Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka

Agata Boratyńska

SGH, Warszawa

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 1 / 34

Warunki zaliczenia

1 Dwa kolokwia (prawdopodobnie 7.12.2018 i ostatnie ćwiczenia),każde kolokwium po 10 punktów

2 Raport na max 10 punktów (obowiązkowy do zaliczenia ćwiczeń izdania przedmiotu)

3 Dodatkowo za aktywność na ćwiczeniach można uzyskać max 5punktów

4 Ocena końcowa na podstawie zdobytych punktów5 Osoba nie zgadzająca się z oceną lub nie uczestnicząca w kolokwiach

pisze egzamin w sesji

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 2 / 34

Literatura

Bowers N. i in. (1997) Actuarial mathematics, Society if ActuariesWuthrich M. (2017) Non-life insurance: mathematics and statistics,SSRN Manuscript 2319328Otto W. (2004), Ubezpieczenia majątkowe; t. I - Teoria ryzyka,WN-T, Warszawa.Kaas, R., Goovaerts, M., Dhaene, J., Denuit, M. (2001) lubwydania następne, Modern Actuarial Risk Theory, Kluwer AcademicPublishers, Boston.Kowalczyk P., Poprawska E., Ronka-Chmielowiec W. (2013),Metody aktuarialne. Zastosowania matematyki w ubezpieczeniach,PWN PWN, Warszawa.Klugman S., Panjer H., Willmot G. (1998 lub 2008) Loss Models,From Data to Decisions, WileyBuhlmann H. i Gisler A. (2005), A Course in Credibility Theory andits Applications, Springer

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 3 / 34

Literatura cd.

Niemiro Wojciech Teoria ryzyka w ubezpieczeniach,http://www-users.mat.umk.pl/ wniem/Ryzyko/RyzykoUB.pdf

Wuthrich M.V., Merz M. (2008), Stochastic claims reservingmethods in insurance, Wiley

Hossak J.B., Pollard J.H., Zehnwirth B. (1999), Introductorystatistics with applications in general insurance, CambridgeUniversity Press.

Gray R.J., Pitts S.M. (2012), Risk modelling in general insurance:from principles to practise, Cambridge University Press

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 4 / 34

Plan

1 Ekonomia ubezpieczeń, składka, podział ryzyka, typy ubezpieczeń, tw.o optymalnym ubezpieczeniu

2 Model ryzyka indywidualnego i kolektywnego, kalkulacja składki,metody aproksymacji

3 Rozkłady częstości szkód, rozkłady złożone i mieszane4 Kalkulacja rezerw techniczno-ubezpieczeniowych, trójkąty szkód,

chain ladder5 Rozkłady wysokości szkód, estymacja przy danych uciętych i

okrojonych6 Teoria zaufania (credibility)7 Teoria ruiny

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 5 / 34

Co to jest ubezpieczenie?

Ubezpieczenie - urządzenie gospodarcze zapewniające pokrycieprzyszłych potrzeb majątkowych, wywołanych u poszczególnychjednostek przez zdarzenia losowe, w drodze rozłożenia ciężaru tegopokrycia na wiele jednostek, którym te same zdarzenia zagrażają.Umowa ubezpieczeniowa (polisa) - umowa między ubezpieczanym(ubezpieczającym) a ubezpieczycielem (zakładem ubezpieczeń) w której• ubezpieczany zobowiazuje się uiścić opłatę - składkęubezpieczeniową (jednorazowo lub ratalnie) na rzecz zakładuubezpieczeń,• zakład ubezpieczeń zobowiązuje się do wypłacenia w razie zajściawypadku ubezpieczeniowego określonego w polisie lub w ściśleokreślonym terminie sumy ubezpieczenia, wartości ubezpieczenia,odszkodowania na rzecz określonych w ubezpieczeniu osób.Reasekuracja - ubezpieczenie jednego zakładu ubezpieczeń w innym nawypadek zbyt dużych roszczeń

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 6 / 34

Użyteczne rozkłady

Rozkład gęstość f (x) F (x) EX VarXbin(n, θ)

(nx

)θx(1− θ)n−x nθ nθ(1− θ)

θ ∈ (0, 1) x = 0, 1, . . . , nPoiss(λ) e−λ λ

x

x! λ λλ > 0 x = 0, 1, 2, . . .bin−(r , p) Γ(r+x)

x!Γ(r) pr (1− p)x r(1−p)

pr(1−p)p2

r > 0, p ∈ (0, 1) x = 0, 1, 2, . . .

Beta(α, β) Γ(α+β)xα−1(1−x)β−1Γ(α)Γ(β)

B(α, β, x) αα+β

αβ(α+β)2(α+β+1)

α, β > 0 x ∈ (0, 1) x ∈ (0, 1)

N(µ, σ2) 1√2πσexp(−(x−µ)2

2σ2

)Φ( x−µ

σ) µ σ2

σ > 0

LN(µ, σ)exp[− 12 (

ln x−µσ

)2]

xσ√2π

Φ( ln x−µσ

) eµ+ 12σ2e2µ+σ2(eσ

2− 1)

µ ∈ R, σ > 0 x > 0wykładniczy θe−θx 1− e−θx 1

θ1θ2

Ex(θ) θ > 0 x > 0

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 7 / 34

Gamma(α, β) βα

Γ(α)xα−1e−βx Γ(α, βx) α

βαβ2

α, β > 0 x > 0

IGamma βα

Γ(α)x−α−1e−

βx Γ(α, βx ) β

α−1β2

(α−1)2(α−2)α, β > 0 x > 0

TGamma βατΓ(α)xατ−1e−βx

τ

Γ(α, βxτ )Γ(α+ 1

τ)

Γ(α)β1τ

EX 2 =Γ(α+ 2

τ)

Γ(α)β2τ

α, β, τ > 0 x > 0

LG(α, β) βα(ln x)α−1

xβ+1Γ(α)Γ(α, β ln x)

(ββ−1

)α (ββ−2

)α − ( ββ−1

)2αα, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2

Pareto(θ, λ) λθθ(λ+x)θ+1 1− λθ

(λ+x)θλθ−1

λ2θ(θ−1)2(θ−2)

λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2

Burr(θ, λ, τ) τθλθ xτ−1

(λ+xτ )θ+1 1−(λλ+xτ

)θ Γ(θ− 1τ

)Γ(1+ 1τ

)

λ−1τ Γ(θ)

EX 2 =

τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1λ2τ Γ(θ− 2

τ)Γ(1+ 2

τ)

Γ(θ)

τθ > 2

Weibull(c, τ) cτxτ−1e−cxτ

1− e−cxτ Γ(1+ 1

τ)

c1/τΓ(1+ 2

τ)−Γ(1+ 1

τ)

c2/τ

c, τ > 0 x > 0

GPareto Γ(θ+τ)λθxτ−1

Γ(θ)Γ(τ)(λ+x)θ+τ B(τ, θ, u) λτθ−1

λ2τ(θ+τ−1)(θ−1)2(θ−2)

(θ, λ, τ) u = xx+λ θ > 1 θ > 2

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 8 / 34

AWERSJA DO RYZYKA

u - funkcja użyteczności,

awersja do ryzyka - u′ > 0, u” < 0PRZYKŁAD:u(w) = lnw ,u(w) = − exp(−βw),u(w) = w − βw2,u(w) =

√u

Zachodzi nierówność Jensena: Niech X będzie zmienną losową i ufunkcją wklęsłą, wtedy u(EX ) > E (u(X )).

Niech w oznacza majątek a X losową stratę. Jeżeliw − H = E (w − X ) to u(w − H) > Eu(w − X )

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 9 / 34

ILE JESTEŚMY SKŁONNI ZAPŁACIĆ ZAUBEZPIECZENIE

Rozważmy ubezpieczenie pełne majątku w narażonego na stratęlosową X , wtedy maksymalna opłata H za ubezpieczenie spełnia

E (u(w − X )) = u(w − H)

Przy u odpowiadającej awersji do ryzyka H spełnia H > EX .PRZYKŁAD:Przy u(w) = lnw składka max H = w − exp(E ln(w − X ))Przy u(w) = − exp(−βw) składka max

H =1β

ln (E (exp(βX )))

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 10 / 34

PODZIAŁ RYZYKA (RODZAJE POLIS)

X , S - strata, wypadek ubezpieczeniowy (loss), roszczenie (claim) -zmienna losowaI (X ) - odszkodowanie (indemnity) - zmienna losowa, 0 ¬ I (X ) ¬ X

ubezpieczenie pełne I (X ) = XWtedy EI (X ) = EX i VarI (X ) = VarX

pokrycie częściowe 0 ¬ I (X ) < XU = X − I (X ) - udział ubezpieczonego w szkodziePRZYKŁAD:

Wartość szkody x 0 2 4 9Odszkodowanie I (x) 0 0,4 2 6P(X = x) 0,8 0,1 0,06 0,04

Wyznacz EX , VarX , EI (X ), VarI (X )

EX = 0, 8 VarX = 3, 96

EI (X ) = 0, 4 VarI (X ) = 1, 536

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 11 / 34

RODZAJE POLIS, cd.

Kontrakt proporcjonalny I (X ) = aX a ∈ (0, 1)Polisa z franszyzą integralną (warunkową)

I (X ) =

{0 gdy X < dX gdy X ­ d

Polisa z udziałem własnym d (z franszyzą redukcyjną -bezwarunkową , deductible)

I (X ) =

{0 gdy X < dX − d gdy X ­ d = (X − d)+

Ubezpieczenia z górnym limitem odpowiedzialności

I (X ) =

{X gdy X < dd gdy X ­ d = min(X , d)

Polisa z udziałem własnym d i górnym limitem odpowiedzialnościM

I (X ) =

0 gdy X < dX − d gdy d ¬ X ¬ MM − d gdy X > M

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 12 / 34

RODZAJE POLIS, cd.

Polisa z indywidualną franszyzą redukcyjną (ubezpieczenie

częściowe z udziałem własnym) I (X ) =

{0 gdy X < da(X − d) gdy X ­ d

Ubezpieczenie częściowe warstwy ograniczonej górnym limitemodpowiedzialności M i udziałem własnym d

I (X ) =

0 gdy X < da(X − d) gdy d ¬ X ¬ Ma(M − d) gdy X > M

a ∈ (0, 1)

Ubezpieczenie ze znikającą franszyzą redukcyjną

I (X ) =

0 gdy X < dX − d gdy d ¬ X ¬ MX gdy X > M

Ubezpieczenia z udziałem własnym i pełnym pokryciem strat w

granicach ustalonych limitów I (X ) =

0 gdy X < dX − d gdy d ¬ X ¬ mX gdy m < X < MM gdy X ­ M

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 13 / 34

TWIERDZENIE o optymalnym ubezpieczeniu

Jeżeli pewien decydent

posiada początkowy zasób majątku wprzejawia awersję do ryzykanarażony jest na stratę Xgotów jest przeznaczyć kwotę H na zakup ubezpieczenia i0 ¬ H ¬ (1 + θ)EX

oraz rynek ubezpieczeniowy oferuje wszystkie możliwe kontrakty I takie, że

0 ¬ I (X ) ¬ X

o ustalonej EI (X ) po cenie (1 + θ)EI (X ),to decydent osiągnie max oczekiwanej użyteczności zakupując kontrakt

I ∗(X ) =

{0 gdy X ¬ d∗X − d∗ gdy X > d∗

gdzie H = (1 + θ)EI ∗(X ).Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 14 / 34

PRZYKŁAD

Podejmujący decyzję o ubezpieczeniu dysponuje majątkiem 100 i narażonyjest na stratę X ∼ U(0, 100). Podmiot postępuje racjonalnie a w swoichdecyzjach kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności. Jegofunkcja użyteczności jest postaci u(x) =

√x .

Wyznacz polisę optymalną, jeśli decydent chce przeznaczyć naubezpieczenie 18j, a koszt polisy jest równy EI (X ), gdzie I (X )oznacza odszkodowanie dla szkody o wartości X .

Jaką maksymalna składkę skłonny byłby zapłacić właściciel za pełneubezpieczenie?

Odp: Polisa optymalna d∗ = 40, max. składka H = 100− (20/3)2.Użyteczny wzór: E (X − d)+ =

∫+∞d (x − d)f (x)dx =

∫+∞d (1− F (x))dx

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 15 / 34

Reasekuracja, podział ryzyka

X - ryzyko

Xr = X − h(X ) wielkość przekazana do ponownego ubezpieczenia,

Xc = h(X ) - udział własnyFunkcja h (funkcja retencyjna) spełnia:h jest niemalejąca,k(x) = x − h(x) (funkcja kompensacji) jest niemalejąca,0 ¬ h(x) ¬ x oraz h(0) = 0.

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 16 / 34

Kontrakty reasekuracyjne, Reasekuracja proporcjonalna

Reasekuracja z udziałem procentowym (quota-share),

Xr = αX , α ∈ (0, 1), Xc = (1− α)X .

Wady kontraktu proporcjonalnego: małe szkody dzielone są międzycedenta i reasekuratora. Dominują wtedy koszty administracyjnelikwidacji szkody.

Reasekuracja nadwyżkowa (surplus)

Xr =

{(1− sI )X gdy I > s0 gdy I ¬ s Xc =

{sI X gdy I > sX gdy I ¬ s

gdzie s jest poziomem retencji, czyli górnym limitemodpowiedzialności towarzystwa ubezpieczeniowego, a I górnąwartością szkody.

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 17 / 34

Kontrakty reasekuracyjne- reasekuracja nieproporcjonalna

Reasekuracja nadwyżkowa (kontrakt stop-loss)

Xr = (X − d)+, Xc = min(X , d), d > 0

Uwaga: Jeżeli X to łączna wartość szkód (np. z portfela) X =∑Ni=1 Xi , to

rozróżniamy dwa typy reasekuracji nadwyżkowej:Xr =

∑Ni=1(Xi − d)+ - (excess-of-loss), Xr = (X − d)+ - (stop-loss).

Reasekuracja k największych wypłat.X1:n,X2:n, . . . ,Xn:n - uporządkowane straty w portfelu, reasekurator pokrywak największych wypłat, tzn.

Xr =k∑i=1

X(n−i+1):n, Xc =n−k∑i=1

Xi :n

Reasekuracja ECOMORX1:n,X2:n, . . . ,Xn:n - uporządkowane straty w portfelu, reasekurator pokrywanadwyżkę ponad poziom Xn−k:n dla ustalonego k , czyli

Xr =k∑i=1

(X(n−i+1):n − Xn−k:n), Xc =n−k∑i=1

Xi :n + kXn−k:n

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 18 / 34

Własności kontraktu stop-loss

Tw.Niech S będzie ustalonym ryzykiem oraz C ustaloną wartością nettoudziału własnego, Czyli Eh(S) = C, wtedy

min{h:Eh(S)=C}

Varh(S) = Var min(d∗,S)

gdzie E min(d∗,S) = C.

Tw.Dla ustalonego kapitału początkowego w, wklęsłej funkcji użytecznosci uoraz 0 ¬ H ¬ E [S ]

max{k:Ek(S)=H}

E (w + k(S)− S − H) = E (w + (S − d∗)+ − S − H)

gdzie E (S − d∗)+ = H

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 19 / 34

Składka

S - zmienna losowa równa wysokości odszkodowań (świadczeńzakładu w pewnej grupie ryzyka) w przyszłości zdyskontowaną namoment zawierania umowyB - składka brutto, H składka (premium) H > ES , K - koszty

B = H + K H = Π + R(S)

Π = ES - składka netto (czysta składka), równa oczekiwanejwypłacie, nie odzwierciedla ryzyka związanego z ubezpieczeniem,wyznaczana w drodze analiz aktuarialnych;R(S) - składka na ryzyko związane z losowością szkód oraz z popytemi podażą (narzut związany z ryzykiem), wyznaczana w drodze analizaktuarialnych i ekonomicznych, narzut bezpieczeństwa;K - składka na pokrycie kosztów, wyznaczana w drodze analizfinansowo-księgowych, często wyrażana jako K = βB, wtedy

B =H

1− βAgata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 20 / 34

PRAKTYCZNE ZASADY USTALANIA SKŁADEK

A) zasada równoważności (zasada czystej składki) H = Π = ES

B) zasada wartości oczekiwanej H = (1 + θ)ES

C) zasada wariancji H = ES + αVarS

D) zasada odchylenia standardowego H = ES + β√VarS

E) zasada percentyli (składka kwantylowa) - H spełnia warunek

P(S > H) = ε

związana z miarą ryzyka value at risk VaR1−ε(S) = F−1S (1− ε), jestto składka z ustalonym poziomem bezpieczeństwa

Liczby θ, α, β, ε ustalane przez zakład ubezpieczeniowy.

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 21 / 34

TEORETYCZNE METODY USTALANIA SKŁADKI

Zasada zerowej użyteczności

u(W ) = Eu(W + H − S)

gdzie u - funkcja użyteczności ubezpieczyciela, W - majątekubezpieczycielaZADANIE. Wyznacz składkę odpowiadającą funkcji

u(x) =1− e−cx

c

F) składka wykładnicza

H =1c

lnE(ecS)

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 22 / 34

POŻĄDANE WŁASNOŚCI SKŁADKI

1 H ­ ES2 H ¬ max odszkodowanie3 H(S + a) = H(S) + a (zgodność)4 H(aS) = aH(S) dla a > 0 (dodatnia jednorodność)5 S1 i S2 ryzyka niezależne, to H(S1 + S2) = H(S1) + H(S2)

(addytywność dla ryzyk niezależnych)6 H(H(S |Y )) = H(S)

własność A B C D E F1 + + + + - +2 + - - - + +3 + - + + + +4 + + - + + +5 + + + - - +6 + - - - - +

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 23 / 34

VaR i składka kwantylowa

Zatem VaR ma własności podobne do składki kwantylowej:

VaRp(c + S) = c + VaRp(S)

VaRp(aS) = aVaRp(S) dla a > 0

Jeżeli S1 � S2 to VaRp(S1) ¬ VaRp(S2) dla każdego p ∈ (0, 1)

Nie jest koherentną miarą ryzyka, istnieją S1 i S2 takie, żeVaRp(S1 + S2) > VaRp(S1) + VaRp(S2)

Przykład.Oblicz VaR0,95(S1 + S2) i VaR0,95(S1) jeśli S1, S2 i.i.d. iP(S1 = 0) = 0, 97 = 1− P(S1 = 1)

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 24 / 34

Funkcja tworząca momenty zmiennej X > 0

MX (t) = EetX

Przykład. X ∼ Ex(λ)

MX (t) =

∫ ∞0etxλe−λxdx =

λ

λ− t

dla t < λ i M(t) =∞ dla t ­ λ.

rozkład X MX (t)

Bin(p, n) [1 + p(et − 1)]n

Poiss(λ) exp(λ(et − 1))Bin−(r , p) ( p

1−(1−p)et )r

U(a, b) etb−etat(b−a)

N(m, σ) exp(tm + 12σ2t2)

Gamma(α, β) ( ββ−t )

α

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 25 / 34

WŁASNOŚCI MGF

1 MX (0) = 1;

2 M(k)X (t) = dk

dtkMX (t) = dk

dtkEetX = E(X ketX ) dla k = 1, 2, . . . ;

3

[dk

dtkMX (t)]t=0

= EX k ;

4 VarX = M ′′X (0)− (M ′X (0))2;5 jeżeli Y = aX to M.G.F. Y jest równa MY (t) = MX (at).6 Niech S = X + Y , gdzie X i Y niezależne, wtedyMS(t) = MX (t)MY (t).

7 jeżeli Y = a+ X to M.G.F. Y jest równaMY (t) = Eeta+tX = etaMX (t).

8 Jeżeli MX (t) = MY (t) dla t ∈ (a, b), to X = Y wg rozkładu

9 Niech Xn ­ 0 i Xn −→ X wg rozkładu, toMXn(t) −→ MX (t) dla t < 0.

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 26 / 34

Funkcja tworząca kumulanty CX (t) = lnMX (t)

WŁASNOŚCI:1 C ′X (t) =

M′X (t)MX (t) =⇒ C ′X (0) = M ′X (0) = EX

2 C ′′X (t) =M′′X (t)MX (t)−(M′X (t))2

(MX (t))2=⇒ C ′′X (0) = VarX

3 C (3)X (0) = E (X − EX )3 =⇒ γX =

C (3)X (0)

(C ′′X (0))32

4 C (4)X (0) = E (X −EX )4− 3Var2X =⇒ κX = E(X−EX )4

Var2X − 3 =C (4)X (0)

(C ′′X (0))2

5 S =∑ni=1 Xi , Xi niezależne, to

CS(t) =∑ni=1 lnMXi (t) =

∑ni=1 CXi (t)

6 C (3)S (t) =

∑ni=1 C

(3)Xi

(t) stąd E (S − ES)3 =∑ni=1 E (Xi − EXi )3

7 γS =

∑ni=1C (3)Xi

(0)

(∑ni=1VarXi )

32

=∑ni=1 γXi ·

(VarXi )32

(∑ni=1VarXi)

32

8 W szczególności jeżeli Xi i.i.d. γXi = γ i VarXi = σ2, to

γS = nγXiσ3

(nσ2)32

=γXi√n

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 27 / 34

Składka kwantylowa

S = X1 + X2 + · · ·+ Xn - portfel składa się z n ryzyk (np. polis),suma szkód to suma szkód z poszczególnych polis

Cel: wyznacz H aby P(S > H) = ε

Rozkład zmiennej S = X1 + X2 gdy X1 ∼ F1, X2 ∼ F2

FS(s) = P(X1 + X2 ¬ s) = P(X1 ¬ s − X2)

=

∫RF1(s − x)dF2(x) = F1 ∗ F2(s)

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 28 / 34

PRZYKŁAD

Wyznacz rozkład S = X1 + X2 jeśli X1,X2 są niezależne i dystrybuantyzmiennych Xi są równe

F1(x) =

0 gdy x < 0

0, 8 + 0, 1x gdy x ∈ [0, 1)

1 gdy x ­ 1

F2(x) =

0 gdy x < 0

0, 7 + 0, 2x gdy x ∈ [0, 1)

1 gdy x ­ 1

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 29 / 34

Składka kwantylowa - aproksymacje

S = X1 + X2 + · · ·+ Xn - portfel składa się z n ryzyk (np. polis),suma szkód to suma szkód z poszczególnych polisCel: wyznacz H aby P(S > H) = εSzukamy kwantyla rozkładu zmiennej S - trudneCzęsto łatwo wyznaczyć momenty zmiennej S :

Jeżeli S = X1 + X2 + · · ·+ Xn i X1, . . . ,Xn i.i.d. to

ES = nEX1, VarS = nVarX1

γS =E (S − ES)3

(VarS)32

=E (X1 − EX1)3√nVarX

321

=γX1√n

Jeżeli S = S1 + S2 + · · ·+ Sk i S1, . . . ,Sk niezależne to

ES =k∑i=1

ESi VarS =k∑i=1

VarSi

γS =k∑i=1

γSi ·(VarSi )

32(∑k

i=1 VarSi) 32

=

∑ki=1 E (Si − ESi )3

(VarS)32

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 30 / 34

Metoda symulacyjna

Znamy lub umiemy oszacować:

rozkład liczby szkód w portfelu

rozkład wartości szkody w portfelu

Proces wyznaczania H

Powtarzamy K razy symulację zachowania portfela:1. generujemy liczbę szkód N2. generujemy wartości poszczególnych szkód Y1, . . . ,YN3. Wyznaczamy sumę S =

∑Ni=1 Yi

Otrzymane wyniki S1, . . . ,SK ustawiamy rosnąco i za oszacowanie Hprzyjmujemy statystykę pozycyjną o numerze [K (1− ε)] + 1

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 31 / 34

Aproksymacja rozkładem normalnym

CTG: Jeżeli X1,X2, . . . ,Xn i.i.d. EXi = m i VarXi = σ2 iSn = X1 + X2 + · · ·+ Xn, to

∀z limn→+∞

P(Sn − nmσ√n¬ z)

= Φ(z)

WNIOSEK: Jeżeli możemy szacować S ∼ N(ES ,VarS) to otrzymujemyaproksymację:

P(S > H) = ε = P(S − ES√VarS

>H − ES√VarS

) =⇒ H = ES + u1−ε√VarS

Uwagi:

składka w formie zasady odchylenia standardowego

składka wg zasady wartości oczekiwanej H = (1 + θ)ES gdzie narzutbezpieczeństwa θ = u1−ε

√VarSES

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 32 / 34

Przesunięty rozkład gamma

Z ∼ Gamma(α, β, x0), to Z − x0 ∼ Gamma(α, β)

Gęstość

pα,β,x0(x) =βα

Γ(α)(x − x0)α−1 exp(−β(x − x0)) x > x0

funkcja tworząca momenty MZ (t) = etx0(

ββ−t

)αfunkcja tworząca kumulanty CZ (t) = tx0 + α lnβ − α ln(β − t)Momenty:

EZ = x0 +α

βVarZ =

α

β2

γZ =2√α

κZ =6α

=32γ2Z

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 33 / 34

Aproksymacja rozkładem gamma

Jeżeli S ma rozkład Gamma(α, β, x0), to parametry α, β, x0 wyznaczamy zukładu równań

x0 + αβ = ES

αβ2

= VarS2√α

= γS

Jeżeli składka H ma spełniać warunek P(S > H) = ε iS ∼ Gamma(α, β, x0), to

H = F−1Gamma(α,β)(1− ε) + x0

Inne aproksymacje: zastosowanie przybliżonych formuł na obliczenieodpowiedniego kwantyla - formuły Wilsona-Hilferty, formuły Fishera-Cornisha,aproksymacja przesuniętym rozkładem odwrotnym gaussowskim, aproksymacjamieszana.

Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 1 i 2 34 / 34