Post on 23-Feb-2018
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
1/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
1
WYKAD 9
klasyczny rachunek nazw
relacje
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
2/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
2
lukowski@filozof.uni.lodz.pl
Katedra Logiki i Metodologii NaukInstytut Filozofii
Uniwersytet dzki
ul. Kopciskiego 16/18, I pitro, pok.13tel. 635-61-34dyur: poniedziaki, godz. 1200-1300
[w razie potrzeby dyur bdzie duszy]
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
3/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
3
Ludwik Borkowski,Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa 1977, s.154
(cienka ksika)
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
4/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
4
Rachunek nazw(Arystoteles)
Zdanie kategoryczne, to zdanie o budowie podmiotowo-orzecznikowej, w ktrym wystpujdwie nazwy (w roli podmiotu i w roli orzecznika) poczone funktorem zdaniotwrczym jest.
Wyrniamy cztery typy zdakategorycznych:
1. zdanie oglno-twierdzce
Kade SjestP
(SaP
)2. zdanie oglno-przeczce adne S nie jestP (SeP)3. zdanie szczegowo-twierdzce Niektre SsP (SiP)4. zdanie szczegowo-przeczce Niektre Snie sP (SoP)
S-subiectum(podmiot) SaP, SiP-affirmo(twierdz)P-praedicatum(orzecznik) SeP, SoP- nego(przecz)
Przykad
Kady adwokat jest prawnikiem. (SaP)aden sdzia nie jest prokuratorem. (SeP)Niektrzy prawnicy sprokuratorami. (SiP)Niektrzy prawnicy nie sprokuratorami. (SoP)
Ex(S) SiS (zdanieEx(S) stwierdza istnienie obiektu bdcego S, czyli stwierdza niepustoS)
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
5/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
5
Zdania SaPi SiPmajtsamJAKO(w tym przypadku twierdzc), za
zdania SaPi SePmajtsamILO(w tym przypadku ogln).Podobnie,zdania SePi SoPmajte samJAKO(w tym przypadku przeczc), zazdania SiPi SoPmajtsamILO(w tym przypadku szczegow).
Zmiana jakoci zdania bez zmiany jego iloci oznacza zamian,albo SaPna SeP, albo SePna SaP, albo SiPna SoP, albo zamianSoPna SiP.
Zmiana iloci zdania bez zmiany jego jakoci oznacza zamian,
albo SaPna SiP, albo SiPna SaP, albo SePna SoP, albo zamianSoPna SeP.
Jednoczesna zmiana iloci i jakoci zdania oznacza zamian,albo SaPna SoP, albo SoPna SaP, albo SePna SiP, albo zamianSiPna SeP.
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
6/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
6
diagramy Venna zdanie prawdziwe zdanie faszywe
SaP
SeP
SiP
SoP
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
7/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
7
Prawa z kwadratu logicznego
SaP x(xSxP) x(xSxP) SoP
SeP x(xSxP) x(xSxP) SiP
SiP x(xSxP) x(xSxP) SeP
SoP x(xSxP) x(xSxP) SaP
(SaP Ex(S)) SeP (SiP Ex(S))SoP (SaP Ex(S)) SiP
(SeP Ex(S))SaP (SoP Ex(S))SiP (SeP Ex(S)) SoP
sprzecznesprzeczne
SaP
SoPSiP
SePprzeciwne
podprzeciwne
podporzdkowane podporzdkowane
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
8/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
8
S- zakres nazwy SP- zakres nazwy P
I - obiekty S, ktre sPII - obiekty S, ktre nie sPIII - obiekty P, ktre nie sS
S
PIII III
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
9/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
9
ZadanieWyka, e:
(SaP Ex(S))SeP
Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeli kady krasnal ma czapki jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to nieprawdjest,eaden krasnal nie ma czapki.
[nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(SeP Ex(S)) SaP
Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeliaden krasnal nie ma pistoletu ijakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to nieprawdjest,e kady krasnal ma pistolet.
[nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
10/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
10
(SiP Ex(S))SoP
Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):je
li nieprawd
jest,
e pewien krasnalma chorobweneryczni jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to pewien krasnal nie ma chorobywenerycznej.
[nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(SoP Ex(S))SiP
Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeli nieprawdjest,e pewien krasnalnie ma narzeczonej i jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to pewien krasnal ma narzeczon.
[nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
11/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
11
(SaP Ex(S))SiP
Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeli kady krasnal ma czapki jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to pewien krasnal ma czapk.
[nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
(SeP Ex(S)) SoP
Przykad potwierdzajcy (weryfikujcy) (nie ma mocy dowodu):jeliaden krasnal nie ma narzeczoneji jakikrasnal istnieje (krasnale istniej), to pewien krasnal nie ma narzeczonej.
[nazwa krasnal jest tu zastosowana celowo - dlaczego?]
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
12/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
12
Prawa konwersji (konwersjato przestawienie podmiotu i orzecznika)
prostej
SeP PeS1
SiP PiS
z ograniczeniem
(SaPEx(S)) PiS2
(SePEx(P)) PoS
1
2
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
13/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
13
Prawa obwersji (obwersjato zanegowanie orzecznika i zmiana jakoci zdania)
(1) SaPSe-P (2) SePSa-P (3) SiPSo-P (4) SoPSi-P
(1) (2)
(3) (4)
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
14/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
14
Prawa obwersji konwersji (obwersja zastosowana do prawej strony prawa konwersji)
prostejSeP Pa-S
1SiP Po-S
z ograniczeniem
(SaPEx(S)) Po-S2(SePEx(P)) Pi-S
1
2
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
15/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
15
Prawa kontrapozycji
czciowej (kontrapozycja czciowa= konwersja + zmiana jakoci + negacja orzecznika)
1 SaP -PeS
2 SoP -PiS
3 (SeP Ex(S)) -PiS4 (SaP Ex(-P)) -SoP
1 2
3 4
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
16/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
16
zupenej (kontrapozycja zupena= konwersja+ negacja orzecznika + negacja podmiotu)
1 SaP -Pa-S
2 SoP -Po-S
3 (SePEx(S)) -Po-S
4 (SaPEx(-P)) -Si-P
1 2
3 4
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
17/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
17
Prawa inwersji
czciowej (inwersja czciowa= negacja podmiotu + zmiana jakoci + zmiana iloci)zupenej (negacja podmiotu + negacja orzecznika + zmiana iloci)
1 (SeP Ex(P)) -SiP
2 (SeP Ex(P)) -So-P
1
2
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
18/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
18
Tryby sylogistyczne
Forma zdania kategorycznego, to funkcja zdaniowa zbudowana z jednej ze staych a, e, i,
o i ze zmiennych nazwowych.
Trybem sylogistycznymnazywamy schemat wnioskowania speniajcy dwa warunki:
1. Wstpujw nim dwie przesanki bdce formami zdania kategorycznego i ewentualnieprzesanka o niepustoci jakiegoterminu. Wiosek jest teformzdania kategorycznego.2. Wstpujw nim trzy terminy, przy czym podmiot wniosku wystpuje w jednej
przesance, a orzecznik wniosku wystpuje w drugiej przesance. Termin wystpujcy w obuprzesankach nie wystpuje we wniosku - jest on nazywany terminem rednim.
Mamy wic cztery moliwe figury trybw sylogistycznych:
I II III IV
M P P M M P P M
S M S M M S M SS P S P S P S P
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
19/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
19
Poprawne tryby sylogistyczne
MaP MeP
MaP SaM MeP SaM MaP MeP
SaM Ex(S) SaM Ex(S) SiM SiMfigura
ISaP SiP SeP SoP SiP SoP
PeM PaM
PeM SaM PaM SeM PeM PaM
SaM Ex(S) SeM Ex(S) SiM SoMfigura
IISeP SoP SeP SoP SoP SoP
MaP MePMaS MiP MaP MaS MoP MeP
Ex(M) MaS MiS Ex(M) MaS MiSfigura
IIISiP SiP SiP SoP SoP SoP
PaM PaM PeMMaS PaM MeS PiM MaS PeM
Ex(P) MeS Ex(S) MaS Ex(M) MiSfigura
IVSiP SeP SoP SiP SoP SoP
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
20/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
20
Zadanie. Sprawdniezawodnonastpujcych trybw sylogistycznych:
MeP
SaM
SeP
PeM
SiM
SoP
niezawodny niezawodny
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
21/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
21
PeMSaM
Ex(S)
SoP
PeMMeS
SeP
niezawodny zawodny
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
22/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
22
Dotyczy wszelkich rozumowa, nie tylko trybw sylogistycznych:
Rozumowanie jest poprawne, gdy nie jest w nim popeniony, ani bd formalny (jestpoprawne logicznie), ani materialny (jest poprawne treciowo).
Bdem materialnymjest wykorzystanie w rozumowaniu przesanki faszywej, czyliwzicie jakiejprzesanki faszywej za prawdziw.
Bdem formalnymjest zastosowanie zawodnego (niededukcyjnego) schematuwnioskowania. Wwczas, wniosek nie wynika logicznie z przesanek, ani na mocyklasycznego rachunku zda, ani na mocy klasycznego rachunku kwantyfikatorw, anina mocy klasycznego rachunku nazw.
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
23/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
23
PaM
MaSSiP
PaM
MaSEx(P)
SiP
zawodnyBrak zaoenia niepustoci P - np. jeli kady pegaz(P) ma skrzyda umoliwiajce latanie (M), i kadaistota majca skrzyda umoliwiajce latanie (M) moe
lata (S), to i tak nie wynika z tego, e pewna istotalatajca jest pegazem.
Rozumowanie niepoprawne cho zastosowane doprawdziwych przesanek, bo niededukcyjne (z powodupopenienia bdu formalnego).
niezawodnyIstnienie zaoenia niepustoci P gwarantujeniezawodno trybu - nawet rozumowanie dotyczcepegazw jest wnioskowaniem logicznym: jeli kadypegaz (P) ma skrzyda umoliwiajce latanie (M), i kadaistota majca skrzyda umoliwiajce latanie (M) moe
lata (S) i pegaz istnieje, to pewna istota latajca jestpegazem.
Rozumowanie dedukcyjne choniepoprawne, z powodupopenienia bdu materialnego, czyli wykorzystaniaprzesanki faszywej.
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
24/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
24
RelacjeDefinicja pary uporzdkowanej
= {{a},{a,b}}.
Wprost z definicji pary uporzdkowanej wynika, e
(bo przecie{{a},{a,b}} {{b},{a,b}}). = wtw a= ci b= d.
Definicja trjki uporzdkowanej = .
Definicja n-tki uporzdkowanej = .
Z definicji n-tki uporzdkowanej wynika, e = = = {{{{a},{a,b}}},{{{a},{a,b}},c}}.
= wtw a1= b1, ..., an= bn.
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
25/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
25
Zdanie stwierdzajce zachodzenie relacjiRmidzy obiektami ai bma posta(rne notacje):
aRb (apozostaje z bw relacjiR) (ajest w relacjiRz b)
R(a,b)
R (para uporzdkowana naley do (jest w) relacjiR)
Notacja druga i trzecia umoliwiajwyraenie relacji wicej nidwuczonowej:
R(a,b,c), R(a1,...,an)
R, R
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
26/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
26
Definicja nieformalna relacji
Relacjnazywamy zwizek zachodzcy pomidzy przedmiotami okrelonego typu.[dokiepska definicja, bo jak na jej podstawie mwinp. o sumie relacji?]
Definicja relacji
Relacjnazywamy podzbir iloczynu kartezjaskiego zbiorw. Relacja jest n-argumentowa jelijest podzbiorem iloczynu kartezjaskiego nzbiorw.
[dobra definicja]
ZatemRelacja dwuczonowa, to zbir par uporzdkowanych,relacja trjczonowa, to zbir trjek uporzdkowanych,relacja czteroczonowa, to zbir czwrek uporzdkowanych,itd.
relacja n-czonowa, to zbir n-tek uporzdkowanych.
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
27/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
27
Przykad1:
JeliLjest zbiorem [wszystkich] ludzi, to iloczyn kartezja
skiLxLjest zbiorem [wszystkichmoliwych] par uporzdkowanych ludzi.
Wrd tych par snp. takie, e na pierwszym miejscu znajduje siczowiek posiadajcydziecko, a na drugim to wanie dziecko. Wszystkie te i tylko te pary tworzrelacjbyciarodzicem:
aR1b wtw ajest rodzicem b.
relacja bycia rodzicem = { LxL: R1}gdzie
R1LxL.
Dlatego poprawna definicja relacji mwi tylko o tym, e relacja jest [jakim] podzbioremiloczynu kartezjaskiego pewnych zbiorw. To za jak jest relacj zaley od tego jakim jestpodzbiorem. Ma tu miejsce definicyjne utosamienie bycia konkretnym podzbiorem iloczynukartezjaskiego z treciowo rozumianym byciem jakkonkretnrelacj.
Pi t k ki W k d dl t d t
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
28/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
28
Przykad2:
RelacjdwuczonowR1jest xjest rodzicemy-ka. Zatem, jeli ajest rodzicem b, to aR1b.
RelacjtrjczonowR2jest xjest rodzicemy-ka w chwiliz. Zatem, jeli ajest rodzicem bwprzedziale czasu do ktrego naley chwila t, toR2(a,b,t).
PrzykadowrelacjpicioczonowR3tworzwszystkie takie pitki uporzdkowane, w ktrych
ajest dla ci dw przedziale czasu, do ktrego naley chwila erodzicem pci eskiej,bjest dla ci dw przedziale czasu, do ktrego naley chwila erodzicem pci mskiej
(czyli, ci dsdziemi ai bw przedziale czasu, do ktrego naley chwila e).
Piotr ko ski W kad dla st dent pra a
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
29/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
29
Dla relacji dwuczonowych jest sens mwio dziedzinie i przeciwdziedzinie relacji.
Dziedzina relacji R:
DR= {x: R}
czyli
xDR wtw yxRy.
Przeciwdziedzina relacji R:
DR= {y: R}.
czyliyDR wtw xxRy.
Pole relacji R:
PR=DRDR.
Piotr ukowski Wykad dla studentw prawa
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
30/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
30
Przykad 3:
DziedzinrelacjiR1jest zbir wszystkich ludzi, ktrzy srodzicem dla przynajmniej jednegodziecka.
PrzeciwdziedzinrelacjiR1jest zbir wszystkich ludzi, dla ktrych ktojest rodzicem.
Pytania do przykadu 3:W jakiej chwili ktojest, a w jakiej ktonie jest rodzicem?W jakiej chwili ktoma rodzica?Czy przeciwdziedzina relacjiR1jest rwna zbiorowi wszystkich ludzi? Ktrych ludzi?
Czy tylko tych, yjcych?
Czy pole relacjiR1jest rwne przeciwdziedzinie tej relacji?W jakim sensie ktojest rodzicem? W sensie biologicznym, czy w wietle prawa?
Odpowiedzi na te pytania zale, od tego jak zdefiniowana jest relacjaR1, czyli od tego, ktrekonkretnie pary uporzdkowane jtworz, a wic i od tego jak okrelony jestL- zbir
wszystkich ludzi.
Niestety, zazwyczaj poprzestajemy na niedookreleniach.
Piotr ukowski Wykad dla studentw prawa
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
31/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
31
Rodzaje relacji:
NiechRZxZ.
Relacjpustjest: R= (adna para uporzdkowana nie jest w relacjiR)
RelacjpenwZjest: R =ZxZ(kada para uporzdkowana jest w relacjiR)
Konwersem relacjiR(relacjodwrotndoR) jest: R-1= {: R}
OgraniczeniemrelacjiRw dziedzinie do zbioru Ajest: RD|A= {:xA R}
OgraniczeniemrelacjiRw przeciwdziedzinie do zbioru Ajest: RD-|A= {:yA R}
OgraniczeniemrelacjiRw polu do zbioru Ajest: RP|A= {:xAyA R}
IloczynemrelacjiRi Sjest: RS= {: R S}
SumrelacjiRi Sjest: RS= {: R S}
Iloczynem wzgldnymrelacjiRi Sjest: RS= {: y( R S)}
Rjest relacjlewostronnie jednoznaczn(RL!)jeli: x,y,z(( R R) x=y)
Rjest relacjprawostronnie jednoznaczn(RP!) jeli: x,y,z(( R R) y=z)
Rjest relacjjednoznaczn(R!) jeliRjest lewostronnie jednoznaczniRjest prawostronnie jednoznaczn.
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
32/37
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
32
Przykad4:
Pustrelacjjest xjest ojcemx.Penrelacjjest xjest przodkiemylubxnie jest przodkiemy.Konwersem relacji xjest memy jest relacja yjest onx (take xjest ony).Ograniczeniem relacji xjest rodzicemy w dziedzinie do zbioru kobiet jest xjest matky.Ograniczeniem relacji xjest rodzicemy w przeciwdziedzinie do zbioru osb pci eskiejjest relacja xjest rodzicemy, gdzieyjest crkx-a (nie xjest crky, bo to byby konwerstej relacji).
Relacjxjest rodzicemy mona ograniczyw polu do zbioru osb zameldowanych wmiecie odzi.Iloczynem relacji xjest ojcemy i xjest modszy ody jest relacja pusta.
Sumrelacji xjest ojcemy i xjest matky jest relacja xjest rodzicemy.Iloczynem wzgldnym relacji xjest matky i yjest onz jest relacja ... xjest kochanmamusiz.Relacja xjest matky jest lewostronnie jednoznaczna.Relacja xjest wicewojewody jest prawostronnie jednoznaczna.Relacja xjest wojewody jest jednoznaczna.
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
33/37
, y p
33
Rodzaje relacji (c.d.):
NiechRZxZ.
RjestzwrotnawZ wtw xZ xRx
RjestprzeciwzwrotnawZ wtw xZ (xRx)
Rjest symetrycznawZ wtw x,yZ (xRyyRx)
RjestprzeciwsymetrycznawZ wtw x,yZ (xRy(yRx))
Rjest na wp (sabo)przeciwsymetrycznawZ wtw x,yZ ((xRyyRx) x =y)*
Rjestprzechodnia (tranzytywna) wZ wtw x,y,zZ ((xRyyRz) xRz)
Rjestprzeciwprzechodnia (przeciwtranzytywna) wZ wtw x,y,zZ ((xRyyRz) (xRz))
Rjest spjnawZ wtw x,yZ (xRyyRxx =y)
* tradycyjnnazwtej relacji jest sabo antysymetryczna
Rjest relacjrwnowanocinaZ wtw Rjest zwrotna, symetryczna i przechodnia
Rjest relacjporzdkujczbir Z wtw Rjest przeciwsymetryczna, przechodnia i spjna wZ.
Rjest relacjczciowo porzdkujczbir Z wtw Rjest zwrotna, sabo przeciwsymetryczna i przechodnia wZ.
Rjest relacjliniowo porzdkujczbir Z wtw Rjest czciowo porzdkujca zbirZoraz jest spjna wZ.
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
34/37
y p
34
Przykad5:
Relacjzwrotnna zbiorze ludzi jest xjest tego samego wzrostu coy.Relacjsymetrycznna zbiorze ludzi jest xjest maonkiemy.Relacjprzeciwsymetrycznna zbiorze ludzi jest xjest ony.Relacjsabo przeciwsymetrycznna zbiorze mizantropw-egoistw jest xkochay.Relacjsabo przeciwsymetrycznna zbiorze liczb jest xy.
Relacjprzechodnina zbiorze ludzi jest xjest przodkiemy.Relacjprzeciwprzechodnina zbiorze ludzi jest xjest synemy.Relacjspjnna zbiorze liczb naturalnych jest rok urodzeniaxjest wczeniejszy nirokurodzeniay.
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
35/37
35
Uwaga oczywista1:
Relacja, ktra nie jest symetryczna nie musi byprzeciwsymetryczna, np. xszanujey.Relacja, ktra nie jest, ani symetryczna, ani przeciwsymetryczna nie musi bysabo przeciwsymetryczna.
Bywajrelacje, ktre nie sani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani sabo przeciwsymetryczne.Przykadem takiej relacji jest xkochay okrelona na zbiorze ludzi.
Uwaga oczywista2:Relacja, ktra nie jest przechodnia nie musi byprzeciwprzechodnia.
Bywajrelacje, ktre nie sani przechodnie, ani przeciwprzechodnie. Przykadem takiej relacji jest xjestkrewnymy okrelona na zbiorze ludzi.
Gorca proba:Nie twrzmy relacji nonsymetrycznych, jako takich, ktre miayby nie by, ani symetrycznymi, aniprzeciwsymetrycznymi, czy terelacji nontranzytywnych, ktre miayby nie by, ani tranzytywnymi, aniprzeciwtranzytywnymi.Tak jak nie tworzymy rwnolegobokw samych (chotakie pomysy istniejtu iwdzie), ktre miayby bytymi, ktre nie s, ani rombami, ani prostoktami.Skoro o czowieku nie
powie si, ani e jest parzysty, ani e jest nieparzysty, to nie znaczy, e trzeba mwi, e jest nonparzysty -po prostu tych okrelenie uywa simwic o ludziach.
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
36/37
36
Przykad6: Relacjrwnowanoci na zbiorze uczniw szk podstawowych jest xjestuczniem tej samej klasy szkoy podstawowej coy.
Relacja rwnowanoci na zbiorzeZjest podstawpodziau logicznego zbioruZ, na ktrym jestokrelona. Czony tego podziau nazywajsiklasami abstrakcji.
Klasabstrakcjidanej relacji rwnowanociRtworzwszystkie te obiekty, ktre sze sobwrelacjiR:
[a]R= {bZ: aRb}.
ajest reprezentantem swojej klasy abstrakcji. Dowolny element z danej klasy abstrakcji moebyjej reprezentantem.
Wracajc do przykadu: relacja rwnowanoci przynalenoci do tej samej klasy szkoy podstawowejokrelona na zbiorze uczniw wszystkich szk podstawowych jest relacj, ktra dzieli zbir uczniwwszystkich szk podstawowych na klasy abstrakcji bdce klasami tych szk. Kady uczedanej klasy jestreprezentantem klasy abstrakcji tosamej z tklas. Naturalnie, wspomniana relacja moe byokrelona nazbiorze wszystkich uczniw jednej konkretnej szkoy podstawowej. Wwczas, dzieli ona na klasy abstrakcji
uczniw jedynie tej szkoy.
Innrelacjrwnowanoci jest:- relacja xpozostaje na tym samym gospodarstwie domowym coy okrelona na zbiorze obywateli RP.- relacja xjest rwienikiemy okrelona na zbiorze ludzi.- relacja xjest sztucem z tego samego kompletu coy okrelona na zbiorze sztucw.
Piotr ukowski, Wykad dla studentw prawa
7/24/2019 wyklad z logiki 9 (1)
37/37
37
Relacj porzdkujc (porzdkujc liniowo) zbir jest x jest dugiem hipotecznymwpisanym do ksigi wieczystej [nie] wczeniej ni dug y. Istotnie, jest to relacjaprzeciwsymetryczna, przechodnia i spjna w zbiorze dugw hipotecznych danej ksigiwieczystej.
Drzewo genealogiczne reprezentuje relacjporzdkujcnieliniowo:
porzdek liniowy
Relacja x y jest zwrotna, sabo
przeciwsymetryczna i przechodnia wzbiorze punktw diagramu. Porzdkujewic ten zbir zgodnie z symbolikkresek:punktxpoczony kreskz punktemy, jestw relacji x y, jelixley niej niy.
porzdek czciowy (nie jest porzdkiem liniowym)