Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe

Definicja 1.1. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 ∈ R nazywamy szereg postaci:

∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

,

gdzie x ∈ R oraz cn∈ R dla n = 0, 1, 2, . . .

Przyjmujemy, że 00def= 1. Liczby c

nnazywamy współczynnikami szeregu potęgowego .

1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego

Twierdzenie 1.2. Dla każdego szeregu potęgowego∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

istnieje dokładnie jedna

liczba R ∈ 〈0,+∞) o własności:�

jeżeli |x− x0| < R, to szereg∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

jest zbieżny bezwzględnie,

�

jeżeli |x− x0| > R, to szereg∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

jest rozbieżny.

Definicja 1.3.

LiczbęR, której istnienie gwarantuje powyższe twierdzenie nazywamy promieniem zbieżności

szeregu potęgowego∞∑

n=0

cn(x− x0)

n .

Promień zbieżności szeregu potęgowego można wyznaczyć za pomocą wzoru:

R = limn→∞

1

n

√

|cn|

lub R = limn→∞

∣

∣

∣

∣

∣

cn

cn+1

∣

∣

∣

∣

∣

,

o ile granice w tych wzorach istnieją.�

Gdy limn→∞

n

√

|cn| =∞, to R = 0.

�

Gdy limn→∞

n

√

|cn| = 0, to R =∞.

Przykład 1.4.

�

Szereg∞∑

n=0

(

5

3

)

n

(x+ 5)n jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = −5 i promie-

niu R =3

5.

�

Szereg∞∑

n=0

(6− 3x)n

3n + 2njest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = 2 i promieniu

R = 1.

1

Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

�

Szereg∞∑

n=0

(−x)n

n!jest szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 = 0 i promieniu

R =∞.

Twierdzenie 1.5 (Twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda). Niech 0 < R <∞ będzie promieniem

zbieżności szeregu potęgowego∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

. Wtedy szereg ten jest:

�

zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x0 −R, x0 +R),�

rozbieżny w każdym punkcie zbioru (−∞, x0 −R) ∪ (x0 +R,+∞).

Uwaga 1. W punktach x0 −R i x0 +R szereg potęgowy może być zbieżny lub rozbieżny.

Gdy R = 0, to szereg potęgowy jest zbieżny jedynie w punkcie x0.

Gdy R =∞, to szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej.

Definicja 1.6. Zbiór tych x ∈ R, dla których szereg potęgowy

∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

jest zbieżny nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu.

Uwaga 2. Z twierdzenia Cauchy’ego-Hadamarda wynika, że przedział zbieżności szeregu potę-

gowego może mieć jedną z postaci:

x0 −R x0 +Rx0

(x0 −R, x0 +R)

x0 −R x0 +Rx0

〈x0 −R, x0 +R)

x0 −R x0 +Rx0

(x0 −R, x0 +R〉

x0 −R x0 +Rx0

〈x0 −R, x0 +R〉

x0

{x0}

R = 0 x0

(−∞,+∞)

R =∞

Przykład 1.7.

�

Dla szeregu∞∑

n=1

1

n(x− 2)n mamy R = 1 i przedział zbieżności 〈1, 3) .

�

Dla szeregu∞∑

n=2

(−1)nxn

n ln2 nmamy R = 1 i przedział zbieżności 〈−1, 1〉 .

�

Dla szeregu∞∑

n=2

(−1)nx2n

(2n)!mamy R =∞ i przedział zbieżności (−∞,+∞) = R .

2

Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1.2 Szereg Taylora i Maclaurina

Definicja 1.8. Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy

∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n=f(x0)+f ′(x0)

1!(x− x0)+

f ′′(x0)

2!(x− x0)

2+. . .

nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o środku w punkcie x0.

Jeżeli x0 = 0, to szereg∞∑

n=0

f (n)(0)

n!xn nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f .

Uwaga 3. Ze zbieżności szeregu Maclaurina funkcji nie wynika, że jego suma jest równa tej

funkcji.

Na przykład dla funkcji

f(x) =

e−1

x2 , x 6= 0

0, x = 0

mamy f (n)(0) = 0, dla n = 0, 1, 2, 3, . . ., i f(x) 6=∞∑

n=0

f (n)(0)

n!xn ≡ 0.

Twierdzenie 1.9 (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora). Jeżeli

�

funkcja f ma na otoczeniu O punktu x0 pochodne dowolnego rzędu,

�

dla każdego x ∈ O spełniony jest warunek limn→∞

Rn(x) = 0, gdzie R

n(x) =

f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x− x0)

n+1

oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f , przy czym ξ = x0+θ(x−x0), 0 < θ < 1,

to

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

,

dla każdego x ∈ O.

Twierdzenie 1.10 (o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy). Jeżeli

f(x) =∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

,

dla każdego x z pewnego otoczenia punktu x0, to

cn=f (n)(x0)

n!,

dla n = 0, 1, 2, . . .

3

Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

Przykład 1.11. Dla funkcji f(x) =1

xmamy f(1) = 1 oraz

f ′(x) = −1

x2⇒ f ′(1) = −1

f ′′(x) =2

x3⇒ f ′′(1) = 2

f ′′′(x) = −6

x4⇒ f ′′′(1) = −3!

f (4)(x) =24

x5⇒ f (4)(1) = 4!

...

f (n)(x) = (−1)nn!

xn+1⇒ f (n)(1) = (−1)nn!

Wówczas1

x=∞∑

n=0

(−1)n(x− 1)n =∞∑

n=0

(1− x)n , dla 0 < x < 2.

1.3 Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych

1

1− x=∞∑

n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + . . . , dla |x| < 1.

ex =∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x +

x2

2+x3

3!+ . . . , dla x ∈ R.

sin x=∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1=x−

x3

3!+x5

5!−x7

7!+ . . . , x ∈ R.

cos x =∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n = 1−

x2

2+x4

4!−x6

6!+ . . . , x ∈ R.

ln(1 + x) =∞∑

n=0

(−1)n

(n+ 1)xn+1 = x−

x2

2+x3

3−x4

4+ . . . ,−1 < x 6 1.

arc tg x =∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)x2n+1 = x−

x3

3+x5

5−x7

7+ . . . ,−1 < x 6 1.

sinh x=∞∑

n=0

x2n+1

(2n+ 1)!=x +

x3

3!+x5

5!+x7

7!+ . . . , x ∈ R.

cosh x =∞∑

n=0

x2n

(2n)!= 1 +

x2

2+x4

4!+x6

6!+ . . . , x ∈ R.

4

Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

Twierdzenie 1.12 (o różniczkowaniu szeregu potęgowego). Niech 0 < R 6 ∞ będzie promie-

niem zbieżności szeregu potęgowego∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

. Wtedy:

(

∞∑

n=0

cn(x− x0)

n

)

′

=∞∑

n=1

ncn(x− x0)

n−1

dla każdego x ∈ (x0 −R, x0 +R).

1.3.1 Sumy ważniejszych szeregów potęgowych

∞∑

n=0

xn =1

1− x, dla |x| < 1.

∞∑

n=1

nxn =x

(1− x)2, dla |x| < 1.

∞∑

n=1

n2xn−1 =1 + x

(1− x)3, dla |x| < 1.

∞∑

n=0

xn

n= − ln(1− x) , dla −1 6 x < 1.

5

Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1.4 Aproksymacja funkcji przez wielomian

Wzór

f(x) ==f(x0)+f ′(x0)

1!(x− x0)+. . .+

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n +Rn(x) ,

gdzie Rn(x) =

f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x− x0)

n+1 <– n-ta reszta we wzorze Taylora dla funkcji f , przy czym

ξ = x0 + θ(x − x0), 0 < θ < 1, pozwala przedstawić w sposób przybliżony (aproksymować)

funkcję f za pomocą wielomianu (zwanego wielomianem Taylora)

f(x) ≈ f(x0)+f ′(x0)

1!(x− x0)+. . .+

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

.

Przykład 1.13. Niech f(x) = ex. Wówczas

ex ≈ 1 + x +x2

2+x3

3!+ . . .+

xn

n!.

x

y

y = ex

y = 1 + x

n = 1

y = 1 + x +x2

2

n = 2y = 1 + x+

x2

2+x3

6

n = 3

6