Post on 03-Jan-2016
description
Rachunek wariacyjny w fizyce
Dlaczego światło porusza się po krzywych, dla których czas przejścia jest
najkrótszy?
Jaki kształt musi mieć krzywa, aby punkt materialny zsuwał się po niej w jak
najkrótszym czasie?
Jak znaleźć ruch skomplikowanego układu?
Na te i inne pytanie można odpowiedzieć używając rachunku wariacyjnego.
Historia
W 1696 roku Jakub Bernoulli zapytał jaki kształt ma krzywa, po której zsuwająca
się masa, pod wpływem grawitacji, zsunie się najszybciej. Obecnie zagadnienie to
nazywa się problemem znalezienia brachistochrony.
Krzywą tą niezależnie znaleźli Isaac Newton, Gottfried Liebniz, Jan Bernoulli oraz
de l'Hospital.
Wariacja
W rachunku wariacyjnym bada się funkcjonały . Są to pewne
uogólnienia funkcji, które jako argument mają zwykłe funkcje. Cała
zabawa polega na znalezieniu takich funkcji, dla których funkcjonał jest
ekstremalny, tzn. jest minimalny bądź maksymalny. Np. chcemy na
powierzchni kuli znaleźć najkrótszą drogę łączącą dwa punkty. Nie jest to
linia „prosta” przecinająca południki pod stałym kątem tylko wygięta w
kierunku bliższego z biegunów.
Do znalezienia ekstremali używa się równań Eulera:
Brachistochrona I
Poszukujemy krzywej, po której punkt materialny najszybciej się zsunie. Na
krzywej tej punkt musi jak najszybciej osiągać dużą prędkość i krzywa ta musi być
dostatecznie krótka.
Brachistochrona II
Cykloida
Krzywa łańcuchowa
Kształt jaki przyjmie ciężki,
nierozciągliwy łańcuch o długości L
zawieszony w jednorodnym polu
grawitacyjnym. Łańcuch ten powinien
mieć jak najmniejszą energię potencjalną.
Lagrangian I
Rozpatrzmy prosty przykład: oscylator harmoniczny.
Równania Newtona:
Formalizm Lagrangeowski:
Rozwiązaniem jest:
ZBĘDNE UTRUDNIENIE?
LagrangianII
Podwójne wahadło:
Nie podejmuję się prób zapisu dynamiki za
pomocą równań Newtona.
Natomiast Lagrangian:
Jak wygląda ruch z punktu widzenia cząstki. Według Newtona cząstka „wie” tylko
skąd przybyła, gdzie jest i w którą stronę ma iść. Natomiast w opisie
Lagranżowskim cząstka z góry zna całą swoją drogę. Zatem łamie zasadę
przyczynowości.
Wyobraźmy sobie łódkę dryfującą po jeziorze. W danym punkcie jeziora
działają na nią wiatr i prądy wodne przesuwając ją w następne miejsce, czyli ruch
łódki jest zdeterminowany przez miejsce, z którego startuje (Newton). Natomiast
wg zasad wariacyjnych łódka w każdym momencie czasu wie dokąd dotrze – w
sposób nadprzyrodzony zna prędkości wiatru w wody.
Optyka I
Światło porusza się po liniach prostych
Dlaczego?
Najkrótsza, a co za tym idzie najszybszą drogą łącząca dwa punkty jest linią prostą.
Czy wynika to z zasad wariacyjnych?
Tak. Ta zasada wariacyjna nosi nazwę zasady Fermata: Światło porusza się po
krzywych, na których najszybciej pokona drogę z punktu startu do punktu
docelowego.
Rozwiązując równanie Eulera dla najszybszej drogi (stała prędkość) otrzymujemy
.
Optyka II
Ale nie zawsze!
FatamorganaPrędkość światła zależy od temperatury powietrza, przez które przechodzi. Zatem
rozwiązaniem równania Eulera nie są już linie proste.
Optyka III
Bardzo często krzywa, dla której funkcjonał osiąga ekstremum nie jest krzywą
różniczkowalną, czyli ma ostrza, załamania. Takie krzywe występują też w optyce.
Odbicie światła i załamanie. To, że kąt padania jest równy kątowi odbicia jest
konsekwencją faktu, że światło porusza się po liniach najkrótszego czasu.
Optyka IV
Zasada załamania światła
Światło padając na granicę dwóch ośrodków załamuje się zgodnie z prawem Snella:
Gdyby załamanie nastąpiło pod innymi kątami to światło potrzebowało by więcej czasu na dotarcie do punktu docelowego.