10 Miskiewicz-Nawrocka Wplyw redukcji szumu.pdf

Monika Miśkiewicz-Nawrocka Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach

WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA STABILNOŚĆ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH

Wprowadzenie

Największy wykładnik Lapunowa, obok wymiaru korelacyjnego, jest jed-nym z głównych narzędzi służących do identyfikacji chaosu w układach dyna-micznych. Niektórzy autorzy uznają dodatnią wartość największego wykładnika Lapunowa za warunek konieczny i wystarczający obecności chaosu w układzie (Frank, Stengos, 1988, s. 103-133). Wykładniki Lapunowa dostarczają informa-cji na temat niestabilności trajektorii układu, ponieważ mierzą średnie tempo wykładniczej rozbieżności i zbieżności trajektorii dwóch początkowo bliskich sobie punktów przestrzeni stanów układu w kolejnych iteracjach, tzw. wrażli-wość układu na zmianę warunków początkowych.

Z twierdzenia Oseledeca (1968) oraz z twierdzeń podanych w pracy Eck-mann, Ruelle (1985) wynika, że wykładniki Lapunowa istnieją dla prawie wszystkich punktów należących do przestrzeni stanów układu dynamicznego oraz że są stałe dla prawie wszystkich punktów należących do basenu przyciągania atraktora rozważanego układu (Keliher, 2002, s. 7; Zawadzki, 1996, s. 161). Jed-nakże wspomniane wyżej twierdzenia dotyczą tylko układów deterministycz-nych. Dla szeregu czasowego generowanego przez deterministyczny układ cha-otyczny twierdzenie Oseledeca gwarantuje stabilność największego wykładnika Lapunowa niezależnie od liczby obserwacji szeregu. Natomiast dla szeregu czaso-wego generowanego przez układ stochastyczny, wzrost liczby obserwacji w szere-gu będzie powodował zmienność wartości największego wykładnika Lapunowa.

Monika Miśkiewicz-Nawrocka 102

W opracowaniu zbadano wpływ liczby obserwacji w szeregach czasowych na wartości największego wykładnika Lapunowa. Dodatkowo stabilność naj-większego wykładnika Lapunowa zbadano w szeregach poddanych procedurze redukcji szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów. Badania empiryczne przeprowadzono z wykorzystaniem rzeczywistych danych natury ekonomicznej. Do przeprowadzenia niezbędnych obliczeń wykorzystano program napisany przez autora w języku Delhi oraz arkusz kalkulacyjny Excel.

1. Największy wykładnik Lapunowa

Dla układu dynamicznego ( )fX , , w którym mR⊂X , ( )1: ≥→ mXXf , wykładniki Lapunowa są zdefiniowane jako granice (Zawadzki, 1996, s. 161):

( ) ( ) mixnn

x ini ...,,1,,ln1lim 00 ==∞→

μλ , (1)

gdzie: ( )0, xniμ – wartości własne macierzy ( )0xDf n ,

( )0xDf n – macierz Jacobiego odwzorowania nf równa

( ) ( ) ( ) ( )0110 ... xDfxDfxDfxDf nn ⋅⋅= − ,

nf – n-krotne złożenie funkcji f,

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

= xxfxDf

j

i , if – składowe odwzorowania f,

mji ,...,2,1, = . Zgodnie z twierdzeniem Oseledeca, dla m-wymiarowego układu dynamicz-

nego ( )fm ,R istnieje m wykładników Lapunowa spełniających warunek

1+≥ ii λλ , dla 1,...,1 −= mi . Największy z nich max1 λλ = mierzy średnie tempo zmian odległości początkowo bliskich sobie trajektorii, czyli tzw. wrażliwość układu na zmianę warunków początkowych.

W praktyce, dla rzeczywistych szeregów czasowych, gdy nie jest znana po-stać funkcji generującej f, wartość największego wykładnika Lapunowa szacuje się na podstawie zależności:

max0

λnn e⋅Δ=Δ , (2)

gdzie: 0Δ – początkowa odległość pomiędzy dwoma początkowo bliskimi (w sensie

metryki euklidesowej) punktami zrekonstruowanej przestrzeni stanów,

Wpływ redukcji szumu losowego… 103

nΔ – odległość pomiędzy tymi punktami po n iteracjach,

maxλ – największy wykładnik Lapunowa.

Zaproponowany niezależnie przez Rosensteina i in. (1993, s. 117-134) oraz Kantza (1994, s. 77) algorytm szacowania wartości największego wykładnika Lapunowa jest następujący (Kantz, Schreiber, 2005, s. 69-70): 1. W zrekonstruowanej przestrzeni stanów1 wyznaczamy najbliższych (w sensie

metryki euklidesowej) sąsiadów di j

x punktu dix , znajdujących się od niego

w odległości mniejszej niż ustalona wartość ε oraz spełniających warunek tii j >− , gdzie t jest liczbą naturalną2.

2. Obliczamy średnie odległości wszystkich najbliższych sąsiadów od kolej-nych punktów trajektorii jako funkcję upływu czasu. Uśrednioną wartość lo-garytmu odległości między trajektoriami można wyrazić wzorem:

( ) ( )∑ ∑= ∈

Δ+Δ+Δ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

N

i xOxtitit

di

dji

jxx

OnNd

1

1ln1

εε

, (3)

gdzie: ( )ixOε – otoczenie o promieniu ε wektora początkowego d

ix , ( )εOn – liczba wektorów w otoczeniu εO (liczba najbliższych sąsiadów).

3. Największy wykładnik Lapunowa szacuje się jako współczynnik regresji równania:

( ) ( ) tdd t Δ+=Δ λ0lnln (4)

na podstawie wykresu zależności tdΔ od t. Dla szeregów chaotycznych nachylenie prostej regresji wykresu ilustrującego

zależność nΔln od numeru iteracji n w początkowej fazie powinno być dodatnie.

maxλ szacuje się na podstawie zbiorów punktów należących do tego obszaru. Za-tem oszacowana wartość maxλ zależy nie tylko od wyboru metryki, liczby najbliż-szych sąsiadów, wymiaru zanurzenia, ale także od ustalonej wartości maxn , dla

której współczynnik regresji jest dodatni (Orzeszko, 2007, s. 131).

1 Wymiar zanurzenia można oszacować metodą najbliższych fałszywych sąsiadów. Zob. Kennel,

Brown, Abarbanel (1992, A. 45); Cao (2001). 2 Powyższy warunek stosuje się, aby zwiększyć prawdopodobieństwo, że najbliższy sąsiad nie

będzie należał do trajektorii wektora dix .W praktyce zazwyczaj przyjmuje się t = 10.


Dla układów stochastycznych powyższy algorytm jest w stanie oszacować tylko lokalny największy wykładnik Lapunowa, który mierzy lokalną stabilność układu i może być zależny od długości szeregu czasowego (ilości obserwacji) i warunków początkowych. Z badań przeprowadzonych przez Fernández- -Rodriguez i in. (2004) wynika, że istnienie dodatniej wartości największego wykładnika Lapunowa nie implikuje obecności chaosu w badanym szeregu cza-sowym. Autorzy pokazali interesującą zależność pomiędzy chaotycznymi a sto-chastycznymi szeregami czasowymi. Dla szeregów czasowych generowanych przez układy deterministyczne największy wykładnik Lapunowa stabilizuje się, a w niektórych przypadkach nieznacznie wzrasta, wraz ze wzrostem długości szeregu czasowego. Natomiast dla szeregów czasowych generowanych przez układy stochatyczne wartość największego wykładnika Lapunowa zawsze wzra-sta wraz ze zwiększającą się liczbą obserwacji w szeregu. 2. Redukcja szumu losowego

– metoda najbliższych sąsiadów

Rzeczywisty szereg czasowy opisany za pomocą zależności (Nowiński, 2007, s. 24):

( )ttt xfx η+=+1 , (5) ( ) ttt xhs ξ+= ++ 11 , ...,2,1,0=t (6)

można zapisać w skrócie w postaci addytywnej jako:

ttt ys ε+= , (7)

gdzie: XXf →: – odwzorowanie opisujące rzeczywistą dynamikę układu,

mR⊂X , X – przestrzeń stanów, Xxx tt ∈+1, , R→Xh : – funkcja pomiarowa generująca szereg czasowy obserwacji ts

układu dynamicznego, 1+ts – obserwacja szeregu czasowego w chwili 1+t ,

tη – szum dynamiczny wewnątrz układu,

tξ – szum pomiarowy, ( )ty – część deterministyczna szeregu czasowego, ( )tε – część stochastyczna szeregu.


Redukcja szumu losowego pozwala na podstawie analizy szeregu obserwacji ( )ts poznać własności szeregu ( )ty . Metoda najbliższych sąsiadów (NS) wywodzi

się z teorii nieliniowych układów dynamicznych i została stworzona do prognozo-wania przyszłych wartości szeregów czasowych (Lorenz, 1969, s. 636-646), ale może być również stosowana do redukcji szumu losowego w szeregach czasowych. W metodzie NS redukcji szumu losowego część deterministyczną ( )ty szeregu

czasowego buduje się na podstawie najbliższych sąsiadów (w sensie metryki eukli-desowej d-wymiarowej) wektorów d

ts zrekonstruowanej przestrzeni stanów układu dynamicznego opisanego szeregiem ( )ts .

Algorytm wyznaczania wartości ny , Nn <<1 szeregu czasowego ( )Nsss ,...,, 21 metodą najbliższych sąsiadów jest następujący (Kantz, Schre-

iber, 2004): 1. Dla oszacowanego wymiaru zanurzenia d oraz opóźnienia czasowego 1=τ

tworzymy wektor opóźnień w postaci:

( )( )11,....,, −++= dtttdt ssss , (8)

tak aby filtrowana obserwacja ns była jedną ze środkowych współrzędnych

wektora dts .

2. Wyznaczamy k najbliższych sąsiadów (w sensie odległości euklidesowej) wektora d

ts w postaci:

( ) ( ) ( )d

kldl

dl sss ,...,, 21 .

Często spotykanym w literaturze postulatem jest, aby liczba najbliższych są-siadów spełniała warunek ( ) ( )τ112 −−<≤+ dNkd (Casdagli, 1989, s. 340; Cao, Sofio, 1999, s. 425).

3. Na podstawie wyznaczonych sąsiadów obliczamy wartość ny jako średnią

arytmetyczną pierwszych współrzędnych k najbliższych sąsiadów:

( )∑=

=k

iiln s

ky

1

1. (9)


3. Badania empiryczne

Przedmiotem badania były logarytmy dziennych stóp zwrotu: kursu euro (EUR) wobec złotego, cen Żywca (ZWC) oraz indeksu giełdowego WIG20 w postaci:

1lnln −−= ttt ssx , (10)

gdzie st – obserwacja szeregu, notowane w okresie 7.01.1992-28.12.2012. W celu zbadania stabilności największego wykładnika Lapunowa w układach dynamicznych opisanych za pomocą wyżej wymienionych szeregów czasowych pod uwagę wzięto różne długości badanych szeregów. Szczegółowe informacje dotyczące zakresu szeregów czasowych zawiera tabela 1. W ten sposób dla każ-dego z szeregów EUR, ZWC i WIG20 zbudowano po 21 szeregów o mniejszej liczbie obserwacji, ale tym samym warunku początkowym, tj. pierwszej obser-wacji. Symbolem NazwaSzeregu_BS_k oznaczono szeregi poddane dodatkowo procedurze redukcji szumu losowego metodą najbliższych sąsiadów.

Tabela 1

Charakterystyka badanych szeregów czasowych

Nazwa szeregu

Zakres czasowy

Nazwa szeregu

Zakres czasowy

Nazwa szeregu

Zakres czasowy

EUR_1 ZWC _1 WIG20_1

7.01.1992- 28.12.2007


7.01.1992- 30.09.2009

EUR_15 ZWC _15 WIG20_15

7.01.1992- 30.06.2011


7.01.1992- 30.06.2008


7.01.1992- 30.12.2009

EUR_16 ZWC _16 WIG20_16

7.01.1992- 30.09.2011


7.01.1992- 30.06.2008

EUR_10 ZWC _10 WIG20_10

7.01.1992- 30.03.2010

EUR_17 ZWC _17 WIG20_17

7.01.1992- 30.12.2011


7.01.1992- 30.09.2008

EUR_11 ZWC _11 WIG20_11

7.01.1992- 30.06.2010

EUR_18 ZWC _18 WIG20_18

7.01.1992- 30.03.2012


7.01.1992- 30.12.2008

EUR_12 ZWC _12 WIG20_12

7.01.1992- 30.09.2010

EUR_19 ZWC _19 WIG20_19

7.01.1992- 30.06.2012


7.01.1992- 30.03.2009

EUR_13 ZWC _13 WIG20_13

7.01.1992- 30.12.2010

EUR_20 ZWC _20 WIG20_20

7.01.1992- 30.9.2012


7.01.1992- 30.06.2009

EUR_14 ZWC _14 WIG20_14

7.01.1992- 30.03.2011

EUR_21 ZWC _21 WIG20_21

7.01.1992- 28.12.2012

W tabelach 2-4 zamieszczonych w załączniku przedstawiono szczegółowe

wyniki szacowania największego wykładnika Lapunowa dla badanych szeregów czasowych. Znakiem „-” oznaczono sytuację, w której oszacowanego współczyn-nika regresji nie powinno się traktować jako największego wykładnika Lapunowa.

ww

R

R

wśzbtsdzs

więw b

Rys.

Rys.

wanświaznacbliżtodąszerdla zeraspow

Nększbada

. 1. S

. 2. S

O

nychadccznższyą naregityc

a. Dwod

Na pzegoany

Stab

Stab

blic

h sczyćny. Pych ajbli nih sz

Dla dow

ponio w

ych

bilno

bilno

czon

szerć o Podsąsliżsieprzereszer

wała

iższwyksze

ość n

ość n

ne

regóobe

dobsiadzycrzefegóregua zw

zychkładereg

najw

najw

war

ów ecnne

dówch sfiltroów su Wwięk

h wdnikgach

więk

więk

rtoś

czanoścwy

w NSsąsiowasą w

WIGksz

wykka Lh cz

szeg

szeg

ści

asowci chynikS. Dadóane

więkG_2enia

Wp

kresaLapzaso

go w

go w

naj

wychao

ki otDla ów e. Pksze0 rea w

pływ

achpunowy

wykł

wykł

wię

ch osu trzyszewyko pe, jeedu

warto

w red

h (ryowych

ładni

ładni

ększ

są w b

ymaeregykazprzeedn

ukcjości

dukc

ysua w

h EU

ika L

ika L

zego

dodbadano gówzałyefiltnak a szi na

cji s

unkiwobUR,

Lap

Lap

o w

datndany

dlaw EUy cetrowich zumajwi

szum

i 1-bec , ZW

uno

uno

wyk

nie,ycha szUR echywan

wamu lięks

mu lo

3) zzw

WC

wa d

wa d

kład

, jeh szzereora

y chniu oartolososzeg

oso

ziluwiękC i W

dla s

dla s

dnik

ednaeregegówaz Zhaooszści owego w

oweg

ustrkszaWIG

szer

szer

ka L

ak gacw pZWotyczaco

nadego wyk

go…

rowającG 2

regów

regów

Lapu

są ch, lprze

WC szne

owadal me

kład

…

wanocej 0.

w E

w Z

uno

oneleczefiltszere w ane są n

etoddnik

o zmsię

EUR

ZWC

owa

e nz jetrowregi

wiwy

niezdą Nka L

miaę lic

i EU

C i Z

a λniewego wani prięksykłaznaNS wLap

any czb

UR_

ZWC

maxλwiel

poznychrzefiszymadnicznw w

puno

waby o

_BS

C_BS

x d

lkieziomh mfiltrom siki

nie wwiękowa

artoobs

S

dla a

. Mm j

metoowastopLap

większa.

ści serw

ana

Możest

odą ane pniupunększośc

10

najwacj

alizo

że tnienajme

u ninowze oci ni

07

j-ji

o-

to e-j-e-iż

wa od ie

1

R

lwsbnlw

P

sw

zgsngkPz

nwo

108

Rys.

lizowzrsowburznowliczwać

Pod

szycw e

zowgłobszennajwgdzkładPrzezmi

na w botyc

. 3. S

Nowarost

wanizon

wa czby ć sta

dsW

ch skon

Owanyby nie więzie dnikefilienn

Poistn

badaczn

Stab

Na panietemiu p

na. Dchaob

abil

umW op

sąsinomblicychto

licększzwiki Lltrownośodsnienany

nym

bilno

odse się

m licprocDla

arakserwliza

mowpraciadó

miczczoh szświczbzegoięksLapwanci n

sumnie ych

m ch

ość n

stawę (zczbyceda szkterywacacji

wancowów znyne

zereiadc

by o wszaj

punonie najw

mowwysze

hara

najw

wie zbiey o

duryzereyzucji wa

niewan

na ych

waegówczyobs

wykjąc owa

bawięk

wująykłeregakte

więk

daneżnobse

y reegówują sze

arto

e niu z

wasze

artow c

yć oserw

kładdłu

a zaadaksząc oładngacerze

szeg

nycość)erwedukw Esię

eregści

zbaartoeregści czaso obwac

dnikugoaczynyc

zychotrzyniczh f

e.

M

go w

ch z) wacjikcji

EURjuż

gu. Jnaj

adanści

gachnaj

sowbecncji ka Lość ynach h wymzej finan

Mon

wykł

zamwarto

i wi szR i ż wJedjwię

no wora

h czajwiwycnośw

Lapsze

ają sze

wykłanewr

nso

ika

ładni

miesośc

w bazumWI

więkdynięks

wpłaz szasoięksh sści

szunoeregsię eregładne rerażlowy

Miś

ika L

zczi na

adanmu lIG2ksząie dzeg

ływstabowyszegsą dcha

zereowagu sta

gównikózultliwoych.

śkie

Lap

zonyajwnymloso20 wą zmdla go w

w rebilnoychgo

dodaaosuegaca. Wobs

abiliw mów tatyości. N

wic

uno

ychwiękm szowewartmiesze

wyk

edukość

h. wyatniu wch WyjserwizowmetLap

y, ni nie m

cz-N

wa d

h nakszezereego tośc

ennoeregkład

kcjić naj

ykłaie,

w banie

jątkwacwaćtodąpun

nalena zmoż

awr

dla s

a ryego egusta

ci nościgu Wdnik

i szajwi

adninieadae pkiemcji, ć i ą Nnowży zmiżna

rock

szer

sunwy

u czabilnnajwią sWIGka L

zumięks

ika zna

anycpowm w

mosą

NS wa.stwianę

a za

ka

regów

nku ykłazasonoś

więkspowG20Lap

mu lszeg

Laacznch

woduwydożnzbisp

wierę watem

w W

2 madniowyść tkszwod0_B

puno

losogo w

apunnie szeuje

dajea zeżn

pow

rdziwarum w

WIG2

możika ym.a zegodow

BS owa

owewyk

nowwięreg

st się

zaobne d

wodo

ć, żrunkwnio

20 i

żna La

. Niosta

o wwanmoa.

ego kład

wa ęks

gachtabię bybserdo powa

że nkówosk

WI

zauapuniestała

wykłną zożna

mednik

mλsze h, jeilizayć rwopewało

nie ww pow

IG20

uwanowtetywyładnzwia si

etodka L

max od ednacjisze

owawnej

zw

wskpoczać

0_BS

ażywa wy poyraźnikaęksę sp

dą nLap

dlazer

nak i weregać, j wwięk

kazzątko ic

S

yć stwrao zaźniea Lszenpod

najbpun

a anra. zw

wartg ZWże

wartoksz

zująkowch

tabiaz zastoe zaapuniemdzie

bliżnow

naliMo

więktoścWCwy

ośczeni

ą onwyccha

i-ze o-a-u-m e-

ż-wa

i-o-k-ci C, y-i. ie

ne ch a-


Literatura Cao L. (2001): Method of False Nearest Neighbors. W: Modeling and Forecasting Fi-

nancial Data. Eds. A.S. Soofi, L. Cao. Kluwer, Boston.

Cao L., Soofi A. (1999): Nonlinear Deterministic Forecasting of Daily Dollar Exchange Rates. „International Journal of Forecasting”, Vol. 15, s. 421-430.

Casdagli M. (1989): Nonlinear Prediction of Chaotic Time Series. „Physica D”, Vol. 53, s. 335-356.

Eckmann J.P., Ruelle D. (1985): Ergodic Theory of Chaos and Strange Attractors. „Reviews of Modern Physics”, Vol. 57, No. 3.

Fernández-Rodriguez F., Sosvilla-Rivero S., Andrada-Félix J. (2004): A New Test for Chaotic Dynamics Using Lyapunov Exponents. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria (maszynopis).

Frank M., Stengos T. (1988): Chaotic Dynamics in Economics Time Series. „Journal of Economic Surveys”, 2, s. 103-133.

Kantz H. (1994): A Robust Method to Estimate the Maximal Lyapunov Exponent of a Time Series. „Physical Letters A”, Vol. 185, s. 77.

Kantz H., Schreiber T. (2004): Nonlinear Time Series Analysis. Cambridge University Press (second edition).

Kelliher J. (2002): Oseledec’s Multiplicative Ergodic Theorem. http://math.ucr.edu/~ kelliher/Geometry/Lecturenotes.pdf (maszynopis).

Kelliher J. (2003): Lyapunov Exponents and Oseledec’s Multiplicative Theorem. Wor-king Dynamical Systems Seminar, UT Austin (maszynopis).

Kennel M.B., Brown P., Abarbanel H.D.I. (1992): Detecting Embedding Dimension for Phase Space Reonstruction Using a Geometrical Construction. „Physical Review”, A. 45.

Nowiński M. (2007): Nieliniowa dynamika szeregów czasowych. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław.

Orzeszko W. (2005): Identyfikacja i prognozowanie chaosu deterministycznego w eko-nomicznych szeregach czasowych. Polskie Towarzystwo Ekonomiczne, Warszawa.

Orzeszko W. (2007): Redukcja szumu losowego w chaotycznych szeregach czasowych i jej zastosowanie do analizy procesów ekonomicznych. W: Metody ilościowe w naukach ekonomicznych. Red. A. Welfe. Siódme Warsztaty Doktorskie z Zakre-su Ekonometrii i Statystyki, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa.

Oseledec V.I. (1968): A Mulitiplicative Ergodic Theorem. Lyapunov Characteristic Numbers for Dynamical System. „Trans. Moscow Math. Soc.”, 19, s. 197-231.

Rosenstein M.T., Collins J.J., De Luca C.J. (1993): A Practical Method for Calculating Largest Lyapunov Exponents from Small Data Sets. „Physica D”, Vol. 65, s. 117-134.

Zawadzki H. (1996): Chaotyczne systemy dynamiczne. Elementy teorii i wybrane zagadnienia ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Katowicach, Katowice.


Załącznik

Tabela 2

Szacowanie największego wykładnika Lapunowa dla szeregów EUR i EUR_BS

Szereg Równanie regresji maxλ Szereg Równanie regresji maxλ

EUR_1 5381,0

1045,50016,02 =

−=

Rxy 0,001642 EUR_BS_1

5223,09731,50035,0

2 =

−=

Rxy 0,003525

EUR_2 5289,0

1119,50015,02 =

−=

Rxy 0,001549 EUR_BS_2

444,00019,60062,0

2 =

−=

Rxy 0,006173

EUR_3 5032,0

1198,50014,02 =

−=

Rxy 0,001429 EUR_BS_3

4142,09919,50034,0

2 =

−=

Rxy 0,003335

EUR_4 4658,0

1563,50016,02 =

−=

Rxy 0,001644 EUR_BS_4

5792,01615,60049,0

2 =

−=

Rxy 0,004891

EUR_5 2835,0

1455,50013,02 =

−=

Rxy 0,001304 EUR_BS_5

3932,00206,60015,0

2 =

−=

Rxy 0,001464

EUR_6 5403,0

1478,50021,02 =

−=

Rxy 0,002028 EUR_BS_6

638,09858,50021,0

2 =

−=

Rxy 0,002133

EUR_7 7008,0

1298,50032,02 =

−=

Rxy 0,003175 EUR_BS_7

2982,00037,60016,0

2 =

−=

Rxy 0,001564

EUR_8 3894,0

2115,50014,02 =

−=

Rxy 0,001441 EUR_BS_8

383,0247,60015,0

2 =

−=

Rxy 0,001501

EUR_9 3306,0

2188,50013,02 =

−=

Rxy 0,001321 EUR_BS_9

6549,02881,60021,0

2 =

−=

Rxy 0,002070

EUR_10 312,0

2278,50013,02 =

−=

Rxy 0,001252 EUR_BS_10

5831,02728,60022,0

2 =

−=

Rxy 0,002234

EUR_11 265,0

2356,5001,02 =

−=

Rxy 0,001031 EUR_BS_11

4739,02079,60045,0

2 =

−=

Rxy 0,004484

EUR_12 7613,0

2261,50031,02 =

−=

Rxy 0,003095 EUR_BS_12

4739,02079,60045,0

2 =

−=

Rxy 0,004484

EUR_13 6702,0

1915,50026,02 =

−=

Rxy 0,002613 EUR_BS_13

2168,01955,60026,0

2 =

−=

Rxy 0,002562

EUR_14 4681,0

1184,50013,02 =

−=

Rxy 0,001301 EUR_BS_14

4403,00619,6002,0

2 =

−=

Rxy 0,002033

EUR_15 6176,0

1528,50021,02 =

−=

Rxy 0,002112 EUR_BS_15

489,01844,60043,0

2 =

−=

Rxy 0,004268

EUR_16 6018,0

1478,5002,02 =

−=

Rxy 0,002023 EUR_BS_16

6984,01806,60055,0

2 =

−=

Rxy 0,005489

EUR_17 5766,0

1437,5002,02 =

−=

Rxy 0,002010 EUR_BS_17

6835,01952,60027,0

2 =

−=

Rxy 0,002739

EUR_18 6303,0

144,50022,02 =

−=

Rxy 0,002198 EUR_BS_18

2903,01741,60025,0

2 =

−=

Rxy 0,002526

EUR_19 5342,0

1047,50015,02 =

−=

Rxy 0,001545 EUR_BS_19

4747,00295,60014,0

2 =

−=

Rxy 0,001433

EUR_20 4206,0

0873,5001,02 =

−=

Rxy 0,00096 EUR_BS_20

6758,01237,60048,0

2 =

−=

Rxy 0,004828

EUR_21 4349,0

0837,50009,02 =

−=

Rxy 0,000895 EUR_BS_21

662,01172,60051,0

2 =

−=

Rxy 0,005120


Tabela 3

Szacowanie największego wykładnika Lapunowa dla szeregów ZWC i ZWC_BS


ZWC_1 6098,0

8486,30038,02 =

−=

Rxy 0,003786 ZWC_BS_1

3775,09127,40046,0

2 =

−=

Rxy 0,004569

ZWC_2 4337,0

8401,30022,02 =

−=

Rxy 0,002186 ZWC_BS_2

3625,09095,40029,0

2 =

−=

Rxy 0,002899

ZWC_3 4104,0

8378,30029,02 =

−=

Rxy 0,001387 ZWC_BS_3

0905,09133,40006,0

2 =

−=

Rxy -

ZWC_4 3463,0

8377,30023,02 =

−=

Rxy 0,002284 ZWC_BS_4

6247,09205,40035,0

2 =

−=

Rxy 0,003488

ZWC_5 6514,0

8685,30013,02 =

−=

Rxy 0,001290 ZWC_BS_5

2397,00888,5002,0

2 =

−=

Rxy 0,00196

ZWC_6 6177,0

862,300009,02 =

−=

Rxy 0,000854 ZWC_BS_6

2972,00759,50039,0

2 =

−=

Rxy 0,003868

ZWC_7 7383,0

8523,30031,02 =

−=

Rxy 0,003061 ZWC_BS_7

0628,01331,50021,0

2 =

−=

Rxy -

ZWC_8 6924,0

8509,30027,02 =

−=

Rxy 0,002697 ZWC_BS_8

2485,00648,50015,0

2 =

−=

Rxy -

ZWC_9 7299,0

8557,30027,02 =

−=

Rxy 0,002701 ZWC_BS_9

2796,00609,50015,0

2 =

−=

Rxy 0,001526

ZWC_10 722,0

8625,30026,02 =

−=

Rxy 0,002604 ZWC_BS_10

3554,00505,50022,0

2 =

−=

Rxy 0,002197

ZWC_11 7176,0

8684,30024,02 =

−=

Rxy 0,00244 ZWC_BS_11

3357,00835,50017,0

2 =

−=

Rxy 0,001707

ZWC_12 6578,0

8737,30025,02 =

−=

Rxy 0,002519 ZWC_BS_12

4266,00835,50022,0

2 =

−=

Rxy 0,002217

ZWC_13 6807,0

8813,30026,02 =

−=

Rxy 0,002606 ZWC_BS_13

4146,00791,50021,0

2 =

−=

Rxy 0,00207

ZWC_14 6242,0

8842,30026,02 =

−=

Rxy 0,002598 ZWC_BS_14

1754,00368,50021,0

2 =

−=

Rxy -

ZWC_15 6105,0

8875,30025,02 =

−=

Rxy 0,002451 ZWC_BS_15

1797,00465,50014,0

2 =

−=

Rxy -

ZWC_16 6514,0

8942,30025,02 =

−=

Rxy 0,002542 ZWC_BS_16

1332,00614,50004,0

2 =

−=

Rxy -

ZWC_17 5703,0

8948,30022,02 =

−=

Rxy 0,002245 ZWC_BS_17

2723,00452,50017,0

2 =

−=

Rxy 0,001726

ZWC_18 5411,0

899,30021,02 =

−=

Rxy 0,002105 ZWC_BS_18

3271,00453,50019,0

2 =

−=

Rxy 0,001891

ZWC_19 5617,0

904,30021,02 =

−=

Rxy 0,002135 ZWC_BS_19

2526,00498,50018,0

2 =

−=

Rxy 0,001767

ZWC_20 5436,0

9092,3002,02 =

−=

Rxy 0,001958 ZWC_BS_20

3986,00414,50035,0

2 =

−=

Rxy 0,003465

ZWC_21 5572,0

9158,3002,02 =

−=

Rxy 0,00196 ZWC_BS_21

3365,00503,50017,0

2 =

−=

Rxy 0,001706


Tabela 4

Szacowanie największego wykładnika Lapunowa dla szeregów WIG20 i WIG20_BS


WIG20_1 5622,0

9878,30046,02 =

−=

Rxy 0,004580 WIG20_

BS_1 6943,08951,40065,0

2 =

−=

Rxy 0,006477

WIG20_2 5127,0

9796,30041,02 =

−=

Rxy 0,004138 WIG20_

BS_2 1284,08654,4001,0

2 =

−=

Rxy -

WIG20_3 5087,0

9831,30038,02 =

−=

Rxy 0,003810 WIG20_

BS_3 5367,08737,40037,0

2 =

−=

Rxy 0,003699

WIG20_4 4406,0

9835,30044,02 =

−=

Rxy 0,004418 WIG20_

BS_4 0955,08663,40015,0

2 =

−=

Rxy -

WIG20_5 4598,0

9891,30049,02 =

−=

Rxy 0,004887 WIG20_

BS_5 3235,0888,40023,0

2 =

−=

Rxy 0,002349

WIG20_6 3597,0

9804,30042,02 =

−=

Rxy 0,004184 WIG20_

BS_6 5199,09027,40062,0

2 =

−=

Rxy 0,006153

WIG20_7 3745,0

9856,30044,02 =

−=

Rxy 0,004351 WIG20_

BS_7 5242,08892,40051,0

2 =

−=

Rxy 0,005137

WIG20_8 4193,0

9844,30046,02 =

−=

Rxy 0,004563 WIG20_

BS_8 6658,08124,40025,0

2 =

−=

Rxy 0,00247

WIG20_9 3916,0

9665,30043,02 =

−=

Rxy 0,004298 WIG20_

BS_9 777,08057,40023,0

2 =

−=

Rxy 0,002343

WIG20_10 4958,0

962,30049,02 =

−=

Rxy 0,004899 WIG20_

BS_10 777,08057,40023,0

2 =

−=

Rxy 0,002343

WIG20_11 5036,0

9729,30049,02 =

−=

Rxy 0,004899 WIG20_

BS_11 6073,07958,40019,0

2 =

−=

Rxy 0,001912

WIG20_12 3966,0

9547,30043,02 =

−=

Rxy 0,004263 WIG20_

BS_12 5429,08053,40029,0

2 =

−=

Rxy 0,002941

WIG20_13 3966,0

9536,30039,02 =

−=

Rxy 0,003928 WIG20_

BS_13 2048,08439,40033,0

2 =

−=

Rxy -

WIG20_14 3332,0

9562,30034,02 =

−=

Rxy 0,003393 WIG20_

BS_14 6529,08147,40017,0

2 =

−=

Rxy 0,001654

WIG20_15 5878,0

9645,30045,02 =

−=

Rxy 0,004541 WIG20_

BS_15 6206,08334,40019,0

2 =

−=

Rxy 0,001914

WIG20_16 5878,0

9645,30045,02 =

−=

Rxy 0,004541 WIG20_

BS_16 6133,08403,40014,0

2 =

−=

Rxy 0,001395

WIG20_17 5517,0

9714,30041,02 =

−=

Rxy 0,004068 WIG20_

BS_17 594,08395,40014,0

2 =

−=

Rxy 0,001357

WIG20_18 6445,0

9838,30048,02 =

−=

Rxy 0,004788 WIG20_

BS_18 6551,08394,40013,0

2 =

−=

Rxy 0,001325

WIG20_19 6291,0

9915,30044,02 =

−=

Rxy 0,004356 WIG20_

BS_19 516,0842,40017,0

2 =

−=

Rxy 0,00169

WIG20_20 2393,0

9753,30014,02 =

−=

Rxy 0,001431 WIG20_

BS_20 4866,08455,4002,0

2 =

−=

Rxy 0,00198

WIG20_21 337,0

9871,30017,02 =

−=

Rxy 0,001726 WIG20_

BS_21 6742,08469,40015,0

2 =

−=

Rxy 0,001543


THE EFFECT OF RANDOM NOISE BY THE NEAREST NEIGHBORS METHOD ON THE STABILITY OF THE LARGEST LYAPUNOV

EXPONENT IN ECONOMIC TIME SERIES Summary

The Oseledec theorem (1968) and the theorems given in the paper Eckmann, Ruelle (1985) show the Lyapunov exponents exist for almost all the points in the state space of a dynamical system, and they are constant for almost all points in the basin of attraction of the attractor of dynamical system. However, the above-mentioned theorem applies only to deterministic systems. The Oseledec theorem provides the stability of the largest Lyapunov exponent regardless of the number of observations for the time series gener-ated by deterministic chaotic system. While for the time series generated by a stochastic system, increase the number of observations in a series will cause change in the value of the largest Lyapunov exponent.

In this paper researched the effect of the number of observations of the time series on the value of largest Lyapunov exponent. In addition, the stability of the largest Lyapunov exponent was examined in the time series after random noise reduction procedure.

10 Miskiewicz-Nawrocka Wplyw redukcji szumu.pdf

Documents

Transcript of 10 Miskiewicz-Nawrocka Wplyw redukcji szumu.pdf