1 I W I ^ R H A T V k n U A H

R E C E N Z J A R O Z P R A W Y H A B I L I T A C Y J N E J

Recenzja dotyczy rozprawy habi l i tacy jnej , ktoif j , p izedstawi l do oceny dr Swiatosiaw Roman Gal . Rozprawa skiada si(j z i iast^puj^cych szesciu prac:

1. S .R .Ga l , J . K ^ d r a , Symplectic configurations, I n t . M a t h . Res. N o t . (2006), 1 35. 2. S .R .Ga l , J . K ^ d r a , A cocycle on the group of symplectic diff., A d v . Geom. 11 (2011), 73-88. 3. S .R .Ga l , J . K ^ d r a , On hi-invariant word metrics, Topol . A n a l . 3 (2011), 161 175. 4. S .R .Ga l , J . K ^ d r a , On distortion in groups of homeom., J . M o d . D y n . 5 (2011), 609-622. 5. S .R .Ga l , J.K<jdra, A two-cocycle on the group of sympl. difj.. M a t h . Z. 271 (2012), 693 706. 6. S .R .Gal , J . K ^ d r a , A . T r a l l e , On the algebraic independence of Hamiltonian characteristic

classes, J . Symplectic Geom. 9 (2011), 1-9. Prace te koncentruj% si^ na badaniu grup homeomorfizmow rozmaitosci , a dokladniej takich ich

podgnip j a k grupy hamiltonowskich dyfeomorfizmow rozmaitosci symplektycznych, a rowniez grupy homeomorfizmow zachowuj{|cych wyroznionti klas^ kohomologii rozmaitosci.

Prace [1] i [6] opisujj| konstrukcje klas charakterystcznych i badaj j| ich wlasnosci. Natomiast trzy prace [2], [5], [4] koncentruj^ si^ na wlasnosciach skohczenie generowanych podgrup w wymienionych grupach dyfeomorfizmow i homeomorfizmow, a praca [3] bada wlasnosci metryczne tych podgrup. Znane twierdzenie Leonida Polterowicza o hami l tonowskim dz ia laniu grupy odwohije siq do w-lasnosci metrycznych dzialaj^cej grupy, lecz nie uwzgl^dnia zadnej m e t r y k i na danej grupie dyfeomorfizmow hamiltonowskich. Porownanie tego t y p u m e t r y k i z metryk% slow na dzialajfj.cej grupie rodzi z kolei pytania o wlasnosci skohczenie generowanych podgrup w gi-upach dyfeomorfizmow hamiltonowskich i m e t r y k i slow zadane przez sprz§zenia generatorow. Te aspekty grup dyfeomorfizmow uwzgl^dnione sq. w pracy habil i tacyjnej [3].

Dowod wspomnianego twierdzenia Leonida Polterowicza (2011) opiera si^ na twierdzeniu Macieja Schwarza (2000) o r z e k a j ^ y m , ze jezeli M jest zamkni^tf|, rozmaitoscii| symplektycznie asferyczn^, to calka z formy sympletycznej (po odpowiednim dysku wyznaczonym przez dyfeomorfizm i dwa jego punkty stale) nie znika d la zadnego nietrywialnego dyfeomorfizmu hamiltonowskiego rozmaitosci M.

W pracy habil i tacyjnej [2], podobnie j a k u Polterowicza, korzysta si^ z twierdzenia Schwartza, ale w odmienny sposob. Zamiast rozwazac funkcjonal Floera na przestrzeni p ^ t l i zamknietej rozmaitosci symplektycznie asferycznej M, j a k to r o b i l Polterowicz, bada si§ odwzorow-anie

/C: H a m ( M , c T ) ^ C ( M ) / R

na grupie H a m ( M , a) dyfeomorfizmow hamiltonowskich nakrycia uniwersalnego M rozmaitosci M, gdzie (na mocy definicji rozmaitosci symplektycznie asferycznej) cofni^cie a formy symplektycznej na M do uniwersalnej przestrzeni nakrywajacej M jest f o r m ^ dokladnq.. Do odwzorowania tego stosuje si^ kluczowy lemat pracy [2] o kocyklu }C:T—^V okreslonym na skoiiczenie generowanej grupie F oraz przy jmuj^cym wartosci w unormowanym F-module V.

Rozwaiania w pracach [2] i [5] o kocyklach na grupach pozwol i ly na podanie nowych dowodow twierdzenia Polterowicza. Prace te, a takze praca [4], pozwol i ly tez pokazac, ze pewne abstrakcyjnie zdefiniowane grupy skohczenie generowane nie mog^ bye podgxupami w grupach homeomorfizmow.

Praca habi l i tacyjna [1] rozwaza takq zamkni^tq, rozmaitosc symplektycznjj, (Af, a), ze calka z formy symplektycznej a po dowolnym 2-cyklu jest l iczb^ calkowitq,. Ponadto zaklada si?, ie M —> E B jest rozwloknieniem o grupie s t ruktura lne j Symp(Af , a), d la ktorego istnieje odwzorowanie f: E W do rozmaitosci symplektycznej {W,uj) cofajc^ce form? uj na kazdym wloknie do formy a. W ten sposob przestrzeu bazowa B rozwioknienia M E B parametryzuje kopie rozmaitosci M w W.

2 RECENZJA

Opisane rozwloknienie M —^E—^B nazywa si? konfiguracjq symplektycznq, d la ktore j rozwaza si§ przestrzeu Symp(Af , W) symplektycznych wlozeh M W z dzialaniem wolnym grupy S y m p ( M , a). Przestrzeh ilorazowa Symp(A'/, T'V')/Symp(Af, a ) po jawia sie przy rownowaznym opisie konfiguracji symplektycznej uwzgledniaj^cym grupfj H a m ( A / , a ) .

Praca habihtacyjna [1] pokaziije, ze d la kazdej zamknietej formy Q. koneksji na £^ o calkowitych okresach istnieje takie odwzorowanie f:E—* CP '^ , ze /*(a.'Fubini-Study) = co pozwala stwierdzic, ze rozwloknienie symplektyczne ma s t r u k t u r ^ konfiguracj i symplektycznej wtedy i ty lko wtedy, gdy na przestrzeni calkowitej E rozwioknienia istnieje zamkni^ta forma koneksji.

Wsrod innych wynikow pracy habi l i tacyjnej [1] uwag? zwraca znalezienie takie j maksymalnej pod-grupy Ham®(A/, cr) w grupie H a m ( A f , c ) , ze kaide rozwloknienie z grupq. s t r u k t u r a l n ^ Ham'^(A/, cr) ma struktur? konfiguracj i symplektycznej. O istnienie takiej maksymalnej podrupy pyta la D. McDuff" przed 2005 rokiem. N a uwage zasluguje row-niez udowodnienie, ze przestrzeh ilorazowa

Symp(A/ , W)/Symp(Af, a)

dla W = CP°° jest przestrzeni^ klasyfikujfj,cfj; d la kanonicznego rozszerzenia grupy Symp(Af , a) przez grupe cechowania M a p ( A / , [ / ( I ) ) .

Praca habi l i tacy jna [6] pokazuje, ze dla dowolnej prostej grupy Liego G istnieje niepusty, o twarty zbior Zariskiego U w algebrze dualnej do algebry Liego grupy G t a k i , ze d la kazdego ^ G f/ oraz dla kodol<j;Czonej o rb i ty Af^ wszystkie klasy G if ' '^*^(5Ham(Af^)) sq, algebraicznie niezalezne d la hczb naturalnych k takich , ze iT2k{BG) (g) Q 7̂ 0. Zbior U okreslony jest przy pomocy klas charaktery-stycznych Reznikowa grupy dyfeomorfizmow hamiltonowskich zamknietej rozmaitosci symplektycznej (Af, a). O t w a r t y m problemem jest algebraiczna niezaleznosc tj' 'ch klas cl iarakterystycznych, a wyzej cytowany w y n i k stanowi najbardziej ogohuj odpowiedz potwierdzaj^cfj, t? niezaleznosc.

Praca habi l i tacyjna [3] bada ogolne wlasnosci m e t r y k dwuniezmienniczych na danej grupie F. Wprowadzone jest pojecie normalnej skoiiczonej generowalnosci grupy F, postulujac istnienie takiego skohczonego podzbioru 5 C F , ze F jest generowana przez F = {gsg^^: g E T , S E S}.

Praca [3] pokazuje, ze centralne rozszerzenie grupy F o grupe liczb calkowitych Z, zadane przez klase ograniczonq w i f ^ ( F , Z ) , posiada nieograniczonq, metryk? dwuniezmienniczij,. Praca [3] bada rowniez kraty w grupach Chevalleya wyzszej rangi , pokazujq.c ich ograniczonosc. To uogolnia znany wczesniej przypadek, gdy grupa F = SL„ (Z ) dla n > 3.

Prace habil itacyjne [1]~[6], k torych wspolautorami s% J . K^dra [1]"[6] oraz A . Tral le [6], stanowi^ oryginalny i wazny w k l a d w badaniu grup dyfeomorfizmow rozmaitosci symplektycznych. Uzyskane w nich w y n i k i odpowiadaj^ na otwarte pytania i lez£|, w g l ownym nurcie badah podj^tej tematyki , ktorq, za jmuj^ si? takie osoby j a k M . Brandenbursky, D . McDuf f , M . Gambaudo, E . Gliys, S. Haller, C. F . Novak, L . Polterowicz, A . G. Reznikow, C. V izman , M . Schwarz.

Wsrod prac autora rozprawy habi l i tacy jne j , ktore nie wchodzq, w je j sklad, lecz stanowi;^, istotny dorobek naukowy, znajduje sig szesc prac napisanych po doktoracie, w t y m jedna samodzielnie: Asymptotic dimension and uniform, embeddings, Groups, Geometry k. Dynamics, 2 (2008), 63-84.

W y n i k i uzyskane w pracach habi l i tacyjnych [1] [6] opiiblikowane s?| w dobrych i bardzo dobrych czasopismach naukowych. W trakcie pracy naukowej dr Ga l uczestniczyl w licznych konferencjach, wyglaszaji^c na nich odczyty. B y l rowniez wspierany przez granty i odbywal staze naukowe w znanych osrodkach, co swiadczy o uznaniu jego badah w srodowdsku matematycznym.

W konkluzj i uwazam, ze dorobek naukow>' oraz rozprawa habi l i tacy jna , ktorq, przedstawil dr Gal , spelniaji j ustawowe i zwyczajowe wymagania stawione hab i l i tantom. Wnosz? zatem o przyj^cie roz­prawy i dopuszczenie dra Gala do dalszych etapow przew^odu habil itacyjnego.

Poznah, 5 czerwca 2015 roku prof. U A M dr hab. Krzyszto f Pawalowski W y d z i a l M a t e m a t y k i i I n f o r m a t y k i U A M