Vitalii Dugaev

Katedra FizykiPolitechnika Rzeszowska

Semestr zimowy, rok 2012/2013

Lekcja 1 Strona 2

[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Podstawy fizyki.

[2] M. Massalska, J. Massalski. Fizyka dla inżynierów.

[3] A.A. Dietłaf, B. M. Jaworski. Fizyka. Poradnik encyklopedyczny

[4] Berkley Physics Course.

[5] H.D. Young, R.A. Freedman. University Physics.

[6] R.A. Serwey, J.W. Jewett. Physics for Scientists and Engineers.

Lekcja 1 Strona 3

Lekcja 1 Strona 4

Lekcja 1 Strona 5

Lekcja 1 Strona 6

Błędy i niepewności pomiarów

Lekcja 1 Strona 7

Błąd pomiaru - różnica między wynikiem pomiaru a wartością mierzonej

wielkości fizycznej. Bywa też nazywany błędem bezwzględnym

pomiaru. Ponieważ wartość wielkości mierzonej (wartość prawdziwa) jest

w praktyce niepoznawalna, to w celu określenia błędu posługujemy się

poniższymi, bardziej precyzyjnymi terminami. Ścisłe określenie, co to jest

wartość prawdziwa, zależy od użytej teorii fizycznej (fizyka klasyczna lub

kwantowa).

Błąd przypadkowy - różnica między wynikiem pomiaru a średnią

arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości

mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Błąd przypadkowy

jest wynikiem nieprzewidywalnych zmian przypadkowych czynników

wpływających na pomiar; daje on przyczynek wpływający na rozrzut

wyników.

Lekcja 1 Strona 8

Błąd systematyczny - różnica między średnią arytmetyczną

nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości

mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością

wielkości mierzonej. Błąd systematyczny jest również wynikiem

czynników wpływających na pomiar, ale czynniki te można rozpoznać.

Obowiązkiem eksperymentatora jest wprowadzenie poprawki

kompensującej błąd systematyczny.

Błąd względny - stosunek błędu pomiaru do wartości wielkości

mierzonej.

Lekcja 1 Strona 9

Niepewność pomiaru - parametr związany z wynikiem pomiaru,

charakteryzujący rozrzut wartości wielkości mierzonej, który można w

uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.

Na pełną niepewność pomiaru powinny składać się wszystkie

przyczynki pochodzące od rozrzutu wyników, rozkładu prawdo-

podobieństwa przyjętego na podstawie wiedzy o mierzonej wielkości, o

jej pomiarach, wykorzystanych przyrządach pomiarowych lub

przyczynki wynikające z doświadczenia eksperymentatora.

Niepewność pomiaru wielkości x oznaczamy literą u(x) (od

angielskiego słowa ”uncertainty”)

Lekcja 1 Strona 10

Pomiary bezpośrednie

Obliczanie niepewności standardowej metodą typu A

• dysponujemy zestawem pomiarów powtarzanych w jednakowych

warunkach, a obliczenie niepewności dokonuje się drogą analizy

statystycznej

n

i

ixnx1

1

Odchylenie standardowe σ dla pojedynczego pomiaru jest miarą

średniego rozrzutu wyników pomiarów wokół prawdziwej wartości

mierzonej wielkości (wartości oczekiwanej)

)1(

)(1

2

n

xxs

n

ii

x

Lekcja 1 Strona 11

Stanowi ono niepewność standardową obliczoną metodą typu A.

Powyższy wzór jest wyrazem faktu, że średnia chociaż, tak jak

wynik pojedynczego pomiaru, nie jest równa wartości prawdziwej, to

jednak leży ona bliżej wartości prawdziwej, niż pojedynczy pomiar.

Odchylenie standardowe średniej jest mniejsze niż odchylenie

standardowe pojedynczego pomiaru i wyraża się wzorem

)()1(

)(1

2

xunn

xx

n

ss

n

i

i

xx

)(xux

Lekcja 1 Strona 12

Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B

• dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru, lub gdy wyniki nie

wykazują rozrzutu. Wówczas niepewności standardowej nie

można obliczyć drogą analizy statystycznej i ocenia się ją na

podstawie danych umieszczonych w specyfikacji przyrządu

pomiarowego, wiedzy o danej wielkości fizycznej lub o

przedziale, w którym wartość rzeczywista powinna się mieścić.

W laboratorium studenckim najprostsza metoda obliczania

niepewności typu B polega na uwzględnieniu niepewności

maksymalnej x, będącej połową szerokości przedziału, w jakim

zmierzone wartości powinny się mieścić

3

Δ)(

xxu

Lekcja 1 Strona 13

Jeżeli obydwa typy niepewności występują równocześnie, należy

posłużyć się prawem składania niepewności, które prowadzi do

następującej zależności na niepewność standardową łączną:

2B2

A )()( xuxuxu

Lekcja 1 Strona 14

Nxxxfy ...,, 21

22

22

2

111

2

2

)()()()()(

NN

N

jj

j

xux

fxu

x

fxu

x

fxu

x

fyu

Obliczanie niepewności wielkości złożonej

Lekcja 1 Strona 15

Przykład

Wyznaczamy wartość przyspieszenia ziemskiego mierząc czas równy

10 okresom drgań wahadła matematycznego o długości 1.35 m.

Wartości tych czasów są następujące

23.3 23.5 23.6 23.2 23.4 23.5 23.4 23.3 23.4 23.7

23.1 23.6 23.5 23.7 23.2 23.3 23.2 23.7 23.3 23.4

Wartość średnia tśr = 23.42 s, odchylenie standardowe u(t)=0.039 s.

Okres drgań T = 2.34 s, u(T) = 0.004 s. Długość wahadła zmierzono z

dokładnością l = 0.5 cm, u(l) = 0.003 m.

3)(

llu

)()120(20

)(1

2

tutt

n

ii

Lekcja 1 Strona 16

2

2

3

2

22

2

3

2

22

22

04.0039.0004.034.2

35.12003.0

34.2

14

)(2

)(1

4)()()(

s

m

TuT

llu

TTu

T

glu

l

ggu

22

2

2

2

733337674.935.134.2

442

s

ml

Tg

g

lT

2

04.073.9s

mg

Lekcja 1 Strona 17

%42.0%10073.9

04.0%100

)(

g

gu

Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.

Różnica pomiędzy wartością zmierzoną a tablicową

9.81 - 9.73 = 0.08 m/s2

Lekcja 1 Strona 18

Jeżeli uzyskana w wyniku obliczeń masa wynosi

m = 0.02145 kg, a niepewność u(m) = 3.751 g = 0.003751 kg,  to

najpierw zaokrąglona do dwóch cyfr znaczących niepewność wynosi

u(m) = 0.0038 kg,  a zaokrąglony następnie wynik pomiaru (tutaj do

czterech cyfr po przecinku) to m = 0.0214 kg.  Razem wynik

zapiszemy jako:

m = (0.0214 ± 0.0038) kg

lub jeszcze lepiej:

m = (21.4 ± 3.8)∙10-3 kg

Poniższe zaokrąglenia, jakkolwiek formalnie poprawne, są z

fizycznie niepoprawne:

m = (0.0214 ± 0.00375) kg źle

m = (0.02145 ± 0.0038) kg źle

m = (0.021 ± 0.0038) kg źle

Zaokrąglanie wyników pomiaru

Lekcja 1 Strona 19

n

ii

n

iii

w

wxx

1

1

Średnia ważona

)(

1

ii xuw

wagą jest odwrotność

niepewności standardowej

n

x

nw

xw

w

wxx

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

11

1

1

średnia arytmetyczna

Lekcja 1 Strona 20

y

x

2U(x)

2U(y)

prostokąt niepewności

Graficzne zaznaczanie punktów pomiarowych, prostokątów

niepewności i krzywej doświadczalnej

xx

Lekcja 1 Strona 21

min)(1

2

n

iii yxy

Metoda najmniejszych kwadratów

02

02

1

1n

i

ii

n

i

iii

ybxa

ybxax

min1

2

n

iii ybxa

)(xyy

baxxy )(

Lekcja 1 Strona 22

2

11

2

111

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

a

2

11

2

111

2

111

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxn

yxxxy

n

x

an

y

b

Lekcja 1 Strona 23

2

11

2

1

2

)(

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xxn

x

bu

22111

2

1

2

n

ybyxay

n

ybxan

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii

2

11

2

)(

n

i

i

n

i

i xxn

nau

estymator jednakowych odchyłek

standardowych zmierzonych wartości yi 

Lekcja 1 Strona 24

p(x)

Lekcja 1 Strona 25

Rozkład Gaussa

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

X

p(x)

p1(x)

p2(x)

p3(x)

P(μ-σ ≤ x ≤ μ+σ) = 0.6826 (68.26%)

P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ) = 0.9544 (95.44%)

P(μ-3σ ≤ x ≤ μ+3σ) = 0.9973 (99.73%)

xxp

xx

dla,e2

1)(

2

2

2

)(

Lekcja 1 Strona 26

Lekcja 1 Strona 27

Lekcja 1 Strona 28

Lekcja 1 Strona 29