GENERAL

M.Sc. Ing. Jorge Arturo Villanueva Sánchez

INTRODUCCION A LA PLANIMETRIA

DEFINICION: La topografía tiene como objeto, medir extensiones de

tierra, tomando los datos necesarios para poder representarsobre un plano, a escala, su forma y accidentes.

Es medir distancias horizontales y verticales entre puntos yobjetos sobre la superficie terrestre, medir ángulos entrelíneas terrestres y establecer puntos, por medio dedistancias y ángulos previamente determinados.

Con los datos tomados por el topógrafo sobre el terreno ypor medio de procedimientos matemáticos, se calculandistancias, ángulos, direcciones, coordenadas, elevaciones,áreas o volúmenes, según lo requerido en cada caso.

PROCEDIMIENTO: Trabajo de campo (recopilación de datos).

Trabajo de gabinete (cálculos y dibujo del plano).

UTILIDAD:

Sirve como base para trabajos de ingeniería : represas,canales, acueductos, caminos, etc.

Determinación de límites de propiedad, extensiones,divisiones y determinación de accidentes u objetosdentro de ella.

DIVISION BASICA: La topografía se divide básicamente en dos partes:

La planimetría: que solo tiene en cuenta laproyección del terreno sobre un planohorizontal imaginario.

La altimetría: que tiene en cuenta lasdiferencias de nivel existentes entre losdiferentes puntos de un terreno.

Para la elaboración de un plano topográficopropiamente dicho, es necesario conocer estas dospartes de la topografía y así poder determinar laposición y elevación de cada punto.

EL PUNTO TOPOGRAFICO: Los métodos empleados en topografía son

estrictamente geométricos y trigonométricos.

Se determinan líneas y ángulos para formar figurasgeométricas. El terreno se considera como unpolígono, lo más cercano al terreno real.

Para lograr este objetivo se fijan puntos sobre loslinderos del terreno, que son los vértices delpolígono.

Puntos temporales

Puntos permanentes

1. Puntos temporales:

1.1. Puntos instantáneos omomentáneos:

Son puntos que se necesitanen un determinado instante,pero que luego desaparecen.Se determinan por medio dejalones.

1. Puntos temporales: 1.2. Puntos transitorios: son puntos que deben

perdurar mientras se termina el trabajo, pero queposteriormente pueden desaparecer, en general sonestacas de madera.

Las estacas generalmente son demadera torneada, y de seccióncircular; tienen de 40 a 50 cm. delongitud con un diámetro de 01”

2. Puntos permanentes:

Son aquellos que no pueden desaparecer una vez hecho el trabajo, son fijos y determinados.

2.1. Punto natural: Es un punto existente en el terreno, fijo, destacado, que puede identificarse fácilmente, como una roca grande y solida.

2.2. Punto artificial: Es generalmente un paralelepípedo de concreto de 0,1 x 0,1m. de sección y 0,6 m. de longitud, que sobresale unos 0,05 m. sobre el terreno.

ESCALAS NUMERICAS Una escala, es la relación existente entre el punto

topográfico y el terreno real.

Se utilizan una gran variedad de escalas, siendo las mas utilizadas las siguientes:

1:10 000 1m. de papel = 10 000 m. de terreno

100 cm. de papel = 10 000 m. de terreno

1 cm. de papel = 100 m. de terreno.

1:5 000

1:2 000

1:50

1:20

PUNTO COORD. PUNTO COORD. PUNTO COORD PUNTO COORD.

01 ( 000 ; 60 ) 05 ( 80 ; 56 ) 09 ( 160 ; 49 ) 13 (240 ; 40)

02 ( 20 ; 58 ) 06 ( 100 ; 52 ) 10 ( 180 ; 46 )

03 ( 40 ; 57 ) 07 ( 120 ; 50 ) 11 ( 200 ; 44 )

04 ( 60 ; 55 ) 08 ( 140 ; 54 ) 12 ( 220 ; 45 )

Ejemplo 1: EscalasGrafique Ud., las coordenadas en metros del cuadro adjunto; escala horizontal = 1: 1000; escala vertical = 1:200; y una los puntos encontrados.

PUNTO COORD. PUNTO COORD. PUNTO COORD PUNTO COORD.

01 ( 000 ; 80,0 ) 05 ( 300 ; 78,4 ) 09 ( 600 ; 78,0 ) 13 (900 ; 77,2)

02 ( 75 ; 79,5 ) 06 ( 375 ; 79,2 ) 10 ( 675 ; 77,6 )

03 ( 150 ; 79,1 ) 07 ( 450 ; 78,6 ) 11 ( 750 ; 77,4 )

04 ( 225 ; 78,8 ) 08 ( 525 ; 78,3 ) 12 ( 825 ; 77,5 )

Ejemplo 2: EscalasGrafique Ud., las coordenadas en metros del cuadro adjunto; escala horizontal = 1: 5000; escala vertical = 1:20; y una los puntos encontrados.

Ejemplo 3 : Escalas

Grafique Ud., las coordenadas en metros del cuadro adjunto; escala horizontal = 1: 2500; escala vertical = 1:50; y una los puntos encontrados.

PUNTO COORD. PUNTO COORD. PUNTO COORD PUNTO COORD.

01 ( 000 ; 40,0 ) 05 ( 200 ; 36,9 ) 09 ( 400 ; 33,6 ) 13 (580 ; 32,6)

02 ( 50 ; 38,3 ) 06 ( 250 ; 37,1 ) 10 ( 450 ; 35,7 )

03 ( 100 ; 37,9 ) 07 ( 300 ; 34,8 ) 11 ( 500 ; 36,8 )

04 ( 150 ; 35,3 ) 08 ( 350 ; 32,4 ) 12 ( 550 ; 33,9 )

MEDICION DE DISTANCIAS ENTRE DOS PUNTOS FIJOS

EN TERRENO PLANO

Se necesitan dos jalones, estacas y wincha:

Se colocan los jalones en los puntos extremos, y sirvenpara mantener el alineamiento.

La medida la efectúan 02 personas, y una tercerapersona verifica la alineación de las estacas.

EN TERRENO INCLINADO Para estas mediciones es necesario mantener siempre la wincha

horizontal; entonces se puede hacer uso de la plomada paraproyectar el extremo de la wincha sobre el punto donde está laestaca; también se puede utilizar un jalón, en vez de plomada,cuidando que este permanezca siempre vertical.

La cinta debe mantenerse bien tensa para evitar que forme unacatenaria.

MEDICIONES INCLINADAS Hay ocasiones en las que es más conveniente medir las

distancias inclinadas y tomar la pendiente de estas paraluego calcular la verdadera distancia horizontal.

La pendiente se toma por secciones con un nivel demano.(Eclímetro).

Cuando se trata de ángulosmenores de 5º, lasvariaciones en el cálculono son significativas.

ERRORES COMETIDOS EN LAS MEDICIONES 1. Wincha no estándar:

Que la wincha no tenga realmente la longitud que indica. Esto sepuede evitar patronandola en una base medida con precisión yaplicando la corrección.

2. Alineamiento imperfecto: Que no se coloque las estacas correctamente alineadas y resulta una

longitud mayor.

3. Falta de horizontalidad: Produce un error similar al del alineamiento imperfecto, dando una

longitud mayor que la real.

4. Que la wincha no quede recta: Debido a la presencia de obstáculos. Este error es variable, y

produce el efecto de una wincha más corta.

5. Errores accidentales: Al leer la wincha, al colocar la plomada y las estacas se

cometen errores accidentales.

6. Variaciones de tensión: Las winchas están calibradas para una determinada tensión, y

siendo algo elásticas, se acortan o alargan según la tensiónaplicada. Este error solo se tiene en cuenta en mediciones dealta precisión.

7. Formación de una catenaria: Esto es debido al viento o al peso propio de la wincha; se evita

este error tomando mediciones más cortas de estaca a estaca,o aplicando una tensión tal que produzca un alargamiento dela wincha que contrarreste el error cometido por catenaria

CALCULO DEL VALOR MÁS PROBABLE (V.M.P.)Generalmente se toma como valor más probable, la media aritmética de las observaciones que se hayan hecho.

M0 = M1 + M2 + M3 +….Mn /n………….…(1)

M0 = Media aritmética Mn = Valor de cada observación N = Numero de observaciones

r0 = 0,6745 [∑ V2/ n (n-1) ]

1/2 ………(2) r0 = Error de la media

V = Error residual.

V = Mn – M0 ………………………..(3)

∑ V = 0 (La suma de todos los errores residuales es cero)

Rango = M0 +- r0…………………………..(4)

V.M.P. = Media aritmética de los valores observados que están dentro del rango.

Ejemplo:

Mn Mo V V2

144,56

144,61

144,62

144,59*

M1 M2 M3 M4

144,56 144,61 144,62 144,59

144,595 - 0,035

+ 0,015

+ 0,025

- 0,005

∑ = 0

0,001225

0,000225

0,000625

0,000025

∑ = 0,0021

MEDICION DE ANGULOS CON WINCHA

1. Haciendo centro en O,trazamos un arco ab quecorta los lados OA y OB,con un radio R.

2. Se mide la cuerda ab3. De la figura se tiene:

TRAZADO DE UNA PERPENDICULAR A UNA LINEA (Método 3,4,5)

Se desea trazar una perpendicular a

la línea AB, que pase por un puntoC, exterior a esta:

1. Suponemos que C esta sobre laperpendicular a AB .

2. Se construye un triangulorectángulo en D, que tenga loscatetos 3,4, y por hipotenusa el 5.

3. Si la perpendicular no pasa por C,sino por C’, se mide CC’ y se correel pie de la perpendicular unadistancia igual y se repite elproceso como chequeo.

CALCULO DEL AREA DE UN POLIGONO EN FUNCION DE LAS COORDENADAS DE SUS VERTICES.

Calcular el Área delPolígono 1 – 2 – 3 – 4 – 5de la figura de cuyosvértices conocemos lascoordenadas (Norte yEste). El área del Polígonoqueda determinada por ladiferencia entre las Áreas A– 1 – 2 – 3 – B y A – 1 – 5 –4 – 3 – B.

CALCULO DEL AREA DE UN POLIGONO EN FUNCION DE LAS COORDENADAS DE SUS VERTICES.

A partir de la ecuación (1) se puede calcular el área por medio de dos métodos en forma mecánica:

Primer Método:

CALCULO DEL AREA DE UN POLIGONO EN FUNCION DE LAS COORDENADAS DE SUS VERTICES.

Segundo Método:

Ejemplo:Calcule Ud. el área del polígono en base a las coordenadas en metros de

sus vértices.

PUNTO COORD. PUNTO COORD.

01 ( 17,86 ; 58,37 ) 05 ( 107,43 ; 74,82 )

02 (29,64 ; 88,62 ) 06 ( 113,27 ; 27,59 )

03 ( 66,31 ; 100,14 ) 07 ( 68,33 ; 13,41 )

04 ( 100,06 ; 111,66 ) 08 ( 34,85 ; 22,55 )

2A = [ ( 58,37*29,64) + (88,62*66,31) + (100,14*100,06) + (111,66*107,43) + (74,82*113,27) + (27,59*68,33) + (13,41*34,85) + (22,55*17,86) ] – [ (17,86*88,62) + (29,64*100,14) + (66,31*111,66) + (100,06*74,82) + (107,43*27,59) + 113,27*13,41) + (68,33*22,55) + (34,85*58,37) ]

2A = 40852,18 – 27499,532A = 13 352,65 m2

A = 6 676,3 m2

A = 0,667 Há.

Primer Método:

Segundo Método:

2A = [ 58,37 (29,64 – 34,85) + 88,62 (66,31 –17,86) + 100,14 (100,06 - 29,64) + 111,66 (107,43 - 66,31) + 74,82 (113,27 - 100,06) + 27,59 (68,33 - 107,43) + 13,41 (34,85 - 113,27) + 22,55 (17,86 – 68,33) ]

2A = 13 352,74 m2A = 6 676,3 m2A = 0,667 Há.

CALCULO DE AREASLas formulas mas comunes usadas en topografía son:

Área del triangulo:

Área del trapecio:

Formula de Bezzout o de los trapecios:

LEVANTAMIENTO CON WINCHA Y JALONES

Para medir un terreno con wincha, jalones y estacas; hay que dividir en laforma más conveniente, el terreno en triángulos y tomar las medidas desus lados, las alturas y los ángulos ( de dichos triángulos) , para podercalcular la superficie total y dibujar el plano.

Se debe procurar, hasta donde lo permite el terreno que los triángulos nopresenten ángulos demasiado agudos, para no disminuir la precisión dellevantamiento.

Los detalles de las aéreas menores se toman por el método de izquierdas yderechas, para lo cual se colocan estacas a distancias fijas (cada 5, 10, o 20m.), o bien donde se crea necesario por haber un cambio brusco en laforma del lindero y se miden las perpendiculares de la línea al lindero. Engeneral no deben pasar de 15 m. para poder trazar las perpendiculares aojo sin cometer mayor error.

Por último, se calcula el área de los triángulos principales a la cual se lesumo o resta el área de detalles por izquierdas y derechas .

Ejemplo: Levantamiento con wincha, jalones y estacas: En base a los datos de campo que se adjuntan, calcule Ud. el área del terreno y

los ángulos internos en los puntos B, C, D, E. (10 Pts.) Radio = 8 m.

◙ DIST.

m.

IZQ

m.

DER.

m.

PERP.

.m.

CUERDA.

m.

CROQUIS DE UBICACIÓN

A 0,00 19,12

B 67,86 12,95

C 71,05 (∆ CDE) 21,83 15,84

(∆ CEB) 52,79

D 33,67 6,92

1 10,00 1,86

2 10,00 0,45

3 10,00 1,76

4 10,00 3,91

5 10,00 4,57

6 10,00 3,82

7 10,00 2,24

8 10,00 1,06

E 5,80 13,89

F 62,75 47,54

A 20,08

DC’ = √ (33,67)2 - (21,83)2 = 25,63 m.C’E = 85,80 – 25,63 = 60,17 m.CE = √ (60,17)2 + (21,83)2 = 64,01 m.

BE’ = √ (71,05)2 - (52,79)2 = 47,55 m.E’E = √ (64,01)2 - (52,79)2 = 36,20 m.BE = 47,55 + 36,20 = 83,75 m. *

BA’ = √ (67,86)2 - (19,12)2 = 65,11 m.A’F = √ (20,08)2 - (19,12)2 = 6,13 m.BF = 65,11 + 6,13 = 71,24 m.

BF’ = √ (71,24)2 - (47,54)2 = 53,06 m.F’E = √ (62,75)2 - (47,54)2 = 40,76 m.BE = 53,06 + 40,96 = 94,02 m. *BE = (83,75 + 94,02) / 2 = 88,89 m.(Promedio)

DESARROLLO:

Calculo de áreas :

Calculo de detalles :

Calculo de ángulos :

Ejercicios Propuestos:

1. Luego de realizar una medición con Wincha en terreno plano, se obtuvieron los siguientes valores

Determine Ud. El valor mas probable de la medición

2. Luego de realizar una medición con Wincha en terreno plano, se obtuvieron los siguientes valores

Determine Ud. El valor mas probable de la medición

3. Grafique Ud., las coordenadas en metros del cuadro adjunto; escala horizontal = 1: 2500; escala vertical = 1:20; y una los puntos encontrados.

Ejercicios Propuestos:

4. Grafique Ud., las coordenadas en metros del cuadro adjunto; escala horizontal= 1: 2000; escala vertical = 1:50; y una los puntos encontrados.

5.- Calcule Ud. el área del polígono en base a las coordenadas en metros de sus vértices.

Ejercicios Propuestos:

6.- Calcule Ud. el área del polígono en base a las coordenadas en metros de susvértices.

Ejercicios Propuestos:

7.- En base a los datos de campo que se adjuntan, calcule Ud. el área del terreno ylos ángulos internos en los puntos B, C, D, E, Radio = 8 m.

Ejercicios Propuestos:

8.- En base a los datos de campo que se adjuntan, calcule Ud. el área del terreno y los ángulos internos en los puntos B, C, D, E, Radio = 6 m.