14.1

14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe 14.1. Kwadryki

Powierzchnią stopnia drugiego, lub krótko kwadryką, nazywamy

zbiór punktów P(x,y,z), których współrzędne spełniają równanie:

++++++ yza2xza2xya2zayaxa 2313122

332

222

11

0aza2ya2xa2 44342414 =++++

gdzie 0233

222

211 >++ aaa .

Każdą powierzchnię stopnia drugiego można za pomocą

translacji (przesunięcia) i obrotu sprowadzić do postaci kanonicznej,

tzn. takiej, gdzie w równaniu nie występują wyrazy mieszane, a

liczba wyrazów liniowych jest jak najmniejsza.

kwadraty wyrazy mieszane

wyrazy liniowe wyraz wolny

14.2

Mamy pięć typów kwadryk:

1. Typ elipsoidalny

pustyzbiórpunktelipsoida

101

2

2

2

2

2

2

−−−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++

cz

by

ax

Elipsoida to powierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są

elipsami. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida

obrotowa, powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy

wokół własnej osi symetrii.

Dla a=b=c elipsoida jest sferą o promieniu a.

14.3

2. Typ hiperboloidalny

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−+

101

2

2

2

2

2

2

cz

by

ax

Hiperboloida jednopowłokowa - powierzchnia drugiego stopnia

otrzymana w następujący sposób: daną hiperbolę H obraca się

dookoła jej osi symetrii L równoległej do kierownic tej hiperboli,

uzyskując w ten sposób powierzchnię obrotową nazywaną

hiperboloidą jednopowłokową obrotową.

Przekrój hiperboloidy jednopowłokowej płaszczyzną

równoległą do L jest hiperbolą lub parą przecinających się prostych,

a jej przekroje płaszczyznami prostopadłymi do L są elipsami (lub

okręgami) wzajemnie do siebie podobnymi. Elipsa otrzymana przez

przekrój hiperboloidy jednopowłokowej płaszczyzną prostopadłą do

− hiperboloida jednopowłokowa

− stożek

− hiperboloida dwupowłokowa

14.4

L i przechodzącą przez jej środek symetrii nazywa się elipsą szyjną.

Przez każdy punkt hiperboloidy jednopowłokowej przechodzą dwie

proste zawierające się w niej.

Hiperboloida dwupowłokowa

14.5

3. Typ paraboloidalny

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠

≠

−

=

0

0

0

2

2

22

a

p

,a

a,px

y

4. Typ paraboloidalno-eliptyczny

urojony eliptyczny walec)0 (prosta

eliptyczny waleceliptycznaa paraboloid

101

2

2

2

2

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−===−

−−

−

=+zyx

z

by

ax

− walec paraboliczny

− płaszczyzny różne i równoległe

− płaszczyzna podwójna

− płaszczyzny urojone różne i równoległe

14.6

5. Typ paraboloidalno-hiperboliczny

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−−

−=−

yplaszczyzn się ceprzecinaj ą nyparabolicz walec

znahiperbolica paraboloid

101

2

2

2

2

by

ax

.

14.7

Kształt paraboloidy hiperbolicznej przypomina siodło. Jest to

powierzchnia prostokreślna, przez każdy jej punkt przechodzą dwie

różne proste leżące w całości na tej powierzchni

14.2. Powierzchnie obrotowe

Niech będzie dana krzywa K oraz dowolna prosta m.

Powierzchnią obrotową o osi obrotu m nazywamy zbiór okręgów

otrzymanych w wyniku obrotu każdego punktu P∈K dookoła prostej

m.

W przypadku, gdy krzywa K jest dana równaniem uwikłanym, a

osią obrotu odpowiednia oś układu współrzędnych, to równanie

powierzchni obrotowej można wyprowadzić w sposób

zaprezentowany w tabeli:

Równanie krzywej K

Oś

obrotu

Równanie

Powierzchni obrotowej

F(x,y) = 0 i z = 0

OX

( ) 022 =+ zy,xF

F(x,y) = 0 i z = 0

OY

( ) 022 =+ y,zxF

F(y,z) = 0 i x = 0

OY

( ) 022 =+ zx,yF

14.8

F(y,z) = 0 i x = 0

OZ

( ) 022 =+ z,yxF

F(x,z) = 0 i y = 0

OX

( ) 022 =+ zy,xF

F(x,z) = 0 i y = 0

OZ

( ) 022 =+ z,yxF

Przykład

Napisać równanie powierzchni powstałej w wyniku obrotu dookoła

osi OY :

a) krzywej 12 −= xy i z = 0,

b) prostej danej równaniem parametrycznym x = 2t − 1, y = t + 1, z

= t, t∈R.

Rozwiązanie

a) Równanie krzywej jest następujące 012 =+− xy i z = 0.

Ponieważ osią obrotu jest oś OY, więc postawiamy do równania

krzywej w miejsce x wyrażenie 22 zx + . Otrzymujemy stąd

równanie paraboloidy 221 zxy +=+ .

14.9

b) Przy obrocie danej prostej dookoła osi OY współrzędne każdego

punktu z tej prostej spełniają układ równań

( )⎩⎨⎧

+=+−=+

112 2222

tyttzx

. Wyliczając z drugiej zależności t = y −

1

i podstawiając do drugiego równania otrzymujemy równanie stożka

51

575

222 +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+ yzx

.

Przykład

Sprowadzić do postaci kanonicznej równanie

03212

41

43 222 =+−−−+−+ xzzyxyzyx .

Rozwiazanie

Grupujemy wyrazy w taki sposób, aby można było utworzyć pełne

kwadraty:

( ) 0321

41

432 22222 =+−−−−+−++ xzzyzyyyxyx

( ) ( ) 03241 22 =+−−++−+ xzzyzyyx

14.10

Stąd dokonując podstawienia: uyx =+ , vzy =+ ,

( ) wzx =−+ 321

otrzymujemy równanie kanoniczne paraboloidy

hiperbolicznej wvu 24

22 =− .

Przykład

Dla powierzchni 0122422 =−+−+ zyyx wyznaczyć

krzywe przecięcia z płaszczyznami układu oraz punkty przecięcia z

osiami układu.

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności wyznaczymy krzywe przecięcia z

płaszczyznami układu:

1. Z płaszczyzną OXY .

Do równania powierzchni podstawiamy z = 0.

Stąd 012422 =−−+ yyx lub zapisując w innej postaci:

( ) 162 22 =−+ yx . Zatem , krzywą przecięcia rozważanej

powierzchni z płaszczyzną OXY jest okrąg o środku w punkcie (0,2)

i promieniu 4.

14.11

2. Z płaszczyzną OXZ.

Do równania powierzchni podstawiamy y = 0 i otrzymujemy

równanie paraboli

621 2 +−= xz .

3. Z płaszczyzną OYZ.

Do równania powierzchni podstawiamy x = 0. Tutaj krzywą

przecięcia (co jest łatwe do sprawdzenia) jest parabola o równaniu

kanonicznym ( ) 8221 2 +−−= yz .

Natomiast punkty przecięcia powierzchni z osiami układu

otrzymamy podstawiając do równania powierzchni odpowiednio :

a) y = 0 i z = 0 przy wyznaczaniu punktu na osi OX, co nam daje

punkty ( )0032 ,, , ( )0032 ,,− .

b) x = 0 i z = 0 przy wyznaczaniu punktu na osi OY, co nam daje

punkty ( )020 ,,− , ( )060 ,, .

c) x = 0 i y = 0 przy wyznaczaniu punktu na osi OZ, co nam daje

punkt ( )600 ,, .

14.12

Przykład

Za pomocą nierówności opisać zbiór punktów ograniczonych

powierzchniami:

a) zyx =+ 22 i ( )222 2−=+ zyx dla z < 2,

b) 4222 =++ zyx , 9222 =++ zyx , 222 zyx =+ dla

22 yxz +≥ i y > 0.

Rozwiązanie

a) Rozwiązujemy układ ( )⎩⎨⎧

−=+=+

222

22

2zyxzyx

w celu wyznaczenia

krzywej przecięcia paraboloidy zyx =+ 22 ze stożkiem

( )222 2−=+ zyx . Podstawiając do drugiego równania w miejsce

22 yx + wyrażenie z, otrzymujemy równanie ( )22 2−= zz ,

którego rozwiązaniem są liczby 11 =z i 42 =z . Ponieważ z <

2, więc krzywą przecięcia obu powierzchni będzie okrąg o równaniu

122 =+ yx . Zatem zbór punktów ograniczony podanymi

powierzchniami można opisać następującym układem nierówności:

14.13

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−≤≤+−≤≤−−

≤≤−

2222

22

211

11

yxzyxxyx

x

.

b) Dwa pierwsze równania ,tj. 4222 =++ zyx i

9222 =++ zyx , są równaniami sfery, natomiast trzecie

równanie,tj. 222 zyx =+ , jest równaniem stożka. Aby

wyznaczyć krzywe przecięcia obu sfer ze stożkiem należy

rozwiązać następujące dwa układy:

⎩⎨⎧

=+=++

222

222 4zyx

zyx i ⎩⎨⎧

=+=++

222

222 9zyx

zyx

Podstawiając w obu układach do równania pierwszego w miejsce 2z wyrażenie 22 yx + , otrzymujemy odpowiednio równania

22 =z oraz 292 =z . Stąd rozwiązaniem pierwszego układu jest

okrąg 222 =+ yx , a drugiego układu okrąg 2922 =+ yx .

Uwzględniając dodatkowe założenia, zbiór punktów ograniczony

podanymi powierzchniami możemy zapisać następującymi

układami nierówności:

14.14

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−≤≤−−−≤≤≤≤−

2222

2

9420

22

yxzyxxy

x

,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−≤≤+

−≤≤

≤≤−≤≤−

2222

2

9290

29x2 lub 2

29

yxzyx

xy

x

,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−≤≤+

−≤≤−

≤≤−

2222

22

9292

22

yxzyx

xyx

x

.

14.3. Zadania 14.1. Napisać równanie powierzchni powstałej przez obrót dookoła osi zadanej krzywej: a) a) oś OZ , prosta: x = t +1 , y = t − 1, z = t,

b) oś OZ , krzywa: 194

22

=−zx

,

c) oś OX , prosta: x = t + 1, y = 2t + 4, z = 3t + 6, d) oś OY, prosta: x + y − 2= 0, x + z − 1 = 0,

e) oś OZ , krzywa: 12 2 += xz ,

f) oś OX i oś OY , krzywa: 1by

ax

2

2

2

2=+ ,

14.15

g) oś OX i oś OY, krzywa: 12

2

2

2

=−by

ax

,

h) oś OX i oś OY , krzywa: xey −= .

14.2. Wyznaczyć współrzędne środka i promień sfery danej równaniem:

a) 0424222 =−+−++ zyxzyx ,

b) 02642222 =−+−+++ zyxzyx ,

c) 04934222 =+−−++ zyzyx .

W każdym przypadku znaleźć przecięcie sfery z osiami i płaszczyznami układu. 14.3. W układzie OXYZ narysować powierzchnie: a) 09424222 =+−+−++ zyxzyx , b) 0622 =−+ zy ,

c) 052

222

=+

+−zyx

, d) 1259

22

=+zx

, e) xz 42 = ,

f) 0984 222 =−−++ yxyz , g) 024489 222 =−+−−− zxzyx . Dla podanych powierzchni znaleźć punkty przecięcia z osiami układu oraz krzywe przecięcia z płaszczyznami układu. 14.4. Sprowadzić do postaci kanonicznej równania: a) 01624222 =−−+−++ zyxzyx ,

b) 0442 222 =−++ zzyx , c) 028642 22 =+−+−− zyxyx ,

d) 03222 =−−+ zyz , e) zyz 163416 2 +=− , f) 01222 22 =−−+− yzxyzx ,

g) 0986262255 222 =+−−++−+++ zyxyzxzxyzyx . 14.5. Wyznaczyć rzuty na płaszczyzny układu krzywej powstałej w wyniku przecięcia danej powierzchni płaszczyzną:

14.16

a) 118232

222

=−+zyx

, 018 =−z ,

b) 11625

1625

16 222

=++zyx

, 5z = 12x,

c) 222 zyx =+ , x + 2z − 3 = 0,

d) 49

22 xyz −= , z = 1 , z = 0, y = −3, x = 2.

14.6. Dane są powierzchnie o równaniach:

1) zyx =+ 22, 2) xyx =+ 22 , 3) xyx 222 =+ , 4) z = 0.

Znaleźć równania krzywych powstałych z przecięcia wszystkich par danych powierzchni. 14.7. Za pomocą nierówności opisać zbiór punktów ograniczony powierzchniami: a) x = 0, x = 3, y = 1, y = 4, z = −1, z = 2, b) z = 0, x = 0, y = 0, 2x + y = 1, 422 ++= yxz ,

c) 2

22

94yzx

=+ , yzx 294

22

−=+ ,

d) 4222 =++ zyx , 9222 =++ zyx , 222 zyx =+ ,

dla x,y > 0 i 222 zyx ≤+ , e) 2222 Rzyx =++ , Ryzy =+ 22 . 14.8. Za pomocą nierówności opisać zbiór punktów ograniczony wszystkimi czterema powierzchniami z zadania 14.6.