1

2.5. RDZEŃ PRZEKROJU Rdzeniem przekroju nazywamy obszar wypukły wokół jego środka ciężkości, w którym przyłożona siła rozciągająca (ściskająca) wywołuje naprężenia jednakowego znaku w całym przekroju

Równanie osi obojętnej

0122

=++ oy

Po

z

P ziz

yiy

można przedstawić w dwóch, alternatywnych postaciach

1=+z

o

y

o

az

ay

(1)

albo

1=+z

P

y

P

bz

by

(2)

gdzie

o

yz

o

zy

P

yz

P

zy

z

ib

yi

b

z

ia

yi

a

22

22

,

,

−=−=

−=−= (3)

Równanie (1) możemy interpretować jako zależność między ustalonymi współrzędnymi

PP zy , punktu przyłożenia siły a zmiennymi współrzędnymi oo zy , punktów leżących na osi obojętną (rys. 1).

Rys. 1

2

Natomiast równanie (2) – jako zależność między ustalonymi współrzędnymi oo zy , punktu

przecięcia się osi obojętnych (środka pęku prostych) a zmiennymi współrzędnymi PP zy , punktów przyłożenia siły leżących na prostej (rys. 2).

Rys. 2

Z analizy powyższych równań możemy wyciągnąć następujące wnioski: Wniosek 1. Oddalaniu (przybliżaniu) się punktu przyłożenia siły od (do) środka ciężkości przekroju poprzecznego towarzyszy przybliżanie (oddalanie) się osi obojętnej do (od) środka ciężkości i odwrotnie.

Wniosek 2. Osi obojętnej stycznej do boku wieloboku wypukłego obrysowanego na przekroju przypisany jest punkt przyłożenia siły będący wierzchołkiem rdzenia przekroju.

Wniosek 3. Obrotowi osi obojętnej wokół ustalonego punktu odpowiada przemieszczanie się punktu przyłożenia siły po prostej.

Wniosek 4. Pękowi osi obojętnych przechodzących przez wierzchołek wieloboku wypukłego obrysowanego na przekroju przypisana jest prosta przechodząca przez bok rdzenia przekroju. Z powyższego wynikają następujące dwa następujące sposoby wyznaczania rdzenia przekroju: Sposób 1. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym i wyznaczamy współrzędne i

Py

i iPz wierzchołków iW jego rdzenia z następujących wzorów

nia

iz

ai

yiz

yiPi

y

ziP ...1,,

22

=−=−= (4)

gdzie i

ya i iza oznaczają odpowiednio odcięte i rzędne punktów przecięcia osi obojętnych

iO przechodzących przez boki wieloboku z osiami głównymi, natomiast n jest liczbą tych

wierzchołków. Jeśli punkty te nie leżą na osiach głównych, to ich współrzędne iya i i

za

wyznaczamy z zależności

izik

oijo

iko

ijoi

yiko

ijo

iko

ijo

iko

ijoi

z azzyy

ayy

yzzya

−−−=

−−= , (5)

3

gdzie iko

iko

ijo

ijo zyzy ,,, są znanymi współrzędnymi wierzchołków j i k wieloboku leżących

na osi obojętnej iO . Następnie łączymy otrzymane wierzchołki otrzymując rdzeń przekroju. Sposób 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym i wyznaczamy współrzędne i

yb

i izb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia przekroju

z osiami głównymi

niz

ib

yi

bio

yizi

o

ziy ...1,,

22

=−=−= (6)

gdzie i

oy i ioz są współrzędnymi wierzchołków (środka pęku osi obojętnych) i wieloboku

wypukłego obrysowanego na przekroju, natomiast n jest liczbą tych wierzchołków. Punkty przecięcia się prostych wyznaczają wierzchołki rdzenia przekroju. Jeśli punkty te nie leżą na osiach głównych należy wyznaczyć ich współrzędne ij

Py i ijPz . Wykorzystujemy w tym

celu zależności

iz

ijPi

y

izij

P

jy

jz

iy

iz

jz

izij

P bybb

z

bb

bb

bby +−=

−

−= , (7)

albo

iy

ijPi

z

iyij

P

jz

jy

iz

iy

jy

iyij

P bzb

by

b

b

b

b

bbz +−=

−

−= , (7’)

gdzie

iz

iy bb , współrzędne przecięcia prostej ip z osiami okładu

jz

jy bb , współrzędne przecięcia prostej jp z osiami okładu

Wnioski − rdzeń przekroju jest zawsze figurą wypukłą,

− ma tyle wierzchołków, ile boków ma wielobok wypukły obrysowany na przekroju,

− w przypadku symetrycznego przekroju jest figurą symetryczną,

− jego wierzchołek leży na osi głównej, jeśli bok wieloboku jest do niej prostopadły.

Przykłady Przykład 1. W przypadku przekroju jak na rys. P1.1 należy wyznaczyć jego rdzeń. Dane: hb, Szukane: Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju

4

Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju

1212,

1212

12,

12,

2

3

22

3

2

33

bhb

bh

AI

ih

hb

hb

A

Ii

bhI

hbIhbA

zz

yy

zy

=⋅

⋅

===⋅

⋅

==

⋅=⋅=⋅=

rys. P1.1 Krok 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym, który w analizowanym przypadku jest prostokątem będącym obrysem zadanego przekroju (rys. P1.1). Sposób 1 Sprowadzamy wzory (4) do postaci

4,3,2,1,12

,12

2222

=−=−=−=−= ia

ha

iz

ab

ai

yiz

iz

yiPi

yiy

ziP

Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i

ya i iza punktów przecięcia osi obojętnych iO przechodzących przez

boki obrysu przekroju (prostokąta) z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku osi 1O i 2O (rys. P1.2)

2, 11

1

haaO zy =∞→→

∞→=→ 222 ,

2 zy ab

aO

Krok 4. Obliczamy współrzędne i

Py i iPz wierzchołków iW rdzenia przekroju. Z uwagi na symetrię przekroju

wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1W i 2W

−→−=−=−==−=6

,0,6

21212

,012 1

2

1

21

1

21 h

Wh

hh

ah

za

by

zP

yP

5

−→=−=−=−=−= 0,6

,012

,6

21212 21

21

2

2

22 b

Wa

hz

bb

ba

by

zP

yP

Z symetrii przekroju wynika, że ( )6,03 hW , ( )0,64 bW .

rys. P1.2 Krok 5. Łączymy wyznaczone wierzchołki (wszystkie leżą na osiach głównych) otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju (rys. P1.2). Sposób 2. Sprowadzamy wzory (6) do postaci

4...1,12

,12

2222

=−=−=−=−= iz

h

z

ib

y

b

y

ib

io

io

yizi

oio

ziy

Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i

oy i ioz wierzchołków obrysu przekroju (prostokąta). Z uwagi na symetrię

przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1 i 2 (rys. P1.3)

2,

21 11 h

zb

y oo ==→

2,

22 22 h

zb

y oo −==→

Krok 4. Obliczamy współrzędne i

yb i izb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia

przekroju z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku prostych

1p i 2p

62

1212,

62

1212

2

1

21

2

1

21

1h

hh

z

hb

bb

b

y

bbp

oz

oy −=

⋅−=−=−=

⋅−=−=→

622

1212,

62

1212

2

2

22

2

2

22

2h

hhh

z

hb

bb

b

y

bbp

oz

oy =

−⋅−=−=−=

⋅−=−=→

6

Z symetrii przekroju wynika, że proste 3p i 4p są zwierciadlanym odbiciem prostych 1p i 2p .

rys. P1.3 Krok 5. Nanosimy wyznaczone proste na rysunek otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju, którego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia tych prostych (rys. P1.3). Ponieważ punkty te leżą na osiach głównych przekroju, to jak łatwo sprawdzić ich współrzędne są identyczne jak wyznaczone sposobem 1. Przykład 2. W przypadku przekroju jak na rys. P2.1 należy wyznaczyć jego rdzeń.

Rys. P2.1 Dane: a Szukane: Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju

( ) ( ) ( )

22

2

422

2

42

4323

43

2

67.03

2

12

8,2

12

24

812

262

32

226

3626

2,2436

622

122

622

aa

a

aAI

iaa

aA

Ii

aaa

aaaaa

Iaaa

I

aaa

A

zz

yy

zy

=======

=⋅⋅=

⋅⋅+⋅==⋅⋅=

=⋅⋅=

7

Krok 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym, który w analizowanym przypadku jest trójkątem będącym obrysem zadanego przekroju (rys. P2.1). Sposób 1 Sprowadzamy wzory (4) do postaci

3,2,1,2

,3

2 2222

=−=−=−=−= ia

a

a

iz

a

a

a

iy

iz

iz

yiPi

yiy

ziP

Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i

ya i iza punktów przecięcia osi obojętnych iO przechodzących przez

boki obrysu przekroju (trójkąta) z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku osi 1O i 2O (rys. P2.2)

Rys. P2.2

aaaaaO zy 4,33.134 11

1 ===→

aaaO zy 2, 22

2 −=∞→→

Krok 4. Obliczamy współrzędne i

Py i iPz wierzchołków iW rdzenia przekroju. Z uwagi na symetrię przekroju

wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1W i 2W

( )aaWaa

aa

a

aza

aa

a

a

ay

zP

yP 5.0;5.05.0

2422

,5.02

34

3

2

3

21

2

1

21

2

1

21 −−→−=−=−=−=−=−=

⋅−=−=

( )aWaa

a

a

az

a

ay

zP

yP ;0

222

,03

22

2

2

22

2

22 →=

−−=−==−=

Z symetrii przekroju wynika, że ( )aaW 5.0,5.03 − . Krok 5. Łączymy wyznaczone wierzchołki otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju (rys. P2.2). Sposób 2. Sprowadzamy wzory (6) do postaci

8

3...1,2

,3

2 2222

=−=−=−=−= iz

a

z

ib

y

a

y

ib

io

io

yizi

oio

ziy

Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i

oy i ioz wierzchołków obrysu przekroju (prostokąta). Z uwagi na symetrię

przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1 i 2 (rys. P2.3)

azy oo 4,01 11 ==→

azay oo 2,22 22 −==→

Rys. P2.3 Krok 4. Obliczamy współrzędne i

yb i izb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia

przekroju z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku prostych

1p i 2p

aa

aa

by

abp zi

oy 5.0

242

,3

2 21

21

1 −=−=−=−∞→−=→

aa

a

z

aba

aa

a

y

abp

oz

oy =

−−=−=−=−=

⋅−=−=→

222

,33.0323

2

3

2 2

2

22

2

2

22

2

Z symetrii przekroju wynika, że prosta 3p jest zwierciadlanym odbiciem prostej 2p . Krok 5. Nanosimy wyznaczone proste na rysunek otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju, którego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia tych prostych (rys. P2.3). Ponieważ punkt przecięcia się prostych 1p i 2p nie leży na żadnej z osi głównych, to do wyznaczenia jego współrzędnych wykorzystamy zależności (7), z których wynika, że

aaa

byb

bza

aa

aa

b

b

b

b

bby zP

y

zP

y

z

y

z

zzP 5.0

220,5.0

2302 112

1

112

2

2

1

1

2112 −=−=−=+−=−=−=

+

−−=

−

−=

Przykład 3. W przypadku przekroju jak na rys. P3.1 należy wyznaczyć jego rdzeń. Dane: a

9

Szukane: Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju

( ) ( )

22

2

4

222

2

42

4433

433

2

917.012

11

62

11

,667.03

2

6

4

5.52

1112

2124

,432

34

624

aa

a

a

AI

iaa

a

aA

Ii

aaaaaa

Iaaaaa

I

aaaaaA

zz

yy

zy

========

==⋅+⋅==⋅+⋅=

=⋅+⋅=

Rys. P3.1 Krok 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym, który w analizowanym przypadku jest sześciobokiem (rys. P3.2) Sposób 1 Sprowadzamy wzory (4) do postaci

6,...,1,32

,1211 2222

=−=−=−=−= iaa

a

iz

aa

ai

yiz

iz

yiPi

yiy

ziP

Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i

ya i iza punktów przecięcia osi obojętnych iO przechodzących przez

boki obrysu przekroju (sześciokąta) z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku osi 1O do 4O (rys. P3.2)

aaaO zy 2, 111 =∞→→

38

,2 222

aaaaO zy ==→

∞→=→ 33

3 ,2 zy aaaO

aaaO zy −=∞→→ 44

4 ,

Uwaga. Współrzędną 2

za obliczono z zależności (5), przyjmując, że 2,1,22 ===→ kjiO

10

aaa

aa

azz

yyaaa

aa

aaa

yy

yzzya Z

oo

ooy

oo

ooooz 2

38

02

22,67.2

38

22

2202 2

2221

22212

2221

222122212 =⋅

−

−−=

−−−===

−

⋅−⋅=

−−=

gdzie wykorzystano współrzędne punktów ( )aa 2,21 i ( )0,22 a ; można ją też wyznaczyć z warunku

38

232

22

2 aa

aa

aa

zz =→=

Rys. P3.2 Krok 4. Obliczamy współrzędne i

Py i iPz wierzchołków iW rdzenia przekroju. Z uwagi na symetrię przekroju

wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1W do 4W

( )aWaa

aa

aa

zaa

y iz

Py

P 33.0;0,333.0323

232

,01211

1

221

1

21 −→−=−=

⋅−=−==−=

( )aaWaa

aa

aa

zaaa

aa

aa

yz

Pyy

P 25.0;46.0,25.04

38

3

232

,458.02411

21211

1211

2

2

2

22

1

2

2

22 −−→−=−=

⋅−=−=−=−=

⋅−=−=

( )0;46.0,032

,458.02411

21211

1211

33

23

1

2

3

23 aW

aa

zaaa

aa

aa

yz

Pyy

P −→=−=−=−=⋅

−=−=

( ) ( )aWaa

aa

a

az

a

ay

zP

yP 67.0;0,667.0

32

32

3

2,0

12

114

2

4

24

4

24 →==

−⋅−=−==−=

Z symetrii przekroju wynika, że ( )0,46.05 aW , ( )aaW 25.0,46.06 − . Krok 5. Łączymy wyznaczone wierzchołki (wszystkie leżą na osiach głównych) otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju (rys. P3.2). Sposób 2. Sprowadzamy wzory (6) do postaci

6,...,1,3

2,

12

11 2222

=−=−=−=−= iz

a

z

ib

y

a

y

ib

io

io

yizi

oio

ziy

11

Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i

oy i ioz wierzchołków i obrysu przekroju (sześciokąta). Z uwagi na

symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku wierzchołków 1 do 3 (rys. P3.3)

aza

y oo 2,2

1 11 ==→

0,22 22 ==→ oo zay

azay oo −==→ 33 ,23

Rys. P3.3 Krok 4. Obliczamy współrzędne i

yb i izb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia

przekroju z osiami głównymi. Z uwagi na symetrię przekroju wystarczy to uczynić tylko w przypadku prostych

1p do 3p

aa

aa

z

aba

aa

a

y

abp

oz

oy 33.0

3232

3

2,83.1

611

212

11

12

11 2

1

21

2

1

21

1 −=−=⋅

−=−=−=−=⋅

−=−=→

−∞→−=−=⋅

−=−=→ 22

2

22

2 ,46.02411

21211

12

11z

oy ba

aa

a

y

abp

( ) aa

aa

z

aba

aa

a

y

abp

oz

oy 67.0

32

32

3

2,46.0

2411

21211

12

11 2

3

23

2

3

23

3 ==−⋅

−=−=−=−=⋅

−=−=→

Z symetrii przekroju wynika, że proste 4p i 5p są zwierciadlanym odbiciem prostych 3p i 2p . Krok 5. Nanosimy wyznaczone proste na rysunek otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju, którego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia tych prostych (rys. P3.3). Ponieważ punkt przecięcia się prostych 1p i 2p nie leży na żadnej z osi głównych, to do wyznaczenia jego współrzędnych wykorzystamy zależności (7’), z których wynika, że

aaa

a

bzb

bya

a

a

a

aa

b

b

b

b

bbz yP

z

yP

z

y

z

y

yyP 46.0

2411

611

142

11

,25.04

0

3

611

2411

611

1121

112

2

2

1

1

2112 −=−=−=+−=−=−=

+−

−

+−=

−

−=

12

Przykład 4 . W przypadku przekroju jak na rys. P4.1 należy wyznaczyć jego rdzeń. Dane dotyczące charakterystyk geometrycznych przekroju pochodzą z przykładu 3 wykładu „Charakterystyki geometryczne przekroju”. Dane: 442o 76,232,5.36,43.31, aIaIaAa zyG ====ϕ

Współrzędne środka ciężkości przekroju

( )aaC 79.4;42.5 Współrzędne jego wierzchołków w układzie osi głównych ggzCy

( ) ( ) ( ) ( )aaaaaaaa 87.3,85.24,43.5;29.03,4.1;87.32,56.5;96.21 −−−−−

Szukane: Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju

Rys. P4.1 Rozwiązanie Krok 1. Wyznaczamy charakterystyki geometryczne przekroju. W rozważanym przykładzie są to promienie bezwładności

22

422

2

42 09.2

5.3676

,36.65.36

232a

aa

AI

iaaa

A

Ii z

zy

y ======

Krok 2. Obrysowujemy przekrój wielobokiem wypukłym, który w analizowanym przypadku jest czworobokiem (rys. P4.2) Sposób 1 Sprowadzamy wzory (4) do postaci

4,...,1,36.6

,09.2 2222

=−=−=−=−= ia

aa

iz

aa

ai

yiz

iz

yiPi

yiy

ziP

Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i

ya i iza punktów przecięcia osi obojętnych iO przechodzących przez

boki obrysu przekroju (czworokąta) z osiami głównymi (rys. P4.2). Wykorzystujemy w tym celu zależności (5)

2,1,11 ===→ kjiO

13

aaaa

aaa

zz

yyaa

aaaaaa

yy

yzzya i

zio

io

ooy

oo

ooooz 17.676.3

4.156.587.396.2

,76.387.396.2

87.356.54.196.21211

12111

1211

121112111 =⋅

−−−−=

−−−==

−−⋅−⋅−=

−−=

3,2,22 ===→ kjiO

( ) ( ) ( ) aa

aaaa

azz

yyaa

aaaaaa

yy

yzzya zi

oio

ooy

oo

ooooz 01.395.4

43.54.129.087.3

,95.429.087.3

29.04.143.587.3 22322

23222

2322

232223222 =−⋅

++−=

−−−=−=

+−⋅−−⋅=

−−=

4,3,33 ===→ kjiO

( ) ( ) aaaa

azz

yyaa

aaaa

yy

yzzya zi

oio

ooy

oo

ooooz 21.961.5

87.343.585.229.0

,61.585.229.0

85.243.587.329.0 33433

34333

3433

343334333 −=−⋅

+−+−−=

−−−=−=

+−−⋅+⋅=

−−=

1,4,44 ===→ kjiO

( ) ( ) ( ) aaa

azz

yyaa

aa

yy

yzzya zi

oio

ooy

oo

ooooz 90.23.248

56.587.396.285.2

,3.24896.285.2

96.287.356.585.2 44144

41444

4144

414441444 −=−

−−+−−=

−−−=−=

+−−⋅−−⋅−=

−−=

Rys. P4.2 Krok 4. Obliczamy współrzędne i

Py i iPz wierzchołków iW rdzenia przekroju

( )aaWaaa

aa

zaaa

aa

y iz

Py

P 69.1,34.069.176.336.636.6

,34.017.609.209.2

1

221

2

1

21 −−→−=−=−=−=−=−=

( )aaWaa

aa

aza

aa

aa

yz

Py

P 28.1,69.028.195.4

36.636.6,69.0

01.309.209.2

2

2

2

22

2

2

22 −→=

−−=−=−=−=−=

( )aaWaa

aa

aza

aa

aa

yz

Py

P 13.1,23.013.161.5

36.636.6,23.0

21.909.209.2

3

2

3

23

2

3

23 →=

−−=−==

−−=−=

( )aaWaa

aa

aza

aa

aa

yz

Py

P 026.0,72.003.027,248

36.636.6,72.0

90.209.209.2

4

2

4

24

2

4

24 →=

−−=−==

−−=−=

a więc ( )aaW 69.1,34.01 −− , ( )aaW 28.1,69.02 − , ( )aaW 13.1,23.03 , ( )aaW 026.0,72.04 .

14

Krok 5. Łączymy wyznaczone wierzchołki otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju (rys. P4.2). Sposób 2 Sprowadzamy wzory (6) do postaci

4,...,1,36.6

,09.2 2222

=−=−=−=−= iz

a

z

ib

y

a

y

ib

io

io

yizi

oio

ziy

Krok 3. Wyznaczamy współrzędne i

Oy i iOz wierzchołków i obrysu przekroju (czworokąta rys. P4.3). W

rozważanym przykładzie współrzędne te są dane

azay oo 56.5,96.21 11 =−=→

azay oo 4.1,87.32 22 ==→

azay oo 43.5,29.03 33 −=−=→

azay oo 87.3,85.24 44 −=−=→

Rys. P4.3

Krok 4. Obliczamy współrzędne iyb i i

zb punktów przecięcia prostych ip przechodzących przez boki rdzenia

przekroju z osiami głównymi

aaa

z

iba

aa

y

ibp

o

yz

o

zy 14.1

56.536.6

,71.096.2

09.2 2

1

21

2

1

21

1 −=−=−==−

−=−=→

aaa

z

iba

aa

y

ibp

o

yz

o

zy 54.4

4.136.6

,54.087.309.2 2

2

22

2

2

22

2 −=−=−=−=−=−=→

aa

a

z

iba

aa

y

ibp

o

yz

o

zy 17.1

43.536.6

,21.729.0

09.2 2

3

23

2

3

23

3 =−

−=−==−

−=−=→

aa

a

z

iba

aa

y

ibp

o

yz

o

zy 64.1

87.336.6

,73.085.2

09.2 2

4

24

2

4

24

4 =−

−=−==−

−=−=→

15

Krok 5. Nanosimy wyznaczone proste na rysunek otrzymując poszukiwany rdzeń przekroju, którego wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia tych prostych (rys. P4.3). Ponieważ punkty przecięcia się wyznaczonych prostych nie leży na żadnej z osi głównych, to do wyznaczenia ich współrzędnych wykorzystamy zależności (7), z których wynika, że

( ) aaaaa

bybb

za

aa

aa

aa

bb

bb

bby zP

y

zP

y

z

y

z

zzP 69.114.134.0

71.014.1

,34.0

54.054.4

71.014.1

54.414.1 1121

112

2

2

1

1

2112 −=−−−−=+−=−=

−−−−

+−=−

−=

( ) aaaaa

bybb

za

aa

aa

aa

bb

bb

bby zP

y

zP

y

z

y

z

zzP 26.154.469.0

54.054.4

,69.0

21.717.1

54.054.4

17.154.4 2232

223

3

3

2

2

3223 =−−

−−−=+−=−=

−−−−

−−=−

−=

aaaaa

bybb

za

aa

aa

aa

bb

bb

bby zP

y

zP

y

z

y

z

zzP 13.117.123.0

21.717.1

,23.0

73.064.1

21.717.1

64.117.1 3343

334

4

4

3

3

4334 =+⋅−=+−==

−

−=−

−=

aaaaa

bybb

za

aa

aa

aa

bb

bb

bby zP

y

zP

y

z

y

z

zzP 022.064.172.0

73.064.1

,72.0

71.014.1

73.064.1

14.164.1 4414

441

1

1

4

4

1441 =+⋅−=+−==−−

+=−

−=

a więc ( )aaW 69.1,34.01 −− , ( )aaW 26.1,69.02 − , ( )aaW 13.1,23.03 , ( )aaW 02.0,72.04

Zagadnienia na egzamin

1. Zdefiniować rdzeń przekroju i omówić sposób jego wyznaczenia na przykładzie przekroju prostokątnego.

Dodatki

D1. Wyznaczenie współrzędnych iz

iy aa , punktu przecięcia osi obojętnej iO z osiami

układu odniesienia Oyz

Równanie osi obojętnej iO przechodzącej przez punkty j i k ma postać (rys. D1)

Rys. D1

16

iz

ikoi

y

izik

oiz

ijoi

y

izij

o aya

azay

a

az +−=+−= ,

gdzie

iko

iko

ijo

ijo yzyz ,,, znane współrzędne punktów j i k , leżących na osi obojętnej iO

iz

iy aa , poszukiwane współrzędne punktów przecięcia osi obojętnej iO z osiami Oy i Oz

Odejmując powyższe równania stronami otrzymujemy

( )iko

ijoi

y

izik

oijo yy

a

azz +−=−

Z powyższego wynika, że

iko

ijo

iko

ijo

iy

iz

yy

zz

a

a

−−−=

Zatem

iz

ijoik

oijo

iko

ijoi

zijoi

y

izij

o ayyy

zzay

a

az +

−−=+−=

Przekształcając powyższe wyrażenie dostajemy

( ) ( )iko

ijo

iko

ijo

iko

ijo

iko

ijo

iko

ijo

ijo

iko

ijo

ijoj

oiko

ijo

iko

ijoij

oiz

yy

yzzy

yy

zzyyyzy

yy

zzza

−−=

−−−−=

−−−=

Ostatecznie

izik

oijo

iko

ijoi

yiko

ijo

iko

ijo

iko

ijoi

z azz

yya

yy

yzzya

−−−=

−−= ,

D2. Wyznaczenie współrzędnych ij

PijP yy , punktu przecięcia prostych ip i jp

Sprowadzamy równanie (2) do postaci kierunkowej, którą w przypadku dwóch prostych ip i jp określają

równania (rys. D2)

17

Rys. D2

jz

jPj

y

jzj

Piz

iPi

y

izi

P bybb

zbybb

z +−=+−= ,

albo

jy

jPj

j

jyj

Piy

iPi

z

iyi

P bzb

bybz

b

by +−=+−= ,

gdzie

iz

iy bb , współrzędne przecięcia prostej ip z osiami okładu

jz

jy bb , współrzędne przecięcia prostej jp z osiami okładu

Podstawiając do powyższych równań współrzędne punktu przecięcia tych prostych ij

Py i ijPz , czyli

przyjmując, że jP

iP

ijP yyy == oraz j

PiP

ijP zzz == , dostajemy

jz

ijPj

y

jzij

Piz

ijPi

y

izij

P bybb

zbybb

z +−=+−= ,

albo

jy

ijPj

z

jyij

Piy

ijPi

z

iyij

P bzb

bybz

b

by +−=+−= ,

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

iz

ijPi

y

izij

P

jy

jz

iy

iz

jz

izij

P bybb

z

bb

bb

bby +−=

−

−= ,

albo

iy

ijPi

z

iyij

P

jz

jy

iz

iy

jy

iyij

P bzb

by

b

b

b

b

bbz +−=

−

−= ,