1 Zagadka Einsteina 2 Kulki w pudełkach z fałszywymi napisami
4
Z AGADKI WYKLAD 6: WZORCE I S TRUKTURY KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V) J ERZY POGONOWSKI Zaklad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl www.logic.amu.edu.pl/index.php/Dydaktyka [email protected] Niektórzy matematycy (np. Keith Devlin) uwa˙ zaj ˛ a, ˙ ze matematyka jest nauk ˛ a o wzorcach (Mathematics is a science of patterns). Od XIX wieku datuje si˛ e spo- sób my´ slenia o matematyce jako nauce o ró˙ znorakich strukturach. Wi ˛ a˙ ze si˛ e to po cz˛ e´ sci z rozwojem algebry abstrakcyjnej i jej zastosowaniach we wszystkich praktycznie dzialach matematyki. Tematy zagadek tego dzialu dotycz ˛ a m.in.: wie- lok ˛ atów, wielo´ scianów, wielokomórek, parkieta˙ zy, wypelnie´ n przestrzeni, ró˙ znych rodzajów symetrii, arytmetyki modularnej. Niektóre zagadki maj ˛ a tre´ s´ c kombina- toryczn ˛ a. Umieszczamy w tym dziale tak˙ ze zagadki dotycz ˛ ace grafów. 1 Zagadka Einsteina Ta zagadka doczekala si˛ e swoistej legendy – mawia si˛ e, i˙ z jest tak trudna, ˙ ze pra- wie nikt nie potrafi jej rozwi ˛ aza´ c. Jest to oczywista przesada, albowiem wystarczy chwila refleksji oraz konsekwencja w ustalaniu poszczególnych wyników cz ˛ ast- kowych, aby dotrze´ c do rozwi ˛ azania. Podajemy tre´ s´ c tej zagadki oraz szkic jej rozwi ˛ azania, podane w polskiej Wikipedii. 5 ludzi ró˙ znych narodowo´ sci zamieszkuje 5 domów w 5 ró˙ znych kolorach. Wszyscy pal ˛ a papierosy 5 ró˙ znych marek i pij ˛ a 5 ró˙ znych napojów. Hoduj ˛ a zwie- rz˛ eta 5 ró˙ znych gatunków. Który z nich hoduje rybki? 2 Kulki w pudelkach z falszywymi napisami W ka˙ zdym z trzech pudelek znajduj ˛ a si˛ e dwie kule: w jednym dwie biale, w dru- gim dwie czarne, a w ostatnim jedn ˛ a bial ˛ a i jedn ˛ a czarn ˛ a. Na ka˙ zdym z pudelek 1
-
Upload
nguyennguyet -
Category
Documents
-
view
242 -
download
4
Transcript of 1 Zagadka Einsteina 2 Kulki w pudełkach z fałszywymi napisami
ZAGADKI
WYKŁAD 6: WZORCE I STRUKTURY
KOGNITYWISTYKA UAM (III, IV, V)
JERZY POGONOWSKI
Zakład Logiki i Kognitywistyki UAMwww.kognitywistyka.amu.edu.pl
www.logic.amu.edu.pl/index.php/[email protected]
Niektórzy matematycy (np. Keith Devlin) uwazaja, ze matematyka jest naukao wzorcach (Mathematics is a science of patterns). Od XIX wieku datuje sie spo-sób myslenia o matematyce jako nauce o róznorakich strukturach. Wiaze sie topo czesci z rozwojem algebry abstrakcyjnej i jej zastosowaniach we wszystkichpraktycznie działach matematyki. Tematy zagadek tego działu dotycza m.in.: wie-lokatów, wieloscianów, wielokomórek, parkietazy, wypełnien przestrzeni, róznychrodzajów symetrii, arytmetyki modularnej. Niektóre zagadki maja tresc kombina-toryczna. Umieszczamy w tym dziale takze zagadki dotyczace grafów.
1 Zagadka Einsteina
Ta zagadka doczekała sie swoistej legendy – mawia sie, iz jest tak trudna, ze pra-wie nikt nie potrafi jej rozwiazac. Jest to oczywista przesada, albowiem wystarczychwila refleksji oraz konsekwencja w ustalaniu poszczególnych wyników czast-kowych, aby dotrzec do rozwiazania. Podajemy tresc tej zagadki oraz szkic jejrozwiazania, podane w polskiej Wikipedii.
5 ludzi róznych narodowosci zamieszkuje 5 domów w 5 róznych kolorach.Wszyscy pala papierosy 5 róznych marek i pija 5 róznych napojów. Hoduja zwie-rzeta 5 róznych gatunków. Który z nich hoduje rybki?
2 Kulki w pudełkach z fałszywymi napisami
W kazdym z trzech pudełek znajduja sie dwie kule: w jednym dwie białe, w dru-gim dwie czarne, a w ostatnim jedna biała i jedna czarna. Na kazdym z pudełek
1
jest napis, informujacy o jego zawartosci. Wszystkie te napisy głosza fałsz. Ile mi-nimalnie trzeba wyciagnac kul, aby ustalic zawartosc wszystkich pudełek?
3 Woda – gaz – prad
Kazdy z trzech domów nalezy zaopatrzyc w: wode, gaz oraz elektrycznosc. Czymozliwe jest wykonanie tego zadania przy załozeniu, ze połaczenia miedzy do-stawcami a domami nie moga sie krzyzowac?
4 Wielokaty Reuleaux
Dla dowolnej figury, posiadajacej srodek symetrii nazwijmy jej srednica kazdy od-cinek, który przechodzi przez jej srodek symetrii i łaczy dwa przeciwległe punktybrzegowe tej figury.
Czy jest prawda, ze jesli figura o srodku symetrii ma wszystkie srednice równe,to musi byc okregiem?
5 Harmonijne wypełnianie kwadratu
Pamietamy, ze szereg harmoniczny jest rozbiezny. Zapytajmy teraz, czy nieskon-czona liczbe kwadratów o bokach, kolejno: 1
2 ,13 ,
14 ,
15 , . . . mozna zmiescic (bez
nakładania ich na siebie) wewnatrz kwadratu jednostkowego?
6 Przeprawa przez rzeke
Klasyczna zagadka błogosławionego Alkuina z Yorku dotyczy przeprawy przezrzeke. Rybak R ma przewiezc łódka na drugi brzeg rzeki wilka W , koze K orazsałate S (w oryginale była kapusta). Łodka pomiesci za jedna przeprawa tylko ry-baka oraz jedno z pozostałych. Trzeba to zrobic w ten sposób, aby nie było zadnychstrat: wilk nie moze zostac sam na brzegu z koza, a koza z sałata. Jak tego dokonac?
7 Wspólna droga
Cztery miejscowosci lezace w czterech wierzchołkach kwadratu nalezy połaczycsystemem dróg tak, aby całkowita długosc tych dróg była minimalna.
2
8 Liczba rozłacznych ósemek na płaszczyznie
Z poprzednich zagadek (Hotel Hilberta oraz funkcja Cantora) wiesz juz, ze liczbnaturalnych jest tyle samo, co par liczb naturalnych, ale liczb rzeczywistych niejest tyle samo, co liczb naturalnych. Gdyby zapytac, ile rozłacznych okregów na-rysowac mozna na płaszczyznie, to odpowiesz nie tylko, ze mozna ich narysowacnieskonczenie wiele, ale mozesz nawet powiedziec bardziej dokładnie: tyle, ile jestliczb rzeczywistych, poniewaz wystarczy zapełnic płaszczyzne koncentrycznymiokregami o promieniach bedacych dowolna liczba rzeczywista.
Ile rozłacznych ósemek 8 mozna narysowac na płaszczyznie? Na pewno tyle,ile jest par liczb całkowitych (czyli tyle samo, co par liczb naturalnych, czyli tylesamo, co liczb naturalnych – przeliczalnie wiele). Czy jednak mozna na płaszczyz-nie narysowac tyle rozłacznych ósemek, ile jest liczb rzeczywistych?
9 Mosty w Królewcu
To klasyczna zagadka, rozwiazana przez Eulera. W Królewcu jest siedem mostówłaczacych brzegi rzeki Pregoły z dwiema lezacymi na niej wyspami, jak pokazujeto rysunek ponizej:
Czy mozna tak zaplanowac pieszy spacer, aby przejsc po kazdym z mostówdokładnie jeden raz?
3
10 Podstepny ciag
Znajdz nastepny wyraz ciagu 2, 4, 8, 16, . . .
Rozwiazania zagadek podane zostana na wykładzie.
Jerzy PogonowskiZakład Logiki i Kognitywistyki UAM
4
