17 I 2011

Trzecie kolokwium z Matematyki I

1. Oblicz następujące całki nieoznaczone

(a)∫

(

1x+7+ 1x−7+ 1x2+1+ 1sin2 x

)

dx

(b)∫

x2 cos(7x) dx

(c)∫ 1x2−2x+10

dx

(d)∫

arctg(7x) dx

2. Czy ciąg an zadany rekurencyjnie

an+1 =4an − 2

an + 1, a1 = 3

ma granicę? Jeśli tak znajdź ją.

3. Oblicz granice

(a) limn→∞(

n2+3n+2n2+n+1

)

n+3

(b) limx→0 (1 + tg x)sinx

(c) limx→0+ (1 + tg x)

1sin x

(d) limx→0x cosx−sinxln(1+x)−x

4. Udowodnij, że ∀x ∈ R : x cos x− sin x+ x2 ­ 0

5. Podaj wzór Taylora-Maclaurina z resztą R3 w postaci Lagrange’a dla

funkcji f(x) = e(x2)

x+1

1