· Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytet Jagielloński Oświadczenie Ja...

Uniwersytet Jagielloński

W Krakowie

Wydział Fizyki, Astronomii

i Informatyki Stosowanej

Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego

Efekty topologiczne i sztuczne pola

cechowania w zimnych gazach atomowych

Małgorzata Mochol-Grzelak

Praca doktorska

Promotor pracy: Prof. dr hab. Krzysztof Sacha

Kraków, 2016

Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej

Uniwersytet Jagielloński

Oświadczenie

Ja niżej podpisana Małgorzata Mochol-Grzelak (nr legitymacji: 1014624) doktorantka

Wydziału Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego oświad-

czam, że przedłożona przeze mnie rozprawa doktorska pt. „Efekty topologiczne i sztuczne

pola cechowania w zimnych gazach atomowych” jest oryginalna i przedstawia wyniki ba-

dań wykonanych przeze mnie osobiście, pod kierunkiem prof. dra hab. Krzysztofa Sachy.

Pracę napisałam samodzielnie.

Oświadczam, że moja rozprawa doktorska została opracowana zgodnie z Ustawą o pra-

wie autorskim i prawach pokrewnych z dnia 4 lutego 1994 r. (Dziennik Ustaw 1994 nr 24

poz. 83 wraz z późniejszymi zmianami).

Jestem świadoma, że niezgodność niniejszego oświadczenia z prawdą ujawniona w do-

wolnym czasie, niezależnie od skutków prawnych wynikających z ww. ustawy, może spo-

wodować unieważnienie stopnia nabytego na podstawie tej rozprawy.

Kraków, dnia 25.03.2016 ..........................................................

podpis doktorantki

Streszczenie

W pracy doktorskiej poruszana jest tematyka efektów topologicznych oraz sztucznych

pól cechowania, które można obserwować i badać w zimnych gazach atomowych. W

pierwszej części pracy zaprezentowany został problem ciemnego solitonu (będącego to-

pologicznym defektem w jednym wymiarze) w kondensacie Bosego-Einsteina poddanego

wpływowi zewnętrznego potencjału przypadkowego. Klasyczne podejście pozwoliło nam

wysnuć wniosek, że dla słabego potencjału deformacja ciemnego solitonu jest słabym efek-

tem, dzięki czemu przechodząc do opisu kwantowego, możemy pominąć sprzężenie pomię-

dzy solitonem a podukładem fononów. Traktując bowiem soliton kwantowo, jego położenie

opisane jest rozkładem prawdopodobieństwa. Okazuje się jednak, że umieszczając kwan-

towy soliton w potencjalne przypadkowym, możliwe jest zaobserwowanie lokalizacji An-

dersona. Kolejnym zagadnieniem przedstawionym w pracy jest generacja sztucznego pola

magnetycznego w chmurze zimnych atomów za pomocą fali zanikającej, która powstaje w

wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia w pryzmacie. Pierwsze obliczenia przeprowa-

dziliśmy dla pojedynczej fali płaskiej, która jednak stanowi pewną idealizację prawdziwej

wiązki laserowej. W związku z tym rozszerzyliśmy analizę o rzeczywistą wiązkę gaus-

sowską. W eksperymencie z kondensatem Bosego-Einsteina obecność pola magnetycznego

objawia się powstaniem wirów w chmurze atomowej, które są kwantowymi odpowiedni-

kami ruchu po okręgu cząstki naładowanej w polu magnetycznym. Dla realistycznych

parametrów eksperymentalnych wyznaczyliśmy ich liczbę, a następnie przeprowadziliśmy

symulacje numeryczne, które potwierdziły nasze szacowania. Okazuje się, że efekty sztucz-

nego pola magnetycznego można również zaobserwować w zimnych gazach atomowych,

których temperatura jest zbyt wysoka dla kwantowej degeneracji. Sygnaturą sztucznych

pól może być w tym przypadku przekaz pędu w kierunku prostopadłym do prędkości ato-

mów, będący wynikiem działania sztucznej siły Lorentza. Numeryczne symulacje trajekto-

rii pokazały, że atomy mogą być odbijane od powierzchni pryzmatu właśnie dzięki tej sile.

Jeśli sztucznego pola nie ma, wszystkie atomy spadają na powierzchnię. Ostatni rozdział

pracy poświęcony jest kwantowemu efektowi Halla w czterech wymiarach przestrzennych.

Analogicznie do przypadku dwuwymiarowego, pasma energetyczne scharakteryzowane są

niezmiennikiem topologicznym, w tym przypadku drugą liczbą Cherna. W pracy przedsta-

wiamy efektywny algorytm do jej wyznaczenia oparty na metodach teorii cechowania na

sieci. Ponadto proponujemy szkic eksperymentalnej realizacji z udziałem zimnych gazów

atomowych umieszczonych w trójwymiarowej optycznej sieci Bravais z bazą.

Abstract

In the thesis we consider topological effects and artificial gauge potentials that can be

observed and investigated in ultracold atomic gases. In the first part of the thesis we present

a problem of a dark soliton (that is a topological defect in one dimension) in the Bose-

Einstein condensate that is affected by the external random potential. Classical approach

allows us to conclude that the dark soliton deformation due to the weak external potential is

very weak, so that in the quantum approach we can omit the coupling between the soliton

and the phonon subsystem. In the quantum description the soliton position degree of

freedom becomes an operator, so that its values are determiend according to the probability

distribution. It turns out, that it is possible to observe Anderson localization when the

quantum soliton is placed in a disorder potential. The next issue that is considered in

the thesis is the generation of the artificial magnetic field in the ultracold atomic cloud

by the evanescent wave that occurs due to the total internal reflection in the prism. In

the first step we calculate the artificial magnetic field in the plan wave approximation

of the laser beam. Such a simplification allows us to obtain analytical results, but is

just an idealization of the real laser beam. Therefore we extent our analysis to the real

gaussian profile of the beam. In the experiment with the Bose-Einstein condensate the

presence of the artificial magnetic field appears as vortices in the cold atomic cloud that

are the quantum equivalent of the circular motion of a charged particle in magnetic field.

For the realistic experimental parameters we estimate their number and make numerical

simulations to confirm our predictions. It turns out that effects of the artificial magnetic

field can be observed in cold atomic gases whose temperature is higher than for the quantum

degeneracy. The signature of the magnetic field existence can be the momentum transfer

in the direction perpendicular to the atomic velocity that comes from the artificial Lorentz

force. Numerical simulations of the trajectories show that atoms can be reflected from the

prism surface due to the existence of the Lorentz force. In the absence of the magnetic field,

all atoms are lost on the dielectric surface. The last chapter is devoted to the quantum

Hall efect in four spatial dimensions. Analogously to the two dimensional case, the energy

bands are characterized by the topological invariant, the so called second Chern number.

In the thesis we present effective algorithm to calculate such a number. It is based on the

methods well-known in the Lattice Gauge Theory. Moreover we propose a sketch of the

experimental realization of the four dimensional Hall model in the ultracold atomic gases

placed in the three dimensional optical Bravais lattice with the base.

Skróty

1D Jeden wymiar

2D Dwa wymiary

3D Trzy wymiary

4D Cztery wymiary

BZ Strefa Brillouina

FHS Algorytm Fukui-Hatsugai-Suzuki

Spis treści

Wstęp 1

1 Wprowadzenie 3

1.1 Zimne gazy atomowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Teoria kondensacji w przybliżeniu średniego pola . . . . . . . . . . . 4

1.2 Wprowadzenie do zjawisk topologicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Defekty topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2 Solitony jako defekty topologiczne w 1D . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Wiry jako defekty topologiczne w 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4 Izolatory topologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym 23

2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.1 Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach Bogoliubova . 24

2.1.2 Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach potencjału

Pöschl–Tellera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.3 Lokalizacja Andersona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny . . . . . . . . . 31

2.3 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy . . . . . . . . . 33

2.3.1 Efektywny hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2 Lokalizacja Andersona ciemnego solitonu . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Sztuczne pola cechowania w zimnych gazach atomowych 41

3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1 Oddziaływanie atomów ze światłem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2 Twierdzenie Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

i

SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI

3.1.3 Stany ubrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.4 Adiabatyczny ruch atomów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.5 Faza Berry’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.6 Związek pomiędzy fazą Berry’ego a sztucznymi polami cechowania . 49

3.1.7 Fala zanikająca i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybli-

żeniu fali płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.1 Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Przybliżenie adiabatyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2.3 Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego pojedynczą

falą zanikającą . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.4 Topologiczne wiry jako konsekwencja istnienia sztucznego pola ma-

gnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem

gaussowskim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.1 Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.2 Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego falą zanika-

jącą z profilem gaussowskim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.3 Symulacje numeryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Lustro dla zimnych gazów atomowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.1 Stany ubrane dla konfiguracji Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.2 Opis eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi . . . . . . . . . . 70

3.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 Kwantowy efekt Halla w 4D 79

4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.1 Cząstka w potencjale periodycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.2 Sieć kwadratowa w polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.3 Przewodność Halla i liczby Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.4 Uogólnienie kwantowego efektu Halla na wyższe wymiary . . . . . . 89

4.2 Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.2.1 Efektywny algorytm wyznaczania pierwszej liczby Cherna w opaciu

o teorię cechowania na sieci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.2 Efektywny algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna . . . . . . . 94

ii

SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI

4.2.3 Przykłady zastosowania efektywnego algorytmu do wyznaczania dru-

giej liczby Cherna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Realizacja doświadczalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.2 Opis układu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3.3 Wstępne wyniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.4 Perspektywy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Podsumowanie 115

Bibliografia 118

Podziękowania 127

iii

Wstęp

Praca podzielona jest na następujące części:

Rozdział 1, w którym przedstawione są wiadomości wstępne stanowiące tło dla ana-

lizowanych w pracy problemów. Pierwszy punkt stanowi wprowadzenie w świat zimnych

gazów atomowych, a także przedstawia motywację prowadzenia badań w tym zakresie.

Następnie przybliżenie średniego pola daje nam skuteczne narzędzie do efektywnego stu-

diowania zjawisk zachodzących w kondensacie Bosego-Einsteina. Wprowadzenie do zjawisk

topologicznych natomiast spina klamrą tematykę pracy, dotyczącą ciemnych solitonów,

sztucznych pól cechowania oraz czterowymiarowego kwantowego efektu Halla.

Rozdział 2, który prezentuje wyniki uzyskane podczas magisterium oraz ich konty-

nuację w pierwszych miesiącach studiów doktoranckich. Punkty wprowadzające stanowią

krótkie streszczenie wyników otrzymanych w Pracy Magisterskiej, a następnie przedsta-

wione jest ich konkretne zastosowanie w analizie ciemnego solitonu w potencjale przy-

padkowym. Rozważania podzielone są na dwie części: opis klasyczny, podczas którego

analizujemy zachowanie klasycznego solitonu pod wpływem zewnętrznego potencjału przy-

padkowego, oraz opis kwantowy, który prowadzi do lokalizacji Andersona ciemnego solitonu

w potencjale przypadkowym.

Rozdział 3, który jest jednym z najważniejszych rozdziałów pracy. Przedstawiona jest

w nim metoda generacji sztucznego pola magnetycznego falą zanikającą, która powstaje

w wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia w pryzmacie. Przedstawiony jest mechanizm

działania przybliżenia adiabatycznego, który stanowi bazę dla naszej metody oraz rezultaty

obejmujące zarówno analityczne wzory na postać pola magnetycznego, jak i wyniki symu-

lacji numerycznych. W rozdziale przedstawiona jest również propozycja eksperymentu z

niezdegenerowanymi zimnymi gazami atomowymi.

Rozdział 4 wprowadzający w tematykę czterowymiarowego efektu Halla. W pracy

przedstawiamy efektywny algorytm do wyznaczania drugiej liczby Cherna, a więc nie-

zmiennika topologicznego charakteryzującego pasma czterowymiarowego układu, oparty

na metodach teorii cechowania na sieci. Ponadto proponujemy szkic eksperymentalnej

1

Wstęp

realizacji najprostszego topologicznego izolatora z udziałem zimnych gazów atomowych

umieszczonych w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą.

Autorka uzyskała środki finansowe na przygotowanie rozprawy doktorskiej z Narodo-

wego Centrum Nauki w ramach finansowania stypendium doktorskiego ETIUDA na pod-

stawie decyzji numer DEC-2014/12/T/ST2/00325. Praca doktorska została napisana na

podstawie wyników badań projektu PRELUDIUM finansowanego ze środków Narodowego

Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzji numer DEC-2012/05/N/ST2/02745.

2

Rozdział 1

Wprowadzenie

1.1 Zimne gazy atomowe

Pierwsze eksperymentalne realizacje kondensatu Bosego-Einsteina w 1995 roku [1–3]

pozwoliły na wgląd do świata kwantowej materii oraz stworzyły podwaliny pod jedną z

najbardziej dynamicznie rozwijających się obecnie dziedzin fizyki - zimnych gazów ato-

mowych. Okazuje się, że atomy o całkowitym spinie (bozony) schłodzone do temperatur

bliskich zeru bezwzględnemu obsadzają makroskopowo stan podstawowy pułapki, tj. pra-

wie wszystkie znajdują się w tym samym stanie jednocząstkowym, co odpowiada zjawisku

kondensacji Bosego-Einsteina. Dzięki temu, że atomy zachowują się kolektywnie jesteśmy

w stanie modelować i badać zjawiska kwantowe w makroskali. To nie jedyna zaleta ultra-

zimnych gazów atomowych. W niskich temperaturach zaczynają mieć również znaczenie

fale materii, zapostulowane przez de Broglie’a w 1924 roku [4]. Zgodnie z jego hipotezą,

każdy obiekt może być widziany jako cząstka oraz jako fala o długości λdB = h/√2πmkBT ,

która zależy od masy obiektu m, stałej Boltzmanna kB, temperatury T oraz stałej Plancka

h. W większości przypadków fale materii są bardzo trudne do zaobserwowania, ponieważ

stała Plancka charakteryzuje trudno dostępny świat kwantowy. Im większa masa obiektu

oraz im wyższa temperatura, tym krótsza fala de Broglie’a, a tym samym skala, na której

kwantowe efekty mają znaczenie. Aby osiągnąć reżim kwantowy, fala de Broglie’a λdB musi

być rzędu średnich odległości między atomami. Dlatego istnieją dwie możliwości, w któ-

rych fala de Broglie’a może osiągać istotne długości. Po pierwsze dla mas atomów warunek

ten jest spełniony dla temperatur poniżej 1µK. Idealnie do tego celu nadają się rozrzedzone

gazy atomowe, w których ponadto odległość między atomami jest większa niż zasięg ich

oddziaływania, a więc są słabo oddziałujące i dominują zderzenia dwuciałowe stabilizujące

gaz w niskich temperaturach. Drugą możliwością jest obniżenie masy obiektu, które po-

3

1.1. Zimne gazy atomowe

zwala na kondensację w wyższych temperaturach. Własność tą wykorzystują kondensaty

polarytonów ekscytonów [5], a więc kwazicząstek będących bozonami, stworzonych przez

ekscyton (para elektron-dziura) silnie sprzęgnięty z fotonem (polaryton). Szczególnie silne

sprzężenie można osiągnąć w półprzewodnikowych mikrownękach, w których polarytony są

skwantowane. Polarytony ekscytonów charakteryzuje bardzo mała masa efektywna, rzędu

10−4 masy elektronu, dzięki czemu mogą kondensować nawet w temperaturach pokojo-

wych [6–8].

Niesłabnąca atrakcyjność zimnych gazów atomowych ma jeszcze inne źródła. Z ekspe-

rymentalnego punktu widzenia zimne gazy atomowe są układami o ogromnych możliwo-

ściach manipulacji. Dobierać można rodzaj atomów (bozony, fermiony lub mieszaniny obu)

oraz kontrolować oddziaływania między nimi wykorzystując rezonanse Feshbacha [9, 10].

Poprzez zastosowanie odpowiednich wiązek laserowych możliwe jest wygenerowanie po-

tencjałów harmonicznych [11], periodycznych [12, 13], kwaziperiodycznych [14, 15] czy też

przypadkowych [16,17], a także kontrolowanie wymiarowości układu, począwszy od 1D [18].

Dzięki tym udogodnieniom, w zimnych gazach atomowych możliwe jest symulowanie zja-

wisk z innych dziedzin fizyki. Stanowią one tzw. kwantowe symulatory, których ideę wpro-

wadził Richard Feynmann w 1982 roku [19]. Zgodnie z jego założeniem, skomplikowany

kwantowy układ może być zastąpiony prostszym, który naśladuje jego właściwości [20,21].

Zimne gazy atomowe są swego rodzaju interdyscyplinarnym laboratorium o ogromnych

możliwościach badania skomplikowanych problemów m.in. z fizyki fazy skondensowanej

czy optyki kwantowej [12, 13]. Rozwój tej dziedziny w ostatnich latach doprowadził do

wytworzenia sztucznych pól cechowania, a więc pewnych specyficznych warunków, które

powodują, że neutralne atomy zachowują się jak naładowane cząstki w efektywnym polu

magnetycznym. Istnieje kilka metod generowania sztucznych pól, m.in. rotujące pułapki

i sieci optyczne [22–24], tunelowanie wspomagane laserem [25,26] oraz oddziaływanie ato-

mów z polem laserowym [27–30]. Otworzyło to wachlarz możliwości dla symulowania i

lepszego zrozumienia fundamentalnych zjawisk magnetycznych takich jak kwantowy efekt

Halla [31, 32], fraktalna struktura pasm energetycznych (Motyl Hofstadtera) [33–35] czy

wysokotemperaturowe nadprzewodnictwo [36,37] i izolatory topologiczne [38–40].

1.1.1 Teoria kondensacji w przybliżeniu średniego pola

Równanie Grossa-Pitajewskiego

Kondensat Bosego-Einsteina jest gazem N bozonów, które znajdują się w takim samym

stanie kwantowym, zatem całkowitą funkcję falową układu można przedstawić w postaci

4


iloczynu funkcji jednocząstkowych [41]:

Ψ(~r1, ..., ~rN ) =N∏

i=1

φ0(~ri). (1.1.1)

W rzeczywistości jednak istnieją oddziaływania między atomami i powyższa forma funkcji

falowej może być jedynie przybliżeniem rzeczywistego stanu podstawowego układu. Atomy

oddalone od siebie o r oddziałują między sobą van der Waalsowsko poprzez elektryczne

dipole d1 i d2 z potencjałem oddziaływania [42]:

Ud−d(r) =1

4πǫ0r3

[

d1 · d2 − 3(

d1 ·r

r

)(

d2 ·r

r

)]

. (1.1.2)

Traktując go perturbacyjnie możemy zauważyć, że poprawka pierwszego rzędu do energii

układu będzie równa zero ze względu na zachowanie parzystości stanów własnych, tj. ele-

menty diagonalne operatorów momentu dipolowego są równe zero. Dlatego też pierwsza

niezerowa poprawka pojawi się w drugim rzędzie rachunku zaburzeń i potencjał oddzia-

ływania między atomami będzie się zmieniał jak ∼ 1/r6, a więc zanika szybciej niż 1/r3.

Wynika stąd, że w zakresie niskich energii między atomami dominują zderzenia o momencie

pędu równym zero a więc charakteryzuje ją jedna liczba - długość rozpraszania a. Dlatego

też w opisie kondensatu można przyjąć prosty krótkozasięgowy potencjał postaci:

U(r1 − r2) = g0δ(r1 − r2), (1.1.3)

który jest potencjałem kontaktowym ze względu na deltę Diraca. Parametr g0 jest stałą

sprzężenia i dla trzech wymiarów (3D) wnosi:

g0 =4π~2a

m, (1.1.4)

a więc jest proporcjonalny do długości rozpraszania a, którą można zmieniać niemal dowol-

nie stosując rezonanse Feshbacha [9, 10]. Hamiltonian opisujący układ N atomów o masie

m spułapkowanych w potencjale V (r) przybiera postać:

H =N∑

i=1

[

p2i

2m+ V (ri)

]

+1

2

N∑

i 6=j=1

U(ri − rj). (1.1.5)

Wyznaczając jego wartość średnią w stanie kondensatu (1.1.1) otrzymujemy funkcjonał

energii:

E[φ0, φ∗0] = 〈Ψ|H|Ψ〉 = N

∫

d3r

[

~2

2m|∇φ0(~r)|2 + V (~r)|φ0(~r)|2 +

N − 1

2g0|φ0(~r)|4

]

.

(1.1.6)

5


Czynnik pojawiający się w wyrazie oddziaływania N(N − 1)/2 jest liczbą kombinacji two-

rzenia par oddziałujących ze sobą bozonów. Dla dużej liczby cząstek N − 1 ≈ N . Zwycza-

jowo funkcję kondensatu przepisuje się w postaci ψ(r) =√Nφ0(r), dzięki czemu wyrażenie

na energię układu przyjmuje prostszą formę:

E =

∫

d3r

[

~2

2m|∇ψ(~r)|2 + V (~r)|ψ(~r)|2 + g0

2|ψ(~r)|4

]

, (1.1.7)

Aby znaleźć stan jednocząstkowy, dla którego ψ będzie najlepszym przybliżeniem stanu

podstawowego, minimalizujemy energię układu stosując metodę mnożników Lagrange’a i

dokonując wariacji względem φ∗0. W ten sposób otrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskiego

[43]:

− ~2

2m∇2φ0(~r) + V (~r)φ0(~r) + g0|φ0(~r)|2φ0(~r) = µφ(~r), (1.1.8)

gdzie µ jest mnożnikiem Lagrange’a posiadającym interpretację fizyczną jako potencjał

chemiczny. Można pokazać, że:

µ =∂E

∂N. (1.1.9)

Równanie Grossa-Pitajewskiego jest szczególnym przypadkiem nieliniowego równania Schrödin-

gera, w którym wyraz nieliniowy odpowiada średniopolowemu oddziaływaniu atomu z

resztą chmury. W zależności od znaku długości rozpraszania (efektywnie g0) potencjał

chmury atomowej może być przyciągający (g0 < 0) lub odpychający (g0 > 0).

Rozważmy teraz kondensat Bosego-Einsteina umieszczony w pudle. Na jego brzegach

funkcja falowa musi znikać, natomiast z dala od ścian potencjału gęstość kondensatu jest

jednorodna i osiąga pewną określoną wartość. Odległość, na jakiej wartość funkcji falowej

rośnie od zera do jej wartości maksymalnej wewnątrz pudła, można wyznaczyć z równania

Grossa-Pitajewskiego, ponieważ z dala od ścian funkcja falowa jest zdeterminowana przez

współzawodnictwo między energią oddziaływania ∼ g0|ψ|2 a energią kinetyczną. Jeżeli

przestrzenne zmiany funkcji falowej zachodzą na zakresie ξ, energia kinetyczna na cząstkę

jest rzędu ~2/2mξ2 i dwie energie są sobie równe gdy:

~2

2mξ2= g0|ψ0|2, (1.1.10)

a więc

ξ =~

√

m|ψ(0)|2g0. (1.1.11)

Wielkość ta zwana jest długością zabliźnienia czy też długością koherencji (lub korela-

cji) i opisuje długość, na której funkcja falowa dąży do swojej maksymalnej wartości gdy

poddana jest lokalnemu zaburzeniu.

6


Przybliżenie Thomasa-Fermiego

Równanie Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) jest równaniem różniczkowym nieliniowym, a

więc nie istnieje jednoznaczna metoda znajdywania jego rozwiązań analitycznie. W ogól-

ności trudno jest znaleźć ścisłe rozwiązania w wymiarach większych niż jeden (1D). W

1D ścisłymi rozwiązaniami są solitony: jasne dla oddziaływań przyciągających (g0 < 0) i

ciemne dla odpychających (g0 > 0), do których wrócimy później, zob. sekcja 1.2.2. W więk-

szości przypadków jednak można zastosować pewne przybliżenia, które pozwalają otrzymać

stan podstawowy kondensatu. Jednym z nich jest przybliżenie Thomasa-Fermiego, które

stosuje się dla chmur o dużej liczbie atomów i oddziaływaniach odpychających i polega na

pominięciu energii kinetycznej. Przyjmując jako R promień kondensatu Bosego-Einsteina

umieszczonego w potencjale harmonicznym, dla dużej liczby atomów otrzymujemy waru-

nek:

R≫√

~

mω, (1.1.12)

gdzie prawa strona nierówności jest oscylatorową skalą długości dla pułapki harmonicznej

o częstości ω dla atomów o masie m. Rozpatrując stosunek energii kinetycznej do energii

potencjalnej pułapki dostajemy wyrażenie:

Ekin

Eharm≈

~2

mR2

mω2R2=

(

~

mωR2

)2

≪ 1, (1.1.13)

a więc w równaniu Grossa-Pitajewskiego możemy zaniedbać wyraz proporcjonalny do ∇2ψ

i otrzymać rozwiązanie Thomasa-Fermiego:

ψTF (r) =

√

µ− 12r2

g r2 ≤ 2µ ≡ R2TF ,

0 r2 > R2TF .

(1.1.14)

Zastosowaliśmy w tym przypadku tzw. jednostki oscylatorowe, dla których skalą długości

jest l0 =√

~/mω, a energii E0 = ~ω. Potencjał chemiczny µ wyznaczamy z warunku

normalizacji∫

|ψTF (r)|2d3r = 1 i dla 2D w jednostkach oscylatorowych wynosi on:

µ =√

g/π. (1.1.15)

Linearyzacja równania Grossa-Pitajewskiego

Linearyzacja równania Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) jest procedurą pozwalającą na ana-

lizę rozwiązań pod kątem ich stabilności, tj. eksponencjalnej rozbieżności w czasie. Liniowe

rozwinięcie wokół małego zaburzenia δφ funkcji falowej kondensatu prowadzi do teorii li-

niowej odpowiedzi układu na zewnętrzną perturbację oraz do teorii Bogoliubova, która

mikroskopowo opisuje gaz ultrazimnych atomów [44].

7

1.2. Wprowadzenie do zjawisk topologicznych

Niech φ0 będzie stacjonarnym rozwiązaniem równania Grossa-Pitajewskiego (1.1.8).

Zakładając słabe zaburzenie funkcji falowej, wprowadźmy małą poprawkę wokół tego roz-

wiązania:

φ = φ0 + δφ. (1.1.16)

Wstawiając do równania (1.1.8) i uwzględniając jedynie człony liniowe w δφ, możemy

wyznaczyć poprawkę δφ oraz δφ∗. Problem sprowadza się do rozwiązania zagadnienia

własnego dla liniowego operatora L:

L|ψk〉 = ǫk|ψk〉, (1.1.17)

gdzie w 1D

L =

(

+HGP + g0|φ0|2 g0φ20

−g0φ∗20 −HGP − g0|φ0|2

)

, (1.1.18)

HGP = −1

2∂2x + g0|φ0|2 − µ, (1.1.19)

w jednostkach oscylatorowych. Załóżmy również parametryzację prawostronnego wektora

własnego L jako:

|ψRk 〉 =

[

|uk〉|vk〉

]

do wartości własnej ǫk. (1.1.20)

1.2 Wprowadzenie do zjawisk topologicznych

Topologia jako dziedzina matematyki zajmuje się obiektami (przestrzeniami topolo-

gicznymi), których własności są niezmiennicze ze względu na ciągłe deformacje takie jak

rozciąganie, zginanie, ściskanie, skręcanie, które nie powodują dziurawienia, rozrywania

czy sklejania ich struktury. Aby lepiej zrozumieć rolę jaką odgrywają efekty topologiczne

w fizyce, powinniśmy zacząć od wyjaśnienia kilku pojęć [45].

Ciągłe odwzorowania f : X → Y pomiędzy przestrzeniami topologicznymi X i Y zwane

są homeomorfizmami lub izomorfizmami topologicznymi, jeśli f jest ciągłą bijekcją (każ-

demu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny), która posiada cią-

głą funkcję odwrotną f−1.

Homeomorficzne przestrzenie są zatem identyczne z topologicznego punktu widzenia,

choć mogą mieć różne rozmiary i kształty. Weźmy dla przykładu okrąg i kwadrat. Pomimo

różnic geometrycznych przestrzenie związane z tymi figurami są izomorficzne topologicznie

- zawierają jednowymiarowy kontur zamknięty, który dzieli płaszczyznę na dwie części -

8


wewnątrz i na zewnątrz figury. Ściśle związane z homeomorfizmem jest pojęcie homotopii,

które jest mniej restrykcyjne ze względu na własności.

Homotopią nazywamy odwzorowanie H : X × [0, 1] → Y między przestrzeniami topolo-

gicznymi X i Y , takie że dla ciągłych funkcji f i g, f, g : X → Y zachodzi f(x) = H(x, 0)

i g(x) = H(x, 1) dla każdego x ∈ X.

Jeśli drugi parametr funkcjiH rozważymy np. jako parametryzację czasu, to homotopia

opisuje ciągłą deformację funkcji f w g, ponieważ dla czasu t = 0 startujemy od funkcji f

i kończymy na funkcji g po czasie t = 1.

Zarówno homeomorfizm jak i homotopia są relacjami równoważności, co oznacza, że są

symetryczne (jeśli f jest homeomorficzne/homotopijne do g, to g homeomorficzne/homotopijne

do f) oraz przechodnie (jeśli f jest homeomorficzne/homotopijne do g, a g jest homeomor-

ficzne/homotopijne do h, to f jest homeomorficzne/homotopijne do h). Stąd homeomor-

fizmy i homotopie mogą być podzielone na klasy równoważności.

Najbardziej znanym przykładem homeomorfizmu, będącego również homotopią jest

przekształcenie kubka na kawę w torus. Można tego dokonać w sposób ciągły bez rozrywa-

nia czy sklejania poprzez stopniowe rozszerzanie dna kubka (spłycanie) i wygięcie go wzdłuż

uchwytu. Oczywiście również istnieje ciągła transformacja odwrotna. Ogólnie każdy ho-

meomorfizm jest homotopijnie równoważny, ale odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe.

Aby to zilustrować rozważmy koło oraz punkt. Są one homotopijnie równoważne wzglę-

dem siebie, ponieważ koło można sprowadzić do punktu, natomiast nie są homeomorficzne,

ponieważ takie odwzorowanie nie jest bijekcją.

Powyższe przykłady pokazują, że topologia nie bazuje na konkretnych kształtach i roz-

miarach obiektów, ale na ich pewnych generycznych własnościach. Te z nich, które są

niezmiennicze względem homeomorfizmów lub homotopii (w zależności od wyboru kla-

syfikacji przestrzeni topologicznych) nazywamy własnościami topologicznymi lub inaczej

topologicznymi niezmiennikami. Może nimi być np. liczba dziur, ponieważ nie da się

ciągłym przekształceniem sprowadzić dziury do punktu. Dlatego pączek, obwarzanek i

precel są scharakteryzowane innymi liczbami topologicznymi zwanymi również ładunkiem

topologicznym.

1.2.1 Defekty topologiczne

Szczególną rolę w fizyce odgrywa grupa efektów topologicznych określana mianem topo-

logicznych defektów. Są to rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych, których nie da

9


się w sposób ciągły przekształcić w rozwiązania próżniowe (o najniższej energii), a więc są

homotopijnie różne od próżni. Wprowadzona wcześniej teoria homotopii pozwala na klasy-

fikację rozwiązań i określa kiedy rzeczywiście są topologicznie odrębne. Z tego też powodu

można je uważać za wzbudzenia układu, które są stabilne względem niewielkich zaburzeń

oraz nie mogą same ulegać rozpadowi, choć stabilność w tym przypadku ma odmienne zna-

czenie niż dla większości rozwiązań generowanych przez rachunek perturbacyjny, ponieważ

w tym przypadku dotyczy możliwości (lub jej braku) ciągłej transformacji. Obecność topo-

logicznych defektów ściśle związana jest ze spontanicznym łamaniem symetrii [46], dlatego

mogą one pojawiać się w różnych dziedzinach współczesnej fizyki [47, 48].

Słowo „defekt” wskazuje, że stanowią pewne zaburzenie naturalnego porządku. W

przypadku kondensatu Bosego-Einsteina wyznaczają miejsca zerowe funkcji falowej, a więc

odstępstwa od jednorodnej struktury gęstości prawdopodobieństwa. W zależności od wy-

miaru układu możemy obserwować jednowymiarowe solitony, które zostały opisane w punk-

cie 1.2.2, oraz dwuwymiarowe wiry, punkt 1.2.3.

1.2.2 Solitony jako defekty topologiczne w 1D

Równania różniczkowe cząstkowe z wyrazem nieliniowym mogą posiadać rozwiązania

solitonowe, a więc takie, które propagują się bez zmiany kształtu. Dzięki kompensacji dys-

persji przez nieliniowość równania, swobodny pakiet falowy nie ulega rozmyciu i zachowuje

swój pierwotny kształt. Ponadto solitony wykazują stabilność ze względu na zaburzenia

i wzajemne zderzenia. W fizyce znanym przykładem równania posiadającego rozwiąza-

nie solitonowe jest równanie sine-Gordona, ale także równanie Grossa-Pitajewskiego [49]

opisujące kondensat.

Ciemne solitony w kondensacie Bosego-Einsteina

Rozważmy jednowymiarowe równanie Grossa-Pitajewskiego z odpychającymi oddzia-

ływaniami między atomami (g0 > 0):

i~∂φ0∂t

= − ~2

2m

∂2φ0∂x2

+ g0|φ0|2φ0. (1.2.1)

Analitycznym rozwiązaniem jest tzw. ciemny soliton [42]:

φ0(x, t) = e−iµ0t/~√ρ0[

iq

s+

√

1− q2

s2tanh

(

x− q

ξ

√

1− q2

s2

)]

, (1.2.2)

gdzie ρ0 to gęstość kondensatu z dala od solitonu, µ0 = ρ0g0 oznacza potencjał chemiczny,

s =√

ρ0g0/m jest prędkością zaburzeń długofalowych w kondensacie (prędkość dźwięku),

10


natomiast ξ = ~/√mρ0g0 opisuje długość zabliźnienia. Ponadto centrum solitonu, a tym

samym minimum gęstości chmury atomowej, zlokalizowane jest wokół q i porusza się z

prędkością q ≤ s.

Stacjonarny soliton, dla którego q = 0 przyjmuje postać:

φ0(x, t) = e−iθ√ρ0 tanh

(

x− q

ξ

)

, (1.2.3)

gdzie θ jest globalną fazą funkcji falowej.

Topologiczna natura solitonu objawia się w warunkach brzegowych, a więc w zachowa-

niu φ0 w ±∞:

φ0(+∞) ≡ φ+0 → eiθ√ρ, (1.2.4)

φ0(−∞) ≡ φ−0 → −eiθ√ρ. (1.2.5)

Wynika stąd, że faza funkcji falowej wzdłuż solitonu zmienia się o π. Ciemny soliton

zatem jest pewną interpolacją między dwoma stanami o takich samych energiach, φ+0 i

φ−0 . W takiej sytuacji nie da się ciągłą transformacją sprowadzić solitonu do rozwiązania

próżniowego, tj. φ0 = const, ponieważ należą one do innych klas równoważności, a więc

nie są homotopijne względem siebie. Taka deformacja byłaby możliwa jedynie w sytuacji,

gdy φ+0 = φ−0 . Rozwiązania zachowujące się w taki sposób, jak ciemny soliton noszą w

fizyce nazwę „kinków” [45].

1.2.3 Wiry jako defekty topologiczne w 2D

Wiry pojawiają się w fizyce jako miejsca zerowe dwuwymiarowej funkcji falowej, wokół

których wzdłuż niewielkiej pętli faza funkcji falowej wzrasta o 2πn, gdzie n jest liczbą cał-

kowitą wyrażającą ładunek topologiczny czy też inaczej liczbę nawinięć fazy. Rozpatrując

nadciekłość można zauważyć, że krążenie atomów w wirze odbywa się bez tarcia (z definicji

nadciekłości), a więc nigdy nie ustaje.

Wiry w kondensacie Bosego-Einsteina

Rozważmy funkcję falową kondensatu ψ(r, t) w przybliżeniu średniego pola zapisując

ją za pomocą gęstości prawdopodobieństwa ρ(r, t) = |ψ(r, t)|2 oraz fazy φ(r, t), tj.:

ψ(r, t) =√

ρ(r, t)eiφ(r,t) (1.2.6)

11


Wstawiając ją do równania Grossa-Pitajewskiego opisującego kondensat w potencjale pu-

łapkującym V (r) i rozdzielając część rzeczywistą i urojoną, otrzymujemy dwa równania:

∂ρ

∂t= − ~

m∇ · (ρ∇φ) , (1.2.7)

−~∂φ

∂t= − ~

2

2m√ρ∇2√ρ+ ~

2

2m∇φ · ∇φ+ V (r) + g0ρ. (1.2.8)

Jeśli zdefiniujemy prędkość kondensatu jako:

v(r, t) =~

m∇φ, (1.2.9)

to wyrażenie (1.2.7) przyjmuje postać równania ciągłości znanego z hydrodynamiki:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0, (1.2.10)

gdzie v jest tak naprawdę potencjalnym polem prędkości, ponieważ stanowi gradient wiel-

kości skalarnej, którą jest faza pełniąca rolę potencjału prędkości. Na drugie równanie

natomiast (1.2.8) możemy obustronnie zadziałać operatorem ∇ i doprowadzić je do po-

staci równania ewolucji dla pola prędkości:

m∂v

∂t+∇

(

1

2mv2 + V + g0ρ−

~

2m√ρ∇2√ρ

)

= 0. (1.2.11)

Równanie to odpowiada klasycznemu równaniu Eulera dla idealnej cieczy (nielepkiej) za

wyjątkiem ostatniego wyrazu zwanego ciśnieniem kwantowym ze względu na obecność sta-

łej Plancka, który opisuje siły powstałe w wyniku przestrzennych zmian amplitudy funkcji

falowej kondensatu. Jeśli zmiany te odbywają się na skali mniejszej niż długość zabliźnie-

nia ξ (1.1.11), to ciśnienie kwantowe staje się istotną wielkością. W większości przypadków

jednak dla gładkich gęstości prawdopodobieństwa ciśnienie kwantowe jest zaniedbywalnie

małe, a więc można je pominąć.

Cechą pól potencjalnych jest brak cyrkulacji, co wynika wprost z rachunku wektoro-

wego:

Γ =

∮

Cv · dr =

∫

(∇× v) · ds = ~

m

∫

(∇×∇φ) · ds = 0, (1.2.12)

dlatego w większości przypadków kondensat Bosego-Einsteina jest bezwirowy. Może się

jednak zdarzyć, że pole prędkości (1.2.9) posiada osobliwości na obszarze wyznaczonym

konturem C i wtedy cyrkulacja będzie różna od zera. Nie może ona jednak przyjmować

być dowolna. Wynika to z faktu, że zmiana fazy funkcji falowej kondensatu po konturze

zamkniętym musi być wielokrotnością 2π ze względu na jednowartościowość funkcji falowej.

Zatem dozwolone wartości cyrkulacji wynoszą:

Γ =

∮

Cv · dr =

~

m2πl = l

h

m, (1.2.13)

12


gdzie l jest liczbą całkowitą. Widać zatem, że cyrkulacja jest skwantowana w jednostkach

h/m.

Aby zobrazować efekt niezerowej cyrkulacji, rozważmy kondensat atomów będących w

stanie jednocząstkowym o momencie pędu Lz = ~l,

ψ(r, ϕ, z) = f(r, z)eilϕ, (1.2.14)

gdzie f(r = 0, z) = 0. W tym przypadku pole prędkości posiada osobliwość w punkcie

r = 0, co łatwo widać wyznaczając gradient fazy we współrzędnych cylindrycznych:

∇(lϕ) =l

reϕ. (1.2.15)

Zatem cyrkulacja jest niezerowa i wynosi:

Γ =~

m

∮

ldϕ = lh

m, (1.2.16)

gdzie l wyznacza liczbę nawinięć fazy funkcji falowej, a więc pełnych obiegów, wokół oso-

bliwości. Okazuje się, że cyrkulacja zawsze wyniesie lh/m, gdy kontur całkowania będzie

obejmował oś r = 0, dlatego też kwanty cyrkulacji są rodzajem ładunku topologicznego,

a więc pewnej wewnętrznej własności układu, dlatego deformacja konturu, o ile obejmuje

on osobliwość, prowadzi zawsze do tego samego wyniku.

1.2.4 Izolatory topologiczne

Izolatory topologiczne to materiały będące izolatorami, tj. posiadające przerwę ener-

getyczną pomiędzy pasmem całkowicie obsadzonym a pasmem przewodnictwa, w których

jednak istnieją stabilne przewodzące stany na brzegach, a przewodność scharakteryzowana

jest topologicznymi liczbami kwantowymi. Historycznie pierwszym układem przejawiają-

cym topologiczne zachowanie był kwantowy efekt Halla i tego typu izolatorami, zwanymi

izolatorami Cherna, będziemy się zajmować w niniejszej pracy. Obecnie znanych jest wiele

innych rodzajów topologicznych izolatorów, a lista kategorii uwzględniających zachowane

w układzie symetrie jest bardzo długa [50–53]. Aby lepiej zrozumieć istotę kwantowego

efektu Halla [54], zacznijmy od przypadku klasycznego [55].

Klasyczny efekt Halla

Rozważmy gaz elektronów w przewodniku w dwóch wymiarach przestrzennych, tj. w

płaszczyźnie XY oraz załóżmy, że w przewodniku płynie prąd tak jak na Rys. 1.1. Ruch

13


elektronów w przybliżeniu można traktować jako jednostajny prostoliniowy, ponieważ na-

tężenie zewnętrznego pola elektrycznego przyspiesza elektrony do średniej prędkości dryfu

vd w czasie τ pomiędzy zderzeniami z innymi elektronami, tj.

vd = −eτm

E. (1.2.17)

Wysumowanie przyczynków od wszystkich elektronów prowadzi do wyrażenia na gęstość

prądu j = −neevd = σ0E, gdzie:

σ0 =nee

2τ

m(1.2.18)

wyraża przewodność, a ne jest koncentracją elektronów. Jeśli natomiast dodatkowo prze-

wodnik umieścimy w polu magnetycznym o indukcji B, skierowanym wzdłuż osi z, a więc

prostopadle do przewodnika, to trajektorie nośników zostaną zakrzywione w wyniku dzia-

łania siły Lorentza, a więc wyrażenie (1.2.17) musi ją uwzględniać, tj.:

vd = −e(E+ vd ×B)τ

m. (1.2.19)

Prowadzi to do asymetrii w rozkładzie ładunku chmury elektronów, tj. ładunek ujemny

będzie akumulowany na jednym z brzegów przewodnika, tak jak na Rys. 1.1. Powstała w

ten sposób różnica potencjałów nosi nazwę napięcia Halla, a wygenerowane pole elektryczne

przeciwdziała dalszemu gromadzeniu się elektronów i napięcie przyjmuje określoną wartość.

Przepisując gęstość prądu jako:

j = σ0E− σ0neec

j×B (1.2.20)

widać, że w tym przypadku przewodność staje się tensorem. Z powyższego wyrażenia łatwo

odczytać tensor oporności ρ, tj.:

E = ρj, ρ =

(

ρ0B

neec

− Bneec

ρ0

)

(1.2.21)

gdzie ρ0 = 1/σ0. Wtedy przewodność σ jest macierzą odwrotną do ρ, tj. σ = ρ−1, a więc

σxx =σ0

1 + ωcτ2, σxy =

neec

B+

1

ωcτσxx, (1.2.22)

gdzie ωc = eB/cm wyraża częstość cyklotronową.

Kwantowy efekt Halla

Traktując elektron kwantowo, możemy wyrazić jego stan za pomocą funkcji falowej

|ψ(r)〉. W obecności pola magnetycznego część kinetyczna hamiltonianu ulega modyfikacji,

14


I

B

x

y

z

Rysunek 1.1: Klasyczny efekt Halla. W zewnętrznym polu magnetycznym B skierowanym

wzdłuż osi z poruszające się w płaszczyźnie XY ładunki są odchylane w wyniku działania

siły Lorentza. W ten sposób powstaje asymetria w rozkładzie ładunku chmury elektronów,

a tym samym poprzeczna różnica potencjałów między brzegami próbki zwana napięciem

Halla.

tj. p → p−eA/c. W klasycznym efekcie Halla pole magnetyczne B skierowane było wzdłuż

osi z, a więc B = Bz. Wykorzystując związek pomiędzy potencjałem wektorowym A i

polem magnetycznym B = ∇ × A możemy zastosować tzw. cechowanie Landaua, aby

otrzymać odpowiedni wektor pola magnetycznego. Wtedy A = Bx y i zagadnienie własne

dla elektronu w polu magnetycznym przyjmuje postać:

H|ψ(r)〉 =(

p2x2m

+1

2m

(

py −e

cBx)2)

|ψ(r)〉 = E|ψ(r)〉. (1.2.23)

Ponieważ pęd py komutuje z hamiltonianem, to funkcję falową |ψ〉 możemy zapisać rozsepa-

rowując zmienne, tj. |ψ〉 = eikyyφ(x). Korzystając z wyrażenia na częstość cyklotronową

ωc = eB/cm hamiltonian z równania (1.2.23) można sprowadzić do postaci oscylatora

harmonicznego:

H =p2x2m

+1

2mωc (x− x0)

2 , (1.2.24)

gdzie x0 = ~ky/mωc ≡ l2Bky, a lB to długość magnetyczna określająca rozmiar elementarnej

orbity cyklotronowej. Energie własne układu wynoszą:

En = ~ωc

(

n+1

2

)

, (1.2.25)

15


a więc spektrum złożone jest z poziomów odległych od siebie o ~ωc, zwanych również po-

ziomami Landaua. Są one zdegenerowane, ponieważ energia nie zależy od liczby kwantowej

ky. Aby wyznaczyć liczbę możliwych poziomów Landaua oraz ich obsadzenie zakładamy, że

wymiary układu wynoszą Lx i Ly w kierunkach x i y odpowiednio. Zakładając periodyczne

warunki brzegowe, ky może przyjmować wartości:

ky =2π

Lymy, (1.2.26)

gdzie my jest liczbą całkowitą. Stąd możliwe wartości x0 są oddalone od siebie o ∆x =

l2B∆ky = 2πl2B/Ly. Zauważmy, że jeśli Ly ≫ lB, to ∆x ≪ lB, a więc odległość między

sąsiadującymi stanami jest dużo mniejsza niż szerokość każdego z nich. Całkowita liczba

niezależnych stanów wynosi zatem LxLy/2πl2B, a każdy poziom Landaua ma ich:

NL =1

2πl2B=

eB

2π~c(1.2.27)

w jednostce powierzchni. Wynika stąd, że im silniejsze pole magnetyczne, tym większa de-

generacja stanów oraz separacja poziomów Landaua, ponieważ ωc ∼ B. Reżim kwantowego

efektu Halla pojawia się dla odpowiednio silnych pól magnetycznych i niskich temperatur,

tj. kBT ≪ ~ωc. Wtedy każdy poziom Landaua ma tak dużą degenerację, że wszystkie

elektrony obsadzają tylko kilka najniższych z nich poniżej energii Fermiego EF (maksymal-

nej energii obsadzenia w temperaturze T = 0) oraz wzbudzenia termiczne nie powodują

przejść pomiędzy nimi. W takim przypadku można rozpatrywać dwie sytuacje. Jeśli ener-

gia Fermiego EF przecina jeden z poziomów Landaua, otrzymujemy metal, natomiast jeśli

EF znajduje się pomiędzy ν a ν + 1 poziomem Landaua, gdzie ν jest liczbą naturalną, to

mamy do czynienia z izolatorem. Wtedy rozpraszanie elektronów zanika, ponieważ nie ma

dostępnych stanów nieobsadzonych (wszystkie stany do energii EF są obsadzone), a więc

żaden z elektronów nie może zmienić swojego stanu ze względu na zakaz Pauliego. Stąd

diagonalne wyrazy tensora oporności ρ (1.2.21) oraz tensora przewodności (1.2.22) znikają

(τ → ∞), a pozadiagonalne są skwantowane i wyrażone przez kombinację fundamentalnych

stałych - ładunku elektronu e i stałej Plancka h:

ρxy =h

νe2, σxy = ν

e2

h, (1.2.28)

gdzie jako koncentrację przyjęliśmy liczbę obsadzonych stanów w jednostce powierzchni,

tj. ne = νNL. W eksperymencie energia Fermiego jest ustalona, a jedynym zmiennym

parametrem jest indukcja pola magnetycznego B. Ponieważ En ∼ B, to zwiększając pole

magnetyczne zwiększamy również energie wszystkich pasm (poziomów Landaua). Dlatego

też wybierając indukcję pola magnetycznego B możemy decydować o tym, czy układ jest

metalem, czy izolatorem.

16


Kwantyzacja przewodności Halla w kontekście stanów brzegowych - argument

Laughlina

Przewodność Halla ma fundamentalne topologiczne znaczenie, pierwszy raz wskazane

przez Laughlina w jego argumencie bazującym na niezmienniczości cechowania [56]. Jak

zaznaczył później Halperin [57], efekty brzegowe odgrywają w nim zasadniczą rolę.

Rozważmy dwuwymiarowy (2D) materiał umieszczony w prostopadłym polu magne-

tycznym o indukcji B. Zakładamy periodyczne warunki brzegowe w kierunku y i otwarte

w kieruku x, a więc efektywnie otrzymujemy cylindryczną geometrię układu, której oś sy-

metrii jest równoległa do kierunku x. Pole magnetyczne zatem skierowane jest radialnie

do powierzchni cylindra. Wprowadźmy ponadto dodatkowy strumień pola Φ przechodzący

przez walec równolegle do jego osi symetrii, który pozwoli nam kontrolować zmiany ky,

zob. Rys. 1.2.

Vx

Iy

B

B

Rysunek 1.2: Schemat układu realizującego eksperyment myślowy Laughlina, który iden-

tyfikuje kwant przewodności Halla z liczbą cząstek przetransportowanych z jednego brzegu

układu na drugi w wyniku obecności dodatkowego strumienia Φ.

Obecność dodatkowego strumienia powoduje przesunięcie ky → ky +2πΦ/Ly, gdzie Ly

jest obwodem walca. Ponadto do obu brzegów próbki przykładamy różnicę potencjałów Vx.

Chcielibyśmy powiązać prąd płynący na powierzchni cylindra, jy, ze spadkiem potencjału

z jednego brzegu, na drugi, a więc rozważyć kwantowy efekt Halla. Operator prądu można

wyrazić jako zmiany hamiltonianu w funkcji strumienia Φ, tj.:

jy =∂H

∂ky=Ly

2π

∂H

∂Φ. (1.2.29)

17


Wyznaczając wartość oczekiwaną prądu jy w stanie podstawowym układu:

〈ψ|jy|ψ〉 =∂〈ψ|H|ψ〉

∂Φ− 〈ψ|H∂Φ|ψ〉 − (∂Φ〈ψ|)H|ψ〉 = ∂E

∂Φ, (1.2.30)

gdzie wykorzystaliśmy normalizację |ψ〉 oraz ∂〈ψ|ψ〉/∂Φ = 0, otrzymujemy znane w fi-

zyce fazy skondensowanej równanie Byers-Yanga [58]. Możemy je teraz zdyskretyzować

zakładając bardzo wolny liniowy przepływ strumienia Φ:

Iy =∆E

∆Φ, (1.2.31)

gdzie ∆E oznacza zmianę energii spowodowaną wprowadzeniem strumienia Φ. Otrzymu-

jemy zatem prąd płynący wzdłuż walca, tj. wzdłuż translacyjnie niezmienniczego kierunku

y. Jeżeli układ jest izolatorem, tylko na brzegach może się pojawić fizyczny efekt, jednak

tylko w przypadku, gdy mamy do czynienia z nietrywialną topologią układu i przewodno-

ścią Halla. W rzeczywistości zawsze musimy wprowadzić brzeg chcąc zmierzyć napięcie, a

jeśli tak, to układ jest ciągle izolatorem w całej objetości, ale blisko brzegów ograniczające

pole elektryczne prostopadłe do obu brzegów Ex(L/2), Ex(−L/2) powoduje zakrzywienie

pasm energetycznych i przecięcie poziomu Fermiego. Załóżmy, że ν pasm przecina EF oraz

że strumień przepływający przez walec niesie dokładnie jeden kwant strumienia, ponieważ

dzięki temu wiemy, że wszystkie pędy obsadzonych stanów zmienią się o 2π/Ly, a więc do-

kładnie tyle, ile wynosi odległość między poziomami w kierunku y. Wtedy hamiltonian ze

strumieniem Φ odpowiada hamiltonianowi bez strumienia z dokładnością do transformacji

cechowania. Oznacza to, że energia mogła zostać zwiększona tylko przez repopulację sta-

nów. Bardzo blisko brzegu po adiabatycznym (bardzo wolnym) wprowadzeniu strumienia,

każde pasmo przecinające poziom Fermiego ma jeden obsadzony pęd powyżej poziomu

Fermiego na prawym brzegu oraz jeden nieobsadzony pęd poniżej EF na lewym przegu

póbki. Skoro różnica potencjałów między brzegami wynosi Vx, to różnica energii wynika-

jąca z wprowadzenia strumienia musi być równa energii potrzebnej do przetransportowania

ν cząstek przez różnicę potencjałów:

∆E = νeVx. (1.2.32)

Ponieważ ∆Φ = 1 (w jednostkach elementarnego strumienia), mamy:

σxy =IyVx

= ν, (1.2.33)

w jednostkach e2/h. Widać stąd, że istnienie przewodności Halla jest ściśle związane z

istnieniem modów brzegowych, a liczba stanów na każdym z brzegów próbki musi być

równa przewodności Halla.

18


Stany brzegowe

Zgodnie z wcześniejszym opisem, elektrony w polu magnetycznym zachowują się jak

oscylatory harmoniczne z częstością cyklotronową ωc. Okazuje się, że dla lepszego zrozu-

mienia zjawisk zachodzących w układzie pomocnym jest wprowadzenie semiklasycznego

opisu zachowania elektronów wewnątrz próbki i na jej brzegach. Przyjmijmy zatem w

uproszczeniu, że elektrony w wyniku działania siły Lorentza krążą po orbitach cyklotro-

nowych. W silnym polu magnetycznym orbity te są jednak tak małe, że elektrony zostają

efektywnie uwięzione w bardzo małym obszarze. Jednak te z nich, które znajdują się bli-

sko brzegu nie mają wystarczająco dużo miejsca, aby zakreślić pełne okrążenie, w wyniku

czego uderzają w brzeg próbki i zostają od niego odbite, powtarzając cały cykl, tak jak

na Rys. 1.3. W ten sposób elektrony blisko brzegu mogą poruszać się wzdłuż niego w

jednym kierunku, zdeterminowanym przez pole magnetyczne B. Stany te zwane są chiral-

nymi stanami brzegowymi i odpowiadają za kwantyzację przewodności Halla, co zostanie

szczegółowo omówione w rozdziale 4. Pojęcie chiralności związane jest z faktem, że na

przeciwległych krawędziach elektrony poruszają się w przeciwnych kierunkach.

B

Rysunek 1.3: Stany brzegowe przedstawione jako niekompletne orbity cyklotronowe elek-

tronów znajdujących się blisko krawędzi próbki.

W kontekście poziomów Landaua w przypadku periodycznych warunków brzegowych,

wszystkie poziomy są płaskie i oddalone od siebie o ~ωc. Jeśli natomiast w układzie

zostanie wprowadzony brzeg, tj. pewien potencjał pułapkujący, to stany Landaua ulegną

deformacji, a te znajdujące się blisko brzegów najmocniej odczują wpływ potencjału i

będą posiadać wyższą energię niż stany wewnątrz próbki. Zatem jeśli energia Fermiego EF

będzie się znajdowała pomiędzy ν i ν+1 poziomem Landaua, to energia ν stanów przetnie

poziom EF zarówno z dodatnią prędkością grupową (prawa strona wykresu), jak i ujemną

(lewa strona wykresu). Schematycznie sytuację tą przedstawia Rys. 1.4.

Stany brzegowe stanowią istotę izolatorów topologicznych, które są izolatorami w całej

19


EF

ky

E(ky)

Rysunek 1.4: Schematyczny diagram poziomów Landaua i stanów brzegowych. W obecno-

ści potencjału pułapkującego na brzegach próbki, poziomy Landaua ulegają zakrzywieniu i

przecinają poziom Fermiego EF , co prowadzi do brzegowego przewodnictwa topologicznego

izolatora.

objętości, ale posiadają przewodzące stany na brzegach stabilne ze względu na zaburzenia

i nieporządek.

Aspekt topologiczny kwantowego efektu Halla

W kwantowym efekcie Halla przewodność σxy (1.2.28) jest skwantowana z ekstremal-

nie dużą dokładnością i nie zależy od materiału, z którego wykonana jest próbka oraz

szczegółowej budowy układu eksperymentalnego. Dlatego też naturalnym wydaje się roz-

patrywanie topologicznych własności tego efektu i związanych z nim topologicznych liczb

kwantowych. Okazuje się, że liczba całkowita występująca we wzorze (1.2.28) oraz (1.2.33)

jest topologicznym niezmiennikiem, tzw. pierwszą liczbą Cherna c1, która jest zachowana

przy małych zaburzeniach hamiltonianu, nie zmieniających jego topologii. Pojawienie się

stanów brzegowych jest zatem naturalną konsekwencją topologicznej natury izolatorów

topologicznych, ponieważ powstają one na granicy między ośrodkami o różnych liczbach

Cherna, tj. nietrywialnym topologicznie izolatorem (c1 6= 0) i próżnią (c1 = 0). Przej-

ście pomiędzy próbką a próżnią wymaga zatem nieciągłej zmiany topologii. Dlatego też

zmiana liczby Cherna wymusza zamknięcie przerwy energetycznej poprzez pojawienie się

modów brzegowych. Podobnie analizując przewodność σxy, pomiędzy fazami izolatora o

różnych liczbach Cherna ν znajdują się fazy przewodzące, ponieważ niemożliwe jest ciągłe

20


przejście między dwoma izolatorami o różnych topologiach. W rozdziale 4 wrócimy do tego

zagadnienia i przeanalizujemy kwantowy efekt Halla w przypadku dyskretnym, a więc z

perspektywy sieci oraz wyprowadzimy formalnie opisywane wielkości.

21


22

Rozdział 2

Ciemny soliton w potencjale

przypadkowym

Ciemny soliton jest dokładnym rozwiązaniem równania Grossa-Pitajewskiego w jed-

nym wymiarze przy obecności odpychających oddziaływań między atomami. Pytanie, na

które chcielibyśmy odpowiedzieć w niniejszym rozdziale dotyczy zachowania solitonu pod

wpływem zewnętrznego potencjału, w szczególności potencjału przypadkowego. Wcześniej-

sze badania z udziałem jasnego solitonu, a więc dokładnego rozwiązania równania Grossa-

Pitajewskiego w obecności przyciągających oddziaływań, pokazały, że w kwantowym opisie

jasny soliton umieszczony w słabym zewnętrznym potencjale przypadkowym przejawia lo-

kalizację Andersona. Naszym celem było sprawdzenie, czy w przypadku ciemnego solitonu

również zachodzi zjawisko lokalizacji.

Sekcja 2.1 stanowi wprowadzenie do zagadnienia ciemnego solitonu w słabym zewnętrz-

nym potencjale oraz do lokalizacji Andersona. Punkty 2.1.1 oraz 2.1.2 przedstawiają wyniki

analitycznych obliczeń deformacji solitonu pod wpływem zaburzeń. Pierwszy z nich za-

wiera podejście w ramach teorii Bogoliubova ze złamanymi symetriami cechowania U(1)

oraz translacyjną, drugi natomiast bazuje na dobrze znanych stanach własnych hamilto-

nianu dla studni potencjału Pöschl–Tellera. Na podstawie otrzymanych wyników w sek-

cji 2.2 zaprezentowana jest analiza deformacji w zewnętrznym potencjale przypadkowym,

która pozwala wysunąć wniosek, że słaby zewnętrzny potencjał wpływa nieznacznie na

kształt ciemnego solitonu. Wynik ten okazuje się pomocny przy kwantowym opisie, w

którym będzie można pominąć sprzężenie położenia ciemnego solitonu z rezerwuarem fo-

nonów. W ostatniej sekcji 2.3 zaprezentujemy opis kwantowy oraz wyliczymy czas życia

zlokalizowanego andersonowsko ciemnego solitonu w potencjale przypadkowym.

23

2.1. Wprowadzenie

Prezentowane w niniejszym rozdziale badania nad ciemnym solitonem zostały rozpo-

częte w czasie pracy nad rozprawą magisterską [59] i następnie kontynuowane w trakcie

studiów doktoranckich. Całość wyników została zebrana w artykule [60]. W sekcji 2.3

numeryczne symulacje zostały przeprowadzone przez dra Marcina Płodzienia, który jest

współautorem wspomnianego artykułu [60].

2.1 Wprowadzenie

W rozdziale 1 w sekcji 1.2.2 wprowadziliśmy stacjonarne rozwiązanie równania Grossa-

Pitajewskiego w postaci ciemnego solitonu:

φ0(x, t) = e−iθ√ρ0 tanh

(

x− q

ξ

)

, (2.1.1)

gdzie θ jest globalną fazą funkcji falowej, a ρ0 gęstością gazu atomowego z dala od poło-

żenia q solitonu. Naturalną skalą energii w układzie jest potencjał chemiczny µ0 = ρ0g0,

natomiast długość zabliźnienia ξ, zob. (1.1.11), stanowi charakterystyczną skalę zaburzeń

kondensatu, dlatego też w pracy stosować będziemy następujące jednostki:

E0 = µ0,

l0 = ξ,

t0 =~

µ0. (2.1.2)

Wtedy rozwiązanie solitonowe możemy przepisać w postaci:

φ0(x) = e−iθ√

ρ0ξ tanh (x− q). (2.1.3)

Średniopolowy opis ciemnego solitonu w ramach rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego

(1.1.8) nazywać będziemy opisem klasycznym, natomiast w sekcji 2.3 zostanie wprowa-

dzony opis kwantowy, w którym np. położenie solitonu q stanie się kwantowym stopniem

swobody. W pracy rozważamy skończony jednowymiarowy (1D) układ, jednak chcąc go

opisać w obszarze z dala od brzegów pudła użyjemy analitycznych rozwiązań odpowia-

dających nieskończonej przestrzeni, które w razie potrzeby mogą zostać dostosowane do

warunków brzegowych w postaci φ0(x = 0) = 0 oraz φ0(x = L) = 0 [61].

2.1.1 Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach Bogoliubova

W naszych rozważaniach ciemny soliton umieszczony jest w ograniczonym i słabym

zewnętrznym potencjale V (x). Aby obliczyć małe zaburzenie solitonowej funkcji falowej,

24

2.1. Wprowadzenie

zacznijmy od niezależnego od czasu równania Grossa-Pitajewskiego w nowych jednostkach,

zob. (2.1.2):

−1

2∂2xφ(x) +

1

ρ0|φ(x)|2φ(x) + V (x)φ(x) = µφ(x), (2.1.4)

i podstawmy φ = φ0 + δφ oraz µ = µ0 + δµ = 1+ δµ, gdzie δφ jest małą poprawką funkcji

falowej (2.1.3), a δµ jest małym przyczynkiem do potencjału chemicznego, który pozwoli

nam poprawić możliwe zmiany całkowitej liczby cząstek ze względu na obecność potencjału

V (x). Zachowując jedynie liniowe wyrazy otrzymujemy niezależne od czasu, niejednorodne

równania Bogoliubova-de Gennes:

L[

δφ

δφ∗

]

= V

[

−φ0φ∗0

]

+ δµ

[

φ0

−φ∗0

]

, (2.1.5)

gdzie

L =

(

−12∂

2x +

2ρ0|φ0|2 − 1 + 1

ρ0φ20

− 1ρ0φ∗20

12∂

2x − 2

ρ0|φ0|2 + 1

)

. (2.1.6)

Aby rozwiązać równania (2.1.5) powinniśmy rozwinąć wektor (δφ, δφ∗)T w kompletnej

bazie zawierającej wektory własne niehermitowskiego operatora L. Baza ta została wy-

znaczona przez prof. Jacka Dziarmagę w artykule [61], zob. również [59, 62, 63], a więc

zaprezentujemy tylko najważniejsze wyniki tego wyprowadzenia. Szukając kompletnej

bazy trzeba zachować ostrożność, ponieważ operator L nie jest diagonalizowalny [61–64].

Możemy wyróżnić prawostronne stany własne operatora L, i.e. L|ψk〉 = ǫk|ψk〉, gdzie

|ψk〉 = (|uk〉, |vk〉)T oraz [61]

uk(x) =eikxe−iθ

4√πǫ

3/2k

[

(

k2 + 2ǫk)

(

k

2+ itanh(x− q)

)

+ +k

cosh2(x− q)

]

, (2.1.7)

vk(x) =eikxeiθ

4√πǫ

3/2k

[

(

k2 − 2ǫk)

(

k

2+ itanh(x− q)

)

+ +k

cosh2(x− q)

]

, (2.1.8)

które odpowiadają znanemu spektrum Bogoliubova:

ǫk =1

2

√

4k2 + k4. (2.1.9)

Powyższe stany własne nazywane są fononami, a więc stanowią elementarne wzbudzenia

układu, a ich wektory sprzężone |ψadk 〉 = (|uk〉,−|vk〉)T są również lewostronnymi modami

własnymi L. Biorąc pod uwagę symetrie operatora L, tj. σzLσz = L†, gdzie σz jest

macierzą Pauliego, otrzymujemy |ψk〉 = (|uk〉, |vk〉)T = (|v∗k〉, |u∗k〉)T , które są prawymi

modami własnymi do wartości własnych ǫk = −ǫk, natomiast |ψadk 〉 = (−|v∗k〉, |u∗k〉)T są

ich wektorami sprzężonymi. W nieskończonej przestrzeni prawostronne wektory i wektory

25

2.1. Wprowadzenie

sprzężone do nich spełniają warunek 〈ψadk |ψk′〉 = 〈uk|uk′〉 − 〈vk|vk′〉 = δ(k − k′). W

przypadku potencjału pudła wektory falowe są skwantowane, tj. kn = nπ/L gdzie n =

1, 2, . . ., a więc istnieje bardzo mała przerwa energetyczna dla wzbudzeń fononowych.

Oprócz fononów istnieją dwa mody operatora L do wartości własnej ǫk = 0 odpowia-

dające złamanym symetriom: cechowania U(1) oraz translacyjnej [61],[

uθ

vθ

]

= i∂

∂θ

[

φ0

φ∗0

]

, (2.1.10)

[

uq

vq

]

= i∂

∂q

[

φ0

φ∗0

]

, (2.1.11)

odpowiednio. Pojawiają się one jako mody zerowe ponieważ przesunięcie globalnej fazy

θ lub zmiana położenia solitonu w rozwiązaniu (2.1.3) nie prowadzą do zmian w ener-

gii układu, a więc mogą one zostać wybrane dowolnie. Mody zerowe spełniają warunek

〈uq|uθ〉 − 〈vq|vθ〉 = 0 i są ortogonalne do modów sprzężonych do fononów. Wektory sprzę-

żone do modów zerowych nie są lewostronnymi wektorami własnymi operatora L i mogą

być znalezione jako rozwiązania równania [63]

L[

uadθ,q

vadθ,q

]

=1

Mθ,q

[

uθ,q

vθ,q

]

, (2.1.12)

gdzie Mθ,q jest wyznaczone z warunku normalizacji 〈uadθ,q|uθ,q〉 − 〈vadθ,q|vθ,q〉 = 1. Otrzymu-

jemy zatem [61][

uadθ

vadθ

]

=∂

∂N0

[

φ0

φ∗0

]

− iR

[

uq

vq

]

, (2.1.13)

[

uadq

vadq

]

= − i

4√ρ0

[

e−iθ

−eiθ

]

, (2.1.14)

gdzie Mθ = ρ0(∂N0/∂ρ0), Mq = −4ρ0 i R = (2q − L)ρ0/MqMθ. Mamy więc 〈uadq |uθ〉 −〈vadq |vθ〉 = 0 i 〈uadθ |uq〉 − 〈vadθ |vq〉 = 0. Mały przyczynek od modu zerowego (uq, vq)

T w

(2.1.13) pozwala nam na spełnienie warunku ortogonalności 〈uadq |uadθ 〉 − 〈vadq |vadθ 〉 = 0.

Posiadamy już wszystkie wektory potrzebne do zbudowania kompletnej bazy prze-

strzeni Hilberta funkcji (δφ, δφ∗), dzięki czemu możemy w niej rozwinąć deformację so-

litonu, tj.:[

δφ

δφ∗

]

= ∆θ

[

uθ

vθ

]

+ Pθ

[

uadθ

vadθ

]

+∆q

[

uq

vq

]

+ Pq

[

uadq

vadq

]

+∑

k

(

bk

[

uk

vk

]

+ b∗k

[

v∗k

u∗k

])

. (2.1.15)

26

2.1. Wprowadzenie

Podstawiając (2.1.15) do (2.1.5) otrzymujemy układ równań:

V

[

−φ0φ∗0

]

+ δµ

[

φ0

−φ∗0

]

=Pθ

Mθ

[

uθ

vθ

]

+Pq

Mq

[

uq

vq

]

+∑

k

ǫk

(

bk

[

uk

vk

]

− b∗k

[

v∗k

u∗k

])

. (2.1.16)

Rzutując to równanie na wektory sprzężone otrzymujemy współczynniki rozwinięcia oraz

małą poprawkę do potencjału chemicznego. Warto zauważyć, że nie istnieją żadne ograni-

czenia w wyborze małego odchylenia ∆θ oraz ∆q, ponieważ są to współczynniki związane z

modami zerowymi. Niemniej jednak w przeciwieństwie do fazy θ, która może być dowolna,

przekonamy się, że położenie solitonu q nie może, ponieważ zewnętrzny potencjał łamie

symetrię translacyjną nie wpływając na symetrię cechowania U(1). Współczynnik ∆θ od-

powiada przesunięciu globalnej fazy solitonu (2.1.3), a więc bez straty ogólności możemy

wybrać ∆θ = 0. Dla współczynnika Pθ otrzymujemy

Pθ

Mθ= −2〈∂N0φ0|V φ0〉+ δµ− iR (〈uq|V φ0〉+ 〈vq|V φ∗0〉) . (2.1.17)

Ostatni wyraz z prawej strony równania może być przepisany w nieco innej formie, tj.:

〈uq|V φ0〉+ 〈vq|V φ∗0〉 ∼∫ L

0dx|φ0(x− q)|2∂xV (x), (2.1.18)

która przedstawia siłę działającą na soliton. Dla rozwiązania stacjonarnego położenie soli-

tonu q możemy wybrać tak, że siła ta jest równa zero. Wtedy również dowolne przesunięcie

solitonu powinno być równe zero, tj. ∆q = 0 w (2.1.15). Z takim wyborem położenia so-

litonu współczynnik Pθ jest wprost związany ze zmianą całkowitej liczby cząstek, która

w naszych założeniach jest stała. Wtedy Pθ = dN = 0 i równanie (2.1.17) pozwala nam

uzyskać poprawkę do potencjału chemicznego w postaci:

δµ = 2〈∂N0φ0|V φ0〉1

L

∫ L

0dy(

tanh y + y sech2y)

tanh yV (y + q). (2.1.19)

Rzutując (2.1.16) na mod sprzężony (2.1.14) otrzymujemy Pq = 0, czego można było się

spodziewać, ponieważ Pq ma interpretację pędu solitonu, a więc w stanie stacjonarnym

powinien być on równy zero.

Zatem z właściwym wyborem położenia solitonu oraz poprawki do potencjału chemicz-

nego, wszystkie współczynniki w (2.1.15) wynoszą zero z wyjątkiem

bk =1

ǫk[−〈uk|V φ0〉 − 〈vk|V φ∗0〉 ] , (2.1.20)

27

2.1. Wprowadzenie

które zawiera pełną informację o deformacji solitonu w słabym zewnętrznym potencjale.

Ostatecznie stacjonarne rozwiązanie solitonowe w obecności słabego zewnętrznego poten-

cjału wynosi:φ(x) = φ0(x) +

∑

k

[bkuk(x) + b∗kv∗k(x)] . (2.1.21)

2.1.2 Deformacja ciemnego solitonu: rozwinięcie w modach potencjału

Pöschl–Tellera

Podejście Bogoliubova jest odpowiednie w opisie modów własnych kolektywnych lub

elementarnych wzbudzeń kondensatu Bosego-Einsteina [44,65]. Jednak jeśli jesteśmy zain-

teresowani opisem stacjonarnego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego i jeśli rozwią-

zanie to może być przedstawione jako funkcja rzeczywista, możemy wprowadzić znaczące

uproszczenie. W niniejszym punkcie zobaczymy, że opis deformacji ciemnego solitonu re-

dukuje się do rozwinięcia funkcji falowej w modach potencjału Pöschl-Tellera [66]. Takie

podejście zostało zastosowane do analizy deformacji jasnego solitonu w słabym potencjale

zewnętrznym [67] i okazuje się, że jest odpowiednie również w przypadku ciemnego solitonu.

Zacznijmy znowu od stacjonarnego równania Grossa-Pitajewskiego, ale załóżmy, że

szukamy rozwiązania będącego funkcją rzeczywistą

(

−1

2∂2x +

1

ρ0φ2 − µ+ V (x)

)

φ = 0. (2.1.22)

Podobnie jak w przypadku podejścia Bogoliubova wprowadźmy µ = µ0 + δµ = 1 + δµ

oraz φ = φ0 + δφ, załóżmy również, że w rozwiązaniu solitonowym (2.1.3) globalna faza

θ = 0. Zachowując jedynie wyrazy liniowe, przepisując φ20(x − q) = ρ0 tanh2(x − q) =

ρ0[

1− cosh−2(x− q)]

oraz zmnieniając zmienne x→ x+ q otrzymujemy

(H0 + 2) δφ = δµφ0 − V (x+ q)φ0, (2.1.23)

gdzie H0 = −1

2∂2x −

3

cosh2(x), (2.1.24)

jest hamiltonianem dla cząstki w potencjale Pöschl–Tellera [66]. Aby obliczyć δφ musimy

odwrócić operator H0+2. Wszystkie stany własne hamiltonianu H0 są znane w literaturze

[68]. Istnieją dwa stany związane

ψ0(x) =

√3

2sech(x)2, (2.1.25)

ψ1(x) =

√

3

2sech(x) tanh(x), (2.1.26)

28

2.1. Wprowadzenie

do energii własnych E0 = −2 i E1 = −12 odpowiednio oraz stany rozproszeniowe:

ψk(x) =eikx

(2π)1/2k2 − 2 + 3sech2(x) + 3ik tanh(x)

[(1 + k2)(4 + k2)]1/2, (2.1.27)

do energii Ek = k2

2 , k ∈ R.

Zatem możemy rozwinąć deformację δφ w ortonormalnej bazie funkcji własnych

δφ = α0 ψ0 + α1 ψ1 +

∫

dk αk ψk(x), (2.1.28)

oraz wyznaczyć współczynniki αj rzutując równanie (2.1.23) na odpowiednie mody własne

(Ej + 2)αj =

∫

dx ψ∗j (x)[δµφ0 − V (x+ q)φ0]. (2.1.29)

Funkcja falowa (2.1.25) jest modem zerowym, tj. (H0+2)ψ0 = 0. Wtedy, równanie (2.1.23)

może być rozwiązane jeśli rzut prawej strony równania na mod zerowy znika. Wymagamy

zatem, aby −〈ψ0|V φ0〉+ δµ〈ψ0|φ0〉 = −〈ψ0|V φ0〉 ∼ 〈∂xφ0|V φ0〉

= −L∫

0

dx φ20(x− q)∂xV (x)

= 0. (2.1.30)

W (2.1.30) skorzystaliśmy z 〈ψ0|φ0〉 = 0 oraz z faktu, że mod zerowy jest również modem

translacyjnym ciemnego solitonu, tj. ψ0 ∼ ∂xφ0. Z warunku (2.1.30) wynika, że położenie

solitonu q powinno być wybrane w taki sposób, aby siła działająca na nie wynosiła zero,

por. z (2.1.18). Z równania (2.1.29) nie otrzymujemy żadnego ograniczenia na wartość

α0. Jednak biorąc pod uwagę, że α0ψ0 ma interpretację przesunięcia położenia solitonu,

powinniśmy wybrać α0 = 0 jeśli interesuje nas rozwiązanie stacjonarne.

Rozwiązanie równania (2.1.23) wymaga odwrócenia operatora H0 + 2 w przestrzeni

Hilberta z wyłączeniem modu zerowego, co nie stanowi problemu, ponieważ wszystkie

funkcje własne H0 sa znane. Mamy zatem

δφ(x) =

∫

dy K(x, y) [δµφ0 − V (y + q)φ0], (2.1.31)

gdzie symetryczne jądro K(x, y) wynosi

K(x, y) =2

3ψ1(x)ψ

∗1(y) + 2

∫

ψk(x)ψ∗k(y)

4 + k2

= − 1

16sech2(x)sech2(y)×

sh22x+ sh22y + 4ch2x+ 4ch2y

−3− (ch2x+ ch2y + 3) |sh2x− sh2y| −4sh|x− y|shx shy

−6|x− y| . (2.1.32)

29

2.1. Wprowadzenie

W podejściu Bogoliubova, nawet jeśli jesteśmy ograniczeni do podprzestrzeni fononów,

operator L posiada wartość własną równą zero jeśli przestrzeń konfiguracyjna jest nieskoń-

czona, zob. (2.1.9). Wynika stąd, że otrzymanie analogicznego jądra odpowiedzi nie jest

tak oczywiste, ponieważ całkowanie po podprzestrzeni fononów powinno być zamienione

przez sumę po dyskretnych wartościach wektora falowego.

Na koniec pozostaje nam określić poprawkę do potencjału chemicznego. W podejściu

Bogoliubova istnieje szczególny mod odpowiedzialny za zmiany całkowitej liczby cząstek,

który jest ortogonalny do wszystkich innych modów Bogoliubova, a więc aby utrzymać

stałą liczbę cząstek w układzie wystarczy upewnić się, że zaburzenie funkcji falowej nie

zawiera żadnego wkładu od tego modu. Teraz natomiast potencjał chemiczny otrzymujemy

z warunku normalizacji 〈φ|φ〉 = N0 +O(δφ2), z którego wynika, że 〈φ0|δφ〉 = 0 i wtedy

δµ =

∫

dxdy φ0(x)K(x, y)V (y + q)φ0(y)∫

dxdy φ0(x)K(x, y)φ0(y)

=1

L

∫

dy(

tanh y + y sech2y)

tanh yV (q + y), (2.1.33)

a więc otrzymujemy to samo wyrażenie co w podejściu Bogoliubova, por. z (2.1.19).

Ostateczne wyrażenie na stacjonarne rozwiązanie solitonowe w obecności słabego ze-

wnętrznego potencjału wynosi:

φ(x) = φ0(x)−∫

dy K(x, y)V (y + q)φ0(y) + δµ∂φ0(x)|µ0

∂µ0, (2.1.34)

gdzie użyliśmy∫

dyK(x, y)φ0(y) =∂φ0(x)|µ0

∂µ0z φ0|µ0 ≡ φ0 będącym funkcją falową z usta-

lonym potencjałem chemicznym µ0 = 1.

W przypadku jasnego solitonu [67] funkcja falowa ψ1 (nie ψ0 jak w problemie ciemnego

solitonu) stanowiła mod translacyjny układu, a także operator H0 + 2 jest zastąpiony

przez H0 + 1/2. W konsekwencji otrzymujemy inne wyrażenie na symetryczne jądro, co

jest zgodne z intuicją, ponieważ jasny soliton reprezentuje zlokalizowaną paczkę falową,

podczas gdy ciemny soliton jest skokiem fazy w położeniu solitonu z jednorodną gęstością

wokół.

2.1.3 Lokalizacja Andersona

Pod koniec lat 50. XX wieku Philip W. Anderson zapoczątkował nowy rozdział w

fizyce ciała stałego badając zagadnienie transportu elektronowego w przewodnikach [69].

W modelu ciasnego wiązania dla nieoddziałującego gazu elektronów na sieci otrzymujemy

równanie Schrödingera w postaci:

−Jψi+1 − Jψi−1 + ǫiψ = Eψ, (2.1.35)

30

2.2. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny

gdzie J oznacza amplitudę tunelowania elektronu pomiędzy sąsiadującymi oczkami sieci,

ǫi oznacza energię zlokalizowaną na i-tym oczku sieci, a E stanowi energię własną elek-

tronu. W sytuacji, gdy ǫi jest stałe na każdym oczku sieci, to układ jest periodyczny i

posiada rozwiązania w postaci fal Blocha. Jeśli natomiast energia ǫi zmienia się w sposób

losowy, to transport w układzie zanika i stany własne układu stają się zlokalizowane z

eksponencjalnym zanikiem gęstości, tj.:

|ψ(x)|2 ∼ e−|x−x0|/ξloc , (2.1.36)

gdzie ξloc jest tzw długością lokalizacji. Okazuje się, że za to zjawisko odpowiedzialna jest

interferencja kwantowa, tj. cząstka ulega serii przypadkowych rozproszeń, a destruktywna

interferencja powoduje wykładniczy zanik profilu gęstości.

2.2 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kla-

syczny

W niniejszym punkcie chcielibyśmy opisać deformację ciemnego solitonu w obecności

słabego potencjału przypadkowego, zwanego również nieporządkiem. Przykładem poten-

cjału tego typu jest optyczny potencjał przypadkowy, który można wygenerować ekspe-

rymentalnie poprzez naświetlanie laserem płytki dyfuzyjnej [16, 17]. W dalekim polu,

natężenie światła tworzy losowy rozkład, który atomy odczuwają jako zewnętrzny poten-

cjał przypadkowy. Efekty dyfrakcyjne odpowiedzialne są za skończoną długość korelacji

potencjału nieporządku.

Do porównania wyników analitycznych z obliczeniami numerycznymi wybraliśmy optyczny

potencjał przypadkowy scharakteryzowany przez: średnią wartość równą zero, tj. V (x) =

0, odchylenie standardowe V0 =[

V (x)2]1/2

oraz funkcję autokorelacji V (x′)V (x′ + x) =

V 20

sin2(x/σR)(x/σR)2

gdzie σR jest długością korelacji nieporządku. Na Rys. 2.1 przedstawione są

przykłady rozwiązań solitonowych w obecności optycznego potencjału przypadkowego dla

długości korelacji dużo mniejszej (σR = 0.05) oraz porównywalnej (σR = 1) z długością

zabliźnienia kondensatu, oraz dla amplitud V0 = 1, V0 = 0.5 oraz V0 = 0.05. Wyniki otrzy-

mane perturbacyjnie oraz poprzez numeryczne rozwiązanie równanie Grossa-Pitajewskiego

pozostają w bardzo dobrej zgodności nawet jeśli siła potencjału przypadkowego jest rzędu

potencjału chemicznego, jak na wykresie b). Dla długości korelacji σR = 0.05 nieporzą-

dek zmienia się gwałtownie i jego wpływ na kondensat jest zauważalnie mniejszy niż dla

σR = 1, co dobrze widać porównując wykresy a) i b). Okazuje się jednak, że jeśli amplituda

potencjału nieporządku jest dostatecznie mała, to bez względu na jego długość korelacji

31

2.2. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis klasyczny

V0 = 0.5 R= 0.05

V0 = 0.5 R= 1

V0 = 1 R= 0.05

V0 = 0.05 R= 1

a) b)

c) d)

-25

V(x

)

0

1

2

3

x

-20 -10 0 10 20

fun

kcja

fa

low

a

-1

-0.5

0

0.5

1

-25

V(x

)

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

-20 -10 0 10 20

fun

kcja

fa

low

a

-1

-0.5

0

0.5

1

-25

V(x

)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

x

-20 -10 0 10 20

fun

kcja

fa

low

a

-1

-0.5

0

0.5

1

-25

V(x

)

0

2

4

6

x

-20 -10 0 10 20

fun

kcja

fa

low

a

-1

-0.5

0

0.5

1

Rysunek 2.1: Na górnych wykresach paneli a), b), c) i d) pokazana jest przykładowa reali-

zacja potencjału przypadkowego o długości korelacji σR = 0.05 (a) i b)) oraz σR = 1 (c) i

d)). Amplituda potencjałów zmienia się od bardzo małej, tj. V0 = 0.05 w panelu d), przez

V0 = 0.5 w panelach a) i c), do V0 = 1 w panelu b). Dolnym wykresom każdej serii odpo-

wiadają ścisłe rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego otrzymane numerycznie (czarna

ciągła linia) oraz stosując podejście perturbacyjne (czerwona przerywana), zob. równanie

(2.1.34). (Równanie (2.1.21 prowadzi do tych samych wyników). Zielone kropkowane linie

natomiast odpowiadają niezaburzonej funkcji falowej ciemnego solitonu (2.1.3).

32

2.3. Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwantowy

funkcja falowa kondensatu pozostaje niemal niezaburzona nawet dla σR = 1, zob. panel

d).

Do tej pory rozważaliśmy ciemny soliton w pudle i analizowaliśmy jego deformację

wywołaną obecnością słabego potencjału przypadkowego. Nasze wyniki mogą być również

zastosowane do układu w obecności np. płytkiej pułapki harmonicznej. Rzeczywiście, jeśli

jesteśmy zainteresowani deformacją funkcji falowej kondensatu w pobliżu centrum pułapki

i jeśli zmiana potencjału harmonicznego w skali rozmiaru solitonu jest dużo mniejsza niż

siła nieporządku, tj. ω2 ≪ V0 gdzie ω jest częstością pułapki harmonicznej, to wpływ

obecności pułapki na deformację solitonu może być zaniedbany.

2.3 Ciemny soliton w potencjale przypadkowym: opis kwan-

towy

W poprzedniej sekcji do opisu ultrazimnych gazów atomowych zastosowaliśmy przybli-

żenie średniego pola, a więc że układ wielu ciał jest w stanie, w którym wszystkie atomy

obsadzają tą samą jednocząstkową funkcję falową wyznaczoną przez równanie Grossa-

Pitajewskiego. Wtedy stacjonarny ciemny soliton pojawia się jako rozwiązanie klasycz-

nego równania falowego, a jego położenie jest dane liczbą rzeczywistą q. W niniejszej

sekcji w naszych rozważaniach weźmiemy pod uwagę sytuację, w której cząstki niekoniecz-

nie znajdują się w jednym stanie. Okazuje się, że problem ten może być opisany za pomocą

kwantowej wersji podejścia Bogoliubova, w której przykładowo q staje się kwantowomecha-

nicznym operatorem q i położenie solitonu opisane jest rozkładem prawdopodobieństwa.

Takie podejście ma w zasadzie bardziej naturę semiklasyczną. Pełna kwantowa analiza

wymagałaby pełnego rozwiązania N-ciałowego, jak zostało zrobione w [70, 71] dla jasnych

solitonów w światłowodach, zob. również [44]. Lokalizacja Andersona jasnych solitonów

została też opisana w pełni w pracy D. Delande et al. [72]

2.3.1 Efektywny hamiltonian

Hamiltonian efektywny opisujący jasny soliton w obecności słabego zewnętrznego po-

tencjału został wprowadzony w referencji [73]. Opiera się on na koncepcji prof. Dziarmagi

pozwalającej opisać nieperturbacyjnie stopnie swobody związane z modami zerowymi Bo-

goliubova [61]. Otrzymanie efektywnego hamiltonianu w przypadku ciemnego solitonu

bazuje na tym samym rozumowaniu, dlatego przedstawimy tylko najważniejsze elementy.

W poprzedniej sekcji 2.2 zarówno globalna faza θ funkcji falowej (2.1.3) jak i położenie

solitonu q były wybierane, nie rozpatrywaliśmy żadnej zmiany ich wartości. Małe odchy-

33


lenia mogą być opisane za pomocą modów zerowych, por. (2.1.10)-(2.1.11) oraz (2.1.15),

podczas gdy duże zmiany potrzebują modyfikacji naszego podejścia. Rozwinięcie poprawki

funkcji falowej wokół danej wartości położenia solitonu q, zob. (2.1.15), nie jest potrzebne,

ponieważ możemy traktować q jako zmienną dynamiczną, to samo dotyczy θ [61]. W ten

sposób otrzymujemy[

φ

φ∗

]

=

[

φ0

φ∗0

]

+ Pθ

[

uadθ

vadθ

]

+ Pq

[

uadq

vadq

]

+∑

k

(

bk

[

uk

vk

]

+ b∗k

[

v∗k

u∗k

])

. (2.3.1)

W równaniu (2.3.1) wszystkie mody zależą od q i θ, a więc mogą podążać za dużymi

zmianami położenia solitonu i globalnej fazy. Podstawienie (2.3.1) do funkcjonału energii:

H =

∫

dx

[

1

2|∂xφ|2 + V |φ|2 + 1

2ρ0|φ|4 − µ|φ|2

]

, (2.3.2)

prowadzi do:

H = −P 2q

2|Mq|+

∫

dxV (x)|φ0(x− q)|2

+P 2θ

2Mθ+ 2Pθ〈uadθ |V φ0〉

+∑

k

[ǫkb∗kbk + sk(bk + b∗k)], (2.3.3)

z

sk = 〈uk|V φ0〉+ 〈vk|V φ∗0〉 , (2.3.4)

gdzie zachowujemy jedynie wyrazy rzędu O(P 2, b2, PV, bV ). Warto zauważyć, że równa-

nie (2.3.3) odpowiada klasycznej teorii perturbacji opisanej w punkcie 2.1.1, ale w sformu-

łowaniu hamiltonianów. Oznacza to, że punkty stałe równań Hamiltona wygenerowanych

przez (2.3.3) [73] odpowiadają stacjonarnym rozwiązaniom analizowanym w punkcie 2.1.1.

Wiemy z sekcji 2.2, że stacjonarne rozwiązania pozostają w dobrej zgodzie ze ścisłymi roz-

wiązaniami numerycznymi dla nieporządku o sile rzędu potencjału chemicznego układu,

tj. dla V0 ≈ 1.

W tak zwanym formalizmie drugiej kwantyzacji, kwantowy hamiltonian wielociałowy

odpowiada (2.3.2), gdzie funkcja falowa φ jest zastąpiona przez operator pola bozonowego

φ. Wtedy, również współczynniki rozwinięcia w (2.3.1) stają się operatorami:

Pq = −i∂q, (2.3.5)

Pθ = N −N0 = −i∂θ, (2.3.6)

34


i spełniają relacje komutacji:

[q, Pq] = i,

[θ, Pθ] = i,

[bk, b†k′ ] = δkk′ . (2.3.7)

Funkcjonał energii (2.3.3) nie zależy od θ, a więc, w kwantowym opisie [Pθ, H] = 0 i możemy

ograniczyć go do podprzestrzeni Hilberta z dokładnie N0 cząstkami, tj. dla każdego stanu

w tej podprzestrzeni Pθ|ψ〉 = 0, i kwantowy efektywny hamiltonian redukuje się do postaci:

H = Hq + HB + H1, (2.3.8)

gdzie

Hq = −P 2q

2|Mq|+

∫

dxV (x)|φ0(x− q)|2

= −(

P 2q

2|Mq|+

|Mq|4

∫

dxV (x)

cosh2(x− q)

)

, (2.3.9)

HB =∑

k

ǫk b†k bk, (2.3.10)

H1 =∑

k

sk(bk + b†k). (2.3.11)

Hamiltonian Hq opisuje ruch solitonu w efektywnym potencjale, który okazuje się być

konwolucją oryginalnego potencjału z gęstością |φ0|2. Dzięki |φ0|2 = ρ0 tanh2(x − q) =

|Mq |4 [1 − cosh2(x − q)] i V (x) = 0, Hq staje się podobny do odpowiedniego hamiltonianu

dla jasnego solitonu w słabym zewnętrznym potencjale [64]. Wyraz HB opisuje podsys-

tem kwazicząstek (fononów) i H1 jest częścią hamiltonianu, która sprzęga stopień swobody

związany z położeniem solitonu z fononami. W opisie klasycznym w sekcji 2.2) sprzężenie

to jest odpowiedzialne za deformację stacjonarnej funkcji falowej kondensatu. Teraz na-

tomiast nie będziemy szukali stanów własnych pełnego hamiltonianu H, ale ograniczymy

się do stanów własnych Hq oraz wyznaczymy czas życia układu przygotowanego w tych

stanach ze względu na sprzężenie z podsystemem kwazicząstek wprowadzonym przez H1.

Chcielibyśmy podkreślić znaczące różnice pomiędzy klasycznym opisem a kwantowym.

Są one najbardziej widoczne jeśli rozważmy układ bez zewnętrznego potencjału. W isto-

cie dla V (x) = 0, położenie solitonu w opisie klasycznym może zostać wybrane dowolnie,

ale jest dobrze zdefiniowane. W podejściu kwantowym hamiltonian Hq mówi nam, że

stany własne układu odpowiadają stanom własnym operatora pędu Pq i rozkład praw-

dopodobieństwa dla położenia solitonu jest zupełnie zdelokalizowany. Stąd, podobnie jak

35


w przypadku jasnego solitonu [44], przewidujemy znaczącą fragmentację kondensatu w

kwantowym opisie ciemnego solitonu [74–77].

2.3.2 Lokalizacja Andersona ciemnego solitonu

Ostateczna forma hamiltonianu Hq jest podobna do hamiltonianu dla środka masy

jasnego solitonu w słabym zewnętrznym potencjale [73]. Efektywna masa |Mq| w równa-

niu (2.3.9) jest równa dwukrotnej wartości brakującej liczby cząstek we wcięciu ciemnego

solitonu, podczas gdy w przypadku jasnego solitonu dana jest przez całkowitą liczbę czą-

stek w układzie. Jasny soliton jest stanem podstawowym równania Grossa-Pitajewskiego

i wzbudzenia jego środka masy zwiększają energię w układzie. Ciemny soliton natomiast

odpowiada kolektywnie wzbudzonemu układowi i aby obniżyć energię układu trzeba np.

nadać mu prędkość. Okazuje się, że wzbudzenia stopnia swobody związanego z położeniem

solitonu obniżają energię układu z powodu znaku minus na początku wyrażenia (2.3.9).

We wcześniejszych pracach poruszających tematykę lokalizacji kwantowych solitonów

zostało pokazane, że w obecności słabego nieporządku środek masy jasnego solitonu prze-

jawia lokalizację [64]. Tego samego zjawiska spodziewamy się dla ciemnych solitonów. Dla

V (x) będącego optycznym potencjałem przypadkowym z długością korelacji σR mniejszą

niż długość zabliźnienia ξ układu, otrzymujemy efektywny potencjał w (2.3.9) gdzie dłu-

gość zabliźnienia pełni rolę efektywnej długości korelacji. Podstawowe własności lokalizacji

Andersona w 1D pozwalają nam przypuszczać, że wszystkie stany własne hamiltonianu Hq

są zlokalizowane eksponencjalnie, tj. mają kształt z obwiednią [78, 79]

|ψn(q)|2 ∝ exp

(

−|q − q0|lloc

)

, (2.3.12)

gdzie Hqψn(q) = Enψn(q), q0 jest średnim położeniem solitonu i lloc = lloc(En) jest dłu-

gością lokalizacji. Rzeczywiście na Rys. 2.2 przedstawione są przykłady stanów zlokalizo-

wanych andersonowsko dla dwóch wartości odchylenia standardowego potencjału przypad-

kowego V0. Parametry wybrane do symulacji są następujące: N0 = 105 87Rb atomów w

kwazijednowymiarowym potencjale pudła o długości L = 3550 (3.37 mm) z potencjałem

harmonicznym o częstości ω⊥ = 2π × 370 Hz w poprzecznym kierunku; długość korela-

cji potencjału przypadkowego wynosi σR = 0.28 (0.27 µm). Jednostki energii (2.1.2) są

następujące: E0/~ = 789 Hz, l0 = 0.96 µm oraz t0 = 1.27 ms.

36


-100 -50 0 50 100 150

-0.2-0.1

00.10.2

wav

efun

ctio

n-100 0 100 200 300

-0.2-0.1

00.10.2

-1000 0 1000q

10-64

10-48

10-32

10-16

100

prob

abili

ty d

ensi

ty

-1000 0 1000q

10-48

10-36

10-24

10-12

(a) (b)

(c) (d)

Rysunek 2.2: W górnych panelach pokazane są przykłady stanów własnych efektywnego

hamiltonianu Hq, zob. (2.3.9), natomiast w dolnych odpowiadające ich gęstości prawdopo-

dobieństwa w skali logarytmicznej. Długość korelacji potencjału przypadkowego jest równa

σR = 0.28, a amplituda V0 = 7× 10−5 (lewe panele) oraz V0 = 1.4× 10−4 (prawe panele).

Stany własne odpowiadają wartościom własnym En = −3.03 × 10−3 (lewe panele) oraz

En = −8.58×10−3 (prawe panele) i przejawiają długości lokalizacji odpowiednio lloc = 10.5

oraz lloc = 15.7.

Aby otrzymać przewidywania dla lokalizacji Andersona solitonów pomijamy sprzęże-

nie położenia solitonu z podsystemem kwazicząstek. W przypadku jasnego solitonu tego

typu przybliżenie było uzasadnione, ponieważ istnieje ogromna przerwa energetyczna dla

wzbudzeń kwazicząstek i jeśli siła potencjału jest dużo mniejsza niż potencjał chemiczny

układu, poprawki do efektywnego hamiltonianu Hq są zaniedbywalne [73]. W przypadku

ciemnego solitonu przerwy energetycznej dla fononowych wzbudzeń praktycznie nie ma,

tj. najmniejsza wartość ǫk, zob. (2.1.9), odpowiada k = π/L, które dąży do zera dla

dużego układu. Ponadto ciemny soliton jest kolektywnie wzbudzonym stanem, który może

rozpadać się do stanów o niższej energii poprzez emisję fononów. Jeśli siła potencjału

nieporządku V0 ≪ 1 wiemy z klasycznej analizy z sekcji 2.2, że kształt stacjonarnego ciem-

nego solitonu jest zaniedbywalnie zdeformowany przez zewnętrzny potencjał. W opisie

kwantowym możemy zatem oczekiwać, że czas życia zlokalizowanych andersonowsko sta-

nów własnych jest dostatecznie długi, że możliwa jest eksperymentalna obserwacja efektów

lokalizacji.

Wybierzmy jako stan początkowy układu zawierającego N0 cząstek stan |Ψ〉, gdzie

położenie solitonu opisane jest przez stan własny ψn(q) do energii własnej En hamiltonianu

37


Hq oraz że nie ma wzbudzeń fononowych, tj. mamy do czynienia z próżnią kwazicząstkową:

|Ψ〉 = |ψn, 0B〉 = ψn(q)|0B〉, (2.3.13)

gdzie bk|0B〉 = 0 dla każdego k. W pierwszym rzędzie w H1, zob. (2.3.11), układ może

rozpadać się do innego stanu własnego ψm(q) odpowiadającego energii Em emitując przy

tym pojedynczy fonon o energii ǫk. Zgodnie ze złotą regułą Fermiego szybkość zaniku ma

postać:

Γ = 2π∑

m

γm, (2.3.14)

gdzie

γm = |〈ψm, 1k|H1|ψn, 0B〉|2g(ǫk) = |〈ψm|sk|ψn〉|g(ǫk).(2.3.15)

Suma występująca w (2.3.14) przebiega po wszystkich stanach własnych ψm, dla których

możemy znaleźć taki fonon, że zasada zachowania energii En = Em + ǫk jest spełniona.

Zakładamy ciągłe spektrum fononów (2.1.9) z przerwą energetyczną odpowiadającą k =

π/L. Gęstość stanów wynosi:

g(ǫ) =ǫ

[

2(ǫ2 + 1)(√

ǫ2 + 1− 1)]1/2

. (2.3.16)

Czas życia stanów zlokalizowanych andersonowsko przedstawionych na Rys. 2.2a i 2.2c

wynosi τ = 1/Γ = 8×105 (∼17 minut) oraz na Rys. 2.2b i 2.2d τ = 2.5×105 (∼5 minut), co

oznacza, że jest wystarczająco dużo czasu aby przeprowadzić eksperyment zanim rozpadną

się ze względu na emisję fononów. Na Rys. 2.3 przedstawione zostały przyczynki γm do

szybkości rozpadu (2.3.14) oraz stany ψm odpowiadające największej wartości γm. Rys. 2.3

wskazuje, że najbardziej prawdopodobny rozpad prowadzi układ do stanów zlokalizowanych

w pobliżu początkowego obszaru lokalizacji.

Długi czas życia stanów zlokalizowanych andersonowsko jest bardzo obiecujący z eks-

perymentalnego punktu widzenia. W istocie oznacza to, że jest wystarczająco dużo czasu

aby wzbudzić ciemny soliton w ultrazimnej chmurze atomowej, odczekać aż się zlokalizuje

w obecności słabego potencjału przypadkowego i przeprowadzić pomiar gęstości atomów.

Jeśli soliton jest zlokalizowany andersonowsko, to rozkład położenia solitonu zebrany z

wielu realizacji eksperymentu [74–77] będzie przejawiał eksponencjalny profil.

Eksperymenty z ciemnymi solitonami były przeprowadzane w obecności pułapki har-

monicznej [80–85]. W takim przypadku aby obserwować lokalizację Andersona solitonów,

38

2.4. Podsumowanie

-0.007 -0.006 -0.005E

m

00.10.20.30.40.5

107 γ

m-0.015 -0.01

Em

0

0.5

1

1.5

2

-100 0 100 200q

-0.2-0.1

00.10.2

wav

e fu

nctio

n

-400 -200 0 200 400q

-0.2-0.1

00.10.2

a) b)

c) d)

Rysunek 2.3: Górne panele: wkład γm, z równania (2.3.15), do całkowitego czynnika roz-

padu Γ jako funkcja energii Em. Dolne panele: stany początkowe ψn(q) układu (ciągłe

czarne linie) oraz stany własne ψm(q) (czerwone przerywane) odpowiadające najbardziej

prawdopodobnym kanałom rozpadu, tj. maksymalnym wartościom γm. Parametry wy-

brane w lewych (prawych) panelach są takie same jak odpowiadające im w Rys. 2.2.

pułapka musi być wystarczająco płytka. Oznacza to, że stan podstawowy położenia so-

litonu w pułapce harmonicznej bez nieporządku rozciąga się na obszarze większym niż

długość lokalizacji przewidzianej w naszej analizie, tj. 1√|Mq |ω

≫ lloc gdzie ω jest często-

ścią pułapki harmonicznej.

2.4 Podsumowanie

W niniejszym rozdziale rozważaliśmy ciemny soliton w rozrzedzonym ultrazimnym ga-

zie atomowym w obecności słabego potencjału przypadkowego. Rozważania podzieliliśmy

na dwie części: opis klasyczny oraz kwantowy. Opis klasyczny dotyczył analizy stacjonar-

nego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego oraz wpływu potencjału przypadkowego

na kształt solitonu. Zastosowaliśmy w tym celu dwie metody: podejście Bogoliubova oraz

rozwinięcie perturbacji funkcji falowej w stany własne potencjału Pöschl-Tellera. Obie

metody prowadzą do takich samych wyników, jednak rozwinięcie w mody Pöschl-Tellera

okazuje się być wygodniejsze, a w szczególności pozwala otrzymać prostą formę zaburzenia

solitonu w postaci jądra całkowego. Porównanie metod perturbacyjnych z wynikami nu-

merycznymi pokazuje zadziwiająco dobrą zgodność nawet dla potencjałów o amplitudzie

39

2.4. Podsumowanie

rzędu potencjału chemicznego. Jeśli natomiast rozpatrujemy słaby zewnętrzny potencjał,

to deformacja solitonu okazuje się być zaniedbywalnie mała.

Podejście Bogoliubova natomiast jest nieocenionym narzędziem w opisie kwantowym,

w którym interesują nas wielociałowe stany własne układu. Jeśli amplituda zewnętrznego

potencjału jest dużo mniejsza niż potencjał chemiczny, położenie ciemnego solitonu może

być opisane efektywnym hamiltonianem, który jest słabo sprzężony z podukładem fono-

nów. Podobnie jak w przypadku jasnego solitonu przewidywaliśmy lokalizację Andersona

ciemnego solitonu w obecności nieporządku. Ze względu na sprzężenie pomiędzy stopniem

swobody związanym z położeniem solitonu z podukładem kwazicząstek zlokalizowane stany

mogą rozpadać się poprzez emisję fononu. Wyznaczyliśmy czasy życia stanów zlokalizo-

wanych andersonowsko i okazuje się, że dla typowych eksperymentalnych warunków są

one dłuższe niż typowy czas życia kondensatu. Dzięki temu możliwa jest eksperymentalna

realizacja lokalizacji ciemnego solitonu.

40

Rozdział 3

Sztuczne pola cechowania w zimnych

gazach atomowych

W sekcji 1.1 zimne gazy atomowe zostały przedstawione jako symulatory kwantowe

wielu zjawisk fizycznych, które do tej pory pozostawały niedostępne w bezpośrednich ba-

daniach. Pomimo możliwości kontrolowania wielu parametrów układu, atomy używane w

eksperymentach są neutralne, a więc nie oddziałują z polem magnetycznym w taki sposób

jak cząstki naładowane. Pojawia się zatem pytanie czy możliwe jest symulowanie w zim-

nych gazach atomowych zjawisk magnetycznych, których obserwowanie w rzeczywistych

ciałach stałych jest bardzo trudne lub wręcz niemożliwe? Okazuje się, że taką możliwość

dają sztuczne pola cechowania, a więc pewne specyficzne warunki, które powodują, że neu-

tralne atomy zachowują się jak naładowane cząstki w efektywnym polu magnetycznym.

Niniejszy rozdział poświęcony jest mechanizmom fizycznym stojącym za generacją

sztucznych pól magnetycznych, a także zawiera szczegółowy opis opracowanej przez nas

metody wytwarzania sztucznego pola magnetycznego blisko powierzchni dielektrycznej.

Sekcja 3.1.1 stanowi wprowadzenie do opisu oddziaływania atomów ze światłem. Ponieważ

pole wiązki laserowej jest periodyczne w czasie, do wyznaczenia stanów własnych układu,

opisanych w podpunkcie 3.1.3, pomocne jest zastosowanie twierdzenia Floquet, któremu

poświęcony jest podpunkt 3.1.2. Jeżeli atomy poruszają się dostatecznie wolno, a więc

w przybliżeniu adiabatycznym przedstawionym w sekcji 3.1.4 pozostają w początkowym

stanie ubranym, to w hamiltonianie opisującym ruch atomu pojawiają się wyrazy odpowia-

dające potencjałowi wektorowemu A i skalarnemu W . Potencjał wektorowy A związany

jest z fazą Berry’ego, do której wprowadzenie stanowi podpunkt 3.1.5, wynikającą z ru-

chu adiabatycznego atomu oraz nietrywialnej geometrii przestrzeni parametrów. Ponieważ

41

3.1. Wprowadzenie

nasze badania poświęcone są generacji sztucznych pól magnetycznych przez falę zanika-

jącą, punkt 3.1.7 przedstawia zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia oraz własności

powstającej w ten sposób fali zanikającej.

Od sekcji 3.2 rozpoczyna się opis opracowanej przez nas metody generacji sztucznego

pola magnetycznego przez falę zanikającą. Początkowe rozważania oparte są na przybli-

żeniu wiązki laserowej jako fali płaskiej. Takie podejście pozwala uzyskać analityczne roz-

wiązania oraz przeprowadzić wstępną analizę zarówno pola, jak i jego wpływu na chmurę

ultrazimnych atomów. Okazuje się jednak, że do otrzymania optymalnych pól potrzebne

są wiązki padające pod kątem bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego wewnętrznego

odbicia. W związku z tym konieczne jest wzięcie pod uwagę rzeczywistego gaussowskiego

profilu wiązki laserowej. Szczegółowe obliczenia dla tego przypadku prezentuje sekcja 3.3,

w której wykonaliśmy również numeryczne symulacje ukazujące powstawanie wirów w kon-

densacie Bosego-Einsteina, będących sygnaturą sztucznego pola magnetycznego. Sekcja 3.4

przedstawia natomiast propozycję realizacji eksperymentalnej sztucznych pól w zimnych

gazach atomowych, których temperatura rzędu kilku kelwinów jest zbyt wysoka dla kwan-

towej degeneracji. Otrzymane przez nas wyniki symulacji trajektorii pokazują, że atomy

mogą być odbijane od powierzchni pryzmatu za pomocą sztucznej siły Lorentza, która

powstaje dzięki oddziaływaniu atomów z falą zanikającą blisko powierzchni dielektrycznej.

Jeśli sztucznego pola magnetycznego nie ma, wszystkie atomy zostają rozproszone na po-

wierzchni pryzmatu. Sekcja 3.5 stanowi podsumowanie otrzymanych przez nas wyników.

Całość materiału zaprezentowanego w niniejszym rozdziale została zebrana w artykule [86].

3.1 Wprowadzenie

3.1.1 Oddziaływanie atomów ze światłem

ℏω0

g

e

Eg

Ee

E = 0

ℏ|Δ|

Rysunek 3.1: Model dwupoziomowego atomu, którego poziomy podstawowy |g〉 i wzbu-

dzony |e〉 oddzielone są przerwą energetyczną ~ω0.

42

3.1. Wprowadzenie

Rozważmy atom dwupoziomowy (Rys. 3.1) umieszczony w polu laserowym o wektorze

falowym k. Poziomy energetyczne o energiach Eg i Ee odpowiadające stanowi podstawo-

wemu |g〉 i wzbudzonemu |e〉, oddzielone są przerwą energetyczną równą ~ω0. Układ ten

posiada dwie skale: jedną związaną z atomem i jego strukturą (r) oraz drugą, związaną z

ruchem środka masy (r). Okazuje się, że zależność od wewnętrznej struktury można wyeli-

minować stosując przybliżenie długiej fali, a więc zakładając, że zmiany pola elektrycznego

zachodzą na dużo większej skali niż rozmiar atomu, tj. k · r ≪ 1. Wtedy pole elektryczne

można przedstawić w postaci E(r, t) = E0(r)cos(ωt), gdzie E0(r) jest amplitudą pola, a r

jest wektorem położenia atomu. Pole to indukuje atomowy moment dipolowy d, z którym

następnie oddziałuje w taki sposób, że Hint = −d · E(r, t). Zakładając różną parzystość

stanów |g〉 i |e〉, jedynie pozadiagonalne elementyHint będą niezerowe. Hamiltonian układu

opisujący wewnętrzne stopnie swobody atomu i ich oddziaływanie z zewnętrznym polem

możemy zapisać jako:

H = H0 +Hint =1

2~ω0σ3 + cos(ωt) (V (r)σ+ + V ∗(r)σ−) , (3.1.1)

gdzie σ3 = |e〉〈e| − |g〉〈g| jest tak zwanym operatorem inwersji, σ+ = |e〉〈g| jest opera-

torem podniesienia, a σ− = |g〉〈e| operatorem obniżenia energii atomu. Ponadto V (r) =

−〈e|d ·E0(r)|g〉 ≡ d ·E(r), gdzie bez straty ogólności założyliśmy rzeczywisty element ma-

cierzowy 〈e|d|g〉 ≡ d. Pierwszy wyraz hamiltonianu (3.1.1) odpowiada energii atomu wy-

znaczonej względem połowy odległości między poziomami, drugi natomiast można uprościć

poprzez zastosowanie przybliżenia fali rotującej (RWA). Rozpisując 2cos(ωt) = eiωt+e−iωt

i przechodząc do obrazu oddziaływania poprzez transformację unitarną U = ei~H0t, otrzy-

mujemy wyrazy „rezonansowe” typu ei(ω−ω0) oraz „antyrezonansowe” ei(ω+ω0). Zakładając

niewielkie odstrojenie od atomowego rezonansu ∆ = ω0 − ω widzimy, że ∆ ≪ ω + ω0, a

więc wyrazy szybko oscylujące z częstością ω + ω0 uśredniają się do zera. Wracając do

obrazu Schrödingera otrzymujemy:

HRWA =1

2~ω0σ3 +

1

2

(

V (r)e−iωtσ+ + V ∗(r)eiωtσ−)

. (3.1.2)

Powyższy hamiltonian jest periodycznie zależny od czasu, a więc znalezienie energii i sta-

nów własnych ułatwia zastosowanie twierdzenia Floquet.

3.1.2 Twierdzenie Floquet

Pomimo zależności hamiltonianu (3.1.2) od czasu, periodyczność w domenie czasowej

pojawiająca się w układzie pozwala na wprowadzenie znaczących uproszczeń. Podobnie jak

w fizyce ciała stałego funkcję falową cząstki w periodycznym potencjale sieci krystalicznej

43

3.1. Wprowadzenie

opisuje funkcja Blocha wynikająca wprost z twierdzenia Blocha, tak twierdzenie Floquet

pozwala znaleźć rozwiązania zależnego od czasu równania Schrödingera dla hamiltonianu

periodycznego w czasie [87–89]. Jeżeli H(t) = H(t+T ), gdzie T jest okresem hamiltonianu,

to rozwiązań równania Schrödingera możemy szukać w postaci:

|ψ〉 = e−i~Ent|un(t)〉, (3.1.3)

gdzie |un(t)〉 = |un(t + T )〉 posiada periodyczność hamiltonianu, a więc T = 2π/ω, nato-

miast En oznaczają kwazienergie (w analogii do kwazipędów z twierdzenia Blocha). Pod-

stawiając ansatz (3.1.3) do równania Schrödingera:

i~d|ψ〉dt

= H(t)|ψ〉 (3.1.4)

otrzymujemy(

H − i~d

dt

)

|un(t)〉 = En|un(t)〉, (3.1.5)

a więc En i |un(t)〉 to wartości i wektory własne hamiltonianu Floquet H = H−i~ ddt . Warto

zauważyć, że spektrum energii posiada period ~ω, a więc w domenie kwazienergii istnieją

strefy odpowiadające strefom Brillouina kwazipędów z twierdzenia Blocha. Analogicznie

więc wystarczy badać tylko rozwiązania należące do pierwszej strefy Floquet.

W świetle twierdzenia Floquet hamiltonian, który rozważamy przyjmuje postać:

H =1

2~ω0σ3 +

1

2

(

V (r)e−iωtσ+ + V ∗(r)eiωtσ−)

− i~d

dt. (3.1.6)

Skoro wektory własne |un(t)〉 są periodyczne z okresem 2π/ω, to możemy je rozwinąć w

szereg Fouriera, tj.

|un(t)〉 =∑

j

cjeijωt√

2πω

|ujn〉, (3.1.7)

oraz wprowadzić dodatkową bazę |j〉 = eijωt/√

2πω . W przypadku braku oddziaływania,

stany własne układu możemy zapisać w postaci wektorów |e〉|j〉 oraz |g〉|j〉. Gdy oddzia-

ływanie jest obecne pojawiają się sprzężenia między stanami |e〉|j〉 i |g〉|j + 1〉, podobnie

jak w przypadku elektrodynamiki kwantowej, w którym oddziaływanie odbywa się przez

absorpcję lub emisję fotonu. W nowej bazie zdefiniowanej jako

|ψ1j〉 = |e〉|j〉, (3.1.8)

|ψ2j〉 = |g〉|j + 1〉, (3.1.9)

hamiltonian (3.1.6) nie zależy od czasu i rozsprzęga się na niezależne bloki w postaci:

H(j) =

~ωj + 12~ω0

V (r)2

V ∗(r)2 ~ω(j + 1)− 1

2~ω0

(3.1.10)

44

3.1. Wprowadzenie

Wystarczy więc wyznaczyć energie i stany własne hamiltonianu H(j), aby uzyskać pełną

informację o wewnętrznych stopniach swobody atomu zaburzonego zewnętrznym polem

elektromagnetycznym.

3.1.3 Stany ubrane

Rozwiązując zagadnienie własne dla hamiltonianu (3.1.10) otrzymujemy dwie energie

własne

E±(j) = ~ω

(

j +1

2

)

± ~Ω

2, (3.1.11)

gdzie Ω =√

∆2 + |V (r)|2/~2 oznacza uogólnioną częstość Rabiego odzwierciedlającą siłę

sprzężenia atomu z polem lasera. Otrzymane spektrum jest w pełni periodyczne, a odle-

głość między poziomami stanów własnych, tzw. stanów ubranych, jest równa ~Ω, tak jak

na Rys. 3.2. Każdej z energii odpowiada stan ubrany, tj.

|χ+(r)〉 =

cos Φ(r)2

sin Φ(r)2 e−iφ(r)

, (3.1.12)

|χ−(r)〉 =

− sin Φ(r)2 eiφ(r)

cos Φ(r)2

, (3.1.13)

gdzie Φ(r) = arctg(|κ(r)|/∆) z wprowadzonym oznaczeniem κ(r) = V (r)/~ = d · E(r)/~,

oraz V (r) = |V (r)|eiφ(r). Ponadto użyliśmy notacji:

sinΦ(r)

2=

1√2

√

Ω−∆

Ω, cos

Φ(r)

2=

1√2

√

Ω+∆

Ω. (3.1.14)

Dla odstrojenia ku niebieskiemu (∆ < 0) stan |χ+〉 skojarzony jest ze stanem podstawo-

wym, zob. Rys. 3.2, dlatego jego obsadzenie będzie większe. Wraz ze wzrostem natężenia

światła laserowego (efektywnie Ω(r)), rośnie również energia stanu |χ+〉, a więc atomy

będą odpychane od regionów o maksymalnym natężeniu, które są niekorzystne energetycz-

nie. Odwrotne zachowanie można zaobserwować w przypadku przeciwnego odstrojenia,

ku czerwieni (∆ > 0), w którym atomy będą przyciągane do maksymalnego natężenia

lasera. Dzieje się tak dlatego, że przesunięcie poziomów energetycznych, będące wyni-

kiem oddziaływania atomów z polem elektrycznym (dynamiczny efekt Starka), odpowiada

potencjałowi dipolowemu związanemu z danym stanem ubranym [90, 91], tj.:

Udip =~∆

2± ~

2Ω(r) dla |χ±〉. (3.1.15)

45

3.1. Wprowadzenie

Rysunek 3.2: Struktura poziomów energetycznych atomu ubranego dla ∆ < 0 (odstrojenie

ku niebieskiemu). Początkowe stany o energiach Ej−1 i Ej zostają rozszczepione w wyniku

oddziaływania atomu z polem elektrycznym (efekt Starka). W sektorze A widać poziomy

„gołe” bez sprzężenia z polem laserowym. Sektor B natomiast przedstawia poziomy ubrane

atomu znajdującego się w danym punkcie przestrzeni r. Sprzężenie z polem laserowym

skutkuje zależnym od parametrów przestrzennych odpychaniem poziomów ubranych ~Ω(r).

Stąd dla ∆ < 0 (stan |χ+〉 skojarzony jest ze stanem podstawowym) potencjał dipolowy jest

nieujemny, a więc atomy są odpychane od regionów z maksimum natężenia pola laserowego

i odwrotnie gdy ∆ > 0. Wynik ten zgadza się z intuicyjnym obrazem przedstawionym

wyżej. Potencjał dipolowy jest szeroko stosowany do pułapkowania atomów.

3.1.4 Adiabatyczny ruch atomów

Wydawać by się mogło, że zjawiska fizyczne można podzielić pod względem ich ewolucji

na dwie grupy: statyczne oraz dynamiczne. Okazuje się jednak, że gdzieś pośrodku statyki i

dynamiki leży pojęcie adiabatyczności, które dotyczy efektów dynamicznych, ale w granicy

„nieskończenie powolnych” zmian. Przybliżenie adiabatyczne zakłada, że układ pozostaje

46

3.1. Wprowadzenie

w danym stanie własnym o ile zaburzenie działające na niego jest dostatecznie wolne i

istnieje przerwa energetyczna między energią stanu a resztą spektrum hamiltonianu [92].

Typowym przykładem zastosowania przybliżenia adiabatycznego jest układ, który można

podzielić na dwa podsystemy: szybki i wolny o różnych skalach czasowych. Jeżeli zmiany

hamiltonianu są wolne w porównaniu z naturalną skalą czasową układu zdeterminowaną

przez przerwy energetyczne w widmie, to przybliżenie adiabatyczne może być zastosowane.

Aby lepiej zrozumieć ideę przybliżenia adiabatycznego oraz jego konsekwencje, roz-

ważmy zależny od czasu hamiltonian H(t) oraz jego „chwilowe”, tj. dla ustalonego t, stany

własne |n(t)〉 do energii własnych En(t). Zakładamy przy tym, że dla wszystkich czasów

t spektrum H(t) jest dyskretne i niezdegenerowane. Jeżeli przyjmiemy stan początkowy

|ψ(0)〉 = |n(0))〉, to zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym w czasie ewolucji układ po-

zostanie w n-tym stanie własnym. Aby się o tym przekonać, rozwińmy stan |ψ(t)〉 w

ortonormalnej bazie stanów |n(t)〉 [93]

|ψ(t)〉 =∑

m

cm(t)|m(t)〉, (3.1.16)

Wstawiając taką postać |ψ(t)〉 do zależnego od czasu równania Schrödingera otrzymujemy

równanie na współczynniki cm(t):

cm(t) = −cm(t)〈m(t)| ddt|m(t)〉 −

∑

k 6=m

ck(t)〈m(t)| ddt|k(t)〉, (3.1.17)

Aby uprościć wyrażenie (3.1.17) zauważmy, że różniczkując po czasie równanie własne

H(t)|k(t)〉 = Ek(t)|k(t)〉 oraz obkładając je z lewej strony 〈m(t)| otrzymujemy wyrażenie:

〈m(t)|k(t)〉 = 〈m(t)|H(t)|k(t)〉Ek(t)− Em(t)

, m 6= k. (3.1.18)

W granicy adiabatycznej zmiany hamiltonianu są nieskończenie małe, a więc |〈m(t)|H(t)|k(t)〉| →0. Wtedy wyrażenie na współczynniki cm redukuje się do prostej postaci:

cm = −cm〈m(t)|m(t)〉 (3.1.19)

z warunkiem początkowym cm(0) = δnm zgodnie z założeniem o stanie początkowym

układu. Z warunku początkowego widać, że cm(t) = 0 dla m 6= n, a więc rozwiązaniami

tego równania są współczynniki cn(t), które mają postać czynnika fazowego:

cn(t) = eiϑn(t), ϑn(t) = i

∫ t

0〈n(τ)|n(τ)〉dτ (3.1.20)

Otrzymaliśmy przy tym wynik zapostulowany na samym początku rozważań o adiabatycz-

ności: jeżeli w chwili początkowej układ był w stanie |ψ(0)〉 = |n(0)〉, to w czasie ewolucji

47

3.1. Wprowadzenie

pozostaje on w n-tym stanie własnym, t.j.

|ψ(t)〉 = cn(t)|n(t)〉, (3.1.21)

zgodnie z równaniem (3.1.16).

3.1.5 Faza Berry’ego

Wróćmy jeszcze do wyrażenia (3.1.20) na czynnik fazowy ϑn(t). W naszym przypadku

wolne zmiany hamiltonianu związane są z ruchem atomów, a więc parametrem zależnym

od czasu jest położenie atomu r. Zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym gdy ewolucja jest

cykliczna wzdłuż zamkniętej krzywej C, tj. r(0) = r(T ), to stany |ψ(r(0))〉 i |ψ(r(T ))〉mogą się różnić względem siebie tylko czynnikiem fazowym zawierającym fazę dynamiczną

oraz tak zwaną fazę Berry’ego obecną w równaniu (3.1.20), którą można przepisać jako:

ϑn(T ) = i

∫ T

0〈n(r(τ))|n(r(τ))〉dτ = i

∮

C〈n(r)|∇rn(r)〉dr ≡ γn(C). (3.1.22)

Ostatnie wyrażenie pokazuje w sposób jawny zależność fazy od geometrii przestrzeni pa-

rametrów hamiltonianu. Sir Michael Berry jako pierwszy pokazał, że γn(C) nie można

wyeliminować przez transformację cechowania [94].

Warto zwrócić uwagę na jeszcze jeden aspekt geometrycznej fazy Berry’ego. Wpro-

wadźmy oznaczenie:

A(n) ≡ i〈n|dn〉, wtedy γn(C) =

∮

CA(n). (3.1.23)

Stany własne określone są z dokładnością do fazy, a więc arbitralna jej zmiana nie wpływa

na fizyczny opis układu. Skoro naszym stanem końcowym jest |ψ(r(T ))〉 = eγn(C)|ψ(r(0))〉,to dokonując transformacji cechowania, tj.

|ψ(r)〉 → |ψ′(r)〉 = eiαn(r)ei∮

CA(n) |ψ(r)〉 = ei

∮

C(A(n)+dαn)|ψ(r)〉, (3.1.24)

widać, że A(n) → A′(n) = A(n) + dαn transformuje się w taki sam sposób jak potencjał

wektorowy w elektrodynamice. Z twierdzenia Stokesa fazę Berry’ego można przepisać w

jeszcze inny sposób:

γn(C) =

∫

ΣF (n), F (n) = dA(n), (3.1.25)

gdzie brzeg powierzchni Σ wyznacza krzywa zamknięta C. Dlatego też faza Berry’ego

γn(C) jest analogiem strumienia magnetycznego przez powierzchnię Σ.

48

3.1. Wprowadzenie

3.1.6 Związek pomiędzy fazą Berry’ego a sztucznymi polami cechowania

Aby lepiej zobrazować w jaki sposób potencjał wektorowy pojawia się w hamiltonianie

opisującym ruch środka masy atomu, rozważmy ponownie atom umieszczony w polu lase-

rowym. Jak zostało to omówione w sekcji 3.1.3, stanami własnymi układu są stany ubrane,

zapisane ogólnie jako |χn〉. Pełny stan kwantowy atomu można przedstawić w formie:

|Ψ〉 =N∑

n=1

ψn(r)|χn(r)〉, (3.1.26)

gdzie ψn są funkcjami falowymi dla środka masy atomu w stanie ubranym |χn〉. Podstawia-

jąc |Ψ〉 do równania Schrödingera i rzutując na pozostałe stany ubrane otrzymujemy [27]:

i~∂

∂tψ =

[

1

2m(−i~−A)2 +W

]

ψ, (3.1.27)

gdzie

ψ = (ψ1, ψ2, ...ψN )T , (3.1.28)

An,m = i~〈χn(r)| χm(r)〉, (3.1.29)

Wn,m =~2

2M

∑

l 6=n,m

〈χl(r)|∇χn(r)〉〈∇χm(r)|χl(r)〉. (3.1.30)

W hamiltonianie układu pojawiły się zatem dwa nowe wyrazy. A modyfikuje część kine-

tyczną hamiltonianu i wyraża potencjał wektorowy znany z elektrodynamiki, natomiast

W jest geometrycznym potencjałem skalarnym wyrażającym energię kinetyczną szybkich

mikroruchów atomów. Oba potencjały zależą od geometrii układu, ponieważ wyrażone są

przez gradienty stanów ubranych.

Porównując wyrażenia na potencjał wektorowy A oraz fazę Berry’ego γn(C) (3.1.22)

można zauważyć, że są one ze sobą powiązane. Istotnie istnienie niezerowej fazy geo-

metrycznej skutkuje efektywnym potencjałem wektorowym odczuwanym przez atomy. W

przybliżeniu adiabatycznym pomijamy wyrazy pozadiagonalne opisujące sprzężenia między

stanami, dzięki czemu możliwe jest rozdzielenie dynamiki poszczególnych stanów ubranych.

Wtedy potencjał wektorowy dla danego stanu ubranego redukuje się do macierzy 1× 1, a

więc potencjał cechowania jest abelowy. Odpowiada to znanemu z elektrodynamiki poten-

cjałowi wektorowemu z grupą symetrii cechowania U(1). Inaczej jest gdy układ posiada

zdegenerowane (lub prawie zdegenerowane) stany ubrane. W takiej sytuacji nie da się po-

minąć wyrazów pozadiagonalnych sprzęgających stany zdegenerowane, co może skutkować

nieabelowymi polami cechowania.

49

3.1. Wprowadzenie

Wróćmy jednak do atomu dwupoziomowego i jego stanów ubranych (3.1.12) i (3.1.13).

Załóżmy, że układ początkowo znajduje się w stanie |χ+〉 i w czasie adiabatycznej ewolucji

pozostaje w tej podprzestrzeni stanów. Wtedy potencjał wektorowy A przyjmuje postać:

A(r) = i~〈χ+|∇χ+〉 = ~sin2Φ(r)

2∇φ(r). (3.1.31)

Ponieważ pole magnetyczne jest rotacją potencjału wektorowego A, to:

B(r) = ∇×A(r) = ~∇(

sin2Φ(r)

2

)

×∇φ(r). (3.1.32)

Wynika stąd, że pole B zależy od gradientu fazy φ(r) danego pola laserowego oraz gradientu

uogólnionej częstości Rabiego Ω =√

∆2 + |κ|2, gdzie ∆ jest odstrojeniem od częstości

rezonansowej, a κ = d · E(r)/~ częstością Rabiego [27, 28]. Gradient Ω można uzyskać na

dwa sposoby: poprzez zależne od położenia odstrojenie lub gradient amplitudy pola (κ).

Dużym gradientem amplitudy charakteryzuje się fala zanikająca, dlatego wydaje się ona

być idealnym kandydatem do realizacji sztucznych pól magnetycznych. Temu zagadnieniu

poświęcony jest kolejny punkt.

3.1.7 Fala zanikająca i jej własności

Rozważmy falę płaską propagującą w płaszczyźnie XZ w ośrodku o współczynniku

załamania n1 i padającą na granicę rozdziału z drugim ośrodkiem o współczynniku zała-

mania n2, lewa strona Rys. 3.3. Przy założeniu, że n1 > n2 istnieje taki graniczny kąt

padania θc, dla którego kąt załamania β wynosi π/2. Kąt ten można wyznaczyć z prawa

Snella i wynosi on:

θc = arcsinn2n1. (3.1.33)

Zatem może dojść do sytuacji, w której kąt padania będzie większy od granicznego. Wtedy

kąt załamania β przyjmuje wartości zespolone i dochodzi do tzw. całkowitego wewnętrz-

nego odbicia, prawa strona Rys. 3.3. Ponieważ długość próżniowego wektora falowego

k0 = 2π/λ, gdzie λ jest długością fali, propagując w ośrodku zmienia się proporcjonalnie

do współczynnika załamania, tj. k0 → k0n1 lub k0 → k0n2, stąd dostajemy zależność:

k2 = k2tx + k2tz, gdzie k = k0n2. (3.1.34)

Składową ktx można wyznaczyć z warunków ciągłości na granicy ośrodków, zgodnie z

którymi powinna ona być równa składowej kix, a więc:

ktx = k0n1sinθ. (3.1.35)

50

3.1. Wprowadzenie

Stąd podstawiając do równania (3.1.34) otrzymujemy:

ktz = ik0

√

n21sin2θ − n22. (3.1.36)

z

x

kiθ θ

kr

kt

βn2

n1

n1 n2 θ θcz

xki θ θ kr

βn2

n1

n1 n2

∈ℂ

θc

θ θc

Rysunek 3.3: Schemat propagacji fali płaskiej padającej na granicę ośrodków. Lewy rysu-

nek: odbicie i załamanie dla kąta padania θ < θc, prawy rysunek: całkowite wewnętrzne

odbicie dla kąta padania θ > θc. Symbolicznie kolorem zielonym przedstawiony jest eks-

ponencjalny zanik amplitudy fali zanikającej.

Ponieważ w dalszych rozważaniach będziemy rozpatrywać przejście z dielektrycznego

pryzmatu do próżni oraz będzie interesowało nas pole nad powierzchnią pryzmatu, przyj-

mijmy n1 ≡ n i n2 = 1 oraz pomińmy wskaźnik „t”. W nowej notacji pole nad powierzchnią

pryzmatu możemy zapisać w postaci:

E(x, z, t) = tTE(θ) E0 e−iωt eiφ(x) e−z/d, (3.1.37)

gdzie E0 opisuje amplitudę i kierunek wektora pola elektrycznego, φ(x) = xk0n sin θ

jest fazą fali biegnącej, a d =(

k0√

n2 sin2 θ − 1)−1

jest tak zwaną głębokością wni-

kania. W powyższym wzorze wybraliśmy polaryzację TE, a więc taką, w której wek-

tor pola elektrycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania zarówno w pryzmacie,

jak i próżni. Wtedy współczynnik transmisji wyznaczony ze wzorów Fresnela wynosi

tTE(θ) = 2n cos θ(

n cos θ + i√

n2sin2θ − 1)−1

. Zmiana polaryzacji na TM , w której wek-

tor pola elektrycznego jest równoległy do płaszczyzny padania, nie zmienia jakościowo

naszych wyników.

Z postaci pola elektrycznego opisanego wzorem (3.1.37) widać, że zanika ono eksponen-

cjalnie z odległością od powierzchni dielektryka, a wielkością charakteryzującą ten zanik

jest głębokość wnikania d. Zależy ona ściśle od kąta padania θ i przyjmuje największą

wartość w okolicy kąta granicznego θc, a następnie maleje bardzo szybko wraz ze wzrostem

θ i dąży do wartości granicznej, która dla λ = 578 nm wynosi około 100 nm, Rys. 3.4. W

51

3.2. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą w przybliżeniu fali płaskiej

kolejnych sekcjach pokażemy, że wielkość ta odgrywa kluczową rolę w generacji sztucznych

pól magnetycznych za pomocą fali zanikającej.

Rysunek 3.4: Zależność głębokości wnikania d =(

k0√

n2 sin2 θ − 1)−1

od kąta padania θ.

W miarę oddalania się od kąta granicznego θc głębokość wnikania bardzo szybko maleje.

3.2 Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę za-

nikającą w przybliżeniu fali płaskiej

3.2.1 Opis układu

Rozważmy elektromagnetyczną falę płaską o wektorze falowym k0, która rozchodzi się

w pryzmacie wykonanym z dielektrycznego materiału o współczynniku załamania n > 1.

Fala pada na granicę między dielektrykiem a próżnią, pod kątem padania θ większym od

kąta granicznego θc = arcsin(1/n) dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Powstała w

ten sposób fala zanikająca propaguje się wzdłuż granicy ośrodków w kierunku x i zanika

eksponencjalnie wraz z oddalaniem się od powierzchni pryzmatu w kierunku z, tak jak na

Rys. 3.5.

Pole elektryczne powstałe w próżni wyraża się wzorem (3.1.37), a jego obecność będą

odczuwały atomy spułapkowane nad powierzchnią pryzmatu w odległości mniejszej niż

głębokość wnikania fali zanikającej. Zakładamy, że chmura atomowa znajduje się w stanie

kondensatu Bosego-Einsteina, a więc wszystkie atomy opisane są tym samym stanem jed-

nocząstkowym. Aby znaleźć stany własne układu za pomocą formalizmu przybliżenia fali

rotującej, odstrojenie ∆ częstości lasera ω od atomowego rezonansu ω0 musi być niewiel-

kie. To z kolei w przypadku atomu dwupoziomowego pociąga za sobą niebezpieczeństwo

52


Rysunek 3.5: Geometria rozważanego układu. Fala płaska o wektorze falowym k0 (zielona

strzałka) pada na powierzchnię pryzmatu pod kątem θ większym niż kąt graniczny dla

całkowitego wewnętrznego odbicia. Powstała w ten sposób fala zanikająca oddziałuje z

chmurą atomów (żółte koło) spułapkowaną przy powierzchni pryzmatu.

dużej emisji spontanicznej, która może zniszczyć koherencję w kondensacie, a tym samym

uniemożliwić obserwację sztucznego pola magnetycznego. Dlatego też nie można użyć w

tego typu eksperymencie powszechnie stosowanych atomów metali alkalicznych, jak np.

rubid, ale potrzebne są atomy o długo żyjących stanach (tzw. przejścia zegarowe wyko-

rzystywane w zegarach atomowych). Są to m.in. iterb, stront czy cez [95]. W naszych

obliczeniach będziemy stosować długość fali odpowiadającą przejściu 1S0 →3P0 w iterbie,

a więc λ = 578 nm.

3.2.2 Przybliżenie adiabatyczne

Oddziaływanie atomów z polem laserowym powoduje, że układ znajduje się w jednym

ze stanów ubranych danych wzorami (3.1.12) oraz (3.1.13). Załóżmy, że atomy poruszają

się na tyle wolno, aby przez adiabatyczną ewolucję podążały za stanem np. |χ+〉. Jest to

możliwe ponieważ istnieje przerwa energetyczna między stanami ubranym o wartości ~Ω,

która pozwala na separację dynamiki każdego ze stanów i adiabatyczną eliminację jednego

z nich. Aby otrzymać warunek na dozwolone prędkości rozważmy stan wewnętrzny atomu

53


dany jako superpozycja stanów ubranych Ψ(r(t)) =∑

i ci(t)|χi(r(t))〉, gdzie i = +,− [96].

Załóżmy ponadto, że w chwili początkowej atom był w spoczynku w stanie Ψ = |χ+〉, a

następnie jest jednostajnie przyspieszany do prędkości v w czasie T , tj. v(t) = vt/T dla

0 ≤ t ≤ T . Podstawiając |Ψ〉 do zależnego od czasu równania Schrödingera i~|Ψ〉 = H|Ψ〉i wyznaczając lewą stronę jako:

|Ψ〉 =∑

i

(

ci|χi〉+ cidr

dt

d

dr|χi〉

)

=∑

i

(ci|χi〉+ civ|∇χi〉) , (3.2.1)

możemy zrzutować obustronnie na stan 〈χk| i otrzymać równanie:

ck(t) = − i

~Ekck(t)−

∑

i

civ〈χk|∇χi〉. (3.2.2)

W zerowym rzędzie współczynnik c− = 0, natomiast c+(t) = e−iE+t/~, ponieważ jest to

nasz punkt startowy. W pierwszym rzędzie otrzymujemy:

c−(T ) = −v · 〈χ−|∇χ+〉e−i~E−T

∫ T

0e

i~(E−−E+)t t

Tdt, (3.2.3)

gdzie |χ−〉, |χ+〉, E− i E+ są wzięte w zerowym rzędzie w v. Zakładając, że atom jest

wprawiony w ruch adiabatycznie, tzn. T (E− − E+)/~ ≫ 1 otrzymujemy warunek:

c−(T ) ≈ i~v · 〈χ−|∇χ+〉E− − E+

e−i~E+T . (3.2.4)

W przybliżeniu adiabatycznym chcemy ponadto, aby |c−| ≪ 1, tj. aby układ podążał za

stanem początkowym |χ+〉, stąd ostatecznie warunek na dozwolone prędkości przyjmuje

postać:

v ≪ Ω

|〈χ−|∇χ+〉|, (3.2.5)

gdzie ~Ω = |E−−E+|. Warunek ten dla małych odstrojeń rzędu kHz pozwala na prędkości

rzędu cm/s, co odpowiada temperaturze rzędu µK, a więc jest to zakres zimnych gazów

atomowych. Kwantowa degeneracja zachodzi dla atomów iterbu poniżej 500nK, a więc

rozważając kondensat Bosego-Einsteina i niewielkie odstrojenia możemy być pewni, że

znajdujemy się w reżimie przybliżenia adiabatycznego.

3.2.3 Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego pojedynczą

falą zanikającą

Znając stany ubrane układu możemy wyznaczyć potencjał wektorowy odczuwany przez

atomy:

A(x, z) = ~ sin2 [Φ(z)/2]∇φ(x), (3.2.6)

54


gdzie Φ(z) = arctg(|κ(x, z)|/∆), a κ(x, z) = d ·E(r)/~ z polem elektrycznym E(r) danym

wzorem (3.1.37). Rotacja potencjału wektorowego A pozwala na uzyskanie wyrażenia na

wektor sztucznego pola magnetycznego, które posiada niezerową składową tylko w kierunku

y:

B(z) = −yB(z) = −yB0

√

n2 sin2 θ − 1s2α(z)n sin θ

[1 + s2α(z)]3/2, (3.2.7)

gdzie B0 = ~k20/2 i α(z) =∣

∣tTE(θ)∣

∣

2e−2z/d. Ponadto wprowadziliśmy nowy parametr

s =|d ·E0|~|∆| , (3.2.8)

będący stosunkiem maksymalnej częstości Rabiego do odstrojenia od rezonansu atomo-

wego.

Rysunek 3.6: Pole magnetyczne B(z) (3.2.7), w jednostkach B0 = ~k20/2, jako funkcja z/d

dla s = 5, zob. (3.2.8). Kolory odróżniają pola magnetyczne dla różnych kątów pada-

nia θ. Szerokość połówkowa B(z) dla każdego kąta wyznacza zakres znaczących wartości

amplitudy. Wynika stąd, że ∆z ≈ d.

Pole magnetyczne B(z) można modelować zmieniając kąt padania θ, który determinuje

zarówno maksymalną wartość amplitudy pola, jak również zakres ∆z, na którym B(z) jest

znaczące. Na Rys. 3.6 przedstawiono wykresy pola magnetycznego dla różnych kątów

padania θ w zależności od z/d, a więc odległości od pryzmatu z, do głębokości wnikania d

fali zanikającej. Biorąc pod uwagę szerokość połówkową krzywych jako zakres ∆z widać,

że ∆z ≈ d. Najsilniejsze pole magnetyczne można wytworzyć jeśli kąt padania θ znacznie

przekracza wartość kąta granicznego θc dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Jednak

wtedy głębokość wnikania maleje, a więc również ∆z. Całkując pole magnetyczne dane

55


wzorem (3.2.7), otrzymujemy:

+∞∫

0

B(z)dz = ~k0sin2 [Φ(0)/2] ≤ ~k0. (3.2.9)

Widać stąd, że maksymalna wartość pola magnetycznego wynosi ~k20. Gdy θ zbliża się

do kąta granicznego θc głębokość wnikania rośnie, ale maleje amplituda, ponieważ B ∝k0/d = k20

√

n2sin2θ − 1.

Na Rys. 3.7 przedstawione są wykresy pola magnetycznego B(z) dla dwóch różnych

kątów padania θ. Jak widać poprzez zmianę kąta θ można osiągać albo silne pola na

mniejszym zakresie (czarna krzywa), albo słabsze, ale odczuwalne przez atomy na większym

obszarze (czerwona przerywana).

0 20 40 60 80 1000.000

0.005

0.010

0.015

z @ΜmD

BHzL

B0

Rysunek 3.7: Pole magnetyczne B(z) wytworzone przez pojedynczą falę zanikającą, w

jednostkach B0 = ~k20/2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania: θ − θc =

8 · 10−4rad (czarna linia) i θ − θc = 10−5rad (czerwona przerywana linia) oraz dla s = 5

(3.2.8) i λ = 578 nm.

Wzrost parametru s (3.2.8) natomiast powoduje przesunięcie pola magnetycznego B(z)

w kierunku większych wartości z jak na Rys. 3.8. Stąd poprzez odpowiednią zmianę s mo-

żemy decydować o tym, w jakim obszarze nad powierzchnią pryzmatu pole magnetyczne

będzie obecne. Pozwala to na spułapkowanie atomów dostatecznie daleko od powierzchni,

a tym samym uniknięcie oddziaływania van der Waalsa atomów z powierzchnią dielektryka.

Istnieją jednak naturalne ograniczenia na odległość pola magnetycznego od powierzchni,

a tym samym na wielkość parametru s. W przypadku atomów iterbu, dla których zostały

wykonane obliczenia, uzyskanie s ≫ 1 jest trudne, ponieważ długo żyjące stany charak-

56


teryzują się słabym sprzężeniem z polem laserowym, co jednak można ominąć wybierając

odpowiednio małe odstrojenie ∆. W większości obliczeń przyjęliśmy wartość s = 5, która

jest łatwo osiągalna we współczesnych laboratoriach.

0 2 4 6 8 10 12 140.000

0.005

0.010

0.015

z @ΜmD

BHzL

B0

Rysunek 3.8: Pole magnetyczne B(z) wytworzone przez pojedynczą falę zanikającą, w

jednostkach B0 = ~k20/2, jako funkcja z dla trzech różnych wartości parametru s (3.2.8),

tj. s = 2 (czarna ciągła linia), s = 5 (czerwona przerywana linia) i s = 10 (zielona

kropkowana linia), oraz dla θ − θc = 8 · 10−4rad i λ = 578 nm.

Geometryczny potencjał skalarny W wyrażony wzorem:

W (z) =~2

8m

(

1

d2s2α(z)

[1 + s2α(z)]2+

s2α(z)

1 + s2α(z)k20n

2sin2θ

)

, (3.2.10)

okazuje się być zbyt słaby, aby przezwyciężyć przyciąganie grawitacyjne, dlatego aby spu-

łapkować atomy blisko powierzchni pryzmatu potrzebna jest albo zewnętrzna pułapka ma-

gnetyczna, albo dodatkowe wiązki laserowe. Na Rys. 3.9 przedstawiony został potencjał

skarany W (3.2.10) dla parametrów użytych na wykresach Rys. 3.7. Na przykład dla

atomów iterbu, maksymalna siła od potencjału skalarnego wynosi 0.17mg, gdzie g ozna-

cza przyspieszenie ziemskie. Również optyczny potencjał dipolowy wytworzony przez roz-

ważaną falę zanikającą jest zbyt słaby aby utrzymać chmurę atomów nad powierzchnią

pryzmatu. Dzieje się tak dlatego, że generacja sztucznego pola magnetycznego wymaga

dużych głębokości wnikania d, co z kolei prowadzi do zmniejszenia gradientu uogólnionej

częstości Rabiego ∇Ω, a tym samym proporcjonalnej do niej optycznej siły dipolowej.

57


0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

z @ΜmD

WHzL

ER

Rysunek 3.9: Geometryczny potencjał skalarny W (z) wytworzony przez pojedynczą falę

zanikającą, w jednostkach energii odrzutu ER = ~2k20/(2m), jako funkcja z dla dwóch

różnych kątów padania θ−θc = 8·10−4rad (ciągła czarna linia), θ−θc = 10−5rad (czerwona

przerywana linia) oraz dla s = 5 (3.2.8) i λ = 578 nm.

3.2.4 Topologiczne wiry jako konsekwencja istnienia sztucznego pola

magnetycznego

Aby zadecydować, które wartości kąta padania θ są najbardziej odpowiednie dla ekspe-

rymentu, powinniśmy przeanalizować jaką liczbę wirów jest w stanie wygenerować sztuczne

pole magnetyczne w ultrazimnej chmurze atomowej. Zgodnie z informacjami z sekcji 1.2.3

wiry w kondensacie Bosego-Einsteina są wynikiem niezerowej cyrkulacji. W mechanice kla-

sycznej naładowana cząstka w polu magnetycznym porusza się po orbicie cyklotronowej,

natomiast w mechanice kwantowej, orbitalny moment pędu jest skwantowany. A więc w

tym przypadku cyrkulacja jest kwantowym odpowiednikiem ruchu po okręgu cząstki na-

ładowanej w polu magnetycznym. Dlatego gęstość wirów może być wyrażona za pomocą

długości magnetycznej lB, charakteryzującej rozmiar elementarnej orbity cyklotronowej,

jako ρv = 1/l2B = B/(2π~). Ponieważ położenie wirów wyznacza miejsca zerowe funkcji

falowej, to ich promień powinien być równy długości zabliźnienia, zob. sekcja 1.1.1.

Zakładając, że pole B jest znaczące na powierzchni (∆z)2, to liczba wirów na tym

obszarze wyniesie Nv = (∆z)2ρv. Ponieważ pole B(z) zależy tylko od współrzędnej z, to

przestrzeń, gdzie pole magnetyczne jest znaczące tworzy pas o szerokości ∆z. Dlatego w

tym przypadku powinniśmy raczej oszacować liczbę rzędów wirów, tj. Nrows = ∆z√ρv,

58

3.3. Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim

która dla kąta θ bliskiego kątowi granicznemu θc może być przybliżona przez:

Nrows ≈1

2

√

d

λ≈(

1

8√2π(n2 − 1)1/4

√θ − θ0

)1/2

. (3.2.11)

Dla parametrów użytych na Rys. 3.7, tj. n = 1.4 i λ = 578 nm otrzymujemyNrows = 1 oraz

∆z ≈ 2.3 µm jeśli θ − θ0 ≈ 8 · 10−4rad (czarna krzywa), podczas gdy θ − θ0 ≈ 10−5rad,

Nrows = 3 i ∆z ≈ 20.8 µm (czerwona przerywana). Wynika stąd, że poprzez zmianę

θ możemy kontrolować liczbę wirów w realizacji eksperymentalnej. Im jesteśmy bliżej

kąta granicznego, tym więcej rzędów wirów możemy wygenerować w ultrazimnej chmurze

atomów. W obecnych laboratoriach możliwe jest ustawienie kąta padania z dokładnością do

10−4 rad [97], a w eksperymentach z falą zanikającą osiągalna jest jeszcze lepsza precyzja.

Atomy używane w eksperymentach są neutralne, ale chcąc nabyć pewną intuicję od-

nośnie rzędu wielkości takiego sztucznego pola magnetycznego wygenerowanego przez falę

zanikającą, załóżmy, że atomy posiadają ładunek elementarny e. Wtedy np. czarna krzywa

na Rys. 3.7 odpowiada polu magnetycznemu B/e ≈ 0.3 mT, które jest obecne na obszarze

∆z ≈ 10 µm.

3.3 Generacja sztucznego pola magnetycznego przez falę za-

nikającą z profilem gaussowskim

Dla wiązki laserowej padającej pod kątem znacznie większym od granicznego θc możliwe

jest przybliżenie wiązki przez falę płaską. Dzieje się tak dlatego, że w miarę oddalania się

od kąta granicznego głębokość wnikania nie zmienia się już tak drastycznie ze zmianą θ

jak w przypadku kątów bliskich θc. Sytuacja wygląda nieco inaczej jeśli kąt padania θ jest

bliski granicznemu. Wtedy aby opisać poprawnie generację sztucznego pola magnetycznego

przez falę zanikającą trzeba wziąć pod uwagę efektywne pole powstające nad powierzchnią

pryzmatu, ponieważ rzeczywista wiązka laserowa składa się wielu fal płaskich padających

pod różnymi kątami i fala zanikająca już nie wygasa dokładnie jak funkcja eksponencjalna.

Powinniśmy zatem rozpatrzyć wiązkę gaussowską, która jest powszechnie stosowana w

eksperymentach z zimnymi gazami atomowymi.

3.3.1 Opis układu

Rozważmy wiązkę laserową padającą pod kątem θin na granicę pomiędzy dielektrycz-

nym pryzmatem a próżnią, tak jak na Rys. 3.10. Wiązka jest reprezentowana przez

59


Rysunek 3.10: Geometria rozważanego układu. Wiązka gaussowska o wektorze falowym

k0 (zielona strzałka) pada na powierzchnię pryzmatu pod kątem θin większym niż kąt

graniczny dla całkowitego wewnętrznego odbicia. Efektywne pole, które powstaje nad po-

wierzchnią pryzmatu, przejawia zanik amplitudy wraz z oddalaniem się od powierzchni

pryzmatu i oddziałuje z chmurą atomów (żółte koło) spułapkowaną przy powierzchni pry-

zmatu.

gaussowską superpozycję fal płaskich, a więc możemy rozłożyć ją na dwie części:

E(r, t) = E1(r, t) +E2(r, t). (3.3.1)

Pierwsza opisuje pole zanikające, tzn odpowiada superpozycji fal płaskich o kątach padania

θ > θc,

E1(r, t) =E0e

−iωt

√π∆θ

∫ π/2

θc

dθ tTE(θ)eiφ(x)e−z/deink0

l2(θ−θin)

2−(θ−θin)2

(∆θ)2− y2

w2y , (3.3.2)

gdzie ostatni eksponencjalny wyraz opisuje profil wiązki. Tak jak na Rys. 3.10, l oznacza

odległość przewężenia wiązki w od powierzchni pryzmatu, ∆θ = 2/(nk0w) określa rozkład

gaussowski kątów padania, natomiast wy jest promieniem poprzecznego przewężenia [97].

Drugie wyrażenie w (3.3.1), tj. E2(r, t) opisuje propagację fal padających pod kątami

mniejszymi od granicznego, θ < θc i dane jest podobnym wzorem jak E1 (3.3.2), ale

całkowanie przebiega po kątach od 0 do θc, a eksponencjalny zanik amplitudy, tj. e−z/d

60


jest zastąpiony czynnikiem fazowym exp(

izk0√

1− n2 sin2 θ)

:

E2(r, t) =E0e

−iωt

√π∆θ

∫ θc

0dθ tTE(θ)eiφ(x)eizk0

√1−n2 sin2 θe

ink0l2(θ−θin)

2−(θ−θin)2

(∆θ)2− y2

w2y , (3.3.3)

Podobnie jak wcześniej wybraliśmy polaryzację TE, a więc prostopadłą do płaszczyzny

padania, dlatego w wyrażeniu (3.3.1) możemy pominąć zapis wektorowy i sprowadzić je do

zwykłej sumy natężeń pola elektrycznego.

3.3.2 Analiza sztucznego pola magnetycznego generowanego falą zani-

kającą z profilem gaussowskim

Rozważmy wiązkę o realistycznych parametrach eksperymentalnych, tj.: λ = 578 nm,

l = 680 mm, w = 440 µm oraz wy = 440 µm [97]. Rys. 3.11 przedstawia profil fali

zanikającej, a więc wypadkowe pole |E1(x, z)| (3.3.2) w zależności zarówno od współrzędnej

x, jak i z oraz w płaszczyźnie padania XZ.

Efektywne pole nad powierzchnią dielektryka, pochodzące od fal padających pod ką-

tami θ > θc, przejawia eksponencjalny zanik w kierunku z, podobnie jak w przypadku

pojedynczej fali płaskiej. Dodatkowo pojawia się natomiast pewne rozmycie w kierunku x,

jednak jego zakres jest na tyle duży, że bezpiecznie możemy założyć stałe pole elektryczne

w kierunku x w obrębie chmury ultrazimnych atomów, której przeciętne rozmiary są rzędu

∼ 100 µm. Okazuje się, że przyczynek |E2(x, z)| do efektywnego pola, pochodzący od fal

padających pod kątami θ < θc jest znikomy ze względu na bardzo małe rozmycie kątowe

w wiązce gaussowskiej, tj. ∆θ ≈ 3 · 10−4 rad. W związku z tym całkowite pole nad po-

wierzchnią pryzmatu pochodzi głównie od fal zanikających, których kąt padania znajduje

się w granicach θc < θ < θin +∆θ.

W przeciwieństwie do pojedynczej fali płaskiej, wiązka gaussowska generuje trzy skła-

dowe sztucznego pola magnetycznego. Jednak warto zauważyć, że brane przez nas pod

uwagę kąty padania spełniają warunek d(θin) ≪ wy, a więc uogólniona częstość Rabiego

zmienia się dużo wolniej ze zmianą y niż z. Podobnie zgodnie z wcześniejszymi wnioskami,

zależność amplitudy efektywnego pola od współrzędnej x zachodzi na skali dużo większej

niż przeciętne rozmiary kondensatu, a więc jej przyczynek do składowych By oraz Bz będzie

zaniedbywalnie mały. Stąd dominującą składową sztucznego pola magnetycznego będzie

składowa w kierunku y, tj. B(r) ≈ −B(r)y, podobnie jak we wcześniejszych rozważaniach

z pojedynczą falą płaską. Teraz natomiast kształt B(r) zależy zarówno od kąta padania

wiązki θin oraz parametru s. Wcześniej, w sekcji 3.2 parametr s nie zmieniał kształtu pola,

a jedynie przesuwał je względem powierzchni pryzmatu. W przypadku wiązki gaussowskiej

61


wzrost parametru s oprócz odsuwania maksimum pola od powierzchni pryzmatu powoduje

niewielkie zmniejszenie jego amplitudy.

Rysunek 3.11: Wypadkowe pole |E1(x, z)| (3.3.2) w jednostkach |E0|, w funkcji z (lewy

górny panel), x (prawy górny panel) oraz w płaszczyźnie XZ (dolny panel), fali zanikają-

cej powstałej w wyniku całkowitego wewnętrznego odbicia wiązki gaussowskiej padającej

pod kątem θin do powierzchni pryzmatu, Rys. 3.10. Efektywne pole nad powierzchnią

dielektryka przejawia eksponencjalny zanik w kierunku z (lewy górny panel), ale również

pewne rozmycie w kierunku x (prawy górny panel) na tyle jednak duże, że można rozpa-

trywać pole elektryczne jako stałe w kierunku x w obrębie chmury ultrazimnych atomów.

Parametry układu to: λ = 578 nm, l = 680 mm, n = 1.4, θin − θc = 8 · 10−4, w = 440 µm

oraz wy = 440 µ.

Rys. 3.12 przedstawia wykres B(0, 0, z) od z dla s = 5 i dla takich samych kątów

padania θin jak w przypadku pojedynczej fali zanikającej, tj. θin − θc = 8 · 10−4 rad oraz

θin−θc = 10−5 rad. Sztuczne pole magnetyczne odpowiadające czarnej krzywej jest prawie

takie samo jak w przybliżeniu fali płaskiej, por. Rys. 3.7. Można zatem wnioskować, że

dla kątów padania odchylonych od granicznego o około 10−4 rad przybliżenie fali płaskiej

odzwierciedla rzeczywistą sytuację eksperymentalną. Różnicę jednak można zauważyć dla

62


θin − θc = 10−5 rad. Maksymalna wartość pola jest co prawda większa niż wcześniej, ale

zakres ∆z, na którym pole magnetyczne jest znaczące zmniejszył się. Konsekwencją tej

zmiany jest ograniczenie liczby rzędów wirów, które można wygenerować w ultrazimnej

chmurze atomowej. Ponadto zbliżając się jeszcze bardziej z θin do kąta granicznego nie

otrzymujemy już znacząco różnego pola magnetycznego, a liczba rzędów wirów pozostaje

stała.

0 5 10 15 20 25 300.000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.010

0.012

0.014

z @ΜmD

BH0

,0,zL

B0

Rysunek 3.12: Pole magnetyczne B(0, 0, z) wytworzone przez wiązkę gaussowską, w jed-

nostkach B0 = ~k20/2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania θin−θc = 8·10−4 rad

(ciągła czarna linia), θin−θc = 10−5 rad (przerywana czerwona linia) oraz dla s = 5 (3.2.8).

Parametry wiązki laserowej są następujące: λ = 578 nm, l = 680 mm, w = 440 µm i

wy = 440 µm.

Okazuje się jednak, że sztuczne pole magnetyczne generowane wiązką gaussowską można

modelować w nieco inny sposób. W przypadku pojedynczej fali zanikającej kluczowym pa-

rametrem był kąt padania wiązki θ, ponieważ odpowiadał za kształt i amplitudę sztucznego

pola magnetycznego. Wiązka gaussowska natomiast generuje pole magnetyczne nieczułe na

zmiany kąta padania gdy jest on bardzo bliski granicznemu, tj. gdy 0 < θin−θc ≤ 10−5 rad,

jednak dla odpowiednio dobranych parametrów wiązki gaussowskiej można odtworzyć wy-

niki z sekcji 3.2, por. Rys. 3.7. W przypadku kąta padania θin− θc = 8 ·10−4 rad sztuczne

pole magnetyczne wygenerowane wiązką gaussowską z dobrym przybliżeniem odpowiada

temu wytworzonemu przez pojedynczą falę zanikającą dla bardzo szerokiego zakresu pa-

rametrów. Zarówno szerokość przewężenia w, jak również jego odległość od powierzchni

pryzmatu l nie zmienia w sposób znaczący wyników. Dla kątów bardzo bliskich granicz-

nemu sytuacja wygląda nieco inaczej. Okazuje się, że kluczową wielkością decydującą

o kształcie pola jest szerokość przewężenia wiązki w. Rys. 3.13 przedstawia zależność

kształtu pola magnetycznego B(0, 0, z) od z dla trzech różnych wartości w. Aby dla kąta

63


padania θin − θc = 10−5 rad otrzymać wyniki zbieżne z przybliżeniem fali płaskiej, trzeba

wybrać przewężenie wiązki równe w = 3 mm, które jest łatwo osiągalne eksperymentalnie.

Intuicyjnie różnicę między falą płaską a wiązką gaussowską można poczuć patrząc na

rozmycie kątowe wiązki ∆θ ∼ 1/w. Oddalając się z θin od kąta granicznego zmiany w

głębokości wnikania stają się mniej drastyczne, a więc jeśli θin − θc = 8 · 10−4 rad, to do

efektywnego pola nad powierzchnią pryzmatu dają przyczynek fale padające pod kątami

z przedziału θc < θ < θin + ∆θ, a więc bliskie θin i o podobnej głębokości wnikania. W

miarę zbliżania się do kąta granicznego również chcielibyśmy, aby największy przyczynek do

efektywnego pola pochodził od kątów bliskich θin. Należy zatem odpowiednio zmniejszyć

∆θ poprzez zwiększenie szerokości przewężenia wiązki w.

Podobnie jak wcześniej, parametr l nie zmienia znacząco wyników, więc jedynym kry-

terium w jego wyborze może być łatwość eksperymentalna.

Rysunek 3.13: Pole magnetyczne B(0, 0, z) wytworzone przez wiązkę gaussowską, w jed-

nostkach B0 = ~k20/2, jako funkcja z dla kąta padania θin − θc = 10−5rad oraz trzech

różnych wartości przewężenia wiązki: w = 100 µm (czarna krzywa), w = 1 mm (czer-

wona krzywa) oraz w = 2 mm (zielona krzywa). Pozostałe parametry to: s = 5 (3.2.8),

λ = 578 nm, l = 680 mm.

3.3.3 Symulacje numeryczne

Do tej pory analizowaliśmy generację sztucznego pola magnetycznego przez falę zanika-

jącą i szacowaliśmy liczbę wirów, które mogą zostać wytworzone w chmurze ultrazimnych

atomów w obecności tego pola. Aby potwierdzić nasze przewidywania przeprowadzili-

śmy symulacje numeryczne w przybliżeniu średniego pola. Rozważamy kondensat Bosego-

64


Einsteina spułapkowany w potencjale harmonicznym w obecności potencjału wektorowego

A w dwuwymiarowym (2D) przybliżeniu. Dla używanych przez nas parametrów, geome-

tryczny potencjał skalarny W (3.2.10) i optyczny potencjał dipolowy są bardzo słabe, a

więc mogą być pominięte. Równanie Grossa-Pitajewskiego (1.1.8) w jednostkach poten-

cjału harmonicznego przyjmuje postać:

µψ = −1

2

[

(∂x + iAx)2 + (∂z + iAz)

2]

ψ +x2 + z2

2ψ + g|ψ|2ψ, (3.3.4)

gdzie µ oznacza potencjał chemiczny układu, a g opisuje siłę oddziaływania między ato-

mami (zakładamy normalizację 〈ψ|ψ〉 = 1). Do symulacji numerycznych potrzebujemy

zdyskretyzować dwuwymiarową przestrzeń, a więc możemy zastąpić pochodną cząstkową

∂x jej dyskretną wersją:

∂xψ(x, z) ≈ψ(x+ dx, z)− ψ(x− dx, z)

2dx. (3.3.5)

Jednak w takim przypadku otrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskiego, które nie jest nie-

zmiennicze ze względu na transformację cechowania. Problem ten można ominąć stosując

tzw. liniową całkę Schwingera używaną powszechnie w teoriach cechowania na sieciach [98].

Aby nasza dyskretna wersja hamiltonianu była niezmiennicza ze względu na transformację

cechowania, wyrazy typu ψ∗(x, z)ψ(x+dx, z) muszą zostać zastąpione wyrazami niezmien-

niczymi, tj.:

ψ∗(x, z) U(x, z;x+ dx, z) ψ(x+ dx, z), (3.3.6)

gdzie U(x, z;x+ dx, z) = exp(iAxdx) jest liniową całką Schwingera. Odpowiada to nastę-

pującemu podstawieniu w równaniu Grossa-Pitajewskiego:

(∂x + iAx)2 ψ(x, z) −→ 1

dx2[Uψ(x+ dx, z) + U∗ψ(x− dx, z)− 2ψ(x, z)], (3.3.7)

i podobnie dla (∂z + iAz)2 ψ. Powstała w ten sposób dyskretna wersja równania GP jest

niezmiennicza ze względu na transformację cechowani i odtwarza ciągłą wersję równania

(3.3.4) w granicy dx→ 0 i dz → 0.

Do znalezienia stanu podstawowego równania GP użyliśmy metody polegającej na ewo-

lucji układu w czasie urojonym. W przypadku liniowego równania Schrödingera, rozkła-

dając stan układu w bazie własnej hamiltonianu:

|ψ(t)〉 =∑

n=0

αne− i

~Ent|ψn〉 (3.3.8)

i zamieniając czas rzeczywisty na urojony, tj. t→ iτ otrzymujemy:

|ψ(τ)〉 =∑

n=0

αne− 1

~Enτ |ψn〉, (3.3.9)

65


Dla długich „czasów” τ → ∞ przyczynki od stanów wzbudzonych zanikają eksponencjalnie

z energią stanu, a więc największy wkład do stanu układu |ψ〉 będzie miał stan własny

hamiltonianu o najniższej energii, tj. stan podstawowy:

|ψ(τ)〉 τ→∞−→ α0e− 1

~E0τ |ψ0〉. (3.3.10)

Przyjmując początek skali energii jako zero, E0 ≡ 0, możemy otrzymać stan podstawowy

układu. Okazuje się, że nawet w przypadku nieliniowego równania G-P metoda ewolucji

w czasie urojonym pozwala znaleźć stan podstawowy.

W praktyce implementacja numeryczna wygląda w ten sposób, że zapisujemy zależne

od czasu równanie GP w czasie urojonym:

−∂τ |ψ〉 = H|ψ〉, (3.3.11)

i wyznaczamy |ψ(dτ)〉 = e−dτH |ψ(0)〉. Najpierw jednak musimy wybrać stan początkowy,

od którego rozpocznie się ewolucja. W naszym przypadku najlepiej zacząć od stanu podsta-

wowego kondensatu w pułapce harmonicznej, a więc od stanu Thomasa-Fermiego postaci

(1.1.14):

|ψ(0)〉 =√

µ− Vtrapg

eiϕ(r), (3.3.12)

gdzie µ =√

g/π oznacza potencjał chemiczny w 2D, potencjał harmoniczny Vtrap =

(x2+ z2)/2 pułapkuje atomy, g = R4TFπ/4 opisuje odpychającą siłę oddziaływania między

atomami w 2D, a ϕ(r) jest fazą wybieraną losowo w każdym punkcie r z przedziału [0; 2π].

Wszystkie wielkości wyrażone są w jednostkach oscylatorowych. W symulacjach ustalamy

promień Thomasa-Fermiego RTF i na tej podstawie wyznaczamy pozostałe parametry

układu. Następnie dla małych kroków dτ możemy zastosować przybliżenie:

|ψ(dτ)〉 ≈ (1− dτH) |ψ(0)〉, (3.3.13)

znormalizować otrzymany stan tak, aby 〈ψ(dτ)|ψ(dτ)〉 = 1 i powtarzać iteracyjnie całą

procedurę aż do momentu otrzymania |ψ(τ)〉 o najniższej energii. W praktyce algorytm

przerywany jest w momencie, gdy różnica energii między |ψ(τ − dτ)〉 i |ψ(τ)〉 jest znikomo

mała w porównaniu ze skalą energii w układzie.

Znaleziony numerycznie stan podstawowy równania GP dla sztucznego pola magne-

tycznego wytworzonego przez falę zanikającą o profilu gaussowskim przedstawiony jest

na Rys. 3.14. Lewy panel odpowiada czarnej krzywej na Rys. 3.12, natomiast prawy

czerwonej. Współczynnik oddziaływania między atomami g został wybrany tak, aby pro-

mień Thomasa-Fermiego chmury atomów iterbu wynosił odpowiednio RTF = 10µm w

66


lewym panelu oraz RTF = 15µm w prawym. Częstość potencjału harmonicznego wynosi

ωtrap = 2π × 16Hz.

Rysunek 3.14: Gęstość prawdopodobieństwa atomów iterbu spułapkowanych w potencjale

harmonicznym odpowiadającym częstości ωtrap = 2π × 16Hz. Współczynnik oddziaływa-

nia między atomami g, zob. (3.3.4), został wybrany tak, aby promień Thomasa-Fermiego

chmury atomów iterbu wynosił RTF = 10µm (lewy panel) i RTF = 15µm (prawy panel).

Dwuwymiarowa przestrzeń została zdyskretyzowana, tj. dx = dz = 0.05µm (lewy panel) i

0.063µm (prawy panel). Wiry widoczne na wykresach są wynikiem obecności sztucznego

pola magnetycznego wygenerowanego przez falę zanikającą z profilem gaussowskim. Para-

metry pola magnetycznego są takie same jak na Rys. 3.12, a więc panel lewy odpowiada

czarnej krzywej na Rys. 3.12, a prawy panel czerwonej.

Analizujemy zachowanie naszego układu w reżimie Thomasa-Fermiego. Profil gęsto-

ści prawdopodobieństwa jest paraboliczny ze względu na umieszczenie chmury atomów w

symetrycznej pułapce harmonicznej. Ponadto zakres zaburzeń w gęstości prawdopodo-

bieństwa, a więc rozmiar wiru, odpowiada długości zabliźnienia ξ (1.1.11), dużo mniejszej

niż promień RTF oraz obszar ∆z, na którym pole magnetyczne jest znaczące. Dlatego też

nawet w niewielkich chmurach atomowych możliwa jest obserwacja topologicznych defek-

tów takich jak solitony czy wiry. Szacując liczbę rzędów wirów jako iloczyn zakresu pola

magnetycznego i gęstości wirów, tj. (zob. sekcja 3.2.4):

Nrows ≈ ∆zρv = ∆z

√

B

2π~, (3.3.14)

gdzie B jest połową maksymalnej wartości pola magnetycznego, otrzymujemy dla czarnej

67

3.4. Lustro dla zimnych gazów atomowych

krzywej z Rys. 3.12 jeden rząd wirów, natomiast dla czerwonej dwa rzędy. Wielkości te są

mniejsze niż wynika to z symulacji numerycznych, przedstawionych na Rys. 3.14. Powo-

dem zaniżenia szacunkowej liczby rzędów wirów jest to, że braliśmy pod uwagę minimalną

wartość pola magnetycznego na danym obszarze oraz ograniczony jego zakres odpowiada-

jący szerokości połówkowej. W rzeczywistości natomiast atomy odczuwają silniejsze pole

na większym zakresie.

Przeprowadzone symulacje numeryczne i ich wyniki nie tylko jednoznacznie potwier-

dzają wnioski wyciągnięte na podstawie analitycznych obliczeń w sekcjach 3.2.3 i 3.3.2,

ale również pokazują, że realistyczna sytuacja eksperymentalna jest bardziej obiecująca

niż przyjęliśmy to w naszych szacunkach. Wszystkie parametry użyte w symulacjach są

powszechnie osiągalne we współczesnych laboratoriach zimnych gazów atomowych, dzięki

czemu możliwa jest eksperymentalna realizacja naszej koncepcji.

3.4 Lustro dla zimnych gazów atomowych

W poprzednich sekcjach zostało omówione sztuczne pole magnetyczne wygenerowane

falą zanikającą oraz jego wpływ na chmurę ultrazimnych atomów będących w stanie

kondensatu Bosego-Einsteina. Teraz chcielibyśmy odpowiedzieć na pytanie czy obecność

sztucznego pola magnetycznego może być obserwowana w eksperymentach z zimnymi ga-

zami atomowymi, które są dużo łatwiejsze z perspektywy doświadczalnej implementacji.

Możliwość obserwacji zjawisk magnetycznych w zimnych gazach atomowych byłaby zatem

ciekawym zagadnieniem, które może doczekać się eksperymentalnej realizacji. Podczas pro-

wadzenia niniejszych badań, grupa doświadczalna Zakładu Optyki Atomowej Uniwersytetu

Jagiellońskiego w Krakowie, prowadzona przez dra Tomasza Kawalca wyraziła zaintereso-

wanie przeprowadzeniem odpowiedniego eksperymentu.

Detekcja sztucznych pól w tym przypadku musi jednak przebiegać w inny sposób, ponie-

waż w gazach, których temperatura jest wyższa niż krytyczna dla kwantowej degeneracji,

nie można obserwować wirów charakterystycznych dla nadciekłości. Sygnaturą sztucznych

pól może być zatem przekaz pędu w kierunku prostopadłym do prędkości atomów v, bę-

dący wynikiem działania siły Lorentza. Ponadto w takim wypadku prędkości osiągane

przez atomy są rzędu m/s, a więc dużo większe niż prędkości ultrazimnych atomów (rzędu

mm/s). Stąd aby spełnić warunek adiabatyczny potrzebne jest duże odstrojenie ∆. Taki

warunek pociąga za sobą dużą częstość Rabiego, ponieważ parametr s (3.2.8) musi być

większy od jedności aby pole magnetyczne było znaczące. Dla atomów iterbu spełnie-

nie tych warunków może być trudne, ponieważ przejścia zegarowe, na których bazujemy,

68


charakteryzują się małymi sprzężeniami z polem laserowym. Dlatego w niniejszej sekcji

rozważymy inną konfigurację naszego układu.

3.4.1 Stany ubrane dla konfiguracji Λ

Rozważmy dwa zdegenerowane stany wewnętrzne |1〉 i |2〉 atomu, które należą do pod-

przestrzeni stanów podstawowych, np. dwa stany struktury nadsubtelnej atomu rubidu87Rb, oraz dwie wiązki laserowe, scharakteryzowane częstościami Rabiego κ1(x, z), κ2(x, z)

i wektorami falowymi o długościach k1 ≈ k2 ≡ k0, które sprzęgają oba stany podstawowe

ze stanem wzbudzonym |3〉, Rys. 3.15. Obie wiązki mogą wywołać przejścia Ramana po-

między dwoma stanami podstawowymi. Układ ten posiada trzy stany własne, z których

1

3ℏ

2

κ1 κ2

Rysunek 3.15: Schemat Λ poziomów energetycznych atomu trójpoziomowego. Poziomy

podstawowe |1〉 i |2〉 sprzęgają się z poziomem wzbudzonym |3〉 poprzez dwie wiązki lase-

rowe o częstościach Rabiego κ1(x, z) i κ2(x, z) odpowiednio. Odstrojenie dla każdej wiązki

wynosi ∆.

jeden zasługuje na szczególną uwagę. Jest to tak zwany stan „ciemny” o energii ED = 0,

będący kombinacją liniową dwóch stanów podstawowych |1〉 i |2〉 oraz rozsprzęgnięty od

stanu wzbudzonego |3〉, tj.:

|χD〉 =|1〉 − ζ|2〉√

1 + |ζ|2, (3.4.1)

gdzie ζ = κ∗1/κ∗2. Wynika stąd, że atom przygotowany w stanie ciemnym odporny jest na

proces spontanicznej emisji i absorpcji fotonów, dzięki czemu możemy zastosować forma-

lizm przybliżenia adiabatycznego opisanego w sekcji 3.1.4. Pozostałe stany własne układu

mają energie własne E± = (∆±√

∆+ |Ω1|2 + |Ω2|2)/2 i wynoszą |±〉 = (|χB〉 ± |3〉)/√2,

gdzie |χB〉 jest tzw. stanem „jasnym” o postaci:

|χB〉 =ζ∗|1〉+ |2〉√

1 + |ζ|2. (3.4.2)

Zakładając więc, że atom podąża adiabatycznie za stanem ciemnym |χD〉, w hamiltonianie

opisującym ruch środka masy atomu możemy się spodziewać niezerowego geometrycznego

69


potencjału wektorowego A = i~〈χD|∇χD〉 oraz skalarnego W = ~2〈χB|∇χD〉|2/(2M). W

wyrażeniu na potencjał skalarny W pojawił się przyczynek jedynie od stanu jasnego |χB〉,ponieważ 〈±|∇χD〉 = 〈χB|∇χD〉. Wynika stąd, że efektywnie układ składa się z dwóch

stanów ubranych oddzielonych przerwą energetyczną:

~δǫ = −~∆η

4, (3.4.3)

gdzie η =(

|κ1|2 + |κ2|2)

/∆2. Założyliśmy ponadto duże odstojenie ∆, a więc zachodzi

nierówność η ≪ 1, tj. suma kwadratów częstości Rabiego musi być mniejsza od kwadratu

odstrojenia ∆. Warto podkreślić, że stan jasny nie jest stanem własnym pełnego hamilto-

nianu, dlatego nie może być wybrany jako stan początkowy dla adiabatycznej ewolucji.

Przewaga konfiguracji Λ nad atomem dwupoziomowym polega na tym, że wybiera-

jąc stan ciemny jako stan początkowy układu, pozbywamy się zupełnie zjawiska emisji

spontanicznej, które niszczy adiabatyczność ewolucji układu. Możemy zatem użyć w eks-

perymencie atomy rubidu 87Rb lub innych metali alkalicznych, które są szeroko stosowane

w laboratoriach zimnych gazów atomowych oraz istnieją efektywne metody ich manipula-

cji. Ponadto w przeciwieństwie do stanów ubranych atomu dwupoziomowego, stan ciemny

nie ma przesunięcia Starka poziomów energetycznych, zob. sekcja 3.1.3. Stąd, rozpatru-

jąc zachowanie atomów przy powierzchni dielektrycznej możemy być pewni, że nie istnieje

potencjał dipolowy mogący wpływać na ruch atomów, a zatem jeżeli ruch atomów jest

modyfikowany przy powierzchni, to musi to wynikać z obecności potencjałów geometrycz-

nych.

3.4.2 Opis eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi

Rozważmy chmurę atomów schłodzoną w pułapce magnetooptycznej do temperatury

T i umieszczoną w odległości z0 nad powierzchnią poziomo ustawionego pryzmatu, tak jak

na Rys. 3.16. Na chmurę działa siła grawitacji skierowana w dół wzdłuż osi z. W takich

warunkach początkowych chmura atomów rozpręża się w polu grawitacyjnym i spada na po-

wierzchnię pryzmatu. Zakładamy, że pierwsza wiązka pada na granicę między pryzmatem

a próżnią pod kątem θ niewiele większym od kąta granicznego θc i tworzy falę zanikającą,

natomiast druga propaguje się w próżni wzdłuż powierzchni pryzmatu z wektorem falowym

k2 = −k0x, zob. Rys. 3.16. Dzięki takiemu ustawieniu wiązek parametr ζ występujący

w definicji stanu ciemnego (3.4.1) posiada odpowiednio duży gradient amplitudy i fazy,

ponieważ ζ = κ∗1/κ∗2 = se−z/de−ik0(n sin θ+1)x, gdzie s = |d1 ·E01| / |d2 ·E02| [99]. E0i opi-

suje amplitudy i kierunki wektorów pola elektrycznego wiązki laserowej, natomiast di są

atomowymi momentami dipolowymi. Propagacja obu wiązek w tym samym kierunku pro-

70


θ

z

xy

n

κ2

κ1

Rysunek 3.16: Geometria rozważanego układu. Wiązka κ1 (czerwona strzałka) pada na

powierzchnię pryzmatu pod kątem bliskim kątowi granicznemu θ > θc tworząc w ten sposób

na granicy ośrodków falę zanikającą, natomiast druga wiązka κ2 jako fala płaska propaguje

się w kierunku −x (czerwona sinusoida). Chmura atomowa (żółte koło) umieszczona w

odległości z0 od powierzchni pryzmatu zostaje uwolniona z pułapki magnetooptycznej i

spada swobodnie w polu grawitacyjnym z prędkością początkową v = −vx m/s. Blisko

powierzchni atomy oddziałują z falą zanikającą, co prowadzi do powstania sztucznego

pola magnetycznego, a w konsekwencji sztucznej siły Lorentza, która zakrzywia ich tor

(przerywana linia).

wadziłaby do zredukowania fazy fali biegnącej, a tym samym do znacznego zmniejszenia

jej gradientu. Podobnie w przypadku amplitudy zastosowanie drugiej wiązki zanikającej

powodowałoby ograniczenie jej gradientu.

Analogicznie jak w sekcji 3.2.2 możemy wyznaczyć warunek na dozwolone prędkości w

przybliżeniu adiabatycznym i podobnie jak wcześniej ma on postać:

|v| ≪ δǫ

|〈χB|∇χD〉|. (3.4.4)

Okazuje się, że dla odpowiednio dużych odstrojeń ∆ warunek ten jest spełniony nawet dla

atomów poruszających się z prędkością rzędu m/s, a więc możliwe jest przeprowadzenie

eksperymentu z zimnymi gazami atomowymi o temperaturze rzędu kilkunastu ∼ µK.

Sztuczne pole magnetyczne, które zostanie wygenerowane przez falę zanikającą w tym

przypadku ma postać:

B(z) = −y2~k20(n sin θ + 1)√

n2 sin2 θ − 1s2e−2z/d

(1 + s2e−2z/d)2. (3.4.5)

71


Warto podkreślić, że zastosowaliśmy w tym przypadku przybliżenie fali płaskiej, ponieważ

zgodnie z wnioskami z sekcji 3.3.1 dla kątów odchylonych od θc o około 10−4 rad wyniki dla

wiązki gaussowskiej i fali płaskiej są zbieżne. Rys. 3.17 przedstawia wykresy pola magne-

tycznego dla dwóch różnych kątów padania bliskich kątowi granicznemu. Pierwszy z nich

(czarna krzywa) odpowiada kątowi pojawiającemu się we wcześniejszych rozważaniach, a

więc θ − θc = 8 · 10−4 rad, drugi natomiast (czerwona przerywana) przedstawia pole ma-

gnetyczne użyte w symulacjach trajektorii w zimnych gazach atomowych, a więc dla kąta

padania θ − θc = 3 · 10−4. Różnicą w stosunku do dwupoziomowego iterbu jest ponad

pięciokrotnie większa amplituda pola magnetycznego, natomiast kształt oraz funkcja pa-

rametru s pozostają podobne. Porównując jednak z Rys. 3.8 można zauważyć, że sztuczne

pole magnetyczne dla konfiguracji Λ jest dalej odsunięte od powierzchni pryzmatu. Aby

pole B było znaczące, parametr s musi być rzędu jedności bądź większy.

Rysunek 3.17: Pole magnetyczne B(z) (3.4.5) wytworzone przez pojedynczą falę zani-

kającą, w jednostkach B0 = ~k20/2, jako funkcja z dla dwóch różnych kątów padania:

θ − θc = 8 · 10−4rad (czarna linia) i θ − θc = 3 · 10−4rad (czerwona przerywana linia) oraz

dla s = 5 (3.2.8) i λ = 795 nm.

Stan ciemny (3.4.1) rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym i w tej konfiguracji przesu-

nięcie poziomów energetycznych w wyniku efektu Starka nie zachodzi, a więc nie ma poten-

cjału dipolowego, który mógłby odpychać zimne atomy od powierzchni pryzmatu. Również

geometryczny potencjał skalarny W jest zbyt słaby, aby odbić atomy. Stąd jedyną moż-

liwością na skonstruowanie lustra dla zimnych atomów jest wykorzystanie sztucznej siły

Lorentza, która jest w stanie zakrzywić ich tor. Skoro pole magnetyczne ma składową

w kierunku −y, to przyspieszając atomy po uwolnieniu z pułapki do średniej prędkości

v ∝ −x możemy wygenerować sztuczną siłę Lorentza odpychającą atomy od powierzchni

72


pryzmatu, tak jak na Rys. 3.18 przedstawiającym przykładową trajektorię atomu.

−35 −30 −25 −20 −15 −10 −50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x [mm]

z [m

m]

Rysunek 3.18: Przykładowa trajektoria atomu odbitego od powierzchni pryzmatu przez

sztuczną siłę Lorentza.

Rysunki 3.19 oraz 3.20 pokazują gęstość atomów, otrzymaną na podstawie symulacji

klasycznych trajektorii N = 107 atomów rubidu 87Rb, w chwilach czasowych co 5 ms od

uwolnienia z pułapki magnetooptycznej. Wszystkie rysunki przedstawiają cykl spadku i

odbicia od powierzchni. Dla spadku z wysokości początkowej z0 = 1 mm i dla początkowej

prędkości v = −1x m/s, atomy osiągają powierzchnię pryzmatu po około 15 ms od uwol-

nienia chmury z pułapki, Rys. 3.19, 3.20. Po około 30 ms następuje punkt zwrotu i odbite

atomy osiągają pierwotną wysokość. Następnie po czasie t ≈45 ms można zauważyć kolejne

odbicie niektórych z nich i cykl ulega powtórzeniu. Jeśli sztuczne pole magnetyczne jest

nieobecne, wszystkie atomy spadają na powierzchnię pryzmatu w czasie około 15 ms. Z

powodu rozmycia początkowych prędkości atomów w niezerowej temperaturze, nie wszyst-

kie atomy zostaną odbite. Jednak te z nich, które wkroczyły w rejon pola magnetycznego

pod dostatecznie małym kątem względem powierzchni, są w stanie odbijać się kilkakrotnie

od pryzmatu tylko i wyłącznie w wyniku działania sztucznego pola magnetycznego. W

temperaturze T = 10 µK rozmycie prędkości wynosi ∆v ≈ 0.03 m/s, co powoduje frakcję

odbitych atomów na poziomie 5%, Rys. 3.19. We współczesnych laboratoriach do de-

tekcji chmury atomowej potrzebnych jest około 104 atomów, choć w wielu przypadkach

możliwe jest zejście poniżej tej wartości [100]. Obniżenie temperatury do T = 1 µK przy

zachowaniu pozostałych parametrów skutkuje rozmyciem prędkości ∆v ≈ 0.01 m/s, a więc

więcej atomów powinno zostać odbitych. To rozumowanie znajduje odzwierciedlenie w

73


wynikach symulacji przedstawionych na Rys. 3.20, gdzie prawie dwukrotnie więcej ato-

mów zostaje odbitych od powierzchni pryzmatu. Obniżenie startowej wysokości chmury

atomowej pozwala na redukcję początkowej prędkości v i osiągnięcie lepszych rezultatów,

tj. więcej atomów zostaje odbitych. Osiągnięcie początkowych wysokości rzędu kilkuset

µm jest trudniejsze z doświadczalnego punktu widzenia, ponieważ geometria układu wy-

maga ustawienia wiązek laserowych pułapkujących atomy blisko powierzchni pryzmatu.

Niemniej jednak problem ten można ominąć stosując pułapki dipolowe zamiast tradycyj-

nych magnetooptycznych. Podobnie początkowe przyspieszenie równoległe do pryzmatu,

można nadać atomom poprzez obrót pryzmatu do pozycji odchylonej o 0.1 rad od wektora

siły grawitacji. Wtedy początkowe przyspieszenie pojawia się w układzie naturalnie jako

przyspieszenie ziemskie.

74


t = 0 ms t = 5 ms t = 10 ms t = 15 ms t = 20 ms


5

10 105

105

10510

5. 104. 10

4. 104. 10

4.

104. 10

4.104.

Rysunek 3.19: Gęstość atomów po uwolnieniu z pułapki magnetooptycznej i ich ewolucja w

różnych chwilach czasowych w ciągu 45 ms w obecności pola grawitacyjnego oraz sztucz-

nego pola magnetycznego wytworzonego przez falę zanikającą. Powierzchnia pryzmatu

położona jest poziomo wzdłuż kierunku x oraz w z = 0, zob. Rys. 3.16. Siła grawitacji

skierowana jest w dół wzdłuż osi z. Wyniki zostały otrzymane dla symulacji klasycznych

trajektorii. Początkowo N = 107 atomów rubidu 87Rb jest chłodzona do temperatury

T = 10 µK w pułapce magnetooptycznej (ωtrap = 2π × 100 Hz) na wysokości z0 = 1 mm

nad powierzchnią pryzmatu w x = 0. Zakładamy, że po wyłączeniu pułapki atomy są

przyspieszane do średniej prędkości v = −1x m/s. Następnie chmura spada swobodnie w

polu grawitacyjnym. Blisko powierzchni atomy odczuwają sztuczne pole magnetyczne wy-

generowane przez dwie odstrojone ku czerwieni wiązki laserowe (∆ = 10 GHz, λ = 795 nm)

o stosunku częstości Rabiego s = 5. Pierwsza wiązka rozchodzi się w pryzmacie i pada na

jego powierzchnię pod kątem θ = θ0 + 3 · 10−4 rad tworząc w ten sposób falę zanikającą.

Druga natomiast propaguje się w próżni w kierunku −x. Zakładamy, że atomy są przygoto-

wane w stanie ubranym ciemnym (3.4.1), który nie jest sprzężony ze stanem wzbudzonym.

Jedynymi skalarnymi potencjałami, które atomy mogą odczuwać, są geometryczny poten-

cjał W , który generuje siłę odpychającą atomy od powierzchni pryzmatu, oraz potencjał

grawitacyjny przyciągający do niej atomy. Siła od potencjału W jest jednak zbyt słaba

(mniejsza niż 0.2mg) aby przezwyciężyć przyciąganie grawitacyjne, a w konsekwencji aby

odbić atomy. Warto podkreślić, że przy braku sztucznego pola magnetycznego wszystkie

atomy zostają rozproszone na powierzchni pryzmatu w czasie rzędu 20 ms. Jeśli sztuczne

pole istnieje, 5% atomów zostaje odbitych od powierzchni pryzmatu po około 20 ms, a po

30 następuje punkt zwrotu i atomy spadają ponownie, powtarzając cały cykl.

75

3.5. Podsumowanie



510

510

5 104 5

104

104

104

104 10

4 105

104

104

Rysunek 3.20: Gęstość atomów po uwolnieniu z pułapki magnetooptycznej i ich ewolu-

cja w różnych chwilach czasowych w ciągu 45 ms w obecności pola grawitacyjnego oraz

sztucznego pola magnetycznego wytworzonego przez falę stojącą. Parametry układu są

takie jak wcześniej, zob. Rys. 3.19 oprócz temperatury T , która teraz wynosi T = 1µK.

Dzięki obniżeniu temperatury chmury atomowej prawie dwa razy większa frakcja atomów

ulega odbiciu, tj. 9%. Po około 30 ms następuje punkt zwrotu i atomy spadają ponownie,

powtarzając cały cykl. Drugiemu odbiciu ulega około 1% atomów po czasie t = 45 ms.

Niższa temperatura chmury powoduje też mniejsze rozmycie prędkości, bo ∆v ≈ 0.01 m/s,

dlatego większa frakcja atomów zostanie odbita od powierzchni pryzmatu.

3.5 Podsumowanie

W niniejszym rozdziale rozważaliśmy atomy, które poruszały się wolno w obecności

fali zanikającej. W celu teoretycznego opisu zachowania ultrazimnej chmury atomowej

skorzystaliśmy z formalizmu przybliżenia adiabatycznego, które pozwoliło nam wyznaczyć

geometryczne potencjały odczuwane przez atomy, tj. potencjał wektorowy A i skalarny

W . Dzięki temu byliśmy w stanie stworzyć warunki, w których neutralne atomy zachowy-

wały się jak cząstki naładowane w polu magnetycznym. Fala zanikająca okazała się być

odpowiednia do tych celów, ponieważ posiada duży gradient amplitudy i fazy, które są

kluczowe dla osiągnięcia silnych pól magnetycznych.

Przedstawione zostały trzy konfiguracje prowadzące do powstania sztucznych pól ma-

76

3.5. Podsumowanie

gnetycznych. Pierwsza z nich bazuje na fali zanikającej wytworzonej przez pojedynczą

falę płaską, dostrojoną do atomowego rezonansu. Zatem metoda ta może być zastoso-

wana w atomach o długo żyjących stanach. Ponadto pokazaliśmy, że kondensat Bosego-

Einsteina umieszczony w zakresie takiego pola, wykazuje niezerową cyrkulację, a więc obec-

ność sztucznego pola magnetycznego przejawia się powstaniem sieci wirów w ultrazimnej

chmurze atomowej. Okazuje się, że największą liczbę wirów generują fale zanikające o

kącie padania bardzo bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego wewnętrznego odbicia.

W takim wypadku jednak należy wziąć pod uwagę realistyczny gaussowski profil wiązki,

który dla odpowiednio dobranych parametrów odtwarza przybliżenie fali płaskiej.

Trzecia konfiguracja dotyczy atomu trójpoziomowego typu Λ, gdzie do wytworzenia

sztucznego pola magnetycznego użyte zostały dwie wiązki - jedna tworzy falę zanikającą,

a druga propaguje się w próżni równolegle do pryzmatu. Atomy przygotowane w ciemnym

stanie ubranym, który rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym, nie ulegają procesowi emisji

spontanicznej, a więc w eksperymencie mogą brać udział atomy metali alkalicznych takich

jak np. rubid 87Rb. Metodę generacji sztucznego pola dla tej konfiguracji zastosowaliśmy

w zimnych gazach atomowych o temperaturze wyższej niż krytyczna dla kwantowej de-

generacji. Obecność pola magnetycznego wpływa na ruch chmury atomów, która zostaje

uwolniona z pułapki magnetooptycznej i spada na powierzchnię pryzmatu. W ten sposób

można zrealizować nowy typ atomowego lustra, który bazuje na sztucznej sile Lorentza,

a nie potencjale dipolowym [100–104] czy oddziaływaniu momentów magnetycznych ato-

mów z zewnętrznym polem magnetycznym [105] jak do tej pory. Ponadto pokazaliśmy,

że efekt ten może być obserwowany doświadczalnie w zakresie parametrów osiągalnych we

współczesnych laboratoriach.

77

Rozdział 4

Kwantowy efekt Halla w 4D

Kwantowy efekt Halla w dwóch wymiarach przestrzennych przyciągał zainteresowanie

fizyków od wielu lat. Od momentu pierwszej obserwacji przez Klausa von Klitzinga, po-

jawiło się wiele propozycji eksperymentalnej realizacji fizyki Halla, m. in. w ostatniej

dekadzie w ultrazimnych gazach atomowych. Nową ścieżkę w badaniach wyznaczył S. Ch.

Zhang i J. Hu, którzy uogólnili kwantowy efekt Halla na cztery wymiary przestrzenne [106].

Pomimo kilku obiecujących projektów, jak np. z użyciem dwuwymiarowych kwazikryszta-

łów [107], w których parametry przesunięcia sieci pełnią rolę pędów w dodatkowych wymia-

rach, oraz ostatnio przez zastosowanie sztucznego wymiaru bazującego na wewnętrznych

stopniach swobody atomów [108], temat jest bardzo nowy i wciąż wymaga szczegółowych

badań. W niniejszym rozdziale opiszemy metodę eksperymentalnej realizacji kwantowego

efektu Halla w 4D używając „rzeczywistych” wymiarów przestrzennych, które można osią-

gnąć poprzez odpowiednią inżynierię sieci optycznej. Przedstawimy ponadto efektywny

algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna - niezmiennika topologicznego charakteryzu-

jącego topologiczne fazy w czterech wymiarach.

W sekcji 1.2.4 rozważaliśmy elektrony umieszczone w dostatecznie silnym polu ma-

gnetycznym, aby kwantyzacja poziomów Landaua stała się znacząca. Wtedy elektrony

przejawiały kwantowy efekt Halla, w którym przewodność przyjmowała dyskretne warto-

ści będące liczbami całkowitymi w jednostkach kwantów przewodności, tj. e2/h. Okazuje

się, że efekt ten może być analizowany na różne sposoby. W przypadku ciągłym otrzy-

mujemy mocno zdegenerowane poziomy Landaua, a przewodność Halla określa jaka ich

liczba jest obsadzona. W punkcie 4.1.2 natomiast przyjrzymy się kwantowemu efektowi

Halla z perspektywy sieci umieszczonej w zewnętrznym polu magnetycznym. Spektrum ta-

kiego układu w funkcji strumienia pola przepływającego przez komórkę elementarną sieci

przyjmuje kształt fraktalnego motyla, zwanego Motylem Hofstadtera [33]. Zmieniając wa-

79

4.1. Wprowadzenie

runki brzegowe na otwarte w jednym kierunku przestrzennym otrzymujemy stany brzegowe

opisane w punkcie 1.2.4, a pokazane na wykresach w sekcji 4.1.2.

Okazuje się, że przewodność Halla może być opisana zarówno za pomocą stanów brze-

gowych, co pokazał Laughlin w swoim argumencie, zob. punkt 1.2.4, jak również na pod-

stawie pasm energetycznych. W drugim przypadku przewodność σxy wyrażona jest przez

całkę z krzywizny Berry’ego zapełnionych pasm energetycznych, a liczba całkowita będąca

wynikiem całkowania odpowiada niezmiennikowi topologicznemu, tak zwanej pierwszej

liczbie Cherna, która charakteryzuje topologiczną fazę. Temu zagadnieniu poświęcony jest

punkt 4.1.3. W ostatniej części wiadomości wstępnych, tj. w punkcie 4.1.4 pokażemy, że

kwantowy efekt Halla może być uogólniony na wyższe wymiary.

W czterech wymiarach przestrzennych, niezmiennikiem topologicznym charakteryzują-

cym pasma energetyczne jest tzw druga liczba Cherna. W przypadku gdy model czterowy-

miarowy powstaje z dwóch niezależnych modeli dwuwymiarowych, to istnieje analityczna

metoda wyznaczania wartości tego niezmiennika. W ogólności jednak wyznaczenie drugiej

liczby Cherna w ten sposób jest niemożliwe i pojawia się potrzeba zastosowania efektyw-

nego algorytmu, dzięki któremu można byłoby scharakteryzować pasma dowolnego układu

typu kwantowego efektu Halla. Temu zagadnieniu poświęcony jest punkt 4.2, gdzie naj-

pierw przedstawiony jest algorytm dla dwóch wymiarów przestrzennych opracowany przez

Fukui, Hatsugai i Suzuki w 2005 roku, a następnie przedstawimy zaproponowane przez nas

uogólnienie na cztery wymiary. Wyniki tej sekcji zostały zebrane w artykule [109]

Ostatnia część rozdziału przedstawia szkic propozycji realizacji eksperymentalnej czte-

rowymiarowego efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Projekt ten wymaga

jeszcze dodatkowych badań, a wyniki przedstawione w niniejszym rozdziale potrzebują

ulepszenia i weryfikacji.

4.1 Wprowadzenie

4.1.1 Cząstka w potencjale periodycznym

4.1.1.1 Fale Blocha i funkcje Wanniera

Rozważmy cząstkę umieszczoną w zewnętrznym periodycznym potencjale. Jej położe-

nie na sieci może być opisane wektorem:

Rnx,ny ,nz = nxax + nyay + nzaz, (4.1.1)

80

4.1. Wprowadzenie

gdzie nx, ny, nz ∈ Z, natomiast aj = aj j, j = x, y, z, są wektorami prymitywnymi sieci.

Jednocząstkowy hamiltonian możemy zatem zapisać w postaci:

H = − ~2

2m∇2 + Vlatt(r), (4.1.2)

gdzie Vlatt(r) = Vlatt(r + aj), j = x, y, z. Zgodnie z twierdzeniem Blocha funkcje własne

hamiltonianu (4.1.2) są również periodyczne z periodem sieci i przyjmują formę tzw. fal

Blocha [110]:

ψnk = eikrunk(r), unk(r) = unk(r+ aj), (4.1.3)

gdzie k jest tzw. kwazipędem związanym z siecią odwrotną (przestrzenią pędów), która

odpowiada transformacie Fouriera przestrzeni położeń oraz j = x, y, z. Indeks n numeruje

pasma powstałe na skutek tego, że dla danego k istnieje wiele różnych fal Blocha. Dla

danego pasma o ustalonym n ψnk oraz energia Enk zmieniają się w sposób ciągły z k

oraz dla każdego wektora sieci odwrotnej k′ mamy ψnk = ψnk+k′ , co oznacza, że wystar-

czy rozpatrywać wektory z komórki elementarnej sieci odwrotnej zwanej pierwszą strefą

Brillouina.

Fale Blocha stanowią kompletny zbiór ortogonalnych stanów własnych hamiltonianu

(4.1.2), ale są zdelokalizowane. Możliwe jest jednak skonstruowanie na podstawie fal Blocha

ortogonalnych stanów zlokalizowanych na oczkach sieci, zwanych funkcjami Wanniera [111,

112]:

wni(r) =1√N

∑

k

e−ik·Riψnk(r), (4.1.4)

gdzie Ri jest dowolnym wektorem sieci, a N jest liczbą oczek. Funkcje Wanniera zależą

tylko od względnej odległości cząstki r i oczka sieci Ri, tj. wi(r) ≡ w(r−Ri). W dalszych

rozważaniach będziemy zakładać, że tunelowanie odbywa się tylko między sąsiadującymi

oczkami oraz ograniczamy się do najniższego pasma Blocha, a więc pominiemy indeks n.

4.1.1.2 Jednocząstkowy hamiltonian na sieci

Przechodząc do formalizmu drugiej kwantyzacji, a więc wyrażając wektory pola jako

kombinację liniową funkcji Wanniera oraz operatorów anihilacji ai (kreacji a†i ) cząstki (fer-

mionu) w i-tym oczku, tj. Ψ(r) =∑

i aiwi(r), otrzymujemy hamiltonian wielocząstkowy.

Jednak w naszych rozważaniach rozpatrujemy jednocząstkowe hamiltoniany oraz funkcje

falowe. Rozkładając zatem hamiltonian w bazie stanów własnych, w tym przypadku funkcji

Wanniera |wi〉, otrzymujemy jednocząstkową wersję hamiltonianu na sieci, tj.:

H =∑

〈ij〉

(|wi〉〈wi|H|wj〉〈wj |+ h.c.) = −∑

〈ij〉

(Jij |wi〉〈wj |+ h.c.), (4.1.5)

81

4.1. Wprowadzenie

gdzie Jij = −〈wi|H|wj〉 jest amplitudą tunelowania.

Poprzez wyrażenie całkowitej funkcji falowej przez funkcje Wanniera stosujemy tzw.

przybliżenie ciasnego wiązania, w którym cząstki zlokalizowane są w danym oczku sieci.

Hamiltonian (4.1.5) zawiera tylko jeden wyraz, będący energią kinetyczną, który opisuje

tunelowanie cząstki między oczkami. Oznaczenie 〈ij〉 odnosi się do indeksów sąsiadujących

ze sobą oczek, a więc tunelowanie odbywa się tylko między najbliższymi sąsiadami.

4.1.2 Sieć kwadratowa w polu magnetycznym

Rozważmy hamiltonian w 2D dla bezspinowych nieoddziałujących elektronów umiesz-

czonych w sieci kwadratowej w modelu ciasnego wiązania:

H = Tx + Ty + h.c., (4.1.6)

gdzie Tx i Ty są operatorami translacji o jedno oczko (stałą sieci) w kierunkach x i y

odpowiednio. W zewnętrznym polu magnetycznym przyjmują one postać:

Tx = Jx∑

m,n

eiθxmn |wm+1,n〉〈wm,n|, Ty = Jy

∑

m,n

eiθymn |wm,n+1〉〈wm,n|, (4.1.7)

gdzie |wm,n〉 są stanami Wanniera hamiltonianu 4.1.5 w oczku (m,n) , Jx oraz Jy są

izotropowymi amplitudami tunelowań, dlatego pozbawione zostały indeksów sieciowych,

natomiast pole magnetyczne zostało wprowadzone przez podstawienie Peierlsa [113–117].

Polega ono na dodaniu do każdego elementu przeskoku |wm+1,n〉〈wm,n| oraz |wm,n+1〉〈wm,n|odpowiednio fazy

θxmn =e

~

∫ m+1

mA · dx, θymn =

e

~

∫ n+1

nA · dy. (4.1.8)

A wyraża potencjał wektorowy pola elektromagnetycznego. Takie podstawienie generuje

fazę równą 2πφmn gdy okrążamy komórkę elementarną sieci, przez którą przepływa stru-

mień pola φmn wyrażony w jednostkach kwantów strumienia h/e. Okazuje się jednak,

że operatory translacji Tx i Ty w ogólności nie komutują ani ze sobą, ani z hamiltonia-

nem, a tym samym hamiltonian nie jest niezmienniczy względem translacji w wyniku

obecności potencjału wektorowego. Możemy jednak znaleźć tak zwane operatory trans-

lacji magnetycznej Tx i Ty, które komutują z hamiltonianem oraz wzajemnie ze sobą przy

odpowiednim wyborze cechowania i strumienia magnetycznego. Wybierając cechowanie

Landaua Ay = Bx = 2πφm, gdzie φ jest jednorodnym strumieniem pola przez plakietkę

sieci, otrzymujemy komutujące operatory translacji magnetycznej jeśli φ = p/q, gdzie p i q

są relatywnie pierwsze, a więc nie posiadają wspólnych dzielników oprócz jedności. Łatwo

82

4.1. Wprowadzenie

stąd widać, że nowa komórka elementarna ma periodyczność q w kierunku x i zwana jest

magnetyczną komórką elementarną. W sytuacji, gdy oba operatory translacji komutują z

hamiltonianem, możemy numerować stany własne układu ze względu liczby kwantowe kx i

ky. Wtedy magnetyczna strefa Brillouina jest q razy mniejsza w kierunku x: 0 ≤ kx ≤ 2π/q

i niezmieniona w kierunku y: 0 ≤ ky ≤ 2π, a jednocząstkową funkcję falową możemy zapi-

sać w postaci fal Blocha jako: ψm,n = eikxmeikynum, gdzie um jest periodyczna z periodem

q. Wstawiając ją następnie do równiania Schrödingera otrzymujemy równanie własne,

które przyjmuje postać postać równania Harpera [118], tj.:

−2Jcos(2πφm+ ky)um − J(eikxum+1 + e−ikxum−1) = Eum, (4.1.9)

E/J

Rysunek 4.1: Fraktalna struktura poziomów energetycznych elektronu umieszczonego w

dwuwymiarowej sieci kwadratowej w obecności zewnętrznego jednorodnego pola magne-

tycznego, znana jako Motyl Hofstadtera. Założyliśmy izotropowe tunelowania w każdym

kierunku, tj. Jx = Jy ≡ J , a energia została wyrażona w jednostkach amplitudy tune-

lowania J . Strumień pola magnetycznego wyrażony jest jako stosunek liczb względnie

pierwszych, tj. φ = p/q ∈ [0, 1].

Spektrum dla tego problemu przedstawia sławny Motyl Hofstadtera [118], a więc frak-

talna struktura poziomów energetycznych, zob. Rys. 4.1. Z wykresu można się przekonać,

że rzeczywiście dla danego strumienia φ = p/q spektrum składa się z q pasm energe-

tycznych oddzielonych przerwami energetycznymi. Ponadto dla nieparzystych wartości q

poziom E = 0 znajduje się wewnątrz środkowego pasma, tak jak na prawym panelu Rys.

83

4.1. Wprowadzenie

4.2, podczas gdy dla parzystych q relacja dyspersji jest symetryczna względem E = 0,

zob. lewy panel Rys. 4.2, a rozwiązanie problemu sieci w polu magnetycznym zawiera

q fermionów Diraca w E = 0, tj. wokół punktów E = 0 otrzymujemy liniową relację

dyspersji charakterystyczną dla cząstek relatywistycznych. Przykład struktury pasmowej

z periodycznymi warunkami brzegowymi dla wartości strumienia φ = 1/2 (lewy panel)

oraz φ = 1/5 (prawy panel) przedstawia Rys. 4.2. Widoczne na lewym wykresie punkty

złączenia pasm nazywane są węzłami Diraca.

ky

0 π/2 π 3π/2 2π

E/t

-3

-2

-1

0

1

2

3

E/J

ky

0 π/2 π 3π/2 2π

E/t

-3

-2

-1

0

1

2

3

E/J

Rysunek 4.2: Struktura pasmowa poziomów energetycznych elektronu umieszczonego w

dwuwymiarowej sieci kwadratowej o izotropowych tunelowaniach Jx = Jy ≡ J w obec-

ności zewnętrznego jednorodnego pola magnetycznego, którego strumień przez komórkę

elementarną sieci wynosi φ = 1/2 (lewy panel) oraz φ = 1/5 (prawy panel). Gdy q jest

liczbą parzystą, to wykres jest symetryczny względem poziomu E = 0 i posiada węzły

Diraca (zob. dyskusja w tekście), natomiast dla nieparzystych q poziom E = 0 znajduje

się wewnątrz środkowego pasma. W obu przypadkach liczba pasm jest równa q.

Na Rys. 4.3 została przedstawiona struktura pasm energetycznych dla periodycznych

warunków w y i otwartych w x oraz dla strumienia pola φ = 1/3 przepływającego przez

komórkę elementarną sieci. Jest to konfiguracja podobna do przedstawionej w sekcji 1.2.4,

przy czym zamiast ciągłej próbki mamy dyskretną sieć. W konfiguracji Laughlina prze-

wodność Halla była równa liczbie chiralnych modów brzegowych. Na wykresie w górnym

panelu wyraźnie widać obecność modów brzegowych zlokalizowanych na brzegach układu

(dolny panel). W kolejnych sekcjach pokażemy, że przewodność Halla może również być

zdefiniowana w kontekście modów objętościowych, a więc istniejących wewnątrz pasm.

Obie definicje są sobie równoważne, co zostało pokazane przez Hatsugai [119, 120] i nosi

84

4.1. Wprowadzenie

ky

0 π/2 π 3π/2 2π

E/t

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

10 20 30 40 50

|ψ|2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

10 20 30 40 50

|ψ|2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

E/J

Rysunek 4.3: Struktura pasm energetycznych dla modelu Hofstadtera o izotropowych tune-

lowaniach w każdym kierunku, tj. Jx = Jy = J , z periodycznymi warunkami brzegowymi

w kierunku y i otwartymi w kierunku x oraz dla strumienia pola φ = 1/3. Na górnym wy-

kresie wyraźnie widać obecność modów brzegowych zlokalizowanych na brzegach układu o

liczbie oczek w kierunku x równiej Nx = 51. Mod o dodatniej prędkości grupowej porusza

się na prawym brzegu próbki (dolny prawy panel), natomiast o ujemnej na lewym brzegu

(dolny lewy panel).

85

4.1. Wprowadzenie

nazwę zasady korespondencji między objętością a brzegiem izolatora topologicznego.

4.1.3 Przewodność Halla i liczby Cherna

W rozdziale 1 zawarliśmy krótkie wprowadzenie do kwantowego efektu Halla, aby wy-

robić pewną intuicję związaną z tym zjawiskiem. Pomimo jednak, że ten stosunkowo pro-

sty fizyczny obraz pozwala na wyjaśnienie większości aspektów kwantowego efektu Halla,

chcielibyśmy wprowadzić formalizm niezbędny dla głębszego zrozumienia istoty procesów

odpowiedzialnych za kwantyzację przewodności Halla i pojawienie się stanów brzegowych.

4.1.3.1 Związek przewodności Halla z krzywizną pasm Blocha

W przypadku sieci spektrum energii posiada strukturę pasmową odcinkami ciągłą.

Energia w każdym ciągłym fragmencie zależy od kwazipędu Blocha zmieniającego się w ob-

rębie strefy Brillouina. W dwóch wymiarach przestrzennych strefa Brillouina jest torusem,

a więc stanowi ciągłą przestrzeń parametrów, w której można zdefiniować fazę Berry’ego,

wprowadzoną w punkcie 3.1.5. Wtedy stan układu może zakreślić zamkniętą drogę pod-

czas adiabatycznej ewolucji, a parametrem opisującym dane pasmo jest wektor falowy k.

Jeśli poprzez małe zaburzenie sieci możemy wprowadzić adiabatyczne zmiany wektora k

na zamkniętej drodze w strefie Brillouina, wtedy funkcja Blocha powinna nabyć niezerową

geometryczną fazę Berry’ego. W przypadku, gdy strefa Brillouina jest torusem, możemy

zmieniać k w określonym kierunku, a kiedy osiągniemy brzeg, ścieżka zostaje zamknięta

automatycznie. Zgodnie z punktem 3.1.5 możemy również wyrazić fazę Berry’ego jako

strumień pola magnetycznego przepływający przez powierzchnię wyznaczoną pętlą adia-

batycznej ewolucji wektora k, zob. równanie (3.1.25). F stanowi tak zwaną krzywiznę

Berry’ego, która opisuje geometrię stanów własnych w obrębie strefy Brillouina, a tym

samym krzywiznę pasm Blocha. Okazuje się, że źródłem kwantowej przewodności Halla

jest właśnie krzywizna Berry’ego zapełnionych pasm, a dokładniej [121]:

σxy =e2

h

1

2π

∫ ∫

BZdkxdkyFxy(k), (4.1.10)

gdzie

Fxy(k) = ∂kxAy(k)− ∂kyAx(k), Ai = −i∑

a≤ν

〈ak| ∂∂ki

|ak〉. (4.1.11)

ν oznacza liczbę zapełnionych pasm, a |ak〉 są niezdegenerowanymi stanami Blocha w

paśmie a o kwazipędzie k. Wynika stąd, że przewodnictwo Halla nie zależy od energii

86

4.1. Wprowadzenie

w paśmie, ale od stanów własnych układu. Ponadto widać, że krzywizna Berry’ego jest

rotacją koneksji Berry’ego A.

Jeśli natomiast w pasmach Blocha mamy do czynienia z degeneracją, tj. pasma się

stykają lub przecinają w pewnych punktach strefy Brillouina, to koneksja oraz krzywizna

Berry’ego przyjmują postać macierzową:

(A(k))nm = 〈n(k)|∇k|m(k)〉, (4.1.12)

(Fxy(k))nm = ∂kxAnm(k)− ∂kyAnm(k), (4.1.13)

gdzie |n〉 i |m〉 są stanami własnymi do energii poniżej energii Fermiego, a przewodność

Halla zdefiniowana jest przez ślad krzywizny, tj.:

σxy =e2

h

1

2π

∫

T 2

d2kTr[Fxy]. (4.1.14)

4.1.3.2 Pierwsza liczba Cherna jako niezmiennik topologiczny

Niejednokrotnie widzieliśmy już, że przewodność Halla wyrażona jest przez całkowitą

wielokrotność ν elementarnego strumienia (w jednostkach e2/h). Teraz przekonamy się, że

ν jest topologicznym niezmiennikiem zwanym pierwszą liczbą Cherna.

Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami strefa Brillouina w układzie dwuwymiarowym

ma kształt torusa, a więc nie posiada granic. Wynika stąd, że stosując twierdzenie Stokesa

zawsze otrzymamy przewodność Halla σxy = 0 jeśli A(k) jest dobrze zdefiniowane na całej

strefie Brillouina. Niezerowe wartości przewodności Halla mogą wynikać zatem jedynie

z nietrywialnej struktury koneksji Berry’ego A, tj. z obecności punktów osobliwych w

obrębie strefy Brillouina. Zatem nie możemy wybrać globalnego cechowania, które jest

ciągłe i jednoznaczne w całej strefie Brillouina.

W wyniku transformacji cechowania U(1) funkcja falowa j-tego poziomu nabywa czyn-

nik fazowy:

|j,k〉′ = eif(k)|j,k〉, (4.1.15)

gdzie f(k) jest gładką funkcją w obrębie strefy Brillouina. Koneksja Berry’ego zatem

transformuje się jako:

Aj(k)′ = Aj(k) +∇f(k). (4.1.16)

Przewodność Halla jest obserwablą, a więc nie zależy od wyboru cechowania. Korzystając

z transformacji cechowania można by zatem sądzić, że wybór całkowitej fazy funkcji fa-

lowej jest dowolny. Jednak jeśli jesteśmy w stanie zawsze znaleźć gładkie cechowanie, to

przewodność Halla zawsze zanika na mocy argumentu związanego z twierdzeniem Stokesa.

87

4.1. Wprowadzenie

A zatem muszą istnieć takie przypadki, w których nie możemy zastosować gładkiego cecho-

wania do naszej funkcji falowej. Dzieje się tak np. kiedy pierwsza składowa funkcji Blocha

|j,k〉 znika w pewnych punktach strefy Brillouina (każda składowa odpowiada kolejnym

oczkom sieci). Oznaczmy te miejsca zerowe jako ks, dla s = 1, ..., N oraz zdefiniujmy małe

obszary wokół nich jako:

Rǫs = k ∈ T 2

BZ ||k− ks| < ǫ, |a,ks〉1 = 0, (4.1.17)

gdzie T 2BZ jest dwuwymiarowym torusem pierwszej strefy Brillouina, a indeks 1 wektora

|j,ks〉1 oznacza jego pierwszą składową. Wtedy możemy nadać funkcji falowej gładkie

cechowanie w każdym z obszarów osobno, tj. wewnątrz Rǫs cechowanie A1 i na zewnątrz

A2. Na granicy między nimi dwie funkcje falowe są ze sobą związane przez transformację

cechowania:

ψ2(k) = ei(g(k)−f(k))ψ1(k) = eiχ(k)ψ1(k), (4.1.18)

a koneksje Berry’ego:

A2(k) = ψ2∂kψ2 = ψ1∂kψ1 + i∇χ(k) = A1(k) + i∇χ(k). (4.1.19)

Wtedy przewodność Halla możemy zapisać jako:

σxy =e2

h

1

2πi

(

∫

T 2BZ

−Rǫs

∇×A1(k) +

∫

Rǫs

∇×A2(k)

)

. (4.1.20)

Stosując twierdzenie Stokesa mamy:

σxy =e2

h

1

2πi

(

∫

∂(T 2BZ

−Rǫs)dk ·A1(k) +

∫

∂(Rǫs)dk ·A2(k)

)

. (4.1.21)

Skoro torus nie ma brzegu, to brzeg ∂(T 2BZ −Rǫ

s) = −∂(Rǫs), a wtedy:

σxy =e2

h

1

2πi

∫

∂(Rǫs)dk · (A2(k)−A1(k)) =

e2

h

1

2πi

∫

∂(Rǫs)dk · i∇χ(k) = e2

hν, (4.1.22)

gdzie

ν =1

2π

∮

∂(Rǫs)dk · ∇χ(k) (4.1.23)

jest liczbą nawinięć transformacji cechowania na granicy ∂(Rǫs) [119,120]. Podobnie jak w

przypadku wirów w 2D opisanych w punkcie 1.2.3 ν musi być liczbą całkowitą ze względu

na jednowartościowość funkcji falowej po zakreśleniu zamkniętej drogi wokół każdego z

obszarów Rǫs. Niezmiennik topologiczny ν nosi nazwę pierwszej liczby Cherna.

88

4.1. Wprowadzenie

4.1.4 Uogólnienie kwantowego efektu Halla na wyższe wymiary

W podpunkcie 4.1.2 pokazaliśmy, że spektrum cząstki umieszczonej w dwuwymiarowej

sieci kwadratowej w prostopadłym silnym polu magnetycznym podzielone jest na pasma

oddzielone przerwą energetyczną. Liczba pasm oraz wielkość przerw zależy od strumienia

pola przepływającego przez komórkę elementarną sieci, a każdemu z pasm można przypisać

pewną charakterystyczną wielkość, zwaną pierwszą liczbą Cherna. Tego typu układ sta-

nowi realizację dwuwymiarowego kwantowego efektu Halla, ponieważ zmieniając warunki

brzegowe z periodycznych na otwarte, otrzymujemy stany brzegowe, a więc niezerowe prze-

wodnictwo poprzeczne, którego wartość jest skwantowana i zależy od pola magnetycznego.

Okazuje się, że kwantowy efekt Halla można uogólnić na wyższe parzyste wymiary [106],

a najprostszym przykładem realizującym czterowymiarową fizykę Halla są dwa niezależne

dwuwymiarowe modele Hofstadtera, opisane równaniem (4.1.9) - jeden w płaszczyźnie XZ,

drugi natomiast w płaszczyźnie YW . Odpowiada to wyborowi potencjału wektorowego w

postaci Ax(r) = Ay(r) = 0, Az(r) = 2πφzx oraz Aw(r) = 2πφwy, gdzie φz oraz φw ozna-

czają strumienie pola przez komórkę elementarną w płaszczyźnie XZ i YW odpowiednio.

Równanie własne przyjmuje zatem postać podwójnego równania Harpera (4.1.9), tj.

−J(

eikxum+1,n(k) + e−ikxum−1,n(k))

− J(

eikyum,n+1 + e−ikyum,n−1

)

−2Jum,n(k)(cos(2πφzm+ kz) + cos(2πφwn+ kw)) = E(k)um,n(k), (4.1.24)

gdzie x = ma oraz y = na. Ponieważ w takim przypadku hamiltonian układu jest sumą

dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli, to spektrum czterowymiarowego układu jest

tzw sumą Minkowskiego obu komponentów Hofstadtera, tj. [108]):

E(k) = E1 + E2 | E1 ∈ EXZ , E2 ∈ EYW , (4.1.25)

a więc pasma w 4D powstają poprzez sumę „każdy z każdym” pasm modeli 2D. Na Rys. 4.4

pokazane są dwa przykładowe spektra układu 4D oraz odpowiadające im spektra układów

2D. Jeśli najniższe pasmo modelu 2D jest dobrze odseparowane od reszty pasm, wkład do

najniższego pasma modelu 4D pochodzi tylko od sumy najniższych pasm 2D, zob. górny

panel, który przedstawia pasma energetyczne dla φz = φw = 1/4. Sytuacja może być jed-

nak bardziej skomplikowana i najniższe efektywne pasmo 4D może być złożeniem większej

ilości podpasm 2D, tak jak na dolnym panelu dla φz = φw = 3/5. Oba czterowymiarowe

spektra pokazują, że pasma pogrupowane są w większe struktury, pomiędzy którymi ist-

nieje przerwa energetyczna. Od tej pory nazywać je będziemy efektywnymi pasmami. Dla

φz = φw = 1/4 istnieją trzy efektywne pasma, natomiast dla φz = φw = 3/5 jest ich pięć,

zob. Rys. 4.4.

89

4.1. Wprowadzenie

Podobnie jak w przypadku dwuwymiarowym pasma energetyczne czterowymiarowego

układu posiadają nietrywialną topologię i są scharakteryzowane niezmiennikiem topolo-

gicznym zwanym drugą liczbą Cherna. Zawiera ona wkłady od dwuwymiarowych krzywizn

Berry’ego F zdefiniowanych równaniem (4.1.11).

ky

E

-

-

-

0

1

2

3

ky

0

1

2

3

2

-1

-1

2

-1

-1

-6

-1

-1

4

4

2

2

2

-3

-3

4D 2Dc2 c1

Rysunek 4.4: Przykładowe spektra czterowymiarowego układu (wykresy po lewej stronie)

dla φz = φw = 1/4 (górny panel) oraz φz = φw = 3/5 (dolny panel), będące sumą Minkow-

skiego pasm odpowiadających im dwuwymiarowych modeli, których spektra przedstawione

są po prawej stronie ilustracji. Obok każdego z pasm zostały podane odpowiadające im

liczby Cherna, pierwsza c1 dla układów dwuwymiarowych i druga c2 dla układów cztero-

wymiarowych. Szczegółowo omówimy je w dalszej części pracy, tj. w sekcji 4.2.3.

W przypadku najbardziej ogólnym wyrażenie na drugą liczbę Cherna przyjmuje postać

[122]:

c(n)2 =

1

32π2

∫

d4kǫijklTr[FijFkl], (4.1.26)

90

4.2. Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna

gdzie

Aαβki

(k) = −i〈α(k)|∂ki |β(k)〉 (4.1.27)

Fαβij = ∂kiA

αβkj

− ∂kjAαβki

+ i[Aki , Akj ]αβ (4.1.28)

są teraz macierzami, i, j, k, l = x, y, z, w, a α, β oznaczają stany obsadzone. Wzór ten

znajduje zastosowanie w przypadku pól nieabelowych oraz w sytuacji, kiedy pasma się

stykają bądź przecinają.

W przypadku pól abelowych wyrażenie (4.1.26) ulega znacznemu uproszczeniu i dla

n-tego pasma możemy je przepisać jako:

c(n)2 =

1

8π2

∫

T 4

F ∧ F =1

4π2

∫

T 4

d4k (FxyFzw + FwxFzy + FzxFyw) , (4.1.29)

gdzie czterowymiarowa strefa Brillouina zdefiniowana jest na czterowymiarowym torusie

T 4. W czterech wymiarach przestrzennych druga liczba Cherna nie posiada prostej inter-

pretacji geometrycznej, w przeciwieństwie do pierwszej liczby Cherna w dwóch wymiarach,

która jest liczbą nawinięć fazy wokół osobliwości w strefie Brillouina, zob. sekcja 4.1.3.

Niemniej jednak jej znaczenie w czterech wymiarach przestrzennych jest równie ważne jak

w przypadku pierwszej liczby Cherna w dwóch wymiarach, ponieważ jej niezerowa war-

tość świadczy o nietrywialnej topologii układu. Podobnie jak wcześniej dla skończonych

układów druga liczba Cherna determinuje pojawienie się przewodzących stanów powierzch-

niowych na granicy topologiczny izolator-próżnia.

4.2 Efektywne algorytmy wyznaczania liczb Cherna

W niniejszej sekcji przedstawimy efektywny algorytm wprowadzony przez T. Fukui, Y.

Hatsugai oraz H. Suzuki (FHS) [123], pozwalający na wyznaczenie pierwszej liczby Cherna

w dwóch wymiarach przestrzennych w oparciu o teorię cechowania na sieci [124–128]. W

niektórych sytuacjach liczby Cherna mogą być wyznaczone analitycznie, np. na podstawie

liczby stanów brzegowych, jednak w ogólności do tego celu potrzebne są metody nume-

ryczne. Pokażemy następnie w jaki sposób można uogólnić tę ideę na cztery wymiary

przestrzenne, aby wyznaczyć drugą liczbę Cherna, charakteryzującą pasma energetyczne

czterowymiarowego układu. Okazuje się, że opracowany przez nas algorytm sprawdza się

bardzo dobrze dla różnych układów. Aby to pokazać, najpierw porównamy dokładne war-

tości drugiej liczby Cherna otrzymane analitycznie dla modelu Diraca na sieci oraz dwóch

niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera z wynikami numerycznych obliczeń.

Następnie rozważymy bardziej skomplikowany układ, dla którego analityczne rozwiązania

nie istnieją i zaprezentujemy działanie naszego uogólnionego algorytmu.

91


4.2.1 Efektywny algorytm wyznaczania pierwszej liczby Cherna w opa-

ciu o teorię cechowania na sieci

Problem dyskretyzacji ciągłych teorii cechowania pojawił się poprzednio w sekcji 3.4.2,

kiedy potrzebowaliśmy numerycznie wyznaczyć stan podstawowy kondensatu Bosego-Ein-

steina w obecności sztucznego pola magnetycznego. Bezpośrednia dyskretyzacja układu

poprzez skończone sumy prowadzi do wyników zależnych od cechowania oraz jest nieefek-

tywna z obliczeniowego punktu widzenia, ponieważ koneksję i krzywiznę Berry’ego nale-

żałoby wyznaczyć w każdym punkcie przestrzeni odwrotnej. Zamiast tego wygodnie jest

zdefiniować linki „łączące” sąsiadujące punkty strefy Brillouina, w postaci:

Uµ(k) ≡〈n(k)|n(k+ µ)〉

Nµ(k), (4.2.1)

gdzie µ = x, y oraz Nµ(k) ≡ |〈n(k)|n(k + µ)〉| jest czynnikiem normalizacyjnym. Punkty

strefy Brillouina dobrze jest wybrać tak, aby odległości między nimi w każdym kierunku

przestrzennym były takie same, tj.

dkµ =2π

qµNµ, (4.2.2)

gdzie 0 < kµ < 2π/qµ. Wtedy krzywizna Berry’ego przyjmuje postać:

Fxy(k) ≡ lnUx(k)Uy(k+ x)Ux(k+ y)−1Uy(k)−1, −π < −iFxy(k) ≤ π, (4.2.3)

która jest jawnie niezmiennicza ze względu na cechowanie, ponieważ pozwala wyznaczyć

krzywiznę w podstawowej komórce strefy Brillouina (linki zakreślają pętlę w dyskretnej

strefie Brillouina) zamiast wyliczania krzywizny w każdym punkcie. Wartość Fxy zawiera

się w przedziale charakteryzującym gałąź główną logarytmu zespolonego.

W efekcie pierwsza liczba Cherna n-tego pasma może być wyrażona jako suma wszyst-

kich plakietek krzywizny Berry’ego, tj.

c(n) ≡ 1

2πi

∑

k

Fxy(k). (4.2.4)

Przybliżenie jest tym lepsze, im dokładniej spełniony jest warunek:

|Fxy(k)| ≈ |Fxy(k)|dkxdky. (4.2.5)

Oznacza to, że w granicy dkx (dky)→ 0 rozwiązanie na sieci odtwarza wartość krzywizny

Berry’ego dla ciągłej przestrzeni. Warto podkreślić, że otrzymana w ten sposób pierwsza

92


liczba Cherna c(n) przyjmuje dokładnie całkowite wartości. Aby to lepiej zobrazować,

wprowadźmy potencjał wektorowy:

Aµ(k) = lnUµ(k), −π < −iAµ(k) ≤ π, (4.2.6)

periodyczny na sieci. Podstawiając do równania Eq. (4.2.3) otrzymujemy:

Fxy(k) = ∆xAy(k)−∆yAx(k) + 2πinxy(k), (4.2.7)

gdzie ∆µ oznacza skończoną różnicę, tj. ∆µAν = Aν(k + µ) − Aν(k), natomiast nxy jest

liczbą całkowitą wybraną w ten sposób, aby krzywizna przyjmowała wartość główną loga-

rytmu, tj. −π < −iFxy(k) ≤ π. Biorąc pod uwagę periodyczność potencjału wektorowego,

otrzymujemy:

c(n) =∑

k

nxy(k), (4.2.8)

co pokazuje, że c(n) jest liczbą całkowitą.

Powyższe rozważania dotyczą przypadku bez degeneracji pasm, a więc pasma nie mogą

się stykać ani przecinać. Okazuje się jednak, że metoda ta może być uogólniona [129], a

linki powinny uwzględniać macierzową naturę koneksji i krzywizny Berry’ego, a więc:

Uµ(k) ≡ |detUµ(k)|−1detUµ(k), (4.2.9)

gdzie

(Uµ)αβ = 〈α(k)|β(k+ µ)〉. (4.2.10)

Stany |α〉 oraz |β〉 są stanami zapełnionych pasm. Krzywizna Berry’ego wokół plakietki

dyskretnej strefy Brillouina może być wyrażona podobnie jak wcześniej:

Fxy(k) ≡ lnUx(k)Uy(k+ x)Ux(k+ y)−1Uy(k)−1 (4.2.11)

a pierwsza liczba Cherna n-tego pasma:

c(n) ≡ 1

2πi

∑

k

Fxy(k). (4.2.12)

Powyższe sformułowanie oparte jest na dobrze znanej równości pomiędzy śladem loga-

rytmu a logarytmem wyznacznika, tj. w tej sytuacji TrFxy = Tr[ln(UxUyU−1x U−1

y )] =

... = ln(detUxdetUydetU−1x detU−1

y ). Okazuje się jednak, że chcąc uogólnić to podejście do

wyższych wymiarów, nie można skorzystać z triku między śladem, logarytmem i wyznacz-

nikiem, a ponadto rozszerzenie na cztery wymiary nie jest tak oczywiste ze względu na

skomplikowaną formę drugiej liczby Cherna, tj. c2 ∼ Tr[F ∧ F ]. Niemniej jednak opra-

cowana przez nas metoda pozwala efektywnie wyznaczyć drugą liczbę Cherna dowolnego

układu czterowymiarowego, ponieważ szybko zbiega do prawidłowej, całkowitej wartości

c2, podczas gdy bezpośrednie wyznaczenie c2 ze wzoru (4.1.26) jest żmudne i nieefektywne.

93


4.2.2 Efektywny algorytm wyznaczania drugiej liczby Cherna

Okazuje się, że w przypadku niezdegenerowanych pasm bezpośrednia generalizacja al-

gorytmu FHS jest poprawna, tj. można zdefiniować linki podobnie jak w równaniu (4.2.1)

z indeksami uwzględniającymi wszystkie wymiary: x, y, z, w, a więc mamy cztery podsta-

wowe linki Ux, Uy, Uz oraz Uw. Na tej podstawie możliwe jest wyznaczenie odpowiednich

krzywizn Berry’ego, a podstawienie do równania (4.1.29) sprowadza się do prostego mnoże-

nia pierwszych liczb Cherna (zob. [107, 108]). Okazuje się, że istnieje metoda analityczna,

opisana dokładniej w punkcie 4.2.3, która pozwala znaleźć drugie liczby Cherna pod wa-

runkiem, że dwuwymiarowe podukłady tworzące efektywnie czterowymiarową przestrzeń

są od siebie niezależne [45], zob. sekcję 4.1.4.

Niemniej jednak sytuacja zmienia się, gdy mamy do czynienia z bardziej skompliko-

wanymi układami, w których wszystkie kierunki są od siebie zależne, a pasma energe-

tyczne wielokrotnie stykają się lub przecinają. W ogólności koneksja A oraz krzywizna F

Berry’ego stają się macierzami, których nie można uprościć jak w przypadku dwuwymiaro-

wym, tj. zastosowanie uproszczenia poprzez wyznacznik prowadzi do pominięcia ważnych

informacji o układzie. Potrzebne jest natomiast zachowanie macierzowej struktury, ponie-

waż zgodnie z równaniem (4.1.26) należy na końcu wyznaczyć ślad z mnożenia macierzy

będących krzywiznami Berry’ego. Okazuje się, że jest możliwe zachowanie postaci macie-

rzowej koneksji i krzywizny Berry’ego poprzez zdefiniowanie linków zgodnie z równaniem

(4.1.27), tj. przepisując koneksję w postaci dyskretnej pochodnej:

Aαβµ (k)δkµ = −i (〈α(k)|β(k+ µ)〉 − 〈α(k)|β(k)〉) , (4.2.13)

która w zapisie macierzowym przyjmuje prostą formę:

Aµ(k)δkµ ≡ −i(Aµ − I), (4.2.14)

gdzie Aα,βµ (k) = 〈α(k)|β(k + µ)〉 oraz I jest macierzą jednostkową, ponieważ wszystkie

wektory własne są ortogonalne względem siebie. |α〉 oraz |β〉 oznaczają stany obsadzone.

Zdefiniujmy następnie eksponentę koneksji Berry’ego, tj.:

Uµ = eiAµ(k) ≈ I+ iAµ(k) = Aµ, (4.2.15)

a więc elementy macierzowe macierzy Uµ są równe

Uαβµ = 〈α(k)|β(k+ µ)〉. (4.2.16)

Podobnie jak wcześniej możemy zdefiniować krzywiznę Berry’ego wokół jednej plakietki

jako:

Fµν(k) ≡ −iln(

Uµ(k)Uν(k+ µ)Uµ(k+ ν)−1Uν(k)−1)

, (4.2.17)

94


gdzie tym razem Fµν jest macierzą, a logarytm odnosi się do logarytmu macierzowego. W

tym przypadku otrzymujemy podobny warunek na ziarnistość strefy Brillouina, tj.

|Fµν(k)| ≈ |Fµν(k)|dkµdkν . (4.2.18)

Okazuje się, że wyrażenie na drugą liczbę Cherna (4.1.26) można uprościć do postaci

podobnej jak w równaniu (4.1.29), tj.

c(n)2 =

1

4π2

∑

k

Tr(

FxyFzw + FwxFzy + FzxFyw

)

, (4.2.19)

Macierze linków Uµ są unitarne biorąc pod uwagę całą przestrzeń Hilberta, a poprzez za-

wężenie ich jedynie do stanów obsadzonych łamiemy ich unitarność. Aby być w pełni

poprawnym należałoby rozpatrywać pełny układ, a uwzględnić stany obsadzone biorąc

ślad w ostatnim kroku. Oznacza to, że w pierwszej kolejności powinniśmy obliczyć iloczyn

unitarnych macierzy, tj. UµUνU−1µ U−1

ν w pełnej przestrzeni Hilberta, który posiada tylko

elementy diagonalne w postaci ei2πmj , gdzie j = 1, 2, ..., q1 · q2, a mj są liczbami całko-

witymi z racji tego, że wyznaczamy krzywiznę Berry’ego wzdłuż zamkniętej pętli (innymi

słowy jest to liczba pełnych nawinięć fazy). Chcąc wyznaczyć druga liczbę Cherna powin-

niśmy zatem wyznaczyć iloczyn pętli Wilsona, a następnie wyliczyć ślad tylko po pasmach

obsadzonych. W tym miejscu pojawia się jednak problem, ponieważ z punktu widzenia

obliczeń numerycznych nie ma różnicy pomiędzy ei2π·m a liczbą 1, gdzie m oznacza liczbę

całkowitą, a więc istnieje potrzeba znalezienia innej metody, aby wyciągnąć wszystkie in-

formacje o układzie. Z tego powodu pomocnym okazuje się zredukowanie już na samym

początku naszej przestrzeni do podprzestrzeni stanów obsadzonych, które delikatnie łamie

unitarność linków Uµ, ale w efekcie otrzymujemy wartości drugiej liczby Cherna, które są

szybko zbieżne do właściwej całkowitej wartości. Własności skalowania można uzyskać z

warunku (4.2.18), który pokazuje, że Fµν zdefiniowane jest z dokładnością do drugiego

rzędu w dk. Oznacza to, że Fµν skaluje się jak dk2 ∼ 1/N2, gdzie N oznacza liczbę punk-

tów w strefie Brillouina w danym kierunku. W ogólności wynika stąd, że im większa liczba

punktów w strefie Brillouina, tym numeryczna wartość drugiej liczby Cherna jest bliższa

właściwemu, całkowitemu rozwiązaniu.

4.2.3 Przykłady zastosowania efektywnego algorytmu do wyznaczania

drugiej liczby Cherna

4.2.3.1 Porównanie z modelem Diraca w (4+1) wymiarach

W niniejszej sekcji chcielibyśmy pokazać, że nasza metoda działa prawidłowo dla mo-

delu Diraca na sieci w (4 + 1) wymiarach. Model ten posiada rozwiązania analityczne,

95


a więc tym bardziej warto przetestować wyniki numeryczne z dokładnymi wartościami

drugiej liczby Cherna w tym przypadku [122].

Zacznijmy od wprowadzenia hamiltonianu Diraca w (4 + 1) wymiarach w przestrzeni

ciągłej:

HDirac =

∫

d4x[ψ†(x)Γj(−i∂j)ψ(x) +mψ†Γ0ψ], (4.2.20)

gdzie j = 1, 2, 3, 4 są wymiarami przestrzennymi, a Γµ są pięcioma macierzami Diraca dla

µ = 0, 1, 2, 3, 4, które spełniają algebrę Clifforda, tj. Γµ,Γν = 2δµνI.

Model Diraca może być przepisany w formie dyskretnej w przybliżeniu ciasnego wiąza-

nia:

Hlatt =∑

n,j

[ψ†n

(

cΓ0 − iΓj

2

)

ψn+j + h.c.] +m∑

n

ψ†nΓ

0ψn, (4.2.21)

gdzie Γ = (σx⊗I, σy⊗I, σy⊗σx, σy⊗σy, σz⊗σz) oraz σµ są macierzami Pauliego [122,130].

Okazuje się, że w przestrzeni pędów hamiltonian ten może być przepisany w prostej formie:

Hlatt =∑

k

ψ†kda(k)Γ

aψk, (4.2.22)

gdzie

da(k) =

m+ c∑

j

coskj

, sinkx, sinky, sinkz, sinkw

. (4.2.23)

Indeks a oznacza a-tą składową pięciowymiarowego wektora d. Zaprezentowany model

posiada dwie wartości własne E+ oraz E−, które są podwójnie zdegenerowane, w wyniku

czego efektywnie mamy do czynienia z modelem dwupasmowym, w którym najniższe tylko

pasmo jest obsadzone. Na Rys. 4.5 zaprezentowane jest spektrum energii dla różnych

wartości parametru m. W pobliżu przejść fazowych, które mają miejsce dla m = −4 i m =

−2, por. Rys.4.6, wyraźnie widać, że przerwa energetyczna ulega znacznemu zmniejszeniu,

aby ostatecznie domknąć się dla krytycznych wartości parametru m (lewy i prawy panel).

Z daleka od przejścia fazowego, przerwa energetyczna jest duża, a pasma płaskie (środkowy

panel).

W tym wypadku drugą liczbę Cherna można wyznaczyć z całki, która ma formę nie-

zmienniczą ze względu na cechowanie:

c2 =3

8π2

∫

d4kǫabcdeda∂xdb∂ydc∂zdd∂wde, (4.2.24)

gdzie da(k) ≡ da(k)/|d(k)| oraz a, b, c, d, e = 0, 1, 2, 3, 4. W ogólności jednak znalezienie

formy całkowej niezmienniczej ze względu na cechowanie jest trudne lub wręcz niemożliwe.

96


kx

0 π/2 π 3π/2 2π

E

-2

-1

0

1

2m = -3.9

kx

0 π/2 π 3π/2 2π

m = -3

kx

0 π/2 π 3π/2 2π

m = -2.1

Rysunek 4.5: Spektrum energii czterowymiarowego modelu Diraca na sieci dla trzech róż-

nych wartości parametru m. Najbliższe punkty krytyczne są dla m = −4 i m = −2.

Na wykresach widać wyraźnie zmniejszanie się przerwy energetycznej w pobliżu punktów

przejścia fazowego (prawy i lewy wykres).

Dlatego też w większości przypadków wyznaczanie wartości drugiej liczby Cherna na pod-

stawie całki jest nieefektywne. Biorąc pod uwagę tylko niezerowe wyrazy hamiltonianu

opisanego równaniem (4.2.23), całkę (4.2.24) można uprościć do sumy pięciu wyrazów:

+ d0∂xd1∂yd2∂zd3∂wd4

− d1∂xd0∂yd2∂zd3∂wd4

− d2∂xd1∂yd0∂zd3∂wd4 (4.2.25)

− d3∂xd1∂yd2∂zd0∂wd4

− d4∂xd1∂yd2∂zd3∂wd0.

Okazuje się, że powyższa całka posiada rozwiązanie analityczne, zaprezentowane na Rys.

4.6, które zależy od parametrów m i c. We wszystkich wykresach tej sekcji przyjęliśmy

parametr c = 1. Warto jednak podkreślić, że w większości przypadków trudno znaleźć

formę całkową niezmienniczą ze względu na cechowanie, dlatego w ogólności obliczenia

drugiej liczby Cherna poprzez całkowanie są nieefektywne i trudne.

Na Rys. 4.7 pokazane są wartości drugiej liczby Cherna wyznaczone naszą metodą

(czerwone punkty) dla m = −3 (górny panel) i blisko przejścia fazowego, tj. dla m = −3.9

(dolny panel). Liczba punktów w każdy kierunku w strefie Brillouina została wybrana tak,

aby dkx = dky = dkz = dkw ≡ dk, gdzie dk = 2π/N . To samo zrobiliśmy dla postaci

97


m

0 2 4 6

c2

0

1

2

3

Rysunek 4.6: Diagram fazowy dla (4 + 1)-wymiarowego modelu Diraca dla parametru

c = 1. Na diagramie wyraźnie widać krytyczne wartości parametru m, dla których prze-

rwa energetyczna zostaje zamknięta i następuje przejście do fazy scharakteryzowanej inną

wartością drugiej liczby Cherna. Kolorami zaznaczone są niezerowe jej wartości.

całkowej drugiej liczby Cherna (niebieskie punkty) opartej na równaniu (4.2.24), gdzie cał-

kowanie zastąpiliśmy sumowaniem, aby porównać wyniki otrzymane za pomocą obu metod.

Wielkość ∆c2 jest różnicą pomiędzy dokładną całkowitą wartością drugiej liczby Cherna

oraz wynikami numerycznych obliczeń, tj. ∆c2 = c2 − c2. Rysując wykres zależności

ln(∆c2) od ln(N) widać, że zależność ta jest wykładnicza. Niemniej w skali logarytmicznej

otrzymujemy prostą, a parametry dopasowania funkcji liniowej ln(∆c2) = a · ln(N) + b

określają skalowanie naszego algorytmu. W tym przypadku otrzymane skalowanie jest w

postaci eb ·Na. Wyniki dopasowania znajdują się w poniższych tabelach:

m = -3, c = 1

algorytm postać całkowa

a -1.973±0.019 -1.077±0.021

b 2.819±0.072 3.289±0.097

R2 0.9999 0.9996

m = -3.9, c = 1

algorytm postać całkowa

a -1.882±0.063 -1.104±0.016

b 5.14±0.29 4.811±0.097

R2 0.9994 0.9998

98


N

50 100 150

∆c2

0

0.05

0.1

0.15

0.2algorytm

fit

N

50 150 250∆c2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

fit

ln(N)

2 4

ln(∆c2)

-8

-6

-4

-2

0

2

N

50 100 150 200

∆c2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5algorytm

fit

N

0 200 400 600

∆c2

0

2

4

6

8

10

12

14

fit

ln(N)

2 4 6

ln(∆c2)

-4

-2

0

2

4

m = -3

m = -3.9

Rysunek 4.7: Wykresy pokazują ∆c2, a więc różnicę pomiędzy dokładną wartością dru-

giej liczby Cherna a wynikiem numerycznym, jako funkcję liczby punktów N w strefie

Brillouina. Czerwonymi punktami oznaczone są numeryczne wyniki otrzymane naszym

algorytmem, natomiast niebieskie kółka oznaczają wyniki całkowania. Górny panel od-

powiada parametrowi m = −3, a więc daleko od przejścia fazowego, dzięki czemu reżim

zbieżności osiągnięty jest nawet dla niewielkiej liczby punktów. Sytuacja zmienia się dla

m = −3.9 (dolny panel) blisko przejścia fazowego ze względu na znaczne zmniejszenie się

przerwy energetycznej w układzie. Dla naszej metody reżim zbieżności jest osiągnięty dla

około N ≈ 60, podczas gdy w przypadku postaci całkowej potrzebnych jest około N ≈ 250.

Do każdego dopasowania podana jest również wartość współczynnika determinacji R2.

Jak widać w każdym przypadku jest on bliski jedności, a więc wszystkie dopasowania

są wiarygodne. W niektórych przypadkach w fitowaniu pominięte zostały początkowe

punkty zdecydowanie odbiegające od właściwych wartości. Otrzymane wyniki pokazują,

99


że zbieżność naszej metody jest jak dk2 ∼ 1/N2, natomiast całka zbiega do prawidłowej

wartości c2 liniowo, tj. proporcjonalnie do dk ∼ 1/N . Warto zauważyć, że w przypadku,

gdy układ znajduje się blisko przejścia fazowego, tj. przerwa energetyczna jest bardzo

mała (dolne panele), to reżim zbieżności osiągany jest dla gęstszej siatki punktów w strefie

Brillouina, tj. Nmin ≈ 60 w przypadku naszego algorytmu, podczas gdy postać całkowa

wymaga co najmniej Nmin ≈ 250 punktów, zob. prawy wykres w dolnym panelu Rys. 4.7.

Daleko od przejścia fazowego reżim zbieżności osiągany jest bardzo szybko, tak jak widać

to na wykresie po prawej stronie górnego panelu.

4.2.3.2 Przypadek dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera

Wprowadzenie do układu dwóch niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera

opisaliśmy już w punkcie 4.1.4. Teraz natomiast chcielibyśmy w praktyce pokazać działa-

nie naszego algorytmu oraz porównać je ze ścisłymi rozwiązaniami analitycznymi. Okazuje

się bowiem, że w sytuacji, gdy dwa dwuwymiarowe układy są niezależne, istnieje anali-

tyczna formuła wyznaczenia drugiej liczby Cherna. Aby to pokazać zauważmy najpierw,

że druga liczba Cherna ze wzoru (4.1.29) jest iloczynem pierwszych liczb Cherna odpo-

wiednich podpasm układów dwuwymiarowych. Wychodząc od równoważnego sformułowa-

nia drugiej liczby Cherna wykorzystującego operatory rzutowania P (kµ) na podprzestrzeń

stanów obsadzonych [122]:

c2 =∑

αβγδ

−ǫαβγδ8π2

Tr

(

P∂P

∂kα

∂

∂kβP∂P

∂kγ

∂

∂kδ

)

, (4.2.26)

możemy je uprościć i efektywnie otrzymać prostą postać:

c2 =∑

E1+E2<EF

c(nxz)1 · c(nyw)

1 , (4.2.27)

gdzie c(nxz)1 i c(nyw)

1 są pierwszymi liczbami Cherna dwuwymiarowych modeli Hofstadtera

w płaszczyznach XZ oraz YW odpowiednio, natomiast E1 ∈ EXZ oraz E2 ∈ EYW . Aby

zaprezentować zasadę działania analitycznej metody opisanej wzorem (4.2.27), rozważmy

przykład strumieni magnetycznych φz = φw = 1/4. Ponieważ każdy z dwuwymiarowych

modeli posiada 4 pasma, otrzymujemy 16 możliwych kombinacji sum (4.1.25), a więc w

efekcie pasm energetycznych czterowymiarowego modelu. Na Rys. 4.4 przedstawione są

struktury pasmowe układu czterowymiarowego (lewy górny panel) oraz odpowiadającego

mu podukładu dwuwymiarowego (prawy górny panel). Najniższe pasmo czterowymiaro-

wego efektu Halla jest utworzone przez sumę najniższych pasm podukładów dwuwymiaro-

wych, a więc c(1)2 = czx1 · cyw1 = −1. Warto zwrócić uwagę, że znak jednej z liczb Cherna

100


uległ zmianie ze względu na zmianę definicji przewodności Halla, tj. cxz1 = −1, ale czx1 = 1.

Pasma, które tworzą środkową część spektrum 4D są kombinacjami wszystkich pasm, z wy-

jątkiem sum najniższego z najniższym i najwyższego z najwyższym. W rezultacie środkowa

część spektrum lewego górnego panelu Rys. 4.4 składa się tak naprawdę z 14 pasm, które

się stykają lub przecinają, a więc nie ma przerwy energetycznej pomiędzy nimi i niemożliwe

jest wyznaczenie niezmiennika topologicznego dla każdego z nich. Niemniej jednak wyli-

czenie wszystkich możliwych kombinacji iloczynów odpowiednich pierwszych liczb Cherna

daje c(2)2 = 2, która stanowi charakterystykę topologiczną środkowego efektywnego pasma.

Natomiast najwyższe pasmo 4D pochodzi od najwyższych pasm obu podukładów, a więc

otrzymujemy c(3)2 = −1.

Metoda analityczna opisana powyżej działa zarówno dla pojedynczych pasm, jak i prze-

cinających lub stykających się, dla których można wyznaczyć łączną drugą liczbę Cherna.

Niemniej jednak warunkiem koniecznym jest czterowymiarowy układ zbudowany z dwóch

niezależnych dwuwymiarowych podukładów.

Tak jak wspominaliśmy wcześniej, najniższe pasmo układu czterowymiarowego dla stru-

mienia pola φz = φw = 1/4 (lewy górny panel) stanowi sumę energii najniższych pasm

modeli dwuwymiarowych o liczbach Cherna c1 = −1, dlatego też w tym przypadku użycie

naszego algorytmu nie jest potrzebne. Niemniej jednak kolejne pasmo jest mieszaniną 14

pasm, które się stykają bądź przecinają. W tym przypadku wygodnie jest użyć metody nu-

merycznej, ponieważ rozpisywanie kombinacji iloczynów pierwszych liczb Cherna może być

uciążliwe. Wyniki obliczeń numerycznych drugiej liczby Cherna środkowego efektywnego

pasma dla różnych wartości N , gdzie dk = 2π/q ·N , pokazane są na Rys. 4.8. W prawym

panelu znajduje się wykres ln(∆c2) w zależności od liczby punktów N , do którego następnie

dopasowaliśmy regresję liniową o parametrach a = −1.973± 0.018, b = 1.303± 0.056 oraz

R2 = 0.9999. Jak widać, zgodnie z oczekiwaniami skalowanie w tym przypadku również

zachowuje się jak ∼ dk2.

Odmienną nieco sytuację prezentuje dolny panel Rys. 4.4 dla φz = φw = 3/5. Całko-

wita liczba pasm w tym przypadku wynosi q1 · q2 = 25, jednak przerwami energetycznymi

rozdzielone są tylko niektóre z nich, w wyniku czego układ posiada 5 efektywnych pasm.

Interesujące w tym przypadku jest to, że rozłożenie pasm w efektywnych pasmach jest

bardziej jednorodne, tzn dolne efektywne pasmo składa się tak naprawdę z 4 stykających

się pasm, a idąc dalej mamy ich odpowiednio 4, 9, 4, 4, co sumarycznie daje 25 pasm. W

tym przypadku zbieżność naszego algorytmu następuje przy minimalnej liczbie punktów

w strefie Brillouina, tj. N = 5 i natychmiastowo prowadzi do całkowitych wyników.

101


N10 20 30 40 50

∆c 2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ln(N)2 3 4

ln(∆

c 2)

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Rysunek 4.8: Wykresy pokazują ∆c2, tj. różnicę pomiędzy dokładną wartością drugiej

liczby Cherna a wynikiem numerycznym, jako funkcja liczby punktów w strefie Brillouina

wybranych tak, aby dkx = dky = dkz = dkw ≡ dk, gdzie dk = 2π/q1 · N . Czerwone

punkty odpowiadają wynikom numerycznym otrzymanym za pomocą naszego algorytmu.

Parametry dopasowania funkcji liniowej ln(∆c2) = a·ln(N)+b wynoszą a = −1.973±0.018,

b = 1.303± 0.056 ze współczynnikiem determinacji R2 = 0.9999.

4.2.3.3 Analiza układu ze sprzężeniem wszystkich kierunków

W ostatniej części pokażemy, że numeryczny algorytm pozwala wyznaczyć drugą liczbę

Cherna układu, dla którego nie istnieje analityczne rozwiązanie. Rozważmy zatem układ,

w którym wszystkie kierunki są od siebie zależne, tj. wprowadźmy sprzężenie pomię-

dzy dwuwymiarowymi modelami Hofstadtera poprzez potencjał wektorowy w postaci:

Az(r) = 2πφzx oraz Aw(r) = 2πφw(y + x), gdzie φz = p1/q1 i φw = p2/q2, a więc oba

modele są sprzężone poprzez współrzędną x. W takiej sytuacji nie możemy zastosować

formuły (4.2.27) dla faktoryzacji pierwszych liczb Cherna dwuwymiarowych podukładów,

a więc wyliczenie drugiej liczby Cherna dla każdego pasma w czterech wymiarach wymaga

uniwersalnego algorytmu. Zacznijmy od równania typu Harpera, które ma postać podobną

jak we wzorze (4.1.24), tj.

−J(

eikxum+1,n(k) + e−ikxum−1,n(k))

− J(

ei(ky+kx)um,n+1 + e−i(ky+kx)um,n−1

)

−2Jum,n(k)(cos(2πφzm+ kz) + cos(2πφw(n+m) + kw)) = E(k)um,n(k), (4.2.28)

a więc różnica występuje w argumencie drugiego cosinusa, gdzie występuje suma x + y,

a x = ma oraz y = na. Z powodu istnienia dodatkowego strumienia przepływającego

102


przez płaszczyznę YW , a zależnego od x, magnetyczna komórka w kierunku x powinna

zostać powiększona ze względu na strumień φw, tj. periodyczność w x jest równa q1 · q2(a nie q1 jak wcześniej). W konsekwencji strefa Brillouina w kx jest zredukowana do

0 ≤ kx ≤ 2π/(q1 · q2).Przykładem tego typu układu, który posiada przerwę energetyczną w swoim spektrum,

jest sieć, przez którą przepływają dwa strumienie: φz = 1/3 i φw = 1/8. W tym przypadku

komórka magnetyczna w kierunku x zawiera 24 oczka, a więc 192 stany własne tworzą 3

efektywne pasma, których wielkość jest rzędu 0.5 w jednostkach E/J , zob. Rys. 4.9. Po-

dobnie jak wcześniej wybraliśmy dyskretyzację strefy Brillouina taką, że dk jest identyczne

we wszystkich kierunkach.

ϕz = 1/3 ϕw = 1/8

-1

-1

2

Rysunek 4.9: Spektrum zmodyfikowanego modelu czterowymiarowego, zob. (4.2.28), w

kórym wszystkie współrzędne są sprzężone przez strumienie pola magnetycznego φz = 1/3

oraz φw = 1/8. Układ posiada dwie duże przerwy energetyczne, które przejawiają fizykę

Halla. Po prawej stronie wykresu podane są wyliczone wartości drugiej liczby Cherna dla

każdego pasma.

Na Rys. 4.10 zaprezentowane są wykresy zbieżności naszego algorytmu dla najniższego

pasma (górny panel) oraz środkowego (dolny panel) modelu opisanego równaniem (4.2.28).

Parametry dopasowania są następujące:

103


1. pasmo 2. pasmo

a -1.942±0.023 -1.974±0.012

b -5.305±0.037 -1.691±0.018

R2 0.9999 0.9999

N

2 4 6 8 10

∆c2·103

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

ln(N)

1 1.5 2

ln(∆c2)

-10

2 4 6 8

∆c2

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

l

1 1.5 2

ln(∆

c2)

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

Rysunek 4.10: Wykresy przedstawiają ∆c2, tj. różnicę pomiędzy całkowitą wartością

drugiej liczby Cherna, do której zbiega algorytm, a wartością numeryczną, jako funk-

cja liczby punktów w strefie Brillouina N . Czerwone punkty odpowiadają wartościom

numerycznym otrzymanym za pomocą naszego algorytmu. Parametry funkcji liniowej

ln(∆c2) = a · ln(N) + b są następujące: a = −1.942 ± 0.023, b = −5.305 ± 0.037 oraz

R2 = 0.9999.

104

4.3. Realizacja doświadczalna

W tym przypadku dokładna wartość drugiej liczby Cherna nie jest znana. Niemniej

jednak bazując na poprawności naszego algorytmu w przypadkach analitycznych, możemy

rozszerzyć naszą analizę również na nieanalityczne układy. Wyznaczając bowiem wartość

numeryczną za pomocą naszego algorytmu widać, że zbiega ona do pewnej liczby całkowitej

dla każdego efektywnego pasma, a suma wszystkich liczb Cherna efektywnych pasm w

danym układzie daje wartość 0, co jest zgodne z naszymi przewidywaniami.

4.3 Realizacja doświadczalna

W niniejszej sekcji przedstawimy zarys propozycji doświadczalnej realizacji czterowy-

miarowego efektu Halla w zimnych gazach atomowych opisanego równaniem (4.1.24), a

więc składającego się z niezależnych dwuwymiarowych modeli Hofstadtera. Zaletą na-

szego podejścia jest to, że dodatkowy wymiar zostaje wygenerowany w trójwymiarowej

przestrzeni bez zastosowania spinowych stopni swobody, które mogą zostać wykorzystane

w dalszym etapie badań. Okazuje się bowiem, że odpowiedź układu na słabe zewnętrzne

pole elektryczne zawiera wyraz liniowy, pochodzący od dwuwymiarowego efektu Halla,

oraz nieliniowy, charakterystyczny dla czterowymiarowej fizyki Halla. W przypadku czą-

stek bezspinowych równania transportu zawierają wkłady od obu zjawisk, natomiast wy-

korzystując cząstki o spinie σ = ± można wyeliminować efekty dwuwymiarowe, ponieważ

pierwsze liczby Cherna dla każdego ze spinów mają przeciwne znaki. Dzięki temu moż-

liwe jest wyeliminowanie liniowej odpowiedzi z równań transportu i obserwowanie czysto

czterowymiarowego efektu Halla.

4.3.1 Wprowadzenie

4.3.1.1 Sieci optyczne

W punktach 3.1.1 oraz 3.1.3 opisaliśmy oddziaływanie atomów ze światłem, które pro-

wadzi do powstania potencjału dipolowego odczuwanego przez atomy. Potencjał ten leży

u podstaw wielu typów pułapek dla zimnych gazów atomowych, a w szczególności sieci

optycznych, które naśladują strukturę ciał stałych [12, 13]. Potencjał ten może być przy-

ciągający lub odpychający, w zależności od odstrojenia wiązki, które zwykle jest dość duże,

aby zredukować spontaniczną emisję. Pułapki optyczne polegają na przestrzennie zmien-

nym przesunięciu Starka poziomów energetycznych. Interferujące wiązki laserowe powo-

dują powstawanie periodycznych struktur natężenia światła, a tym samym periodycznych

105


potencjałów dla zimnych atomów w postaci:

V (r) = −∑

ij

Ei ·Ejcos((ki − kj) · r+ ϕi − ϕj), (4.3.1)

gdzie ki oznaczają wektory falowe wiązek, natomiast ϕi ich fazy. W zależności od liczby

użytych wiązek i ich konfiguracji, można w ten sposób generować sieci jedno-, dwu- i

trójwymiarowe o strukturze kubicznej, trójkątnej [131] czy typu sieci Kagome [132, 133].

Ogromną korzyścią stosowania tego typu potencjałów jest dowolność w wyborze geometrii,

głębokości sieci, ponieważ wszystkie parametry są pod kontrolą.

4.3.1.2 Tunelowanie wspomagane laserowo

W niniejszym punkcie przedstawimy schemat działania tunelowania wspomaganego

laserowo na przykładzie sieci w płaszczyźnie XY . Załóżmy, że w dwuwymiarowej sieci

optycznej w jednym kierunku, na przykład x wprowadzamy liniowy gradient potencjału,

który powoduje przesunięcie poziomów energetycznych kolejnych oczek o ~∆B, gdzie ∆B

oznacza częstość oscylacji Blocha, tak jak na Rys. 4.11. Tego typu działanie prowadzi do

zaniku tunelowania wzdłuż pochylenia sieci, a więc w kierunku x, natomiast w dalszym

ciągu możliwe są przeskoki w kierunku prostopadłym, a więc y [26].

ħδωħΔB

Egap

k1,ω1 k2,ω2

Rysunek 4.11: Schemat zasady działania tunelowania wspomaganego laserem w najniższym

paśmie nachylonej sieci. Pomiędzy oczkami sieci poziomy energetyczne przesunięte są

o ~∆B, a przejście pomiędzy nimi determinują dwie wiązki laserowe scharakteryzowane

wektorami falowymi k1, k2 oraz częstościami ω1 i ω2 odpowiednio.

Aby przywrócić ruch atomów w kierunku x potrzebne są dwie odstrojone od rezonansu

wiązki laserowe, których różnica częstości δω = ω1−ω2 odpowiada dokładnie różnicy ener-

gii wywołanej liniowym gradientem potencjału, tj. δω = ∆B. Dzięki temu obie wiązki są

w stanie wywołać przejście Ramana pomiędzy stanem zlokalizowanym na jednym oczku

sieci a najbliższym sąsiadem, a więc kolejnym oczkiem w kierunku x, nie zmieniając przy

106


φy φy

φy φy

Je ±φm,n Je ±φm+1,n

J

k1, 1

k2, 2

φx+φy 2φx+φy

φx+2φy 2φx+2φy

φx+3φy 2φx+3φy

1

1

2 3

2

3

... m...

n

x

y

Rysunek 4.12: Schemat eksperymentalnej realizacji jednorodnego strumienia pola magne-

tycznego poprzez użycie pary odstrojonych od rezonansu wiązek laserowych oraz jednorod-

nego gradientu energii potencjalnej (lewy panel). Poprzez zastosowanie pochylenia sieci w

kierunku x następuje zanik tunelowania, które następnie zostaje odzyskane dzięki dwóm

wiązkom laserowym. Tunelowanie w kierunku x nabywa przez to dodatkowy czynnik fa-

zowy φm,n jako że następuje transfer pędu w kierunku y. Na prawym panelu pokazane są

zależne od położenia fazy, które cząstka nabywa tunelując pomiędzy oczkami sieci.

tym stanu wewnętrznego atomu. Efektywnie wiązki Ramana pojawiają się w hamiltonianie

jako dodatkowa sieć, oscylująca z częstością rezonansową, tj. δω = ∆B, tj. dodatkowy

potencjał ma postać Vosc = ~Ωcos(δk · r − δωt) i jako wyraz diagonalny hamiltonianu

pełni rolę chwilowej modulacji energii na oczku. Zależność od czasu może jednak zostać

usunięta poprzez transformację unitarną, która efektywnie uśrednia po czasie szybko oscy-

lujące wyrazy i prowadzi do niezależnego od czasu hamiltonianu efektywnego [134–137].

W rezultacie nachylenie sieci zanika, ponieważ stosując opis atomu ubranego (zob. punkt

3.1.3) oczko (m,n) z j oraz l fotonami w obu wiązkach laserowych jest zdegenerowane z

oczkiem (m+ 1, n) i j + 1, l − 1 fotonami. Rozumowanie to jest poprawne zakładając, że

~∆B jest większa niż energia związana z amplitudą tunelowania J , ale jednocześnie mniej-

sza niż przerwa energetyczna Egap między pasmami. Otrzymany w ten sposób hamiltonian

ma taką samą formę jak hamiltonian dla naładowanej cząstki na sieci w efektywnym polu

magnetycznym, tj [35, 138].

H = −∑

〈m,n〉

(

Jeiφm,n |m+ 1, n〉〈m,n|+ J |m,n+ 1〉〈m,n|+ h.c.)

, (4.3.2)

gdzie |m,n〉 jest stanem własnym hamiltonianu w oczku (m,n), φm,n = δk · Rm,n, a

107


δk = k1 − k2 oraz Rm,n oznacza wektor położenia w oczku (m,n). Ponadto J oznacza

efektywną amplitudę tunelowania w kierunku x. W ten sposób możliwe jest otrzymanie

dowolnego strumienia sztucznego pola magnetycznego przez plakietkę poprzez odpowiednie

dobranie δk.

Schemat eksperymentalnej realizacji jednorodnego strumienia pola magnetycznego po-

przez użycie pary odstrojonych od rezonansu wiązek laserowych oraz jednorodnego gra-

dientu energii potencjalnej przedstawia Rys. 4.12. Warto podkreślić, że z eksperymen-

talnego punktu widzenia liniowy gradient potencjału może być osiągnięty w stosunkowo

łatwy sposób, tj. na przykład wykorzystując grawitację czy gradienty pola magnetycznego.

4.3.2 Opis układu

Główną ideą w proponowanej przez nas realizacji doświadczalnej czterowymiarowego

efektu Halla jest stworzenie struktury trójwymiarowej, tj. trójwymiarowej sieci Bravais,

oraz bazy składającej się z kilku oczek w każdym punkcie sieci Bravais, tak jak na Rys.

4.13. Warto podkreślić, że tego typu układ posiada jeden wymiar skończony, a więc w nie-

trywialnym topologicznie modelu spodziewamy się otrzymać przewodzące stany brzegowe,

będące w tym przypadku stanami powierzchniowymi.

x

y

zw

45

Rysunek 4.13: Struktura sieciowa złożona z trójwymiarowej sieci Bravais (duże zielone

kółka) oraz pięciopunktowej bazy w każdym z oczek sieci Bravais (mniejsze zielone kółka).

Punkty bazy znajdują się na prostej, przecinającej układ pod kątem 45 do każdego z

kierunków.

Obecnie realizacja kubicznej sieci optycznej wymaga trzech par prostopadłych mono-

chromatycznych wiązek laserowych i jest powszechnie stosowana w laboratoriach zimnych

108


gazów atomowych. Konstrukcja sieci z bazą (w obrębie tego samego układu eksperymen-

talnego) wymaga użycia wiązek laserowych o wyższych harmonicznych, aby „nadrukować”

na sieć kubiczną dodatkową strukturę, tj. suma dwóch wiązek laserowych typu ∼ cos(k ·r)pozwala otrzymać sieć o kształcie funkcji cosinus, natomiast stosując wyższe harmoniczne,

możemy otrzymać nowe „supersieci” o zmodyfikowanej formie. Niemniej jednak taki układ

potrzebuje pewnych zmian, aby był odpowiedni dla naszych celów, ponieważ czterowymia-

rowa geometria hamiltonianu (4.1.24) wymaga dodatkowych warunków. W szczególności,

tunelowania atomów pomiędzy oczkami sieci mogą odbywać się tylko między najbliższymi

sąsiadami, tj. dla przykładu dozwolone jest przejście z punktu (l,m, n, w) do (l,m, n, w+1),

natomiast z (l,m, n, w) do (l + 1,m, n, w + 1) nie, a więc w danej chwili możliwa jest

zmiana tylko jednej współrzędnej w danym kierunku. Aby wyeliminować możliwość tego

typu niedozwolonych przeskoków chcielibyśmy ukształtować potencjał sieci w taki sposób,

aby połączyć minimami potencjału odpowiednie oczka sieci. Wtedy tunelowania w każ-

dym kierunku mogą odbywać się zgodnie ze strukturą minimów potencjału. Ponadto aby

uniemożliwić krzyżowanie się dozwolonych przeskoków na sieci, proponujemy, aby punkty

bazy znajdowały się pod kątem 45 w stosunku do wszystkich kierunków. W konsekwencji

taka geometria pozwala na umieszczenie czwartego wymiaru w trójwymiarowej przestrzeni

oraz zapobiega niechcianym tunelowaniom do dalszych sąsiadów.

Konstrukcję sieci potrzebnej do symulacji czterowymiarowego efektu Halla rozpocz-

niemy od teoretycznego modelowania potencjału w pojedynczym oczku sieci. Okazuje

się, że potrzebną strukturę można osiągnąć poprzez iloczyn funkcji Gaussa, tj. potencjał

przyjmuje postać V (x, y, z) = −W (x)W (y) − W (x)W (z) − W (y)W (z), gdzie W (j) =

exp[−(j − j0)2/2d2] dla j = x, y, z. W taki sposób minima w środku każdej komórki skła-

dowej, tj. oczka sieci, są połączone przez „tuby” minimów potencjału, tak jak przedstawia

to lewy panel Rys. 4.14.

Tego typu konstrukcję, tj. V (x, y, z) nazywać będziemy dalej komórką elementarną

potencjału. Ponadto, jeśli przesuniemy centrum gaussianu i dodamy do siebie przesunięte

komórki, tj. V (x, y, z) + V ′(x, y, z) + V ′′(x, y, z) + ..., gdzie V ′(x, y, z) = V (x+ aw/2, y +

aw/2, z + aw/√2), itd., oraz w = (aw/2, aw/2, aw/

√2), to jesteśmy w stanie stworzyć nie-

wielkie przesunięcie minimum potencjału, które prowadzi do powstania kolejnego oczka

bazy, tak jak na prawym panelu Rys. 4.14. Łacząc ze sobą kolejne komórki elementarne

otrzymujemy trójwymiarową sieć kubiczną z bazą, w której wszystkie oczka sieci są połą-

czone z najbliższymi sąsiadami obniżoną wartością potencjału, aby wymusić odpowiednie

tunelowania. W celu znalezienia konfiguracji wiązek laserowych realizujących tego typu

potencjał, należy rozwinąć jego komórkę elementarną V (x, y, z) w bazie Fouriera. Zgod-

109


Rysunek 4.14: Lewy panel przedtawia komórkę elementarną potencjału V (x, y, z), tj. wy-

kres konturu V (x, y, z) = const. W centralnej części komórki znajduje się minimum poten-

cjału odpowiadające oczku sieci. Kolejne oczka połączone są ze sobą minimami potencjału,

przyjmującymi formę „tub”. Na ich przecięciach powstają kolejne oczka sieci, dzięki czemu

powstaje tradycyjna trójwymiarowa sieć Bravais. Przesuwając centra gaussianów zmie-

niamy położenia minimów potencjału, a tym samym jesteśmy w stanie stworzyć oczka

bazy w każdym punkcie sieci Bravais (prawy panel). Dzięki ustawieniu oczek bazy pod

kątem 45 do każdego z kierunków x, y, oraz z, unikamy niechcianego przecięcia „tub” poza

wyznaczonymi oczkami sieci.

nie z naszymi obliczeniami do tego celu potrzeba około dwudziestu wiązek laserowych,

świecących pod różnymi kątami oraz z wyższymi harmonicznymi (do około ósmej).

Drugą metodą wytworzenia tego typu egzotycznej sieci są maski holograficzne, które

pozwalają stworzyć niemal dowolny wzór sieci optycznej. W eksperymencie przeprowa-

dzonym przez grupę prof. Marcusa Greinera w 2009 roku [139] wytworzona została sieć

optyczna o stałej sieci 600nm poprzez bezpośrednie rzutowanie przygotowanej litograficz-

nie maski holograficznej zawierającej strukturę sieci jako hologram fazowy. Wynika stąd,

że możliwe jest otrzymanie w ten sposób sieci optycznej w reżimie Hubbarda, dzięki czemu

metoda ta wygląda obiecująco w kontekście stworzenia naszej egzotycznej czterowymiaro-

wej sieci.

110


4.3.3 Wstępne wyniki

Czterowymiarowy efek Halla wymaga obecności pola magnetycznego, w naszym przy-

padku strumienie pola obecne są w płaszczyźnie XY oraz ZW . W przypadku dyskret-

nym obecność pola magnetycznego w hamiltonianie objawia się w postaci dodatkowego

czynnika fazowego przy amplitudzie tunelowania, tzw fazy Peierlsa, zob. punkt 4.1.2.

Zespolone amplitudy tunelowania zależne od położenia można osiągnąć za pomocą tune-

lowania wspomaganego laserem (opisanego w sekcji 4.3.1) w kierunku y oraz z, ponieważ

potrzebny potencjał wektorowy ma postać Ax(r) = Aw(r) = 0, Ay(r) = 2πφyx oraz

Az(r) = 2πφzw, gdzie φy oraz φz oznaczają strumienie pola przez komórkę elementarną

w płaszczyźnie XY i ZW odpowiednio. W takiej sytuacji potrzebne są dwie pary wiązek

laserowych aby przywrócić tunelowania w tych kierunkach, zob. punkt 4.3.1. Pierwszą

parę oznaczymy indeksem górnym (1), natomiast drugą (2). Różnice wektorów falowych

każdej pary oznaczmy jako δk(1) oraz δk(2) odpowiednio. W konsekwencji w hamiltonianie

układu pojawiają się dwa nowe wyrazy diagonalne związane z pochyleniem sieci oraz z jej

modulacją, która efektywnie powoduje przejścia Ramana:

~δω(1)y + ~Ω(1)cos(δk(1) · r− δω(1)t) (4.3.3)

~δω(2)z + ~Ω(2)cos(δk(2) · r− δω(2)t), (4.3.4)

gdzie Ω(1) i Ω(2) są dwufotonowymi częstościami Rabiego każdej pary wiązek laserowych.

Dla uproszczenia obliczeń zakładamy, że stosunek częstości jest liczbą całkowitą, tj.

δω(1)/δω(2) = s, δω(1) jest różnicą częstości wiązek pierwszej pary (dla tunelowania

wspomaganego laserem w kierunku y), natomiast δω(2) opisuje drugą parę (tunelowanie w

kierunku z). Całkowity hamiltonian układu może być zapisany jako:

H = − Jx∑

〈l,m,n,w〉

|l + 1,m, n, w〉〈l,m, n, w| − Jy∑

〈l,m,n,w〉

|l,m+ 1, n, w〉〈l,m, n, w|

− Jz∑

〈l,m,n,w〉

|l,m, n+ 1, w〉〈l,m, n, w| − Jw∑

〈l,m,n,w〉

|l,m, n, w + 1〉〈l,m, n, w|

+∑

〈l,m,n,w〉

(

~δω(1)may + ~Ω(1)cos(δk(1) ·Rl,m,n,w − δω(1)t) (4.3.5)

+ ~δω(2)naz + ~Ω(2)cos(δk(2) ·Rl,m,n,w − δω(2)t))

|l,m, n, w〉〈l,m, n, w|,

gdzie Rl,m,n,w jest wektorem położenia oczka (l,m, n, w), natomiast |l,m, n, w〉 oznaczają

odpowiadające mu stany Wanniera hamiltonianu. Hamiltonian (4.3.5) jest periodyczny w

czasie, a więc do wyznaczenia stanów własnych możemy zastosować twierdzenie Floquet

opisane w punkcie 3.1.2, a więc szukamy stanów własnych hamiltonianu Floquet H =

111


H − i~∂t. Zależność od czasu obecna w wyrazach diagonalnych może zostać usunięta

poprzez unitarną transformację U , tj. H ′ = U †HU − i~U †∂U/∂t, gdzie:

U =∑

l,m,n,w

e−i

(

Λ(1)l,m,n,w

+Λ(2)l,m,n,w

)

|l,m, n, w〉〈l,m, n, w|, (4.3.6)

oraz

Λ(1)l,m,n,w = mayδω

(1)t+Ω(1)/δω(1)sin(δω(1)t− φ(1)l,m,n,w), (4.3.7)

Λ(2)l,m,n,w = nazδω

(2)t+Ω(2)/δω(2)sin(δω(2)t− φ(2)l,m,n,w). (4.3.8)

W powyższych wzorach φ(j)l,m,n,w = δk(j) ·Rl,m,n,w, gdzie j = 1, 2. W przypadku rezonan-

sowej modulacji sieci z częstością δω(j), która odpowiada różnicy energii między oczkami

pochylonej sieci, wyrazy diagonalne znikają. Aby wyznaczyć zatem hamiltonian niezależny

od czasu należy wyznaczyć wszystkie wyrazy związane z tunelowaniem do najbliższych są-

siadów, tj. exp[i(Λ(j)l+1,m,n,w − Λ

(j)l,m,n,w)], exp[i(Λ(j)

l,m+1,n,w − Λ(j)l,m,n,w)], itd. Okazuje się, że

wszystkie tego typu wyrazy można sprowadzić do prostej postaci korzystając z rozwinięcia

Jacobi-Angera, tj.

eixcosθ =∑

r

irJr(x)eirθ, (4.3.9)

gdzie Jr oznacza funkcję Bessela rzędu r. Dla przykładu rozważmy amplitudę tunelowania

w kierunku x. Otrzymujemy wtedy wyraz pozadiagonalny hamiltonianu w postaci:

ei(Λl+1,m,n,w−Λl,m,n,w) = e−i(ps+r)δω(2)t∞∑

r,p=−∞

i(p+r)Jp(Γ(1)x )Jr(Γ

(2)z )e−i(pφ

(1)l,m,n,w

+rφ(2)l,m,n,w

),

(4.3.10)

gdzie wykorzystaliśmy fakt, że δω(1)/δω(2) = s oraz Λ = Λ(1) + Λ(2). Ponadto Γ(n)j =

2Ω(n)/δω(n)sin(δk(n)j /2), gdzie j = x, y, z, w oraz n = 1, 2. Następnie wyraz ten może być

uśredniony po czasie τ ∼ 1/δω(2), tj. z wyznaczenia całki:

δω(2)

2π

∫ 2π/δω(2)

0dtei(ps+r)δω(2)t (4.3.11)

otrzymujemy warunek wiążący współczynniki p i r, tj. ps + r = 0, aby powyższa całka

była niezerowa. Ostatecznie współczynnik tunelowania w kierunku x przyjmuje postać:

Jeffx = Jx

∑

p

ip(1−s)Jp(Γ(1)x )J−sp(Γ

(2)z )e−ip(φ

(1)l,m,n,w

−sφ(2)l,m,n,w

). (4.3.12)

Dobierając odpowiednio parametry, np. zerując jeden z argumentów funkcji Bessela po-

przez wybór δk(n)j , możemy efektywnie wyeliminować wkłady od wyższych rzędów funkcji

112


Bessela, zapewniając tym samym największy wkład do amplitudy tunelowania od wyrazów

z p = 0.

Okazuje się, że najprostszym wyborem przekazu pędu potrzebnym do otrzymania od-

powiedniego pola cechowania jest δk(1) = (δk(1)x , δk

(1)y , 0) oraz δk(2) = (0, 0, δk

(2)z ). Wtedy

uśrednione po czasie amplitudy tunelowania mają formę:

Jeffx = JxJ0(Γ

(1)x ),

Jeffy = JyJ1(Γ

(1)y )eiφ

(1)l,m,n,w ,

Jeffz = JzJs(Γ

(2)z )eisφ

(2)l,m,n,w ,

Jeffw = JwJ0(Γ

(1)w )J0(Γ

(2)w ), (4.3.13)

gdzie Γ(n)j = 2Ω(n)/δω(n)sin(δk(n)j /2), j = x, y, z, w oraz n = 1, 2, φ(1)l,m,n,w = δk

(1)x (lax +

waw/2)+δk(1)y (may+waw/2), φ

(2)l,m,n,w = δk

(2)z (naz+waw/

√2). Ponadto wyrażamy długość

w jednostkach stałej sieci ax, co oznacza, że ax = ay = az = 1, natomiast aw jest pewnym

ułamkiem pozostałych stałych sieci. Poprzez odpowiednie dobranie δk(1)x , δk(1)y oraz δk(2)z

możliwe jest wyindukowanie w układzie odpowiednich strumieni pola przez plakietkę, tj. w

płaszczyźnie XY oraz ZW . Konstrukcja sieci połączonej minimami potencjału, zob. Rys.

4.14, pozwala nam na pochylenie sieci w kierunkach y i z, natomiast dwie pary wiązek

Ramana zawierają wkład od czwartej współrzędnej w postaci δk(n)j = 1/2(δk(n)x + δk

(n)y +

√

(2)δk(n)z ).

W tym przypadku dla aw = 1/5 oraz s = 1 powinniśmy wybrać δk(1)x = 2π · 3/5,δk

(1)y = π oraz δk(2)z = 3

√2π aby otrzymać analogiczny hamiltonian jak z równania (4.1.24).

Przekaz pędu w kierunku y, tj. δk(1)y = π pozostawiliśmy niezerowy aby uniknąć zaniku

amplitudy Jeffy , która zależy od funkcji Bessela pierwszego rzędu. Niemniej jednak taki

wybór nie zmienia jakościowo naszych rozważań.

4.3.4 Perspektywy

Niniejszy zarys projektu realizacji eksperymentalnej może zostać rozszerzony o nowe

schematy realizacji trójwymiarowej sieci Bravais z bazą, które byłyby prostsze z ekspery-

mentalnego punktu widzenia. W tym celu należałoby zbadać zachowanie układu uwzględ-

niając możliwość tunelowania między kolejnymi najbliższymi sąsiadami w kierunku w,

ponieważ geometria układu zapewnia taką możliwość, o ile nie zastosujemy sieci z wyrzeź-

bionymi odpowiednio minimami potencjału, opisanymi w punkcie 4.3.2. Kolejną kwestią,

którą należałoby dokładnie zbadać są amplitudy współczynników tunelowań. Przyjęli-

śmy bowiem, że δω(2) jest całkowitą wielokrotnością δω(1) dla ułatwienia obliczeń. Nie-

113

4.4. Podsumowanie

mniej jednak możliwe jest wykonanie obliczeń numerycznych dla niecałkowitych krotności

i sprawdzenie, czy taka konfiguracja zapewnia otrzymanie odpowiednich strumieni pola

magnetycznego. Całkowite wielokrotności bowiem mogą prowadzić do innych sprzężeń w

układzie i generacji niechcianych strumieni.

4.4 Podsumowanie

Niniejszy rozdział dotyczy kwantowego efektu Halla w czterech wymiarach przestrzen-

nych, w którym pasma energetyczne układu przejawiają topologiczne własności, w szcze-

gólności scharakteryzowane są niezmiennikiem topologicznym tzw drugą liczbą Cherna.

Okazuje się jednak, że do tej pory brakowało w literaturze efektywnej metody jej wyli-

czania. W przypadku gdy model czterowymiarowy powstaje z dwóch niezależnych modeli

dwuwymiarowych, istnieje analityczna metoda wyznaczania wartości tego niezmiennika.

W ogólności jednak wyznaczenie drugiej liczby Cherna w ten sposób jest niemożliwe i

pojawia się potrzeba zastosowania efektywnego algorytmu, dzięki któremu można byłoby

scharakteryzować pasma dowolnego układu typu kwantowego efektu Halla. W pracy przed-

stawiliśmy schemat działania takiego algorytmu oraz przykłady jego zastosowania. Sama

konstrukcja oparta jest na znanej w teorii cechowania na sieciach metodzie linków, która

pozwala na zbudowanie wielkości niezmienniczych ze względu na cechowanie. W ten sposób

możliwe jest wyznaczenie takich wielkości jak krzywizna Berry’ego w komórce podstawowej

strefy Brillouina. W niniejszej pracy pokazaliśmy, że opracowany przez nas algorytm jest

zbieżny do właściwej całkowitej wartości drugiej liczby Cherna jak dk2, gdzie dk określa

dyskretyzację strefy Brillouina. Następnie przedstawiamy szkic propozycji realizacji ekspe-

rymentalnej czterowymiarowego efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Idea

polega na skonstruowaniu trójwymiarowej sieci, w której sąsiadujące oczka są połączone

lokalnymi minimami potencjału, dzięki czemu tunelowania redukują się do najbliższych

sąsiadów. Jest to o tyle ważne, że oczka bazy są umieszczone pod kątem 45, co może po-

wodować niechciane przeskoki między oczkami bazy. Niemniej jednak projekt ten wymaga

dodatkowych badań, a przedstawione wyniki potrzebują ulepszenia i weryfikacji.

114

Podsumowanie

W niniejszej rozprawie doktorskiej zaprezentowane zostały efekty topologiczne, do któ-

rych należą jednowymiarowe ciemne solitony, dwuwymiarowe wiry, a także kwantowy efekt

Halla, oraz sztuczne pola cechowania generowane przez falę zanikającą, które można efek-

tywnie badać w zimnych gazach atomowych.

Rozważania otwiera najniżej wymiarowy topologiczny defekt - ciemny soliton umiesz-

czony w słabym zewnętrznym potencjale przypadkowym. Rozważania zostały podzielone

na dwie części: opis klasyczny oraz kwantowy. Opis klasyczny dotyczy analizy stacjonar-

nego rozwiązania równania Grossa-Pitajewskiego oraz wpływu potencjału przypadkowego

na kształt solitonu. Zastosowaliśmy w tym celu dwie metody: podejście Bogoliubova oraz

rozwinięcie perturbacji funkcji falowej w stany własne potencjału Pöschl-Tellera. Obie

metody prowadzą do takich samych wyników, jednak rozwinięcie w mody Pöschl-Tellera

okazuje się być wygodniejsze i pozwala otrzymać prostą formę zaburzenia solitonu w postaci

jądra całkowego. Porównanie metod perturbacyjnych z wynikami numerycznymi pokazuje

zadziwiająco dobrą zgodność nawet dla potencjałów o amplitudzie rzędu potencjału che-

micznego. Jeśli natomiast rozpatrujemy słaby zewnętrzny potencjał, to deformacja solitonu

okazuje się być zaniedbywalnie mała. Z kolei podejście Bogoliubova jest nieocenionym na-

rzędziem w opisie kwantowym, w którym interesują nas wielociałowe stany własne układu.

Wyniki otrzymane w opisie klasycznym dotyczące deformacji solitonu w zewnętrznym po-

tencjale przypadkowym, pozwoliły nam wysunąć wniosek, że słaby zewnętrzny potencjał

wpływa nieznacznie na kształt ciemnego solitonu. Wynik ten okazuje się pomocny przy

kwantowym opisie, w którym można pominąć sprzężenie położenia ciemnego solitonu z

rezerwuarem fononów, a położenie ciemnego solitonu może być opisane efektywnym ha-

miltonianem. Ze względu jednak na sprzężenie pomiędzy stopniem swobody związanym z

położeniem solitonu z podukładem kwazicząstek, zlokalizowane stany mogą rozpadać się

poprzez emisję fononu. Wyznaczyliśmy czasy życia stanów zlokalizowanych andersonow-

sko i okazuje się, że dla typowych eksperymentalnych warunków są one dłuższe niż typowy

czas życia kondensatu. Dzięki temu możliwa jest eksperymentalna realizacja lokalizacji

115

Podsumowanie

ciemnego solitonu.

Kolejny rozdział pracy został poświęcony generacji sztucznego pola magnetycznego w

chmurze zimnych atomów, a w konsekwencji zahaczał o tematykę wirów pojawiających się

w kondensacie w wyniku obecności sztucznego pola magnetycznego. Przeszliśmy w tym

przypadku do dwóch wymiarów przestrzennych i rozważaliśmy atomy, które poruszały się

wolno w obecności fali zanikającej. W celu teoretycznego opisu zachowania ultrazimnej

chmury atomowej skorzystaliśmy z formalizmu przybliżenia adiabatycznego, które pozwo-

liło nam wyznaczyć geometryczne potencjały odczuwane przez atomy, tj. potencjał wekto-

rowy A i skalarny W . Dzięki temu byliśmy w stanie stworzyć warunki, w których neutralne

atomy zachowywały się jak cząstki naładowane w polu magnetycznym. Fala zanikająca

okazała się być odpowiednia do tych celów, ponieważ posiada duży gradient amplitudy i

fazy, które są kluczowe dla osiągnięcia silnych pól magnetycznych. Przedstawione zostały

trzy konfiguracje prowadzące do powstania sztucznych pól magnetycznych. Pierwsza z nich

bazuje na fali zanikającej wytworzonej przez pojedynczą falę płaską, dostrojoną do ato-

mowego rezonansu. Zatem metoda ta może być zastosowana w atomach o długo żyjących

stanach. Ponadto pokazaliśmy, że kondensat Bosego-Einsteina umieszczony w zakresie

takiego pola, wykazuje niezerową cyrkulację, a więc obecność sztucznego pola magnetycz-

nego przejawia się powstaniem sieci wirów w ultrazimnej chmurze atomowej, będących

dwuwymiarowymi defektami topologicznymi. Okazuje się, że największą liczbę wirów ge-

nerują fale zanikające o kącie padania bardzo bliskim kątowi granicznemu dla całkowitego

wewnętrznego odbicia. W takim wypadku jednak należy wziąć pod uwagę realistyczny

gaussowski profil wiązki, który dla odpowiednio dobranych parametrów odtwarza przy-

bliżenie fali płaskiej. Dla realistycznych parametrów eksperymentalnych wyznaczyliśmy

liczbę wirów, a następnie przeprowadziliśmy symulacje numeryczne, które potwierdziły

nasze szacowania. Trzecia konfiguracja dotyczyła atomu trójpoziomowego typu Λ, gdzie

do wytworzenia sztucznego pola magnetycznego użyte zostały dwie wiązki - jedna tworząca

falę zanikającą, a druga propagująca się w próżni równolegle do pryzmatu. Atomy przy-

gotowane w ciemnym stanie ubranym, który rozsprzęga się ze stanem wzbudzonym, nie

ulegają procesowi emisji spontanicznej, a więc w eksperymencie mogą brać udział atomy

metali alkalicznych takich jak np. rubid 87Rb. Metodę generacji sztucznego pola dla

tej konfiguracji zastosowaliśmy w zimnych gazach atomowych o temperaturze wyższej niż

krytyczna dla kwantowej degeneracji, a więc 1µK i 10µK. Obecność pola magnetycznego

wpływa na ruch chmury atomów, która zostaje uwolniona z pułapki magnetooptycznej i

spada na powierzchnię pryzmatu. Ponadto pokazaliśmy, że efekt ten może być obserwo-

wany doświadczalnie w zakresie parametrów osiągalnych we współczesnych laboratoriach.

116

Podsumowanie

Ostatnia część pracy dotyczy kwantowego efektu Halla w czterech wymiarach prze-

strzennych, w którym pasma energetyczne układu przejawiają topologiczne własności,

w szczególności scharakteryzowane są niezmiennikiem topologicznym tzw drugą liczbą

Cherna. Okazuje się jednak, że do tej pory brakowało w literaturze efektywnej metody jej

wyliczania. W przypadku gdy model czterowymiarowy powstaje z dwóch prostopadłych

i niezależnych do siebie modeli dwuwymiarowych, istnieje analityczna metoda wyznacza-

nia wartości tego niezmiennika. W ogólności jednak wyznaczenie drugiej liczby Cherna

w ten sposób jest niemożliwe i pojawia się potrzeba zastosowania efektywnego algorytmu,

dzięki któremu można byłoby scharakteryzować pasma dowolnego układu typu kwanto-

wego efektu Halla. W rozprawie doktorskiej przedstawiliśmy schemat działania takiego

algorytmu oraz przykłady jego zastosowania. Sama konstrukcja oparta jest na znanej w

teorii cechowania na sieciach metodzie linków, która pozwala na zbudowanie wielkości nie-

zmienniczych ze względu na cechowanie. W ten sposób możliwe jest wyznaczenie takich

wielkości jak krzywizna Berry’ego w komórce podstawowej strefy Brillouina. W niniejszej

pracy pokazaliśmy, że opracowany przez nas algorytm jest zbieżny do właściwej całkowitej

wartości drugiej liczby Cherna jak dk2, gdzie dk określa dyskretyzację strefy Brillouina.

Następnie przedstawiamy szkic propozycji realizacji eksperymentalnej czterowymiarowego

efektu Halla w trójwymiarowej sieci Bravais z bazą. Idea polega na skonstruowaniu trój-

wymiarowej sieci, w której sąsiadujące oczka są połączone lokalnymi minimami potencjału,

dzięki czemu tunelowania redukują się do najbliższych sąsiadów. Jest to o tyle ważne, że

oczka bazy są umieszczone pod kątem 45, co może powodować niechciane przeskoki między

oczkami bazy. Niemniej jednak projekt ten wymaga dodatkowych badań, a przedstawione

wyniki potrzebują ulepszenia i weryfikacji.

117

Bibliografia

[1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman, E. A. Cornell,

Science 269, 198–201 (1995)

[2] K. B. Davis, M. O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D. M.

Kurn, W. Ketterle. Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995)

[3] C. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, R. G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687

(1995)

[4] L. de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta (Researches on the quantum

theory), Thesis, Paris, 1924, Ann. de Physique (10) 3, 22 (1925)

[5] A. Imamoglu, R. J. Ram, S. Pau, Y. Yamamoto, Phys. Rev. A 53, 4250–4253 (1996)

[6] H. Deng, H. Haug, Y. Yamamoto, Rev. Mod. Phys. 82, 1489 (2010)

[7] T. Byrnes, N. Y. Kim, Y. Yamamoto, Nature Physics 10, 803 (2014)

[8] J. Kasprzak, et al., Nature 443, 409-414 (2006)

[9] Cheng Chin, R. Grimm, P. Julienne, E. Tiesinga, Rev. Mod. Phys. 82, 1225–1286

(2010)

[10] S. Inouye, M. R. Andrews, J. Stenger, H.-J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn, W.

Ketterle, Nature 392, 151–154 (1998)

[11] H. J. Metcalf, P. van der Straten, JOSA B 20, 887-908 (2003)

[12] M. Lewenstein, A. Sanpera, V. Ahufinger, B. Damski, A. Sen De, U. Sen, Adv. Phys

56, 243 (2007)

[13] I. Bloch, J, Dalibard, M. Zwerger, Rev. Mod. Phys. 80, 885 (2008)

[14] G. Roati, et al., Nature 453, 895-898 (2008)

119

BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA

[15] R. Gommers, S. Denisov, F. Renzoni, Phys. Rev. Lett. 96, 240604 (2006)

[16] T. Schulte, S. Drenkelforth, J. Kruse, R. Tiemeyer, K. Sacha, J. Zakrzewski, M.

Lewenstein, W. Ertmer, J. J. Arlt, New J. Phys. 8, 230 (2005)

[17] D. Clément, et al., Phys. Rev. Lett. 95, 170409 (2005)

[18] A. Görlitz, et al., Phys. Rev. Lett. 87, 130402 (2001)

[19] R. P. Feynman, International Journal of Theoretical Physics 21, 467 (1982)

[20] I. Buluta, F. Nori, Science 326, 108 (2009).

[21] I. Bloch, J. Dalibard, S. Nascimbene, Nature Physics 8, 267–276 (2012)

[22] V. Bretin, S. Stock, Y. Seurin J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 92, 050403 (2004)

[23] V. Schweikhard, I. Coddington, P. Engels, V. P. Mogendorff, E. A. Cornell, Phys.

Rev. Lett. 92, 040404 (2004)

[24] M. A. Baranov, K. Osterloh, M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 94, 070404 (2005)

[25] J. Ruostekoski, G. V. Dunne, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 88, 180401 (2002)

[26] D. Jaksch, P. Zoller, New J. Phys. 5, 56 (2003)

[27] G. Juzeliunas, P. Öhberg, Optical Manipulation of Ultracold Atoms w: Structured

Light and its Applications, ed. D.L. Andrews (Elevier, Amsterdam), pp. 295-333

(2008)

[28] J. Dalibard, F. Gerbier, G.Juzeliunas, P. Öhberg , Rev. Mod. Phys. 83, 1523 (2011)

[29] K. J. Gönter, M. Cheneau, T. Yefsah, S. P. Rath, J. Dalibard , Phys. Rev. A 79,

011604(R) (2009)

[30] N. Goldman, G. Juzeliunas, P. Ohberg, I. B. Spielman, Rep. Prog. Phys. 77 126401

(2014)

[31] N. Barberan, D. Dagnino, M. A. García-March, A. Trombettoni, J. Taron, M. Le-

wenstein, New J. Phys. 17, 125009 (2015)

[32] Fuxiang Li, L. B. Shao, L. Sheng, D. Y. Xing, Phys. Rev. A 78, 053617 (2008);

[33] D. R. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976)

120


[34] M. Aidelsburger, M. Atala, M. Lohse, J. T. Barreiro, B. Paredes, I. Bloch, Phys.

Rev. Lett. 111, 185301 (2013)

[35] H. Miyake, G. A. Siviloglou, C. J. Kennedy, W. C. Burton, W. Ketterle, Phys. Rev.

Lett. 111, 185302 (2013)

[36] W. Hofstetter, J. I. Cirac, P. Zoller, E. Demler, M. D. Lukin, Phys. Rev. Lett. 89,

220407 (2002)

[37] A. Klein, D. Jaksch, Phys. Rev. A bf 73, 053613 (2006)

[38] M. Z. Hasan, C. L. Kane, Rev. Mod. Phys. 82, 3045 (2010)

[39] X.-L. Qi, S.-Ch. Zhang, Rev. Mod. Phys. 83, 1057 (2011)

[40] B. A. Bernevig, T. L. Hughes, Topological Insulators and Topological Superconduc-

tors, Princeton University Press (2013)

[41] A, J. Leggett, Rev. Mod. Phys. 73, 307 (2001).

[42] C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge

University Press 2002

[43] L.P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961); E.P. Gross, Nuovo Cimento 20,

454 (1961).

[44] Y. Castin, Coherent atomic matter waves, Les Houches Session LXXII, Springer,

Berlin Heidelberg New York 2001

[45] N. Manton, P. Sutcliffe, Topological solitons, Cambridge University Press 2007

[46] A. del Campo, W. H. Zurek, Int. J. Mod. Phys. A 29, 1430018 (2014)

[47] N. D. Mermin, Rev. Mod. Phys. 51, 591 (1979)

[48] A. Vilenkin, E. P. S. Shellard, Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cam-

bridge University Press 2000

[49] P. G. Drazin, R. S. Johnson, Soliton: an introduction, Cambridge University Press

1989

[50] S. Ryu, A. Schnyder, A. Furusaki, A. Ludwig, New J. Phys. 12, 065010 (2010)

121


[51] A. P. Schnyder, S. Ryu, A. Furusaki, A. W. W. Ludwig, Phys. Rev. B 78, 195125

(2008)

[52] Ch.-K. Chiu, H. Yao, S. Ryu, Phys. Rev. B 88, 075142 (2013)

[53] R.-J. Slager, A. Mesaros, V. Juričić, J. Zaanen, Nature Physics 9, 98–102 (2013)

[54] K. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494–497 (1980)

[55] E. Hall, American Journal of Mathematics 2, 287–92 (1879)

[56] R. B. Laughlin, Phys. Rev. B. 23, 5632–5633 (1981)

[57] B. I. Halperin, Phys. Rev. B 25, 2185 (1982)

[58] N. Byers, C. N. Yang, Phys. Rev. Lett. 7, 46 (1961)

[59] Nieopublikowana Praca Magisterska pt. „Deformacja ciemnego soli-

tonu w kondensacie Bosego-Einsteina”, którą można znaleźć na stronie

http://chaos.if.uj.edu.pl/AOD/theses/m.mochol.m.pdf

[60] M. Mochol, M. Płodzień, K. Sacha, Physical Review A 85, 023627 (2012)

[61] J. Dziarmaga, Phys. Rev. A 70, 063616 (2004)

[62] M. Lewenstein, L. You, Phys. Rev. Lett. 77, 3489 (1996)

[63] Y. Castin, R. Dum, Phys. Rev. A 57, 2008 (1998)

[64] K. Sacha, C. A. Müller, D. Delande, J. Zakrzewski, Phys. Rev. Lett. 103, 210402

(2009)

[65] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii, S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999)

[66] G. Pöschl, E. Teller, Z. Phys. 83, 143 (1933)

[67] C. Müller, Appl. Phys. B 102, 459 (2011)

[68] J. Lekner, Am. J. Phys. 75, 1151 (2007)

[69] P. W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492–1505 (1958)

[70] Y. Lai, H. A. Haus, Phys. Rev. A 40, 844 (1989)

[71] Y. Lai, H. A. Haus, Phys. Rev. A 40, 854 (1989)

122


[72] D. Delande1, K. Sacha, M. Płodzień, S. K. Avazbaev,4 J. Zakrzewski, New J. Phys.

15 045021 (2013)

[73] K. Sacha, D. Delande, J. Zakrzewski, Acta Physica Polonica A 116, 772 (2009)

[74] J. Dziarmaga and K. Sacha, J. Phys. B, 39, 43 (2006)

[75] R. V. Mishmash, I. Danshita, C. W. Clark, and L. D. Carr, Phys. Rev. A 80, 053612

(2009)

[76] J. Dziarmaga, P. Deuar, and K. Sacha, Phys. Rev. Lett. 105, 018903 (2010)

[77] R. V. Mishmash, and L. D. Carr, Phys. Rev. Lett. 105, 018904 (2010)

[78] I.M. Lifshitz, S.A. Gredeskul, L.A. Pastur, Introduction to the Theory of Disordered

Systems (Wiley, New York, 1988)

[79] B. van Tiggelen, in Diffuse Waves in Complex Media, edited by J.-P. Fouque, NATO

Advanced Study Institutes, Ser. C, Vol. 531 (Kluwer, Dordrecht, 1999)

[80] S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer, K. Sengstock, A. Sanpera, G. V.

Shlyapnikov, M. Lewenstein, Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999)

[81] B. P. Anderson1, P. C. Haljan, C. A. Regal, D. L. Feder, L. A. Collins, C. W. Clark,

E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 86, 2926 (2001)

[82] C. Becker, S. Stellmer, P. Soltan-Panahi, S. Dörscher, M. Baumert, E.-M. Richter,

J. Kronjäger, K. Bongs, aK. Sengstock, Nature Physics 4, 496 (2008)

[83] S. Stellmer, C. Becker, P. Soltan-Panahi, E.-M. Richter, S. Dörscher, M. Baumert,

J. Kronjäger, K. Bongs, K. Sengstock, Phys. Rev. Lett. 101, 120406 (2008)

[84] A. Weller, J. P. Ronzheimer, C. Gross, J. Esteve, and M. K. Oberthaler, D. J.

Frantzeskakis, G. Theocharis, P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. Lett. 101, 130401 (2008)

[85] I. Shomroni, E. Lahoud, S. Levy, J. Steinhauer, Nature Physics 5, 193 (2009)

[86] M. Mochol, K. Sacha, Sci. Rep. 5, 7672 (2015)

[87] G. Floquet, Ann. École Norm. Sup. 12, 47 (1883)

[88] J. H. Shirley, Phys. Rev. 138, B979 (1965)

123


[89] Y. B. Zel’dovich, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 51, 1492 (1966) [Sov. Phys. JETP 24, 1006

(1967)]

[90] R. Grimm, M. Weidemüller, Y. B. Ovchinnikov, Adv. At. Mol. Opt. Phy 42, 95-170

(2000)

[91] E. Arimondo, W.D. Phillips, F. Strumia, Laser Manipulation of Atoms and Ions,

Elsevier 1993

[92] T. Kato, Journal of the Physical Society of Japan 5, 435–439 (1950)

[93] D. Chruściński, A. Jemiołkowski, Geometric phases in classical and quantum mecha-

nics, Springer Science and Business Media 2012

[94] M. V. Berry, Proc. R. Soc. A 392, 45 (1984)

[95] N. Hinkley, et al., Science 341, 1215 (2013)

[96] M. Cheneau, et al., Europhys. Lett. 83, 60001 (2008)

[97] R. A. Cornelussen, A. H. van Amerongen, B. T. Wolschrijn, R. J. C. Spreeuwa, H.

B. van Linden van den Heuvell, Eur. Phys. J. D 21, 347-351 (2002)

[98] H. J. Rothe, Lattice Gauge Theories: An Introduction, World Scientific Lecture Notes

in Physics - Vol. 74 (1992)

[99] M. Fleischhauer, A. Imamoglu, J. P. Marangos, Rev. Mod. Phys. 77, 633 (2005)

[100] J. Fiutowski, D. Bartoszek-Bober, T. Dohnalik, T. Kawalec, Opt. Commun. 297, 59

(2013)

[101] N. Westbrook, et al., Phys. Scr. T78, 7 (1998)

[102] H. Bender, P. W. Courteille, C. Zimmermann, S. Slama, Appl. Phys. B 96, 275-279

(2009)

[103] J. I. Gillen, et al., Phys. Rev. A 80, 021602(R) (2009)

[104] R. A. Cornelussen, A. H. van Amerongen, B. T. Wolschrijn, R. J. C. Spreeuwa, H.

B. van Linden van den Heuvell, Eur. Phys. J. D 21, 347-351 (2002)

[105] A. Sidorov, P. Hannaford, From Magnetic Mirrors to Atom Chips w J. Reichel, V.

Vuletić (eds.), Atom Chips, Wiley 2011 (ISBN 978-3-527-40755-2).

124


[106] S.-Ch. Zhang, J.-P. Hu, Science 294, 823 (2001)

[107] Y. E. Kraus, Z. Ringel, O. Zilberberg, Phys. Rev. Lett. 111, 226401 (2013)

[108] H. M. Price, O. Zilberberg, T. Ozawa, I. Carusotto, N. Goldman, Phys. Rev. Lett.

115, 195303 (2015)

[109] M. Mochol-Grzelak, A. Dauphin, A. Celi, M. Lewenstein, w przygotowaniu

[110] F. Bloch, Z. Phys. 52, 555–600 (1928)

[111] G. H. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937)

[112] G. H. Wannier, Rev. Mod. Phys. 34, 645 (1962)

[113] R. Peierls, Z. Phys 80, pp. 763–791 (1933)

[114] J. M. Luttinger, Phys. Rev. 84, 814 (1951)

[115] W. Kohn, Phys. Rev. 115, 1460 (1959)

[116] E. I. Blount, Phys. Rev. 126, 1636 (1962)

[117] G. H. Wannier, Rev. Mod. Phys. 34, 645 (1962)

[118] D. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976)

[119] Y. Hatsugai, Phys. Rev. Lett. 71, 3697 (1993)

[120] Y. Hatsugai, Phys. Rev. B 48, 11851 (1993)

[121] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, M. den Nijs, Phys. Rev. Lett. 49,

405 (1982)

[122] X.-L. Qi, T. Hughes, S.-Ch. Zhang, Phys. Rev. B 78, 195424 (2008)

[123] T. Fukui, Y. Hatsugai, H. Suzuki, J. Phys. Soc. Jpn. 74, 1674-1677 (2005)

[124] M. Lüscher, Commun. Math. Phys. 85, 39 (1982)

[125] A. Phillips, Ann. Phys. 161, 399 (1985)

[126] A. Phillips, D. Stone, Commun. Math. Phys. 103, 599 (1986)

[127] A. Phillips, D. Stone, Commun. Math. Phys. 131, 255 (1990)

125


[128] T. Fujiwara, H. Suzuki, K. Wu, Prog. Theor. Phys. 105, 789 (2001)

[129] Y. Hatsugai, T. Fukui, H. Aoki, Phys. Rev. B 74, 205414 (2006)

[130] J. M. Edge, J. Tworzydło, C. W. J. Beenakker, Phys. Rev. Lett. 109, 135701 (2012)

[131] C. Becker, P. Soltan-Panahi, J. Kronjager, S. Dorscher, K. Bongs, K. Sengstock, New

J. Phys. 12, 065025 (2010)

[132] G.-B. Jo, J. Guzman, C. K. Thomas, P. Hosur, A. Vishwanath, D. M. Stamper-Kurn,

Phys. Rev. Lett. 108, 045305 (2012)

[133] L. Santos, M. A. Baranov, J. I. Cirac, H.-U. Everts, H. Fehrmann, M. Lewenstein,

Phys. Rev. Lett. 93, 030601 (2004)

[134] A. Eckardt, C. Weiss, M. Holthaus, Phys. Rev. Lett. 95, 260404 (2005)

[135] K. Sacha, K. Targońska, J. Zakrzewski, Phys. Rev. A 85, 053613 (2012)

[136] J. Struck, Ch. Ölschläger, R. Le Targat, P. Soltan-Panahi, A. Eckardt, M. Lewenstein,

P. Windpassinger, K. Sengstock, Science 333, 996 (2011)

[137] J. Struck, Ch. Ölschläger, M. Weinberg, P. Hauke, J. Simonet, A. Eckardt, M. Le-

wenstein, K. Sengstock, P. Windpassinger, Phys. Rev. Lett. 108, 225304 (2012)

[138] A. R. Kolovsky, Europhys. Lett. 93, 20003 (2011)

[139] W. S. Bakr, J. I. Gillen, A. Peng, S. Fölling, M. Greiner, Nature 462, 74-77 (2009)

126

Podziękowania

Prawdopodobnie słowa nie będą w stanie wyrazić ogromu wdzięczności, jaki odczuwam

w stosunku do wielu osób, które odegrały dla mnie bardzo ważną rolę podczas studiów

doktoranckich i pisania niniejszej pracy.

Chciałabym w szczególności bardzo podziękować prof. dr hab. Krzysztofowi Sacha.

Tak naprawdę za wszystko, co dla mnie zrobił podczas tych sześciu lat naszej współpracy.

Będąc promotorem oraz opiekunem naukowym dwóch bardzo ważnych etapów mojej edu-

kacji, tj. magisterium i doktoratu stanowił dla mnie zawsze podporę w chwilach zwątpienia

i słabości, a jednocześnie potrafił inspirować i motywować do działania. Jestem ogrom-

nie wdzięczna za poświęcony czas, za wyrozumiałość, zaangażowanie w nasze badania, za

bezcenne rady, mądrość i doświadczenie, którymi zawsze chętnie się dzielił, za bycie moim

„dobrym duchem”, który czujnym okiem spoglądał na moje działania i kierował na właściwe

ścieżki, ale również za miłą, koleżeńską atmosferę podczas wspólnej pracy.

I am also very grateful to my coworkers and colleagues at ICFO, especially dr. Ale-

xandre Dauphin, dr. Alessio Celi and prof. Maciej Lewenstein for stimulating discussions

and fruitful cooperation. It was a great pleasure and honour for me to work with you.

Chciałabym również serdecznie podziękować pracownikom i doktorantom z Zakładu

Optyki Atomowej UJ, z którym byłam związana przez ostatnie kilka lat, za niepowta-

rzalną atmosferę w pracy będącą mieszanką śmiechu, koleżeństwa i bezinteresownej po-

mocy. W szczególności ogromne wyrazy uznania należą się kierownikowi naszego zakładu,

prof. Jakubowi Zakrzewskiemu, którego uśmiech i cięty dowcip potrafiły niejednokrot-

nie rozproszyć wszystkie ciemne chmury, które zbierały się nade mną od czasu do czasu.

Dziękuję serdecznie pani Danusi Myrek za administracyjną opiekę nad grantami, ciągłe

dążenie do tego, aby wszystko było jak najlepsze, ale przede wszystkim za życzliwość i

ciepło, które promieniuje z jej usposobienia. Wyrazy wdzięczności składam również dr

Romanowi Marcinkowi, który zawsze był dla mnie niedoścignionym mistrzem w sprawach

komputerowych, wielokrotnie ratującym mnie z informatycznych opresji i zawsze cierpli-

wie odpowiadającym na moje pytania. Dziękuję również moim zakładowym koleżankom

Podziękowania

i kolegom doktorantom, w szczególności Andrzejowi, Arkowi, Jankowi, Marcinowi oraz

Mateuszowi za wiele wspólnie spędzonych godzin na uczelni i poza nią. Zdecydowanie

dodawaliście kolorów mojej krakowskiej rzeczywistości!

Pobyt w Krakowie podczas doktoratu z pewnością byłby dla mnie dużo trudniejszy,

gdyby nie obecność moich koleżanek i kolegów ze studiów, w szczególności Ady i Moniki,

które zawsze dodawały mi otuchy i rozśmieszały do łez. Nie sposób również pominąć:

Dawida, Grzesia, Izę i Rafała, Karola, Marcinów, Mariusza aka Mariana, Pawła i Pitera.

Dziękuję Wam za wiele lat stymulującej znajomości, przegadanych godzin i niezapomnia-

nych chwil!

W sposób wyjątkowy dziękuję mojej Rodzinie, w szczególności moim Rodzicom za

wsparcie i doping, których zawsze doświadczałam we wszystkim, co robiłam. Wasza wiara

we mnie i moje możliwości dodaje skrzydeł. Równie mocno dziękuję mojej Siostrze Iwonie

za natchnienie, inspirację do podejmowania wyzwań, zrozumienie bez słów oraz nieustanne

poszerzanie moich horyzontów. Serdecznie dziękuję również Babci Janie za aktywną obec-

ność w moim życiu i entuzjazm podczas naszych rozmów oraz Cioci Marysi i Wujkowi

Gienkowi za życzliwość, dobroć i ciche bycie przy mnie pomimo odległości.

Dziękuję z całego serca mojej nowej Rodzinie, w szczególności mojemu Mężowi Fili-

powi przede wszystkim za bezwarunkową miłość, która wszystko zwycięża, ale także za

pełną akceptację dla mojej decyzji oraz ogromną wyrozumiałość okazaną podczas mojego

doktoratu. Jestem ogromnie wdzięczna Mamie Bożence i Tacie Józefowi za stworzenie

mi prawdziwie rodzinnej atmosfery w Poznaniu, Asi za wyjątkowe chwile w Zamysłowie, a

także Tosi i Bartkowi z dzieciakami za elementy szaleństwa podczas niedzielnych obiadków.

Dziękuję również moim znajomym m. in. z Bielska-Białej i Poznania: Jadzi, Marysi

i Sebie, Magdzie, Agnieszce i Marcinowi, Mery i Stahowi, Gosi oraz znajomym z V LO

za wiele wspólnych lat i niezapomnianych przygód oraz miłą odskocznię od pracy, Beatce,

Margeni, Asi i Dominikowi, Julce i Angsarowi, Dorotce i Łukaszowi, a także Dagmarze i

Łukaszowi za serdeczną atmosferę i udział w naszym poznańskim życiu oraz Ani za kwiaty

we włosach i California dreamin’(!).

128

· Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytet Jagielloński Oświadczenie Ja...

Documents

Transcript of · Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytet Jagielloński Oświadczenie Ja...