4.1

B

AB A •

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4.1. Wektor zaczepiony i wektor swobodny

Uporządkowaną parę punktów (A, B), wyznaczającą

skierowany odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie

B, nazywamy wektorem zaczepionym w punkcie A i

oznaczamy symbolem AB .

Wektory BA i AB to nie te same wektory

chociaż AB i BA to ten sam odcinek.

Współrzędne wektora zaczepionego AB

definiujemy następująco:

AB = [(xB ; yB ; zB) – (xA ; yA ; zA)] = [xB – xA ; yB – yA ; zB – zA]

Gdy punktem początkowym wektora zaczepionego jest O (0; 0; 0),

to współrzędne wektora OB są identyczne ze współrzędnymi

punktu B.

4.2

Przykład: Wyznaczyć współrzędne wektora zaczepionego w

punkcie A(2; -1; 3) o końcu w punkcie B(4; 5; -1)

Rozwiązanie:

Otrzymujemy AB = [4 - 2; 5 – (-1); -1 – 3] = [2; 6; -4].

Po dokonaniu odejmowań pozostają jako współrzędne wektora

trzy liczby. Sytuacja, w której znamy tylko współrzędne wektora,

nie opisuje zatem wektora zaczepionego.

Przykład: Dane są punkty A (0; 0; 0), B (1; 2; -1), C (1; 1; 1) i D

(2; 3; 0). Obliczyć współrzędne wektorów zaczepionych CDiAB .

Rozwiązanie:

AB = [1 – 0; 2 – 0; -1 – 0] = [1; 2; -1];

CD = [2 – 1; 3 – 1; 0 – 1] = [1; 2; -1].

Wektory CDiAB mają więc takie same współrzędne.

Wektor swobodny jest to zbiór nieskończenie wielu wektorów

zaczepionych o takich samych współrzędnych

(reprezentantów danego wektora swobodnego).

W dalszych rozważaniach zarówno wektory zaczepione jak i

swobodne będziemy krótko nazywać wektorami.

4.3

Z

az a O ay Y ax

a

α O ax X

4.2. Współrzędne kartezjańskie wektora

Współrzędnymi kartezjańskimi

prostokątnymi wektora a w przyjętym

układzie współrzędnych OXYZ,

oznaczanymi przez ax , ay , az ,

nazywamy współrzędne tego wektora na

kolejnych osiach układu, utworzone

przez umieszczenie początku wektora a w początku układu

współrzędnych.

Rzutując zaczepiony w początku układu współrzędnych wektor,

będący reprezentantem wektora

swobodnego a , na osie układu

współrzędnych, otrzymujemy wzory:

ax = a cos α , ay = a cos β , az = a cos γ ,

gdzie α , β , γ są to kąty, jakie tworzy wektor a z osiami OX, OY,

OZ. Liczba a we wzorach (6.2) to długość wektora a . Współrzędne

wektora a można więc zapisać w postaci

a = [ax ; ay ; az] = [a cos α ; a cos β ; a cos γ]

Przykład: Dane są kąty kierunkowe wektora a o długości a =5:α

=π/6, β = π/3, λ = π/2. Obliczyć współrzędne wektora a .

4.4

Rozwiązanie:

ax = a cos α = 5 ⋅ cos π/6 = 5 ⋅ cos 30° = 5 ⋅ 23 = 4,33

ay = a cos β = 5 ⋅ cos π/3 = 5 ⋅ cos 60° = 5 ⋅ 0,5 = 2,50

az = a cos γ = 5 ⋅ cos π/2 = 5 ⋅ cos 90° = 5 ⋅ 0 = 0

4.3. Długość wektora. Wersory

Jeśli a = [ax ; ay ; az], to długość wektora a , oznaczaną a lub

a (bez strzałki), obliczamy ze wzoru

222zyx aaaaa ++==

Długość wektora AB oznaczamy AB lub po prostu AB

222 )()()( ABABAB zzyyxxABAB −+−+−==

Przykład: Obliczyć długość wektora o początku w punkcie

A (2; -1; 3) i końcu w punkcie B (4; 2; -1).

Rozwiązanie: 2

AB = (4 – 2)2 + (2 – (-1))2 + (-1 –3)2 = 4 + 9 + 16 = 29

Stąd 2

AB = AB = ≈29 5,385

Wektory o długości równej 1 (wektory jednostkowe), nazywamy

wersorami.

4.5

a) Zapis: a b a b b) Zapis: a b a b

Dla każdego wektora (oprócz wektora zerowego) można

zbudować odpowiadający mu wersor. Jeżeli a = [ax ; ay ; az] , to

wektor o współrzędnych równych ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡aa

aa

aa zyx ;; ma długość 1. Stąd

dla kosinusów kierunkowych wektora mamy związek:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

Dwa wektory, bia , są zgodnie

równoległe, gdy współrzędne jednego z

tych wektorów można otrzymać ze

współrzędnych drugiego, mnożąc je przez

liczbę dodatnią. Gdy ta liczba musi być

ujemna – mamy wektory przeciwnie

równoległe

Wersorem niezerowego wektora a = [ax , ay , az], oznaczonym

ae , nazywamy wektor

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

aa

aa

aa

e zyxa ,, = [ cos α, cos β, cos γ ]

Szczególnymi wersorami są wersory osi układu współrzędnych.

.

oś OZ wersor osi OX: i = [1; 0; 0] k

wersor osi OY: j = [0; 1; 0] j

wersor osi OZ: k = [0; 0; 1] i oś OY oś OX

Rys. 6.5. Wersory osi prostokątnego układu współrzędnych.

4.6

a b

ba +

4.4. Działania na wektorach

Wprowadzimy następujące działania na wektorach:

- dodawanie wektorów (wynik jest wektorem),

- mnożenie wektora przez liczbę(wynik jest wektorem),

- mnożenie skalarne wektorów (wynik jest skalarem, tzn. liczbą),

- mnożenie wektorowe wektorów (tylko w R3; wynik jest

wektorem).

Sumą wektorów a = [ax ; ay ; az] oraz b =

[bx ; by ; bz] jest wektor

ba + = [ax + bx ; ay + by ; az + bz]

Przykład 6.7:

Obliczyć sumę wektorów:

a = [3; -2; 5] , b = [-1; 4; -7] , c = [-4; -1; 2]

Rozwiązanie:

cba ++ = [3 – 1 – 4; -2 + 4 –1; 5 – 7 + 2] = [-2; 1; 0]

Iloczynem różnej od zera liczby λ ∈ R i niezerowego

wektora a nazywamy wektor =λ a [λax ; λay ; λaz]

Jest to wektor o długości aλ , zgodnie równoległy z wektorem

a , gdy λ > 0, a przeciwnie równoległy, gdy λ < 0.

4.7

Suma iloczynów wektorów i liczb nosi nazwę kombinacji liniowej wektorów i jest – oczywiście – wektorem:

Raaaa inn2211

n

1iii ∈+++=∑

=

ααααα ;... ,

i = 1,2, . . . ,n.

Dwa liniowo zależne wektory bia (dla których istnieje równa

wektorowi zerowemu kombinacja liniowa o współczynnikach

różnych od zera, tzn. istnieją λ1 i λ2 takie, że 021 =λ+λ ba )

nazywamy współliniowymi.

Przykład:

Wektory a = [4; -6; 5] i b = [-2; 3; -2,5] są liniowo zależne, gdyż

0)2(1 =⋅−+⋅ ba . Można stąd wyliczyć, że ba ⋅= 2 - czyli są one

zgodnie równoległe. Ponieważ są to wektory swobodne, więc

można wybrać reprezentanta każdego z nich, zaczepionego np. w

punkcie O (0; 0; 0). Wówczas wektory te leżą „jeden na drugim”,

przy czym wektor a jest dwa razy dłuższy od wektora b .

Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów

bia , oznaczanym ba ⋅ , nazywamy liczbę, określoną

następująco:

ba ⋅ = axbx + ayby + azbz

4.8

a c

)b,a(

b

Ioczyn skalarny niezerowego wektora przez siebie daje wynik

równy kwadratowi długości tego wektora:

aa ⋅ = axax + ayay + azaz = a2 czyli aaaa ⋅==

Tabliczka mnożenia skalarnego wersorów osi: i j k

i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 Przykład:

Obliczyć iloczyn skalarny wektorów a = [2; 3; -1] i b = [-1; 3; 2].

Rozwiązanie:

ba ⋅ = 2⋅ (-1) + 3 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 2 = -2 + 9 – 2 = 5

Kątem niezerowych wektorów bia , oznaczanym ( )ba, ,

nazywamy kąt, jaki tworzy jeden z tych wektorów z osią zgodnie

równoległą do drugiego z wektorów.

Wprowadzimy teraz wzór na kosinus kąta pomiędzy wektorami

bia . Z rysunku widać, że acb =+ , skąd

bac −= , albo )()( babacc −⋅−=⋅ , skąd mamy

c2 = a2 - ba ⋅2 + b2

Z tw. kosinusów mamy:

c2 = a2 + b2 – 2ab cos ),( ba

Stąd ba ⋅2 = 2ab cos ),( ba

•

4.9

k j bac ×= i b a

lub

abbababa

abbaba zzyyxx ++

=⋅

=),cos(

Warunek prostopadłości niezerowych wektorów:

)()( 0baba0b0a =⋅⇔⊥∧≠∧≠

W przypadku wektorów w przestrzeni wektorowej n-wymiarowej,

mówimy o ortogonalności: dwa niezerowe wektory są

ortogonalne, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero.

Iloczynem wektorowym wektorów bia w trójwymiarowej

przestrzeni wektorowej, oznaczanym ba × , nazywamy trzeci

wektor, bac ×= , mający następujące cechy:

1. ),(sin baabcc ==

2. bciac ⊥⊥

3. trójka wektorów ciba, , zaczepionych w tym samym punkcie,

jest ustawiona w takiej samej kolejności, jak wersory osi i, j, k

(wektory ciba, tworzą – analogicznie jak wersory osi – tak

zwaną prawoskrętną trójkę wektorów).

4.10

Dla wersorów osi:

j × i = -k

k × j = -i

i × k = -j

Tabliczka mnożenia wektorowego

× i j k i k -j j -k i k j -i

Własności iloczynu wektorowego.

Własności iloczynu wektorowego:

1. abba ×−=× (antyprzemienność)

2. cabacba ×+×=+× )( (rozdzielność względem dodawania)

3. )()( baba ×λ=×λ dla dowolnego λ ∈ R

4. )()( ba0ba0b0a ⇔=×⇒≠∧≠

Przykład

Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów a = [2; 3; -1] i b = [-1; 3; 2].

j -k i lub po obróceniu -k o kąt 180 ° i j k j -i lub po obróceniu -i o kąt 90° j k k -j i

0

0

0

4.11

Rozwiązanie:

Mamy a = 2i + 3j – k oraz b = -i + 3j +2k

ale wynik,byćmógby tu i =−−++−−−+==×−×−×+×+×+×−×+×+×−=

=×−×−−×−×+×++−×+×+×+−×=++−×−+=×

)()()(

)()()()()(

i3ji6k3j4k6kk2jk3ikkj6jj9ij3ki4ji6ii2

k2kj3kikk2j3j3j3ij3k2i2j3i2ii2k2j3ikj3i2ba

przekształcimy to wyrażenie do postaci następującej:

231132

)3)1(32())1()1(22())1(323(

−−=

=⋅−−⋅+−⋅−−⋅−−⋅−⋅=

kjikji

Stąd

]9,3,9[939231132 −=+−

−−=× kjikji

ba

Uogólniając, dla wektorów a = [ax ; ay ; az] i b = [bx ; by ; bz]:

PAMIĘTAJMY:

wektor]9,3,9[a

liczba5

−−=×

−=⋅

b

ba

zyx

zyx

bbbaaakji

ba =×

← współrzędne wektora a ← współrzędne wektora b

4.12

Przykład:

Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów

a = [2; 3; -1] i b = [-4; -6; 2].

Rozwiązanie:

.06432

2412

2613

264132 =

−−+

−−

−−

−=

−−−=× kjikji

ba

Wektory a i b są równoległe.

Wzór na sin kąta między wektorami:

zyx

zyx

bbbaaa

abab

baba

kji1)(sin =

×=× )

4.5. Rachunek wektorowy – podsumowanie Wprowadziliśmy dwa podstawowe rodzaje wektorów: wektor

zaczepiony i wektor swobodny. Dla każdego wektora określone zostały:

długość (nazywana także modułem) – tak samo jak długość

odcinka,

kierunek – od punktu początkowego do końcowego, a także

zwrot – czyli zgodna lub przeciwna równoległość w stosunku do

drugiego wektora lub równoległej osi.

4.13

Położenie każdego wektora względem osi układu współrzędnych

można określić przy pomocy kątów kierunkowych lub kosinusów kierunkowych. Wektor o długości jednostkowej otrzymał nazwę „wersor”. Wersory osi układu współrzędnych oznaczone zostały literami i, j, k. Tworzą one bazę przestrzeni wektorowej trójwymiarowej.

Wprowadzone zostały działania na wektorach:

- dodawanie wektorów (wynik jest wektorem), zapisywane: ba + ;

- mnożenie wektora przez liczbę (wynik jest wektorem),

zapisywane bez żadnego znaku między liczbą a wektorem:

∈λλ ,a � ;

- mnożenie skalarne wektorów (wynik jest skalarem, tzn. liczbą),

zapisywane z użyciem kropki: ba ⋅ ;

- mnożenie wektorowe wektorów (tylko w R3 ; wynik jest

wektorem), zapisywane z użyciem krzyżyka: ba × .

Określone zostały warunki

- prostopadłości (ortogonalności) wektorów – z wykorzystaniem

iloczynu skalarnego

- równoległości wektorów – z wykorzystaniem iloczynu

wektorowego;

- współliniowości dwóch wektorów (znikanie ich kombinacji

liniowej).

Wprowadzono wzory na kosinus kąta między wektorami ( z

wykorzystaniem iloczynu skalarnego) i na sinus kąta między

wektorami (z wykorzystaniem modułu iloczynu wektorowego).

4.14

4.6. Zadania 4.1. Dane są punkty A = (1; 1; 3) , B = (0; -1; 4) i C = (3; -5; 0).

4.2. Wyznaczyć wektory

.CB,CA,BAwektoryorazBC,AC,AB

4.3. Dany jest punkt A = (1; -2; 3). Wyznaczyć punkt B, wiedząc, ze

a) AB = [3; 5; -4] , b) AB = [0; 2; 0] , c) AB = [-1; 2; -3].

4.4. Dane są wektory: a = [1; 3; 4] , b = [-3; 0; 1] , c = [1; 3; 3]

oraz d = [-1; -3; -2]. Wyznaczyć wektor

,b3a2,db,ca,ba −−++ adc2,d4c3 −++ .

4.5. Dwa wektory, ACiAB , mają wspólny początek A ( 1, 2, 0), tę

samą długość h = 2 i tworzą kąt .3/π=ϕ

a) Narysować te wektory oraz ich sumę i różnicę.

b) Narysować kilka wektorów – reprezentantów wektora

swobodnego a , którego reprezentantem jest wektor AB .

c) Obliczyć moduł sumy i moduł różnicy wektorów .ACiAB

4.6. Dany jest równoległobok o bokach AB, BC, CD, DA. Wyrazić

wektory ADiAB przez wektory BDiAC .

4.7. Wektory bAFiaAB == są sąsiednimi bokami sześciokąta

foremnego ABCDEF. Wyrazić wektory CF,BD,BC,AE,AD,AC za

pomocą wektorów bia .

4.15

4.8. Wektory viu o długościach u = 1, v = 2, tworzą kąt ϕ = 60°.

Obliczyć vuivu +− .

4.9. Wektory w,v,u mają moduły u = 4, v = 2, w = 6 i każde dwa

z tych wektorów tworzą kąt równy π/3. Obliczyć:

a) wvu ++ b) wvu +− c) wvu −+

4.10. Punkt jest początkiem trzech wektorów:

.cAD,bAC,aAB === Wektory bia są bokami trójkąta, wektor

c jest środkową tego trójkąta. Rozłożyć geometrycznie

4.11. wektor a na kierunki wektorów cib ;

4.12. wektor c na kierunki wektorów bia .

4.13. Dane są trzy liniowo niezależne wektory cib,a . Zbadać

liniową zależność wektorów.

cbr,c5,0bq,bap,cbam)c

cbar,cbaq,cp)b

car,cbq,cbap)a

−=+=+=−−=

+−=−−==

+−=+=++=

4.14. Mając dane wersory q,p tworzące kąt 45°, utworzono

wektory q2p4v,qp3u +=+= i zbudowano na tych wektorach

równoległobok. Obliczyć długości przekątnych tego

równoległoboku.

4.16

4.15. Wyznacz długość wektora AB , jego rzuty na osie układu

współrzędnych, kąty, jakie tworzy z osiami współrzędnych dla

następujących danych:

A (-1; 0; 3) , B (-2; 5; 0)

A (0; 3; -4) , B (4; 0; -3)

A (1; 2; -3) , B (-2; -4; 6)

4.16. Obliczyć wersory wektorów dicba ,, z zadania 3.

4.17. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów bia , wiedząc, że

a = 2 , b = 3 , )b,a( = π/3

a = 2 , b = 5 , )b,a( = 0°

a = 2 , b = 5 , )b,a( = 120°

a = 1 , b = 5 , )b,a( = π/2

4.18. Obliczyć kąt )b,a( wiedząc, że

a) a = 2 , b = 5 , ba ⋅ = 5

b) a = 2 , b = 3 , ba ⋅ = 6

c) a = 2 , b = 3 , ba ⋅ = 0

d) a = 2 , b = 3 , ba ⋅ = -6

4.19. Dane są punkty A = (0; -1; 3) , B (6; 5; -2) , C = (1; -2; 3).

4.20. Wykazać, że ACAB ⊥ .

4.21. Dla jakich wartości parametru m

4.22. wektory [m2 + 1; m; 1] i [10; 4; m] są równoległe?

4.23. wektory [m2; -3; 0] i [m; m; m +2] są prostopadłe?

4.17

4.24. Zbadać, czy dwa poniższe wektory są równoległe lub

prostopadłe. W przypadku równoległości wyrazić jeden z nich

przez drugi:

a) a = [1; 3; 4] , b = [-3; 0; 1]

b) a = [1; 5; 0] , b = [2; 10; 1]

c) a = [1; 1; 1] , b = [-1; 1; 0]

4.25. Dane są cztery wektory. Wyrazić jeden z nich jako kombinację

liniową pozostałych:

a) a = [1; 3; 4] , b = [-3; 0; 1] , c = [1; 3; 3] , d = [-1; -3; -2]

b) a = [1; 2; 1] , b = [-1; 0; 1] , c = [3; 0; 0] , d = [0; 1; -2]

c) a = [6; 0; 1] , b = [1; 1; 2] , c = [-1; 0; 1] , d = [0; 0; 1]

d) a = [3; 0; 1] , b = [1; 4; -2] , c = [5; 8; -3] , d = [2; -4; 3]

4.26. Wyznacz wektory prostopadłe do danych dwóch wektorów:

a) a = [1; 3; 4] , b = [-3; 0; 1]

b) a = [1; 5; 0] , b = [2; 10; 1]

c) a = [1; 1; 1] , b = [-1; 1; 0]

d) a = [2; -3; 1] , b = -4; 6; -2]

4.27. Wektor tworzy z osiami OX i OY kąty π/3 i π/4. Obliczyć kąt,

który ten wektor tworzy z osią OZ.

4.28. Zbadać, czy oś o kosinusach kierunkowych 1/2, 1/2, 21 /

jest prostopadła do osi o kosinusach kierunkowych 0,

./, 5152−

4.29. Oś p ma kosinusy kierunkowe 1/3, -2/3, 2/3. Obliczyć kosinusy

kierunkowe osi s, wiedząc, że keee sps ⊥⊥ , .

4.18

4.30. Udowodnić, że delta Kroneckera może być zdefiniowana w

trójwymiarowej przestrzeni wektorowej przy wykorzystaniu

iloczynu skalarnego wektorów bazy, jeżeli osie układu

współrzędnych nazwiemy OX = OX1 , OY = OX2 , OZ = OX3, a

wersory osi: i = e1 , j = e2 , k = e3.