Granica efektywna zbioru możliwości inwestycyjnych Linia rynku kapitałowego Linia papierów wartościowych

Relacja Markowitza UWAGA 1. Każdemu portfelowi (u1,u2,…,un)

składającemu się z n- akcji (ui – udział i-tej akcji w portfelu) odpowiada para (σ , R); σ- odchyl. std. stopy zwrotu, R - oczekiwana stopa zwrotu portfela. Odwzorowanie to nie jest różnowartościowe (może istnieć kilka portfeli, którym przyporządkowana jest ta sama para (σ , R).

DEF. 2. Dla dwóch par (σ1 , R1) , (σ2 , R2) zdefiniujemy relację oznaczoną symbolem „«”

(σ1 , R1) « (σ2 , R2) <=> ( σ2 ≤ σ1 i R1 ≤ R2 )Mówimy, że portfele odpowiadające drugiej parze są

lepsze w sensie relacji Markowitza od portfeli korespondujących z pierwszą parą.

Uwaga2. Będziemy w wyżej opisanej sytuacji mówili krótko, że portfel drugi jest lepszy niż pierwszy

Portfel efektywny. Granica efektywna (efficient frontier)

Def. 3. Portfel nazywamy efektywnym jeżeli nie istnieje różny od niego portfel lepszy w sensie Markowitza

Def.4. Zbiór portfeli efektywnych nazywamy granicą efektywną zbioru wszystkich możliwości inwestycyjnych

Portfel efektywny. Granica efektywna. Portfel minimalnego ryzyka

Portfel optymalny. Portfel rynkowyDef. 5. Portfel optymalny to portfel o maksymalnym

zysku względnym przypadającym na jednostkę ryzyka (czyli o maksymalnym stosunku oczekiwanej stopy zwrotu do odchylenia std.) maks. (ER/σ )

Def. 6. Portfel rynkowy to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std. maks. (ER – RF ) / σ

( gdzie RF – stopa procentowa wolna od ryzyka )Portfelowi rynkowemu odpowiada w układzie (σ,R)

punkt, który oznaczymy przez (σM , RM )

Współczynnik efektywności Sharpe’a

portfelaodchylenieryzykaodawostopaR

RRE

P

F

P

FP

ln

)(

Portfel rynkowy (σM , RM), to portfel o maksymalnym stosunku oczekiwanego zysku ponad stopę wolną od ryzyka do odchylenia std. czyli maksymalnym (E(RP) - RF)/σP

Linia rynku kapitałowegoCML – capital market line, Granica efektywna (efficient frontier)

Twierdzenie o dwóch portfelach efektywnych

Twierdzenie. Dowolny portfel leżący na granicy efektywnej jest kombinacją dowolnych dwóch portfeli leżących na tej krzywej (D. Luenberger, „Teoria inwestycji finansowych”)

Portfel mieszany: portfel rynkowy + aktywo pozbawione ryzyka (risk free asset)Niech rozważany portfel ma udział α obligacji o stałej

stopie zwrotu RF i zerowym ryzyku oraz udział β akcji o stopie zwrotu RM i ryzyku σM , α + β = 1, zakładamy,

że β > 0 Oczekiwana stopa zwrotu portfela : ERP = α RF + β ERM ,

Var RP = Var (β RM)= β 2 Var (RM )

czyli σP = |β | σM = β σM

Wyliczając stąd β i podstawiając do wzoru na ERP (ERP = α RF + β ERM ) otrzymujemy

ERP = (1- σP /σM ) RF + σP

/σM • ERM czyli ERP = RF + σP(ERM - RF )/σM

Portfel mieszany: portfel rynkowy + aktywo pozbawione ryzyka

Otrzymany związek ERP = RF + σP [(ERM - RF )/σM ]wskazuje na liniową zależność między oczekiwaną stopą

zwrotu ERP dla portfela mieszanego a odchyleniem std. σP

tego portfela.

Def. 7. Wykres powyższej zależności w układzie (σ, R) nosi nazwę linii rynku kapitałowego

Portfele mieszane (przy założeniu braku krótkiej sprzedaży portfela rynkowego) są zatem reprezentowane w układzie (σ, R) przez punkty półprostej o początku w punkcie (0, RF ), przechodzącej przez punkt (σM , ERM )

7%

9%

11%

13%

15%

17%

19%

0% 5% 10% 15% 20% 25%

Linia rynku kapitałowego (Capital Market Line) Pożyczka na dokupienie portfela akcji (czerwony odcinek)

Linia rynku kapitałowego Capital Market Line, CML

0%2%4%6%8%

10%12%14%16%18%20%

0% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15%

Standard deviation of portfolio return, p

Expe

cted

por

tfol

io re

turn

E(r

p)

Portfolio 2:-50% in rf , 150% in M

The market portfolio M

Portfolio 1:50% in rf , 50% in M

Linia alokacji kapitału (portfel mieszany dowolnego aktywa obarczonego ryzykiem oraz aktywa pozbawionego ryzyka)WA – udział aktywa ryzykownego

Współczynnik Sharpe’a

Możliwość krótkiej sprzedaży portfela akcji

Niech – jak poprzednio - rozważany portfel ma udział α obligacji o stałej stopie zwrotu RF i zerowym ryzyku oraz udział β akcji o stopie zwrotu RM i ryzyku σM

.

Załóżmy , że β < 0. Stopa zwrotu portfela : RP = α RF + β RM , α + β = 1

ERP = α RF + β ERM , Var RP = Var (β RM)= β 2 Var (RM )

czyli σP = |β | σM = - β σM

Zaś dla ujemnego σP = |β | σM. Postepując

analogicznie otrzymujemy ERP = RF - σP(ERM - RF )/σM Geometrycznie oznacza to półprostą o ujemnym

współczynniku kierunkowym, o początku w punkcie (0,RF)

Dane są stopy zwrotu indeksu I oraz indeksu II pewnej giełdy w kolejnych miesiącach

indeks 1 indeks 26,13% 16,18%0,59% 0,00%-4,26% -15,42%5,84% -5,29%5,86% 18,63%4,35% 5,76%7,81% 5,94%-5,75% 0,23%5,32% 12,35%-3,45% -17,01%4,46% -5,00%1,57% -4,21%1,02% 1,37%7,04% -0,54%4,99% 5,99%0,91% -9,25%-1,88% -5,67%3,94% 2,40%-1,16% 0,88%

-14,58% -30,81%6,24% 12,61%8,03% 1,12%5,91% -12,18%5,64% 0,42%

Wykres punktowy wcześniej pokazanej tabeli (wiersz tabeli – punkt wykresu)

-40,00%

-30,00%

-20,00%

-10,00%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

-20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00%

indeks 1

inde

ks 2

Regresja liniowa1. Dla stóp zwrotu akcji X oraz zmian indeksu Y

znajdziemy linię regresji liniowej (model teoretycznej zależności liniowej miedzy dwiema zmiennymi X i Y opartym na metodzie najmniejszych kwadratów.

2. Równania regresji liniowej Y względem X nazywamy prostą (wyjaśniamy zmienność Y za pomocą zmiennej X :

Y - EY = [ COV (X,Y) / WAR X] (X- EX). Równania regresji liniowej X względem Y :

X – EX = [ COV (X,Y) / WAR Y] (Y- EY).Gdzie X ,Y teoretyczne wartości zmiennych X, Y

Linia regresji. Przykład 1R2=0,500

y = 1,4693x - 0,0424

-40,00%

-30,00%

-20,00%

-10,00%

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

-20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00%

indeks 1

inde

ks 2

Analiza zmienności w modelu regresji

REGRESYJNA SUMA KWADRATÓW SSR

CAŁKOWITA SUMA KWADRATÓW SST

SUMA KWARATÓW BŁĘDÓW SSE

Współczynnik determinacji

Analiza zmienności w modelu regresji

EXCESS RETURNS, NASDAQ vs. S&P 500December 1999 - August 2003

y = 1,6865x + 0,0036R2 = 0,6255

-30%

-25%

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

-15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

S&P 500

Nas

daq

EXCESS RETURNS, FIDELITY PURITAN FUND vs. S&P500May 1990 - August 2003

y = 0,5632x + 0,0008R2 = 0,7468

-12%

-10%

-8%

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

S&P 500

Purit

an

EXCESS RETURNS, FIDELITY PURITAN FUND vs. S&P 500December 1999-August 2003

y = 0,5145x + 0,0012R2 = 0,781

-10%

-8%

-6%

-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

-15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

S&P 500

Purit

an

EXCESS RETURNS, NASDAQ vs. S&P 500May 1990 - August 2003

y = 1,4346x + 0,0025R2 = 0,6433

-30%

-25%

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

-20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15%

S&P 500

Nas

daq

Regresja liniowa. Współczynnik βPowiązanie stopy zwrotu z akcji z indeksem rynku

Y-EY= [COV(X,Y)/War X](X-EX)RA - teoretyczna stopa zwrotu z akcji AR - teoretyczna stopa zwrotu z indeksuRA - ERA = [COV(R, RA)/War R](R -ER)Oznaczmy β := COV(R, RA) / War R, wtedyRA = E RA - β ER + βR = (E RA - β ER) + βR Oznaczmy stałą ERA - β ER przez a, mamy wtedy RA = a + β R równanie regresji liniowej stopy

zwrotu z akcji względem stopy zwrotu z indeksu

Regresja liniowa. Współczynnik beta β

RA= a + β RWspółczynnik β wskazuje, o ile procent hipotetycznie

wzrasta stopa zwrotu z akcji A, gdy indeks giełdy wzrasta o 1 %, gdyż β = Δ RA / Δ R

Def. 8. Jeżeli β > 1, to mówimy, że akcja A jest „agresywna” –

akcja żywo reaguje na zachowanie rynku 0 < β < 1, to mówimy, że akcja A jest

„defensywna”- stopa zwrotu z A w małym stopniu zależy od rynku

β = 0,- akcja „nie reaguje” na zachowanie rynku

Regresja liniowa Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a Można przyjąć następujące modelowe równanie związku między stopą zwrotu z akcji A oraz stopą zwrotu indeksu giełdowegoRA = a + β R + e

w którym e jest składnikiem losowym (nieskorelowanym z rynkiem) o wartości oczekiwanej równej zero.

Wówczas ERA = a + β ER Stopę zwrotu z papieru A można wyznaczyć w oparciu o stopę

zwrotu z rynku oraz współczynniki β oraz a Ponadto War RA = β2 War R + War eRyzyko papieru wartościowego można wyznaczyć w

oparciu o ryzyko rynkowe (systematyczne), współczynnik β oraz wariancję składnika losowego (ryzyko specyficzne)

Regresja liniowa Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a

Uwaga. Ryzyka rynkowego (systematycznego), nie da

się uniknąć, natomiast ryzyko specyficzne, związane z akcją lub portfelem, można minimalizować odpowiednim wyborem akcji oraz składem portfela

Portfel wielu akcji. Model Sharpe’a Dla portfela składającego się z n akcji potrzebna

jest znajomość: n stóp zysku n odchyleń standardowych n(n-1)/2 współczynników korelacji(dla 100 akcji – 4 950 współczynników korelacji)(dla 1000 akcji – 499 500 współczynników korelacji)William Sharpe zaproponował tzw.

jednowskaźnikowy model oparty na jednoczynnikowej analizie zmienności poszczególnych akcji, prowadzącej do analizy mniejszej liczby danych

Model jednowskaźnikowy W. Sharpe’a

Rozważmy akcje n spółek, których stopy zwrotu oznaczymy przez Ri i=1,…,n.

Ri = ai + βi R + ei ,

R oznacza stopę zwrotu indeksu giełdowego Założenia:(i) ei - losowy składnik o zerowej wartości oczekiwanej E(ei) = 0

(ii) ei nie jest skorelowany z R (dla każdego i)

(iii) ei nie jest skorelowany z ej dla każdej pary różnych wskaźników i, j

(iv) Znane są wariancje War ei

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a

(1) Ri = ai + βi R + ei

(2) ERi = ai + βi ER

(3) War Ri = (βi)2 War R + War ei

(4) Cor (Ri, Rj) = (βi βj War R) / σi σj

Równość (4) jest zależnością przybliżoną. Mówi ona, że współczynnik korelacji miedzy dwoma papierami można wyznaczyć dysponując współczynnikami β, ryzykiem (odchyl. std.) obu papierów oraz wariancją rynku

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a

Liczba danych: n współczynników a, n beta, n wartości odchyleń std. składników

losowych, średnia stopa rynkowa, wariancja rynku Czyli (3n+2) danych.

Portfel n spółek, parametry portfela Rozważmy portfel akcji n spółek, spełniających założenia

modelu jednowskaźnikowego. Stopy zwrotu poszczególnych spólek oznaczymy przez Ri i=1,…,n. Ri = ai + βi R + ei

Stopa zwrotu z portfela r :

i

n

iii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iii

n

iii

n

ii

eueuaua

gdzieeRarzapisujemyco

ueuRuaur

111

1111

;;

,

1;

Składnik e jest średnią ważoną składników losowych poszczególnych akcji. Prawdziwe są równości

ngdyzatem

snsssu

touJesliisNiech

u

euEeueuEeE

ezmiennejwariancja

iiizeeEiizRReE

izeE

e

nn

n

in

n

iie

nii

i

n

ii

i

n

iii

n

iii

n

iie

e

ji

i

i

0

,.

)(

)(0)]0)(0[()(0)])(0[(

)(0)(

2

12212

1

2122

1

22

122

2

1

2

2

1

2

11

22

2

Model jednowskaźnikowy Williama Sharpe’a Przy przyjętych założeniach wariancja (σe)2 jest

odwrotnie proporcjonalna do liczby aktywów w portfelu. Wariancja portfela może być przedstawiona jako suma

dwóch składników

Pierwszy z nich jest wiąże się z tzw. ryzykiem systematycznym, niedywersyfikowalnym, współczynnik beta jest średnią ważoną, nie ulega więc dużym wahaniom. Drugi zaś jest sumą przyczynków dywersyfikowalnych ryzyka (suma ta maleje wraz z liczbą akcji)

ngdyzatem R

eR

222

2222

Ryzyko systematyczne i niesystematyczne (dywersyfikowalne)

Kategorie dywersyfikacji portfela akcji Liczba akcji (co najmniej 20, lepiej >30) Niskie współczynniki korelacji Wielkość spółek (np. WIG 20, WIG 40, WIG 250)

Płynność spółek Branża, sektor gospodarki (finansowa:banki,

ubezpieczenia,budowlana:drogi,deweloperka,przemysłowa:metalowy, chemia, spożywczy ,energetyka:paliwa, usługi: telekom, IT)

Agresywność, pasywność akcji mierzone współczynnikiem beta

Zaawansowanie technologiczne Wypłacanie dywidendy, stopa dywidendy Dywersyfikacja geograficzna (rynki rozwinięte, rynki

wschodzące) Wartość podstawowych wskaźników EPS/P, BV/P Sezonowość wyników (lub jej brak) Rozproszenie akcjonariatu

Linia papierów wartościowychSecurity Market Line SMLMożna szukać współzależności między stopą zwrotu z akcji A

oraz stopą zwrotu portfela rynkowego RM (nie zaś indeksem rynku, jak poprzednio )

Prawdziwe jest twierdzenie (D. Luenberger, str 228)Tw. Jeśli (σM , RM ) oznaczają parametry portfela rynkowego, to

oczekiwana stopa zwrotu z akcji A jest związana ze stopą zwrotu portfela rynkowego następującym równaniem

RA = RF + β (RM - RF ),

gdzie β = COV(RA, RM ) / (σM )2

RF stopa wolna od ryzykaOstatnia równość nosi nazwę linii papierów wartościowych

(SML)Pierwszy składnik RF jest zwany „ceną czasu”

zaś drugi – „premią za ryzyko”

Regresja liniowa miedzy (Ri-Rf) a (RM -Rf)

Linia papierów wartościowych

Linia papierów wartościowych określa zależność stopy zwrotu akcji (portfela) od współczynnika beta tej akcji (portfela). Jest to zależność stopy zwrotu od ryzyka systematycznego reprezentowanego przez współczynnik beta

Linia papierów wartościowychSecurity Market Line SML

)()( FMAFA RRERrE

SML w notacji wartości oczekiwanych

Linia papierów wartościowych

Linia papierów wartościowych

Linia papierów wartościowych. Układ (β,R)

Linia papierów wartościowych, stopa wolna od ryzyka - 5%, stopa portfela rynkowego - 12%

0%5%

10%15%20%25%30%

0 1 2 3 4

współczynnik betastop

a zw

rotu

Linia papierów wartościowychRównanie SML jest równaniem rynku w stanie

równowagi, tzn. jest równaniem wyceny akcji (lub portfela). Stopę zwrotu z aktywu o danym współczynniku β można odczytać z wykresu.

Portfel rynkowy jest punktem o pierwszej współrzędnej równej 1.

Portfel pozbawiony ryzyka jest punktem przecięcia prostej SML z osią OY.

Portfele leżące na SML są równie atrakcyjne ze względu na uzyskiwaną stopę zwrotu i ponoszone ryzyko

Niedowartościowanie i przewartościowanie względem SML

Linia papierów wartościowych

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

0 1 2 3 4

portfele na SML

portfeleniedow artościow ane

portfeleprzew artościow ane

Model równowagi CAPM. Założenia (Capital Asset Pricing Model) Brak kosztów transakcyjnych Podzielność instrumentów finansowych Brak podatków osobistych Pojedyncze transakcje nie wpływają na cenę aktywów Istnieje krótka sprzedaż aktywów Istnieje nieograniczona możliwość udzielania/zaciągania

kredytów przy rf

Horyzont czasowy inwestorów jest identyczny Oczekiwania (ryzyko, zysk) inwestorów są identyczne Zagwarantowana jest doskonała płynność rynku

Model równowagi CAPMParametry akcji (portfeli) mają tendencję do

spełniania równania SML. Punkty reprezentujące akcje (portfele) układają się na linii SML.

Jeżeli akcja (portfel) znajduje się powyżej tej linii – ma większy zwrot - jest więc bardziej atrakcyjna (niedowartościowana), zwiększony popyt wywołuje zwiększoną cenę, co obniża jej stopę zwrotu (powrót na linię).

Jeżeli akcja (portfel) znajduje się poniżej tej linii – ma mniejszy zwrot - jest więc mniej atrakcyjna (przewartościowana), zmniejszony popyt wywołuje spadek ceny, co zwiększa jej stopę zwrotu (powrót na linię).

Wycena aktywów w modelu CAPM

Aktywo nabyte za cenę P jest sprzedane w standardowym przedziale czasu za kwotę X. kwota ta jest zmienna losową. Oznaczmy E(X) jej wartość oczekiwaną. Znając współczynnik beta tego aktywa, wartość E(X) można obliczyć z modelu:

(E(X)-P)/P= RF + β (RM - RF )

Porównanie linii rynku kapitałowego CML oraz linii papierów wartościowych SML

Wariancja kombinacji liniowej zmiennych losowych

Wariancja kombinacji liniowej zmiennych losowych

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Skład portfela o minimalnym ryzyku

Skład portfela o minimalnym ryzyku

Skład portfela o minimalnym ryzyku

Udziały portfela o minimalnym ryzyku i zadanej stopie zwrotu

Udziały portfela o minimalnym ryzyku i zadanej stopie zwrotu

Udziały portfela o minimalnym ryzyku i zadanej stopie zwrotu

Użyteczność. Krzywa użyteczności inwestora (krzywa awersji do ryzyka, krzywa obojętności)

Mówimy, że użyteczność różnych inwestycji dla inwestora jest jednakowa, jeśli poziom ryzyka odpowiada premii za ryzyko.

Punkty krzywej użyteczności mają jednakową użyteczność dla inwestora

Każdy inwestor określa swoje indywidualne krzywe użyteczności

Krzywe obojętności inwestora o różnej użyteczności Punkty krzywej wyrażają tą samą użyteczność. Krzywa położona wyżej reprezentuje większą użyteczność

Linia alokacji kapitału oraz krzywe użyteczności inwestora o różnej użyteczności Wskazanie najlepszego portfela z linii alokacji

Linia alokacji kapitału oraz krzywe użyteczności dwóch inwestorów

Linie alokacji kapitału oraz krzywa użyteczności pewnego inwestora