01 Apportionment - Poznań University of Technology · 2010-10-04 2 Literatura 15. Miltenburg, J....

2010-10-04

1

Metody optymalizacji w zarządzaniuw zarządzaniu

Joanna JózefowskaInstytut Informatyki Wydział Informatyki i ZarządzaniaPolitechnika Poznańska

Konsultacje: Środa 11.30-13.00

Metody optymalizacji w zarządzaniuWykład (15 godzin)/ ćwiczenia(15 godzin) – poniedziałek 11.45 s. 13 Materiały do wykładu: – http://www.cs.put.poznan.pl/jjozefowska/– hasło: w2005

Laboratorium (30 godzin) – mgr inż. Łukasz JózefowskiSzacowany czas pracy poza zajęciami: 120 godzinZaliczenie: na podstawie zadań zrealizowanych w ramach laboratoriumObecność na laboratoriach jest obowiązkowa, na wykładach będzie sprawdzana.Egzamin: – ustny– po każdym wykładzie podam 2-3 pytania egzaminacyjne– termin wg harmonogramu sesji

2

Zakres wykładu

Modele szeregowania zadań na jednym procesorze z kryterium minimalizacji odchylenia od idealnej proporcjiModele i algorytmy szeregowania zadań na jednym procesorze z kryterium minimalizacji kosztów wykonania zadania przed i po żądanym terminie:– wspólny dla wszystkich zadań żądany termin

wykonania,– żądane terminy wykonania zależne od zadań.

3

Należy powtórzyć:

sformułowanie problemu optymalizacyjnego,problemy szeregowania zadań,złożoność obliczeniowa algorytmówzłożoność obliczeniowa algorytmów,metoda programowania dynamicznego,metoda podziału i ograniczeń,metody rozwiązywania problemu transportowego (np. algorytm węgierski).

4

Literatura

1. Bagchi U., Sullivan R. S., Chang V.-L., Minimizing mean squareddeviation of completion times about a common due date, ManagementScience, 33, 1987, 894-906.

2. Baker K. R., Scudder G. D., Sequencing with earliness and tardinesspenalties: a review, Operations Research, 38, 1990, 22-36.

3 Balinski M Young H (1982) Fair Representation Meeting the Ideal of3. Balinski, M., Young, H. (1982). Fair Representation. Meeting the Ideal of One Man, One Vote, Yale University Press.

4. Bauman J., Józefowska J., Minimizing the earliness-tardiness costs on a single machine, Computers and Operations Research, 2006.

5. Bautista, J., Companys, R., Corominas, A. (1996). A Note on the Relation between the Product Rate Variation (PRV) Problem and theApportionment Problem. Journal of the Operational Research Society 47, 1410–1414.

6. De P., Ghosh J. B., Wells C. E., Solving a generalized model for CON duedate assignment and sequencing, International Journal of ProductionEconomics, 34, 1994, 179-185.

7. Dileepan P., Common due date scheduling problem with separateearliness and tardiness penalties, Computers and Operations Research20, 1993, 179-181. 5

Literatura8. Hall N. G., Kubiak W., Sethi S. P., Earliness-tardiness scheduling

problems, II: deviation of completion times about a restrictive commondue-date, Operations Research, 39, 1991, 847-856.

9. Józefowska J., Muras M., Exact and heuristic approaches to singlemachine earliness-tardiness scheduling, Proc. 6th Internat. Conf. onIndustrial Engineering and Production Management, vol. 3, Porto 2003,285 294285-294.

10. Józefowska J., Muras M., Just-in Time scheduling of unweighted jobs with unit processing times and two common due dates, Math. Mod. for Automation and Control, Kaszyński (Ed.), 2005.

11. Jurisch B., Kubiak W., Józefowska J., Algorithms for MinCliquescheduling problems, Discrete Applied Mathematics, 72, 1997, 115-139.

12. Kanet J. J., Minimizing the average deviation of job completion timesabout a common due date, Naval Research Logistics Quarterly, 28,1981, 643-651.

13. Kubiak W., New results on the completion time variance minimization,Discrete Applied Mathematics, 58, 1995, 157-168.

14. Kubiak, W., Sethi, S. (1994). Optimal level schedules for flexibleassembly lines in JIT production systems. International Journal ofFlexible Manufacturing Systems 6, 137–154. 6

2010-10-04

2

Literatura15. Miltenburg, J. (1989). Level schedules for mixed-model assembly lines in

just-in-time production systems. Management Science 35, 192–207.16. Panwalkar S.S., Rajagopalan R., Single machine sequencing with

controllable processing times, EJOR 59, 1992, 298-302.17. Panwalkar S.S., Smith M., Seidmann A., Common due date assignment

to minimize total penalty for the one machine scheduling problem,O ti R h 30 1982 391 399Operations Research, 30, 1982, 391-399.

18. Steiner, G., Yeomans, S. (1993). Level Schedules for Mixed-model, Just-in-Time Processes. Management Science 39, 728–735.

19. Still, J.W. (1979). A class of new methods for Congressional Apportionment. SIAM Journal on Applied Mathematics 37, 401–418.

20. Tijdeman, R. (1980). The chairman assignment problem. Discrete Mathematics 32, 323–330.

21. Ventura J. A., Weng M. X., An improved dynamic programming algorithmfor the single machine mean absolute deviation problem with a restrictivecommon due date. Operations Research Letters, 17, 1995, 149-152.

7

Sprawiedliwy podział

Wykład 1

Plan wykładu

Definicja problemu podziału miejsc w parlamencieKryteria sprawiedliwego podziałuy p g pMetody sprawiedliwego podziału– Metoda Hamiltona– Metody dzielnikowe– Metoda kwotowa Balinskiego i Younga– Metoda Stilla

Własności metod sprawiedliwego podziału9

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP Apportionment problem

Trochę historii

U.S. Constitution (Article 1, Section 2)Representatives and direct taxes shall be apportioned among the several states which may be included within this Union, according to their respective numbers... The actual enumeration shall be made within three years after the first meeting of the Congress of

2010-10-04 102010-10-04 10

the United States, and within every subsequent term of ten years in such manner as they shall by law direct. The number of representatives shall not exceed one for every thirty thousand, but each state shall have at least one representative; and until such enumeration shall be made, the state of New Hampshire shall be entitled to choose three, Massachusetts eight, Rhode Island and Providence Plantations one, Connecticut five, New-York six, New-Jersey four, Pennsylvania eight, Delaware one, Maryland six, Virginia ten, North-Carolina five, South-Carolina five, and Georgia three.

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Metoda Hamiltona

1791 po długiej debacie Kongres zatwierdził parlament o rozmiarze 120 miejsc i metodę Hamiltona jako sposób przydziału miejsc między stany.

Komentarz:

Metoda Hamiltona wygrała z metodą Jeffersona.

2010-10-04 112010-10-04 11

yg ą

Prezydent Washington zawetował decyzję Kongresu (pierwsze veto w historii USA!).

Kongres nie mogąc przegłosować veta zaakceptował parlament o rozmiarze 105 miejsc i metodę Jeffersona.

Ta metoda była używana do roku 1842.

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Metoda HamiltonaProcedura:1. Oblicz dzielnik standardowy:

2. Oblicz kwoty standardowe dla

parlamentu rozmiar kraju populacjaSD =

2010-10-04 122010-10-04 12

Alexander Hamilton (1757-1804)Pierwszy Sekretarz Skarbu USA

yposzczególnych stanów:

SDi stanu populacjaSQi =

3. Początkowo przydziel każdemu stanowi jego dolną kwotę (kwotę zaokrągloną w dół)

4. Jeżeli pozostał nieprzydzielone miejsca to przydziel je kolejno stanom o największej części ułamkowej kwoty standardowej.

2010-10-04

3

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Metoda JeffersonaProcedura: 1. Oblicz dzielnik standardowy.2. Oblicz kwoty standardowe dla

poszczególnych stanów.3. Początkowo przydziel każdemu

stanowi jego dolną kwotę.

2010-10-04 132010-10-04 13

Thomas Jefferson (1757-1804)Trzeci prezydent USA

4. Jeżeli suma dolnych kwot jest równa rozmiarowi parlamentu to przydziel stanom taką liczbę miejsc.

5. W przeciwnym razie metodą prób i błędów znajdź liczbę MD (zmodyfikowany dzielnik) tak, aby zmodyfikowane kwoty (MQ) zaokrąglone w dół sumowały się do rozmiaru parlamentu. Przydziel każdemu stanowi liczbę miejsc równą jego dolnej zmodyfikowanej kwocie.

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Stan 1 2 3 4 5 SumaPopulacja pi 105 350 128 500 153 120 98 530 117 200

Metoda Hamiltona - przykład

2010-10-04 142010-10-04 14

Rozmiar parlamentu = 105

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Stan 1 2 3 4 5 SumaPopulacja pi 105 350 128 500 153 120 98 530 117 200 602 700


2010-10-04 152010-10-04 15

Dzielnik standardowy = 602700/105 = 5740


drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Stan 1 2 3 4 5 SumaPopulacja pi 105 350 128 500 153 120 98 530 117 200 602 700Kwota standardowa 18,35 22,39 26,68 17,17 20,42 ----------


2010-10-04 162010-10-04 16



drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Stan 1 2 3 4 5 SumaPopulacja pi 105 350 128 500 153 120 98 530 117 200 602 700Kwota standardowa 18,35 22,39 26,68 17,17 20,42 ----------Dolna kwota 18 22 26 17 20 103


2010-10-04 172010-10-04 17



drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Stan 1 2 3 4 5 SumaPopulacja pi 105 350 128 500 153 120 98 530 117 200 602 700Kwota standardowa 18,35 22,39 26,68 17,17 20,42 ----------Dolna kwota 18 22 26 17 20 103Przydział aiH 18 22 27 17 21 105


2010-10-04 182010-10-04 18



2010-10-04

4

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Stan 1 2 3 4 5 SumaPopulacja pi 105 350 128 500 153120 98530 117200 602 700Kwota standardowa 18,35 22,39 26,68 17,17 20,42 ----------Dolna kwota 18 22 26 17 20 103Przydział aiH 18 22 27 17 21 105Kwota zmodyfikowana 18 88 23 03 27 44 17 66 20 99 ----------

Metoda Jeffersona - przykład

2010-10-04 192010-10-04 19

Kwota zmodyfikowana 18,88 23,03 27,44 17,66 20,99Przydział aiJ 18 23 27 17 20 105

Dzielnik zmodyfikowany = 5581



drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP



2010-10-04 202010-10-04 20





drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP



2010-10-04 212010-10-04 21





drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Metoda Hamiltona

1842 Kongres przyjął metodę Webstera z 223 miejscami.

blik i l i ( hi ) ł d i ł

2010-10-04 222010-10-04 22

1852 Republikanin Samuel Vinton (Ohio) zaproponował podział miejsc adoptujący metodę Hamiltona z liczbą miejsc 233. Kongres zaakceptował ten pomysł z poprawką zwiększającą rozmiar parlamentu do 234 miejsc, czyli rozmiaru, dla którego metody Hamiltona and Webstera dawały ten sam podział.

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Hamilton’s method – Alabama paradox

1880 Paradoks Alabamy osłabia metodę Hamiltona.

Po ustaleniu reguł w roku 1880, C. W. Seaton (Szef Biura Wyborczego USA) obliczył podziały dla wszystkich rozmiarów parlamentu między 275 i 350 miejsc. Następnie zwrócił się do Kongresu z listem zawierającym następujace

2010-10-04 232010-10-04 23

dane:

Rozmiar parlamentu Alabama299 miejsc 8 miejsc300 miejsc 7 miejsc

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

Paradoks Alabamy – zadanie

stan p [tys.] qA 7 270

2010-10-04 24

A 7 270B 1 230C 2 220Razem 10 720 21

h

2010-10-04

5

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

Paradoks Alabamy – zadanie

stan p [tys.] q aA 7 270 14 24 14

2010-10-04 25

A 7 270 14,24 14B 1 230 2,41 2C 2 220 4,35 4Razem 10 720 21 20

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

Paradoks Alabamy

stan p [tys.] q a aHamilt

A 7 270 14 24 14 14

2010-10-04 26

A 7 270 14,24 14 14B 1 230 2,41 2 3C 2 220 4,35 4 4Razem 10 720 21 20 21

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

Paradoks Alabamy

stan p [tys.] q a aHamilt

A 7 270 14 92 14 15

2010-10-04 27

A 7 270 14,92 14 15B 1 230 2,52 2 2C 2 220 4,56 4 5Razem 10 720 22 20 22

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

Paradoks Alabamy

stan p [tys.] q a aHamilt(22) aHamilt(21)A 7 270 14 92 14 15 14

2010-10-04 28

A 7 270 14,92 14 15 14B 1 230 2,52 2 2 3C 2 220 4,56 4 5 4Razem 10 720 22 20 22 21

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Paradoks populacji

1900 – wykazano, że stan może stracić miejsce w rezultacie wzrostu populacji tego stanu.

Virginia rosła znacznie szybciej niż Maine – około 60% szybciej – ale

2010-10-04 292010-10-04 29

Virginia rosła znacznie szybciej niż Maine – około 60% szybciej – aleVirginia straciła miejsce w Kongresie, a Maine zyskała miejsce.

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

Paradoks nowego stanu

1907 Oklahoma wstąpiła do Unii, co ujawniło kolejny paradoks nowego stanu.

Przed wstąpieniem Oklahomy Kongres miał 386 miejsc.

Porównując populację Oklahomy z innymi stanami oszacowano, że

2010-10-04 302010-10-04 30

dostanie 5 miejsc, a więc zwiększono Kongres do 391 miejsc. Chodziło o to, żeby nie zmieniać liczby iejsc przydzielonych pozostałym stanom.

Po ponownym obliczeniu podziału okazało się, że Maine zyskało jedno miejsce (4 zamiast 3), a Nowy Jork stracił miejsce (z 38 do 37).

2010-10-04

6

drha

b. inż.

Joa

nna

Józe

fow

ska,

pro

f. PP

dr h

ab. i

nż. J

oann

a Jó

zefo

wsk

a, p

rof.

PP

To nadal pozostaje problemem …

1911 Powrócono do metody Webstera z 433 miejscami.

1941 Wprowadzono metodę Huntington-Hilla w Kongresie o 435miejscach.

1990 U S Census Bureau uwzględniło Departament obrony w

2010-10-04 312010-10-04 31

1990 U.S. Census Bureau uwzględniło Departament obrony w obliczeniach w wyniku czego Massachusetts stracił miejsce na rzecz Washingtonu. Massachusetts odwołało się do sądu.

1992 Montana zaskarżyła konstytucjonalność metody Huntingtona-Hilla (Montana v. US Dept. of Commerce). Sąd Najwyższy podtrzymał metodę. Montana była zirytowana, ponieważ straciła miejsce na rzecz Washingtonu w porównaniu z 1990 rokiem.

Sformułowanie problemu

s

p = [p1, ..., ps]

h

liczba stanów

wektor populacji

rozmiar parlamentu

1

ii s

ii

pq hp

=

=

∑Idealny podział:

(kwota)

h

r = [r1, .., rs]

rozmiar parlamentu

minimalny przydział miejsc

32

Przykład 1

s = 6

p = [27744, 25178, 19951, 14610, 9225, 3292]

h = 36h 36

q = [9,988; 9,064; 7,182; 5,260; 1,321; 1,185]

r = 0

Jak optymalnie przydzielić miejsca w parlamencie (zasoby)?

a = [10, 9, 7, 5, 1, 1] h = 3333

Przykład 2 (EU 1976)

Państwo p [tys.] r aNiemcy 62 041 36 81UK 56 056 36 81Włochy 55 361 36 81

h = 410

Włochy 55 361 36 81Francja 53 780 36 81Holandia 13 450 14 25Belgia 9 772 14 24Dania 5 052 10 16Irlandia 3 086 10 15Luxemburg 357 6 6

34

Przykład 2 (EU 1976)

Państwo p [tys.] r a qNiemcy 62 041 36 81 98,229UK 56 056 36 81 88,753Włochy 55 361 36 81 87 652

h = 410

Włochy 55 361 36 81 87,652Francja 53 780 36 81 85,149Holandia 13 450 14 25 21,295Belgia 9 772 14 24 15,472Dania 5 052 10 16 7,999Irlandia 3 086 10 15 4,886Luxemburg 357 6 6 0,565

35

Kryteria sprawiedliwego podziału

Kryterium 1 (Hamilton)

1

1

si

i siii

i

a hpp

p=

=

−∑∑ 1

si i

ia q

== −∑zminimalizować

36

2010-10-04

7


Kryterium 2 (Webster, Hamilton)

( )2

1

si i

ia q

=−∑

Uogólnienie: dowolna norma lp wektora |a – q|.

zminimalizować

37


2sp

⎛ ⎞⎜ ⎟∑

Kryterium 3 – błąd statystyczny (Hill)

„waga” stanu i-tego

1

1

isi i

iii

ppaa h

=

=

⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑zminimalizować

Na ilu mieszkańców przypada jeden mandat

(statystycznie)

Na ilu mieszkańców przypada jeden mandat

w stanie i-tym 38


ji pp⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

Kryterium 4 (Burt & Harris)

jii , j i j

ppmaxa a

⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

zminimalizować

jii , j i j

aamaxp p

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

zminimalizować

Kryterium 5

39


ia⎧ ⎫⎨ ⎬

Kryterium 6 (Jefferson)

ii i

amaxp

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

zminimalizować

ii i

pmaxa

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

zminimalizować

Kryterium 7 (Adams)

40

Metody podziału – zasady ogólne

Metodą podziału M (apportionment method) nazywamy regułę, która dla każdego s-elementowego wektora p > 0 i liczby całkowitej g p y jh > 0 określa co najmniej jeden s-elementowy wektor a liczb całkowitych, taki, że

1

si

ia h

=≤∑

41


Podziałem otrzymanym za pomocą metody M nazywamy funkcję f, taką, że f(p, h) = a ∈ M(p, h).Metodę nazywamy homogeniczną, jeżeli każdy podział otrzymany za pomocą metody M dla wektora p i liczby hjest identyczny, jak podział dla wektora λp i liczby h, dla dowolnej dodatnie liczby wymiernej λ. Metodę nazywamy symetryczną, gdy podział zależy wyłącznie od wielkości populacji, a nie innej charakterystyki ubiegających się o zasób (stanów).

42

2010-10-04

8


Metodę nazywamy słabo proporcjonalną, jeżeli zawsze znajduje rozwiązanie idealne, jeżeli takie rozwiązanie istnieje. ą jPonadto wraz ze wzrostem h, rozwiązania powinny zbliżać się do idealnego podziału.Metoda jest zupełna, jeżeli pn→p>0 i a∈M(pn, h) dla każdego n, to a∈M(p, h).

43

Metody dzielnikoweKryterium porównawczeJest to uporządkowany zbiór wszystkich par (p, a), gdzie poznacza liczbę mieszkańców, zaś a liczbę mandatów, które można by danemu stanowi przydzielić. Każda para (p, a) znajduje się w uporządkowaniu przed (p, a + 1).

Metoda dzielnikowaMetoda, w której kryterium porównawcze jest reprezentowane przez indeks uporządkowania postaci:

gdzie d(a) jest ściśle rosnącą rzeczywistą funkcją określoną na nieujemnych liczbach całkowitych.

( ) ( ) ( ), gdzie 1pr p,a a d a ad a

= ≤ ≤ +

44

Metody dzielnikowe

Metoda d(a)

Adamsa a

Deana

HillaWebstera a + 0,5

Jeffersona a + 1

( )( )

10 5

a aa ,

++

( )1a a +

45

Metody dzielnikowe – przykładyMetoda Adamsa

h=1stan p [tys.] p/a

A 7 270 7270

h = 5

A 7 270 7270B 1 230 1230C 2 220 2220Razem 10 720

46


h=1 h=2stan p [tys.] p/a p/a

A 7 270 7270 3635

h = 5

A 7 270 7270 3635B 1 230 1230 1230C 2 220 2220 2220Razem 10 720

47


h=1 h=2 h=3stan p [tys.] p/a p/a p/a

A 7 270 7270 3635 2423 33

h = 5

A 7 270 7270 3635 2423,33B 1 230 1230 1230 1230C 2 220 2220 2220 2220Razem 10 720

48

2010-10-04

9


h=1 h=2 h=3 h=4stan p [tys.] p/a p/a p/a p/a

A 7 270 7270 3635 2423 33 1817 5

h = 5

A 7 270 7270 3635 2423,33 1817,5B 1 230 1230 1230 1230 1230C 2 220 2220 2220 2220 2220Razem 10 720

49


h=1 h=2 h=3 h=4 h=5stan p [tys.] p/a p/a p/a p/a p/a

A 7 270 7270 3635 2423 33 1817 5 1817 5

h = 5

A 7 270 7270 3635 2423,33 1817,5 1817,5B 1 230 1230 1230 1230 1230 1230C 2 220 2220 2220 2220 2220 1110Razem 10 720

a = [4,0,1]

50

Metody dzielnikowe – przykładyMetoda Hilla

stan p [tys.]h 1 h 2 h 3 h 4 h 5

h = 5

( )1p

a a +

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5A 7 270 5140,67B 1 230 869,74C 2 220 1569,78Razem 10 720

51



h = 5

( )1p

a a +

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5A 7 270 5140,67 2967,97B 1 230 869,74 869,74C 2 220 1569,78 1569,78Razem 10 720

52



h = 5

( )1p

a a +

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5A 7 270 5140,67 2967,97 2098,67B 1 230 869,74 869,74 869,74C 2 220 1569,78 1569,78 1569,78Razem 10 720

53



h = 5

( )1p

a a +

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5A 7 270 5140,67 2967,97 2098,67 1625,62 1327,31B 1 230 869,74 869,74 869,74 869,74 869,74C 2 220 1569,78 1569,78 1569,78 1569,78 1569,78Razem 10 720

54

2010-10-04

10

Zachowanie dolnej kwoty

Mówimy, że metoda zachowuje dolną kwotę, jeżeli:

>+

∑hpa s

ii 1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎥

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎢

=≥

∑

∑

=

=

hp

pqa

p

s

ii

iii

ii

1

1c

55

Zachowanie górnej kwoty

Mówimy, że metoda zachowuje górną kwotę, jeżeli:

<− hpa si

i 1

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢

⎡

=≤

∑

∑

=

=

hp

pqa

p

s

ii

iii

ii

1

1c

56

Metoda kwotowa (Balinski, Young)

Zbiór E(p,a) zawiera wszystkie te stany, które mogą otrzymać dodatkowy mandat bez naruszenia górnej kwoty.

⎫⎧

Wybiera się stan o największej wartości pi /(ai+1).Jest monotoniczna ze względu na rozmiar parlamentu.Zachowuje kwotę.

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<=

∑=

S

kk

ii

p

hpaiE

1

:ap,

57

Przykładh = 1

a(0) = [0,0,0]stan p

[tys.] qi

pi

(ai + 1)

A 7 270

B 1 230

C 2 220Razem 10 720

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=<=

∑=

iS

kk

ii q

p

hpaiE

1

:ap,

58

Przykładh = 1

a(0) = [0,0,0]stan p

[tys.] qi

pi

(ai + 1)

A 7 270 0,678 7 270

B 1 230 0,115 1 230

C 2 220 0,207 2 220Razem 10 720

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=<=

∑=

iS

kk

ii q

p

hpaiE

1

:ap,

59

Przykładh = 1

a(0) = [0,0,0]h = 2

a(1) = [1,0,0]stan p

[tys.] qi

pi qi

pi

(ai + 1) (ai + 1)

A 7 270 0,678 7 270 1,356 3 635B 1 230 0,115 1 230 0,229 1 230

C 2 220 0,207 2 220 0,414 2 220Razem 10 720

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=<=

∑=

iS

kk

ii q

p

hpaiE

1

:ap,

60

2010-10-04

11

Przykładh = 1

a(0) = [0,0,0]h = 2

a(1) = [1,0,0]h = 3

a(2) = [2,0,0]stan p

[tys.] qi

pi qi

pi qi

pi

(ai + 1) (ai + 1) (ai + 1)

A 7 270 0,678 7 270 1,356 3 635 2,034 2423,3B 1 230 0,115 1 230 0,229 1 230 0,344 1 230

C 2 220 0,207 2 220 0,414 2 220 0,621 2 220Razem 10 720

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=<=

∑=

iS

kk

ii q

p

hpaiE

1

:ap,

61

Przykładh = 1

a(0) = [0,0,0]h = 2

a(1) = [1,0,0]h = 3

a(2) = [2,0,0]h = 4

a(3) = [3,0,0]stan p

[tys.] qi

pi qi

pi qi

pi qi

pi

(ai + 1) (ai + 1) (ai + 1) (ai + 1)

A 7 270 0,678 7 270 1,356 3 635 2,034 2423,3 2,712B 1 230 0,115 1 230 0,229 1 230 0,344 1 230 0,458 1 230

C 2 220 0,207 2 220 0,414 2 220 0,621 2 220 0,828 2 220Razem 10 720

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=<=

∑=

iS

kk

ii q

p

hpaiE

1

:ap,

62

Przykładh = 1

a(0) = [0,0,0]h = 2

a(1) = [1,0,0]h = 3

a(2) = [2,0,0]h = 4

a(3) = [3,0,0]h = 5

a(4) = [3,0,1]stan p

[tys.] qi

pi qi

pi qi

pi qi

pi qi

pi

(ai + 1) (ai + 1) (ai + 1) (ai + 1) (ai + 1)

A 7 270 0,678 7 270 1,356 3 635 2,034 2423,3 2,712 3,390 1817,5

B 1 230 0,115 1 230 0,229 1 230 0,344 1 230 0,458 1 230 0,573 1 230

C 2 220 0,207 2 220 0,414 2 220 0,621 2 220 0,828 2 220 1,035 1 110Razem 10 720

( )⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=<=

∑=

iS

kk

ii q

p

hpaiE

1

:ap, a(5) = [4,0,1]

63

Metoda kwotowa (Still)

1. Dla h = 0 przyporządkuj a = 02. Dla h > 0 przydziel kolejne miejsce stanowi ze

zbioru E(h)zbioru E(h).

Kryteria wyboru stanu ze zbioru E(h) mogą być różne (np. dzielnikowe – wtedy metody nazywają się kwotowo-dzielnikowe, quota divisor).

64

Definicja zbioru E(h)

Stan i należy do zbioru E(h) „uprawnionych” stanów, jeżeli:

1. Liczba mandatów, które przydzielono stanowi i w parlamencie o rozmiarze h nie przekracza „górnej” kwoty.

2. Stan i spełnia test dolnej kwoty (Stilla).

65

Test dolnej kwoty (Stilla).1. Niech hi będzie rozmiarem parlamentu, w którym stan i po raz pierwszy powinien

otrzymać kolejny mandat, czyli hi jest najmniejszą z liczb h’≥h, dla której

2. Dla każdego g, będącego rozmiarem parlamentu, h ≤ g < hi zdefiniujmy:

( ) 11)'( +−≥ hahq ii

Liczba miejsc przydzielonych stanowi i, gdyby dostał miejsce h.

• si(g, i ) = ai(h – 1) + 1,

• sj(g, i ) = max { ai(h – 1), qi(g) } dla j ≠ i,

3. Jeżeli nie istnieje g takie, że h ≤ g ≤ hi, dla którego

To stan i spełnia test dolnej kwoty czyli i ∈E(h).

( )∑=

>s

jj gigs

1,Minimalna liczba miejsc przydzielonych

stanowi j, wynikająca z dolnej kwoty i wcześniejszych decyzji.

66

2010-10-04

12

Przykładqi(1)

stan p [tys.]A 7 270 0B 1 230 0

Górna kwota:

Test dolnej kwoty:hA = 2

1=Aq

B 1 230 0C 2 220 0Razem 10 720

sA(1, A) = 1sB(1, A) = 0 sC(1, A) = 0

sA(1, A) + sB(1, A) + sC(1, A) = 1

A ∈ E(1)

67

Przykładqi(1)

stan p [tys.]A 7 270 0B 1 230 0

Górna kwota:

Test dolnej kwoty:hB = 9 1 ≤ g ≤ 5 < 9

1=Bq

B 1 230 0

C 2 220 0Razem 10 720

sA(1, B) = 0sB(1, B) = 1 sC(1, B) = 0

sA(1, B) + sB(1, B) + sC(1, B) = 1 ≤ 1

68

Przykładqi(2)

stan p [tys.]A 7 270 1B 1 230 0

Górna kwota:

Test dolnej kwoty:hB = 9

1=Bq

B 1 230 0C 2 220 0Razem 10 720

sA(2, B) = 1sB(2, B) = 1 sC(2, B) = 0

sA(1, B) + sB(1, B) + sC(1, B) = 1 ≤ 1sA(2, B) + sB(2, B) + sC(2, B) = 2 ≤ 2

69

Przykładqi(3)

stan p [tys.]A 7 270 2B 1 230 0

Górna kwota:


1=Bq

B 1 230 0C 2 220 0Razem 10 720

sA(3, B) = 2sB(3, B) = 1 sC(3, B) = 0

sA(1, B) + sB(1, B) + sC(1, B) = 1 ≤ 1sA(2, B) + sB(2, B) + sC(2, B) = 2 ≤ 2sA(3, B) + sB(3, B) + sC(3, B) = 3 ≤ 3

70

Przykładqi(4)

stan p [tys.]A 7 270 2B 1 230 0

Górna kwota:


1=Bq

B 1 230 0C 2 220 0Razem 10 720

sA(4, B) = 2sB(4, B) = 1 sC(4, B) = 0

sA(1, B) + sB(1, B) + sC(1, B) = 1 ≤ 1sA(2, B) + sB(2, B) + sC(2, B) = 2 ≤ 2sA(3, B) + sB(3, B) + sC(3, B) = 3 ≤ 3 sA(4, B) + sB(4, B) + sC(4, B) = 3 ≤ 4

71

Przykładqi(5)

stan p [tys.]A 7 270 3B 1 230 0

Górna kwota:


1=Bq

B 1 230 0C 2 220 1Razem 10 720

sA(5, B) = 3sB(5, B) = 1 sC(5, B) = 1

sA(1, B) + sB(1, B) + sC(1, B) = 1 ≤ 1sA(2, B) + sB(2, B) + sC(2, B) = 2 ≤ 2sA(3, B) + sB(3, B) + sC(3, B) = 3 ≤ 3 sA(4, B) + sB(4, B) + sC(4, B) = 3 ≤ 4 sA(5, B) + sB(5, B) + sC(5, B) = 5 ≤ 5

B ∈ E(1)

72

2010-10-04

13

Przykład

Podobnie test przebiega dla stanu C.Kryteria dzielnikowe spowodują wybór stanu A.Ponieważ test dolnej kwoty jest pracochłonny w Ponieważ test dolnej kwoty jest pracochłonny, w praktyce lepiej najpierw wybrać stan, a potem przeprowadzić test. Jeżeli test zakończy się negatywnie, to dopiero wtedy wybieramy kolejny stan i powtarzamy test.

73

Własności metod podziału

Metoda jest monotoniczna ze względu na rozmiar parlamentu jeżeli w wypadku zwiększenia dostępnej liczby mandatów, liczba mandatów przydzielonych do każdego stanu będzie nie mniejsza niż poprzednio

Metoda jest parami zgodna (jednorodna - uniform), jeżeli dla każdych dwóch stanów dysponujących łącznie określoną liczbą mandatów podział mandatów pomiędzy te stany jest niezależny od obecności innych stanów.

każdego stanu będzie nie mniejsza niż poprzednio. (Hamiltona nie jest, dzielnikowe są).

74

Monotoniczność ze względu na wektor populacji

Metoda jest monotoniczna ze względu na wektor populacji jeżeli dla wektorów p, p’ i przydziałów a∈M(p,h), a’∈M(p’,h) zachodzi:

Każda metoda monotoniczna ze względu na wektor populacji jest monotoniczna ze względu na rozmiar parlamentu.

i może być zamienione z

' 'i' i j' j'

i' i '' '' i' ij i' j' i jj' ' jj'

a a a ap p

p pp a ,a a ,appp

⎧ ⎫≥ ∨ ≥⎪ ⎪⎪ ⎪≥ ⇒ ⎨ ⎬

=⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

75

Twierdzenie o niemożliwości

Nie istnieje metoda podziału miejsc dla co najmniej czterech stanów i parlamentu o rozmiarze czterech stanów i parlamentu o rozmiarze h ≥ liczba stanów +3, która byłaby monotoniczna ze względu na wektor populacji i jednocześnie spełniała warunek kwoty.

76

Wniosek

Żadna z metod dzielnikowych nie zachowuje kwoty.

Metoda Stilla nie jest monotoniczna ze względu na wektor populacji, bo zachowuje kwotę.

77

Klasyfikacja metod

78

2010-10-04

14

PytaniaSformułować problem podziału miejsc w parlamencie.Zdefiniować metody monotoniczne, metody spełniające kwotę i twierdzenie o niemożliwości.Znaleźć podział miejsc w parlamencie metodą:p j p ą– Jeffersona,– Adamsa,– Hilla, – Deana,– Webstera,– Balińskiego-Younga,– Stilla. 79

01 Apportionment - Poznań University of Technology · 2010-10-04 2 Literatura 15. Miltenburg, J....

Documents

Transcript of 01 Apportionment - Poznań University of Technology · 2010-10-04 2 Literatura 15. Miltenburg, J....