Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska
description
Transcript of Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska
![Page 1: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/1.jpg)
Vitalii Dugaev
Katedra FizykiPolitechnika Rzeszowska
Semestr zimowy, rok 2012/2013
![Page 2: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/2.jpg)
Lekcja 1 Strona 2
[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker. Podstawy fizyki.
[2] M. Massalska, J. Massalski. Fizyka dla inżynierów.
[3] A.A. Dietłaf, B. M. Jaworski. Fizyka. Poradnik encyklopedyczny
[4] Berkley Physics Course.
[5] H.D. Young, R.A. Freedman. University Physics.
[6] R.A. Serwey, J.W. Jewett. Physics for Scientists and Engineers.
![Page 3: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/3.jpg)
Lekcja 1 Strona 3
![Page 4: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/4.jpg)
Lekcja 1 Strona 4
![Page 5: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/5.jpg)
Lekcja 1 Strona 5
![Page 6: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/6.jpg)
Lekcja 1 Strona 6
![Page 7: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/7.jpg)
Błędy i niepewności pomiarów
Lekcja 1 Strona 7
![Page 8: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/8.jpg)
Błąd pomiaru - różnica między wynikiem pomiaru a wartością mierzonej
wielkości fizycznej. Bywa też nazywany błędem bezwzględnym
pomiaru. Ponieważ wartość wielkości mierzonej (wartość prawdziwa) jest
w praktyce niepoznawalna, to w celu określenia błędu posługujemy się
poniższymi, bardziej precyzyjnymi terminami. Ścisłe określenie, co to jest
wartość prawdziwa, zależy od użytej teorii fizycznej (fizyka klasyczna lub
kwantowa).
Błąd przypadkowy - różnica między wynikiem pomiaru a średnią
arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości
mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Błąd przypadkowy
jest wynikiem nieprzewidywalnych zmian przypadkowych czynników
wpływających na pomiar; daje on przyczynek wpływający na rozrzut
wyników.
Lekcja 1 Strona 8
![Page 9: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/9.jpg)
Błąd systematyczny - różnica między średnią arytmetyczną
nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości
mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością
wielkości mierzonej. Błąd systematyczny jest również wynikiem
czynników wpływających na pomiar, ale czynniki te można rozpoznać.
Obowiązkiem eksperymentatora jest wprowadzenie poprawki
kompensującej błąd systematyczny.
Błąd względny - stosunek błędu pomiaru do wartości wielkości
mierzonej.
Lekcja 1 Strona 9
![Page 10: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/10.jpg)
Niepewność pomiaru - parametr związany z wynikiem pomiaru,
charakteryzujący rozrzut wartości wielkości mierzonej, który można w
uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej.
Na pełną niepewność pomiaru powinny składać się wszystkie
przyczynki pochodzące od rozrzutu wyników, rozkładu prawdo-
podobieństwa przyjętego na podstawie wiedzy o mierzonej wielkości, o
jej pomiarach, wykorzystanych przyrządach pomiarowych lub
przyczynki wynikające z doświadczenia eksperymentatora.
Niepewność pomiaru wielkości x oznaczamy literą u(x) (od
angielskiego słowa ”uncertainty”)
Lekcja 1 Strona 10
![Page 11: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/11.jpg)
Pomiary bezpośrednie
Obliczanie niepewności standardowej metodą typu A
• dysponujemy zestawem pomiarów powtarzanych w jednakowych
warunkach, a obliczenie niepewności dokonuje się drogą analizy
statystycznej
n
i
ixnx1
1
Odchylenie standardowe σ dla pojedynczego pomiaru jest miarą
średniego rozrzutu wyników pomiarów wokół prawdziwej wartości
mierzonej wielkości (wartości oczekiwanej)
)1(
)(1
2
n
xxs
n
ii
x
Lekcja 1 Strona 11
![Page 12: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/12.jpg)
Stanowi ono niepewność standardową obliczoną metodą typu A.
Powyższy wzór jest wyrazem faktu, że średnia chociaż, tak jak
wynik pojedynczego pomiaru, nie jest równa wartości prawdziwej, to
jednak leży ona bliżej wartości prawdziwej, niż pojedynczy pomiar.
Odchylenie standardowe średniej jest mniejsze niż odchylenie
standardowe pojedynczego pomiaru i wyraża się wzorem
)()1(
)(1
2
xunn
xx
n
ss
n
i
i
xx
)(xux
Lekcja 1 Strona 12
![Page 13: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/13.jpg)
Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B
• dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru, lub gdy wyniki nie
wykazują rozrzutu. Wówczas niepewności standardowej nie
można obliczyć drogą analizy statystycznej i ocenia się ją na
podstawie danych umieszczonych w specyfikacji przyrządu
pomiarowego, wiedzy o danej wielkości fizycznej lub o
przedziale, w którym wartość rzeczywista powinna się mieścić.
W laboratorium studenckim najprostsza metoda obliczania
niepewności typu B polega na uwzględnieniu niepewności
maksymalnej x, będącej połową szerokości przedziału, w jakim
zmierzone wartości powinny się mieścić
3
Δ)(
xxu
Lekcja 1 Strona 13
![Page 14: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/14.jpg)
Jeżeli obydwa typy niepewności występują równocześnie, należy
posłużyć się prawem składania niepewności, które prowadzi do
następującej zależności na niepewność standardową łączną:
2B2
A )()( xuxuxu
Lekcja 1 Strona 14
![Page 15: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/15.jpg)
Nxxxfy ...,, 21
22
22
2
111
2
2
)()()()()(
NN
N
jj
j
xux
fxu
x
fxu
x
fxu
x
fyu
Obliczanie niepewności wielkości złożonej
Lekcja 1 Strona 15
![Page 16: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/16.jpg)
Przykład
Wyznaczamy wartość przyspieszenia ziemskiego mierząc czas równy
10 okresom drgań wahadła matematycznego o długości 1.35 m.
Wartości tych czasów są następujące
23.3 23.5 23.6 23.2 23.4 23.5 23.4 23.3 23.4 23.7
23.1 23.6 23.5 23.7 23.2 23.3 23.2 23.7 23.3 23.4
Wartość średnia tśr = 23.42 s, odchylenie standardowe u(t)=0.039 s.
Okres drgań T = 2.34 s, u(T) = 0.004 s. Długość wahadła zmierzono z
dokładnością l = 0.5 cm, u(l) = 0.003 m.
3)(
llu
)()120(20
)(1
2
tutt
n
ii
Lekcja 1 Strona 16
![Page 17: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/17.jpg)
2
2
3
2
22
2
3
2
22
22
04.0039.0004.034.2
35.12003.0
34.2
14
)(2
)(1
4)()()(
s
m
TuT
llu
TTu
T
glu
l
ggu
22
2
2
2
733337674.935.134.2
442
s
ml
Tg
g
lT
2
04.073.9s
mg
Lekcja 1 Strona 17
![Page 18: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/18.jpg)
%42.0%10073.9
04.0%100
)(
g
gu
Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.
Różnica pomiędzy wartością zmierzoną a tablicową
9.81 - 9.73 = 0.08 m/s2
Lekcja 1 Strona 18
![Page 19: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/19.jpg)
Jeżeli uzyskana w wyniku obliczeń masa wynosi
m = 0.02145 kg, a niepewność u(m) = 3.751 g = 0.003751 kg, to
najpierw zaokrąglona do dwóch cyfr znaczących niepewność wynosi
u(m) = 0.0038 kg, a zaokrąglony następnie wynik pomiaru (tutaj do
czterech cyfr po przecinku) to m = 0.0214 kg. Razem wynik
zapiszemy jako:
m = (0.0214 ± 0.0038) kg
lub jeszcze lepiej:
m = (21.4 ± 3.8)∙10-3 kg
Poniższe zaokrąglenia, jakkolwiek formalnie poprawne, są z
fizycznie niepoprawne:
m = (0.0214 ± 0.00375) kg źle
m = (0.02145 ± 0.0038) kg źle
m = (0.021 ± 0.0038) kg źle
Zaokrąglanie wyników pomiaru
Lekcja 1 Strona 19
![Page 20: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/20.jpg)
n
ii
n
iii
w
wxx
1
1
Średnia ważona
)(
1
ii xuw
wagą jest odwrotność
niepewności standardowej
n
x
nw
xw
w
wxx
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
11
1
1
średnia arytmetyczna
Lekcja 1 Strona 20
![Page 21: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/21.jpg)
y
x
2U(x)
2U(y)
prostokąt niepewności
Graficzne zaznaczanie punktów pomiarowych, prostokątów
niepewności i krzywej doświadczalnej
xx
Lekcja 1 Strona 21
![Page 22: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/22.jpg)
min)(1
2
n
iii yxy
Metoda najmniejszych kwadratów
02
02
1
1n
i
ii
n
i
iii
ybxa
ybxax
min1
2
n
iii ybxa
)(xyy
baxxy )(
Lekcja 1 Strona 22
![Page 23: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/23.jpg)
2
11
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
xxn
yxyxn
a
2
11
2
111
2
111
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
xxn
yxxxy
n
x
an
y
b
Lekcja 1 Strona 23
![Page 24: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/24.jpg)
2
11
2
1
2
)(
n
i
i
n
i
i
n
i
i
xxn
x
bu
22111
2
1
2
n
ybyxay
n
ybxan
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
2
11
2
)(
n
i
i
n
i
i xxn
nau
estymator jednakowych odchyłek
standardowych zmierzonych wartości yi
Lekcja 1 Strona 24
![Page 25: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/25.jpg)
p(x)
Lekcja 1 Strona 25
![Page 26: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/26.jpg)
Rozkład Gaussa
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
X
p(x)
p1(x)
p2(x)
p3(x)
P(μ-σ ≤ x ≤ μ+σ) = 0.6826 (68.26%)
P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ) = 0.9544 (95.44%)
P(μ-3σ ≤ x ≤ μ+3σ) = 0.9973 (99.73%)
xxp
xx
dla,e2
1)(
2
2
2
)(
Lekcja 1 Strona 26
![Page 27: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/27.jpg)
Lekcja 1 Strona 27
![Page 28: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/28.jpg)
Lekcja 1 Strona 28
![Page 29: Vitalii Dugaev Katedra Fiz yki Politechnika Rzeszowska](https://reader035.fdocuments.pl/reader035/viewer/2022062314/56814296550346895daec59e/html5/thumbnails/29.jpg)
Lekcja 1 Strona 29