1], [2], [3]),which is an extension of Weierstrass’ theory of Abelian functions.Multivariate σ-functions are entire functions constructedfor plain algebraic curves of high genera and depending onlyon parameters of the curve. The theory is based on series expan-sions, and has the advantage to be effective and easy for compu-tation.

The first part of talk describes a construction of the seriesexpansion for σ-function associated with a so called (n, s)-curve.As a by-product of the construction we obtain the basis of secondkind differentials associated to the standard first kind differen-tials. The general scheme is illustrated by examples of smallgenera.

Further we discuss some applications and open problems con-nected to so called polylinear relations. Bilinear relations produceHirota equations for integrable hierarchies, and also relationsbetween Abelian functions, which can be alternatively obtainedfrom Klein’s bidifferential formula. Trilinear relations produceaddition formulas for Abelian functions.

Mostly, periodic solutions for an integrable system are ex-pressed in terms of Abelian functions on the Jacobian of the cor-responding spectral curve. The apparatus of multivariativeσ-functions gives an easy way for obtaining nonlinear wave-solu-tions and exploring their interference.

References

[1] Buchstaber V. M., Enolskii V. Z., Leykin D. V., RationalAnalogs of Abelian Functions, Funct. Anal. Appl.,33 (2) (1999).

[2] Buchstaber V. M., Leykin D. V., Polynomial Lie Algebras,Funct. Anal. Appl., 36 (4) (2002), 267–280.

40 Integrable systems

[3] Buchstaber V. M., Leykin D. V., Heat Equations in a Non-holonomic Frame, Funct. Anal. Appl., 38 (2) (2004), 88–101.

On a new exactly solvable spatiallywtorek

16:30–17:00 one-dimensional quantumsuperradiance fermi-medium model

Nikolai N. Bogolubov (Jr.)(joint work with A. Prykarpatsky)Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciencesnikolai [email protected]

A new exactly solvable spatially one-dimensional quantumsuperradiance model describing a charged fermionic medium in-teracting with an external electromagnetic field is proposed.The infinite hierarchy of quantum conservation laws and many-particle Bethe eigenstates that model quantum solitonic impulsestructures are constructed. The Hamilton operator renormaliza-tion procedure subject to a physically stable vacuum is described,the quantum excitations and quantum solitons, related to thethermodynamical equilibrity of the model, are discussed.

Non-commutative discrete KP system,środa

11:45–12:30 and the corresponding pentagon,tetrahedron and Yang-Baxter maps

Adam DoliwaUniversity of Warmia and Mazury in [email protected]

A simple geometric characterization of Hirota’s discreteKadomtsev–Petviashvili (KP) equation, as presented in [1],works in projective geometries over division rings, thus leadingto the non-commutative generalization of the equation. Its multi-dimensional consistency, which is nowadays considered as a hall-mark of integrable equations, is encoded in the Desargues the-


orem, and provides a map satisfying Zamolodchikov’s tetrahe-don condition, commonly accepted as a generalization of theYang-Baxter condition. The ultralocality assumption leads to re-duction of the map from general division ring context to thedivision ring of quantum rational functions. In my talk I wouldlike to present another reduction of the map [5] related to theaffine geometry specification of the projective space.

The map studied in the first part of the talk, can be de-composed into two simpler maps, which satisfy the pentagoncondition [2]. Both of them allow for ultralocal reduction provid-ing geometric interpretation of the bialgebra structure of thequantum plane [3]. In the last part of my talk I study a versionof the discrete KP equation, gauge equivalent to the affine one,discussed in the first part. I would like to show how periodiccondition imposed on the corresponding map leads to a familyof maps satisfying the Yang-Baxter property [4].

References

[1] Doliwa A., Desargues maps and the Hirota-Miwa equation,Proc. R. Soc. A, 466 (2010), 1177-1200.

[2] Doliwa A., Sergeev S. M., The pentagon relation and incid-ence geometry, J. Math. Phys., 55 (2014) 063504.

[3] Doliwa A., Hirota equation and the quantum plane, Algebraicand Geometric Aspects of Integrable Systems and RandomMatrices, Dzhamay A., Maruno K., Pierce V. (eds.),Contemp. Math., 593 (2013), 205-230.

[4] Doliwa A., Non-commutative rational Yang-Baxter maps,Lett. Math. Phys., 104 (2014), 299-309.

[5] Doliwa A., Kashaev R. M., Non-commutative rationalpentagon and tetrahedron relations, and Desargues maps,in preparation.


Nonlinear PDEs related to Veronesewtorek

17:30–18:00 webs

Andriy Panasyuk(joint work with B. Kruglikov)University of Warmia and Mazury in [email protected]

Veronese webs are closely related to bi-Hamiltonian systems,as was shown by Gelfand and Zakharevich. Recently a corresp-ondence between Veronese three-dimensional webs and three-dimensional Einstein-Weyl structures of hyper-CR type was es-tablished. The latter were parametrized by Dunajski and Krynskivia the solutions of the dispersionless Hirota equation. In thistalk I will show relations of Veronese three-dimensional websto several other integrable equations, deform these equationspreserving integrability via a dispersionless Lax pair and computethe corresponding contact symmetries, Backlund transformationsand Einstein-Weyl structures. Realization of Veronese websthrough solutions of these deformed integrable PDE is based ona correspondence between partially integrable Nijenhuis operat-ors to the operator fields with vanishing Nijenhuis tensor.

The Hamiltonian operators and relatedwtorek

17:00–17:30 integrable differential-algebraicNovikov-Leibniz structures

Anatoliy K. Prykarpatsky(joint work with D. Blackmoreand O. Artemovych)The Ivan Franko State Pedagogical University in DrohobyczAGH University of Science and [email protected]

There is discussed a general differential-algebraic approachto constructing multi-component Hamiltonian operators as Lie-Posson structures and related differentiations on suitably con-structed adjacent loop Lie algebras. The related Novikov-Leibniz


type algebraic structures are presented, a new nonassociative”Riemann” algebra is constructed, deeply related with infinitemulti-component Riemann type integrable hierarchies. A closerelationship to the standard symplectic analysis techniques is alsodiscussed.

Asymptotic soliton type solutionsto singularly perturbedKorteweg-de Vries equationwith variable coefficients

Valerii Hr. Samoilenko(joint work with Yuliia I. Samoilenko)Taras Shevchenko National University of [email protected]

We consider problem on constructing asymptotic soliton typesolutions to singularly perturbed equation with variable coeffi-cients

εnuxxx = a(x, t, ε)ut + b(x, t, ε)uux, n ∈ N, (1)

where functions a(x, t, ε), b(x, t, ε) are represented as asymptoticseries

a(x, t, ε) =N∑k=0

εkak(x, t) +O(εN+1),

b(x, t, ε) =N∑k=0

εkbk(x, t) +O(εN+1)

under conditions a0(x, t) b0(x, t) 6= 0, (x, t) ∈ R × [0;T ],as well as problem on constructing the same solutions of Cauchyproblem to equation (1) of the following form u(x, 0, ε) = f(x, ε),where f(x, ε) ∈ C∞(R) or f(x, ε) ∈ S(R), x ∈ R. Here ε isa small parameter.

The equation (1) is associated with the well-known Korteweg-de Vries equation ut + uux + uxxx = 0 being a fundamental oneof modern mathematical and theoretical physics and possessinga lot of different interesting properties. The one attracted much


attention of many scientists in past century after discovery of newproperties of its solitary wave solutions in 1965.

We present an algorithm of constructing asymptotic solitontype solutions of equation (1) and Cauchy problem for it. The al-gorithm is developed for finding asymptotic one-, two- and multy-phase soliton type solutions to these problems. It should be notedthat structure of these asymptotic solutions essentially dependson the degree of small parameter at the highest derivative in (1).

We also study question on accuracy with which constructedasymptotic solutions satisfy the problems under consideration.In particular, theorems on asymptotic estimates for constructedsolutions are obtained.

References

[1] Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I., Asymptotic solutionsof the Cauchy problem for the singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients, Ukrainian Math.J., 59 (2007), 126-139.

[2] Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I., Two-phase soliton-like solutions of the Cauchy problem for a singularly per-turbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients,Ukrainian Math. J., 65 (2014), 1681-1697.

[3] Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I., Asymptotic m-phasesoliton-type solutions of a singularly perturbed Korteweg-de Vries equation with variable coefficients, Ukrainian Math.J., 64 (2012), 1109-1127.

[4] Samoylenko V. Hr., Samoylenko Yu. I., Asymptoticmultiphase soliton-like solutions of the Cauchy problem fora singularly perturbed Korteweg–de-Vries equation with vari-able coefficients, Ukrainian Math. J., 66 (2015), 1842-1861.

45

Mathematical models of gene regulationand signalling pathways in cells

Organizatorzy:Jacek Miękisz (Uniwersytet Warszawski),[email protected] Ochab-Marcinek (Instytut Chemii Fizycznej PAN),[email protected]

Czwartek, 15 września 2016, 11:00–18:00, sala A1/6Piątek, 16 września 2016, 11:00–12:30, sala A1/6

Czwartek

11:00–11:30 Jacek MiękiszExact results in self-regulating genes (str. 50)

11:30–12:00 Jakub JędrakTime-dependent solutions for a stochastic modelof gene expression with molecule productionin the form of random bursts (str. 48)

12:00–12:30 Anna Ochab-MarcinekGene multiplication: A simple phenomenon thatmay cause non-intuitive effects (str. 51)

14:30–15:15 Pavol BokesUsing asymptotic approximations of integralsto evaluate noise in gene expression subjectto negative feedback (str. 47)

15:15–16:00 Marcin ZagórskiEvolutionary accessibility of fitness landscapeswith realistic mutational networks (str. 54)

16:30–17:00 Bartek WilczyńskiFrom gene to the chromosome level – structuralaspects of gene regulation (str. 53)

17:00–17:30 Michał KomorowskiModelling information flow in biochemicalsignalling patways (str. 48)

46Mathematical models of gene regulation

and signalling pathways in cells

17:30–18:00 Tomasz LipniackiPolarization of concave domains by traveling wavepinning (str. 49)

Piątek

11:00–11:30 Marta Tyran-KamińskaDynamics of a bistable genetic switch (str. 52)

11:30–12:00 Andrzej TomskiMathematical models of stochastic geneexpression (str. 51)

12:00–12:30 Marek BodnarInfluence of time delay on dynamic of genesexpression models (str. 46)

Influence of time delay on dynamicpiątek

12:00–12:30 of genes expression models

Marek BodnarUniversity of [email protected]

There exist a number of genes that change their expressionpattern in an oscillatory manner. In some cases these oscillationsare stable and can be treated as molecular clocks as in circadianclock and the cell cycle. In 2002, Hirata et al. [1] observed oscilla-tions in the Hes1 system. In 2003 Monk proposed a very simplemodel of this system with time delay, see [3]. Independently,Jensen et al. [2] numerically studied the same model as proposedby Monk, and observed that sustained oscillations may be in-duced by time delay introduced to the system. We will discussthe influence of time delay on the dynamics of gene expressionmodels showing that sustained oscillation can be obtained in thedeterministic model. In literature, a Hill function is frequentlyused to mode a negative feedback loop. Using singular perturb-ation method, we justify this form of the function.


References

[1] Hirata H., Yoshiura S., Ohtsuka T., Bessho Y., Harada T.,Yoshikawa K., Kageyam R., Oscillatory expression of thebHLH factor Hes1 regulated by a negative feedback loop,Science, 298 (2002), 840-843.

[2] Jensen M., Sneppen K., Tiana G., Sustained oscillations andtime delays in gene expression of protein Hes1, FEBS Lett.,541 (2003), 176-177.

[3] Monk N. A., Oscillatory expression of Hes1, p53, and NF-κBdriven by transcriptional time delays, Curr. Biol.,13 (2003), 1409-1413.

Using asymptotic approximations czwartek

14:30–15:15of integrals to evaluate noise in geneexpression subject to negative feedback

Pavol BokesComenius University in [email protected]

Synthesis of protein molecules in randomly-timed burstsis a major contributor to noise in the expression of individualgenes. Negative feedback is a canonical example of a regulatorymechanism by which cells can control noisy gene expression. Herewe consider feedback on burst frequency, which causes protein-synthesis bursts to occur less frequently whenever protein con-centration exceeds a given threshold. We model protein dynamicsby a simple drift-jump Markovian model, which yields an explicitformula for the steady-state protein probability density function.The density can be used, in particular, to calculate the steady-state protein moments (e.g. mean, variance) by numerical in-tegration. In special parametric regimes, namely in the small-noise and the low-threshold regimes, one can use asymptoticapproximations of integrals to evaluate these moments analyt-ically. Combining asymptotics with numerical results helps un-derstand the effects of negative feedback on gene-expression noisedriven by protein bursting.



Time-dependent solutionsczwartek

11:30–12:00 for a stochastic model of geneexpression with molecule productionin the form of random bursts

Jakub JędrakInstitute of Physical Chemistry Polish Academy of [email protected]

A stochastic model of gene expression is studied, in whichprotein production has a form of random bursts, whereas proteindegradation is a simple first-order reaction. However, burst-sizedistribution is assumed to be arbitrary. For the most general case(burst size probability distribution and the model parametersdepending on time in an arbitrary manner, and for arbitraryinitial conditions), exact analytical expressions for the time evol-ution of the cumulant-generating function is found. In particular,the n-th cumulant of the protein number distribution dependson the n-th moment of the burst size distribution.

It is also shown that in the case of external periodic geneactivation and time-independent protein degradation rate,the response of the gene is analogous to the RC low-pass filter(slow oscillations of the external driving have a greater effectthan the fast ones).

Moreover, time-evolution of the two quantities used routinelyto quantify gene expression noise (coefficient of variation andFano factor) may be qualitativelly different.

Modelling information flowczwartek

17:00–17:30 in biochemical signalling patways

Michał KomorowskiInstitute of Fundamental Technological ResearchPolish Academy of [email protected]

Highthroughput experimental approaches and the advancesof computational capabilities continue to reshape modern bio-


logy. Thus, mathematical biology offers new possibilities formathematicians and biologists to explore signal transduction,an important and highly complex aspect of cell biology. Themolecular mechanisms how cells transduce biochemical signalsare widely understood. Biochemical descriptions however failedto reveal how stimuli are translated into distinct responses. Sig-nalling pathways are highly complex as they are functionallypleitropic and biochemical reactions intrinsically stochastic.In the talk I will present how mathematical methods of informa-tion theory and probabilistic dynamical modelling can contributeto understanding of how information flows in signalling path-ways.

Polarization of concave domains czwartek

17:30–18:00by traveling wave pinning

Tomasz Lipniacki(joint work with Sławomir Białeckiand Bogdan Kaźmierczak)Institute of Fundamental Technological ResearchPolish Academy of [email protected]

We consider a scalar bistable reaction-diffusion equation

∂u

∂t= D∇2u− ∂V

∂u(1)

in finite domain with the zero Neumann boundary conditionto show that traveling fronts can be pinned into concave frag-ments of the boundary. For axisymmetric domain with boundaryparamerized as r(z) we demonstrated that the front pines in po-sition z such that

ε ∼ 1r× dr

dz×√D (2)

where ε = V (min1)−V (min2) is the difference between potentialvalues in its two minima. Eq. 2 implies that fronts may be pinnedeven for relatively large asymmetry of the potential provided thatdiffusion D is sufficiently large.



The numerical simulations show that in complex geometriesthere may exist a number of stationary fronts. We propose thatthe pinning mechanism allow for maintaining gradients in cellsand by linking shape with polarization can be responsible forsegmentation.

Exact results in self-regulating genesczwartek

11:00–11:30Jacek MiekiszUniversity of [email protected]

Gene regulation is a complex process involving many bio-chemical reactions with proteins being final products. Herewe will discuss simple models of self-regulating genes. Proteinmolecules my bind to promoter regions of DNA and repressor activate their own production or production of other proteins.The general goal is to obtain approximate formulas for the ex-pected value and the variance of the number of protein moleculesin stationary states of appropriate birth and death Markov jumpprocesses.

We will discuss self-repressing genes with time delays of theprotein production. We will use self-consistent mean-field ap-proximations and methods of singular perturbations with smallparameters being a time delay or the inverse of the adiabaticityparameter.


Gene multiplication: A simple czwartek

12:00–12:30phenomenon that may causenon-intuitive effects

Anna Ochab-MarcinekInstitute of Physical Chemistry Polish Academy of [email protected]

While stochastic models of as simple circuits as the self-regulating gene are now well known and widely used, little atten-tion has been paid to the analysis of their behavior in the casewhen the gene is present in multiple copies. Yet, the variationin gene copy number is a phenomenon of major evolutionarysignificance and it is commonplace among organisms.

Therefore, we will present here the results of analysis of thebehavior of an extremely simple model of the self-regulating genedepending on the number of its copies and mutationsin autoregulation strength. Despite the simplicity of the system,it shows some behaviors that have not been, to date, associatedwith gene multiplication, or that are difficult to predict intuit-ively, which may lead to misinterpretation of experimental data.

Mathematical models of stochastic gene piątek

11:30–12:00expression

Andrzej TomskiUniversity of Silesia in [email protected]

In our talk, we will present a model [1] of stochastic geneexpression, which is an extension of the model investigated in thepaper [2]. In this model, stochastic effects still originate fromrandom fluctuations in gene activity status, but we precedemRNA production by the formation of pre-mRNA, which en-riches classical transcription phase. We obtain a stochasticallyregulated system of ordinary differential equations (ODEs) de-scribing evolution of pre-mRNA, mRNA and protein levels.Long-time behaviour of this stochastic process, identified as



a piece-wise deterministic Markov process (PDMP) is investig-ated. We show some numerical simulations for the distributionsof all three types of the particles. Moreover, we investigate the de-terministic (adiabatic) limit state of the process, when dependingon parameters it can exhibit two specific types of behavior: bista-bility and the existence of the limit cycle. The latter one is notpresent when only two kinds of gene expression products areconsidered [3]. In the end, we will present similar models andsome new problems waiting to be solved (i.e. a model of subtilinproduction [4]).

References

[1] Rudnicki R., Tomski A., On a stochastic gene expression withpre-mRNA, mRNA and protein contribution, J. Theor. Biol.,387 (2015), 54-67.

[2] Lipniacki T., Paszek P., Marciniak-Czochra A., Brasier A. R.,Kimmel M., Transcriptional stochasticity in gene expression,J. Theor. Biol., 238 (2006), 348-367.

[3] Jaruszewicz J., Żuk P. J., Lipniacki T., Type of noise definesglobal attractors in bistable molecular regulatory systems,J. Theor. Biol., 317 (2013), 140-151.

[4] Hu J., Wu W. C., Sastry S. C., Modelling subtilin productionin bacillus subtilis using stochastic hybrid systems, HybridSystems: Computation and Control, Alur R., Pappas G.J.(eds.), Springer-Verlag, 2004, 417-431.

Dynamics of a bistable genetic switchpiątek

11:00–11:30Marta Tyran-KamińskaUniversity of Silesia in [email protected]

The central tenet of molecular biology was put forward somehalf century ago, and though modified in detail still stands in itsbasic form. Transcription of DNA produces messenger RNA(mRNA). Then through the process of translation of mRNA,intermediate protein is produced which is capable of controlling


metabolite levels that in turn can feedback and affect transcrip-tion and/or translation. These metabolites are often referredto as effectors, and their effects can, in the simplest case, be eitherstimulatory (so called inducible) or inhibitory (or repressible)to the entire process. This scheme is often called the ‘operonconcept’.

Genes are often organized into operons, or clusters of core-gulated genes. We consider a genetic switch consisting of twooperons. For each operon, the regulatory region producesa repressor molecule that is inactive unless it is combined withthe effector produced by the opposing operon. In the combinedform the repressor-effector complex binds to the operator regionand blocks transcription of the corresponding structural gene.When the operator region is not complexed with the active formof the repressor, transcription of the structural gene can takeplace and mRNA is produced. Translation of the mRNA thenproduces an effector molecule. These effector molecules then arecapable of interacting with the repressor molecule of the opposinggene.

We study the existence of bistability properties in determin-istic models of such switches as well as stochastic models withbursting.

This is joint work with Michael C. Mackey.

From gene to the chromosome level czwartek

16:30–17:00– structural aspects of gene regulation

Bartek WilczyńskiUniversity of [email protected]

Eukaryotic gene regulation is a complex process that takesplace in an incredibly crowded environment of the cell nucleus.It involves large number of genes and currently, for obvious reas-ons, cannot be completely described by mathematical formalism.Nonetheless, understanding how exactly the complex chromo-somal structure influences gene regulation is currently an im-portant field of research on the way to modeling global gene



regulatory networks [2]. I will discuss the topic of chromosomalregulatory domain boundaries [1] as well as the problem of ana-lysis and interpretation of chromosomal contact matrices.

References

[1] Bednarz P., Wilczyński B., Supervised learning method forpredicting chromatin boundary associated insulator elements,J. Bioinform. Comput. Biol., 12(06) (2014).

[2] Wilczyński B., Furlong E. E. M., Challenges for modelingglobal gene regulatory networks during development: Insightsfrom Drosophila, Dev. Biol., 340(2) (2010), 161-169.

Evolutionary accessibility of fitnessczwartek

15:15–16:00 landscapes with realistic mutationalnetworks

Marcin ZagórskiInstitute of Science and Technology AustriaJagiellonian [email protected]

Evolutionary pathways describe trajectories of biologicalevolution in the space of different variants of organisms (gen-otypes). The probability of existence and the number of evolu-tionary pathways that lead from a given genotype to a better-adapted genotype are important measures of accessibility of localfitness optima and the reproducibility of evolution. Both quant-ities have been studied in simple mathematical models wheregenotypes are represented as binary sequences of two types of ba-sic units, and the network of permitted mutations between thegenotypes is a hypercube graph. However, it is unclear howthese results translate to the biologically relevant case in whichgenotypes are represented by sequences of more than two units,for example four nucleotides (DNA) or 20 aminoacids (proteins),and the mutational graph is not the hypercube. In this talkI will investigate accessibility of the best-adapted genotype in thegeneral case of K > 2 units [1]. I will present known analytical


results. Further, using computer generated and experimental fit-ness landscapes I will show that accessibility of the global fitnessmaximum increases with K and can be much higher than forbinary sequences. This increase in accessibility comes from theincrease in the number of indirect trajectories exploited by evolu-tion for higher K. As a consequence, the prediction of evolution-ary pathways for genotypes with higher K might be an extremelydifficult task. I will conclude my talk with presenting well definedopen problems.

References

[1] Zagorski M., Burda Z., Waclaw B., Beyond the Hypercube:Evolutionary Accessibility of Fitness Landscapes with Real-istic Mutational Networks, bioRxiv 067819 (2016).

56

Metody topologiczne w układachdynamicznych

Organizatorzy:Grzegorz Graff (Politechnika Gdańska), [email protected]ław Marzantowicz (Uniwersytet im. Adama Mickiewiczaw Poznaniu), [email protected]


Piątek, 16 września 2016, 11:00–12:30, sala A2/6

Środa

11:00–11:30 Roman SrzednickiO pewnym problemie Whitneya i twerdzeniuretraktowym Ważewskiego (str. 66)

11:30–12:00 Henryk ŻołądekPrzypadek Hessa–Appelrota (str. 67)

12:00–12:30 Piotr MaćkowiakO rozmiarze odwzorowania (str. 62)

Czwartek

11:00–11:30 Wojciech KryszewskiThe Bolzano intermediate value theoremand dynamical processes driven by parabolicpartial differential equations (str. 61)

11:30–12:00 Klaudiusz WójcikPunkty okresowe zachowującego miaręodwzorowania Poincare’go na płaszczyźnie (str. 66)

12:00–12:30 Piotr OprochaOn disjointness with all minimal systems (str. 64)

16:30–17:00 Piotr BartłomiejczykOtopijna klasyfikacja odwzorowań gradientowychw przestrzeni Hilberta (str. 57)


17:00–17:30 Justyna Signerska-RynkowskaZjawisko zwiększania okresu i chaos w nieliniowymmodelu dynamiki neuronu z resetowaniem (str. 64)

17:30–18:00 Małgorzata LebiedźCiągi generujące dla liczb Lefschetzaiteracji (str. 61)

Piątek

11:00–11:30 Wacław MarzantowiczBourgin-Yang version of the Borsuk-Ulam theoremfor p-toral groups (str. 63)

11:30–12:00 Jerzy JezierskiGładkie odwzorowania sfery S2 o jednym punkcien-periodycznym (str. 60)

12:00–12:30 Grzegorz GraffHipoteza Shuba o prędkości wzrostu liczby punktówperiodycznych dla odwzorowań gładkich (str. 59)

Otopijna klasyfikacja odwzorowań czwartek

16:30–17:00gradientowych w przestrzeni Hilberta

Piotr BartłomiejczykPolitechnika Gdań[email protected]

W roku 1985 E. N. Dancer podał definicję nowego niezmien-nika dla S1-współzmienniczych odwzorowań gradientowych [4],który daje więcej informacji niż zwykły stopień topologiczny.W związku z odkryciem Dancera profesor K. Gęba postawiłnastępujący problem: czy również w sytuacji bez działania grupyistnieje lepszy niezmiennik niż stopień topologiczny dla homoto-pii w klasie odwzorowań gradientowych? Negatywną odpowiedźna to pytanie dał w roku 1990 A. Parusiński [5]. Okazuje się, żeproblem postawiony przez profesora K. Gębę pojawia się w spo-sób naturalny przy rozważaniu odwzorowań lokalnych i ich klas

58 Metody topologiczne w układach dynamicznych

otopii (patrz [1], [2]). Pojęcie odwzorowania lokalnego oraz uży-teczne uogólnienie pojęcia homotopii nazywane otopią zostaływprowadzone przez J. C. Beckera i D. H. Gottlieba [3]. Podsta-wową zaletą tych pojęć jest to, że otopia łączy ze sobą odwzoro-wania lokalne o niekoniecznie tej samej dziedzinie.

Naszym głównym celem jest wykazanie, że twierdzenie typuParusińskiego zachodzi również w ośrodkowej przestrzeniHilberta tzn. że nie ma lepszego niezmiennika niż stopień Leray--Schaudera w zbiorze klas gradientowej otopii odwzorowań lo-kalnych postaci Id − F , gdzie Id oznacza identyczność, a F jestpełnociągłe gradientowe. Jest to wspólna praca z P. Nowakiem--Przygodzkim.

Literatura

[1] Bartłomiejczyk P., Nowak-Przygodzki P., The exponentiallaw for partial, local and proper maps and its applicationto otopy theory, Commun. Contemp. Math.,16(5) (2014), 1450005 (12 pages).

[2] Bartłomiejczyk P., Nowak-Przygodzki P., he Hopf theoremfor gradient local vector fields on manifolds, New York J.Math. 21 (2015), 943-953.

[3] Becker J. C., Gottlieb D. H., Vector fields and transfers,Manuscripta Math. 72 (1991), 111-130.

[4] Dancer E. N., A new degree for S1-invariant gradient map-pings and applications, Ann. Inst. Henri Poincare, AnalyseNon Lineaire, 2 (1985), 329-370.

[5] Parusiński A., Gradient homotopies of gradient vector fields,Studia Math. XCVI (1990), 73-80.


Hipoteza Shuba o prędkości wzrostu piątek

12:00–12:30liczby punktów periodycznychdla odwzorowań gładkich

Grzegorz GraffPolitechnika Gdań[email protected]

Hipoteza Shuba sformułowana została w latach 70-tych XXwieku. Dotyczy ona pytania jak szybko wzrastać może ilośćpunktów periodycznych dla gładkiego odwzorowania zwartej roz-maitości w siebie. W szczególności, gdy rozpatrywaną rozma-itością jest sfera Sm, punkty periodyczne są izolowane, a od-wzorowanie ma stopień d, gdzie |d| > 1, to hipoteza stwierdza,że wzrost liczby punktów periodycznych musi być przynajmniej(asymptotycznie) wykładniczy.

Jak dotąd hipoteza Shuba skutecznie opiera się próbom udo-wodnienia. Tym niemniej, udało się pokazać, że jest ona prawdzi-wa w pewnych szczególnych przypadkach. Celem referatujest sformułowanie hipotezy, naszkicowanie znanych rezultatówcząstkowych i dyskusja możliwych perspektyw jest rozstrzygnię-cia. Zaprezentowane zostaną nowe wyniki bedące efektem współ-pracy z Michałem Misiurewiczem i Piotrem Nowakiem--Przygodzkim.

Praca powstała w wyniku realizacji projektu badawczegoo nr UMO-2014/15/B/ST1/01710 finansowanego ze środków Na-rodowego Centrum Nauki.

Literatura

[1] Graff G., Nowak-Przygodzki P., Misiurewicz M., Periodicpoints of latitudinal maps of the m-dimensional sphere,Discrete Contin. Dyn. Syst., accepted.

[2] Misiurewicz M., Periodic points of latitudinal sphere maps,J. Fixed Point Theory Appl. 16 (2014), 149-158.

[3] Pugh C., Shub M., Periodic points on the 2-sphere, DiscreteCont. Dynam. Sys. 34 (2014), 1171-1182.

[4] Shub M., All, most, some differentiable dynamical systems,Proceedings of the International Congress of Mathematicians,Madrid, Spain, (2006), European Math. Society, 99-120.


[5] Shub M., Dynamical systems, filtration and entropy, Bull.Amer. Math. Soc. 80 (1974), 27-41.

Gładkie odwzorowania sfery S2piątek

11:30-12:00 o jednym punkcie n-periodycznym

Jerzy JezierskiSzkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawiejerzy [email protected]

Dane jest odwzorowanie zwartej spójnej i jednospójnej roz-maitości f : M → M oraz liczba naturalna n. Czy możnazdeformować f do odwzorowania h takiego, że zbiór punktówn-periodycznych Fix(hn) = x ∈ S2;hn(x) = x ma co najwyżejjeden punkt?

Okazuje się, że dla zadanych (f, n), takie ciągłe odwzorowanieh zawsze istnieje, jednakże nie zawsze h może być gładkie. Zo-stało to zauważone przez Shuba i Sullivana w 1976 a następnieopisane przez Chow, Mallet-Paret i Yorke. Warunkiem konie-cznym i dostatecznym aby h mogło być gładkie jest pewna wła-sność ciągu liczb Lefschetza (L(fk))k|n (przy założeniuże dimM 3). Z drugiej strony w przypadku dimM = 2 jedy-nymi zwartymi jednospójnymi rozmaitościami są sfera S2 orazdysk D2. Pokażemy, że:

Niech f : S2 → S2 będzie odwzorowaniem stopnia d ∈ Zzaś n liczbą naturalną. Wówczas f jest homotopijne z odwzoro-waniem gładkim h takim że Fix(hn) jest punktem (lub zbiorempustym) ⇐⇒ spełniony jest jeden z warunków:

1. |d| ¬ 1;

2. n = 1;

3. d = −2 and n = 2.

Praca powstała w wyniku realizacji projektu badawczego o nrUMO-2014/15/B/ST1/01710 finansowanego ze środków Naro-dowego Centrum Nauki.


The Bolzano intermediate value czwartek

11:00–11:30theorem and dynamical processesdriven by parabolic partialdifferential equations

Wojciech KryszewskiNicolas Copernicus University in Toruń[email protected]

We shall show that the Bolzano theorem along with itsn-dimensional as well as infinite dimensional counterparts haveimportant applications in the existence theory for systemsof parabolic equations and their periodic orbits under the pres-ence of convex state constraints. The results make use of tech-niques of convex and potential analysis.

Ciągi generujące dla liczb Lefschetza czwartek

17:30–18:00iteracji

Małgorzata LebiedźUniwersytet Gdań[email protected]

Ciąg liczb całkowitych an∞n=1 jest ciągiem Dolda, jeślispełnia następujące kongruencje:

∑k|n µ(k)an

k≡ 0(mod n)

dla n 1, gdzie µ : N→ Z jest funkcją Mobiusa, daną wzorem

µ(n) =

1, gdy n = 1;(−1)k, gdy n = p1p2 · · · pk dla różnych liczb

pierwszych pi;0 w pozostałych przypadkach.

Ciągi Dolda znajdują się we wzajemnie jednoznacznej od-powiedniości z tzw. ciągami generującymi [1]. Niech an będzieciągiem Dolda, cn ciągiem liczb całkowitych generującym ciąg


an. Wtedy dla n 1 zachodzi

an = c1an−1 + · · ·+ cn−1a1 + ncn;

cn =an − (c1an−1 + · · ·+ cn−1a1)

n.

Każdy ciąg liczb Lefschetza iteracji pewnego odwzorowania fjest ciągiem Dolda. Ponieważ ciągi Lefschetza stanowią podzbiórwłaściwy ciągów Dolda, więc naturalnym problemem (sformuło-wanym przez prof. K. Wójcika na VII Sympozjum NieliniowejAnalizy, 14-18.09.2015, UMK) jest pytanie jak wyglądajądla nich ciągi generujące. Celem referatu jest przedstawieniepewnej charakteryzacji ciągów generujących dla liczb Lefschetzaiteracji.

Uzyskane wyniki są rezultatem współpracy z następującymiosobami: Jakubem Byszewskim, Grzegorzem Graffem, PiotremNowakiem-Przygodzkim.

Praca współfinansowana w ramach realizacji projektu badawcze-go Narodowego Centrum Nauki, UMO-2014/15/B/ST1/01710.

Literatura

[1] Du B.-S., Huang S.-S., Li M.-C., Generalized Fermat, doubleFermat and Newton sequences, J. Number Theor.,98 (2003), 172-183.

[2] Wójcik K., Binomial Transform and Dold Sequences,J. Integer Seq., 18 (1) (2015), Article 15.1.1.

[3] Jezierski J., Marzantowicz W., Homotopy methods in topolo-gical fixed and periodic points theory, Springer,Dordrecht, 2006.

O rozmiarze odwzorowaniaśroda

12:00–12:30Piotr MaćkowiakUniwersytet Ekonomiczny w [email protected]

W referacie przedstawione zostaną własności ciągłych funkcjidziałających z n-wymiarowej kostki w przestrzenie euklidesowe,


przy czym własności te zależą od górnego ograniczenia na śred-nice włókien rozpatrywanej funkcji. W szczególności, pokazanezostaną warunki dostateczne na to, aby obraz kostki jednostko-wej w przekształceniu ciągłym posiadał niepuste wnętrze. Wyni-ki osiągnięto dzięki zastosowaniu tw. Poincare [4] oraz twierdzeńo rozszerzaniu odwzorowań ciągłych. Na koniec zaprezentowanezostaną uogólnienia twierdzeń DeMarco [2] oraz Borsuka [1].Wszystkie wyniki zostały uzyskane przy wykorzystaniu metodelementarnych.

Prezentacja powstała na podstawie pracy [3], której współ-autorami są W.Kulpa oraz A.Idzik.

Literatura

[1] Borsuk K., Uber stetige Abbildungen der euklideschen Raume,Fund. Math., 21 (1933), 236-243.

[2] De Marco G., On the domain invariance theorem, TopologyAppl., 145 (2004), 205-208.

[3] Idzik A., Kulpa W., Maćkowiak P., On the size of a map,accepted for publication in Fixed Point Theory, Cluj,Romania.

[4] Kulpa W., The Poincare-Miranda theorem, Amer. Math.Monthly, 104 (1997), 545-550.

Bourgin-Yang version piątek

11:00–11:30of the Borsuk-Ulam theoremfor p-toral groups

Wacław Bolesław MarzantowiczUniwersytet im. Adama Mickiewicza w [email protected]

In 1933 S. Ulam posed and K. Borsuk showed that if n > mthen it is impossible to map f : Sn → Sm

preserving symmetry: f(−x) = −f(x) .

Next in 1954-55, C. T. Yang, and D. Bourgin, showed thatif f : Sn → Rm+1 preserves this symmetry then


dim f−1(0) n−m− 1.

We will present versions of the latter for some other groupsof symmetries and also discuss the case n =∞.

On disjointness with all minimalczwartek

12:00–12:30 systems

Piotr OprochaAGH University of Science and [email protected]

Let (X,T ) and (Y, S) be dynamical systems. Any closed andT × S-invariant set J ⊂ X × Y with projections X and Yon respective coordinates is called joining. If the only joiningis J = X × Y then (X,T ) and (Y, S) are disjoint. This notionwas introduced by Furstenberg in 1967. At the time he askedabout characterization of class of systems disjoint with all distalsystems and the class of systems disjoint with all minimal sys-tems. He also showed that both classes are nonempty. The firstclass was completely characterized a few years later by Petersen.The second characterization is still missing.

In this talk I will present older and more recent results relatedto the above problem.

Zjawisko zwiększania okresu i chaosczwartek

17:00–17:30 w nieliniowym modelu dynamikineuronu z resetowaniem

Justyna Signerska-RynkowskaPolitechnika Gdań[email protected]

Nieliniowe modele neuronu typu integrate-and-fire (IF) zali-czają się do tzw. hybrydowych układów dynamicznych,gdyż łączą w sobie ciągłą dynamikę zadaną poprzez nieliniowe


równanie różniczkowe, przedstawiające ewolucję potencjału bło-nowego komórki pomiędzy kolejnymi potencjałami czynnościo-wymi (impulsami lub ang. spikes), oraz dyskretne „resetowania”modelujące spikes - gwałtowne depolaryzacje potencjału błono-wego, po których następuje szybki powrót do tzw. potencjałuspoczynkowego.

W referacie omówimy dwuwymiarowe modele IF, mają zdol-ność reprodukcji wielu interesujących zachowań neuronalnych,m.in. tzw. bursting – serii potencjałów czynnościowych występu-jących w bardzo krótkich odstępach czasu, po których następujeokres spoczynku. Z matematycznego punktu widzenia zacho-wanie typu bursting z p impulsami w serii odpowiada orbitomp-okresowym tzw. adaptation map - odwzorowania, którego ite-racje pozwalają odtworzyć własności szeregu czasowego kolej-nych potencjałów czynnościowych (ang. spike-pattern). Zobaczy-my, jak można rygorystycznie wytłumaczyć zwiększanie liczbyimpulsów w seriach z p do p+1, p+2 itd. w zależności od wartościpotencjału spoczynkowego, czyli zjawisko zwiększania okresu(period incrementing/spike adding). Analiza opierać się będziena wprowadzeniu dwóch skal czasowych (układ typu slow-fast)i elementach geometrycznej teorii osobliwych zaburzeń. Ponadtowykorzystując różne pojęcia chaosu scharakteryzujemy obszarydynamiki chaotycznej, nieodłącznie związane ze zwiększaniemokresu z p do p+ 1. W tej części opierać się będziemy na szcze-gółowej analizie naszej adaptation map, będącej ciągłym jedno-modalnym odwzorowaniem odcinka.

Referat przedstawia wyniki uzyskane wraz ze współpracow-nikami: J. Rubin (Univ. Pitt.), J. Touboul (College de France& INRIA) oraz A. Vidal (Univ. Evry). Badania te przeprowa-dzono częściowo w wyniku realizacji projektu badawczego o nrUMO-2014/15/B/ST1/01710 finansowanego ze środków Naro-dowego Centrum Nauki.


O pewnym problemie Whitneyaśroda

11:00–11:30 i twierdzeniu retraktowymWażewskiego

Roman SrzednickiUniwersytet Jagielloński w [email protected]

W słynnej książce „Co to jest matematyka?”, której pierwszewydanie ukazało się w roku 1941, R. Courant i H. Robbinsumieścili problem (postawiony przez H. Whitneya) dotyczącyzachowania się pręta umocowanego przegubem na poruszającejsię platformie kolejowej. Sugerowane w książce rozwiązaniewzbudziło kontrowersje, także wśród wybitnych i renomowanychmatematyków. Kontrowersji tych z pewnością by nie było, gdybykwestionujący rozwiązanie znali twierdzenie retraktoweWażewskiego. Kończący całą dyskusję formalny dowód zostałopublikowany przez I.Yu. Polekhina w roku 2014.

Punkty okresowe zachowujacego miareczwartek

11:30–12:00 odwzorowania Poincare’gona płaszczyźnie

Klaudiusz WójcikUniwersytet Jagielloński w [email protected]

W oparciu o metodę segmentów izolujących przedstawimyrezultaty dotyczące liczby punktów okresowych dla odwzorowańPoincare’go pochodzących od pewnej klasy okresowych równańhamiltonowskich na płaszczyźnie.


Przypadek Hessa-Appelrota środa

11:30–12:00Henryk ŻołądekUniwersytet [email protected]

Badamy tak zwany przypadek Hessa-Appelrota układuEulera–Poissona, który opisuje dynamikę ciała sztywnego zacze-pionego w punkcie. Dowodzimy istnienia niezmienniczego torusa,na którym mamy hiperboliczną, paraboliczną, eliptyczną okre-sową lub eliptyczną prawie okresową dynamikę. W przypadkueliptycznym badamy własność normalnej hiperboliczności niez-mienniczego torusa w przypadku, gdy torus jest bliski tzw. kry-tycznemu okręgu, oraz szacujemy liczbę cykli granicznych, którepojawiają się po zaburzeniu powyższej sytuacji. Następnie ba-damy przypadek, gdy torus degeneruje się i mamy rodzinę tra-jektorii homolkinicznych; zaburzamy tę sytuację i poszukujemyzjawisk chaotycznych.

68

Metryczna teoria punktu stałegoi jej zastosowania

Organizatorzy:Robert Plebaniak (Uniwersytet Łódzki),[email protected] Wardowski (Uniwersytet Łódzki),[email protected]


Środa

11:00–11:40 Paweł ForalewskiM-stałe i własność punktu stałego (str. 69)

11:45–12:05 Marcin BorkowskiO pewnych przestrzeniach metrycznych (str. 69)

12:10–12:30 Dariusz WardowskiPunkty stałe w przestrzeniachniemetryzowalnych (str. 71)

Czwartek

11:00–11:40 Henryk HudzikJednostajna niekwadratowość i własność punktustałego w przestrzeniach Banacha (str. 69)

11:45–12:05 Radosław KaczmarekGeneralized von Neumann-Jordan constantand its relationship to the fixed pointproperty (str. 70)

12:10–12:30 Robert PlebaniakUogólnione metryki rozmyte i punkty stałedla odwzorowań jednowartościowychw przestrzeniach rozmytych (str. 70)

14:30–15:10 Kazimierz WłodarczykPeriodic and fixed points of the Leader-typecontractions in quasi-triangular spaces (str. 71)


O pewnych przestrzeniach metrycznych środa

11:45–12:05Marcin BorkowskiUniwersytet im. Adama Mickiewicza w [email protected]

W referacie podamy pewną konstrukcję przestrzeni metrycz-nych, uogólniającą m.in. znane metryki „rzeka” i radialną. Na-stępnie przedstawimy szereg własności tych metryk, w szczegól-ności związanych z miarami niezwartości.

M stałe i własność punktu stałego środa

11:00–11:40Paweł ForalewskiUniwersytet im. Adama Mickiewicza w [email protected]

Podczas referatu zostanie przypomniane pojęcie M-stałych,w szczególnym przypadku zwanych kątem Riesza oraz ich zna-czenie w analizie matematycznej ze szczególnym uwzględnieniemteorii punktu stałego. Zostaną zaprezentowane także aktualnieotrzymane wyniki.

Jednostajna niekwadratowość czwartek

11:00-11:40i własność punktu stałegow przestrzeni Banacha

Henryk HudzikUniwersytet im. Adama Mickiewicza w [email protected]

Przestrzeń Banacha nazywamy jednostajnie niekwadratowągdy jej moduł wypukłości nie jest funkcją zerową na całym prze-dziale półotwartym [0, 2). Wiadomo, że przestrzenie Banachaz tą własnością są superrefleksywne i mają własność punktustałego. Dlatego ustalenie kryteriów dla jednostajnej niekwa-dratowości w różnych klasach przestrzeni Banacha jest ważne.

70 Metryczna teoria punktu stałego i jej zastosowania

W referacie zaprezentujemy kryteria dla jednostajnej niekwadra-towości w przestrzeni Orlicza i przestrzeni Orlicza-Lorentza.

Generalized von Neumann-Jordanczwartek

11:45–12:05 constant and its relationshipto the fixed point property

Radosław KaczmarekUniwersytet im. Adama Mickiewicza w [email protected]

A new geometric constant C(p)NJ(X) for a Banach space X,

called a generalized von Neumann-Jordan constant, willbe presented. It will be shown that 1 ¬ C(p)

NJ(X) ¬ 2 for anyBanach space X and that the right hand side inequality is sharpif and only if X is uniformly non-square. Moreover, a relationshipbetween the James constant J(X) and C

(p)NJ(X) will be presen-

ted. Finally, the relationship between the generalizedvon Neumann-Jordan constant C

(p)NJ(X) and the fixed point

property will be revealed.

Uogólnione metryki rozmyteczwartek

12:10–12:30 i punkty stałe dla odwzorowańjednowartościowych w przestrzeniachrozmytych

Robert PlebaniakUniwersytet Łó[email protected]

Podczas mojego odczytu przedstawię koncepcję uogólnionychmetryk rozmytych, które stanowią rozszerzenie tradycyjnych me-tryk rozmytych rozważanych w literaturze. Zdefiniowane będąnowe G-kontrakcje oraz GV-kontrakcje, obie typu Banacha,względem uogólnionej metryki rozmytej. Podamy także warunki


gwarantujące istnienie punktów stałych dla wspomnianych wyżejkontrakcji. Ostatnim punktem odczytu będzie omówienie sposo-bu, w jaki uogólnione pseudoodleglości J : X×X → [0,∞) mogąbyć wykorzystane do wygenerowania pewnych uogólnionych me-tryk rozmytych NJ na X.

Punkty stałe w przestrzeniach środa

12:10–12:30niemetryzowalnych

Dariusz WardowskiUniwersytet Ł[email protected]

Podczas wykładu zaprezentowane zostaną dostateczne wa-runki dzięki którym odwzorowanie zdefiniowane na niepustymzbiorze wyposażonym w odpowiedni ogólny warunek zbieżnościjest operatorem Picarda, a więc w szczególności posiada punktstały. Rozważania zostaną zilustrowane na przykładzie odwzo-rowania określonego w przestrzeni topologicznej, która nie jestmetryzowalna.

Periodic and fixed points czwartek

14:30–15:10of the Leader-type contractionsin quasi-triangular spaces

Kazimierz WłodarczykUniwersytet Łó[email protected]

Let C = Cαα∈A ∈ [1;∞)A, A-index set. A quasi-triangularspace (X,PC;A) is a set X with family PC;A = pα : X2 →[0,∞), α ∈ A satisfying ∀α∈A∀u,v,w∈Xpα(u,w) ¬ Cα[pα(u, v)+pα(v, w)]. In (X,PC;A), using the left (right) families JC;Agenerated by PC;A (PC;A is a special case of JC;A), we establishtheorems concerning convergence, existence, approximation,periodic point, fixed point and (when (X,PC;A) is separable)

72 Metryczna teoria punktu stałego i jej zastosowania

uniqueness for JC;A-contractions and weak JC;A-contractions,i.e. for maps T : X → X defined here such that∀x,y∈X∀α∈A∀ε>0∃η>0∃r∈N∀s,l∈NJα(T [s](x), T [l](y)) < η + ε ⇒CαJα(T [s+r](x), T [l+r](y)) < ε and∃w0∈X∀α∈A∀ε>0∃η>0∃r∈N ∀s,l∈NJα(T [s](w0), T [l](w0)) < η + ε⇒ CαJα(T [s+r](w0), T [l+r](w0) < ε, respectively. The spaces(X,PC;A), in particular, generalize metric, ultrametric,quasi-metric, ultra-quasi-metric, b-metric, partial metric,partial b-metric, pseudometric, quasi-pseudometric, ultra-quasi-pseudometric, partial quasi-pseudometric, topological, uniform,quasi-uniform, gauge, ultra gauge, partial gauge, quasi-gauge,ultra-quasi-gauge and partial quasi-gauge spaces. Results arenew in all these spaces. Examples are provided.

73

Obliczeniowa teoria liczb i kryptografia

Organizatorzy:Maciej Grześkowiak (Uniwersytet im. Adama Mickiewiczaw Poznaniu), [email protected] Pomykała (Uniwersytet Warszawski),[email protected]


Środa

11:00–11:30 Jacek PomykałaZastosowania wielkiego sita w kryptologii (str. 79)

11:30–12:00 Robert DryłoRedukcja faktoryzacji liczby n do problemuobliczania rzędu krzywych eliptycznychmodulo n (str. 74)

12:00–12:30 Maciej GrześkowiakPairing-friendly primes for abelianvarieties (str. 75)

Czwartek

11:00–11:30 Mieczysław KulaWielodzielne schematy podziału sekretu (str. 78)

11:30–12:00 Kamil KluczniakPrzekształcenia wieloliniowe w kryptografii (str. 77)

12:00–12:30 Agnieszka ZgorzelskaKryptografia oparta na izogeniach krzywycheliptycznych (str. 82)

14:30–15:00 Janusz SzmidtKonstrukcja nieliniowych rejestrówprzesuwnych (str. 80)

15:00–15:30 Renata KawaHierarchicznośc wielodzielnych strukturdostępu (str. 76)

74 Obliczeniowa teoria liczb i kryptografia

15:30–16:00 Maciej ZakarczemnyNumber of solutions in a box of a linear equationin an Abelian group (str. 80)

16:30–17:00 Bartłomiej BzdęgaWartości wielomianów cyklotomicznych na okręgujednostkowym (str. 74)

17:00–17:30 Tomasz JędrzejakWielomianowe równania Pella a jakobianykrzywych hipereliptycznych (str. 75)

Wartości wielomianów cyklotomicznychczwartek

16:30–17:00 na okręgu jednostkowym

Bartłomiej BzdęgaUniwersytet im. Adama Mickiewicza w [email protected]

Zajmiemy się funkcjami postaci

P (z) =∏d∈D

(1− zd)jd , D ⊂ N, jd ∈ Z dla d ∈ D.

Pokażemy metodę obliczania lub szacowania |P (z)| dla |z| = 1.Zastosujemy ją do oszacowania różnych rodzajów wysokości wie-lomianów podziału koła.

Redukcja faktoryzacji liczby nśroda

11:30–12:00 do problemu obliczania rzędu krzywycheliptycznych modulo n

Robert DryłoSzkoła Główna Handlowa w [email protected]

Przedstawię główne wyniki ze wspólnej pracy z prof. JackiemPomykałą o redukcji faktoryzacji liczby n do problemu obliczania


rzędu krzywej eliptycznej mod n. Pierwsza metoda o oczekiwa-nym wielomianowym czasie uogólnia na krzywe eliptyczne modn wynik Bacha, który pokazał, że faktoryzację n można zreduko-wać do problemu obliczania wykładników punktów w grupie Z∗n.W metodzie zakładamy, że istnieje wyrocznia, która zwraca wy-kładnik punktu na krzywej eliptycznej mod n. Druga alternatyw-na metoda redukcji wykorzystuje elementarne własności skręceńkrzywych eliptycznych i zakłada istnienie wyroczni, która zwracarząd grupy krzywej eliptycznej mod n.

Pairing-friendly primes for abelian środa

12:00–12:30varieties

Maciej GrześkowiakAdam Mickiewicz University in Poznań[email protected]

We present a method of generating primes r ≡ 1 (mod n),q and a Weil q-number π such that r divides Φn(q) and r divides|A(Fq)|, where A/Fq is an ordinary abelian variety defined overa finite Fq corresponding to π. Such primes can be used forimplementing pairing-based cryptographic systems.

References

[1] Grześkowiak M., Pairing-Friendly Primes for Abelian Vari-eties, Fund. Inform., to appear.

Wielomianowe równania Pella czwartek

17:00–17:30a jakobiany krzywych hipereliptycznych

Tomasz JędrzejakUniwersytet Szczeciń[email protected]

Przedstawię podstawowe fakty na temat wielomianowychrównań Pella tzn. równań postaci A(x)2 − B(x)2 × D(x) = 1,


gdzie A,B,D są wielomianami nad pewnym ciałem. W szcze-gólności omówię ich związek z jakobianami JD krzywych hiper-eliptycznych CD postaci y2 = D(x) (dokładniej z klasą dywizorao nośniku w punktach nieskończonych). Podam pewne wyniki(i naszkicuję ich dowód) dlaD(x) = x6 + ax+ b, xn + a, xn + ax(a, b ∈ Z, n 3); np. udowodnię, że jeśli 3 - a i 5 - b, to rów-nanie A(x)2 − B(x)2 ×

(x6 + ax+ b

)= 1 nie ma rozwiązań

w A,B ∈ Q [x].

Hierarchiczność wielodzielnychczwartek

15:00–15:30 struktur dostępu

Renata KawaUniwersytet Śląski w [email protected]

Pojęcie schematu podziału sekretu zostało wprowadzone nie-zależnie przez Blakleya i Shamira w 1979 roku. Pomysł, któryleży u podstaw tego pojęcia, polega na podzieleniu informacji,zwanej sekretem, na części, które następnie są przesyłanedo uczestników. Kluczowe jest, że tylko pewne, z góry ustalonezbiory uczestników mogą odzyskać sekret. Takie zbiory nazywa-my zbiorami autoryzowanymi, natomiast rodzinę zbiorów auto-ryzowanych nazywamy strukturą dostępu. Równie istotne jest,aby zbiory uczestników nie należące do struktury dostępu nie mo-gły odzyskać sekretu.

Uczestnicy biorący udział w schemacie podziału sekretunie muszą być równorzędni, lecz podobnie jak w życiu codzien-nym, na przykład w przedsiębiorstwach czy wojsku, znajdują sięw różnego rodzajach hierarchiach, a ich pozycja zależy od zaj-mowanego stanowiska czy stopnia wojskowego. Naturalne jestzatem, aby schemat podziału sekretu uwzględniał miejsce uczest-nika w zajmowanej hierarchii. Struktury dostępu, w którychuczestnicy podzieleni są na rozłączne bloki, odpowiadające gru-pom osób o tej samej pozycji w hierarchii, nazywamy struktu-rami hierarchicznymi. W zbiorze autoryzowanym hierarchicznejstruktury dostępu dowolny uczestnik może być zastąpiony przezuczestnika znajdującego się w tym samym bloku lub bloku bę-dącym wyżej w hierarchii, i nadal będzie to zbiór autoryzowany.


Hierarchię w zbiorze bloków można zapisać za pomocą relacjiczęściowego porządku. Pierwsze struktury hierarchiczne byłyrozważane przez Shamira i dotyczyły hierarchii, która odpowiadaporządkowi liniowemu w zbiorze bloków. Takie struktury nazy-wamy ściśle hierarchicznymi. Kolejną interesującą klasą strukturdostępu rozważaną w literaturze są struktury oddziałowe, czylitakie, które odpowiadają porządkowi antyliniowemu w zbiorzebloków. Pisząc wprost, w takiej strukturze nie ma żadnej hierar-chii pomiędzy blokami.

Powstaje pytanie, czy istnieją hierarchiczne struktury dostę-pu, dla których częściowy porządek pomiędzy blokami uczestni-ków jest inny niż liniowy i antyliniowy. Okazuje się, że odpowiedźna to pytanie jest pozytywna. Ponadto można wykazać, że wśródtych struktur są także struktury o pewnych szczególnych (pożą-danych) cechach takich jak idealność.

Przekształcenia wieloliniowe czwartek

11:30–12:00w kryptografii

Kamil KluczniakPolitechnika Wrocł[email protected]

Przekształcenia dwuliniowe przekształcają dwa elementyz grup o równym rzędzie do elementu grupy docelowej o takimsamym rzędzie. We wszystkich grupach problem dyskretnegologarytmu jest ciężki do rozwiązania. Trudność obliczania dys-kretnych logarytmów stoi również u podstaw problemu Diffiego-Hellmana oraz jego decyzyjnego odpowiednika. Dla grup dla któ-rych znamy efektywne przekształcenia dwuliniowe decyzyjnyproblem Diffiego-Hellmana staje sie prosty, natomiast dwulinio-wy problem Diffiego-Hellmana dalej jest uważany za ciężki. Gru-py z przekształceniami dwuliniowymi okazały sie być niezwykleprzydatne w kryptografii oraz stały u podstaw efektywnych roz-wiązań wielu problemów konstrukcyjnych. Naturalnym pytaniemjest „czy da się podać instancje n-liniowego decyzyjnego proble-mu Diffiego Hellmana”, tj. takiego w którym da się rozróżnićprodukt n elementów od losowego elementu, ale produktu n+1


elementów już nie. W 2013 roku w pracy [1] oraz [2] autorzypozytywnie odpowiedzieli na to pytanie podając kandydatówna konstrukcje dla przekształceń wieloliniowych. Obie prace su-gerowały wykorzystanie w pełni homomorficznych i ograniczeniehomomorficznych szyfrów w celu kodowania wykładników, orazdodania „testu zera” który umożliwia sprawdzenie czy szyfro-gram zawiera „zero”. Konstrukcje jednak do dzisiaj zmagająsię z poważnymi problemami. Idea „testu zera” dla szyfrów wpełni homomorficznych dała duża nadzieję na otrzymanie bez-piecznych odwzorowań wieloliniowych, jednak z drugiej stronyobecność „testu zera” w dzisiejszych konstrukcjach okazuje siębyć równie destrukcyjna co pomocna. W moim referacie skupięsię na bieżących ideach konstrukcyjnych dla przekształceń wie-loliniowych oraz omówię otwarte problemy, z którymi borykająsię kryptolodzy w tej dziedzinie.

Literatura

[1] Garg, S., Gentry, C., Halevi, S., Candidate multilinear mapsfrom ideal lattices, Annual International Conferenceon the Theory and Applications of CryptographicTechniques, Springer, 2013.

[2] Coron, J. S., Lepoint, T., Tibouchi, M., Practical multilinearmaps over the integers, Advances in Cryptology –CRYPTO 2013, Springer, 2013.

Wielodzielne schematy podziałuczwartek

11:00–11:30 sekretu

Mieczysław KulaUniwersytet Śląski w [email protected]

Podziały sekretu są zespołem metod sterowania dostępemdo systemów informatycznych. Sterowanie to polega na okre-śleniu tzw. autoryzowanych zbiorów uczestników, którzy współ-działając potrafią odtworzyć sekret (np. hasło), który umożliwiadostęp do systemu. Rodzinę zbiorów autoryzowanych nazywamystrukturą dostępu. Schemat podziału sekretu jest algorytmem


rozdzielania pewnych informacji pomiędzy uczestników tak abyuczestnicy zbiorów autoryzowanych mogli odtworzyć sekret.Ze względów praktycznych szczególnie ważne są tzw. idealneschematy podziału sekretu, jednak dla wielu struktur dostęputakie idealne schematy nie istnieją. Poszukiwanie możliwie szero-kich klas struktur dostępu dla których istnieją idealne strukturypodziału sekretu oraz efektywne konstruowanie takch schematówjest interesującym problemem badawczym. Częściowe wynikiuzyskano przy pomocy interpolacji Lagrange’a i Birkhoffa orazwielomianów interpolacyjnych dwóch zmiennych [2], [3]. Innepomysłowe podejście zaprezentowali autorzy w [1] konstruującidealne struktury dostępu na bazie polimatroidów reprezento-walnych.

Literatura

[1] Farras O., Marti-Farre J., Padró C., Ideal Multipartite SecretSharing Schemes, J. Cryptology, 25 (2012), 434-463.

[2] Tassa T., Hierarchical threshold secret sharing, J. Cryptology,20 (2007), 237-264.

[3] Tassa T., Dyn N., Multipartite secret sharing by bivariateinterpolation, J. Cryptology, 22 (2009), 227-258.

Zastosowania wielkiego sita środa

11:00–11:30w kryptologii

Jacek PomykałaUniwersytet [email protected]

Celem referatu jest pokazanie roli wielkiego sita w wybranychzagadnieniach kryptologicznych dotyczących obliczeniowej efek-tywności w generowaniu parametrów systemów kryptograficz-nych oraz derandomizacji odpowiednich algorytmów kryptogra-ficznych. Dotyczy to głównie problemów redukcji pomiędzy wy-branymi, ważnymi dla kryptografii problemami obliczeniowymioraz modelowania tzw. funkcji jednokierunkowych. Z drugiejstrony zajmiemy się problemem rozmieszczenia liczb pierwszych


w postępach arytmetycznych w kontekście badania kandydatówna funkcje jednokierunkowe z wykorzystaniem charakterówDirichleta oraz konstrukcji tzw. liczb B-wyjątkowych.

Konstrukcja nieliniowych rejestrówczwartek

14:30–15:00 przesuwnych

Janusz SzmidtWojskowy Instytut Łącznoś[email protected]

Rejestry ze sprzężeniem zwrotnym służą do generacji ciągówpseudo-losowych. W języku teorii liczb są to rekurencje z zada-nymi wartościami początkowymi. Istnieje pełna teoria LiniowychRejestrów Przesuwnych (LFSR – Linear Feedback ShiftRegister), która oparta jest na teorii wielomianów w ciałachskończonych. Natomiast podstawowe problemy dotyczące Nieli-niowych Rejestrów Przesuwnych (NFSR – Nonlinear FeedbackShift Register) są nierozwiązane. W szczególności dotyczy tookreślenia okresów ciągów generowanych przez te rejestry. Ciągio maksymalnym okresie generowane przez NFSR nazywane sąciągami de Bruijna. Przedstawimy konstrukcję NFSR nad ciałembinarnym generujących ciągi de Bruijna wykorzystującą metodęłączenia skrzyżowanych par stanów.

Number of solutions in a box of a linearczwartek

15:30–16:00 equation in an Abelian group

Maciej ZakarczemnyPolitechnika [email protected]

The aim of the talk is to present results of [1] and [2],respectively:

Theorem. 1.For every finite Abelian group Γ and for all a1, . . . , ak ∈ Γ,


the number of solutions of the equationk∑i=1

aixi = 0 in nonneg-

ative integers xi ¬ bi, where bi are positive integers, is at least

21−D(Γ)k∏i=1

(bi + 1),

where D(Γ) is the Davenport constant of the group Γ. The coeffi-cient 21−D(Γ) is the best possible coefficient independent of ai, biand dependent only on Γ.

Theorem. 2.For every finite Abelian group Γ, for all g, a1, . . . , ak ∈ Γ, if there

exists a solution of the equationk∑i=1

aixi = g in nonnegative

integers xi ¬ bi, where bi are positive integers, then the numberof such solutions is at least

31−D(Γ)k∏i=1

(bi + 1).

The coefficient 31−D(Γ) is the best possible coefficient independentof ai, bi and dependent only on Γ.

References

[1] Zakarczemny M., Number of solutions in a box of a linearhomogeneous equation in an Abelian group, Acta Arith.,155 (2012), 227-231.

[1] Zakarczemny M., Number of solutions in a box of a linearequation in an Abelian group, Colloq. Math.,143 (2016), 17-22.


Kryptografia oparta na izogeniachczwartek

12:00–12:30 krzywych eliptycznych

Agnieszka ZgorzelskaUniwersytet [email protected]

Ostatnia dekada zaowocowała rozwojem nowej gałęzi krypto-grafii postkwantowej. Opiera się ona założeniu trudności oblicze-niowej problemu znajdowania izogenii pomiędzy dwiema super-singularnymi krzywymi eliptycznymi o tej samej liczbie punktówwymiernych. Dotychczas nie znaleziono żadnego algorytmu kla-sycznego ani kwantowego rozwiązującego powyższy problemw czasie szybszym niż wykładniczy.

W swoim wystąpieniu omówię najnowsze osiągnięcia kryp-tografii klucza publicznego odpornej na ataki komputera kwan-towego. Przedstawię protokoły dowodu z wiedzą zerową, szyfro-wania oraz podpisu cyfrowego. Podstawą konstrukcji prezento-wanych schematów jest budowa grafów, w których wierzchołkiodpowiadają klasom izomorfizmu krzywych eliptycznych, a kra-wędzie reprezentują izogenie między nimi. Kluczowym elemen-tem komunikacji między użytkownikami jest wysyłanie obrazówpunktów bazy pewnej grupy torsyjnej w odpowiednich izoge-niach, co pozwala upoważnionym uczestnikom poruszanie siępo grafie krzywych. Bezpieczeństwo protokołów oparte jestna problemie znajdowania izogenii krzywych eliptycznych.

83

Równania różniczkowe cząstkowe i symulacjekomputerowe

Sesja specjalna poświęcona 76. rocznicyurodzin profesora Michaiła Borsuka

Organizatorzy:Mariusz Bodzioch (Uniwersytet Warmińsko-Mazurskiw Olsztynie), [email protected] Mityushev (Uniwersytet Pedagogiczny im. KomisjiEdukacji Narodowej w Krakowie), [email protected]

Czwartek, 15 września 2016, 11:00–18:00, sala A1/7Piątek, 16 września 2016, 11:00–12:00, sala A1/7

Czwartek

11:00–11:45 Michaił BorsukBehavior of weak solutions to the boundary valueproblems for second order elliptic quasi-linearequations with constant and variable nonlinearityexponent in a neighborhood of a conical boundarypoint (str. 88)

11:45–12:00 Krzysztof ŻyjewskiNielokalne zagadnienia Robina dla równańeliptycznych drugiego rzędu w obszarze płaskimz punktem kątowym na brzegu (str. 96)

12:00–12:15 Damian WiśniewskiZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznychdrugiego rzędu w nieograniczonych obszarachstożkowo-podobnych (str. 95)

12:15–12:30 Mariusz BodziochZagadnienia z ukośną pochodną dla równańeliptycznych drugiego rzędu w ograniczonymobszarze stożkowo-podobnym (str. 87)

14:30–15:00 Vladimir Mityushev”Viscous world” against statisticalmechanics (str. 93)

84 Równania różniczkowe cząstkowe i symulacje komputerowe

15:00–15:30 Olaf BarWpływ wyboru teselacji płaszczyznyna zbieżność szybkiej metody obliczaniastrumienia w dwuwymiarowym zagadnieniuprzewodności (str. 85)

15:30–16:00 Roman CzaplaSymulacje losowe rozkładów geometrycznychobiektów na płaszczyźnie i ich charakteryzacjaza pomocą e-sum (str. 90)

16:30–17:00 Beata KrzaczekPrzewodność materiałów kompozytowychz uwzględnieniem szczelin (str. 92)

17:00–17:30 Marta BryłaPrzewodność materiałów kompozytowychz wtrąceniami eliptycznymi (str. 89)

17:30–18:00 Piotr DrygaśRównania różniczkowo-funkcyjne w mechanicewłóknistych materiałów kompozytowych (str. 91)

Piątek

11:00–11:30 Dmytro NosovFracture mechanics characteristics of cracksin magnetoelectroelasticity (str. 94)

11:30–12:00 Bartosz BieganowskiNonlinear Schrodinger equations with sumof periodic and vanishing potentialsand sign-changing nonlinearities (str. 86)

Równania różniczkowe cząstkowe i symulacje komputerowe 85

Wpływ wyboru teselacji płaszczyzny czwartek

15:00–15:30na zbieżność szybkiej metody obliczaniastrumienia w dwuwymiarowymzagadnieniu przewodności

Olaf BarUniwerystet Pedagogiczny im. Komisji Edukacji Narodowejw [email protected]

Zagadnienie polega na obliczeniu gradientu funkcji, będącejrozwiązaniem dwuwymiarowego równania Laplace’a dla obsza-rów wielospójnych. Przy założeniu, że warunek brzegowy jestokreślony na brzegach kołowych wtrąceń, można zastosować szyb-ko zbieżną metodę zaproponowaną w pracy [1]. Metoda ta bazujena rekurencyjnej aproksymacji zastosowanej do równań funkcyj-nych. Rozwiązanie początkowe jest konstruowane z kombinacjirozwiązań dla dwóch wybranych wtrąceń kołowych. W przypad-ku, gdy wtrącenia są niemal styczne, metoda wymaga większejliczby kroków. W takiej sytuacji istotny jest wybór właściwychfunkcji. Z geometrycznego punktu widzenia można ten wybórsprowadzić do odpowiedniego podziału (teselacji) płaszczyzny.Jak pokazano w pracy, naturalny wybór triangulacji Delaunay’anie jest optymalny.

References

[1] Mityushev V. , Rylko N., A fast algorithm for computingthe flux around non-overlapping disks on the plane, Math.Comput. Model., (2013), 1350-1359.

[2] Mityushev V., Riemann–Hilbert problems for multiply con-nected domains and circular slit maps, Comput. MethodsFunct. Theory, 11 (2011), 575-590.

[3] Mityushev V. , Rogosin S., Constructive methods to linearand non-linear boundary value problems of the analytic func-tion. Theory and applications, Chapman & Hall / CRC, 2000.


Nonlinear Schrodinger equationspiątek

11:30–12:00 with sum of periodic and vanishingpotentials and sign-changingnonlinearities

Bartosz BieganowskiNicolaus Copernicus University in Toruń[email protected]

We look for ground state solutions to the following nonlinearSchrodinger equation

−∆u+ V (x)u = f(x, u)− Γ(x)|u|q−2u on RN ,

where V = Vper + Vloc ∈ L∞(RN ) is the sum of a periodicpotential Vper and a localized potential Vloc, Γ ∈ L∞(RN ) is peri-odic and Γ(x) 0 for a.e. x ∈ RN and 2 ¬ q < 2∗. We assumethat inf σ(−∆ + V ) > 0, where σ(−∆ + V ) stands for the spec-trum of −∆+V and f has the subcritical growth but higher thanΓ(x)|u|q−2u, however the nonlinearity f(x, u)−Γ(x)|u|q−2u maychange sign. Although a Nehari-type monotonicity condition forthe nonlinearity is not satisfied, we investigate the existenceof ground state solutions being minimizers on the Nehari mani-fold.

References

[1] Bieganowski B., Mederski J., Nonlinear Schrodinger equa-tions with sum of periodic and vanishing potentials and sign-changing nonlinearities, arXiv:1602.05078.


Zagadnienia z ukośną pochodną czwartek

12:15–12:30dla równań eliptycznych drugiego rzęduw ograniczonym obszarzestożkowo-podobnym

Mariusz Bodzioch(we współpracy z prof. Michaiłem Borsukiem)Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

Przedstawione zostaną główne rezultaty prowadzonychwspólnie z prof. Michaiłem Borsukiem badań nad zachowaniemsię silnych rozwiązań zagadnień z ukośną pochodną dla liniowegoi quasi-liniowego równania eliptycznego drugiego rzędu w ograni-czonym obszarze z punktem stożkowym na brzegu. Przedstawio-ne zostanie również twierdzenie o istnieniu najmniejszej wartościwłasnej zagadnienia na wartości własne dla operatora Laplace’a--Beltrami’ego na sferze jednostkowej. Rezultaty prowadzonychbadań zostały opublikowane w [1, 2, 3, 4].

Literatura

[1] Bodzioch M., Oblique derivative problem for linear second-order elliptic equations with the degeneration in a 3-dimen-sional bounded domain with the boundary conical point,Electron. J. Differential Equations, 228 (2012), 1-280.

[2] Bodzioch M., Borsuk M., On the degenerate oblique deriv-ative problem for elliptic second-order equation in a domainwith boundary conical point, Complex Var. Elliptic Equ.,59 (3) (2012), 324-354.

[3] Bodzioch M., Borsuk M., The degenerate second-order ellipticoblique derivative problem in a domain with conical boundarypoint, Current Trends in Analysis and Its Applications,Birkhauser, 2015, 11-18.

[4] Bodzioch M., Borsuk M., Behavior of strong solutions to thedegenerate oblique derivative problem for elliptic quasi-linearequations in a neighborhood of a boundary conical point,Complex Var. Elliptic Equ., 60 (4) (2015), 510-528.


Behavior of weak solutionsczwartek

11:00–11:45 to the boundary value problemsfor second order elliptic quasi-linearequations with constant and variablenonlinearity exponentin a neighborhoodof a conical boundary point

Mikhail Borsuk(joint work with Sebastian Jankowski)University of Warmia and Mazury in [email protected]

We study the Dirichlet and Robin problems for the p - andp(x)-Laplacian in a conical domain with the homogeneousboundary condition on the lateral surface of a cone with vertexat the origin. We assume that the variable and constant expo-nents are separated from 1 and ∞ and denote by Ω the inter-section of the cone with the unit (n − 1)-dimensional sphere.We prove that

• if p(x) satisfies the Lipschitz condition and ∂Ω is of classC2+β , then the solution to the Dirichlet problem is O(|x|λ)in a neighborhood of the origin, where λ is the sharp expo-nent of tending to zero of solutions to the same Dirichletproblem for the p(0)-Laplacian;

• if p(x) satisfies the Holder condition, p(0) = 2, and ∂Ωis of class C1+β , then the solution to the Dirichlet problemis O(|x|λ0) in a neighborhood of the origin, where λ0 is thesharp exponent of tending to zero of solutions to the sameDirichlet problem for the Laplace operator;

• we consider also the Dirichlet problem for the equation

div(|∇u|p−2a(x)∇u) = b(x, u,∇u), p = const > 1,

where a(x) is a symmetric uniformly elliptic Lipschitz con-tinuous matrix and |b(x, u,∇u)| ¬ µ

1+|u| |∇u|p, µ ∈ [0, ν1)

with the ellipticity constant ν1; the weak solution to this


problem is O(|x|λ) in a neighborhood of the origin, where λis the sharp exponent of tending to zero of solutions to thesame Dirichlet problem for the p-Laplacian;

• as well as we investigate the Robin problem for the p-Laplace equation in an angular domain.

Przewodność materiałów czwartek

17:00–17:30kompozytowych z wtrąceniamieliptycznymi

Marta Bryła(we współpracy z Vladimirem Mityushevem)Uniwersytet Pedagogiczny im Komisji Edukacji Narodowejw [email protected]

W pracy wyznaczamy wektor efektywnej przewodnościdla materiału kompozytowego. Rozwijamy metody równań funk-cyjnych w celu uzyskania analitycznych wzorów na przybliżeniatensora efektywnej przewodności Λ dla dwuwymiarowego mate-riału kompozytowego z wtrąceniami eliptycznymi których roz-miar, położenie i orientacja jest dowolna. Wtrącenia nie nakła-dają się. Jest to oparte na symbolicznych obliczeniach szeregudla lokalnego obszaru i dla Λ.

Literatura

[1] Bryla M., Krupoderov A. V., Kushunin A. A., Mityushev V.,Zhuravkov M. A., Mathematical Models of Mechanical Fieldsin Media with Inclusions and Holes, Handbook of FunctionalEquations, Springer, 2014.

[2] Mityushev V., Transport properties of two-dimensional com-posite materials with circular inclusions, Proc. Roy. Soc.Lond., A 455 (1999), 2513-2528.


Symulacje losowe rozkładówczwartek

15:30–16:00 geometrycznych obiektówna płaszczyźnie i ich charakteryzacjaza pomocą e-sum

Roman CzaplaUniwersytet Pedagogiczny im. Komisji Edukacji Narodowejw [email protected]

Badanie losowych rozkładów nienakładających się obiektówgeometrycznych jest fundamentalnym problem. Do tej pory jakonarzędzie do opisu cech geometrycznych takich rozkładów wyko-rzystywano n-punktowe funkcje korelacyjne. Niestety ich prak-tyczne zastosowanie jest mocno ograniczone ze względu na pro-blemy natury obliczeniowej.

W niniejszym referacie chciałbym zaprezentować alternatyw-ne podejście, które polega na wyznaczaniu wartości tzw. e-sumi traktowaniu ich jako parametry, które całkowicie opisują geo-metrię rozważanych rozkładów. W przypadku badania rozkładównienakładających się kół, podejście to ma swoje uzasadnieniei jest oparte na postaci funkcjonału efektywnych własności kom-pozytu, z której to jasno wynika, że o wartościach e-sum decy-dują czynniki czysto geometryczne [1,2]. Chciałbym przedstawićw jaki sposób można uogólnić wspomnianą metodę w celu bada-nia rozkładów obiektów geometrycznych o dowolnych kształtach.Wskażę dwa odmienne podejścia, a także przedstawię pewnezastosowania badania takich rozkładów dla obiektówgeometrycznych o specyficznych kształtach.

Literatura

[1] Czapla R., Mityushev V. V., Nawalaniec W., Simulationof representative volume elements for random 2D compositeswith circular non-overlapping inclusions, Theoretical andApplied Informatics, 24 (3) (2012), 227-242.

[2] Mityushev V. V., Nawalaniec W., Basic sums and their ran-dom dynamic changes in description of microstructure of 2Dcomposites, Comput. Mater. Sci., 97 (2015), 64-74.


Równania różniczkowo-funkcyjne czwartek

17:30–18:00w mechanice włóknistych materiałówkompozytowych

Piotr DrygaśUniwersytet [email protected]

Dwuwymiarowe sprężyste materiały kompozytowe z kołowy-mi wtrąceniami są badane za pomocą zagadnień brzegowychdla funkcji analitycznych opracowanych przez Muskhelishvili. Za-gadnienie to sprowadzamy do rozwiązania odpowiedniego układurównań różniczkowo-funkcyjnych w klasie funkcji analitycznych.Rozwiązanie pozwala uzyskać konstruktywne wzory analitycznedla tensorów naprężeń i odkształceń. Połączenie zaproponowanejmetody z możliwościami prowadzenia obliczeń symbolicznychz wykorzystaniem pakietu R© Mathematica, oraz opracowanymialgorytmami do obliczeń numerycznych, prowadzi do otrzymaniaanalitycznych wzorów do obliczeń efektywnych właściwości ma-teriałów kompozytowych, co ułatwia pracę projektantom nowychmateriałów. Badane są analityczne wzory na efektywne współ-czynniki sprężystości materiału kompozytowego dwuwymiarowe-go odpowiadającego materiałowi włóknistemu, ukazujące ich za-leżność tylko od własności fizycznych wtrąceń oraz geometriiukładu (położenia i promieni wtrąceń).

Literatura

[1] Drygaś P., Functional-differential equation in a class of ana-lytic functions and its application to elastic composites,Complex Var. Elliptic Equ., 61(8) (2016), 1145-1156.

[2] Drygaś P., Mityushev V., Effective elastic properties of ran-dom two-dimensional composites, in print.


Przewodność materiałówczwartek

16:30–17:00 kompozytowych z uwzględnieniemszczelin

Beata Krzaczek(we współpracy z Vladimirem Mityushevem)Uniwersytet Pedagogiczny im. Komisji Edukacji Narodowejw [email protected]

Wyprowadzono nowy analityczny wzór na efektywną prze-wodność (cieplną, elektryczną, magnetyczną) materiałów włók-nistych z niedoskonałościami na brzegu w postaci szczelin:

λe ≈1 + ν〈cos ψ2 〉1− ν〈cos ψ2 〉

.

gdzie symbol ν oznacza koncentrację wtrąceń, Ψ kąt odpowia-dający za szerokość wtrącenia, a symbol 〈...〉 oznacza wartośćśrednią argumentu. Rozważono przekrój kołowy ze szczelinamiL1 i L′1 oraz przy kącie Ψ . Na szczelinie L1 występuje kontaktdoskonały, a na szczelinie L′1 występuje izolacja. Do wyprowadze-nia powyższego wzoru wykorzystywane są: metoda potencjałuzespolonego, teoria funkcji analitycznych, teoria odkształceńkonforemnych i zagadnień brzegowych oraz formalizm Maxwella.Zagadnienia brzegowe (gdy na brzegu wtrącenia występuje nie-doskonałość w postaci szczelin) są ważne w fizyce teoretyczneji obliczeniowej. Dzięki nim można między innymi oszacować efek-tywne własności materiałów włóknistych i miary niedoskonało-ści.

Literatura

[1] Rylko N., Krzaczek B., Mityushev V., Conductivity of FibreComposites with Fractures on the Boundary of Inclusions,Multiscale Model. Simul., 11 (1) (2013), 152-161.


”Viscous world” against statistical czwartek

14:30–15:00mechanics

Vladimir Mityushev(joint work with Wojciech Nawalaniec)Pedagogical University of [email protected]

Fundamental physical theories of gases [1] model behaviorof media as ensembles of moving mechanical particles with elasticcollisions. A collision of two particles can be considered as an un-stable process since a small perturbation of the collision angledrastically changes the trajectory of particles. This is the reasonwhy the physical theories are statistical and usually yield irre-versible processes.

Motion of particles occurs in media with friction which leadsto modelling of particles in viscous medium. Viscosity can beso high that elastic collisions fell from the key role of motion.As a consequence, unstable character of motion can disappearand field interactions between particles become dominate. Then,the world can be stable if we have in our disposal a stable solverof many-particles problem. In particular, a random process canbe reversible and one can see the past and predict the futureon the base of the observed data.

The present talk is devoted to stir processes in the frameworkof the theory of composites [2-3]. We exploit the above approachof ”viscous world” and propose models of stir casting processeswith reversibility of random stirring.

References

[1] Landau L. D., Lifshitz E. M., Statistical Physics, Elsevier,2013.

[2] Czapla R., Nawalaniec W., Mityushev V., Simulation of rep-resentative volume elements for random 2D composites withcircular non-overlapping inclusions, Theoretical and AppliedInformatics, 24 (3) (2012), 227-242.

[3] Mityushev V., Nawalaniec W., Basic sums and their randomdynamic changes in description of microstructure of 2D com-posites, Comput. Mater. Sci., 97 (2015), 64-74.


Fracture mechanics characteristicspiątek

11:00–11:30 of cracks in magnetoelectroelasticity

Dmytro Nosov(joint work with Leonid Filshtinskii)Pedagogical University of [email protected]

We consider magnetoelectroelastic plane, which is weakenedby cracks. It is assumed that curvature of the cracks is Hoeldercontinuous on the plane and cracks do not intercept each other.Inside the cavities of the cracks is acting the normal pressure andin the structure take place mechanical strains and homogeneousfields of magnetic and electrical induction.Fields in structure have been written in therms of complex po-tentials. To obtain solution for boundary-value problem we haverepresented the complex functions as generalized Cauchy-typeintegrals [1]. The values of function on cracks lines have beenused Sokhotskii-Plemelj-formalism [2].The boundary-value problem has been reduced to the matrixsingular integral equation (SIDE) with additional conditionsof existence of the physical fields in the structure. Numericalsolution of SIDE was provided by mechanical quadraturesmethod. The characteristics of the cracks such as intensity factorsof fields and energy flows at the tips of cracks were representedas functionals constructed on asymptotics of solution of SIDEat the tips of cracks.Numerical experiments with different geometrical combinationof straight and parabolic cracks have been provided.

References

[1] Filshtinskii L. A., Elastic equilibrium of a plane anisotropicmedium weakened by arbitrary curvilinear cracks. Limitingtransition to an isotropic medium, Izv. Akad. Nauk SSSR.Mekh. Tverd. Tela, No. 5 (1976), 91-97.

[1] Muskhelishvili N. I., Singular Integral Equations, Fizmatgiz,1962.


Zagadnienia brzegowe dla równańczwartek

12:00–12:15 eliptycznych drugiego rzęduw nieograniczonych obszarachstożkowo-podobnych

Damian Wiśniewski(we współpracy z prof. Michaiłem Borsukiem)Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

Od 2010 roku profesor Michaił Borsuk i ja badamy zacho-wanie się słabych rozwiązań zagadnień brzegowych (Dirichleta,Neumanna, Robina oraz mieszanego) dla liniowych, słabo quasi-liniowych i quasiliniowych dywergencyjnych równań eliptycznychdrugiego rzędu w obszarach nieograniczonych stożkowo-podob-nych [1]-[5]. W rezultacie otrzymaliśmy oszacowanie modułu sła-bych rozwiązań rozpatrywanych zagadnień na nieskończoności.W referacie przedstawię przegląd najważniejszych uzyskanychprzez nas wyników.

Literatura

[1] Wiśniewski D., Boundary value problems for a second-orderelliptic equation in unbounded domains, Ann. Univ. Paedag.Cracov. Studia Math., tom IX (2010), 87-122.

[2] Borsuk M., Wiśniewski D., Boundary value problemsfor quasi-linear elliptic second order equations in unboun-ded cone-like domains, Cent. Eur. J. Math., 10(6) (2012),2051-2071.

[3] Wiśniewski D., The behaviour of weak solutions of boundaryvalue problems for linear elliptic second order equationsin unbounded cone-like domains, Ann. Math. Sil., (2016).

[4] Wiśniewski D., Best possible estimates of weak solutionsof boundary value problems for quasi-linear elliptic divergenceequations in unbounded domains, zaakceptowane w An. St.Math. Series.

[5] Borsuk M., Wiśniewski D., Boundary value problems for weakquasi-linear elliptic equations in unbouded cone-like domains,w recenzji.


Nielokalne zagadnienia Robinaczwartek

11:45–12:00 dla równań eliptycznych drugiego rzęduw obszarze płaskim z punktem kątowymna brzegu

Krzysztof Żyjewski(we współpracy z prof. Michaiłem Borsukiem)Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

Zaprezentuję przegląd najważniejszych wyników uzyskanychwe współpracy z prof. Michaiłem Borsukiem na temat równańeliptycznych drugiego rzędu z nielokalnym warunkiem Robinaw obszarze płaskim z punktem kątowym O na brzegu. W jednymz warunków brzegowych nośnik nielokalnego składnika przecinasię z brzegiem obszaru (część brzegu Γ obszaru G jest odwzo-rowana przez γ na γ(Γ) w taki sposób, że γ(Γ) ∩ ∂G 6= ∅).W rezultacie nawet jeżeli brzeg oraz funkcje prawych stron są nie-skończenie gładkie pojawiają się osobliwości potęgowe. Z tegopowodu podczas badania takich zagadnień mają zastosowaniaprzestrzenie Kondratieva [4] (wagowe Sobolewa).

Efektem współpracy jest znalezienie wykładnika potęgi mo-dułu ciągłości słabego rozwiązania w pobliżu punktu osobliwe-go O. Mianowicie, wyprowadzono oszacowanie modułu słabegorozwiązania zagadnienia liniowego [1,2] oraz quasiliniowego [3]typu u(x) = O(|x|α).

Literatura

[1] Borsuk M. V., Żyjewski K., Nonlocal Robin problem for el-liptic second order equations in a plane domain with a bound-ary corner point, Appl. Math., 38 (4) (2011), 369-411.

[2] Żyjewski K., Nonlocal Robin problem in a plane domain witha boundary corner point, Ann. Univ. Paedag. Cracov. StudiaMath., tom X (2011), 5-34.

[3] Borsuk M., Żyjewski K., Nonlocal Robin problem for ellipticquasilinear second order equations with double degenerationin a plane domain with the boundary corner point, Adv.Nonlinear Stud., 14 (2014), 159-182.


[4] Kondrat’ev V. A., Boundary value problems for elliptic equa-tions in domains with conical or angular points, Tr. Mosk.Mat. Obs., 16 (1967), 209-292.

98

Sesja ogólna

Środa, 14 września 2016, 11:00–12:30, sala A1/7

Środa

11:00–11:45 Taras BanakhIsometric copies of directed trees in orientationsof graphs (str. 98)

11:45–12:30 Bogdan StaruchWymiar algebry – rozkład algebry na algebryjednowymiarowe (str. 99)

Isometric copies of directed treespiątek

11:00–11:30 in orientations of graphs

Taras BanakhJan Kochanowski University in KielceIvan Franko National University of [email protected]

For every n ∈ N we construct a finite graph G such that everyorientation ~G of G contains an isometric copy of any orientedtree on n vertices, and evaluate the smallest possible cardinalityof G. On the other hand, we prove that every graph G admitsan orientation containing no directed ω-paths of infinite dia-meter.

References

[1] Banakh T., Idzik A., Protasov I., Pszczoła K., Isometriccopies of directed trees in orientations of graphs,http://arxiv.org/abs/1606.01973.

Sesja ogólna 99

Wymiar algebry – rozkład algebry piątek

11:30-12:00na algebry jednowymiarowe

Bogdan Staruch(we współpracy z Bożeną Staruch)

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w [email protected]

Algebrą A typu F nazywamy uporządkowaną parę (A,F ),gdzie A jest niepustym zbiorem a F jest rodziną operacji skoń-czenie argumentowych na A. Wprowadzamy wymiar dowolnejalgebry jako wymiar jej kraty kongruencji. Wprowadzone przeznas pojęcie wymiaru dowolnej kraty algebraicznej (zob. [9]) jestuogólnieniem wymiaru Goldiego. Badając kratę podmodułówGoldie (zob. [1], [2]) wprowadził wymiar dla modułu. WymiarGoldiego uogólnia pewne, choć nie wszystkie, aspekty wymiaruprzestrzeni wektorowej. Grzeszczuk i Puczyłowski w pracach [4],[5], [3], [8] wprowadzili i badali wymiar Goldiego w kratach mo-dularnych. Podobne badania w kratach zbalansowanych prowa-dzili Zolotarev (zob. [11], [12]) i Krempa (zob. [6], [7]). W naszychbadaniach używamy teminologii z powyższych prac uogólniającpojęcia na kraty algebraiczne, mając na myśli kraty kongruencjialgebr.

W oparciu o algebry ”nierozkładalne”, którymi są algebryjednowymiarowe oraz algebry wymiaru 0+ dokonujemy rozkładudanej algebry na specjalny produkt podprosty (nazwany przeznas ~-produktem) algebr nierozkładalnych. Algebry jednowy-miarowe są to algebry, których krata kongruencji jest uniformem,a z drugiej strony są to algebry skończenie podproduktowo nie-rozkładalne (w tym podproduktowo nierozkładalne). Algebrywymiaru 0+ są to algebry, których kraty kongruencji są anty-uni-form. Wykorzystujemy też ~-produkt do rozkładu algebr na al-gebry o specjalnych własnościach np. z atomową kratą kongru-encji (zob. [10] ).

W przypadku algebr z modularnymi kratami kongruencji(są to np. grupy, pierścienie, przestrzenie liniowe, moduły, kraty,algebry Boole’a) otrzymujemy Twierdzenie o rozkładzie, któ-re jest uogólnieniem znanych twierdzeń o rozkładzie dla wspo-mnianych struktur algebraicznych.

100 Sesja ogólna

Literatura

[1] Goldie A. W., The structure of prime rings under ascendingchain conditions, Proc. London Math. Soc. (3), 8 (1958),589-608.

[2] Goldie A. W., Semi-prime rings with maximum condition,Proc. London Math. Soc. (3), 10 (1960), 201-220.

[3] Grzeszczuk P., Okniński J., Puczyłowski, E. R., Relationsbetween some dimensions of modular lattices, Comm.Algebra, 17 (1989), 1723-1737.

[4] Grzeszczuk P., Puczyłowski E. R., On Goldie and dual Goldiedimensions, J. Pure Appl. Algebra, 31 (1984), 47-54.

[5] Grzeszczuk P., Puczyłowski E. R., On infinite Goldie dimen-sion of modular lattices and modules, J. Pure Appl. Algebra,35 (1985), 151-155.

[6] Krempa J., On lattices, modules and groups with many uni-form elements, Algebra Discrete Math., 1 (2004), 75-86.

[7] Krempa J., Terlikowska-Osłowska B., On uniform dimensionof lattices, Contributions to General Algebra 9,Holder-Pichler-Tempsky, 1995, 219-230.

[8] Puczyłowski E. R., A linear property of Goldie dimensionof modules and modular lattices, J. Pure Appl. Algebra,215 (2011), 1596–1605.

[9] Staruch B., Staruch B., Dimension of algebraic lattices. Di-mension of algebras and their decomposition into one-dimen-sional algebras, złożone do Algebra Universalis.

[10] Staruch B., Staruch B., Decomposition of congruence mod-ular algebras into congruence atomic, congruence atomlesslocally uniform and congruence anti-uniform parts, złożonedo Bull. Sect. Logic.

[11] Zolotarev A. P., On balanced lattices and Goldie dimensionof balanced lattices, Siberian Math. J., 35 (3) (1994), 539–546.

[12] Zolotarev A. P., Direct decompositions of elements,and Goldie numbers in balanced lattices, RussianMathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 36 (10) (1992),19–27.

101

Topological dynamics and ergodic theory

Organizatorzy:Yonatan Gutman (Instytut Matematyczny PAN),[email protected] Oprocha (Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie),[email protected] Siemaszko (Uniwersytet Warmińsko-Mazurskiw Olsztynie), [email protected]

Wtorek, 13 września 2016, 16:30–18:00, sala A2/16Środa, 14 września 2016, 11:00–12:30, sala A2/16

Czwartek, 15 września 2016, 11:00–15:30, sala A2/16

Wtorek

16:30–17:00 Adam KanigowskiSlow entropy for some parabolic systems (str. 106)

17:00–17:30 Karen StrungC∗-algebras and Smale spaces (str. 108)

17:30–18:00 Bartosz FrejDoubly stochastic operators with zeroentropy (str. 104)

Środa

11:00–11:30 Tomasz DownarowiczSymbolic extension with an embedding (str. 104)

11:30–12:00 Yixiao QiaoRokhlin dimension and embedding into cubical shiftsfor Zk-actions (str. 108)

12:00–12:30 Lei JinA compact universal space for real flows (str. 106)

Czwartek

11:00–11:30 Jan KwiatkowskiInvariant measures on finite rank Brattelidiagrams (str. 107)

102 Topological dynamics and ergodic theory

11:30–12:00 Olena KarpelDecisive Bratteli-Vershik models (str. 107)

12:00–12:30 Przemysław BerkOn disjointness of translation flowswith their inverses (str. 102)

14:30–15:00 Jan P. BorońskiNew exotic minimal setsfrom pseudosuspensions (str. 103)

15:00–15:30 Grzegorz GuzikMinimal closed invariant sets for set-valuedsemiflows (str. 105)

On disjointness of special flowsczwartek

12:00–12:30 with their inverses

Przemysław BerkNicolaus Copernicus University in Toruń[email protected]

We strengthen the result obtained by K. Frączek and myselfabout non-isomorphism of some translation flows with their in-verses. To do this, we used a general criterion for two flowsnot being isomorphic, which used weak limits of 3-off-diagonaljoinings. We show now that this is actually criterion of disjoint-ness of two flows in the sense of Furstenberg. Moreover, we showthat the set of translation structures whose associated verticalflow is weakly mixing and disjoint with its inverse is a Gδ-dense set. The results were obtained together with K. Frączek,M. Lemańczyk and T. de la Rue.

References

[1] Berk P., Frączek K., On special flows over IETs that arenot isomorphic to their inverses, Discrete Contin. Dyn. Syst.,35 (2015), 829-855.


New exotic minimal sets from czwartek

14:30–15:00pseudosuspensions

Jan P. BorońskiAGH University of Science and [email protected]

We develop a technique, pseudosuspension, that applies to in-variant sets of homeomorphisms of a class of annulus homeo-morphisms we describe, Handel-Anosov-Katok (HAK) homeo-morphisms, that generalize the homeomorphism first describedin [2] by Handel (see also [3] and [4]). Given a HAK homeomorph-ism and a homeomorphism of the Cantor set, the pseudosus-pension yields a homeomorphism of a new space that admitsa homeomorphism that combines features of both of the originalhomeomorphisms. This allows us to answer a well known openquestion by providing examples of hereditarily indecomposablecontinua that admit homeomorphisms of intermediate complex-ity. Additionally, we show that such examples occur as minimalsets of volume preserving smooth diffeomorphisms of 4 dimen-sional manifolds. We also use our techniques to exhibit newexamples of minimal homeomorphisms of one-dimensional hered-itarily indecomposable continua that are simultaneously weaklymixing and uniformly rigid (cf. [1]), and these can also be realizedas invariant sets of smooth diffeomorphisms of a 4 manifold. Thisis joint work with A. Clark (Leicester) and P. Oprocha (Kraków).

References

[1] Glasner S., Maon D., Rigidity in topological dynamics,Ergodic Theory Dynam. Systems, 9 (1989), 309–320.

[2] Handel M., A pathological area preserving C∞ diffeomorph-ism of the plane, Proc. Amer. Math. Soc., 86 (1982), 163–168.

[3] Kennedy J., Yorke J. A., Pseudocircles in dynamical systems,Trans. Amer. Math. Soc., 343 (1994), 349–366.

[4] Kennedy J., Yorke J. A., Pseudocircles, diffeomorphisms andperturbable dynamical systems, Ergodic Theory Dynam.Systems, 16 (1996), 1031–1057.


Symbolic extension with an embeddingśroda

11:00–11:30Tomasz DownarowiczPolitechnika Wrocł[email protected]

Given a dynamical system (X,T ), we are interested in sym-bolic extensions π : (Y, S)→ (X,T ) (where (Y, S) is a subshift –this is the essence of the extension being symbolic) which containsan embedding, i.e., an equivariant selector from preimages:ψ : X → Y with π ψ = idX . Of special interest is how thestructure of periodic points in (X,T ) affects the entropy functionof any possible such an extension.

This is joint work with David Burguet (Paris).

Doubly stochastic operators with zerowtorek

17:30–18:00 entropy

Bartosz FrejWrocław University of Science and [email protected]

Doubly stochastic operators (also called Markov operators)generalize dynamical systems in the sense that the Koopmanoperator of an arbitrary dynamical system is doubly stochastic.It is thus natural to look for extensions of classical notions, likeentropy, to the world of such operators. I will present the currentstate of (my) knowledge about the operator entropy, focusingon phenomena connected with entropy zero. In particular, I willinvestigate the relation between zero sequence entropy of an op-erator and the existence of a dense set of eigenvectors (joint workwith Dawid Huczek).


Minimal invariant closed sets czwartek

15:00–15:30of set-valued semiflows

Grzegorz GuzikAGH University of Science and [email protected]

We consider closed sets which are minimal and invariant withrespect to the given semiflow of lower semicontinuous multi-functions on an arbitrary metric space. We show that such setsconsist of recurrent points, i.e. a minimal closed invariant setis an ω-limit set of each its point. Moreover, if there existsa unique minimal closed invariant set it is so–called semiat-tractor.

With every semiflow of lower semicontinuous multifunctionswith closed values we can associate a semigroup of Markov–Felleroperators on measures, generated by some transition probab-ilities, such that the members of the semiflow forms supportsof transition probabilities and vice–versa. Then we can showthat minimal closed invariant sets are just supports of invariant(or even ergodic) measures with respect to this Markov–Fellersemigroup. In particular, if the Markov–Feller semigroup admitsa unique attractive invariant measure, then the support of sucha measure is the semiattractor of semiflow of supports of trans-ition probabilities.

Semiflows of lower semicontinuous multifunctions appearsnaturally when we need to describe a long-time behavior of it-erated function systems as well as nonautonomous/random dy-namical systems.

References

[1] Guzik G., Semiattractors of set–valued semiflows, J. Math.Anal. Appl., 435 (2016), 1321–1334.

[2] Guzik G., Minimal invariant closed sets of set–valued semi-flows, submitted (2016).


A compact universal space for real flowsśroda

12:00–12:30Lei JinInstitute of Mathematics Polish Academy of [email protected]

The Kakutani-Bebutov Theorem (1968) says that if a com-pact metric real flow satisfies that the set of its fixed pointsis homeomorphic to a subset of the real line, then it is em-beddable into the shift of the space of all continuous functionsfrom the real line to the unit interval. This universal space isa function space; however, it is not compact, nor locally compact.We provide an explicit compact universal space for all compactmetric real flows, with no restriction, which is a countableproduct of compact function spaces. Namely, we construct a com-pact metric real flow such that all compact metric real flows canbe embedded into it. This is a joint work with Yonatan Gutman(2016).

Slow entropy for some parabolicwtorek

16:30–17:00 systems

Adam KanigowskiPenn State [email protected]

We study slow entropy for some classical systems in ergodictheory. Our main focus is the variational principle for slow en-tropy. First we give examples for which variational principle fails.This systems are of Liouvillean nature. Second we show thatin the class of parabolic systems (including some nil-rotations,smooth flows on surfaces and horocycle flows) the variationalprinciple holds.


Decisive Bratteli-Vershik models czwartek

11:30–12:00Olena KarpelInstitute for Low Temperature Physics NAS UkraineInstitute of Mathematics Polish Academy of [email protected]

The goal of this talk is to determine when a homeomorphismof a compact zero-dimensional metric space has a decisiveBratteli-Vershik representation. An ordered Bratteli diagramis called decisive if the corresponding Vershik map prolongsin a unique way to a homeomorphism of the whole path spaceof a Bratteli diagram. In particular, we show that every aperiodichomeomorphism of a zero-dimensional system has such model.This is a joint work with T. Downarowicz.

Invariant measures on finite rank czwartek

11:00–11:30Bratteli diagrams

Jan KwiatkowskiKotarbinski University of Information Technologyand [email protected]

The main goal of this lecture is to give an explicit descriptionof the set M(B) of all invariant probability measureson a Bratteli diagram B = (V,E) of finite rank k. The setis a simplex ∆(B) ⊂ Rk with l vertices, where 1 ¬ l ¬ k.The vertices of ∆(B) correspond to the ergodic invariant probab-ility measures on B. We determine the vertices of ∆(B) in termson the incidence matrices Fn’s of B = (V,E).


C∗-algebras and Smale spaceswtorek

17:00–17:30Karen StrungInstitute of Mathematics Polish Academy of [email protected]

C∗-algebra theory is often referred to as “noncommutativetopology” because of the correspondence between locally com-pact Hausdorff spaces and commutative C∗-algebras. In therealm of topological dynamics, a Smale space is a type of hyper-bolic dynamical system which includes such well-known examplesas the shifts of finite type, hyperbolic toral automorphisms andAnosov diffeomorphisms. Each Smale space gives rise to topo-logical equivalence relations coming from the stable, unstable,and homoclinic relations. Adopting the “noncommutative” ap-proach to Smale spaces, one may construct C∗-algebras fromeach of these equivalence relations. I will discuss this as wellas recent work (joint with Robin Deeley) where we investigatethe structural properties of the C∗-algebras as well as those thatarise when we have a group acting on a Smale space.

Rokhlin dimension and embeddingśroda

11:30–12:00 into cubical shifts for Zk-actions

Yixiao QiaoInstitute of Mathematics Polish Academy of [email protected]

The notion of Rokhlin dimension arose in the context of theclassification of transformation group C*-algebras, i.e., C*-algeb-ras associated to topological dynamical systems via the crossedproduct construction. We show how to use it in order to giveconceptually appealing proofs for new results for the embeddingproblem into cubical shifts for Zk topological dynamical systems.Our main result is that a system (X,α,Zk) with mean dimensionless than L/2 and admitting an aperiodic finite Rokhlindimensional factor (Y, β,Zk) can be embedded into(([0, 1](D+1)L)Z

k×Y, shift×β), where D is the Rokhlin dimension


of (Y, β,Zk). In particular, if in addition Y has finite coveringdimension, then (X,α,Zk) can be embedded into(([0, 1](D+1)L+1)Z

k

, shift). This is a joint work with YonatanGutman and Gabor Szabó.

110

Popołudnie popularyzującematematykę

Wykłady popularnonaukowe

Środa, 14 września 2016, 13:00–14:45, Aula B

13:00–13:45 Wojciech DzikJaki język zrozumie automat? (str. 110)

14:00–14:45 Urszula ForyśCzego ekolog może się dowiedziećod matematyka, czyli słów kilkao modelu drapieżnik-ofiara (str. 111)

Jaki język zrozumie automat?środa

13:00-13:45Wojciech DzikUniwersytet Śląski w [email protected]

Na prostych przykladach, opisanych przez rysunki, poczy-nając od automatu do kawy, przedstawiamy pojęcie automatuskończonego oraz dopowiadającego mu języka regularnego,czyli języka, ktory automat akceptuje, a więc ’rozumie’. Następ-nie omawiamy słowa, języki i podstawowe operacje na językach:∪ sumy , ? złożenia (konkatenacji) i gwiazdki Kleenego ∗.Przedstawiamy też automaty deterministyczne i niedetermini-styczne i ich równoważność.

Dalej omawiamy ważne Twierdzenie Kleenego: Język jest re-gularny, tzn. rozpoznawalny przez automat skończony, wtedyi tylko wtedy, gdy można go otrzymac z języków skończonychprzez zastosowanie wyżej wymienionych trzech operacji: sumy,złożenia i gwiazdki Kleenego (por. np. [2]).

Wspomnimy też o językach nieregularnych, w tym o językachbezkontekstowych, rozpoznawalnych przez automaty ze stosem,a których automaty skończone nie rozpoznają. Takim językiemjest język palindromów a więc zbiór takich słów, które czytane


od końca są takie same jak czytane od początku, np. abba, ala.O tych i podobnych zagadnieniach oraz ich zastosowaniach a ta-kże o ich związkach z matematyką można więcej dowiedzieć sięz ksiązek np. [1] i [2].

Literatura

[1] Hopcroft J. E., Motwani R., Ullman J. D., Wprowadzenie doteorii automatów, jązyków i obliczeń, PWN, 2012.

[2] Howie J. M., Automata and Languages, Oxford SciencePublications, 1991.

Czego ekolog może się dowiedzieć środa

14:00-14:45od matematyka, czyli słów kilkao modelu drapieżnik-ofiara

Urszula ForyśUniwersytet [email protected]

Współcześnie w ekologii dobrze znana jest zasada zachowaniaśrednich liczebności populacji w układach typu drapieżnik-ofiara,jak również dobrze wiadomo, w jaki sposób na takie układywpływa ingerencja zewnętrzna w postaci odławiania. Ale nie za-wsze tak było! W połowie lat dwudziestych ubiegłego wiekuwłoski matematyk Vito Volterra zaproponował prosty model ma-tematyczny, dzięki któremu wyjaśnił pozorny paradoks dotyczą-cy zmian struktury połowu ryb w Adriatyku po zakończeniuI wojny światowej, z czym ekologowie sobie nie poradzili. Prawozachowania średnich stanowi prostą konsekwencję tego modelu.

Model ten stanowi podstawę różnych rozważań dotyczącychukładów drapieżnik-ofiara, w szczególności pozwala także odpo-wiedzieć na pytanie, dlaczego w Australii nie ma dużych dra-pieżnych ssaków. Więcej szczegółów na ten temat można znaleźćw artykułach [1,2].

112 Popołudnie popularyzujące matematykę

Literatura

[1] Foryś U., Matejek P., O pewnym ciekawym zastosowaniu mo-delu drapieżnik-ofiara, DELTA, tom 8 (zeszyt 483) (2014),12-15.

[2] Foryś U., Matejek P., O pewnym ciekawym zastosowaniu mo-delu Lotki-Volterry, Matematyka Poglądowa, tom 1 (2014),8-27.


Wystawa interaktywna z geometrii

Środa, 14 września 2016, godz. 10:00–14:45sala D0/9

Uczestnicy wystawy będą mogli poeksperymentowaćz obiektami abstrakcyjnymi geometrycznymi na 15 dostępnychstanowiskach. Tematyka poszczególnych stanowisk będzie doty-czyła m. in. parkietaży, wielościanów platońskich i archimede-sowskich, fraktali, geometrii sferycznej, obrazów anamorficznych,twierdzenia Pitagorasa, rzutów i przekrojów brył, krzywych i po-wierzchni oraz złudzeń optycznych. Dla osób które lubią rozwią-zywać łamigłówki zostanie udostępnione szereg składanek geo-metrycznych o różnym stopniu trudności.

Zaplanowano 45 minutowe warsztaty dla pięciu grup gimna-zjalistów (od 15 do 20 osób w grupie) zgodnie z następującymharmonogramem:

10:00–10:45 grupa 1.

11:00–11:45 grupa 2.

12:00–12:45 grupa 3.

13:00–13:45 grupa 4.

14:00–14:45 grupa 5.

Wykłady popularnonaukowe oraz wystawainteraktywna z geometrii dofinansowaneprzez Fundację mBanku w ramach projektu”Niezwykła matematyka”.

114

Imprezy towarzyszące

Atrakcje turystyczne

Środa, 14 września 2016, godz. 14:30–19:00

W środę po południu proponujemy uczestnikom opuszczeniesal obrad i skorzystanie z następujących zaplanowanych przezorganizatorów forum atrakcji turystycznych:

1. Wspólne zwiedzanie olsztyńskiego zamku.Atrakcją mogącą zainteresować matematyków jest niezwy-kła pamiątka po Mikołaju Koperniku w postaci tablicyastronomicznej, własnoręcznie wykonanej przez słynnegoastronoma i matematyka podczas swojego pobytu na zam-ku, kiedy sprawował urząd administratora dóbr kapitulnych(1516-1521). Tablica ta służy do przedstawienia pozornegoruchu słońca w dniach bliskich równonocy wiosennej i je-siennej, i jest połączona ze swoistą formą zegara słonecz-nego.

2. Spływ kajakowy lub wizyta w planetarium

(a) Osobom mającym zaufanie do swoich możliwości fi-zycznych proponujemy spływ kajakiem malownicząrzeką Łyną od miejscowości Bartąg, przez Olsztyn,do przenoski przy zamku olsztyńskim.

(b) Pozostałym osobom proponujemy wizytę w olsztyń-skim planetarium.

Koszt wszystkich imprez jest wliczony w opłatę konferencyjną.

Bankiet Konferencyjny

Środa, 14 września 2016, godz. 19:30–23:00

Wszystkich uczestników 7. Forum Matematyków Polskich za-praszamy na uroczysty bankiet, który odbędzie się w RestauracjiKortowskiej (ul. Heweliusza 28).

Imprezy towarzyszące 115

Koncert

Piątek, 16 września 2016, godz. 15:45–17:00

Uczestników Forum zapraszamy na koncert skrzypcowy. Kon-cert odbędzie się w budynku Wydziału Matematyki i InformatykiUWM (Aula B).

Młodzi Wirtuozi Skrzypiec, w składzie:

• Wiktoria Borkowska,Uniwersytet Muzyczny Fryderyka Chopina w Warszawie;

• Aleksandra Jopek,Akademia Muzyczna im. Stanisława Moniuszki w Gdańsku;

• Jan Staruch,Akademia Muzyczna im. Stanisława Moniuszki w Gdańsku;

zagrają utwory Bacha, Mozarta, Shchedrina, Zarzyckiego,McLeana. Na fortepianie akompaniować będzie MagdalenaBorkowska.

116

O Wydziale Matematyki i InformatykiUniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego

oraz Olsztyńskim Oddziale PTM

Wydział Matematyki i InformatykiUWM w Olsztynie

Wydział Matematyki i Informatyki został utworzony decyzjąSenatu UWM z dnia 10 lipca 2001 r. W tym roku obchodzi15-lecie. Skupia on matematyków, informatyków i fizyków za-trudnionych po utworzeniu UWM na Wydziale Geodezji i Gospo-darki Przestrzennej. Wydział jest kontynuatorem działań Insty-tutu Matematyki i Fizyki Wyższej Szkoły Pedagogicznejw Olsztynie oraz Katedry Zastosowań Matematyki AkademiiRolniczo-Technicznej. Kształcenie matematyczne i badaniaw dziedzinie matematyki rozpoczęły się na Warmii i Mazurachwraz z utworzeniem w roku 1969 Wyższej Szkoły Nauczycielskiej,a badania związane z zastosowaniami matematyki wraz z powo-łaniem w 1950 roku Zakładu Matematyki w Zespołowej Katedrze

O Wydziale Matematyki i Informatyki UWMoraz Olsztyńskim Oddziale PTM 117

Fizyki, a od 1951 roku – Katedry Statystyki Matematycznej.Dużo się zmieniło od tamtych lat. W 1969 dr Czesław Plattbył jedynym docentem zajmującym się matematyką (a raczejzastosowaniami statystyki) na Warmii i Mazurach. W chwiliobecnej Wydział Matematyki i Informatyki UWM zatrudnia18 profesorów i doktorów habilitowanych nauk matematycznychreprezentujących wiele ważnych obszarów współczesnej matema-tyki i jej zastosowań. Sztandarowe kierunki badań to:

– szeroko rozumiana geometria,

– matematyka dyskretna, kombinatoryka, teoria układówcałkowalnych,

– układy dynamiczne i równania różniczkowe,

– analiza zespolona,

– matematyczne podstawy informatyki,

– modelowanie matematyczne w naukach o życiu, szczególniew medycynie.

Pracownicy Wydziału są autorami prac w czołowych czasopi-smach matematycznych na świecie, takich jak: Communicationsin Mathematical Physics, Inventiones Mathematicae, Transac-tions of the American Mathematical Society, Proceedingsof the American Mathematical Society, Ergodic Theory and Dy-namical Systems, Journal of Differential Equations, Nonlinearity,Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Nonlin-ear Analysis: Real World Applications, International Mathemat-ics Research Notices, Journal of Physics A, Journal of SymplecticGeometry, Journal of Topology I wielu innych. Kontynuując tra-dycje, olsztyńscy matematycy chętnie współpracują z przedsta-wicielami innych nauk, szczególnie medycyny, publikując teżw Radiotherapy and Oncology, Journal of Biological Systems,Physics of Liefe Reviews.

Od 2008 r. Wydział posiada uprawnienia do nadawania stopniadoktora w dyscyplinie ”Matematyka”.

118O Wydziale Matematyki i Informatyki UWM


Misja Wydziału:

Kształcenie matematyków zdolnych do udziału w rozwija-niu matematyki i jej stosowania w innych działach wiedzyi w praktyce.

Kształcenie nauczycieli matematyki i informatyki.

Kształcenie profesjonalnych informatyków dla potrzeb go-spodarki, administracji, szkolnictwa oraz życia społeczne-go.

Nauczanie matematyki i jej działów specjalnych (jak staty-styka matematyczna, ekonometria, biomatematyka, ekolo-gia matematyczna, metody numeryczne), fizyki, a w raziepotrzeby i podstaw informatyki, na wszystkich wydziałachUWM.

Rozwój badań naukowych w obszarze matematyki i infor-matyki.

Podstawowe jednostki Wydziału:

Katedra Algebry i Geometrii,

Katedra Analizy i Równań Różniczkowych,

Katedra Analizy Zespolonej,

Katedra Fizyki i Metod Komputerowych,

Katedra Fizyki Relatywistycznej,

Katedra Informatyki i Badań Operacyjnych,

Katedra Matematyki Dyskretnej i Teoretycznych PodstawInformatyki,

Katedra Matematyki Stosowanej,

Katedra Metod Matematycznych Informatyki,

Katedra Multimediów i Grafiki Komputerowej.

O Wydziale Matematyki i Informatyki UWMoraz Olsztyńskim Oddziale PTM 119

Oddział OlsztyńskiPolskiego Towarzystwa Matematycznego

Oddział Polskiego Towarzystwa Matematycznego w Olszty-nie powstał w 1973 roku z inicjatywy Kierownika ówczesnej Kate-dry Statystyki Matematycznej w Akademii Rolniczo-Technicznej,prof. dr. Czesława Platta. Oddział i jego prezes, Prof. Plattodegrały znacząca rolę w integracji olsztyńskiego środowiska ma-tematycznego. Oddział systematyczne zapraszał do wygłoszeniaodczytów wiodących polskich matematyków, co w tamtych la-tach było jeszcze ważniejsze niż dziś. Prezesami Oddziału bylikolejno:

Prof. dr Czesław Platt (1925-1995), prezes w latach1973-1995, wybitny specjalista w obszarze zastosowań sta-tystyki i rachunku prawdopodobieństwa w doświadczalnic-twie zootechnicznym, rolniczym i rybackim, a także w pro-blematyce geodezyjnej.

Prof. dr hab. Jan Rychlewski (1934-2011), prezes w latach1995-2004, wybitny mechanik, członek-korespondent Pol-skiej Akademii Nauk.

Prof. dr hab. Aleksy Tralle, prezes w latach 2004-2010.

Prof. dr hab. Maciej P. Wojtkowski, prezes w latach2010-2014.

Prof. dr hab. Adam Doliwa, prezes od 2014.

Oddział dwukrotnie był organizatorem zjazdów Polskiego Towa-rzystwa Matematycznego w latach 1983 i 1998 oraz (też dwu-krotnie) Forum Matematyków Polskich w latach 2010 i 2016.

Oddział nadal działa, być może w mniejszej skali, na rzecz inte-gracji olsztyńskiego środowiska matematycznego. W chwili obec-nej jednym z priorytetów jest praca z młodzieżą szkolną.Od 11 lat wraz z Wydziałem Matematyki i Informatyki organizo-wane są Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne dla ucz-niów szkół podstawowych, gimnazjów i szkół ponadgimnazjal-nych. Propozycja ich organizowania została zgłoszona przez ów-czesnego prezesa prof. Aleksego Tralle. Od 2011 roku z inicjatywy

120O Wydziale Matematyki i Informatyki UWM


prof. Macieja P. Wojtkowskiego wygłaszane są odczyty popular-nonaukowe dla uczniów (projekt ”Spotkania z Matematyką”).

Komitet Programowy

Taras Banakh (Uniwersytet Jana Kochanowskiego w Kielcach,Ivan Franko National University of Lviv)Mikołaj Bojańczyk (Uniwersytet Warszawski)Ewa Damek (Uniwersytet Wrocławski)Krzysztof Frączek (Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu)Piotr Grzeszczuk (Politechnika Białostocka)Grzegorz Karch (Uniwersytet Wrocławski)Sergiy Kolyada (Institute of Mathematics NAS Ukraine,

Kyiv Mathematical Society)Sławomir Kołodziej (Uniwersytet Jagielloński w Krakowie,

Wiceprezes PTM)Jacek Miękisz (Uniwersytet Warszawski)Piotr Sołtan (Uniwersytet Warszawski)Tomasz Szarek (Uniwersytet Gdański)Piotr Śniady (Uniwersytet im Adama Mickiewicza w Poznaniu)Yuri Tomilov (Instytut Matematyczny PAN)Aleksy Tralle (Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie)

Komitet Organizacyjny(Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie)

Wojciech CzernousAdam Doliwa – PrzewodniczącyJan JakóbowskiBernard KasietczukAleksandra Kiślak-MalinowskaJarosław KosiorekAndriy PanasyukArtur SiemaszkoAnna SzczepkowskaMarzena ŚmiechArtur Woike

Opracowanie: Adam Doliwa, Bernard Kasietczuk,Artur Siemaszko, Anna Szczepkowska, Aleksy Tralle, Artur Woike

Autor koncepcji graficznej okładki: Anna OkulewiczSkład, korekta i łamanie: Anna Szczepkowska, Artur Woike

c©Polskie Towarzystwo MatematyczneOlsztyn 2016

7. FORUM MATEMATYKÓW POLSKICH Z UDZIAŁEM MATEMATYKÓW...

Documents

Transcript of 7. FORUM MATEMATYKÓW POLSKICH Z UDZIAŁEM MATEMATYKÓW...