Uniwersytet JagiellońskiWydział Filozoficzny

Instytut Filozofii

Marcin Łazarz

Kraty SytuacjiElementarnych

rozprawa doktorska napisana pod kierunkiemprof. dra hab. Jana Woleńskiego

Zakład Epistemologii

Kraków 2007

Spis treści

Wprowadzenie 30.1 Rzeczy i fakty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Tractatus logico-philosophicus Wittgensteina . . . . . . . . . . 80.3 Ontologia sytuacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Preliminaria 131.1 Podstawowe pojęcia algebraiczne . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Podstawowe pojęcia logiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Kraty Wolniewicza 252.1 Aksjomatyka BW-krat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Uwaga o aksjomatyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 Własności BW-krat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4 Hierarchia BW-krat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5 Zależności między aksjomatami . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.5.1 Zupełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.2 Rozdzielność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5.3 Atomistyczność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.4 Warunkowa dystrybutywność . . . . . . . . . . . . . . 432.5.5 Aksjomat (vii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.6 Aksjomat (viii) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.5.7 Aksjomat (ix) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Uogólnienia BW-krat 483.1 Operacja BW (·) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 T-kraty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 Rozdzielone kraty ilorazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1

4 Rozdzielone kraty sytuacji elementarnych. Semantyka 624.1 Relacja weryfikowania, własności podstawowe . . . . . . . . . 624.2 Relacja weryfikowania a forsing intuicjonistyczny . . . . . . . . 664.3 Semantyka krat rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4 Tautologie kraty a tautologie e-matrycy . . . . . . . . . . . . . 724.5 Weryfikatory, miejsca logiczne i obiektywy zdań . . . . . . . . 73

5 Pełność KRZ względem krat sytuacji elementarnych 785.1 Krata uniwersalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Twierdzenie o pełności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

dfdSkorowidz 86

Spis symboli 88

Bibliografia 90

2

jdjjjdjj

Wprowadzenie

Problematyka zawarta w niniejszej pracy mieści się w paradygmacie na-kreślonym przez Bogusława Wolniewicza w jego licznych pracach poświęco-nych ontologii sytuacji, przede wszystkim w [25] i [24]. Centralnym pojęciembadanym tutaj jest pojęcie sytuacji elementarnej, przy czym sytuacja ele-mentarna jest to dla nas dowolny element kraty sytuacji elementarnych. Takipunkt widzenia wymusił, iż treści tej pracy sformalizowane zostały w językuteorii krat. Posługujemy się ponadto językiem algebry uniwersalnej, teoriimnogości i logiki formalnej.

Niniejsze wprowadzenie przedstawia filozoficzne źródła problemów zwią-zanych z pojęciem sytuacji.

Rozdział 1 zawiera pojęcia i twierdzenia algebraiczno-logiczne wykorzy-stywane we właściwej części pracy.

W rozdziale 2 przedstawiono teorię BW-krat zbudowaną przez Wolniewi-cza: podano aksjomatykę oraz ważniejsze własności BW-krat, z głównym na-ciskiem na ich algebraiczną charakteryzację (sekcje 2.3, 2.4). Wykazano min.,że każda BW-krata związana jest jednoznacznie z pewną n-ką liczb kardy-nalnych, co umożliwiło zhierarchizowanie klasy BW-krat. Niemal wszystkietwierdzenia z tych sekcji pochodzą z prac [25], [24] lub są ich konsekwencjami.W sekcjach 2.2 i 2.5 omówiliśmy związki jakie zachodzą między aksjomatamidefiniującymi BW-kraty.

Rozdział 3 poświęcony jest pewnym kratom słabszym, które nazwaliśmy

3

T-kratami, a które pozostają w związku z BW-kratami za sprawą operacjiBW (·), która generuje różne klasy krat w zależności od tego, do jakiej dzie-dziny jest aplikowana.

W rozdziale 4, na gruncie krat sytuacji elementarnych, wprowadzono se-mantyczną relację weryfikowania zdania przez sytuację elementarną. Naj-pierw zbadano jej podstawowe własności (sekcja 4.1) i porównano z forsin-giem intuicjonistycznym (sekcja 4.2). W sekcji 4.3 sformułowano ontologicznywarunek równoważny regule modus ponens oraz wykazano, że każda tauto-logia KRZ jest weryfikowana przez element najmniejszy w dowolnej kracierozdzielonej. W sekcji kolejnej porównano dwa rodzaje tautologii kratowych,zaś w sekcji 4.5 omówiono ważne dla ontologii sytuacji pojęcia miejsca logicz-nego i obiektywu oraz wykazano, że obiektywy zdań formują algebrę Boole’a.

W ostatnim rozdziale 5 dowodzimy w kilku wariantach twierdzenia o peł-ności KRZ względem krat sytuacji elementarnych.

0.1 Rzeczy i fakty

W najszerszym ujęciu ontologia sytuacji jest pewną refleksją filozoficzną,która – jak sugeruje jej nazwa – traktuje pojęcie sytuacji jako centralne. Whistorii filozofii słowo ”sytuacja” padało często i to od samego początku; pa-dało tam gdzie była mowa o faktach, o bycie, o tym jak się rzeczy mają.Istnieją dwie główne intuicje związane z rozumieniem czym jest sytuacja.Po pierwsze, sytuacja to największy fragment świata opisywany przez ja-kieś zdanie. Z drugiej strony, sytuacja to najmniejszy fragment świata, który”sprawia”, że pewne zdanie jest prawdziwe, tzn. przysługuje mu wartość lo-giczna bycia prawdziwym. Pierwsze rozumienie wiąże się z przekonaniem, żezdania o czymś mówią, coś opisują, do czegoś się odnoszą; drugie, że zdaniejest bądź prawdziwe, bądź fałszywe, tertium non datur.

Już Platon w Sofiście zauważył następujący ”drobiazg” ([18], 262E-263B):

Gość: A jeszcze taki drobiazg.Teajtet : Jaki?Gość: Zdanie, jeżeli już jest, to musi czegoś dotyczyć, a nie może dotyczyćniczego.Teajtet : Tak.Gość: Nieprawdaż? I musi mieć pewną jakość?

4

Teajtet : Jakżeby nie?Gość: Więc uważajmy jeden na drugiego.Teajtet : No, trzeba.Gość: Więc ja ci powiem zdanie, zestawię rzecz z czynnością za pomocąrzeczownika i czasownika. A czego by to zdanie dotyczyło to ty mi powiedz.Teajtet : Będzie tak, ile możności.Gość: Teajtet siedzi. Chyba to niedługie zdanie?Teajtet : Nie. Takie w sam raz.Gość: Więc twoja rzecz powiedzieć, o czym ono jest i czego dotyczy.Teajtet : Jasna rzecz, że o mnie i mnie dotyczyGość: A co będzie z takim zdaniem?Teajtet : Z jakim?Gość: Teajtet, z którym ja teraz rozmawiam, lata.Teajtet : I o tym zdaniu nikt nie może powiedzieć inaczej, jak tylko to, że onodotyczy mnie i mówi o mnie.Gość: A mówimy, że każde zdanie musi mieć pewną jakość.Teajtet : Tak.Gość: A z tych dwóch zdań jaką każdemu trzeba przyznać jakość?Teajtet : Jedno z nich chyba fałszywe, a drugie prawdziwe.Gość: To prawdziwe z nich mówi o tobie coś tak, jak jest.Teajtet : No tak.Gość: A to fałszywe mówi coś innego, niż jest.Teajtet : Tak.

Z zacytowanego fragmentu nie można wyciągać zbyt dalekich wniosków:co prawda wg Platona zdanie ”Teajtet lata” czegoś dotyczy, ale wydaje siębardziej prawdopodobne, że tym czymś jest sam Teajtet, nie zaś sytuacja, żeTeajtet lata.

W tej materii podobne poglądy wydaje się mieć również Arystoteles. Wsłynnej definicji prawdy przyznał Arystoteles zdaniu dwie jakości: prawdzi-wość bądź fałszywość, natomiast w kwestii denotacji zdania nie sposób odna-leźć klarownych tez. Oczywiście komponenty zdań – nazwy – odnoszą się dorzeczy. Metafizycznym fundamentem tej relacji jest Arystotelesowska teoriasubstancji, czyli istoty rzeczy:

Substancją nazywamy zarówno ciała proste, jak ziemia, woda, ogień i wszel-kie ich odmiany, jak i w ogóle wszelkie ciała i rzeczy z nich złożone, zwierzętai dajmony i części ich ciał. To wszystko nazywa się substancją nie ze względuna to, że czemuś przysługuje, ale że wszystko inne ze względu na nie [jestnazywane]. ([2], 1017b 10-15)

5

Rzeczy mają swoje istoty, a więc wszystkie krzesła łączy jedna cecha:krzesłowatość. Nazwa ogólna ”krzesło” denotuje zatem zbiór tych i tylko tychobiektów, które są krzesłowate, natomiast zdanie ”Krzesło stoi w pokoju” nieopisuje żadnego fragmentu świata, a jedynie stwierdza, że pewnemu krzesłu(supozycja materialna) przysługuje pewna cecha. Dodajmy, że te poglądyontologiczne znalazły ścisły wyraz w Arystotelesowskiej sylogistyce.

W wiekach średnich w cieniu sporu o uniwersalia, toczyły się równieżdyskusje na temat znaczenia zdań. Nie wnikając w subtelne argumentacje,poprzestańmy na wyliczeniu trzech najbardziej klarownych stanowisk (por.[24], s. 229-235):

(A) Subiektywizm (Wilhelm Ockham). Wedle tej koncepcji znaczeniemzdania jest korespondująca z nim myśl, pojęta jako wytwór umysłu. Co wię-cej, zdanie posiada swoje odniesienie i jest nim ten sam stan umysłu, któ-ry towarzyszy poczuciu rozumienia zdania. Podkreślić należy, że stanowiskoto, każdemu zdaniu przypisuje znaczenie oraz odniesienie przedmiotowe, wszczególności zdaniom fałszywym i negatywnym (np. ”Pegaz nie istnieje”).

(B) Reizm (Piotr z Ailly). W świetle reizmu znaczenie zdania redukowalnejest do jego znaczących komponentów, a tymi są jedynie nazwy (indywidu-alne i ogólne). Nazwy mają też oczywiście swoje odniesienie przedmiotowe– są nimi rzeczy lub zbiory rzeczy. Odniesieniem zdania jest natomiast nicinnego, jak zbiór rzeczy denotowanych przez nazwy występujące w tym zda-niu. W konsekwencji reiści odmówili odniesienia przedmiotowego zdaniomfałszywym i negatywnym.

(C) Faktualizm (Grzegorz z Rimini). Według tego stanowiska odniesie-niem przedmiotowym zdań nie są stany umysłu ani rzeczy, lecz sposób wjaki rzeczy istnieją (non res, sed modus rei). Tak np. odniesieniem zdania”Sokrates biega” jest sposób w jaki aktualnie istnieje Sokrates, gdy biegnie.Zdanie jest jakby nazwą pewnego obiektu, który jednakowoż nie da się zredu-kować do rzeczy; tak np. zdanie ”Sokrates biega” odnosi się do tego samegoco quasi -nazwa ”bieganie Sokratesa”.

Skutkiem zmiany orientacji w filozofii nowożytnej, problem odniesieniazdań podzielił losy innych scholastycznych problemów i przez kilkaset lat po-zostawał w ukryciu, by dopiero pod koniec XIX wieku ujrzeć światło dzienne.Tym, który podjął ów problem na nowo był Gottlob Frege. W słynnym arty-kule Sens i znaczenie (por. [6]) Frege analizuje nazwy i zdania (najważniejszesyntaktyczne składniki języka) pod kątem ich sensu i znaczenia (Bedeutung).Należy dodać, iż termin ”znaczenie” Frege rozumie jako to, do czego nazwalub zdanie się odnosi, to co denotuje.

6

Nie będziemy omawiać Fregowskiej teorii nazw. To co dla nas istotneto to, że Frege przyznaje zdaniu zarówno sens jak i znaczenie (denotację).Sensem zdania jest myśl, którą to zdanie wyraża, ale nie jest to myśl pojętasubiektywistycznie (jako wytwór umysłu, jak chciał Ockham), ale jest toobiektywna jej treść: ”Myśli nie są w procesie myślenia wytwarzane, leczjedynie ujmowane; są to twory od wszelkiej psychiki niezależne (...)” ([28], s.XII).

Dalej Frege zapytuje co jest znaczeniem zdania i po subtelnej argumenta-cji dochodzi do wniosku, że tym do czego zdanie się odnosi jest Prawda orazFałsz, rozumiane jako obiekty. Frege pisze ([6], s. 70):

W ten sposób dochodzimy do uznania wartości logicznej zdania za jego zna-czenie. Przez wartość logiczną zdania rozumiem okoliczność, że jest ono praw-dziwe, lub że jest fałszywe. Innych wartości logicznych nie ma. Jedną z nichnazywam krótko Prawdą, a drugą Fałszem.

Przytoczmy jeszcze stanowisko Jana Łukasiewicza z pracy z 1920 roku,dobitnie wyrażające pogląd Fregego (cyt. za B. Wolniewicz, zob. [6], s. 71,przyp. 31):

Dwa różne zdania prawdziwe np. «2 razy 2 jest 4» i «Warszawa leży nadWisłą», różnią się tylko swą treścią, oznaczają zaś ten sam przedmiot, to jestprawdę, tak jak wyrażenia «2 razy 2» i «3 więcej 1» różnią się tylko swątreścią, oznaczają zaś ten sam przedmiot, to jest liczbę 4. Wszystkie zda-nia prawdziwe oznaczają jeden i ten sam przedmiot, mianowicie prawdę, awszystkie zdania fałszywe oznaczają jeden i ten sam przedmiot, mianowiciefałsz. Prawdę i fałsz uważam za przedmioty w tem samem znaczeniu jednost-kowe, co liczby 2 lub 4. Mamy tyle różnych nazw jednej tylko prawdy, ile zdańprawdziwych, i tyle różnych nazw jednego tylko fałszu, ile zdań fałszywych.Ontologicznie prawdzie odpowiada byt, fałszowi niebyt.

Do poglądów Fregego często jeszcze będziemy się odwoływać, natomiastteraz scharakteryzujmy pokrótce koncepcję Alexiusa Meinonga. Meinong za-stanawiając się co jest przedmiotem negatywnego sądu ”Nie doszło do żad-nych niepokojów”, stwierdził, że z jednej stony jest to pewien obiekt, mia-nowicie niepokoje, do których właśnie nie doszło, a z drugiej strony jest topewien fragment rzeczywistości (tzw. obiektyw), mianowicie fakt, że nie do-szło do żadnych niepokojów. W [11] (s. 49) czytamy:

7

Obiekt pokrywa się tutaj z tym co osądzane, obiektyw z tym, co jest stwier-dzane. W tej mierze sąd ma więc nie jeden przedmiot, lecz takie dwa, zktórych każdy miałby zatem prawo nazywać się «przedmiotem sądu».

Oczywistością jest, iż własność posiadania obiektywu nie jest jedynie spra-wą poznania negatywnego, ale każdy sąd (w tym sąd fałszywy) przedstawiajakiś obiekt i jakiś obiektyw. Stanowisko Meinonga jest w tym sensie uogólnie-niem teorii Fregego, którą otrzymujemy z teorii Meinonga przyjmując extrapostulat, że istnieją tylko dwa obiektywy. Należy jednak dodać, że w przeci-wieństwie do Fregego, Meinong nie postawił pytania o to, jaki jest związekobiektywu zdania złożonego z obiektywami zdań prostych występujących wtamtym (por. [24], s. 236), przez co treści logiczne jego teorii nie dorównujątreściom teorii Fregego.

0.2 Tractatus logico-philosophicus Wittgen-steina

Pomysły semantyczne Fregego i Meinonga zaowocowały oryginalną i dojrzałąteorią wyłożoną w książce Tractatus logico-philosophicus autorstwa LudwigaWittgensteina. Autor już w pierwszym zdaniu daje dobitnie do zrozumienia,iż zrywa ze stanowiskiem Arystotelesowskim, wedle którego świat to zbiórrzeczy i relacje między nimi; czytamy (por. [23]):

1 Świat jest wszystkim, co jest faktem.1.1 Świat jest ogółem faktów, nie rzeczy.1.11 Świat jest wyznaczony przez fakty oraz przez to, że są to wszystkie fakty.1.2 Świat rozpada się na fakty.

Dalej, Wittgenstein dokonuje zanurzenia faktów, a więc i świata w sferęmożliwości:

1.13 Światem są fakty w przestrzeni logicznej.

Termin ”przestrzeń logiczna” jest ważnym pojęciem ontologii Wittgensteina,a należy ją rozumieć jako zbiór możliwych konfiguracji stanów rzeczy. Stanyrzeczy są to natomiast ”twory tylko możliwe: jedne z nich są rzeczywiste,drugie urojone. Pierwsze występują w świecie jako «fakty pozytywne», drugiejako «fakty negatywne»” ([26], s. XIV). Przy tych wyjaśnieniach stają sięlepiej zrozumiałe następujące tezy:

8

2.04 Ogół istniejących stanów rzeczy jest światem.2.05 Ogół istniejących stanów rzeczy wyznacza też, jakie stany rzeczy nieistnieją.2.06 Istnienie i nieistnienie stanów rzeczy jest rzeczywistością.

Wobec powyższego, jest oczywiste, że pojęcie stanu rzeczy jest ogólniejszeod pojęcia faktu, z czego wynika, że żadna formalizacja idei Traktatu niemoże obrać pojęcia fakt za pojęcie pierwotne. Na kwestię tę uwagę zwróciłBertrand Russell jeszcze w roku 1919, jednakowoż odpowiedź jaką usłyszałod Wittgensteina była dosyć wymijająca (por. [27], s. 170, przyp. 13).

Wszystkie tezy, o których była dotychczas mowa są stricte ontologiczne;powiązanie języka ze światem Wittgenstein ujmuje w tezie 4 i jej rozwinię-ciach:

4.021 Zdanie jest obrazem rzeczywistości. Albowiem rozumiejąc je, znamprzedstawianą przez nie sytuację.4.023 Zdanie jest opisem pewnego stanu rzeczy.4.024 Rozumieć zdanie, znaczy wiedzieć, co jest faktem, gdy jest prawdziwe.4.031 Zamiast mówić: to zdanie ma ten a ten sens, można by rzec: to zdanieprzedstawia tę a tę sytuację.4.04 W zdaniu musi się dać wyróżnić akurat tyle, co w przedstawianej przeznie sytuacji.

Założeniem, które odgrywa w filozofii Wittgensteina szczególną rolę, jesttzw. atomizm logiczny, czyli teza która głosi, iż istnieją sytuacje proste –najmniejsze fragmenty świata. Okazuje się ponadto, że sytuacje proste to nicinnego jak stany rzeczy. Wyrazem tego poglądu jest wspomniana już teza 1.2oraz teza:

1.21 Jedno może być faktem lub nie być, a wszystko inne pozostać takiesamo.

Ponadto, wszystkie sytuacje proste (stany rzeczy) oraz niektóre sytuacje zło-żone są niezależne od siebie. Tezę tę Wittgenstein wyraża w dwóch wersjach:ontologicznej i semantycznej:

2.061 Stany rzeczy są od siebie niezależne.2.062 Z istnienia lub nieistnienia jednego stanu rzeczy nie można nic wnosićo istnieniu lub nieistnieniu drugiego.4.211 Jest oznaką zdania elementarnego, że żadne zdanie elementarne nie

9

może być z nim sprzeczne.5.134 Ze zdania elementarnego nie da się wnioskować żadnego innego.

Na koniec tego krótkiego przeglądu tez Traktatu podsumujmy semantykęWittgensteina następującym schematem (por. [27], s. 95):

zdanie 7−→ sytuacja możliwazdanie elementarne 7−→ sytuacja możliwa prosta (stan rzeczy)

zdanie prawdziwe 7−→ faktzdanie elementarne prawdziwe 7−→ fakt atomowy.

0.3 Ontologia sytuacji

Tractatus logico-philosophicus wywarł mocny wpływ na dwóch autorów pol-skich: Romana Suszkę i Bogusława Wolniewicza. Obaj podjęli próbę forma-lizacji ontologicznych i semantycznych idei tam zawartych (por. [27], [25],[22]) stosując różne metody: Suszko – logiczne, Wolniewicz – algebraiczne.Dla Suszki sprawą pierwszorzędną było sformalizowanie relacji opisywaniaprzez dwa zdania tej samej sytuacji. W rezultacie, Suszko wzbogacił języklogiki zdaniowej o nowy spójnik ≡ którego zamierzona interpretacja w do-wolnym modelu jest następująca:

α ≡ β ⇔ zdania α, β przedstawiają tą samą sytuację.

Suszko przeciwstawił spójnik ≡ spójnikowi materialnej równoważności↔, której zamierzoną interpretacją jest by α ↔ β wtedy i tylko wtedy, gdyα i β mają taką samą wartość logiczną. Oczywiście jeśli zdania opisują tą sa-mą sytuację muszą mieć tą samą wartość logiczną, tzn. prawem logiki Suszkimusi być implikacja: (α ≡ β) → (α ↔ β). Implikację odwrotną Suszko na-zwał Aksjomatem Fregego (por. [21]), gdyż wynika z niej, że wszystkie zda-nia prawdziwe odnoszą się do tej samej sytuacji i tak samo zdania fałszyweodnoszą się do jednej sytuacji. Logika klasyczna (logika spójników prawdzi-wościowych) jest zatem Fregowska, bo utożsamia spójnik identyczności zespójnikiem równoważności, przez co Aksjomat Fregego jest spełniony. Istnie-ją jednakowoż logiki nie-Fregowskie, tj. takie, w których Aksjomat Fregegonie jest spełniony; Suszko większość swych prac poświęcił badaniom tychlogik.

Nie będziemy w niniejszym wprowadzeniu omawiać koncepcji Wolniewi-cza, jako że robimy to szczegółowo w rozdziale 1. Porównamy jedynie za

10

Mieczysławem Omyłą układy semantyczne przyjmowane przez Wolniewiczai Suszkę.

Układem semantycznym Suszki nazywamy piątkę uporządkowaną (por.[14], s. 57; [13], s. 156):

〈S, Cn, U, h, v〉 ,gdzie S jest językiem o zbiorze zdań S i zbiorze zdań prostych V , Cn jest l-zwartą operacją konsekwencji (por. [16], s. 22-23), U jest dowolnym zbioremniepustym, h jest funkcją ze zbioru zdań S w U , v – funkcją z S w wartościlogiczne {0, 1}, przy czym spełnione są warunki:

i. v jest funkcją charakterystyczną pewnej teorii zupełnej w języku S,

ii. ∀α,β∈S[h(α) = h(β) ⇔ ∀γ∈S v(γ) = v(γ[αβ])].

(γ[αβ] oznacza formułę, która powstaje z formuły γ przez zastąpienie każdego

wystąpienia α zdaniem β.)Układem semantycznym Wolniewicza nazywamy z kolei szóstkę uporząd-

kowaną:〈S, Cn2, SE,R,Z, Z0〉 ,

przy czym S jest językiem, Cn2 – klasyczną operacją konsekwencji (por. sek-cja 1.2), SE – niepustym zbiorem, R – niepustą rodziną podzbiorów zbioruSE oraz spełnione są następujące warunki:

i.⋂R 6= ∅,

ii.⋃R 6= SE,

iii. elementy rodziny R są maksymalne w sensie inkluzji,

iv. Z jest funkcją przyporządkowującą każdemu R ∈ R teorię zupełną wjęzyku S,

v. Z0 jest pewną wyróżnioną teorią zupełną oraz istnieje R0 ∈ R takie,że Z(R0) = Z0,

vi. ∀R∈R ∀α∈S(α ∈ Z(R) ⇒ ∃x∈R ∀R′∈R(x ∈ R′ ⇒ α ∈ Z(R′))).

Nie będziemy wnikać w relacje zachodzące między układami Suszki i Wol-niewicza (zob. w tej kwestii [14]). W niniejszej pracy posługiwać się będziemynastępującym układem semantycznym:

〈S, Cn2,L, wL, s〉 ,

11

gdzie S i Cn2 są takie jak wyżej, natomiast L = 〈L,¬, 0, 1〉 jest kratą zupeł-ną, atomową (o zbiorze atomów At(L)) i koatomową (o zbiorze koatomówKt(L)), wL jest wyróżnionym koatomem, zwanym światem realnym, zaś sjest wartościowaniem sytuacyjnym s:V → At(L).

Łatwo zauważyć, że powyższy układ jest semantycznym układem Wolnie-wicza, gdyż dla:

SE = L,

R = {(w] : w ∈ Kt(L)},Z : (w] 7→ {α ∈ S : w °s α}

(gdzie °s jest rozszerzeniem wartościowania s – por. (4.1)-(4.5)),

Z0 = {α ∈ S : wL °s α}.

zachodzą wszystkie warunki (i)-(vi).

12

Rozdział 1

Preliminaria

Celem niniejszego rozdziału jest przypomnienie podstawowych pojęć algebryuniwersalnej i logiki formalnej, przywołanie twierdzeń wykorzystywanych wdalszych rozdziałach oraz ustalenie notacji. W opracowaniu tego rozdziałukorzystaliśmy ze znanych podręczników min. [3], [7], [19], [1].

1.1 Podstawowe pojęcia algebraiczne

Niech będzie dany niepusty zbiór X. Relację Θ ⊆ X ×X nazywamy relacjątolerującą lub tolerancją (por. [8], 1.1.4), gdy jest ona zwrotna i symetryczna.Blokiem relacji Θ nazywamy każdy maksymalny zbiór B ⊆ X, na którymrelacja Θ jest przechodnia, tj. zbiór spełniający warunki:

∀x,y∈B xΘy, (1.1)

∀C⊆X((∀x,y∈C xΘy) & B ⊆ C ⇒ B = C). (1.2)

Zbiór wszystkich bloków oznaczmy przez X/Θ. Jeżeli tolerancja Θ jest ponad-to przechodnia, to nazywa się równoważnością na X. Bloki równoważności –tzw. klasy abstrakcji – są wówczas zbiorami rozłącznymi, każdy zatem blok Bjest w jednoznaczny sposób wyznaczony przez dowolny swój element x ∈ B:

13

B = {y ∈ X : xΘy} = [x]Θ. W przeciwieństwie do klas abstrakcji, bloki to-lerancji mogą się kroić niepusto. Na pojęcie tolerancji należy zatem patrzećjak na uogólnienie pojęcia równoważności, zaś na bloki, jak na uogólnieniaklas abstrakcji. Przypomnijmy też, że pokryciem zbioru X nazywamy każdąrodzinę R ⊆ P (X) taką, że

⋃R = X. Jeżeli na dodatek R ∩ S = ∅, dladowolnych R, S ∈ R, to pokrycie R nazywamy partycją zbioru X.

Binarną relację ¬ w zbiorze X nazywamy relacją częściowego porządkuwtedy gdy jest ona zwrotna, słabo antysymetryczna oraz przechodnia. Zkażdą taką relacją związana jest pewna relacja <, którą będziemy nazywaćsilną relacją częściowego porządku, a która dana jest wzorem:

x < y ⇔ x ¬ y & x 6= y.

Relacja < jest antyzwrotna, antysymetryczna i przechodnia. Jeśli X jestdowolnym zbiorem niepustym, zaś ¬ relacją częściowego porządku w zbiorzeX to strukturę 〈X,¬〉 nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym, lubteż będziemy mówić, że X jest częściowo uporządkowany przez ¬.

Załóżmy, że x < y; jeśli nie istnieje żaden z taki, że x < z < y, tofakt ten wyrażamy pisząc x ≺ y, mówimy zaś, że y pokrywa x. Elementemmaksymalnym w Y ⊆ X nazywamy każdy y ∈ Y taki, że dla dowolnego z ∈ Yjeśli y ¬ z to y = z. Analogicznie, elementem minimalnym w Y ⊆ X jestkażdy y ∈ Y taki, że dla dowolnego z ∈ Y jeśli z ¬ y to y = z. Dalej, y jestelementem największym w zbiorze Y ⊆ X (odpowiednio, najmniejszym) gdyy ∈ Y oraz dla dowolnego z ∈ Y zachodzi: z ¬ y (odpowiednio, y ¬ z). Jeśliw Y istnieje element największy (najmniejszy), to jest on jedynym elementemmaksymalnym (minimalnym).

Niech 〈X,¬〉 będzie częściowym porządkiem oraz C ⊆ X. Jeśli dla dowol-nych x, y ∈ C jest tak, że x ¬ y lub y ¬ x, to zbiór C nazywamy łańcuchem.Podobnie, antyłańcuchem nazywamy każdy podzbiór A ⊆ X taki, że dla do-wolnych x, y ∈ A: x 6¬ y oraz y 6¬ x. Łańcuch (antyłańcuch) jest maksymalny,gdy żaden jego nadzbiór właściwy, łańcuchem (antyłańcuchem) nie jest.

Jeśli łańcuch C jest skończony, to jego długością l(C) nazywamy liczbę|C| − 1 (analogicznie definiujemy długość antyłańcucha). Jeśli długość każ-dego łańcucha da się ograniczyć z góry pewną liczbą naturalną n, przy czymistnieje łańcuch o długości n, to mówimy, że częściowy porządek 〈X,¬〉 madługość n, a abstrahując od konkretnej wartości n powiemy, że 〈X,¬〉 jestskończenie długi.

14

Ustalmy dowolny podzbiór Y zbioru X. Ograniczeniem górnym zbioru Ynazywamy taki element x ∈ X, że y ¬ x, dla każdego y ∈ Y . Najmniejszeograniczenie górne zbioru Y (o ile takie istnieje) nazywamy supremum zbio-ru Y lub kresem górnym Y i oznaczamy symbolem ”sup¬ Y ” (jeśli relacjajest ustalona, piszemy po prostu ”supY ”). W analogiczny sposób będziemyrozumieć ograniczenie dolne zbioru Y , zaś największe ograniczenie dolne (oile istnieje) nazwiemy infimum zbioru Y lub kresem dolnym Y i oznaczymysymbolem ”inf¬ Y ” (lub ”inf Y ”). Jeśli Y = {x, y} to kładziemy:

x ∨ y = sup{x, y}, x ∧ y = inf{x, y}.

Zdefiniujemy teraz podstawowe pojęcie kraty.

Definicja 1.1 Częściowy porządek L = 〈L,¬〉 nazywamy kratą wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnych x, y ∈ L istnieje zarówno x∨y jak i x∧y. O relacji¬ posiadającej powyższą własność mówimy, że jest kratowa.

Istnieje inna, zakresowo równoważna, definicja kraty. Niech mianowiciebędzie dany dowolny niepusty zbiór L oraz dwie operacje ∨:L × L → L,∧:L× L→ L spełniające dla dowolnych x, y, z ∈ L następujące warunki:

x ∨ x = x, x ∧ x = x, (1.3)x ∨ y = y ∨ x, x ∧ y = y ∧ x, (1.4)

(x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z), (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z), (1.5)x ∨ (x ∧ y) = x, x ∧ (x ∨ y) = x. (1.6)

Jeżeli operacje ∨ oraz ∧ spełniają warunki (1.3)-(1.6) to wyznaczają pew-ną relację kratową ¬; jest ona dana wzorem:

x ¬ y ⇔ x ∨ y = y,

lub równoważnie:x ¬ y ⇔ x ∧ y = x,

dla dowolnych x, y ∈ L. Wówczas kresy zgadzają się z operacjami ∨, ∧;ściślej:

sup¬{x, y} = x ∨ y,

15

inf¬{x, y} = x ∧ y.Odwrotnie, sup¬ oraz inf¬ wzięte jako funkcje z L × L w L, spełniają

warunki (1.3)-(1.6) (por. [3], I.5.8). Z tych powodów, na kratę można patrzećz jednej strony, jak na system relacyjny L = 〈L,¬〉, z drugiej, jak na algebręabstrakcyjną L = 〈L,∨,∧〉.

Niech L = 〈L,¬〉 będzie dowolną kratą oraz M ⊆ L. Zbiór M wrazz relacją ¬ zawężoną do M , będziemy nazwywać podkratą kraty L wtedygdy, x ∨ y ∈ M oraz x ∧ y ∈ M , dla dowolnych x, y ∈ M . Fakt, że M =〈M,¬ |M×M〉 jest podkratą kraty L, notujemy M⊆ L.

Ważnymi przykładami podkrat są filtry i ideały. Jeśli L = 〈L,¬〉 jestdowolną kratą oraz F ⊆ L, to zbiór F nazywamy filtrem wtedy i tylko wtedy,gdy spełnione są warunki:

∀x,y∈F x ∧ y ∈ F, (1.7)∀x∈F∀y∈L(x ¬ y ⇒ y ∈ F ). (1.8)

Pojęcie ideału definiujemy dualnie: podzbiór I ⊆ L nazywamy ideałem wtedyi tylko wtedy, gdy:

∀x,y∈I x ∨ y ∈ I, (1.9)∀x∈I∀y∈L(y ¬ x ⇒ y ∈ I). (1.10)

Filtr F nazywamy:

• właściwym, gdy F 6= L,

• maksymalnym, gdy dla dowolnego filtru F ′ ⊆ L, jeżeli F ⊆ F ′ toF ′ = F lub F ′ = L,

• głównym, gdy istnieje takie x ∈ L, że F = [x) = {y ∈ L : x ¬ y}.Analogiczne definicje wprowadzamy dla ideału; ideał I ⊆ L nazywamy:

• właściwym, gdy I 6= L,

• maksymalnym, gdy dla dowolnego ideału I ′ ⊆ L, jeżeli I ⊆ I ′ to I ′ = Ilub I ′ = L,

• głównym, gdy istnieje takie x ∈ L, że I = (x] = {y ∈ L : y ¬ x}.

16

Wprowadźmy z kolei, inne ważne pojęcie homomorfizmu krat.

Definicja 1.2 Niech dane będą kraty L = 〈L,∨L,∧L〉, M = 〈M,∨M ,∧M〉oraz funkcja h:L → M . Funkcję h nazywamy homomorfizmem (kraty L wkratę M), gdy dla dowolnych x, y ∈ L spełnione są następujące równości:

h(x ∨L y) = h(x) ∨M h(y), (1.11)h(x ∧L y) = h(x) ∧M h(y), (1.12)

Ponadto, homomorfizm nazwiemy zanurzeniem, gdy funkcja h jest różnowar-tościowa oraz izomorfizmem, gdy h jest bijekcją.

Jeżeli h jest izomorfizmem krat L,M, to mówimy, że są one izomorficznei piszemy L ∼= M. Dla uproszczenia notacji będziemy zazwyczaj pomijaćindeksy przy operacjach supremum i infimum: np. warunek (1.11) napiszemypo prostu h(x ∨ y) = h(x) ∨ h(y). Podobna konwencja stosuje się do relacji¬L. Poniżej prezentujemy lemat, który ujmuje pojęcie izomorfizmu krat wterminach relacji kratowych.

Lemat 1.1 ([4], 2.11) Niech L = 〈L,¬〉, M = 〈M,¬〉 będą dowolnymikratami. Bijekcja h:L → M jest izomorfizmem krat L i M wtedy i tylkowtedy, gdy:

∀x,y∈L(x ¬ y ⇔ h(x) ¬ h(y)). ¥Jeśli krata L = 〈L,¬〉 posiada element najmniejszy, to oznaczamy go 0L,

a gdy nie będzie groziło nieporozumienie po prostu 0; element ten nazywamyzerem (kraty L). Dla podkreślenia faktu, że w L istnieje zero, piszemy L =〈L,¬, 0〉. Analogicznie element największy – jedynka (kraty L) – oznaczamy,1L lub 1 i piszemy L = 〈L,¬, 1〉. Kratę posiadającą zarówno zero jak ijedynkę nazywamy ograniczoną.

Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉; dowolny element x ∈ L taki, że 0 ≺ x nazywamyatomem (kraty L), zaś ich ogół oznaczamy przez At(L). Podobnie, jeśli x ≺ 1to element x nazywamy koatomem (kraty L), a ogół koatomów oznaczamyprzez Kt(L). Ponadto, dla dowolnego x ∈ L kładziemy:

At(x) = {a ∈ At(L) : a ¬ x}, Kt(x) = {w ∈ Kt(L) : x ¬ w}.Kratę L nazywamy atomową gdy At(x) 6= ∅, dla dowolnego x ∈ L r {0}.Analogicznie, L jest koatomowa gdy Kt(x) 6= ∅, dla dowolnego x ∈ Lr {1}.Kratę atomową L = 〈L,¬, 0〉 nazywamy atomistyczną wtedy i tylko wtedy,gdy dla dowolnego x ∈ L istnieje A ⊆ At(x) takie, że x = supA. Zachodzinastępujący lemat.

17

Lemat 1.2 ([24], s. 308) W dowolnej atomowej kracie L = 〈L,¬, 0〉 na-stępujące warunki są równoważne:

i. L jest atomistyczna,

ii. ∀x∈L x = supAt(x),

iii. ∀x,y∈L(At(x) = At(y) ⇒ x = y).

Dowód. Dla dowodu implikacji (i)⇒(ii) ustalmy dowolny x ∈ L. Istniejewówczas A ⊆ At(L) takie, że x = supA. Pokażemy, że x jest supremumzbioru At(x) tj. że x = supAt(x). Zauważmy po pierwsze, że oczywiściea ¬ x, dla każdego a ∈ At(x). Po drugie, niech y będzie ograniczeniemgórnym zbioru At(x). Łatwo dostrzec, że A ⊆ At(x), więc w szczególnościmamy a ¬ y, dla a ∈ A. Stąd dostajemy: x = supA ¬ y, co należało pokazać.

Implikacje (ii)⇒(i) i (ii)⇒(iii) są trywialne.Dla dowodu implikacji (iii)⇒(ii), ustalmy x ∈ L oraz dowolne ogranicze-

nie górne y ∈ L zbioru At(x) i przypuśćmy niewprost, że x 6¬ y. Z hipotezydostajemy x ∧ y < x, zatem z założenia, wynika, iż istnieje a ∈ At(L) taki,że a 6¬ x ∧ y i a ¬ x. Z tego ostatniego zaś i faktu, że y jest ograniczeniemgórnym At(x) mamy a ¬ y i w rezultacie a ¬ x ∧ y; sprzeczność. ¥

Kratą zupełną będziemy nazywali każdą kratę L = 〈L,¬〉, która posiadanastępującą własność: dla dowolnego X ⊆ L istnieje supremum zbioru X.Dalej, powiemy, że L jest relatywnie komplementarna, gdy dla dowolnychx, y, z ∈ L spełniony jest warunek:

x ¬ y ¬ z ⇒ ∃y′∈L(x = y ∧ y′ & z = y ∨ y′). (1.13)

W szczególnym przypadku, jeśli L jest kratą ograniczoną oraz powyższy wa-runek spełniony jest dla x = 0 i z = 1, mówimy, że krata L jest komplemen-tarna.

Rozważmy następujące warunki:

x ¬ z ⇒ x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z, (1.14)x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). (1.15)

Kratę L = 〈L,¬〉 spełniającą (dla wszystkich x, y, z ∈ L) warunek (1.14)nazywamy modularną; jeśli zaś spełniony jest warunek (1.15) mówimy, żekrata jest dystrybutywna.

18

M3 N5

Rysunek 1

Łatwo zauważyć, że każda krata dystrybutywna jest również modularna.Aby pokazać, że implikacja odwrotna nie zachodzi, wystarczy rozważyć kratęM3 (tzw. diament); por. rysunek 1. Dodajmy, że krata jest dystrybutywna,gdy dla dowolnych x, y, z ∈ L spełnia warunek dualny:

x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).

Odnotujmy dwa klasyczne twierdzenia; pierwszym jest wynik R. Dedekin-da i G. Birkhoffa, charakteryzujący kraty modularne i dystrybutywne przypomocyM3 i N5 (tzw. pentagon). Drugim jest twierdzenie Jordana-Holderaujmujące związek, jaki zachodzi między modularnością a długością łańcu-chów maksymalnych.

Twierdzenie 1.1 ([7], II.1.2)

i. Krata L jest modularna wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podkratyizomorficznej z N5.

ii. Krata L jest dystrybutywna wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera pod-kraty izomorficznej z N5 ani z M3. ¥

Twierdzenie 1.2 ([7], IV.2.1) Jeśli L jest skończenie długą kratą modu-larną to wszystkie łańcuchy maksymalne mają taką samą długość. ¥

19

Jeżeli krata L = 〈L,¬, 0, 1〉 jest dystrybutywna i komplementarna, tonazywamy ją algebrą Boole’a. Każdy punkt x algebry Boole’a posiada swojedopełnienie, tzn. takie x′ ∈ L, że x∨x′ = 1 i x∧x′ = 0. Ponadto, z dystrybu-tywności wynika, że dopełnienie jest jedyne. Można wobec tego zdefiniowaćfunkcję dopełnienia x 7→ x′.

Tak samo jak w przypadku krat, istnieje inna – równościowa – definicjaalgebry Boole’a. Niech mianowicie L będzie dowolnym niepustym zbioremoraz 0, 1 ∈ L takie, że 0 6= 1. Niech ponadto, funkcje ∨:L×L→ L, ∧:L×L→L, ′:L→ L spełniają warunki (1.3)-(1.6) oraz

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), (1.16)x ∨ 0 = x, x ∧ 0 = 0, (1.17)x ∨ x′ = 1, x ∧ x′ = 0. (1.18)

Algebra abstrakcyjna 〈L,∨,∧,′ , 0, 1〉 traktowana jako krata, jest dystry-butywna i komplementarna, jest wiec algebrą Boole’a.

Nieskończona zupełna algebra Boole’a może w ogóle nie mieć atomów.Jednakowoż, jeśli jest ona atomowa to jest też atomistyczna. Fakt ten wyrażanastępujące twierdzenie A. Tarskiego:

Twierdzenie 1.3 ([4], I.7.2) Każda zupełna i atomowa algebra Boole’a B =〈B ∨,∧,′ , 0, 1〉 jest izomorficzna z ciałem zbiorów 〈P (At(B)),∪,∩,−, ∅, At(B)〉.¥

Z twierdzenia 1.3 wynika praktyczny wniosek:

Wniosek 1.1 ([4], s. 43)

i. Niech B będzie skończoną algebrą Boole’a. Istnieje wówczas liczba na-turalna n > 0 taka, że B ma 2n elementów, w tym n atomów.

ii. Jeśli dwie skończone algebry Boole’a mają taką samą liczbę elementów,to są izomorficzne. ¥

Wobec wniosku 1.1 istnieje przeliczalnie wiele (z dokładnością do izomor-fizmu) skończonych algebr Boole’a i są to: B1,B2,B3,B4, . . . przy czym Bnoznacza 2n-elementową algebrę Boole’a.

20

B1 B2 B3

Rysunek 2

1.2 Podstawowe pojęcia logiczne

Niech V = {p0, p1, p2, . . .} będzie przeliczalnym nieskończonym zbiorem, któ-rego elementy nazywamy zmiennymi zdaniowymi lub zdaniami prostymi.Zdaniem nazywamy natomiast element zbioru S, czyli zbioru zbudowanegoze zmiennych zdaniowych, przy pomocy spójników ∧,∨,→,¬. Ściślej, zbiórS, to najmniejszy zbiór, spełniający dwa następujące warunki:

i. V ⊆ S,

ii. jeśli α, β ∈ S to (α) ∧ (β), (α) ∨ (β), (α)→ (β),¬(α) ∈ S.

Algebrę S = 〈S,∧,∨,→,¬〉 o sygnaturze (2, 2, 2, 1) nazywamy językiem zda-niowym. Wedle powszechnego zwyczaju będziemy opuszczali niektóre nawia-sy, np. zamiast (p ∨ q)→ r napiszemy p ∨ q → r.

Regułą wnioskowania nazywamy dowolną relację r ⊆ Fin(S) × S, gdzieFin(S) = {X ⊆ S : |X| < ℵ0}. Jako przykłady reguł, rozważmy regułęodrywania ro, zwaną też modus ponens :

ro = {({α→ β, α}, β) : α, β ∈ S},oraz regułę sylogizmu rs:

rs = {({α→ β, β → γ}, α→ γ) : α, β, γ ∈ S}.

21

Systemem logicznym nazywamy parę 〈R,A〉, o ile R jest zbiorem reguł,zaś A ⊆ S (elementy zbioru A nazywamy aksjomatami systemu 〈R,A〉). Dlakażdego systemu logicznego 〈R,A〉 określamy indukcyjnie zbiór Cn(R,A) wnastępujący sposób:

i. Cn0(R,A) = A,

ii. Cnk+1(R,A) = Cnk(R,A) ∪ {α ∈ S : ∃r∈R∃π⊆Cnk(R,A) (π, α) ∈ r},iii. Cn(R,A) =

⋃k∈ω Cn

k(R,A).

Operacją konsekwencji związaną z systemem logicznym 〈R,A〉, nazywamyfunkcję CnR,A:P (S)→ P (S) daną wzorem:

CnR,A(X) = Cn(R,A ∪X),

dla X ⊆ S. Ważną własnością operacji konsekwencji jest jej finitarność, tzn.dla dowolnego X ⊆ S spełnione jest:

CnR,A(X) =⋃{CnR,A(Y ) : Y ∈ Fin(X)}. (1.19)

Powiemy, że zbiór X ⊆ S jest niesprzeczny (w systemie 〈R,A〉), wtedygdy CnR,A(X) 6= S; w przeciwnym przypadku jest sprzeczny. Zbiór X na-zwiemy teorią, gdy CnR,A(X) = X. Teoria X jest natomiast zupełna, gdyjest niesprzeczna oraz maksymalna, tj. dla dowolnego α ∈ S zachodzi:

α 6∈ X ⇒ CnR,A(X ∪ {α}) = S.

Definicja 1.3 System logiki klasycznej KRZ jest to system 〈{ro},A2〉, gdzieA2 jest zbiorem następujących aksjomatów:

i. (α→ β)→ ((β → γ)→ (α→ γ)),

ii. (α→ (α→ β))→ (α→ β),

iii. α→ (β → α),

iv. α ∧ β → α,

v. α ∧ β → β,

vi. (α→ β)→ ((α→ γ)→ (α→ β ∧ γ)),

22

vii. α→ α ∨ β,viii. β → α ∨ β,

ix. (α→ β)→ ((γ → β)→ (α ∨ γ → β)),

x. (¬α→ ¬β)→ (β → α).

Operację konsekwencji wyznaczoną przez system logiki klasycznej, nazy-wamy klasyczną operacją konsekwencji i dla dowolnego X ⊆ S przyjmujemy:

Cn2(X) = Cn{ro},A2(X), CL = Cn2(∅)

Elementy zbioru CL nazywamy tezami KRZ. Odnotujmy teraz twierdzenieujmujące ważne własności klasycznej operacji konsekwencji.

Twierdzenie 1.4 Dla dowolnego X ⊆ S i dowolnych α, β ∈ S zachodzi:

i. β ∈ Cn2(X ∪ {α}) ⇔ (α→ β) ∈ Cn2(X),

ii. ¬α ∈ Cn2(X) ⇔ Cn2(X ∪ {α}) = S,

iii. α ∈ Cn2(X) ⇔ Cn2(X ∪ {¬α}) = S,

iv. α ∧ β ∈ Cn2(X) ⇔ α ∈ Cn2(X) & β ∈ Cn2(X),

v. Cn2(X ∪ {α ∨ β}) = Cn2(X ∪ {α}) ∩ Cn2(X ∪ {β}). ¥

Twierdzenie 1.4(i) w literaturze nazywane jest twierdzeniem o dedukcji.

Rozważmy zbiór V ∗ = V ∪ {¬p0,¬p1,¬p2, . . .}. Elementy zbioru V ∗ na-zywamy literałami, zaś każde zdanie α będące koniunkcją, której członami sąalternatywy literałów, nazwiemy zdaniem o postaci normalnej. Zachodzi na-stępujące twierdzenie o postaci normalnej (napis β ↔ γ jest metajęzykowymskrótem, oznaczającym zdanie (β → γ) ∧ (γ → β)):

Twierdzenie 1.5 ([9], s. 102) Dla dowolnego α ∈ S istnieje zdanie o po-staci normalnej α′ takie, że α↔ α′ ∈ CL. ¥

23

Wprowadzimy teraz kilka najważniejszych pojęć semantycznych. Warto-ściowaniem zero-jedynkowym nazywamy każdą funkcję v:S → {0, 1} speł-niającą dla α, β ∈ S warunki:

i. v(α ∧ β) = 1 ⇔ v(α) = 1 & v(β) = 1,

ii. v(α ∨ β) = 1 ⇔ v(α) = 1 lub v(β) = 1,

iii. v(α→ β) = 1 ⇔ v(α) = 0 lub v(β) = 1,

iv. v(¬α) = 1 ⇔ v(α) = 0.

Zauważmy, że każde wartościowanie v jest jednoznacznie wyznaczone przezobcięcie v|V :V → {0, 1}.

Definicja 1.4 Zdanie α nazywamy tautologią KRZ wtedy i tylko wtedy, gdyv(α) = 1, dla dowolnego wartościowania v:S → {0, 1}.

Klasycznym wynikiem dotyczącym KRZ jest natępujące twierdzenie K.Godla o pełności.

Twierdzenie 1.6 Dla dowolnego X ⊆ S oraz α ∈ S zachodzi:

α ∈ Cn2(X) ⇔ (v[X] ⊆ {1} ⇒ v(α) = 1, dla dowolnegowartościowania v:S → {0, 1}). ¥

W szczególności, z twierdzenia o pełności wynika, że zbiór tez KRZ jestidentyczny ze zbiorem tautologii KRZ (twierdzenie E. Posta). Z tego też po-wodu będziemy w tej pracy, terminy ”teza KRZ” i ”tautologia KRZ” używaćzamiennie.

24

Rozdział 2

Kraty Wolniewicza

W rozdziale niniejszym omówimy teorię krat sytuacji przedstawioną przezBogusława Wolniewicza w jego pierwszej monografii, poświęconej formalnejontologii sytuacji, tj. w pracy [25]. Struktury spełniające aksjomaty tejżeteorii, w tej pracy nazywa się BW-kratami (od imienia i nazwiska autorateorii). Dodajmy, że Wolniewicz struktury te nazywa kratami sytuacji ele-mentarnych, w skócie SE-kratami ; termin ten rezerwujemy jednak dla kratogólniejszych, od których wymagać będziemy jedynie zupełności, atomowościi koatomowości (por. koniec sekcji 2.1).

W sekcjach 2.3, 2.4 dowodzimy najważniejsze własności BW-krat, charak-teryzujących je w prostych teorio-mnogościowych pojęciach. Przede wszyst-kim, pokazuje się, że każda BW-krata może być jednoznacznie skojarzona zpewną n-ką liczb kardynalnych, co umożliwia zhierarchizowanie (z dokład-nością do izomorfizmu) klasy BW-krat. Niemal wszystkie twierdzenia z tychsekcji, wprost pochodzą z prac [25], [24] lub są prostymi konsekwencjamizawartych tam wyników.

W pozostałych sekcjach dyskutujemy zależności między aksjomatami BW-krat.

25

2.1 Aksjomatyka BW-krat

Definicja 2.1 Kratę L = 〈L,¬, 0, 1〉 będziemy nazywać BW-kratą wtedy itylko wtedy, gdy spełnione są następujące aksjomaty:

i. L jest zupełna, tj.:

∀X⊆L ∃x∈L[(∀y∈X y ¬ x) & ∀z∈L((∀y∈X y ¬ z) ⇒ x ¬ z)].

ii. L jest koatomowa, tj.:

∀x∈Lr{1} ∃y∈L[x ¬ y < 1 & ∀z∈L(y < z ⇒ z = 1)].

iii. L jest atomowa, tj.:

∀x∈Lr{0} ∃y∈L[0 < y ¬ x & ∀z∈L(z < y ⇒ z = 0)].

iv. L jest rozdzielona (zbiorem koatomów Kt(L)), tj.:

∀x,y∈L[y 6¬ x ⇒ ∃w∈Kt(L)(x ¬ w & y 6¬ w)].

v. L jest atomistyczna, tj.:

∀x∈L ∃X⊆At(L) x = supX.

vi. L jest warunkowo dystrybutywna, tj.:

∀x,y,z∈L[y ∨ z 6= 1 ⇒ x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)].

vii. ∀x,y∈Lr{0,1}[x ∨ y = 1 ⇒ ∃a,b∈At(L)(a ¬ x & b ¬ y & a ∨ b = 1)].

viii. Dla atomów kraty L dopełnienie jest przechodnie, tj.:

∀x,y,z∈At(L)[(x ∨ y = 1 & y ∨ z = 1) ⇒ (x = z lub x ∨ z = 1)].

Wprowadźmy relację ∼ ⊆ At(L)× At(L) zdefiniowaną następująco:

x ∼ y ⇔ x = y lub x ∨ y = 1.

Relacja ta jest zwrotna i symetryczna, jest zatem tolerancją na At(L).Zbiór bloków oznaczamy zwyczajowo przez At(L)/∼. Możemy terazwysłowić ostatni aksjomat.

26

ix. Zbiór At(L)/∼ jest skończony.

Aksjomaty (i)-(ix) z filozoficznego punktu widzenia nie mają jednakowej”mocy”. Postulaty (i)-(iii) (włącznie z implicite założonym ograniczenien kra-ty) przyjmujemy jako bazowe dla dalszych rozważań nad ontologią sytuacji.Dlatego też wszystkie kraty ograniczone, zupełne, atomowe i koatomowe bę-dziemy w tej pracy nazywać kratami sytuacji elementarnych.

W dalszej części niniejszego rozdziału zbadamy własności BW-krat, na-tomiast w rozdziałach następnych powrócimy do omawiania krat sytuacjielementarnych w pełnej ogólności, a także przedstawimy niektóre ich wzmoc-nienia.

2.2 Uwaga o aksjomatyce

Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną kratą sytuacji elementarnych. Elemen-ty kraty L nazywamy sytuacjami elementarnymi lub krócej e-sytuacjami,element 0 – e-sytuacją pustą, 1 – e-sytuacją niemożliwą. Jeżeli x ¬ y bę-dziemy mówili, że e-sytuacja x zachodzi w e-sytuacji y. Atomy kraty L czy-li elementy zbioru At(L) nazywamy e-sytuacjami atomowymi, zaś koatomy(elementy zbioru Kt(L)) – światami możliwymi. W każdej kracie sytuacji ele-mentarnych wyróżniamy dokładnie jeden świat wL, który nazywamy światemrealnym. Elementy zbioru [wL)r {0} nazywamy faktami .

Zauważmy, że aksjomat (viii) gwarantuje, że relacja ∼ jest przechodnia,zatem w istocie jest równoważnością na At(L). Bloki [x]∼ są wobec tegoklasami abstrakcji; będziemy je wtedy nazywać wymiarami logicznymi .

W końcu poprzedniej sekcji wspomnieliśmy, że te aksjomaty, które de-finiują kratę sytuacji elementarnych, uważamy za bazowe. Owe aksjomatyspróbujemy obecnie uzasadnić odwołując się do filozoficznych intuicji zwią-zanych z zamierzoną interpretacją krat sytuacji elementarnych.

(A) Sytuacje jako uporządkowany zbiór. Podstawowa zasada ontologiisytuacji stwierdza, iż zbiór sytuacji jest niepusty. Dalej, w zbiorze sytuacjiwyróżnia się pewną relację częściowego porządku ¬, która odpowiada relacjizachodzenia w :

x ¬ y ⇔ sytuacja x zachodzi w sytuacji y.

27

Inna fundamentalna zasada semantyki sytuacyjnej głosi, iż każde zdanie sen-sowne posiada swój korelat semantyczny, tj. pewną szczególną sytuację, doktórej się odnosi. Z zasady tej wynika zatem, że korelat semantyczny zdaniap ∧ q musi być czymś ”większym” od korelatu zdania p, gdyż zdanie p ∧ qmówi więcej niż zdanie p; jest zatem tak:

korelat semantyczny zdania p ¬ korelat semantyczny zdania p ∧ q.(B) Ograniczenie zbioru sytuacji. Skoro tautologie i kontrtautologie KRZ

są sensowne, mają swoje korelaty i są nimi odpowiednio: sytuacja pusta (zero)oraz sytuacja niemożliwa (jedynka).

(C) Koatomowość. Maksymalne elementy w zbiorze sytuacji możliwychodpowiadają w formalizmie ontologii sytuacji, światom możliwym: są to mak-symalne fragmenty rzeczywistości, nie zawierające sprzeczności. Z tego po-wodu zakładamy, że w zbiorze sytuacji, każda sytuacja możliwa (tj. różna odjedynki) zachodzi w pewnym koatomie (świecie możliwym).

(D) Kresy. Jeśli dane są dwie sytuacje, postulujemy, że ich ”połączenie”jest sytuacją i to najmniejszą, w której obie zachodzą. Analogicznie, żądamy,że istnieje sytuacja największa zachodząca w obydwóch naszych sytuacjach.

(E) Zupełność jest postulatem, by ”połączenie” sytuacji istniało nawetdla nieskończonej liczby sytuacji.

(D) Atomowość. Istnienie sytuacji atomowych – najmniejszych i niepo-dzielnych fragmentów rzeczywistości – jest zapewne sprawą najmniej oczywi-stą i polemiczną. Zgadzamy się z Wolniewiczem, że nieatomowe kraty sytuacjielementarnych są do pomyślenia (por. [25], s. 85), jakkolwiek akceptujemyaksjomat (iii) z powodów semantycznych: żądamy by korelatami zdań pro-stych – atomów języka – były atomy kraty.

Przytoczona w sekcji 2.1 aksjomatyka jest pewnym uproszczeniem orygi-nalnej definicji BW-krat zawartej w pracy [25]. Owego uproszczenia zdecydo-waliśmy się dokonać, skoro niektóre aksjomaty przyjmowane przez Wolnie-wicza w omawianej pracy, okazały się zależne od pozostałych. Zanim przej-dziemy do omawiania tych spostrzeżeń podkreślmy, że obie aksjomatyki sąrównoważne, tj. każda BW-krata w sensie [25] jest BW-kratą w sensie definicji2.1 i na odwrót.

Aksjomat (vii) jest nieco słabszą wersją aksjomatu przyjmowanego przezWolniewicza w [25] (por. aksjomat 9). Na gruncie pozostałych postulatówwarunki te pozostają jednakowoż równoważne.

Zarówno w [25] jak i w [24] definicja kraty warunkowo dystrybutywnejjest następująca: krata L = 〈L,¬, 1〉 jest warunkowo dystrybutywna wtedy i

28

tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y, z ∈ L spełnia warunki:

y ∨ z 6= 1 ⇒ x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z),

x ∨ y 6= 1 & x ∨ z 6= 1 ⇒ x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).

Łatwo zauważyć, że druga implikacja wynika z pierwszej (w istocie, oby-dwa warunki są równoważne – por. wniosek 2.9 niniejszej pracy). Istotnie,ustalmy dowolne a, b, c ∈ L i załóżmy, że a∨ b 6= 1 oraz a∨ c 6= 1. Z pierwszejimplikacji (która jest prawdziwa dla wszystkich elementów L) dostajemy:

(a∨ b)∧ (a∨ c) = ((a∨ b)∧a)∨ ((a∨ b)∧ c) = a∨ (a∧ c)∨ (b∧ c) = a∨ (b∧ c).W pracy [25] oprócz aksjomatów (i)-(ix) postuluje się, że krata L jest

relatywnie komplementarna (por. wzór (1.13)). Wykażemy dwie rzeczy: popierwsze, że relatywna komplementarność jest mocniejsza niż rozdzielność, apo drugie, że jest ona konsekwencją aksjomatów (i)-(ix).

Twierdzenie 2.1 Jeżeli koatomowa krata jest relatywnie komplementarnato jest również rozdzielona.

Dowód. Załóżmy, że L = 〈L,¬, 1〉 jest koatomową i relatywnie komplemen-tarną kratą oraz przypuśćmy niewprost, że jest ona nierozdzielona, tj. istniejąx, y ∈ L takie, że y 6¬ x oraz:

∀w∈Kt(L)(x ¬ w ⇒ y ¬ w). (2.1)

Zauważmy, że:x < x ∨ y < 1. (2.2)

Istotnie, nierówność pierwsza jest oczywista wobec tego, że y 6¬ x. Stąddostajemy x 6= 1 zatem istnieje w ∈ Kt(L), takie, że x ¬ w. Wówczas z (2.1)otrzymujemy x ∨ y ¬ w, więc ostatecznie x ∨ y < 1.

Skoro L jest relatywnie komplementarna, istnieje z ∈ L takie, że:

x = (x ∨ y) ∧ z, 1 = (x ∨ y) ∨ z. (2.3)

Wynika stąd, że z 6= 1, istnieje zatem w ∈ Kt(L) takie, że z ¬ w. Z warun-ków (2.2), (2.3) łatwo otrzymujemy x ¬ w i y 6¬ w; sprzeczność z (2.1). ¥

Drugi z zapowiedzianych wyżej wyników okazuje się prostym wnioskiemz poniższego twierdzenia 2.2. Aby go wysłowić przyjmijmy definicję (por.[24], s. 307): kratę atomową będziemy nazywać skończenie atomistyczną, gdykażdy jej element jest supremum skończonej liczby atomów.

29

Twierdzenie 2.2 Kraty skończenie atomistyczne, rozdzielone i warunkowodystrybutywne są relatywnie komplementarne.

Dowód. Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie kratą skończenie atomistyczną, roz-dzieloną i warunkowo dystrybutywną; ustalmy dowolne x, y, z ∈ L takie, żex ¬ y ¬ z. Przypadki gdy x = y lub y = z są trywialne, załóżmy więc, żex < y < z. Rozważymy najpierw przypadek, gdy z = 1. Skoro krata L jestrozdzielona oraz y 6¬ x, istnieje w ∈ Kt(L) takie, że x ¬ w oraz y 6¬ w. Zeskończonej atomistyczności istnieją skończone zbiory X, Y,W ⊆ At(L) takie,że:

x = supX, y = supY, w = supW.

Łatwo zauważyć, że WrY 6= ∅. Istotnie, w przeciwnym razie byłoby W ⊆ Y ,więc w = supW ¬ supY = y skąd wynikałoby, że y = w lub y = 1;sprzeczność. Kładąc y′ = x ∨ sup(W r Y ), obliczamy bez trudu:y ∧ y′ = y ∧ (x ∨ sup(W r Y ))

= (y ∧ x) ∨ (y ∧ sup(W r Y )) (warunkowa dystrybutywność)= x ∨ (supY ∧ sup(W r Y ))= x∨sup{a∧b : a ∈ Y & b ∈ WrY } (sk. atomist., w. dystrybutywność)= x ∨ 0 = 0,

orazy ∨ y′ = supY ∨ sup(W r Y )) = sup(Y ∪ (W r Y )) = sup(Y ∪W )

= supY ∨ supW = y ∨ w= 1 (bo y 6¬ w i w jest koatomem)= z. (założenie dodatkowe)Rozważmy drugi przypadek, gdy z 6= 1. Kładziemy y′ = x ∨ sup(Z r Y ),

gdzie Z jest pewnym skończonym zbiorem atomów takim, że z = supZ iobliczamy analogicznie jak wcześniej:y ∧ y′ = y ∧ (x ∨ sup(Z r Y ))

= (y ∧ x) ∨ (y ∧ sup(Z r Y )) (warunkowa dystrybutywność)= x ∨ (supY ∧ sup(Z r Y ))= x∨sup{a∧b : a ∈ Y & b ∈ Z−Y } (sk. atomist., w. dystrybutywność)= x ∨ 0 = 0,

oraz

y ∨ y′ = supY ∨ sup(Z r Y ) = sup(Y ∪ (Z r Y )) = supZ = z. ¥

30

Uwaga 2.1 Wszystkie założenia w twierdzeniu 2.2 są konieczne. Istotnie,rysunek 3(a) ilustruje kratę skończenie atomistyczną i rozdzieloną, rysunek3(b) – kratę rozdzieloną i warunkowo dystrybutywną, rysunek 3(c) – kratęskończenie atomistyczną i warunkowo dystrybutywną. Żadna jednak z tychkrat nie jest relatywnie komplementarna (nie istnieje dopełnienie punktu ydo x i z).

(a) (b) (c)

Rysunek 3

Wniosek 2.1 BW-kraty są relatywnie komplementarne. ¥

Wniosek 2.2 Jeśli L = 〈L,¬, 0, 1〉 jest skończenie atomistyczną i warunko-wo dystrybutywną kratą, to dowolny właściwy ideał główny w L jest algebrąBoole’a.

Dowód. Ustalmy z 6= 1. Wówczas ideał (z] wraz z relacją ¬ obciętą do (z]formuje kratę dystrybutywną z elementem najmniejszym 0 i największym z.Krata ta jest również komplementarna; faktu tego dowodzimy tak samo jakw przypadku drugim w twierdzeniu 2.2 (bez potrzeby korzystania z rozdziel-ności kraty). ¥

31

2.3 Własności BW-krat

Aksjomatyka BW-krat jest niesprzeczna: najmniejszym modelem spełniają-cym aksjomaty (i)-(ix) jest dwuelementowa algebra Boole’a B1. Kratę tę na-zwiemy BW-kratą niewłaściwą i wyłączymy z dalszych badań. Wobec tego,wszędzie tam, gdzie będziemy pisać ”dla dowolnej BW-kraty L” będziemyimplicite zakładać, że L 6= B1.

Ustalmy dowolną BW-kratę L = 〈L,¬, 0, 1〉. Krata L wyznacza w jed-noznaczny sposób swoje wymiary logiczne, które jako zbiory, są co najmniejdwuelementowe (konsekwencja aksjomatu (vii)). Powiemy, że BW-krata Ljest n-wymiarowa, wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wymiarów logicznychjest n-elementowy.

W niniejszej sekcji udowodnimy podstawowe twierdzenie charakteryzują-ce BW-kraty, które to twierdzenie umożliwi pewną ich hierarchizację (sekcja2.4). Wcześniej, odnotujmy następujący fakt:

Lemat 2.1 ([25], 1.13) Dla dowolnego A ⊆ At(L) takiego, że supA 6= 1zachodzi At(supA) = A.

Dowód. Załóżmy, że x ∈ At(supA) i przypuśćmy, że x 6∈ A. Skoro supA 6= 1to z faktu, że L ma skończenie wiele wymiarów logicznych, wynika, że zbiórA jest skończony; przyjmijmy: A = {a1, . . . , ak}. Z warunkowej dystrybutyw-ności dostajemy wówczas sprzeczność:

x = x∧ supA = x∧ (a1∨ . . .∨ak) = (x∧a1)∨ . . .∨ (x∧ak) = 0∨ . . .∨0 = 0.

Inkluzja przeciwna jest oczywista. ¥

Dla dowolnego zbioru U oraz dowolnej jego partycji P połóżmy:

BW (P) = {X ⊆ U : ∀P∈P |X ∩ P | ¬ 1} ∪ {U}.

Jeżeli P = {P1, . . . , Pn} to dla uproszczenia będziemy pisać BW (P1, . . . , Pn),zamiast BW ({P1, . . . , Pn}). Udowodnimy teraz zapowiedziane twierdzenie.

Twierdzenie 2.3 Dla dowolnego zbioru U oraz dowolnej jego skończonejpartycji P = {P1, . . . , Pn}, o tej własności, że dla każdego i = 1, . . . , n, zbiórPi jest co najmniej dwuelementowy, zachodzi:

i. struktura BW(P) = 〈BW (P),⊆〉 jest BW-kratą,

32

ii. jeśli L = 〈L,¬, 0, 1〉 jest dowolną n-wymiarową BW-kratą o wymiarachlogicznych D1, . . . , Dn takich, że |Di| = |Pi| to L ∼= BW(P).

Dowód. Ad (i) Struktura BW(P) jest kratą ograniczoną: elementem naj-mniejszym jest ∅, największym zaś U . Infimum w BW(P) stanowi iloczynmnogościowy, zaś supremum jest określone wzorem:

X ] Y ={X ∪ Y jeśli X ∪ Y ∈ BW (P)U jeśli X ∪ Y 6∈ BW (P)

. (2.4)

(1) Krata BW(P) jest zupełna. Istotnie, wzór (2.4) można uogólnić:

⊎R ={ ⋃R jeśli

⋃R ∈ BW (P)U jeśli

⋃R 6∈ BW (P),

gdzie R ⊆ BW (P). Istotnie, jeśli⋃R ∈ BW (P) to z własności sumy mno-

gościowej⋃R jest najmniejszym ograniczeniem górnym (w sensie inkluzji)

rodziny R. W przeciwnym przypadku, tj. gdy⋃R 6∈ BW (P), rodzinę R

można ograniczyć z góry (w BW (P)) jedynie elementem U . Jeśli chodzi oinfimum, sprawa jest jasna jako, że iloczyn mnogościowy nie wyprowadzapoza BW (P).

(2) Koatomami kraty BW(P) są n-elementowe podzbiory zbioru U za-wierające dokładnie po jednym punkcie z każdego Pi, czyli

Kt(BW (P)) = {W ⊆ U : ∀1¬i¬n |W ∩ Pi| = 1}.(3) Krata BW(P) jest atomowa:

At(BW (P)) = {{x} : x ∈ U}.(4) Krata BW(P) jest rozdzielona (zbiorem koatomów). Istotnie, niech

X, Y ∈ BW (P) przy czym Y 6⊆ X. Istnieje zatem y ∈ Y r X, przy czymy ∈ Pi dla pewnego 1 ¬ i ¬ n. Rozważmy przypadki: jeśli X ∩ Pi 6= ∅, tobiorąc dowolny koatom W taki, że X ⊆ W (co jest możliwe, gdyż X 6= U)dostajemy Y 6⊆ W . W przeciwnym przypadku, tj. gdy X ∩ Pi = ∅, to wobeczałożenia, że |Pi| ­ 2 istnieje x ∈ Pi przy czym x 6= y. Tym razem biorącjakikolwiek koatom W zawierający zbiór X ∪ {x} dostajemy Y 6⊆ W .

(5) Krata BW(P) jest atomistyczna. Istotnie, dla dowolnego X ∈ BW (L)mamy bowiem:

X =⋃{{x} : x ∈ X} =

⊎{{x} : x ∈ X}.

33

(6) Krata BW(P) jest warunkowo dystrybutywna. Istotnie, przyjmijmy,że X, Y, Z ∈ BW (P) przy czym Y ] Z 6= U . Wówczas Y ] Z = Y ∪ Z, aponadto (X ∩ Y ) ] (X ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z), obliczamy zatem:

X ∩ (Y ] Z) = X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) = (X ∩ Y ) ] (X ∩ Z).

(7) Niech X, Y ∈ BW (P) r {∅, U} przy czym X ] Y = U . WówczasX ∪ Y 6∈ BW (P) lub X ∪ Y = U . Z obydwóch członów alternatywy wynika,że istnieją dwa różne punkty x ∈ X, y ∈ Y takie, że x, y ∈ Pi (dla pewnego1 ¬ i ¬ n). Oczywiście singletony {x}, {y} są atomami, jednak {x} ∪ {y} 6∈BW (P), zatem {x} ] {y} = U , co należało pokazać.

(8) Dla atomów dopełnienie jest przechodnie. Istotnie, ustalmy dowolne{x}, {y}, {z} ∈ At(BW (P)) oraz załóżmy, że {x} ] {y} = U , {y} ] {z} = Uoraz {x} 6= {z}. Z powyższych założeń wynika, że x 6= y, x 6= z i y 6= z.Przyjmijmy ponadto, że x ∈ Pi (dla pewnego 1 ¬ i ¬ n). Wówczas y ∈ Pi iw konsekwencji z ∈ Pi, skąd wynika {x} ] {z} = U .

(9) Wymiarami logicznymi BW(P) są zbiory ilorazowe Pi/=, zatem jestich skończenie wiele.

Ad(ii) Z założeń punktu (ii) wynika, że istnieją bijekcje bi:Di → Pi. Zrozłączności dziedzin i przeciwdziedzin wynika, że b = b1∪. . .∪bn jest bijekcjąz At(L) na U . Jest oczywistym też, że funkcja B:P (At(L)) → P (U) danawzorem:

B(X) = b[X] dla X ⊆ At(L),

jest bijekcją. Funkcją ustalającą szukany izomorfizm jest złożenie funkcji:B ◦At:L→ P (A) (przy czym At w tym kontekście oznacza funkcję At:L→P (At(L)) daną wzorem: At(x) = {a ∈ At(L) : a ¬ x}).

Istotnie, zauważmy po pierwsze, że obydwie funkcje B oraz At są różno-wartościowe (por. lemat 1.2), a zatem również ich złożenie posiada tę wła-sność.

Po drugie, funkcja B ◦ At działa w BW (P). Istotnie, jeśli x ∈ L to dladowolnego 1 ¬ i ¬ n zbiór At(x) zawiera co najwyżej jeden element z Di,zatem b[At(x)] zawiera co najwyżej jeden element z Pi. Wobec dowolności idostajemy stąd b[At(x)] ∈ BW (P), czyli B(At(x)) ∈ BW (P).

Po trzecie, B ◦ At jest surjekcją na BW (P). Istotnie, przyjmijmy, żeY ∈ BW (P). Przypadki gdy Y = ∅ lub Y = U są trywialne, przyjmijmyzatem, że Y = {y1, . . . , yk}, dla pewnego 1 ¬ k ¬ n, przy czym yi ∈ Pi.

34

Z własności funkcji b, dla i = 1, . . . , k istnieje xi ∈ Di takie, że b(xi) = yi.Przyjmując wówczas X = {x1, . . . , xk}, dostajemy:

B(X) = Y oraz supX 6= 1.

Z lematu 2.1 mamy wtedy At(supX) = X, co daje B(At(supX)) = Y .Udowodniono zatem, że B ◦ At jest bijekcją. Zauważmy na koniec, że:

x ¬ y ⇔ At(x) ⊆ At(y) ⇔ b[At(x)] ⊆ b[At(y)] ⇔ B(At(x)) ⊆ B(At(y)),

a zatem z lematu 1.2 wynika, że B ◦ At jest izomorfizmem. ¥

Wyciągnijmy teraz kilka ważniejszych wniosków z udowodnionego twier-dzenia 2.3.

Wniosek 2.3 ([25], 1.16) Jeżeli L jest n-wymiarową BW-kratą o wymia-rach logicznych D1, . . . , Dn to L ∼= BW(D1, . . . , Dn). ¥

Wniosek 2.4 ([25], 1.21) Niech L będzie n-wymiarową BW-kratą o wy-miarach logicznych D1, . . . , Dn. Wówczas dla dowolnego w ∈ Kt(L) i dowol-nego Di istnieje ai ∈ Di, takie, że ai ¬ w, a co więcej w = a1 ∨ . . .∨ an. ¥

Wniosek 2.5 ([17]) Dla dowolnej BW-kraty L = 〈L,¬, 0, 1〉 i dowolnychx ∈ Lr {1}, w ∈ Kt(L), istnieje dokładnie jeden świat wx ∈ Kt(L) taki, żex ¬ wx oraz dla dowolnego y ∈ L:

y ¬ w & x ∨ y 6= 1 ⇒ y ¬ wx. (2.5)

Dowód. Niech D1, . . . , Dn będą wymiarami logicznymi kraty L. Jeśli x jestkoatomem, to przyjmujemy wx = x. W przeciwnym przypadku, wobec wnio-sku 2.4 możemy przyjąć, że:

x = a1 ∨ . . . ∨ ak, w = b1 ∨ . . . ∨ bn, k < n, ai, bi ∈ Di,

i położyć:wx = a1 ∨ . . . ∨ ak ∨ bk+1 ∨ . . . ∨ bn.

Jest oczywistym, że x ¬ wx. Dla weryfikacji warunku (2.5) ustalmy y ¬ wprzy czym x∨y 6= 1. Wówczas y = bi1∨ . . .∨bil dla pewnego l ¬ n. Pokażemy,

35

że bij ¬ wx, dla dowolnego j = 1, . . . , l. Istotnie, jeśli k + 1 ¬ ij ¬ nto oczywiście bij ∈ {bk+1, . . . , bn}, tj. bij ¬ wx. Jeśli zaś 1 ¬ ij ¬ k tobij ∈ {a1, . . . , ak}, w przeciwnym bowiem razie byłoby bij ∨ am = 1 dlapewnego 1 ¬ m ¬ k, co dałoby w rezultacie x ∨ y = 1. Ostatecznie mamyy ¬ wx, co należało pokazać.

Dla dowodu jedyności, przypuśćmy, że w′x ∈ Kt(L) przy czym x ¬ w′xoraz

y ¬ w & x ∨ y 6= 1 ⇒ y ¬ w′x, (2.6)

dla dowolnego y ∈ Y . Pokażemy, że wx ¬ w′x, skąd wyniknie natychmiast,że wx = w′x. Istotnie, dla każdego 1 ¬ i ¬ k mamy ai ¬ x ¬ w′x; ustalmyzatem k + 1 ¬ j ¬ n. Mamy oczywiście bj ¬ w i ponadto x ∨ bj 6= 1. Gdybybowiem x ∨ bj = 1 to z aksjomatu (vii) z definicji 2.1 istniałoby 1 ¬ i ¬ ktakie, że ai ∨ bj = 1, co jest niemożliwe skoro ai ∈ Di, bj ∈ Dj oraz i < j. Z(2.6) dostajemy zatem bj ¬ w′x, co ostatecznie dowodzi, że wx ¬ w′x. ¥

Wniosek 2.6 Jeśli L jest n-wymiarową BW-kratą zaś C ⊆ L łańcuchemmaksymalnym, to l(C) = n+ 1. ¥

Wniosek 2.7 Jeśli L jest BW-kratą to dowolny jej ideał właściwy jest skoń-czoną algebrą Boole’a. Jeśli ponadto, L jest n-wymiarowa oraz w ∈ Kt(L) to(w] ∼= Bn. ¥

Dodajmy na koniec sekcji, że związek BW-krat z modularnością i dystry-butywnością (podstawowymi pojęciami teorii krat) jest bardzo nikły. Każ-da BW-krata co najmniej dwuwymiarowa zawiera pentagon. Istotnie, jeślia, b ∈ D1 (wymiary logiczne są co najmniej dwuelementowe) oraz c ∈ D2, to{0, a, b, b ∨ c, 1} formuje pentagon.BW-kraty jednowymiarowe są modularne; powód jest oczywisty: ich dłu-

gość wynosi 2, pentagon nie może być zatem ich pdkratą. Spośród krat jed-nowymiarowych tylko jedna jest dystrybutywna: B2. Oczywiście niewłaściwaBW-krata B1 jest również dystrybutywna.

2.4 Hierarchia BW-krat

Jest sprawą oczywistą, że kolejność w jakiej wyliczone zostają wymiary lo-giczne BW-kraty, nie wpływa na jej kształt. Ściślej, jeśli D = {D1, . . . , Dn}

36

oraz Dp = {Dp(1), . . . , Dp(n)}, gdzie p jest dowolną permutacją indeksów, toBW(D) = BW(Dp). Możemy wobec tego zakładać, że wymiary logiczne da-nej BW-kraty są uporządkowane według mocy, tzn. jeśli i ¬ j to |Di| ¬ |Dj|.Udowodnimy teraz jeszcze jeden wniosek z twierdzenia 2.3 podający charak-terystykę izomorficzności krat.

Wniosek 2.8 Niech L = 〈L,¬L, 0L, 1L〉 oraz M = 〈M,¬M, 0M, 1M〉 będąBW-kratami, o wymiarach logicznych D1, . . . , Dm oraz E1, . . . , En, odpowied-nio. Wówczas następujące warunki są równoważne:

i. L ∼=M,

ii. m = n oraz |Di| = |Ei|, dla i = 1, . . . , n.

Dowód. Implikacja (ii)⇒(i) jest wnioskiem z twierdzenia 2.3:

L ∼= BW(E1, . . . , En) ∼=M.

(i)⇒(ii) Załóżmy, że h:L→M ustala izomorfizm krat L i M oraz przy-puśćmy niewprost, że m > n. Dla każdego 1 ¬ i ¬ m wybierzmy dokładniejeden element xi ∈ Di. Wówczas dla dowolnych 1 ¬ i < j ¬ m mamyh(xi) 6= h(xj) (gdyż h jest różnowartościowa), zatem z zasady szufladkowejDirichleta:

h(x1 ∨ . . . ∨ xm) = h(x1) ∨ . . . ∨ h(xm) = 1M,

co jednakowoż jest niemożliwe, gdyż x1∨ . . .∨xm 6= 1L. Założenie m > n do-prowadziło zatem do sprzeczności. Podobny argument wyklucza nierównośćprzeciwną, zatem m = n.

Funkcja h jako izomorfizm dwóch krat, atomy przeprowadza na atomy,przy czym jeśli dwa atomy kraty L należą do jednego wymiaru logiczne-go, to ich obrazy będą również w pewnym wymiarze logicznym kraty M.Można przyjąć dla uproszczenia, że jeśli x ∈ Di to h(x) ∈ Ei. Wówczas ła-two sprawdzić, że obcięcie h|Di :Di → Ei jest bijekcją, zatem |Di| = |Ei|. ¥

Wniosek 2.8 daje praktyczną charakteryzację BW-krat: mając wiedzę natemat wymiarów logicznych dwóch BW-krat wiemy czy są, czy też nie sąizomorficzne. Sensu nabiera również pojęcie sygnatury BW-kraty, które de-finiujemy poniżej.

37

Definicja 2.2 Niech L będzie BW-kratą o wymiarach logicznych D1, . . . , Dn.Sygnaturą BW-kraty L nazywamy uporządkowaną n-kę liczb kardynalnych(κ1, . . . , κn), gdzie κi = |Di| dla dowolnego i = 1, . . . , n.

Jako ilustrację rozważmy BW-kraty o ”małych” sygnaturach.

(5) (2,2) (2,3)

(2,2,2)

Rysunek 4

Pojęcie sygnatury prowadzi w naturalny sposób do określenia częściowegoporządku na klasie wszystkich BW-krat. Jeśli L oraz M są BW-kratami

38

odpowiednio o sygnaturach (κ1, . . . , κm) i (ξ1, . . . , ξn) to definiujemy:

L EM ⇔ (m ¬ n & κ1 ¬ ξn−m+1 & κ2 ¬ ξn−m+2 & . . .& κm ¬ ξn).

Zaniedbując kwestię tworzywa z jakiego zbudowane są BW-kraty, tj. zak-kładając, że działamy na reprezentantach BW-krat, dowiedziemy łatwo, żerelacja E jest częściowym porządkiem na klasie BW-krat. Istotnie, zwrotnośći przechodniość są oczywiste, zaś w celu uzasadnienia słabej antysymetrii,przypuśćmy, że L EM oraz M E L. Wówczas łatwo stwierdzamy, że kratyte posiadają tyle samo wymiarów logicznych, przy czym moce odpowiada-jących sobie wymiarów (por. uwaga na początku sekcji) są tak samo liczne,zatem z wniosku 2.8 dostajemy L ∼=M, co należało pokazać.

Relacja E jest również relacją kratową, czyli dla dowolnych dwóch BW-krat L, M o sygnaturach (κ1, . . . , κm), (ξ1, . . . , ξn) istnieje górny oraz dolnykres zbioru {L,M}:

L ∨M = N , L ∧M = K,

gdzie N jest BW-kratą o sygnaturze (max(κ1, ξ1), . . . ,max(κr, ξr)), przyczym r = max(m,n) (jeśli np. κi jest nieokreślone to przyjmjemy, że κi =0). Analogicznie K jest BW-kratą o sygnaturze (min(κ1, ξ1), . . . ,min(κs, ξs)),gdzie s = min(m,n). Dowód tego faktu jest oczywisty.

Przykładowo supremum BW-krat o sygnaturach (2, 2, 6, 8, 9), (2, 5, 5) jestBW-krata o sygnaturze (2, 5, 6, 8, 9) zaś infimum – BW-krata o sygnaturze(2, 2, 5).

Twierdzenie 2.4 Jeżeli L E M to L można zanurzyć homomorficznie wM.

Dowód. Niech D1, . . . , Dm oraz E1, . . . , En będą wymiarami logicznymi od-powiednio BW-krat L i M. Z założenia twierdzenia wynika, że m ¬ n orazdla dowolnego i = 1, . . . ,m istnieje injekcja fi:Di → En−m+i. Łatwo zauwa-żyć, że również f = f1 ∪ . . . ∪ fm jest injekcją. Szukanym zanurzeniem jestfunkcja h:L→M dana wzorem:

h(x) = sup¬M f [AtL(x)],

przy czym AtL(x) = {a ∈ At(L) : a ¬L x}. Dowód tego spostrzeżenia jestelementarny, aczkolwiek nieco przydługi: wymaga rozważenia kilku przypad-ków, opiera się min. na faktach:

39

• At(x ∨ y) = At(x) ∪ At(y), o ile x ∨ y 6= 1 i L jest warunkowo dystry-butywna,

• f [A ∩B] = f [A] ∩ f [B], o ile f jest różnowartościowa,

• supA ∩ B = supA ∧ supB, o ile A,B ⊆ At(L), supA 6= 1, supB 6= 1oraz L jest warunkowo dystrybutywna. ¥

Rysunek 5

Klasę wszystkich BW-krat oznaczmy symbolem BW. Bogactwo BW-krati wzajemne ich relacje częściowo oddaje rysunek 5. Przedstawia on (z dokład-nością do izomorfizmu) fragment kraty 〈BW,E〉. Zaznaczone zostały tylkote BW-kraty, które mają nie więcej niż trzy wymiary logiczne, przy czymkażdy wymiar ma nie więcej niż pięć elementów. B1 oznacza dwuelementową

40

algebrę Boole’a, zaś punkt oznaczony np. 235 jest BW-kratą o sygnaturze(2, 3, 5).

2.5 Zależności między aksjomatami

W sekcji tej przedyskutujemy związki występujące między aksjomatami defi-niującymi BW-kratę, a także przedstawimy równoważne sformułowania (cha-rakteryzacje) aksjomatów (iv) oraz (vi). Na potrzeby całej niniejszej sekcjiustalamy dowolną kratę L = 〈L,¬, 0, 1〉.

2.5.1 Zupełność

Aksjomaty (v) oraz (ix) implikują, że każdy łańcuch w L jest skończony.Istotnie, załóżmy, że |At(L)/∼| = n dla pewnego n naturalnego. Gdyby C ={c1, c2, c3, . . .} był przeliczalnie nieskończonym łańcuchem, przy czym

0 ≺ c1 ≺ c2 ≺ c3 ≺ . . . ,

to z atomistyczności mielibyśmy:

1 ¬ |At(c1)| < |At(c2)| < |At(c3)| < . . . ,

a zatem |At(cn+1)| ­ n+ 1. Wówczas z zasady szufladkowej Dirichleta wyni-ka, że istnieje blok relacji ∼, który zawiera dwa różne elementy z At(cn+1),zatem korzystając jeszcze raz z atomistyczności (por. lemat 1.2) dostajemysprzeczność:

1 > cn+1 = supAt(cn+1) = 1.

Aksjomaty (v) oraz (ix) implikują zatem, że krata L jest skończenie długa(długość dowolnego łańcucha jest nie większa niż n+ 1), jest zatem równieżzupełna.

2.5.2 Rozdzielność

Na początku przedstawimy trzy warunki równoważne z aksjomatem (iv). Óww swoim sformułowaniu przypomina warunki topologiczne; pokażemy, że ma

41

on też czysto algebraiczną charakteryzację, jako pojęcie dualne do pojęciaatomistyczności.

Twierdzenie 2.5 W dowolnej koatomowej kracie L = 〈L,¬, 1〉 następującewarunki są równoważne:

i. L jest rozdzielona zbiorem koatomów Kt(L),

ii. ∀x,y∈L[x 6= y ⇒ ∃w∈Kt(L)((x ¬ w & y 6¬ w) lub (x 6¬ w & y ¬ w))],

iii. ∀x∈L x = inf Kt(x),

iv. ∀x∈L ∃X⊆Kt(L) x = inf X.

Dowód. Implikacja (i)⇒(ii) jest oczywista.(ii)⇒(iii) Ustalmy dowolny x ∈ L. Zauważmy po pierwsze, że x ¬ w,

dla dowolnego w ∈ Kt(x). Po drugie, niech y będzie ograniczeniem dolnymzbioru Kt(x), przy czym przypuśćmy niewprost, że y 6¬ x. Wówczas x < x∨y,zatem istnieje w ∈ Kt(L) takie, że x ¬ w i x ∨ y 6¬ w. Z tego pierwszegowynika, że w ∈ Kt(x), a skoro y jest ograniczeniem zbioru Kt(x), równieży ¬ w, co daje x∨ y ¬ w; sprzeczność. Hipoteza okazała się fałszywa, zatemy ¬ x, skąd ostatecznie wynika, że x = inf Kt(x).

(iii)⇒(i) Ustalmy dowolne x, y ∈ L i załóżmy, że y 6¬ x. Z założenia do-stajemy inf Kt(y) 6¬ inf Kt(x), a zatem Kt(x) 6⊆ Kt(y), co należało pokazać.

Równoważności (iii)⇔(iv) dowodzimy w analogiczny sposób jak równo-ważności (i)⇔(ii) w lemacie 1.2. ¥

Aksjomat (iv) jest niezależny od pozostałych aksjomatów definiującychBW-kratę. Istotnie, rozważmy kratę, którą przedstawia rysunek 6. Łatwosprawdzić, iż krata ta nie jest rozdzielona, a jednocześnie spełnia pozostałeaksjomaty. Warto dodać, że aksjomat (viii) – z którym bywają najczęściejkłopoty – zostaje tu spełniony trywialnie.

2.5.3 Atomistyczność

Mimo iż – jak wynika z twierdzenia 2.5 – atomistyczność jest pojęciem dual-nym do rozdzieloności, sprawa ma się tutaj inaczej niż w sekcji wcześniejszej.Odnotujmy mianowicie twierdzenie:

42

Rysunek 6

Twierdzenie 2.6 Aksjomaty (iv) oraz (vii) implikują (v).

Dowód. Załóżmy, że krata L = 〈L,¬, 0, 1〉 spełnia (iv), (vii) oraz przy-puśćmy, że istnieje x ∈ L taki, że supAt(x) < x. Wówczas z (iv) istniejew ∈ Kt(L) taki, że supAt(x) ¬ w oraz x 6¬ w. Skoro w jest koatomem,to x ∨ w = 1, zatem z aksjomatu (vii) istnieje a ∈ At(x), b ∈ At(w), żea∨ b = 1. Z drugiej jednak stony mamy a ¬ supAt(x) ¬ w, zatem a∨ b ¬ w;sprzeczność. ¥

Uwaga 2.2 Założenia twierdzenia 2.6 są istotne.

Dowód. N5 oraz krata, którą przedstawia rysunek 3(b) stanowią odpowied-nie kontrprzykłady. ¥

2.5.4 Warunkowa dystrybutywność

W sekcji niniejszej najpierw scharakteryzujemy pojęcie warunkowej dystry-butywności, a na koniec udowodnimy, że aksjomat (vi) jest niezależny odpozostałych postulatów definiujących BW-kraty.

J. Hawranek oraz J. Zygmunt w pracy [10] udowodnili twierdzenie charak-teryzujące kraty warunkowo dystrybutywne na modłę twierdzenia Birkhoffa.Rozważmy kraty M⊕

3 , N⊕5 , które przedstawia rysunek 7 i odnotujmy twier-dzenie.

43

M⊕3 N⊕5

Rysunek 7

Twierdzenie 2.7 ([10], 2.5) Niech L = 〈L,¬, 1〉 będzie dowolną kratą zjedynką. Wówczas następujące warunki są równoważne:

i. L jest warunkowo dystrybutywna,

ii. krat M⊕3 , N⊕5 nie da się zanurzyć homomorficznie w L,

iii. każdy właściwy ideał główny w L jest dystrybutywny.

Dowód. (i)⇒(ii) Łatwo zauważyć, że kratyM⊕3 , N⊕5 nie są warunkowo dys-

trybutywne, zatem nie mogą być zanurzone w L.(ii)⇒(iii) Przez kontrapozycję, przypuśćmy, że istnieje właściwy ideał

główny I nie będący dystrybutywną podkratą kraty L. Wówczas z twierdze-nia Birkhoffa 1.1 wynika, że któraś z kratM3 lub N5 może być zanurzona wideale I, zatem któraś z krat M⊕

3 lub N⊕5 może być zanurzona w L.(iii)⇒(i) Ustalmy dowolne x, y, z ∈ L oraz załóżmy, że y∨z 6= 1. Wówczas

ideał (y∨z] jest dystrybutywną podkratą kraty L oraz x∧(y∨z), y, z ∈ (y∨z].Obliczamy zatem korzystając z dystrybutywności w (y ∨ z]:

x∧(y∨z) = (x∧(y∨z))∧(y∨z) = (x∧(y∨z)∧y)∨(x∧(y∨z)∧z) = (x∧y)∨(x∨z).

Tym samym, twierdzenie zostało udowodnione. ¥

Wyciągnijmy wnioski z udowodnionego twierdzenia.

44

Wniosek 2.9 ([10], [12]) Dla dowolnej kraty L = 〈L,¬, 1〉 następujące wa-runki są równoważne:

i. L jest warunkowo dystrybutywna,

ii. ∀x,y,z∈L(x ∨ y 6= 1 & x ∨ z 6= 1 ⇒ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) = x ∨ (y ∧ z)).

Dowód. Implikacja (i)⇒(ii) była już uzasadniona w sekcji 2.2. Dla dowoduimplikacji przeciwnej przypuśćmy, że L nie jest warunkowo dystrybutywna.Wówczas z twierdzenia 2.7 jedną z krat,M⊕

3 lub N⊕5 , można homomorficzniezanurzyć w L. Skoro jednak kraty te nie spełniają warunku (ii) to L równieżgo nie spełnia. ¥

Niech K = {Lα : α < κ} będzie dowolną rodziną krat, przy czym κ jestpewną liczbą kardynalną oraz Lα = 〈Lα,¬α〉. Powiemy, że K jest kleista, gdydla α, β < κ spełnione jest:

Lα ∩ Lβ jest niepustym ideałem w Lα i w Lβ,¬α |Lα∩Lβ×Lα∩Lβ = ¬β |Lα∩Lβ×Lα∩Lβ .

Jeśli rodzina K posiada powyższe własności, definiujemy strukturę⊕K =

〈K,¬K , 1K〉 gdzie:

1K /∈⋃{Lα : α < κ},K =

⋃{Lα : α < κ} ∪ {1K},¬K=

⋃{¬α: α < κ} ∪ {(x, 1K) : x ∈ K}.Łatwo zobaczyć, że

⊕K jest kratą; nazywamy ją K-sumą.

Wniosek 2.10

i. Każdą warunkowo dystrybutywną kratę L = 〈L,¬, 1〉 da się przedstawićjako K-sumę dystrybutywnych krat, gdzie

K = {〈I,¬ |I×I〉 : I jest właściwym ideałem głównym w L}.

ii. Dla dowolnej kleistej rodziny K krat dystrybutywnych,⊕K jest kratą

warunkowo dystrybutywną. ¥

45

Przechodzimy z kolei do kwestii niezależności aksjomatu (vi). Rozważmykratę zilustrowaną przez rysunek 8 oraz odnotujmy twierdzenie.

Twierdzenie 2.8 Aksjomat (vi) jest niezależny od pozostałych warunkówdefiniujących BW-kraty.

Dowód. Krata z rysunku 8 zawiera jako swoją podkratę kratę M⊕3 , zatem

z twierdzenia 2.7 wynika, że nie jest ona warunkowo dystrybutywna. Weryfi-kacja pozostałych aksjomatów, zwłaszcza (vii), polega na cierpliwej analizienaszej kraty. ¥

Rysunek 8

2.5.5 Aksjomat (vii)

Aksjomat (vii) jest niezależny od reszty aksjomatów. Aby się o tym przeko-nać wystarczy rozważyć trójwymiarową algebrę Boole’a B3. Sprawdzenie nienastręcza trudności.

2.5.6 Aksjomat (viii)

Rozważmy kratę, którą obrazuje rysunek 9 i odnotujmy twierdzenie.

46

Rysunek 9

Twierdzenie 2.9 Aksjomat (viii) jest niezależny od pozostałych warunkówdefiniujących BW-kraty.

Dowód. Łatwo zauważyć, że krata z rysunku 9 nie spełnia aksjomatu (viii).Jedynie aksjomat (vii) wymaga skrupulatnego sprawdzenia; pozostałe sąspełnione trywialnie. ¥

2.5.7 Aksjomat (ix)

Rozważmy partycję P = {{i,−i} ⊆ Z : i ∈ N r {0}} i zastosujmy do niejoperację BW (·) opisaną w sekcji 2.3. Łatwo sprawdzić, że krata 〈BW (P),⊆〉spełnia wszystkie aksjomaty oprócz (ix).

47

Rozdział 3

Uogólnienia BW-krat

W rozdziale tym omówimy pewne słabsze od BW-krat struktury, które wiążąsię z odrzuceniem aksjomatu o przechodnim dopełnieniu dla atomów tj. ak-sjomatu (viii) z definicji 2.1. Istnieją mianowicie dość poważne – jak sądzimy– problemy z filozoficzną wykładnią tego warunku. W ramach przykładu ilu-strującego ową trudność, rozważmy następujące zdania pewnego podjęzykajęzyka polskiego, w którym są one zdaniami prostymi:

Sławek czyta Hłaskę, Sławek pływa żabką, Sławek siedzi.

Nasze standardowe rozumienie zdań języka polskiego podpowiada, iż zda-nie pierwsze wyklucza drugie, drugie wyklucza trzecie, zaś pierwsze i trzecienie wykluczają się. Zastanowimy się czy takie rozumienie uda nam się sforma-lizować na gruncie ontologii sytuacji. Po pierwsze, załóżmy więc, że powyższezdania mają swoje korelaty semantyczne w pewnej kracie sytuacji elemen-tarnych L, odpowiednio a, b, c, przy czym, skoro nasze zdania są proste, toa, b, c są atomami w L. Dalej, jeśli zdanie Sławek czyta Hłaskę wyklucza zda-nie Sławek pływa żabką to nie może być tak, że korelaty semantyczne tychzdań zachodzą w pewnym świecie w, czyli nie jest tak, że a ¬ w i b ¬ w,dla pewnego w ∈ Kt(L). Stąd mamy a ∨ b = 1. Podobnie argumentującdostajemy b ∨ c = 1. Gdyby krata L spełniała aksjomat (viii) byłoby rów-nież a ∨ c = 1, co nie da się pogodzić z naszym standardowym rozumieniemzdań języka polskiego. Nie istnieje zatem adekwatna formalizacja wyrażająca

48

nasze standardowe rozumienie, na gruncie krat sytuacji elementarnych speł-niających aksjomat (viii). Inaczej mówiąc, aby sformalizować standardowerozumienie rozważanych zdań, należy wyjść poza kraty spełniające aksjomat(viii). Z tego powodu, można postawić tezę, iż aksjomat (viii) jest nieade-kwatny, gdyż prowadzi do nadmiernych restykcji semantycznych.

W rozdziale niniejszym omówimy operację BW (·) w szerszym kontekście,aplikować ją będziemy mianowicie do dowolnych rodzin zbiorów (pokryć), anie tylko do rodzin zbiorów rozłącznych (partycji), jak w rozdziale wcześniej-szym. Okaże się, że w rezultacie dostaniemy kraty sytuacji elementarnych, wktórych aksjomat (viii) nie będzie spełniony, przy czym większość ważnychwłasności BW-krat zostanie zachowane.

3.1 Operacja BW (·)W 2.3 operacja BW (·) została wprowadzona jako funkcja przekształcającadowolną partycję (jakiegokolwiek zbioru) w kratę. Udowodniliśmy twierdze-nie 2.3, mówiące, że jeśli partycja P jest skończona oraz jej elementy są conajmniej dwuelementowe, to zbiór BW (P) z relacją inkluzji formuje BW-kratę. W sekcji niniejszej zastanowimy się nad tym, do jakich struktur pro-wadzi operacja BW (·) jeśli o P założymy, że jest jedynie pokryciem pewnegozbioru.

Niech U będzie dowolnym zbiorem niepustym oraz C ⊆ P (U) dowol-nym jego pokryciem. Łatwo zauważyć, że zbiór BW (C) wraz z relacją in-kluzji formuje kratę (nie wnikamy na razie w kwestię jej dodatkowych wła-ności). Operacja BW (·) jako operacja przekształcająca partycję w kratę mawłasność bycia różnowartościową, tzn. dla dowolnych partycji P1, P2 jeże-li P1 6= P2 to BW (P1) 6= BW (P2). Tej własności BW (·) nie posiada jakofunkcja przekształcająca pokrycia. Istotnie, jeśli U = {x, y, z} oraz C1 ={{x, y}, {x, z}, {y, z}}, C2 = {U} to mamy wówczas BW (C1) = BW (C2) ={∅, {x}, {y}, {z}, U}, a stąd BW(C1) = BW(C2).

W dalszej części sformułujemy pewne warunki takie, że obcięcie BW (·) doklasy pokryć spełniających te warunki okaże się być operacją różnowartościo-wą. Wcześniej jednak zastanowimy się nad związkiem zachodzącym międzypojęciem pokrycia zbioru a pojęciem tolerancji na tym zbiorze.

Niech U będzie dowolnym niepustym zbiorem, zaś Θ – tolerancją na U .Tolerancja wyznacza jednoznacznie zbiór bloków U/Θ, przy czym suma mno-

49

gościowa bloków pokrywa zbiór U . Każda tolerancja wyznacza zatem pewnepokrycie, mianowicie U/Θ.

Łatwo zauważyć, że również z każdym pokryciem C związana jest pewnatolerancja ΘC dana wzorem, dla x, y ∈ U :

xΘCy ⇔ ∃C∈C x, y ∈ C.

Relacja ΘC jako tolerancja wyznacza zbiór bloków U/ΘC . Powstaje zatem wnaturalny sposób pytanie o to, jakie własności musi spełniać pokrycie C abyzachodziła równość: C = U/ΘC .

Dla dowolnego x ∈ U i dowolnego pokrycia C ⊆ P (U) przyjmijmy, żeCx = {C ∈ C : x ∈ C} i rozważmy warunki:

∀C∈C ∀x∈UrC C 6⊆⋃ Cx, (3.1)

∀X⊆U((∀x,y∈X ∃C∈C x, y ∈ C)⇒ (∃D∈C X ⊆ D)). (3.2)

Zauważmy najpierw, że warunek (3.1) implikuje, że elementy pokrycia Csą maksymalne w sensie inkluzji, tzn.

∀C,D∈C(C ⊆ D ⇒ C = D).

Ponadto, obydwa warunki (3.1) i (3.2) są niezależne; poniższe diagramy pre-zentują odpowiednie kontrprzykłady.

Rysunek 10

50

Lemat 3.1 Dla dowolnego zbioru U 6= ∅ i dowolnego pokrycia C ⊆ P (U)spełniającego warunki (3.1) i (3.2), prawdziwa jest równość C = U/ΘC .

Dowód. Pokażemy po pierwsze, że (3.1) implikuje inkluzję C ⊆ U/ΘC . Istot-nie, załóżmy, że C ∈ C. Wtedy xΘCy dla dowolnych x, y ∈ C, zatem istniejepewien blok B relacji ΘC, w którym mieści się C. Gdyby jednak C byłowłaściwie zawarte w B, tj. gdyby x ∈ B r C (dla pewnego x), wtedy dladowolnego y ∈ C istniałby zbiór Cy ∈ C taki, że x, y ∈ Cy. Wówczas docho-dzimy jednak do sprzeczności z postulatem (3.1):

C ⊆⋃{Cy : y ∈ C} ⊆ ⋃ Cx.

Przypuszczenie B r C 6= ∅ doprowadziło do sprzeczności, zatem B = C, azatem C ∈ U/ΘC .

Po drugie, uzasadnimy, że z (3.2) wynika inkluzja przeciwna U/ΘC ⊆ C.Niech mianowicie B będzie dowolnym blokiem relacji ΘC. Z definicji, każdedwa elementy bloku B są ze sobą w relacji ΘC, zatem z (3.2) wnioskujemy,że istnieje pewne C ∈ C takie, że B ⊆ C. Skoro jednak B jest blokiem todostajemy B = C (por. (1.2)), a stąd B ∈ C, co należało okazać. ¥

Lemat 3.2 Dla dowolnego zbioru U 6= ∅ i dowolnego pokrycia C ⊆ U jeśliC = U/ΘC to pokrycie C spełnia warunki (3.1) i (3.2).

Dowód. Po pierwsze pokażemy, że inkluzja C ⊆ U/ΘC implikuje (3.1). Wtym celu załóżmy, że C ∈ C oraz x ∈ U r C oraz przypuśćmy niewprost, żeC ⊆ ⋃ Cx. Z hipotezy wnioskujemy, że każde dwa elementy zbioru C ∪ {x}są ze sobą w relacji ΘC. Z drugiej jednak strony, z założonej inkluzji wynika,że C jest blokiem relacji ΘC, a to jest niemożliwe, gdyż x 6∈ C.

Po drugie, załóżmy, że U/ΘC ⊆ C, a ponadto ustalmy dowolne X ⊆ U , otej własności, że każde dwa jego elementy są ze sobą w relacji ΘC. Wówczasistnieje blok B relacji ΘC taki, że X ⊆ B, a z założonej inkluzji wynika, żeB ∈ C; pokrycie C spełnia zatem warunek (3.2). ¥

Twierdzenie 3.1 Niech U będzie dowolnym zbiorem zawierającym co naj-mniej trzy elemeny, zaś C,D jego dowolnymi pokryciami spełniającymi po-stulaty (3.1) oraz (3.2). Wówczas jeśli C 6= D to BW (C) 6= BW (D).

51

Dowód. Bez straty ogólności przyjmijmy, że istnieje C takie, że C ∈ C rDoraz przypuśćmy niewprost, że BW (C) = BW (D). Rozważymy dwa przy-padki i pokażemy, że odydwa prowadzą do sprzeczności.

(1) Jeśli istnieją x, y ∈ C takie, że x 6= y oraz {x, y} ∈ BW (D) to zhipotezy również {x, y} ∈ BW (C), a stąd {x, y} = U ; sprzeczność.

(2) Przeciwny przypadek zapiszmy jak następuje:

∀x,y∈C(x 6= y ⇒ {x, y} 6∈ BW (D)).

Z definicji BW (D) dostajemy:

∀x,y∈C ∃D∈D x, y ∈ D,zatem z warunku (3.2) istnieje E ∈ D takie, że C ⊆ E. Zauważmy po-nadto, że C 6= E (w przeciwnym przypadku byłoby C ∈ D; sprzeczność),zatem istnieje e ∈ E r C. Z warunku (3.1) mamy wówczas C 6⊆ ⋃ Ce gdzieCe = {X ∈ C : e ∈ X}; słowami: zbioru C ∪ {e} nie da się pokryć zbioramiz Ce. Istnieje zatem c ∈ C takie, że c 6∈ X, dla dowolnego X ∈ Ce. Stąd{c, e} ∈ BW (C), zatem z hipotezy również {c, e} ∈ BW (D). Skoro jednakc, e ∈ E ∈ D to musi być {c, e} = U co jest sprzecznością. ¥

Uwaga 3.1 Założenie |U | ­ 3 w powyższym twierdzeniu jest konieczne.

Dowód. Niech U = {x, y} oraz C = {{x}, {y}}, D = {U}. Obydwa pokryciaspełniają warunki (3.1), (3.2), a jednak BW (C) = BW (D). Dla pozostałychprzypadków, tj. |U | = 1 lub |U | = 0 twierdzenie jest trywialnie prawdziwe.¥

3.2 T-kraty

Definicja 3.1 T-kratą nazywamy każdą kratę spełniającą aksjomaty (i)-(iii),(v)-(vii) oraz (ix) z definicji 2.1.

T-kraty są zatem z definicji kratami ogólniejszymi niż BW-kraty. O ileBW-kraty są związane z pewną partycją albo z pewną relacją równoważności(por. twierdzenie 2.3), tak T-kraty – jak pokażemy – są związane z pewnympokryciem oraz pewną tolerancją. Termin ”T-krata” został właśnie przez naswybrany, by podkreślał zależność omawianych tu krat od relacji tolerujących.Odnotujmy najpierw analogon twierdzenia 2.3 dla T-krat.

52

Twierdzenie 3.2

i. Jeżeli C jest skończoną rodziną zbiorów co najmniej dwuelementowych,to zbiór BW (C) formuje T-kratę (ze względu na inkluzję).

ii. Dla dowolnej T-kraty L = 〈L,¬, 0, 1〉 istnieje rodzina zbiorów C taka,że L ∼= BW(C).

Dowód. Punkt (i) dowodzimy tak samo jak punkt (i) w twierdzeniu 2.3. Dladowodu punktu (ii) zauważmy, że relacja ∼ ⊆ At(L)× At(L) dana wzorem:

x ∼ y ⇔ x = y lub x ∨ y = 1

jest tolerancją na zbiorze At(L). Niech C będzie zbiorem wszystkich blo-ków relacji ∼. Funkcją ustalającą szukany izomorfizm jest funkcja At:L →P (At(L)). W analogiczny sposób jak w twierdzeniu 2.3 (i) pokazujemy, żeAt działa w C oraz, że jest bijekcją zachowującą porządek, co z lematu 1.1pozwala stwierdzić, że At jest izomorfizmem krat. ¥

Wobec powyższego twierdzenia, klasę wszystkich T-krat można scharakte-ryzować (z dokładnością do izomorfizmu) jako klasę krat generowanych przezoperację BW (·), aplikowanej do dowolnej skończonej rodziny zbiorów co naj-mniej dwuelementowych. Co więcej, wobec twierdzenia 3.1 można ograniczyćsię do rodzin spełniających warunki (3.1) i (3.2) omawianych w poprzedniejsekcji.

Klasa wszystkich T-krat jest znacznie obszerniejsza od klasy BW-krat.Dla przykładu, jeżeli uniwersum (na którym zadane są pokrycia) jest czte-roelementowe U = {1, 2, 3, 4} mamy siedem nieizomorficznych T-krat, któreilustruje rysunek 11. Kraty te wygenerowane zostały z odpowiednich pokryć,które przedstawia z kolei rysunek 12.

Spośród wyrysowanych powyżej krat tylko dwie są rozdzielone i jedno-cześnie są to BW-kraty (pierwsza i ostatnia). Zważając na to, że aksjomat(viii) z definicji 2.1 jest niezależny od pozostałych warunków definiującychBW-kratę (por. sekcja 2.5.6), istnieją T-kraty rozdzielone i nie spełniają-ce aksjomatu (viii). Istotnie, taką kratę przedstawia rysunek 9, (por. sekcja2.5.6).

53

Rysunek 11

Z punktu widzenia następnych rozdziałów, istotne są kraty rozdzielone,tzn. kraty spełniające warunek (iv) w definicji 2.1. Dlatego też poświęcimyteraz nieco uwagi T-kratom rozdzielonym. Niech C będzie skończoną rodzinązbiorów conajmniej dwuelementowych, dla której spełnione są warunki (3.1)i (3.2) oraz przyjmijmy, że U =

⋃ C. Rozważmy następujący warunek:

D 6⊆ C ⇒ ∃W∈Kt(BW (C))(C ⊆ W & D 6⊆ W ), (3.3)

dla C,D ∈ BW (C). Oczywiście warunek powyższy jest wprost aksjomatem(iv) sformułowanym dla kraty BW(C). Należy mimo to zauważyć, że jak-kolwiek jest on również warunkiem na pokrycie C, ponieważ definicja zbioru

54

BW (C) nie zależy od (iv). Dla sprawiedliwości trzeba jednak przyznać, że(3.3) nie daje żadnej intuicyjnej wskazówki jak szukać pokryć, które generująrozdzielone T-kraty. Znalezienie eleganckiego warunku, który by implikował(a jeszcze lepiej, by był równoważny) rozdzieloność T-kraty, pozostaje zatemkwestią otwartą.

Rysunek 12

3.3 Rozdzielone kraty ilorazowe

Bogusław Wolniewicz w [24] rozważając półkraty górne (tj. zbiory częściowouporządkowane z określoną operacją supremum), przedstawia prostą meto-dę usuwania elementów nierozdzielalnych, przez ich ”zlepianie”. W niniejszejsekcji skorzystamy z wyników Wolniewicza oraz nieco je rozszerzymy. Przedewszystkim operację ”zlepiania” przeprowadzimy na gruncie krat sytuacji ele-mentarnych. Po drugie, przedyskutujemy kwestię zachowywania przez tę ope-rację własności T-krat.

Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną kratą sytuacji elementarnych. Dladowolnych x, y ∈ L połóżmy:

x ≈ y ⇔ ∀w∈Kt(L)(x ¬ w ⇔ y ¬ w).

Jeśli x ≈ y to powiemy, że e-sytuacje x, y są nierozdzielalne (zbiorem światówmożliwych w kracie L). Łatwo zauważyć, że relacja ≈ jest równoważnością

55

na L, rozbija zatem uniwersum kraty L na klasy abstrakcji:

L/≈ = {[x] : x ∈ L}.Podstawowe własności relacji ≈ ujmujemy w poniższym lemacie.

Lemat 3.3 Dla dowolnych x, y, z, t ∈ L zachodzi co następuje:

i. x ≈ y ⇒ x ≈ x ∨ y,

ii. x ≈ y & z ≈ t ⇒ x ∨ z ≈ y ∨ t,iii. x ∧ y ≈ x ⇒ x ∨ y ≈ y,

iv. x ¬ y ¬ z & x ≈ z ⇒ x ≈ y ≈ z,

v. sup[x] ∈ [x],

vi. [1] = {1}.Dowód. Ustalmy dowolne w ∈ Kt(L). Ad (i) Jeśli x ¬ w to z założeniax ≈ y wynika, że y ¬ w, zatem x ∨ y ¬ w. Z drugiej strony, jeśli x ∨ y ¬ wto oczywiście x ¬ w.

Ad (ii) Na podstawie założeń dostajemy następujący ciąg równoważności:

x ∨ z ¬ w ⇔ (x ¬ w & z ¬ w) ⇔ (y ¬ w & t ¬ w) ⇔ y ∨ t ¬ w.

Ad (iii) Jeśli y ¬ w to oczywiście x ∧ y ¬ w, zatem z założenia równieżx ¬ w, skąd dostajemy: x ∨ y ¬ w. Z drugiej strony, jeśli x ∨ y ¬ w tooczywiście y ¬ w.

Ad (iv) Pokażemy jedynie, że x ≈ y; w tym celu załóżmy, że x ¬ w.Wówczas z ¬ w (bo x ≈ z), a dalej y ¬ w. Z drugiej strony, jeśli y ¬ w tooczywiście x ¬ w.

Ad (v) Niech x ¬ w. Wówczas dla dowolnego y ∈ [x] mamy y ¬ w, zatemz własności supremum dostajemy: sup[x] ¬ w, co należało pokazać. Z drugiejstrony, jeśli sup[x] ¬ w to oczywiście x ¬ w.

Dodajmy, że w powyższym rozumowaniu korzystaliśmy z założenia, że ist-nieje supremum zbioru [x], a zatem z zupełności kraty sytuacji elementarychL.

Ad (vi) Załóżmy przez kontrapozycję, że x 6= 1. Z koatomowości, istniejewówczas w0 ∈ Kt(L) takie, że x ¬ w0. Skoro jednak 1 6¬ w0, dostajemyx 6≈ 1. ¥

56

Uwaga 3.2 Relacja ≈ nie jest kongruencją kratową, w szególności nie jestspełniony warunek:

x ≈ y & z ≈ t ⇒ x ∧ z ≈ y ∧ t.

Dowód. Jako kontrprzykład wystarczy rozważyć drugą (licząc od lewegogórnego rogu) kratę z rysunku 11. Mamy tam 1 ≈ 14 chociaż, 1∧ 4 6≈ 14∧ 4.¥

Wobec punktu (v) powyższego lematu w dowolnym A ∈ L/≈ istniejeelement największy, który oznaczamy 1A. Zdefiniujmy relację ¬ ⊆ L/≈×L/≈jak następuje:

A ¬ B ⇔ 1A ¬ 1B,

dla A,B ∈ L/≈. Jest sprawą oczywistą, że relacja zdefiniowana powyżej jestrelacją częściowego porządku. Nieco mniej trywialnym jest fakt, że jest onarelacją kratową. Aby to pokazać, odnotujmy jeszcze jeden lemat.

Lemat 3.4 Dla dowolnych A,B ∈ L/≈ oraz a ∈ A, b ∈ B zachodzi:

a ¬ b ⇒ 1A ¬ 1B.

Dowód. Pokażemy implikację:

a ¬ 1B ⇒ 1A ¬ 1B,

skąd wyniknie już łatwo teza naszego lematu. Załóżmy mianowicie, że a ¬ 1B.Wówczas a ¬ 1A ∧ 1B ¬ 1A, zatem z lematu 3.3(iv) dostajemy 1A ∧ 1B ≈ 1A.Dalej, z lematu 3.3(iii) wynika, że 1A ∨ 1B ≈ 1B, a skoro 1B jest największyw B to 1A ∨ 1B = 1B, czyli 1A ¬ 1B. ¥

Jako prostą konsekwencję lematu 3.4 dostajemy wniosek:

Wniosek 3.1 Dla dowolnych a, b ∈ L zachodzi:

a ¬ b ⇒ [a] ¬ [b].

Dowód. Przyjmijmy, że a ∈ A, b ∈ B, dla pewnych A,B ∈ L/≈. Skoroa ¬ b, to z lematu 3.4 mamy 1A ¬ 1B, a zatem:

[a] = [1A] ¬ [1B] = [b]. ¥

57

Określimy teraz kresy w zbiorze L/≈; dla A,B ∈ L/≈ kładziemy:

A ∨B = [1A ∨ 1B], (3.4)A ∧B = [1A ∧ 1B]. (3.5)

Pokażemy najpierw, że operacja ∨ zdefiniowana wzorem (3.4) odpowiadaoperacji supremum w L/≈. Po pierwsze, z wniosku 3.1 dostajemy: [1A] ¬[1A∨ 1B], tj. A ¬ A∨B. Po drugie, ustalmy dowolne C ∈ L/≈ i przypuśćmy,że A ¬ C oraz B ¬ C. Wówczas [1A] ¬ [1C ], [1B] ¬ [1C ], zatem z definicjirelacji ¬ mamy 1A ¬ 1C , 1B ¬ 1C , tj. 1A ∨ 1B ¬ 1C . Stąd i z wniosku 3.1dostajemy:

A ∨B = [1A ∨ 1B] ¬ [1C ] = C.

Obecnie w podobny sposób udowodnimy, że wzór (3.5) definiuje infimum.Po pierwsze, 1A ∧ 1B ¬ 1A, zatem z wniosku 3.1 mamy [1A ∧ 1B] ¬ [1A]. Podrugie, jeśli [1C ] ¬ [1A] oraz [1C ] ¬ [1B], to 1C ¬ 1A ∧ 1B, zatem z wniosku3.1: [1C ] ¬ [1A ∧ 1B], co należało pokazać.

Wobec powyższych uwag odnotujmy twierdzenie.

Twierdzenie 3.3 Krata L/≈ = 〈L/≈,¬, [1]〉 jest rozdzielona.

Dowód. Zauważmy najpierw, że jeśli w ∈ Kt(L) to [w] ∈ Kt(L/≈) przyczym 1[w] = w. Ustalmy dowolne A,B ∈ L/≈ i załóżmy, że B 6¬ A. Wówczas1B 6¬ 1A, a ponadto z własności klas abstrakcji mamy A∩B = ∅, skąd wyni-ka, że 1A 6≈ 1B. Istnieje wobec tego w ∈ Kt(L) taki, że 1A ¬ w oraz 1B 6¬ w,więc ostatecznie [1A] ¬ [w] i [1B] 6¬ [w] co należało pokazać. ¥

Powiemy, że operacja /≈ zachowuje własność φ wtedy i tylko wtedy, gdyzachodzi implikacja:

krata L spełnia własność φ ⇒ krata L/≈ spełnia własność φ.

Zastanowimy się obecnie, które z własności T-krat są zachowywane przezoperację /≈. Wobec uwagi 3.2 można się spodziewać, że – niezbyt ściśle mó-wiąc – te własności, które związane są z kresem dolnym kraty L, nie będązachowywane. Wyniki na ten temat ujmuje poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 3.4 Operacja /≈ nie zachowuje:

i. warunkowej dystrybutywności,

58

ii. własności bycia atomem,

iii. atomistyczności,

iv. atomowości,

v. aksjomatu (vii).

Dowód. Ad (i) Pokrycie {{a, b, c}, {c, d, e}, {e, f}, {f, a}} generuje T-kratę z rysunku 13(a), która po ilorazowaniu daje kratę z rysunku 13(b)(punkt np. be oznacza [be]). Łatwo zauważyć, że zawiera ona jako swoją pod-kratę kratęM⊕

3 zatem z twierdzenia 2.7 nie jest warunkowo dystrybutywna.Ad (ii) Element c w kracie 13(a) jest atomem, ale [c] w kracie ilorazowej

13(b) już atomem nie jest.Ad (iii) Ta sama krata 13(a) jest atomistyczna, ale 13(b) już nie jest (z

powodu punktu cf).Ad (iv) Karta L którą teraz zajmiemy się jest atomowa, jednakowoż L/≈

okaże się nie mieć tej własności. Krata L/≈ musi być więc nieskończona (skorokażda skończona krata jest atomowa), a zatem tym bardziej L musi byćnieskończona. Uniwersum kraty L to rodzina zbiorów liczb porządkowych,dana następująco:

L = {∅} ∪ {{n} : n ∈ ω} ∪ {ω r {0, . . . , n} : n ∈ ω} ∪ {ω} ∪ {ω ∪ {ω}}∪

∪{ω ∪ {ω + 1}} ∪ {(ω ∪ {ω + (n+ 2)})r {0, . . . , n} : n ∈ ω} ∪ {ω + ω}.W ten sposób zdefinowany zbiór L wraz z relacją inkluzji formuje kratę

atomową, przy czym At(L) = {{n} : n ∈ ω}. Fragment tej kraty przedstawiarysunek 14.

Nie jest trudno zauważyć, że relacja ≈ zlepia następujące pary elementów:

{0} ≈ ω,

{1} ≈ ω r {0},{2} ≈ ω r {0, 1},{3} ≈ ω r {0, 1, 2};

ogólnie:{n+ 1} ≈ ω r {0, . . . , n},

59

dla n ∈ ω. Pozostałe elementy są rozdzielone. Krata ilorazowa przedstawiasię zatem tak, jak widać na rysunku 15. Jest oczywiste, że nie posiada onażadnego atomu.

Ad (v) Rozważmy jeszcze raz kratę z rysunku 13(a). Spełnia ona oczywi-ście aksjomat (vii), natomiast krata 13(b) nie spełnia go dla pary punktów:cf i bdf . ¥

(a) (b)

Rysunek 13

Fakt, że operacja /≈ gubi ważne własności T-krat, świadczy raczej, że niejest ona adekwatnym narzędziem w badaniu krat sytuacji elementarnych.Powstaje jednakowoż ciekawy problem, polegający na wskazaniu (możliwienajwiększej) takiej klasy pokryć C, by operacja:

C 3 C 7→ BW(C) 7→ BW(C)/≈generowała T-kraty rozdzielone, a więc by operacja /≈ zachowywała aksjo-maty (i), (iii), (v), (vi), (vii).

60

Rysunek 14

Rysunek 15

61

Rozdział 4

Rozdzielone kraty sytuacjielementarnych. Semantyka

4.1 Relacja weryfikowania, własności podsta-wowe

Rozważmy język zdaniowy S = 〈S,∧,∨,→,¬〉 oraz ustalmy dowolną kratęsytuacji elementarnych L = 〈L,¬, 0, 1〉. Zakładamy, że zdania proste (zmien-ne) mają swoje korelaty semantyczne w dziedzinie e-sytuacji atomowych;niech s:V → At(L) będzie właśnie takim wartościowaniem. Przyjmijmy na-stępującą definicję dla x ∈ L, α, β ∈ S:

x °s p ⇔ s(p) ¬ x, dla p ∈ V (4.1)

x °s α ∧ β ⇔ x °s α & x °s β, (4.2)

x °s ¬α ⇔ ∀w∈Kt(x) w 6°s α, (4.3)

x °s α ∨ β ⇔ ∀w∈Kt(x)(w °s α lub w °s β), (4.4)

x °s α→ β ⇔ ∀w∈Kt(x)(w °s α ⇒ w °s β). (4.5)

Wartościowanie s nazywamy wartościowaniem sytuacyjnym dla odróżnieniaod np. wartościowania zero-jedynkowego. Będziemy opuszczali przymiotnik

62

”sytuacyjny” zawsze tam, gdy z kontekstu wiadomo będzie o jakie warto-ściowanie chodzi. Relację °s nazywamy relacją weryfikowania (wyznaczonąprzez wartościowanie s), jeśli zaś x °s α, mówimy, że e-sytuacja x weryfikuje(w sensie wartościowania s) zdanie α.

Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 oraz s:V → At(L) będą ustalone. W rozdzialeniniejszym będziemy badali ogólne własności relacji weryfikowania, tzn. takiektóre nie zależą od parametru s. Dla zyskania przejrzystości będziemy zatemopuszczać indeks relacji °s pisząc x ° α, zamiast x °s α.

Odnotujmy podstawowe własności relacji weryfikowania.

Lemat 4.1 Dla dowolnych x, y ∈ L, α, β ∈ S zachodzi:

i. x ° α ∨ β ⇔ x ° ¬(¬α ∧ ¬β),

ii. x ° α→ β ⇔ x ° ¬(α ∧ ¬β),

iii. x ° α & x ¬ y ⇒ y ° α,

iv. x ° α & y ° β ⇒ x ∨ y ° α ∧ β,v. 1 ° α,

vi. x ° α ∧ ¬α ⇔ x = 1,

vii. x ° α ⇒ x ° ¬¬α,viii. x 6= 1 & x ° ¬¬α ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° α,

ix. ∀w∈Kt(x)(w ° α ⇒ w ° β) ⇒ x ° α→ β,

x. x ° ¬α ⇔ ∀z∈L(z ° α ⇒ x ∨ z = 1).

Dowód. Ze względu na podstawowy charakter niniejszego lematu, dowódprzeprowadzimy skrupulatnie.

Ad (i) Korzystając z definicji relacji ° obliczamy jak następuje:

x ° ¬(¬α∧¬β) ⇔ ∀w∈Kt(x) w 6° ¬α∧¬β ⇔ ∀w∈Kt(x)(w 6° ¬α lub w 6° ¬β)

⇔ ∀w∈Kt(x)(w ° α lub w ° β) ⇔ x ° α ∨ β.Ad (ii) Podobnie jak powyżej mamy:

x ° ¬(α∧¬β) ⇔ ∀w∈Kt(x) w 6° α∧¬β ⇔ ∀w∈Kt(x)(w 6° α lub w 6° ¬β)

63

⇔ ∀w∈Kt(x)(w ° α ⇒ w ° β) ⇔ x ° α→ β.

Ad (iii) Niech x ° α oraz x ¬ y; wówczas oczywiście Kt(y) ⊆ Kt(x).Dowód prowadzimy indukcyjnie ze względu na budowę formuły α. Jeśli α =p, gdzie p ∈ V spawa jest oczywista: s(p) ¬ x ¬ y, zatem y ° p.

Jeżeli α = β ∧ γ to z warunku (4.2) mamy x ° β oraz x ° γ, więc zzałożenia indukcyjnego y ° β i y ° γ, co daje y ° β ∧ γ.

Jeśli α = ¬β to dostajemy łatwo:

x ° ¬β ⇒ ∀w∈Kt(x) w 6° β ⇒ ∀w∈Kt(y) w 6° β ⇒ y ° ¬β.Z uwagi na udowodnione punkty (i) i (ii) prowadzony dowód indukcyjny

możemy w tym miejscu zakończyć. Istotnie, resztę dowodu da się wykonaćbez potrzeby korzystania z założenia indukcyjnego, w następujący sposób:

x ° β ∨ γ ⇒ x ° ¬(¬β ∧ ¬γ) ⇒ ∀w∈Kt(x) w 6° ¬β ∧ ¬γ⇒ ∀w∈Kt(y) w 6° ¬β ∧ ¬γ ⇒ y ° ¬(¬β ∧ ¬γ) ⇒ y ° β ∨ γ,

i analogicznie dla implikacji.Ad (iv) Jeśli x ° α oraz y ° β to z udowodnionego punktu (iii) wynika,

że x ∨ y ° α i x ∨ y ° β, zatem x ∨ y ° α ∧ β.Ad(v) Prosty dowód indukcyjny.Ad(vi) Przypuśćmy niewprost, że x 6= 1. Wówczas istnieje pewien świat

w ∈ Kt(x), a skoro x ° α to w ° α. Skoro jednak x |= ¬α to w szczególnościw 6° α; sprzeczność. Implikacja przeciwna wynika z (v).

Ad(vii) Załóżmy, że x ° α; jeśli x = 1 to z punktu (v) dostajemy oczy-wiście x ° ¬¬α. W przeciwnym przypadku, gdy x 6= 1 z (vi) mamy:

∀w∈Kt(x) w 6° ¬α,a zatem x ° ¬¬α.

Ad(viii) Skoro x ° ¬¬α i x 6= 1 to wobec (vi) x 6° ¬α; stąd i z definicjidostajemy tezę.

Ad(ix) Przypuśćmy niewprost, że x 6° α → β. Istnieje wtedy w ∈ Kt(x)taki, że w ° α oraz w 6° β. Z tego pierwszego i z założenia dostajemy jednakw ° β, co wobec punktu (vi) jest sprzecznością, gdyż x 6= 1.

Ad(x) Implikacja ⇒ jest oczywista z punktu (vi). Dla dowodu implikacji⇐ ustalmy dowolne w ∈ Kt(x). Wówczas z założenia dostajemy implikację:

w ° α ⇒ w = 1,

64

skąd ostatecznie w 6° α. ¥

Twierdzenie 4.1 Niech w ∈ Kt(L) oraz α, β ∈ S będą dowolnie ustalone;wówczas:

i. w ° α ∧ β ⇔ w ° α & w ° β,

ii. w ° α ∨ β ⇔ w ° α lub w ° β,

iii. w ° α→ β ⇔ w 6° α lub w ° β,

iv. w ° ¬α ⇔ w 6° α.

Dowód wszystkich czterech punktów jest oczywisty z samej definicji relacjiweryfikowania. ¥

Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną ale ustaloną kratą sytuacji elemen-tarnych. Powiemy, że zdanie α ∈ S jest tautologią kraty L wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnej interpretacji s:V → At(L) i dla dowolnego x ∈ L,zachodzi x °s α. Zważając na lemat 4.1(iii), zdanie α jest tautologią kratyL, gdy 0 °s α dla każdej funkcji s:V → At(L). Zbiór wszystkich tautologiikraty L oznaczamy przez TR(L), tj.:

α ∈ TR(L) ⇔ (0 °s α, dla dowolnej interpretacji s:V → At(L)). (4.6)

Głównym celem sekcji 4.3, jak również rozdziału 5 będzie uchwyceniezwiązku między tautologiami KRZ a tautologiami kraty sytuacji elementar-nych. Pierwszym krokiem w tym kierunku jest poniższe twierdzenie, któredowodzimy bez trudu w oparciu o twierdzenie 4.1 i definicję relacji weryfiko-wania.

Twierdzenie 4.2 Niech L będzie kratą sytuacji elementarnych. Wówczaskażdy aksjomat KRZ (zob. definicja 1.3) jest tautologią kraty L.

Dowód prowadzimy dokonując elementarnej argumentacji. Dla przykładuuzasadnimy jedynie, że prawo sylogizmu jest weryfikowane w zerze. Ustalmymianowicie dowolny w ∈ Kt(L) i załóżmy, że:

w ° α→ β, w ° β → γ, w ° α.

Z twierdzenia 4.1 dostajemy łatwo w ° γ. ¥

65

4.2 Relacja weryfikowania a forsing intuicjo-nistyczny

Model Kripkego to uporządkowana trójka (K,¬, ϕ) taka, że 〈K,¬〉 jest czę-ściowym porządkiem, zaś ϕ:V → P (K) jest funkcją spełniającą warunek:

x ∈ ϕ(p) & x ¬ y ⇒ y ∈ ϕ(p),

dla dowolnych x, y ∈ K, p ∈ V . Dla lepszego porównania relacji weryfi-kowania z relacja forsowania intuicjonistycznego ±ϕ (por. [5]; [20], s. 198)wzbogaćmy uniwersum modelu Kripkego o nowy element 1, o którym bę-dziemy zakładać, że jest to ”świat niemożliwy”, czyli taki świat, w którymkażde zdanie jest prawdziwe, tj. 1 ±ϕ α, dla α ∈ S; ponadto, zakładamy,że x ¬ 1 dla x ∈ K. Przy takiej modyfikacji warunki definiujące fosingintuicjonistyczny przybierają postać:

x ±ϕ p ⇔ x ∈ ϕ(p), dla p ∈ V (4.7)

x ±ϕ α ∧ β ⇔ x ±ϕ α & x ±ϕ β, (4.8)

x ±ϕ ¬α ⇔ ∀x¬y<1 y 6±ϕ α, (4.9)

x ±ϕ α ∨ β ⇔ (x ±ϕ α lub x ±ϕ β), (4.10)

x ±ϕ α→ β ⇔ ∀x¬y(y ±ϕ α ⇒ y ±ϕ β). (4.11)

Jeżeli w ϕ(p) (dla dowolnego p ∈ V ) istnieje element najmniejszy towarunek (4.7) jest równoważny z (4.1), a zatem (4.1) jest szczególnym przy-padkiem (4.7).

Warunek (4.2) jest tożsamy z (4.8). Podobnie, abstrahując od faktu, żekrata jest koatomowa, warunek (4.3) przybiera postać:

x °s ¬α ⇔ ∀x¬y<1 y 6°s α.

Warunki (4.4) oraz (4.5) są słabsze niż odpowiadające im warunki for-sowania intuicjonistycznego (4.10) i (4.11), odpowiednio. Istotnie, łatwo za-uważyć, że:

x ° α lub x ° β ⇒ x ° α ∨ β.Implikacja przeciwna natomiast nie zachodzi; istotnie rozważmy czteroele-mentową algebrę Boole’a o atomach a i b. Jako wartościowanie weźmy funk-cję s taką, że s(p) = a. Wówczas b °s ¬p, a zatem 0 6°s p, 0 6°s ¬p, a jednak0 °s p ∨ ¬p.

66

Z podobnych wględów mamy:

∀x¬y(y °s α⇒ y °s β) ⇒ x °s α→ β,

przy czym podobnie jak wcześniej implikacja przeciwna nie jest prawdziwa.Rozważmy mianowicie liniowo uporządkowaną kratę {0, 1

2 , 1}, i interpretacjęs(p) = 1

2 . Mamy wówczas: 0 °s (p→ p)→ p i 0 °s p→ p ale 0 6°s p.

4.3 Semantyka krat rozdzielonych

Udowodnione twierdzenie 4.2 prowokuje do postawienia pytania:

Czy dla dowolnej tautologii KRZ α, prawdą jest, że 0L °s α?

(gdzie L jest kratą sytuacji elementarnych, zaś s:V → At(L) dowolnymwartościowaniem zmiennych). Ze względu na wspomniane twierdzenie oraztwierdzenie Posta o pełności KRZ (por. twierdzenie 1.6), aby uzyskać pozy-tywną odpowiedź na postawiony problem, wystarczyłoby pokazać, że regułamodus ponens jest weryfikowana w zerze, czyli:

0L °s α→ β ⇒ (0L °s α ⇒ 0L °s β). (4.12)

Jak już było wspomniene w sekcji 4.2, własność ta nie jest spełniona w liniowouporządkowanej kracie {0, 1

2 , 1}, przy interpretacji s(p) = 12 .

Poniżej podamy algebraiczny odpowiednik semantycznej własności (4.12).Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną kratą sytuacji elementarnych. Powie-my, że L jest rozdzielona w punkcie x ∈ L (symbolicznie: sep(x)) wtedy itylko wtedy, gdy:

∀y 6¬x ∃w∈Kt(x) y 6¬ w.

Dodajmy, że przy tym oznaczeniu, krata L jest rozdzielona (por. definicja2.1(iv)) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x∈L sep(x). Udowodnimy teraz lemat uj-mujący ważną własność krat rozdzielonych.

Lemat 4.2 Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną kratą sytuacji elementar-nych, zaś s:V → At(L) dowolnym wartościowaniem zmiennych. Ustalmyponadto x ∈ L i załóżmy, że sep(x); dla dowolnego α ∈ S zachodzi wówczas:

x 6°s α ⇒ ∃w∈Kt(x) w °s ¬α.

67

Dowód lematu poprowadzimy indukcyjnie ze względu na budowę zdania α.Skoro wartościowanie s jest ustalone, będziemy dla przejrzystości opuszczaliindeks s przy relacji weryfikowania.

Niech α = p, dla pewnego p ∈ V . Wówczas x 6° p oznacza, że s(p) 6¬ x,a skoro sep(x) zatem istnieje w ∈ Kt(x) takie, że s(p) 6¬ w, tj. w 6° p. Ztwierdzenia 4.1 mamy zatem w ° ¬p.

Załóżmy teraz, że α = ¬β. Obliczamy:

x 6° ¬β ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° β ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° ¬¬β.Niech z kolei α = β ∧ γ. Bez straty ogólności możemy założyć, że x 6° β.

Wówczas z założenia indukcyjnego istnieje w ∈ Kt(x) takie, że w ° ¬β.Łatwo zauważyć, że również w ° ¬(β ∧ γ).

Niech α = β ∨ γ; obliczamy bez trudu:

x 6° β ∨ γ ⇒ ∃w∈Kt(x)(w 6° β & w 6° γ) ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° ¬β ∧ ¬γ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° ¬¬(¬β ∧ ¬γ) ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° ¬(β ∨ γ).

Jeśli w końcu α = β → γ to:

x 6° β → γ ⇒ x 6° ¬(β ∧ ¬γ) ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° β ∧ ¬γ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° ¬¬(β ∧ ¬γ) ⇒ ∃w∈Kt(x) w ° ¬(β → γ). ¥

Uwaga 4.1 Założenie sep(x) w twierdzeniu 4.2 jest konieczne.

Dowód. Wystarczy rozważyć algebrę Boole’a B2 z tzw. masztem, tj. pięcio-elementową kratę o uniwersum {0, a, b, c, 1} uporządkowanym tak: 0 < a, b <c < 1. ¥

Twierdzenie 4.3 Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną kratą sytuacji ele-mentarnych oraz x ∈ L. Wówczas, jeżeli sep(x) to dla dowolnego s:V →At(L) oraz α, β ∈ S:

x °s α→ β ⇒ (x °s α ⇒ x °s β).

Jeśli ponadto L jest skończenie atomistyczna, to prawdziwa jest również im-plikacja przeciwna.

68

Dowód. Załóżmy, że x °s α → β, x °s α oraz przypuśćmy niewprost, żex 6°s β. Stąd i z założenia sep(x), dostajemy wobec lematu 4.2, że istniejew ∈ Kt(x), takie, że w °s ¬β. Wówczas w °s α ∧ ¬β, a z drugiej strony, zlematu 4.1(ii), również w °s ¬(α ∧ ¬β); sprzeczność.

Załóżmy teraz, że krata L jest skończenie atomistyczna; udowodnimyimplikację przeciwną. Przez kontrapozycję załóżmy mianowicie, że istniejey 6¬ x takie, że:

∀w∈Kt(x) y ¬ w. (4.13)

Jest oczywistym, że y 6= 0 zatem supY = y dla pewnego skończonego zbioruatomów Y ⊆ At(L). Podobnie, jeśli x 6= 0, niech X będzie skończonymzbiorem atomów takim, że supX = x ; w przeciwnym przypadku kładziemyX = ∅.

Jako wartościowanie bierzemy dowolną funkcję s:V → At(L) taką, żeX ∪ Y ⊆ s[V ] (możemy to zrobić skoro X ∪ Y jest zbiorem skończonym).Łatwo teraz zauważyć, że istnieją zdania α, β ∈ S o własnościach jak niżej:

z °s α ⇔ x ¬ z, (4.14)

z °s β ⇔ y ¬ z, (4.15)

dla każdego z ∈ L. Istotnie, dla (4.14) zauważmy, że jeżeli X = ∅, kładziemyα = p → p, dla dowolnie ustalonego p ∈ V . W przypadku przeciwnym, gdyX = {x1, . . . , xk}, istnieją zdania atomowe p1, . . . , pk ∈ V , takie, że s(pi) = xi(dla i ¬ k). Łatwo sprawdzić, że koniunkcja α = p1 ∧ . . . ∧ pk spełnia (4.14).Analogiczny argument uzasadnia (4.15).

Z warunku (4.14) mamy oczywiście x °s α oraz x 6°s β. Nasz dowódbędzie kompletny, jeśli pokażemy, że x °s α → β. Ustalmy w tym celuw ∈ Kt(x) i zauważmy, że z (4.13) dostajemy y ¬ w, a więc z (4.15) w °s β.Stąd ostatecznie x °s α→ β. ¥

Wniosek 4.1 Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie kratą sytuacji elementarnych.Jeśli L jest rozdzielona, to dla dowolnych s:V → L, α, β ∈ S i x ∈ Lzachodzi:

x °s α→ β ⇔ ∀x¬y(y °s α ⇒ y °s β). (4.16)

Ponadto, jeśli L jest skończenie atomistyczna, to zachodzi również implikacjaprzeciwna.

69

Dowód. Ustalmy x ¬ y i załóżmy, że x °s α→ β oraz y °s α. Krata L jestrozdzielona, więc w szczególności sep(y), a zatem z twierdzenia 4.3 dostaje-my y °s β. Implikacja przeciwna równoważności (4.16) wynika trywialnie zlematu 4.1(ix).

Aby dowieść drugiej części tezy załóżmy, że L jest skończenie atomistycz-na przy czym spełniona jest równoważność (4.16) dla dowolnej interpretacjis:V → At(L), e-sytuacji x ∈ L oraz zdań α, β ∈ S. Z twierzenia 4.3 wynikawięc, że sep(x), co wobec dowolności x oznacza, że krata L jest rozdzielona. ¥

Odnotujmy szczególny przypadek twierdzenia 4.3:

Wniosek 4.2 Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną kratą sytuacji elemen-tarnych. Wówczas następujące warunki są równoważne:

i. sep(0),

ii. 0 °s α → β ⇒ (0 °s α ⇒ 0 °s β), dla dowolnego s:V → At(L) orazα, β ∈ S.

Dowód. Implikacja (i)⇒(ii) jest szczególnym przypadkiem twierdzenia 4.3.Implikację przeciwną (ii)⇒(i) uzasadnimy przez kontrapozycję. Załóżmy mia-nowicie, że istnieje y ∈ L taki, że y 6= 0 oraz

∀w∈Kt(0) y ¬ w.

Istnieje wówczas atom a ∈ At(y) przy czym:

∀w∈Kt(L) a ¬ w.

Rozważmy wartościowanie s:V → At(L) przyjmujące wartość w a, tj. s(p) =a dla pewnego p ∈ V . Łatwo zauważyć, że 0 6°s p oraz 0 °s p→ p. Naśladującdowód twierdzenia 4.3 pokazujemy bez trudu, że 0 °s (p → p) → p, coostatecznie kończy naszą argumentację. ¥

Wniosek 4.3 Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną kratą sytuacji elemen-tarnych, zaś s:V → At(L) dowolnym wartościowaniem zmiennych. Jeżelisep(0), to dla dowolnego α ∈ S zachodzi:

α jest tautologią KRZ ⇒ 0 °s α.

70

Dowód 1. Konsekwencja twierdzenia Posta o pełności KRZ, twierdzenia 4.2oraz wniosku 4.2.Dowód 2. Przez kotrapozycję załóżmy, że 0 6°s α. Wówczas z lematu 4.2istnieje w ∈ Kt(L) takie, że w °s ¬α. Rozważmy zero-jedynkowe wartościo-wanie v:S → {0, 1} dane przez poniższą równoważność:

v(pi) = 1 ⇔ w °s pi,

dla dowolnego pi ∈ V . Łatwą indukcją dowodzimy jak następuje:

v(ϕ) = 1 ⇔ w °s ϕ, (4.17)

dla ϕ ∈ S. Istotnie, jeśli ϕ jest zmienną, równoważność jest prawdziwa zdefinicji; załóżmy zatem, że (4.17) zachodzi dla formuł ψ, ϑ. Krok indukcyjnywykonujemy korzystając z założenia indukcyjnego i twierdzenia 4.1. Jeśliϕ = ψ ∧ ϑ, obliczamy bez trudu:

v(ϕ) = 1 ⇔ v(ψ ∧ ϑ) = 1 ⇔ [v(ψ) = 1 & v(ϑ) = 1]

⇔ [w °s ψ & w °s ϑ] ⇔ w °s ψ ∧ ϑ ⇔ w °s ϕ;

dla ϕ = ψ ∨ ϑ:

v(ϕ) = 1 ⇔ v(ψ ∨ ϑ) = 1 ⇔ [v(ψ) = 1 lub v(ϑ) = 1]

⇔ [w °s ψ lub w °s ϑ] ⇔ w °s ψ ∨ ϑ ⇔ w °s ϕ;

dla ϕ = ψ → ϑ:

v(ϕ) = 1 ⇔ v(ψ → ϑ) = 1 ⇔ [v(ψ) = 0 lub v(ϑ) = 1]

⇔ [w 6°s ψ lub w °s ϑ] ⇔ w °s ψ → ϑ ⇔ w °s ϕ;

i podobnie dla ϕ = ¬ψ:

v(ϕ) = 1 ⇔ v(¬ψ) = 1 ⇔ v(ψ) = 0

⇔ w 6°s ψ ⇔ w °s ¬ψ ⇔ w °s ϕ.

Tym samym równoważność (4.17) została udowodniona. Jako wniosek zniej, dostajemy v(¬α) = 1 zatem v(α) = 0. Skontruowaliśmy więc zero-jedynkowe wartościowanie falsyfikujące zdanie α; stąd α nie jest tautologiąKRZ. ¥

71

4.4 Tautologie kraty a tautologie e-matrycy

Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie kratą sytuacji elementarnych. Jak było powie-dziane w sekcji 2.2, w każdej kracie sytuacji elementarnych jest wyróżnionydokładnie jeden koatom wL nazywany światem realnym. Parę L = 〈L, wL〉będziemy nazywali matrycą sytuacji elementarnych lub krócej e-matrycą.

Zwróćmy uwagę na fakt, że definicja tautologii kraty w żaden sposób niezależała od świata realnego wL. W sekcji niniejszej wprowadzimy pokrewnepojęcie tautologii e-matrycy (por. [19]) i zbadamy jego związek z pojęciemtautologii kraty. Powiemy mianowicie, że zdanie α ∈ S jest tautologią e-matrycy L = 〈L, wL〉 (symbolicznie: α ∈ TR(L)), wtedy i tylko wtedy, gdywL °s α, dla dowolnego wartościowania s:V → At(L).

Twierdzenie 4.4 Jeżeli L = 〈L,¬, 0, 1〉 jest kratą sytuacji elementarnychspełniającą warunki sep(0) oraz At(wL) 6= At(L) to TR(L) = TR(L).

Dowód. Inkluzja TR(L) ⊆ TR(L) jest oczywista. Dla dowodu inkluzji prze-ciwnej ustalmy dowolne α ∈ S i załóżmy, że 0 6°t α dla pewnego wartościo-wania t:V → At(L). Z lematu 4.2 istnieje w ∈ Kt(L) taki, że w °t ¬α. Przypomocy interpretacji t skonstruujemy interpretację s:V → At(L) taką, żewL 6°s α.

Rozważmy zero-jedynkowe wartościowanie v:S → {0, 1} dane przez po-niższą równoważność:

v(pi) = 1 ⇔ w °t pi,

dla dowolnego pi ∈ V . Łatwą indukcją dowodzimy jak następuje:

v(ϕ) = 1 ⇔ w °t ϕ, (4.18)

dla ϕ ∈ S. Istotnie, jeśli ϕ jest zmienną, równoważność jest prawdziwa zdefinicji. Krok indukcyjny wykonujemy korzystając z założenia indukcyjnegoi twierdzenia 4.1, rozumując dokładnie tak samo jak w dowodzie 2. wniosku4.3.

Jako wniosek z (4.18), dostajemy v(¬α) = 1. Dla każdego pi ∈ V połóż-my teraz:

pi ={

pi jeśli v(pi) = 1 (⇔ w °t pi)¬pi jeśli v(pi) = 0 (⇔ w 6°t pi)

72

oraz zdefiniujmy (używając pewnika wyboru) interpretację s:V → At(L) wnastępujący sposób:

s(pi) ∈ At(wL) ⇔ w °t pi.

Stosując jeszcze raz metodę indukcyjną, na podstawie twierdzenia 4.1 orazzałożenia At(wL) 6= At(L), dowodzimy bez trudu:

wL °s ϕ ⇔ w °t ϕ. (4.19)

Skoro jednak w °t ¬α to oczywiście w 6°t α, zatem z (4.19) dostajemyostatecznie wL 6°s α, co było do okazania. ¥

Uwaga 4.2 Założenie At(wL) 6= At(L) jest istotne.

Dowód. Przypuśćmy, że At(wL) = At(L) oraz ustalmy dowolne zdanie p ∈ Vi interpretację s:V → A(L). Wówczas oczywiście 0 6°s p, a z drugiej stronys(p) ∈ At(L) = At(wL), zatem wL °s p. ¥

Uwaga 4.3 Nie umiemy rozstrzygnąć czy sep(0) jest warunkiem koniecz-nym. ¥

4.5 Weryfikatory, miejsca logiczne i obiekty-wy zdań

Na potrzeby rozważań niniejszej sekcji ustalmy dowolną kratę sytuacji ele-mentarnych L = 〈L,¬, 0, 1〉 oraz wartościowanie s:V → At(L). Dla dowol-nego zdania α ∈ S połóżmy:

Vs(α) = {x ∈ L : x °s α},

Ms(α) = {w ∈ Kt(L) : w °s α},

Os(α) = {x ∈ Vs(α) : ∀y∈Vs(α)(y ¬ x⇒ x = y)}.

73

Zbiór Vs(α) nazywamy (por. [25], s. 58) zbiorem weryfikatorów zdania α (przywartościowaniu s), zbiór Ms(α) – miejscem logicznym zdania α (przy warto-ściowaniu s), zaś zbiór Os(α) – obiektywem zdania α (przy wartościowanius). Ponadto, ogół weryfikatorów (w kracie L przy interpretacji s) oznaczmyprzez VL,s, ogół miejsc logicznych (w kracie L przy interpretacji s), przezML,s, zaś ogół obiektywów (w kracie L przy interpretacji s), przez OL,s. Za-wsze tam, gdzie krata L i interpretacja s są ustalone – jak w tej sekcji –będziemy opuszczali indeksy we wprowadzonych oznaczeniach.

Jako oczywisty wniosek z twierdzenia 4.1 odnotujmy następujące twier-dzenie.

Twierdzenie 4.5 StrukturaM = 〈M,∩,∪,′ , ∅, Kt(L)〉 jest algebrą Boole’a,tzn. dla dowolnych α, β ∈ S zachodzi:

i. ∅ ⊆M(α) ⊆ Kt(L),

ii. M(α) ∩M(β) = M(α ∧ β),

iii. M(α) ∪M(β) = M(α ∨ β),

iv. M(α)′ = M(¬α) = Kt(L)rM(α). ¥

Lemat 4.3 Jeśli krata L jest rozdzielona, to dla dowolnego α ∈ S zachodzi:

V (α) ⊆ V (β) ⇔ M(α) ⊆M(β).

Dowód. Implikacja ⇒ jest w sposób oczywisty prawdziwa w każdej kracie.Dla dowodu implikacji ⇐ ustalmy x ∈ L i załóżmy, że x ° α. Wówczasmamy:

∀w∈Kt(L)(x ¬ w ⇒ w ° α),

a dalej z założenia:∀w∈Kt(L)(w ° α ⇒ w ° β),

skąd wynika, że:∀w∈Kt(L)(x ¬ w ⇒ w ° β). (4.20)

Gdyby teraz przypuścić, że x 6° β to z lematu 4.2 dostalibyśmy, że istniejew0 ∈ Kt(x) takie, że w0 ° ¬β, a to jest sprzeczne z (4.20). ¥

74

Uwaga 4.4 Założenie, że krata L jest rozdzielona jest istotne.

Dowód. Wystarczy rozważyć algebrę Boole’a B2 z masztem (zob. dowóduwagi 4.1). ¥

Rozważmy teraz system relacyjny 〈V,@〉, gdzie:

V (α) @ V (β) ⇔ V (α) ⊇ V (β).

Relacja @ jest oczywiście relacją częściowego porządku. W poniższym lemaciedowodzimy, że jest ona również kratowa, o ile krata L jest rozdzielona.

Lemat 4.4 Jeśli L jest rozdzielona to relacja @ jest relacją kratową, tzn.dla dowolnych α, β ∈ S zachodzi:

i. sup@{V (α), V (β)} = V (α ∧ β),

ii. inf@{V (α), V (β)} = V (α ∨ β).

Dowód. Ad (i) Po pierwsze, oczywiście V (α ∧ β) ⊆ V (α), zatem V (α) @V (α ∧ β). Załóżmy teraz, że V (α), V (β) @ V (γ); mamy wówczas:

V (γ) ⊆ V (α), V (β) ⇒ V (γ) ⊆ V (α ∧ β) ⇒ V (α ∧ β) @ V (γ).

Ad (ii) Jest oczywistym, że V (α) ⊆ V (α ∨ β), zatem V (α ∨ β) @ V (α).Załóżmy że V (γ) @ V (α), V (β); korzystając z lematu 4.3 obilczamy:

V (α), V (β) ⊆ V (γ) ⇒ M(α),M(β) ⊆M(γ) ⇒ M(α) ∪M(β) ⊆M(γ)

⇒ M(α ∨ β) ⊆M(γ) ⇒ V (α ∨ β) ⊆ V (γ) ⇒ V (γ) @ V (α ∨ β). ¥Wobec udowodnionego lematu 4.4 struktura V = 〈V,@〉 jest kratą o ile

krata sytuacji elementarnych (z której tamta jest ”zbudowana”) jest rozdzie-lona. Wprowadźmy oznaczenia:

V (α) t V (β) = V (α ∧ β),

V (α) u V (β) = V (α ∨ β).

75

Krata V jest dystrybutywna:

V (α)t(V (β)uV (γ)) = V (α)tV (β∨γ) = V (α∧(β∨γ)) = V ((α∧β)∨(α∧γ))

= V (α ∧ β) u V (α ∧ γ) = (V (α) t V (β)) u (V (α) t V (γ))

Równość dualną uzasadniamy analogicznie. Dalej zauważmy, że dla dowolne-go α ∈ S zachodzi:

L @ V (α) @ {1},przy czym L = V (p∨¬p) oraz {1} = V (p∧¬p). Na koniec, zauważmy jeszcze,że:

V (α) t V (¬α) = V (α ∧ ¬α) = {1},V (α) u V (¬α) = V (α ∨ ¬α) = L,

co wobec dystrybutywności kraty V (jedyność dopełnienia, zob. 1.1) oznacza,że jest ona komplementarna. Można wobec tego zdefiniować funkcję dopełnie-nia: V (α)′ = V (¬α). Jako podsumowanie powyższych rozważań odnotujmytwierdzenie.

Twierdzenie 4.6 Jeżeli krata sytuacji elementarnych L = 〈L,¬, 0, 1〉 jestrozdzielona, to struktura V = 〈V,t,u,′ , L, {1}〉 jest algebrą Boole’a. ¥

Przejdziemy teraz z kolei do charakteryzacji obiektywów. Na początekpodkreślmy, że obiektyw O(α) zdania α może być zbiorem pustym. Dziejesię tak wtedy, gdy nie istnieją minimalne e-sytuacje w rozważanej kracie sytu-acji elementarnych, które weryfikują zdanie α. W tym przypadku O(α) = ∅.Tego typu okoliczność jest możliwa wyłącznie w kratach nieskończenie dłu-gich, chociaż tak być nie musi (przykład kraty nieskończenie długiej, w którejO(α) 6= ∅ dla każdego α ∈ S, podamy w sekcji 5.1). W dalszej części niniejszejsekcji implicite zakładamy, że krata sytuacji elementarnych jest dla naszegocelu odpowiednia, tzn. żaden obiektyw nie jest zbiorem pustym. Przy tym za-łożeniu, własności weryfikatorów można z powodzeniem ”przetransportować”na obiektywy.

Odpowiednikiem relacji @ jest w dziedzinie obiektywów relacja b zdefi-niowana poniżej (por. [25], II.2.1):

O(α) b O(β) ⇔ ∀x∈O(β) ∃y∈O(α) y ¬ x,

dla dowolnych O(α), O(β) ∈ O. Relacja b jest częściowym porządkiem.Zwrotność i przechodniość jest oczywista, pokażemy więc jedynie, że jest ona

76

słabo antysymetryczna. Załóżmy przeto, że O(α) b O(β) oraz O(β) b O(α).Jeśli x ∈ O(β), istnieje wówczas y ∈ O(α) takie, że y ¬ x, a z drugiej stronyistnieje z ∈ O(β) przy czym z ¬ y. Stąd z ¬ x, a z własności obiektywówz = x, zatem x = y = z i ostatecznie x ∈ O(α). Tym sposobem udowodnili-śmy: O(β) ⊆ O(α); inkluzję przeciwną dowodzi się analogicznie.

Używając podobnych argumentów jak w dowodzie lematów 4.3 i 4.4 do-wodzimy następujących faktów.

Lemat 4.5 Jeśli krata L jest rozdzielona, to dla dowolnego α ∈ S zachodzi:

O(β) b O(α) ⇔ M(α) ⊆M(β). ¥

Lemat 4.6 Jeśli L jest rozdzielona to relacja b jest relacją kratową, tzn.dla dowolnych α, β ∈ S zachodzi:

i. supb{O(α), O(β)} = O(α ∧ β),

ii. infb{O(α), O(β)} = O(α ∨ β). ¥

Struktura 〈O,b〉 jest kratą, wprowadźmy zatem oznaczenia:

O(α) dO(β) = O(α ∧ β),

O(α) eO(β) = O(α ∨ β).

Zauważmy, że w O istnieje zero oraz jedynka. Istotnie, dla dowolnego α ∈ Szachodzi:

{0} b O(α) b {1}.przy czym {0} = O(p ∨ ¬p) oraz {1} = O(p ∧ ¬p). Dalej, łatwo dowodzimy,że krata 〈O,b, {0}, {1}〉 jest dystrybutywna i komplementarna, czyli:

O(α) dO(¬α) = O(α ∧ ¬α) = {1},O(α) eO(¬α) = O(α ∨ ¬α) = {0},

definiujemy zatem funkcję dopełnienia:

O(α)′ = O(¬α).

Wobec powyższych uwag zachodzi twierdzenie.

Twierdzenie 4.7 Jeżeli krata sytuacji elementarnych L = 〈L,¬, 0, 1〉 jestrozdzielona, to struktura O = 〈O,d,e,′ , {0}, {1}〉 jest algebrą Boole’a. ¥

77

Rozdział 5

Pełność KRZ względem kratsytuacji elementarnych

W rozdziale niniejszym pokażemy pełność klasycznego rachunku zdań KRZwzględem krat sytuacji elementarnych, przy warunkach interpretacji zdańokreślonych przez (4.1)-(4.5).

Z filozoficznego punktu widzenia szczególnie istotny jest ten przypadek,gdy interpretacja zmiennych jest funkcją różnowartościową. Żądanie to ozna-cza, że posługujemy się takim językiem (przy czym przez język rozumiemyteraz język z ustalonym sposobem rozumienia wyrażeń), w którym różne zda-nia atomowe opisują różne sytuacje. Przeciwny przypadek, gdy interpretacjas ”zlepia” zmienne, jest w pewnym sensie nieinteresujący, gdyż o bogactwiejęzyka świadczy przede wszystkim klasa sytuacji, które można w tym językuopisać. Jeśli np. V jest zbiorem zmiennych pewnego języka S oraz rozumieniezmiennych ustala odwzorowanie s:V → At(L) (gdzie L jest strukturą w któ-rą interpretuje się zdania), przy czym s ”zlepia” pewne zmienne, to istniejejęzyk S ′, o zbiorze zmiennych V ′, który opisuje dokładnie te same sytuacje,a przy tym interpretacja s′:V ′ → At(L) jest różnowartościowa. Istotnie, zde-finiujmy przy pomocy aksjomatu wyboru zbiór V ′, jako ogół reprezentantówklas abstrakcji względem relacji ∼s ⊆ V × V danej wzorem:

p ∼s q ⇔ s(p) = s(q),

78

dla p, q ∈ V . Język S ′ jest generowany z V ′ przy pomocy spójników zdanio-wych, zaś s′ – obcięciem s do V ′. Języki S oraz S ′ są tak samo bogate, coznaczy, że opisują dokładnie te same sytuacje.

Wobec powyższych uwag, wygodne będzie przyjąć następującą definicję:dla dowolnej kraty sytuacji elementarnych L = 〈L,¬, 0, 1〉 oraz zdania α ∈ Składziemy:

α ∈ TR•(L) ⇔ (0 °s α, dla s:V → At(L), takiej, że obcięcie s|At(α)

jest funkcją różnowartościową),

gdzie At(α) oznacza zbiór zmiennych występujących w zdaniu α.

5.1 Krata uniwersalna

Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie dowolną kratą sytuacji elementarnych, zaśs:V → At(L) dowolnym wartościowaniem zmiennych. Dla każdego zbioruzdań Γ ⊆ S, zdania β ∈ S kładziemy:

Γ °L,s β ⇔ ∀x∈L(x °s Γ ⇒ x °s β),

gdziex °s Γ ⇔ ∀α∈Γ x °s α,

dla dowolnego x ∈ L. Dodajmy, że dla Γ = ∅ mamy:

∅ °L,s β ⇔ ∀x∈L(x °s ∅ ⇒ x °s β) ⇔ 0 °s β.

Definicja 5.1 Niech L = 〈L,¬, 0, 1〉 będzie kratą sytuacji elementarnych,zaś s:V → At(L) dowolną interpretacją zmiennych.

i. Parę (L, s) nazywamy modelem sytuacyjnym.

ii. Model sytuacyjny (L, s) nazywamy uniwersalnym wtedy i tylko wtedy,gdy dla dowolnego zbioru formuł Γ ⊆ S oraz β ∈ S zachodzi:

β ∈ Cn2(Γ) ⇔ Γ °L,s β. (5.1)

iii. Kratę L nazywamy uniwersalną, gdy istnieje wartościowanie s:V →At(L) takie, że model (L, s) jest uniwersalny.

79

Zauważmy, że wprost z powyższej definicji wynika, że jeśli model (L, s)jest uniwersalny to s jest funkcją różnowartościową. Istotnie, jeśli s(pi) =s(pj) dla pi, pj ∈ V to 0L °s pi → pj chociaż oczywiście pi → pj 6∈ CL, czyli(5.1) nie zachodzi. Model (L, s) nie jest zatem uniwersalny.

Idąc krok dalej, wnioskujemy, że żadna krata L nie może być uniwersalnajeśli liczność jej atomów jest mniejsza niż liczność zmiennych zdaniowych.Skoro naszym ogólnym założeniem jest, że zbiór V jest nieskończony, żad-na krata o skończonej liczbie atomów nie jest uniwersalna. W szczególnościzatem żadna krata skończona nie jest uniwersalna.

Z podobnych powodów, żadna BW-krata L nie jest uniwersalna. Istotnie,jeśli n oznacza liczbę wymiarów logicznych L, to biorąc n + 1 zmiennychp0, . . . , pn musi być tak, że dla pewnych 0 ¬ i < j ¬ n, e-sytuacje s(pi)i s(pj) wpadają do jednego wymiaru logicznego, skoro tylko interpretacja sjest różnowartościowa (gdy s nie jest różnowartościowa, zachodzi przypadekopisany w akapicie powyżej). Wówczas łatwo zauważyć, że 0L °s ¬(pi ∧ pj),choć oczywiście ¬(pi ∧ pj) 6∈ CL.

W niniejszej sekcji skonstruujemy kratę uniwersalną dla języka zdaniowe-go o przeliczalnie nieskończonej liczbie zmiennych i udowodnimy jej prostewłasności, zaś w sekcji następnej uzasadnimy, że faktycznie jest ona uniwer-salna.

Przypomnijmy, że język zdaniowy S to algebra 〈S,∧,∨,→,¬〉 wolno gene-rowana przez przeliczalny zbiór zmiennych zdaniowych V = {p0, p1, p2, . . .}.Zbiór literałów tj. zbiór V ∪ {¬p0,¬p1,¬p2, . . .} oznaczyliśmy symbolem V ∗;rozważmy następującą partycję zbioru V ∗:

PU = {{pi,¬pi} : i ∈ ω}.

Do partycji tej, zastosujmy teraz operację BW (·) opisaną w sekcji 2.3; otrzy-mujemy:

U = BW (PU), U = 〈U,⊆〉 .Zważając na dowód twierdzenia 2.3, łatwo zauważyć, że krata U spełniawszystkie aksjomaty definiujące BW-kratę, z wyjątkiem ostatniego warunku(ix) (zob. definicja 2.1). W szczególności U jest zupełną i rozdzieloną kratąsytuacji elementarnych, o elemencie najmniejszym – ∅, największym – V ∗ izbiorze atomów:

At(U) = {{l} : l ∈ V ∗}.

80

Rozważmy wartościowanie u:V → At(U) dane wzorem, dla i ∈ ω:

u(pi) = {pi},a ponadto funkcję: hu:V ∗ → At(U) zdefinowaną w następujący sposób:

hu(pi) ={{pi} jeśli pi = pi{¬pi} jeśli pi = ¬pi .

Funkcja hu jest oczywiście rozszerzeniem wartościowania u do dziedziny V ∗.Przyjmijmy ponadto, dla x ∈ U definicję:

Th(x) = {α ∈ S : x °u α}i odnotujmy lemat.

Lemat 5.1 Dla dowolnego x ∈ U , i ∈ ω oraz dowolnego ściśle rosnącegociągu indeksów (ij)j∈I (I ⊆ ω) zachodzi:

i. x °u pi ⇔ pi ∈ x,ii. x °u ¬pi ⇔ ¬pi ∈ x,

iii.⊎{hu(pij) : j ∈ I} 6= V ∗,

iv. x 6= 1U ⇒ Th(x) jest niesprzecznym zbiorem zdań.

Dowód. Punkt (i) jest oczywisty z definicji relacji °u. Dla dowodu punktu(ii) załóżmy, że x °u ¬pi. Z definicji wartościowania u mamy {pi} °u pi,zatem z lematu 4.1(vi) x ] {pi} = V ∗. Ostatecznie, z własności supremumw kracie U (por. (2.4)) oraz własności partycji PU mamy ¬pi ∈ x. Z drugiejstrony, jeśli ¬pi ∈ x to dowolny koatom w taki, że x ⊆ w nie weryfikujezdania pi, stąd wynika, że x °u ¬pi.

Dla dowodu punktu (iii) zauważmy, że skoro ciąg indeksów (ij)j∈I jestściśle rosnący to w zbiorze

⋃{hu(pij) : j ∈ I} znajduje się co najwyżej jedenelement z dowolnego P ∈ PU , zatem

⊎{hu(pij) : j ∈ I} =⋃{hu(pij) : j ∈ I} 6= V ∗.

Punkt (iv) wynika łatwo z lematu 4.1(vi). Istotnie, gdyby Th(x) = S tow szczególności α,¬α ∈ Th(x) dla α ∈ S, zatem ze wspomnianego lematubyłoby x = 1U . ¥

81

5.2 Twierdzenie o pełności

W sekcji niniejszej udowodnimy, że model (U , u) jest uniwersalny. Będzieto zatem również twierdzenie o pełności KRZ względem modelu (U , u). Wszczególności pokażemy zatem, że zbiór tautologii KRZ jest identyczny zezbiorem tautologii kraty U .

Twierdzenie 5.1 Dla dowolnego zbioru formuł Γ ⊆ S oraz β ∈ S zachodzi:

β ∈ Cn2(Γ) ⇔ Γ °U ,u β. (5.2)

Dowód. (⇒) Załóżmy, że β ∈ Cn2(Γ). Jeżeli Γ = ∅ to z wniosku 4.3 mamy0U °u β, zatem ∅ °U ,u β. W przeciwnym przypadku, z finitarności operacjikonsekwencji Cn2, istnieją α1, . . . , αk ∈ Γ takie, że β ∈ Cn2(α1, . . . , αk),zatem z twierdzenia o dedukcji: α1 ∧ . . . ∧ αk → β ∈ CL.

Ustalmy dowolne x ∈ U i załóżmy, że x °u Γ. W szczególności mamyx °u α1 ∧ . . . ∧ αk, a z drugiej strony z wniosku 4.3, x °u α1 ∧ . . . ∧ αk → β,zatem z twierdzenia 4.3 (krata U jest rozdzielona) dostajemy x °u β, conależało pokazać.

(⇐) Załóżmy teraz, że β 6∈ Cn2(Γ). Istnieje wówczas wartościowanie zero-jedynkowe v:S → {0, 1} takie, że: v[Γ] ⊆ {1} oraz v(β) = 0. Połóżmy dlai ∈ ω:

pi ={

pi jeśli v(pi) = 1¬pi jeśli v(pi) = 0

oraz:w =

⊎{hu(pi) : i ∈ ω}.Indukcyjnie pokazujemy następującą równoważność:

w °u ϕ ⇔ v(ϕ) = 1. (5.3)

Istotnie, załóżmy, że w °u pi. Jest oczywistym, że w °u pi a poza tym zlematu 5.1(iii) w 6= 1U (1U = V ∗). Stąd i z lematu 4.1(vi) wynika więc, żepi = pi czyli v(pi) = 1. Z drugiej strony, jeśli v(pi) = 1 to pi = pi, więchu(pi) = hu(pi) i ostatecznie w °u pi.

Dalsza część dowodu indukcyjnego nie nastręcza trudności: argumentacjaprzebiega tak samo jak w dowodzie wniosku 4.3.

Jako wniosek z (5.3) dostajemy w °u Γ oraz w 6°u β, co kończy dowód.¥

82

Wniosek 5.1 CL = TR(U) = TR•(U) = Th(0U).

Dowód stanowią poniższe inkluzje:

CL ⊆ TR(U) ⊆ TR•(U) ⊆ Th(0U) ⊆ CL.

Pierwsza wynika z wniosku 4.3, druga i trzecia są oczywiste, zaś czwarta jestszczególnym przypadkiem (Γ = ∅) twierdzenia 5.1. ¥

Wniosek 5.1 jest słabym twierdzeniem o pełności klasycznego rachunkuzdań KRZ względem modelu uniwersalnego. Bez konstrukcji kraty uniwer-salnej, można udowodnić podobne twierdzenie względem pewnej podklasyogółu BW-krat. Przyjmijmy mianowicie definicję:

L ∈ BW2 ⇔ L jest BW-kratą o sygnaturze (2, . . . , 2︸ ︷︷ ︸k

), dla pewnego k ­ 1.

Dodajmy, że Wolniewicz w [25] (por. II.1.4, III.1.2) przedstawia argumentyza tym, że klasa krat BW2 jest adekwatną formalizacją pewnych ważnych tezTraktatu Wittgensteina. Dlatego też kraty te nazwijmy Wittgensteinowskimii odnotujmy twierdzenie.

Twierdzenie 5.2 CL =⋂L∈BW2

TR•(L).

Dowód. Niech α 6∈ CL, przy czym p1, . . . , pk będą wszystkimi zmienny-mi zdaniowymi występującymi w α. Ustalmy dowolną k-wymiarową kratęL ∈ BW2 oraz wartościowanie s:V → At(L) takie, że dla każdej zmiennejpi występującej w α, e-sytuacja s(pi) należy do i-tego wymiaru logicznego.Obcięcie s|At(α) jest wtedy funkcją różnowartościową.

Dalej dowód przebiega tak samo jak w twierdzeniu 5.1; ustalmy mianowi-cie zero-jedynkowe wartościowanie v:S → {0, 1} takie, że v(α) = 0 i połóżmydla i ∈ ω:

pi ={

pi jeśli v(pi) = 1¬pi jeśli v(pi) = 0

oraz:w = hs(p1) ∨ . . . ∨ hs(pk).

(hs(pi) jest najmniejszą e-sytuacją w L weryfikującą zdanie pi. Fakt, że takae-sytuacja istnieje dla zdania ¬pi wynika łatwo stąd, że wymiary logiczne sądwuelementowe.)

83

Dalej, analogicznie jak w twierdzeniu 5.1, indukcyjnie ze względu na bu-dowę zdania ϕ pokazujemy równoważność:

w °s ϕ ⇔ v(ϕ) = 1,

skąd dostajemy ostatecznie w 6°s α. ¥

Podamy teraz jeszcze jedno twierdzenie o modelu uniwersalnym, z któregonatychmiast wyniknie wniosek 5.1 oraz zwartość relacji °u. Twierdzenie tow niepublikowanej pracy udowodnił p. mgr Piotr Kalemba.

Twierdzenie 5.3 Dla dowolnego x ∈ U zachodzi równość:

Th(x) = Cn2(x).

Dowód. Dla dowodu inkluzji ⊇ pokażemy, że Th(x) jest teorią. Niech mia-nowicie α ∈ Cn2(Th(x)); wtedy z finitarności operacji Cn2 (por. wzór (1.19))istnieje skończony podzbiór Γ zbioru Th(x) taki, że α ∈ Cn2(Γ). Wówczas∧

Γ → α ∈ CL, zatem z wniosku 4.3 x °u∧

Γ → α. Z drugiej strony ła-two zauważyć, że x °u

∧Γ, a zatem z twierdzenia 4.3 również x °u α, tj.

α ∈ Th(x).Z lematu 5.1 mamy inkluzję x ⊆ Th(x), a zatem:

Cn2(x) ⊆ Cn2(Th(x)) ⊆ Th(x).

Przypuśćmy niewprost, że implikacja ⊆ nie zachodzi, czyli, że istniejeα ∈ Th(x) przy czym α 6∈ Cn2(x). Z twierdzenia 1.5 o postaci normalnej,zdanie α jest równoważne na gruncie CL pewnej koniunkcji α1 ∧ . . . ∧ αnprzy czym każde zdanie αi jest alternatywą literałów (można zakładać, żenie tautologiczną). Stąd mamy:

α1 ∧ . . . ∧ αn ∈ Th(x)r Cn2(x),

zatem istnieje 1 ¬ i ¬ n takie, że:

αi ∈ Th(x)r Cn2(x). (5.4)

Zauważmy najpierw, że z (5.4) wynika, że x 6= 1U . Dalej, skoro αi jest alter-natywą literałów, przyjmijmy, że αi = l1 ∨ . . . ∨ lm. Z (5.4) mamy wówczas:

x ∩ {l1, . . . , lm} = ∅. (5.5)

84

Dla dowolnego literału li przez l′i rozumieć będziemy literał sprzeczny z li (tj.p′i = ¬pi oraz ¬p′i = pi); pokażemy, że x′ = x ∪ {l′1, . . . , l′m} jest – jako zbiórzdań – sprzeczny. Istotnie, gdyby x′ nie był sprzeczny, to byłby elementemkraty uniwersalnej U , różnym od 1U . Wówczas z lematu 5.1(iv), zbiór Th(x′)byłby również niesprzeczny. Oczywiście też αi ∈ Th(x) ⊆ Th(x′). Z drugiejstrony, ¬αi jest równoważne na gruncie CL koniunkcji l′1 ∧ . . . ∧ l′m, a skorol′1 ∧ . . . ∧ l′m ∈ Th(x′) to ¬αi ∈ Th(x′); sprzeczność.

Pokazaliśmy, że x′ jest sprzecznym zbiorem literałów, zatem z jego defi-nicji, musi istnieć 1 ¬ j ¬ m takie, że lj ∈ x, co przeczy (5.5). Uzyskanasprzeczność dowodzi ostatecznie tezy twierdzenia. ¥

Kładąc x = ∅, z powyższego twierdzenia mamy natychmiast wniosek 5.1.Odnotujmy jeszcze jeden wniosek z udowodnionych w tej sekcji twierdzeń.

Wniosek 5.2 Relacje °U ,u, °u są finitarne, tzn. dla dowolnych Γ ⊆ S, β ∈S oraz x ∈ U zachodzi:

i. Γ °U ,u β ⇒ ∃∆∈Fin(Γ) ∆ °U ,u β,

ii. x °u β ⇒ ∃y∈Fin(x) y °u β.

Dowód. Obydwa punkty wynikają z finitarności klasycznej operacji konse-kwencji oraz twierdzeń 5.1 i 5.3, odpowiednio. ¥

Oczywistą konsekwencją wniosku 5.2(ii) jest to, że dla dowolnego zdaniaα ∈ S, w zbiorze weryfikatorów V (α) istnieją e-sytuacje minimalne, a zatemkażdy obiektyw jest zbiorem niepustym. Z twierdzenia 4.7 wynika zatem, żeogół obiektywów nad kratą uniwersalną formuje albebrę Boole’a.

85

Skorowidz

algebra Boole’a, 20

blok relacji tolerującej, 13

e-sytuacja, 27atomowa, 27niemożliwa, 27pusta, 27

e-sytuacje nierozdzielalne, 55

fakt, 27

homomorfizm krat, 17

język zdaniowy, 21

krata, 15BW-krata, 26n-wymiarowa, 32niewłaściwa, 32Wittgensteinowska, 83

T-krata, 52atomistyczna, 17atomowa, 17dystrybutywna, 18koatomowa, 17komplementarna, 18modularna, 18relatywnie komplementarna, 18rozdzielona, 26

w punkcie x, 67skończenie atomistyczna, 29

sytuacji elementarnych, 27uniwersalna, 79

warunkowo dystrybutywna, 26zupełna, 18

matryca sytuacji elementarnych, 72miejsce logiczne zdania α, 74model

Kripkego, 66sytuacyjny, 79

uniwersalny, 79

obiektyw zdania α, 74operacja konsekwencji, 22

klasyczna, 23

partycja zbioru, 14pokrycie zbioru, 14

relacjaforsowania, 66kratowa, 15tolerująca (tolerancja), 13weryfikowania, 63

rodzina krat kleista, 45

swiatmożliwy, 27realny, 27

sygnatura BW-kraty, 38system logiczny, 22

tautologia

86

e-matrycy, 72kraty sytuacji elementarnych, 65KRZ (teza KRZ), 24

teoria, 22zupełna, 22

wartościowaniesytuacyjne, 62zero-jedynkowe, 24

wymiar logiczny, 27

zbiór weryfikatorów zdania α, 74zdanie, 21

proste (zmienna), 21

87

jdjjjdjj

Spis symboli

jdjj

X/Θ, 13 wL, 27[x]Θ, 14 BW (·), 32〈X,¬〉, 14 BW(·), 32x ≺ y, 14 X ] Y , 33l(C), 14 wx, 35x ∨ y, x ∧ y, 15 (κ1, . . . , κn), 38[x), 16 L EM, 39(x], 16 L ∨M, L ∧M, 39L ∼=M, 17 〈BW,E〉, 40At(L), Kt(L), 17 M⊕

3 , N⊕5 , 43At(x), Kt(x), 17

⊕K, 45M3, N5, 19 ΘC, 50Bn, 20 Cx, 50V , 21 x ≈ y, 55∧,∨,→,¬, 21 1A, 57S, S, 21 A ¬ B, 57Fin(X), 21 A ∨B, A ∧B, 58ro, rs, 21 s:V → At(L), 62〈R,A〉, 22 x °s α, 62Cn(R,A), CnR,A(X), 22 TR(L), 65A2, 22 x ±ϕ α, 66〈{ro},A2〉, 22 sep(x), 67Cn2(X), 23 L, 72CL, 23 TR(L), 72V ∗, 23 V (α), M(α), O(α), 73β ↔ γ, 23 V, M, O, 74v:S → {0, 1}, 24 @, 75x ∼ y, 26 b, 76

88

p ∼s q, 78TR•(L), 79x °s Γ, Γ °L,s β, 79(L, s), 79PU , 80U, U , 80u, hu, 81Th(x), 81BW2, 83

89

Bibliografia

[1] Z. Adamowicz, P. Zbierski, Logika matematyczna, PWN, Warszawa1991.

[2] Arystoteles, Metafizyka, przeł. T. Żeleźniak, Redakcja Wydawnictw Ka-tolickiego Uniwersytetu Lubelskiego, Lublin 1998.

[3] G. Birkhoff, Lattice Theory, American Mathematical Society, Colloqu-ium Publications Volume XXV, Providence, Rode Island 1967.

[4] I. Chajda, K. Głazek, A Basic Course on General Algebra, TechnicalUniversity Press, Zielona Góra, 2000.

[5] M. Ch. Fitting, Intuitionistic Logic, Model Theory and Forcing, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-London 1969.

[6] G. Frege, Sens i znaczenie, w: Tenże, Pisma semantyczne, przeł. B.Wolniewicz, PWN, Warszawa 1977, s. 60-88.

[7] G. Gratzer, General Lattice Theory, Birkhauser Verlag, Basel undStuttgart 1978.

[8] J. Grygiel, The Concept of Gluing for Lattices, Wydawnictwo WyższejSzkoły Pedagogicznej w Częstochowie, Częstochowa 2004.

[9] A. Grzegorczyk, Zarys logiki matematycznej, PWN, Warszawa 1969.

[10] J. Hawranek, J. Zygmunt, O kratach warunkowo dystrybutywnych, Lo-gika 13, Acta Universitatis Wratislaviensis, No 1017, Wrocław 1988, s.63-72.

[11] A. Meinong, Supozycje, przeł. J. Grudzińska, Wydawnictwo Adam Mar-szałek, Toruń 2004.

90

[12] M. Nasieniewski, A. Pietruszczak, An Elementary Proof of Equivalenceof Conditions in Defining of Conditionally Distributive Lattices, Bulletinof the Section of Logic, Vol 26, No 4, s. 193-196.

[13] M. Omyła, Non-Fregean Semantics for Sentences, w: J. Woleński (red.),Philosophical Logic in Poland, Kluwer Academic Publishers, 1994, s.153-165.

[14] M. Omyła, O semantyce zdań, w: [15], s. 57-66.

[15] M. Omyła (red.), Skłonność metafizyczna, Wydział Filozofii i SocjologiiUW, Warszawa 1997.

[16] M. Omyła, Zarys logiki niefregowskiej, PWN, Warszawa 1986.

[17] A. Pietruszczak, O zbiorze możliwych światów w kracie sytuacji elemen-tarnych, w: [15], s. 65-81.

[18] Platon, Sofista, przeł. W. Witwicki, PWN, Warszawa 1956.

[19] W. A. Pogorzelski, Klasyczny rachunek zdań, PWN, Warszawa 1975.

[20] W. A. Pogorzelski, Notions and Theorems of Elementary Formal Logic,Białystok 1994.

[21] R. Suszko, Abolition of the Fregean Axiom, Lecture Notes in Mathema-tics, Vol. 453 (1975), s. 169-239.

[22] R. Suszko, Ontologia w traktacie L. Wittgensteina, w: Tenże, Wybórpism, pod redakcją M. Omyły, Biblioteka Myśli Semiotycznej, PolskieTowarzystwo Semiotyczne, Warszawa 1998, s. 197-224.

[23] L. Wittgenstein, Tractatus logico-philosophicus, przeł. B. Wolniewicz,Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.

[24] B. Wolniewicz, Logic and Metaphysics, Biblioteka Myśli Semiotycznej,Warszawa 1999.

[25] B. Wolniewicz, Ontologia sytuacji. Podstawy i zastosowania, PWN, War-szawa 1985.

[26] B. Wolniewicz, O Traktacie, w: [23], s. VII-XVII.

91

[27] B. Wolniewicz, Rzeczy i fakty. Wstęp do pierwszej filozofii Wittgensteina,PWN, Warszawa 1968.

[28] B. Wolniewicz, Semantyka Fregego, w: G. Frege, Pisma semantyczne,przeł. B. Wolniewicz, PWN, Warszawa 1977, s. VII-XXXII.

92