![K H < ? J R ? G K L < H < : G B H J = : G B A : P B H < ? > ? G B Y < U … · 2017. 4. 29. · 21 h l \ _ l k l \ _ g g h k l v g Z e h ] h \ u i j Z \ h g Z j](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/60bc30618e71dc1a016b4777/k-h-j-r-g-k-l-h-g-b-h-j-g-b-a-p-b-h-g-b.jpg)
66 noubiaix 45 noubiaix45 2017 75 oriflèxia · 68 noubiaix45 R2 “ ď gPC g¨ T g¨ T˚X h¨...
9
oriflèxia el racó de l‘ oriflèxia desembre 2017 75 66 noubiaix 45 Papiroflèxia d’alguns mosaics de l’Alhambra de Granada Jaume Coll Guerrero CFA Rafael Farré (Molins de Rei) Professor associat al Departament de Matemàtiques (UAB) 1. Mosaics i tessel¨les Els diferents motius dels mosaics de l’Alhambra de Granada són des de fa temps una font d’inspiració per a la creació artística i matemàtica. En aquest palau de la dinastia nassarita, construït entre els segles XIII i XV, es poden contemplar diferents motius geomètrics. Alguns d’aquests motius es coneixen amb un nom propi: ocellet nassarita, os nassarita, avió nassarita i ratpenat nassarita. Però què és un mosaic? La seva etimologia ens diu que aquesta paraula prové del llatí mosaicum opus, és a dir, és una obra de les muses. Antigues civilitzacions, com la grega o romana, ja utilitzaven aquesta tècnica pictòrica per fer composicions decoratives amb petites peces de diferents colors i materials anomenades tessel¨les. Molts d’aquests antics mosaics i altres de més moderns, com els que es poden veure en les obres modernistes d’Antoni Gaudí, tot i la seva bellesa, no tenen cap tipus de simetria. També existeixen mosaics que mostren simetries, com els de les voreres del passeig de Gràcia de Barcelona, fets amb rajoles hexagonals, o els del pati d’entrada de l’Institut d’Estudis Catalans, elaborats amb rajoles catalanes. Des d’un punt de vista matemàtic, definirem un mosaic o tessel¨lació com una divisió del pla sense solapaments ni buits mitjançant una forma geomètrica anomenada tessel¨la pT Ă R 2 q. Per estudiar els mosaics respondrem a les preguntes següents: quins són els mosaics més sim- ples?, com podem crear nous mosaics?, quants mosaics essencialment diferents existeixen?, com podem classificar els mosaics? Els mosaics més simples, que anomenarem regulars, s’aconsegueixen prenent com a tessel¨la bàsica tres tipus de polígons regulars: el triangle equilàter, el quadrat i l’hexàgon regular. Els mosaics regulars tenen simetries centrals o rotacionals de 60, 90 i 120 graus, respectivament,
Transcript of 66 noubiaix 45 noubiaix45 2017 75 oriflèxia · 68 noubiaix45 R2 “ ď gPC g¨ T g¨ T˚X h¨...
66 noubiaix 45
oriflèxiael racó de l‘oriflèxia
desembre 2017 7566 noubiaix 45
Papiroflèxia d’alguns mosaicsde l’Alhambra de GranadaJaume Coll GuerreroCFA Rafael Farré (Molins de Rei)Professor associat al Departament de Matemàtiques (UAB)
1. Mosaics i tessel̈¨̈lesEls diferents motius dels mosaics de l’Alhambra de Granada són des de fa temps una fontd’inspiració per a la creació artística i matemàtica. En aquest palau de la dinastia nassarita,construït entre els segles XIII i XV, es poden contemplar diferents motius geomètrics. Algunsd’aquestsmotius es coneixen ambun nompropi: ocellet nassarita, os nassarita, avió nassaritai ratpenat nassarita.
Però què és un mosaic? La seva etimologia ens diu que aquesta paraula prové del llatímosaicum opus, és a dir, és una obra de les muses. Antigues civilitzacions, com la grega oromana, ja utilitzavenaquesta tècnica pictòrica per fer composicions decoratives ambpetitespeces de diferents colors i materials anomenades tessel¨les. Molts d’aquests antics mosaicsi altres de més moderns, com els que es poden veure en les obres modernistes d’AntoniGaudí, tot i la seva bellesa, no tenen cap tipus de simetria. També existeixen mosaics quemostren simetries, com els de les voreres del passeig de Gràcia de Barcelona, fets amb rajoleshexagonals, o els del pati d’entrada de l’Institut d’Estudis Catalans, elaborats amb rajolescatalanes. Des d’un punt de vista matemàtic, definirem un mosaic o tessel¨lació com unadivisió del pla sense solapaments ni buits mitjançant una forma geomètrica anomenadatessel¨la pT Ă R
2q.
Per estudiar elsmosaics respondrema les preguntes següents: quins sónelsmosaicsmés sim-ples?, com podem crear nous mosaics?, quants mosaics essencialment diferents existeixen?,com podem classificar els mosaics?
Elsmosaicsmés simples, que anomenarem regulars, s’aconsegueixen prenent com a tessel¨labàsica tres tipus de polígons regulars: el triangle equilàter, el quadrat i l’hexàgon regular. Elsmosaics regulars tenen simetries centrals o rotacionals de 60, 90 i 120 graus, respectivament,
desembre 2019 67
així com diferents tipus de simetries axials en què els eixos de simetria formen entre si anglesde 30, 45 i 60, graus respectivament.
mosaics regulars
Es poden aconseguir nous mosaics fent modificacions en els mosaics regulars. Aquesta ob-servació va ser desenvolupada en les obres de l’artista neerlandès Maurits Cornelius Escher,que va quedar impressionat pels motius decoratius dels mosaics nassarites en la seva visita al’Alhambra l’any 1936.
quadrat os nassarita
La tessel¨la os nassarita es pot aconseguir a partir d’un quadrat. En dos costats oposats d’unquadrat seccionem un trapezi que tingui per base major el costat del quadrat, per alçada laquarta part de la longitud del costat del quadrat i angles interns de 45, 135, 135 i 45 graus, iunim per la part exterior del quadrat la base major d’aquests trapezis als altres dos costatsdel quadrat, com es mostra en la figura superior.
El teorema de Fedorov (1891) ens diu que tan sols existeixen disset tipus de mosaics essen-cialment diferents [6]. Els diferents tipus de mosaic venen descrits per disset grups de sime-tries. Aquests grups també es coneixen amb el nom de grups cristal¨logràfics plans, perquèFedorov els va trobar estudiant la manera en què cristal¨litzen en la natura els minerals.
Els diferents grups cristal¨logràfics G són certs subgrups del grup d’isometries del pla real, ésa dir, del grup generat per totes les traslacions, rotacions i reflexions.
G Ă IsopR2q
El grup cristal¨logràfic associat a una tessel¨lació actua sobre el pla real R2 i deixa invariant latessel¨lació. Per a qualsevol tessel¨la T de la tessel¨lació, existeix un subconjunt C del grup Gque compleix:
68 noubiaix 45
R2 “
ďgPC
g ¨ T
g ¨ T̊ X h ¨ T̊ “ H, @g,h P C Ă G Ă IsopR2q
Existeixen diferents notacions equivalents per classificar els grups cristal¨logràfics plans:Pólya, Conway, Fejes Thót-Cadwell, Niggli, Speiser, Shubinov-Koptsik, Wells-Bell, internacio-nal llarga, etc. En la taula següent s’utilitza la notació internacional curta.
Angle mínim Existeix alguna reflexió?
de rotació Sí No
360 0{6 “ 60 0 p6m p6
360 0{4 “ 90 0
Tots els centres de rotació estan
p4sobre els eixos de reflexió?
Sí: p4m No: p4g
360 0{3 “ 120 0
Tots els centres de rotació estan
p3sobre els eixos de reflexió?
Sí: p31m No: p3m1
360 0{2 “ 180 0
Existeixen reflexions amb Existeix alguna reflexióeixos perpendiculars? amb lliscament?
Sí No
Sí: pgg No: p2Tots els centres de rotació estan
pmgsobre els eixos de reflexió?
Sí : cmm No: pmm
360 0{1 “ 0 0
Existeix alguna reflexió amb lliscament Existeix alguna reflexióamb eix diferent d’un eix de reflexió? amb lliscament?
Sí: cm No: pm Sí: pg No: p1
A l’Alhambra de Granada hi ha catorze dels disset tipus demosaics, si es tenen en compte elscolors [9], i els disset si no es tenen en compte els colors [8].
Grup cristal·logràfic cmm Grup cristal·logràfic p4g
desembre 2019 69
2. Mosaics de paper
A continuació es descriu unmòdul de paper que permet fermosaics. Aquestmòdul i les sevesvariants es coneixen amb el nom de variacions Froebel, perquè van ser utilitzades en el se-gle XIX pel pedagog alemany Frederic Fröbel en els Kindergarten (jardins d’infància).
Pas 1 Pas 2 Pas 3 Pas 4 Pas 5
Plecs en vall Plecs en vall Plecs en muntanya Mòdul final
Per aconseguir diferents tipus de motius és necessari utilitzar un paper bicolor, com ara elpaper de tipus kami (blanc - color). En el pas 1 comencem amb la cara de color al davant i lade color blanc al darrere; en el pas 2 pleguem verticalment en vall el paper per la meitat i perla quarta part; en el pas 3 fem el mateix que en el pas 2, però horitzontalment; en el pas 4pleguem en muntanya els quatre vèrtexs del quadrat cap al centre, i en el pas 5 obtenim elmòdul final col¨lapsant els quatre costats del quadrat cap a l’interior.
Unió de 5 mòduls
Per aconseguir els motius os nassarita i avió nassarita cal fer els plecs següents en el mòdulfinal:
70 noubiaix 45
Combinant els colors en elsmosaics fets amb la tessel¨la de l’os nassarita es poden aconseguironze de les disset configuracions dels grups cristal¨logràfics.
p4g p4 pmm cmm
pmg pgg p2 cm
pm pg p1
3. Tessel̈¨̈lacions del cubÉs clar que el desenvolupament pla del cub té sis quadrats; vist a l’inrevés, es pot pensar queel cub és un mosaic tridimensional format per sis tessel¨les quadrades. D’aquesta manerapodem construir diferents tipus demosaics cúbics fent modificacions en el quadrat llis inicial;per exemple, si considerem sis tessel¨les de l’os nassarita o de l’avió nassarita, es pot fer unmosaic cúbic tridimensional amb cadascun d’aquests motius.
desembre 2019 71
Desenvolupament del cub Desenvolupament del cub Desenvolupament del cub
os nassarita avió nassarita
Es poden construir cubs amb els tres motius anteriors amb sis mòduls idèntics fent determi-nats plecs. El primer motiu, un quadrat llis, correspon al cub de Mitsunobu Sonobe. El cubavió nassarita es pot fer amb els plecs següents:
Pas 1 Pas 2 Pas 3 Pas 4
Pas 5 Pas 6 Pas 7
Mòdul final Unió de 2 mòduls Unió de 6 mòduls
Si en la construcció anterior, en lloc de la diagonal, prenem un segment que passi pel centredel quadrat amb pendent aleatorim P R, aleshores obtenim una infinitud no numerable demotius.
Pas 1 Pas 2 Pas 3 Pas 4
Pas 5 Pas 6 Pas 7
Mòdul final Unió de 2 mòduls Unió de 6 mòduls Cub modular mosaic aleatori
72 noubiaix 45
La tessel¨lació del cub amb el motiu os nassarita es pot fer amb els plecs següents:
Pas 1 Pas 2 Pas 3 Pas 4
Pas 5 Pas 6 Pas 7 Pas 8
Pas 9 Pas 10
Unió de 2 mòduls Unió de 6 mòduls
Finalitzem aquesta dissertació amb una figura no modular multiforme: la construcció d’untetràedre obtingut mitjançant el col¨lapse d’un ocellet nassarita tridimensional.
Pas 1 Pas 2 Pas 3 Pas 4
Pas 5 Pas 6 Pas 7 Pas 8
desembre 2019 73
Pas 9 Pas 10 Pas 11 Pas 12
Pas 13 Pas 14 Pas 15 Pas 16
Pas 17 Pas 18 Pas 19 Pas 20
Pas 21 Pas 22 Pas 23 Pas 24
Pas 25 Pas 26 Pas 27
ocellet nassarita tetràedre
Agraïments
A Minerva Ciruela per introduir-me en el món de l’origami, a en Josep Ramis per la sevacorrecció de català i a en Joan Sallas per convidar-me a exposar aquest article en els tallers depapiroflèxia del 4t-APLEC de Badalona.
74 noubiaix 45
Bibliografia
[1] Àlvarez, R. i Pujol, R. (1999). L’altra geometria, Casals.[2] Caboblanco, F.J. (1995). «Alhambra Star 2», Das Diagramm, 25, pàg. 46.[3] Coll, J. (2017). «Cubo mosaico avión nazarí. Cubo mosaico aleatorio», Libro de la XX
Convención Internacional de la AEP. Santiago de Compostela, vol. 11.[4] Coll, J. (2018). «Pajarita nazarí y tetraedro». Libro del encuentro de origami de Bogotá.[5] Fernández, I.; Reyes, M.E. (2008). Geometría con el hexágono y el octógono, Granada:
Proyecto Sur de Ediciones.[6] Fyodorov, Y. (1891). «Simmetrija na ploskosti». Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgs-
kogoMineralogicheskogoObshchestva, s. 2, 28, 245-291.[7] Gimeno, J. (2003). «Homenaje a la Alhambra (Estudio n˝ 2)». Pajarita, 84, pàg. 28.[8] Montesinos, J.M. (1987). Classical Tessellations and Three-Manifolds, Nova York: Springer.[9] Müller, E. (1946). «El estudio de ornamentos como aplicación de la teoría de grupos de
orden finito», Euclides (Madrid), 6, pàg. 42-52.[10] Prüfer, J. (1930). Federico Froebel, Barcelona: Labor.
![Школа 49 - Главная страницаmyschool49.ucoz.ru/sveden_ob_obr/obraz/obrazovanie/...2 K h ^ _ j ` Z g b _ h k g h \ g h c h [ j Z a h \ Z l _ e v g h c i j h ] j Z](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5fac08deaa2a240543630424/-49-2-k-h-j-z-g-b-h-k-g.jpg)
![e g b k l j h b l e v g h c h j ] Z g b a Z p b c 2, 1: f l 3 …static.1c.ru/bf/2016/section10/14_30 УСО2...D h j h l d h [ h k g h \ g u o k h [ _ g g h k l y h l j Z k e _ \](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5faf0e2409e0ca53ab1d5a84/e-g-b-k-l-j-h-b-l-e-v-g-h-c-h-j-z-g-b-a-z-p-b-c-2-1-f-l-3-static1crubf2016section101430.jpg)
![Z g b r g k d h ] h j Z c h g Z · 5 2. b a m q _ g b b l _ j Z l m j u b h d m f _ g l h \; 3. o j h g h e h ] b q _ k d b c f _ l h ^. j _ a m e v ^ Z g g h c j Z [ h l u f u m](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5ed0cf4a6415977ed945919d/z-g-b-r-g-k-d-h-h-j-z-c-h-g-z-5-2-b-a-m-q-g-b-b-l-j-z-l-m-j-u-b-h-d-m-f-.jpg)
![Z B G H < : P B H G G : L : L ? H J B Y H L D J : Y G ... · H l l _ ]. \. ^ h l _ ]. \..,,,,-..-,-17 ...](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/603b3f95fa112c10662fe1e6/z-b-g-h-p-b-h-g-g-l-l-h-j-b-y-h-l-d-j-y-g-h-l-l-h-l.jpg)
![· 2004. 8. 30. · im`h\Yne\WkoZqpo^rpone^lbsc_i]tY[-d ^ru]v!\xw \xy{zG|hzI} ~ E h [_~ } h yM g G I G G G G G I G G G G G I G G G G G I G G G G G I G G](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/611669a2f3a8be547720eaee/2004-8-30-imhynewkozqporponelbscity-d-ruvxw-xyzghzi-e-h-.jpg)
![g g Z h j ] Z g b a Z p b yресурсныйцентр-анр.рф/files/doc... · 4 H j ] Z g b a Z p b b l h ^ b d Z _ y l _ e v g h k l b k n Z p b h g Z e v g u o l g h r _ g](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/6044017080ac5a36fc0a9085/g-g-z-h-j-z-g-b-a-z-p-b-yf-filesdoc.jpg)
![: G G H L : P B Yoctpk.com/upload/dokumenty/Слесарь по обсл. и ремонту ТЭУ и... · : G G H L : P B Y G Z b f _ g h \ Z g b _ j h ] j Z f f u h ^ ] h l h \](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5f95316eff705041a706d19f/-g-g-h-l-p-b-oe-f-.jpg)
![w ¸ ))r 'F 4 'ö#. » » Ù ] i...> ì6ë % 0iG )F$× > ì6ë * Bp * H H G H G H H *](https://static.fdocuments.pl/doc/165x107/5e76c2772e8cb87b826a3fe3/w-r-f-4-i-6-0ig-f-6-bp-h.jpg)