ROZKŁADY ROZKŁAD NORMALNY I INNE ROZKŁADY

CO ZAŁOŻYLIŚMY

Wybrana próba z populacji jest próbą losową.

• rozkład wyników w populacji jest zgodny z krzywą normalną LUB• próba jest większa niż 25 (=> centralne twierdzenie graniczne)

Próba została wybrana zgodnie ze schematem losowania zwrotnego.

Rozkład wartości jest zgodny z krzywą normalną:

Odchylenie standardowe wyników w populacji jest znane.

PRÓBA LOSOWA

Wybrana próba z populacji jest próbą losową.

Próba została wybrana zgodnie ze schematem losowania zwrotnego.

 

Odchylenie standardowe wyników w populacji jest znane.

przypomnijmy:

PRÓBA LOSOWA:próba dobrana w taki sposób, że

każdy element populacji ma jednakowe szanse trafić do

próby.

LOSOWANIE ZWROTNE

Wybrana próba z populacji jest próbą losową.

• rozkład wyników w populacji jest zgodny z krzywą normalną LUB• próba jest większa niż 25 (=> centralne twierdzenie graniczne)

Próba została wybrana zgodnie ze schematem losowania zwrotnego.

Rozkład wartości jest zgodny z krzywą normalną:

Odchylenie standardowe wyników w populacji jest znane.

ALE

jeżeli liczebność próby stanowi mały odsetek populacji, to błąd jest niewielki i w praktyce się go pomija.

LOSOWANIE ZWROTNE:procedura losowania, w której

dany element może się pojawić w próbie więcej niż raz

BOpo wylosowaniu jest zwracany

do puli, z której odbywa się losowanie

ĆWICZENIE

Zaprojektuj sposób doboru próby losowej, zwrotnej dla populacji: studentów UAM;

wyrazów języka polskiego;

ROZKŁAD NORMALNY

Wybrana próba z populacji jest próbą losową.

Próba została wybrana zgodnie ze schematem losowania zwrotnego.

 

Odchylenie standardowe wyników w populacji jest znane.

KRZYWA NORMALNA:abstrakcja matematyczna

zdefiniowana przez konkretne równanie.

Równanie to opisuje rodzinę krzywych normalnych.

(King, Minium 2009)

MAGIC BOX

DANE

RÓŻNICE

ZALEŻNOŚCI

STATYSTYKA

ZMIENNE

ROZKŁADY

TESTY

WSKAŹNIKI

MIARY

…MAGIA

KRZYWA NORMALNA

PRZEPIS NA KRZYWĄ NORMALNĄ

PLAN A

1.Weź dowolną cechę.2.Zmierz ją w bardzo dużej próbie lub w populacji.3.Nanieś wyniki na wykres:OX: wartości zmiennej;OY: częstość występowania poszczególnych wartości zmiennej;

4.Połącz punkty.otrzymany kształt dla wielu

zmiennych będzie zbliżony do krzywej normalnej

PLAN B

1. Weź dowolną cechę.2. Z populacji pobierz wiele prób

jednakowej wielkości.3. Dla każdej próby oblicz średnią.4. Nanieś wyniki dla średnich na wykres:

OX: wartość średniej z poszczególnych prób; OY: częstość występowania poszczególnych

średnich5. Połącz punkty.

otrzymany kształt będzie zbliżony do krzywej normalnej, NAWET jeżeli rozkład samej zmiennej nie jest do niej zbliżony

a dokładniej:rozkład empiryczny znacząco zbliżony do krzywej normalnej

CENTRALNE TWIERDZENIE GRANICZNE:niezależnie od kształtu rozkładu w populacji, rozkład z próby średnich pobranych z populacji zbliża się do

rozkładu normalnego.

CO MOGĘ Z NIEJ PRZECZYTAĆ?

Ile było wyników o konkretnej wartości?

Jaki procent wyników mieści się powyżej określonego

wyniku?

%?

Jaki procent wyników mieści się poniżej określonego

wyniku?

%?

Jaki procent wyników mieści się między określonymi

wynikami?

%?

ZAWSZE:dla określonej

średniej(i określonego 𝜎)

DLA OKREŚLONEGO ODCHYLENIA STANDARDOWEGO

=1 =2 =3

RODZINA krzywych normalnych:

takie samo SDróżna

DLA OKREŚLONEJ ŚREDNIEJ

RODZINA krzywych normalnych:

taka sama średnia,różne odchylenie.

STANDARYZACJA

NAJWAŻNIEJSZE:z=1,96 => 2,5% poniżej/powyżej

z=1,65 =>5% poniżej/powyżej

ĆWICZENIE 1

1. Ile wyników znajduje się powyżej z=2,57?

2. Ile wyników znajduje się powyżej z=0,65?

3. Ile wyników znajduje się powyżej z=1,28?

4. Jaka jest wartość, powyżej której znajduje się 30% wyników?

5. Jaka jest wartość, powyżej której znajduje się 3% wyników?

6. Jaka jest wartość, powyżej której znajduje się 0,3% wyników?

1. Ile wyników znajduje się poniżej z= -2,57?

2. Ile wyników znajduje się poniżej z=-0,65?

3. Ile wyników znajduje się poniżej z=-1,28?

4. Jaka jest wartość, poniżej której znajduje się 30% wyników?

5. Jaka jest wartość, poniżej której znajduje się 3% wyników?

6. Jaka jest wartość, poniżej której znajduje się 0,3% wyników?

EXCEL:z>0: = 1-ROZKŁ.NORMALNY

(z;0;1;PRAWDA)z<0: =

ROZKŁ.NORMALNY(z;0;1;PRAWDA)

EXCEL:poniżej: = ROZKŁ.NORMALNY.ODWR(;0;1)

powyżej: = ROZKŁ.NORMALNY((1-;0;1;PRAWDA)

WŁAŚCIWOŚCI ROZKŁADU NORMALNEGO

1. Krzywa jest symetryczna:• Średnia = mediana = moda;

2. Krzywa jest asymptotyczna:• zbliża się do zera, ale nigdy go nie osiąga; rozciąga się od plus nieskończoności do

minus nieskończoności;3. Reguła trzech sigm (3xσ):• 68,2% obserwacji znajduje się w zakresie pomiędzy 1 odchylenie standardowe od średniej• 95,4% obserwacji znajduje się w zakresie pomiędzy 2 odchylenia standardowe od średniej• 99,7% obserwacji znajduje się w zakresie pomiędzy 3 odchylenia standardowe od średniej

(Ferguson, Takane 2002)

REGUŁA TRZECH SIGM

ROZKŁAD NORMALNY

Wybrana próba z populacji jest próbą losową.

Próba została wybrana zgodnie ze schematem losowania zwrotnego.

 

Odchylenie standardowe wyników w populacji jest znane.

KRZYWA NORMALNA:abstrakcja matematyczna

zdefiniowana przez konkretne równanie.

Równanie to opisuje rodzinę krzywych normalnych.

(King, Minium 2009)

KIEDY MOŻEMY STOSOWAĆ?

rozkład wyników w populacji jest zgodny z krzywą normalną; próba jest większa niż 25 elementów; określony test statystyczny wskazuje odwołanie do rozkładu normalnego;

ĆWICZENIE

Czy dla poniższych zmiennych możemy założyć rozkład normalny:

wzrost wśród licealistów; liczba punktów na maturze; czas trwania określonej wypowiedzi (zdanie); długość wyrazów;

Odpowiedź krótko uzasadnij.

INNE ROZKŁADYRODZKŁAD F

STOPNIE SWOBOD

Y

STOPNIE SWOBODY

… przy zachowaniu takiego samego wyniku (lub innych ograniczeniach nałożonych na dane);oznaczane jako df (od ang. degrees of freedom); dla średniej df=N-1; liczba stopni swobody zależy od charakteru problemu; dla poszczególnych testów bądź innych obliczeń podaje się sposób obliczania df.

„Liczba wartości, które mają swobodę zmieniania się”

(Ferguson, Takane 2002)

ODCHYLENIE STANDARDOWE Z POPULACJIWybrana próba z populacji jest próbą losową.

• rozkład wyników w populacji jest zgodny z krzywą normalną LUB• próba jest większa niż 25 (=> centralne twierdzenie graniczne)

Próba została wybrana zgodnie ze schematem losowania zwrotnego.

Rozkład wartości jest zgodny z krzywą normalną:

Odchylenie standardowe wyników w populacji jest znane.

przypomnijmy:

PRÓBA LOSOWA:próba dobrana w taki sposób, że

każdy element populacji ma jednakowe szanse trafić do

próby.

ZADANIE DOMOWE

Moodle: test; słownik pojęć;