Materiały pomocnicze do wykładu

1

Plan zajęć Podstawowe wiadomości o sygnałach

Szeregi Fouriera

Ciągła Transformata Fouriera

Sygnały cyfrowe

Próbkowanie sygnałów. Zjawisko aliasingu

Dyskretna i Szybka Transformata Fouriera

Przekształcenie Z

Filtry cyfrowe FIR i IIR

2

3

1. Tomasz P. Zieliński - Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań , WKŁ, 2009,

2. Richard G. Lyons, Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WKŁ, 2010 (wyd. 2 rozszerzone),

3. Jerzy Szabatin, Podstawy teorii sygnałów, WKŁ, 1982 i późniejsze,

4. Izydorczyk J., Płonka G., Tyma G. - Teoria sygnałów. Wstęp. Wydanie II, Helion 2006

4

pojecie sygnału jest rozumiane jako proces zmian w czasie pewnej

wielkości fizycznej lub stanu obiektu fizycznego.

za modele matematyczne sygnałów przyjmujemy funkcje, których

argumentem jest czas t gdyż opisują one ewolucje sygnałów w czasie.

W najprostszym przypadku są to funkcje tylko jednej zmiennej t.

W przypadkach bardziej złożonych, np. w teorii linii długich lub

zagadnieniach przetwarzania obrazów, mogą to być funkcje wielu

zmiennych: czasu i współrzędnych przestrzennych.

5

Klasyfikacja (podział sygnałów)

- ze względu na model matematyczny:

- rzeczywiste.

- zespolone,

- dystrybucyjne

-ze względu na możliwość przewidywania wartości sygnału w danej chwili:

-deterministyczne,

-losowe,

- ze względu na dziedzinę określoności:

- ciągłe,

- dyskretne,

6

sygnały ciągłe:

•Sygnały określone w zbiorze ciągłym osi czasu są nazywane

sygnałami ciągłymi w czasie lub krótko sygnałami ciągłymi .

•Najczęściej dziedziną takich sygnałów jest cała os (−∞, ∞) , dodatnia półoś [0,

∞) lub odcinek [t1, t2] osi czasu.

sygnały dyskretne:

•Sygnały określone w dyskretnym (przeliczalnym lub skończonym) zbiorze

punktów osi czasu (. . . , t−1, t0, t1, t2, . . . ) i nieokreślone w pozostałych

punktach są nazywane sygnałami dyskretnymi w czasie lub krótko sygnałami

dyskretnymi.

•Najczęściej dziedziną tych sygnałów jest zbiór chwil tn = nTs, n ∈ ∁, odległych

od siebie o stały odstęp Ts nazywany przedziałem dyskretyzacji

7

- ze względu na przybieranie wartości różnych od zera:

- w przedziale nieskończonym – sygnały o nieskończonym czasie trwania,

- w przedziale skończonym – sygnały o skończonym i czasie trwania.

- ze względu na dziedzinę i przeciwdziedzinę (zbiór wartości)

– ciągłe w czasie i ciągłe w amplitudzie (nazywane także analogowymi),

– ciągłe w czasie i dyskretne w amplitudzie,

– dyskretne w czasie i ciągłe w amplitudzie,

– dyskretne w czasie i dyskretne w amplitudzie

szczególny rodzaj – sygnały binarne (przybierają tylko wartości 0 i 1)

8

Sygnał i informacja

Czy każdy sygnał niesie ze sobą informacje?

Jeśli sygnał jest deterministyczny, znamy dokładnie jego przebieg w

przeszłości, wartość w chwili bieżącej i zachowanie sie w przyszłości.

Nasza wiedza o nim jest pełna. Nie może on nam zatem dostarczyć

informacji, np. funkcja sin(t).

Informacje przekazują tylko takie sygnały,

które dla odbiorcy są losowe

Sygnałami losowymi są:

sygnały transmitowane w systemach komunikacyjnych powszechnego

użytku: telefonicznych, radiowych, telewizyjnych.

9

Sygnały analogowe - podstawy

notacja – x(t), y(t), z(t) itd...

parametry –

- wartość średnia,

- wartość skuteczna

- energia,

- moc,

Wartość średnia

Wartość średnia analogowego impulsowego sygnału

deterministycznego x(t) określonego w przedziale [t1, t2] jest całka z

tego sygnału w przedziale

[t1, t2] odniesiona do szerokości tego przedziału:

W przypadku sygnałów o nieskończonym czasie trwania wartość

średnia jest

określona jako wielkość graniczna:

Wartość średnia

W szczególnym przypadku, gdy sygnał o nieskończonym czasie

trwania jest sygnałem okresowym o okresie To, uśrednianie w

czasie nieskończonym jest równoważne uśrednianiu za okres:

przy czym chwila to jest dowolna.

Energia i Moc sygnału

Energią analogowego sygnału deterministycznego x(t)

nazywamy wielkość:

Mocą (średnia) analogowego sygnału deterministycznego x(t)

nazywamy wielkość graniczną:

W przypadku sygnałów okresowych

wzór przybiera postać:

gdzie To jest okresem, a to – dowolna chwila.

• zdefiniowane wielkości energii i mocy sygnału nie maja sensu nadawanego

im w fizyce i należy je rozumieć w znaczeniu uogólnionym,

• przy przyjętym założeniu bezwymiarowości sygnałów wymiarem energii

sygnału jest sekunda, a moc jest bezwymiarowa,

• gdyby jednak sygnał był sygnałem napięcia lub prądu, to wydzieliłby na

oporze jednostkowym 1Ω energie (lub moc) równa liczbowo wielkości

wyznaczonej na podstawie podanych zależności.

UWAGA:

Wartość skuteczna

Wartością skuteczną sygnału jest nazywany pierwiastek z jego

mocy:

czyli:

1) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej energii , jeśli:

2) Sygnał x(t) jest nazywany sygnałem o ograniczonej mocy , jeśli:

• Energia i moc charakteryzują właściwości energetyczne sygnału.

• Na ich podstawie sygnały deterministyczne są dzielone na dwie

podstawowe rozłączne klasy.

• moc sygnałów o ograniczonej energii jest równa zeru.

• energia sygnałów o ograniczonej mocy jest nieskończona.

• klasa sygnałów o ograniczonej energii obejmuje oczywiście wszystkie sygnały impulsowe

ograniczone w amplitudzie, ale nie tylko. Do klasy tej należą także sygnały o

nieskończonym czasie trwania, których wartości maleją dostatecznie szybko w funkcji

czasu.

• sygnały o ograniczonej mocy i ograniczone w amplitudzie są sygnałami o nieskończonym

czasie trwania. Szczególna podklasa tych ostatnich są sygnały okresowe.

16

Sygnał harmoniczny

parametry sygnału

harmonicznego:

- amplituda – X0,

- pulsacja - ꙍ0,

- faza początkowa – φ0

gdzie: fo – częstotliwość,

To - okres

Każdy okresowy sygnał ciągły f(t) spełniający warunki Dirichleta można zapisać w postaci nieskończonej sumy składowych sinusoidalnych:

17

gdzie: a0 – jest wartością średnią sygnałuak i bk są trygonometrycznymi współczynnikami Fouriera

18

Korzystając z właściwości iż każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci wykładniczej i trygonometrycznej funkcję f(t) można przedstawić w postaci nieskończonego zespolonego szeregu wykładniczego:

gdzie ck są zespolonymi współczynnikami Fouriera:

19

uwzględniając zależności Eulera:

trygonometryczne współczynniki Fouriera można wyznaczyć ze współczynnika zespolonego:

20

Widmo amplitudowe sygnału f(t):

Widmo fazowe sygnału f(t):

21

22

przykład: znaleźć trygonometryczne

współczynniki Fouriera sygnału

prostokątnego:

W miarę wzrostu N sygnał prostokątny będzie dokładniej aproksymowany

23

N=1 N=5 N=11

N=30 N=150

24

widmo amplitudowe widmo fazowe

Dyskretne widmo Fouriera istnieje dla sygnałów okresowych. Natomiast wpraktycznych zastosowaniach istnieje konieczność analizy sygnałównieokresowych. Jeśli sygnał nieokresowy potraktuje się jako sygnał periodyczny ookresie dążącym do nieskończoności, to dyskretne widmo Fouriera takiegosygnału przechodzi w granicy w widmo ciągłe.

00

2

12n

d

Td

TT

)()()(

)()()(

jXFdejXtx

txFdtetxjX

tj

tj

1

2

1

Para transformat Fouriera

transformata prosta

zespolone widmo sygnału

transformata odwrotna

25

22 jjjX Im()Re()(

)Re(

)Im(tg

j

jarc

widmo amplitudowesygnału

widmo fazowesygnału

26

Transformata Fouriera przekształca sygnał z dziedziny czasu na dziedzinę

częstotliwości (widmo) nco często upraszcza analizę sygnału.

- widmo sygnału ciągłego jest widmem ciągłym

27

)()()()( bYaXtbytax

aX

aatx

1)(

liniowość

zmiana skali (podobieństwo)

Jeśli a>1, to skala czasu jest rozszerzana, sygnał jest „rozciągnięty” w czasie.Rozszerzenie skali czasu powoduje zawężenie skali częstotliwości i jednocześniezwiększa się a-krotnie gęstość widmowa. Fizycznie oznacza to, że zmniejsza sięszybkość zmian sygnału, a widmo skupia się wokół małych częstotliwości, jegogęstość w tym zakresie wzrasta.Dla 0<a<1 sygnał jest „ściśnięty” w czasie, a efekty w dziedzinie częstotliwościsą przeciwne.

28

00

tjeXttx

)()(

przesunięcie w dziedzinie czasu

Widmo amplitudowe sygnału przesuniętego nie ulega zmianie wstosunku do widma amplitudowego sygnału nieprzesuniętego. Natomiastwidmo fazowe powiększa się o składnik (-0t). Jest to całkowicie zgodnez sensem fizycznym przesunięcia sygnału na osi czasu. Strukturaczęstotliwościowa amplitud poszczególnych harmonicznych sygnału niezmienia się. Zmieniają się natomiast fazy poszczególnych harmonicznychwzględem układu odniesienia.

Przesunięcie sygnału na osi czasu o t0 odpowiada pomnożeniu widma przez czynnik zespolony.

29

)()( 00

Xetxtj

)()( 00

Xetxtj

)()( 00

Xetxtj

Przesunięcie widma sygnału w lewo o wartość 0>0 odpowiada pomnożeniusygnału przez sygnał zespolony , a więc

tje 0

przesunięcie w dziedzinie częstotliwości (modulacja)

Jeśli widmo sygnału przesuwa się w prawo o wartość 0>0, to sygnał należypomnożyć przez sygnał wykładniczy zespolony , czyli

tje 0

30

Dodając stronami powyższe pary transformat otrzymuje się

)()(cos)( 0002

1 XXttx

Z powyższej zależności wynika, że pomnożenie sygnału harmonicznegoprzez sygnał x(t) powoduje rozszczepienie widma na dwie częściprzemieszczone w prawo i w lewo o wartość 0. Operacja ta nazywanajest modulacją i wykorzystywana jest w telekomunikacji do przesyłaniasygnałów na dalsze odległości. Sygnałem modulowanym jest sygnałharmoniczny (informacja zawarta jest w jego częstotliwości), a sygnałemmodulującym sygnał x(t).

31

impuls prostokątny

t

x(t)

t

-/2 /20

A

2

4

2

4

A

2

2

2

2

2

22

2222

2

2

2

2

SaAA

A

jj

Aee

j

Ae

j

AdtAeX

jjtjtj

sin

sin)sin()(/

/

/

/

32

x(t)

t

-/4 /40

A

x(t)

t

- 0

A

2

A

A2

4

4

8

8

4

8

4

8

41

• Obliczanie transformaty bezpośrednio ze wzoru jest

nieefektywne ze względu na zbyt dużą złożoność

obliczeniową.

• Wzrost wydajności przy zastosowaniu FFT

• Algorytm FFT zmniejsza ilość operacji matematycznych

potrzebnych do obliczenia wartości transformaty

sygnały analogowe – ciągłe w czasie i amplitudzie

sygnały cyfrowe – dyskretne w amplitudzie i czasie –ciąg dyskretnych wartości danej wielkości fizycznej

gdzie tp – okres próbkowania

x(0) = 0 , (pierwsza wartość ciągu, n=0 )

x(1) = 0.58779 , (druga wartość ciągu, n=1 )

x(2) = 0.95106 , (trzecia wartość ciągu, n=2 )

x(3) = 0.95106 , (czwarta wartość ciągu, n=3 )

x(n) – ciąg x argumentu n,

n ts - wartości czasu dyskretnego

poza wartościami nts sygnał dyskretny nie jest określony

44

System dyskretny – układ przekształcający dyskretny ciąg wejściowy próbek x(n) w ciąg wyjściowy y(n)

System dyskretnyx(0), x(1), x(2), x(3) ... y(0), y(1), y(2), y(3) ...

System dyskretnyx(n) y(n)

+a(n)

b(n

)

c(n) c(n)=a(n)+b(n)

+a(n)

b(n

)

c(n) c(n)=a(n)-b(n)+

-

dodawanie

odejmowani

e

+

b(n)

b(n+1)

b(n+2)

b(n+3)

sumowanie

gdy n = 0 , k zmienia się od 0 do 3 , a(0) = b(0) + b(1) + b(2) + b(3)

gdy n = 1 , k zmienia się od 1 do 4 , a(1) = b(1) + b(2) + b(3) + b(4)

gdy n = 2 , k zmienia się od 2 do 5 , a(2) = b(2) + b(3) + b(4) + b(5)

gdy n = 3 , k zmienia się od 3 do 6 , a(3) = b(3) + b(4) + b(5) + b(6)

a(n)

b(n

)

c(n) c(n)=a(n)·b(n)

mnożenie

c(0)=a(0) ·b(0)

c(1)=a(1) ·b(1)

c(2)=a(2) ·b(2), itd.....

opóźnienie

opóźnienie

z-1

a(n) b(n)

a(n) b(n)b(n) = a(n-1)

proces reprezentowania sygnału o czasie ciągłymza pomocą próbek pobieranych w dyskretnych chwilach czasu.

Problem:z jaką szybkością sygnał musi być próbkowany w celu zachowania jego zawartości informacyjnej ?

dany jest ciąg próbek:

x(0) = 0,x(1) = 0.86603,x(2) = 0.86603,x(3) = 0,x(4) = -0.86603,x(5) = -0.86603,x(6) = 0,

Przykład:

Pytanie:Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg próbek?

?

Pytanie:Jaki sygnał jest reprezentowany przez dany ciąg próbek?

?

Niejednoznaczność częstotliwości – dwa różne przebiegi są

reprezentowane przez ten sam ciąg dyskretny , nie można

jednoznacznie określić częstotliwości jedynie na podstawie wartości

próbek ciągu wejściowego

Dany jest sygnał:

x(t) = sin(2πf0t)próbkujemy sygnał x(t) z szybkością fs próbek/s tj. w

równomiernych odstępach ts sekund gdzie ts=1/fs

Rozpoczynając próbkowanie w chwili 0ts , 1ts , 2ts itd.. wartości n

kolejnych próbek mają wartości:

0 próbka: x(0) = sin(2πf00 ts)

1 próbka: x(1) = sin(2πf01 ts)

2 próbka: x(2) = sin(2πf02 ts)

..... .....

nta próbka: x(n) = sin(2πf0n ts)

Wartość n-tej próbki ciągu x(n) jest równa wartości oryginalnego sygnału

sinusoidalnego w chwili n·ts

Dwie wartości przebiegu sinusoidalnego są identyczne gdy odległe są o

całkowitą wielokrotność 2π radianów tj:

sin(α) = sin(α+ 2πm), gdzie m jest dowolną liczb. całk.

Korzystając z tej zależności:

zakładając, że m będzie całkowitą wielokrotnością n

tj. m = k·n

Z uwagi na to że:

i wiedząc że:

fs = 1/ts

stąd:

co oznacza, że ciąg x(n) próbek reprezentujących przebieg

sinusoidalny o częstotliwości f0 równie dokładnie reprezentuje

przebiegi sinusoidalne o innych częstotliwościach

tj.: f0 + kfs

Podsumowując:

Podczas próbkowania z szybkością fs próbek/s , jeślik jest dowolną liczbą całkowitą, nie jesteśmy wstanie rozróżnić spróbkowanych wartości przebiegusinuisodalnego o częstotliwości f0 oraz przebiegusinusoidalnego o częstotliwości (fo+kfs).

Przykład:Spróbkujmy sygnał o częstotliwości 7kHz z szybkością 6000 próbek/s.czyli : f0=7kHz, fs=6kHz, k=-1

f0+kfs = [7+ (-1)·6] = 1kHz

stąd wynikałoby, że ciąg wartości

próbek będzie identyczny dla

częstotliwości 1kHz

Wartości próbek nie zmienią się gdyby próbkowany był sygnał o

częstotliwości 1kHz z tą sama szybkością:

Odpowiedź na pytanie która częstotliwość odpowiada wartościom próbek

zaznaczonych na niebiesko brzmi: NIE WIADOMO !!! – istnieje

nieskończenie wiele częstotliwości odpowiadających tym próbkom.

Przykład 2:Spróbkujmy sygnał o częstotliwości 4kHz z szybkością 6000 próbek/s.

f0+kfs = [4+ (-1·6)] = -2kHz

stąd wynikałoby, że ciąg wartości

próbek będzie identyczny dla

częstotliwości -2kHz

sin(2π·4000t)

sin(2π·(-2000)t)

Jeśli ograniczymy nasze zainteresowanie do pasma w zakresie częstotliwości od –fs/2 do fs/2 okaże się, że w danym paśmie będzie można jednoznacznie odtworzyć sygnał z próbek.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

częstotliwość

kHz-fs/2 fs/2

fs

interesujące

nas pasmo częstotliwości

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

częstotliwość kHz-fs/2 0 fs/2 fs 2fs 3fs

interesujące

nas pasmo częstotliwości powielenie powielenie powielenie

- wartości szczytowe położone są przy wielkrotności częstotliwości próbkowania,

- próbkowanie sygnału sin. o częst. 7kHz z częst. 6kHz dostarczy dyskretnego ciągu

liczb, które dokładnie w taki sam sposób opiszą sygnał o częst. 13kHz , 19kHz itd...

- podobnie z sygnałem sin o częst. 4 kHz....

Idealny sygnał dolnopasmowy:

Dany jest sygnał dolnopasmowy ( o ograniczonym paśmie) o widmie:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-6 -3 0 3 6

-Widmo jest symetryczne względem osi częstotliwości,

- w sygnale nie ma częstotliwości |ꙍ|>ꙍ0

Próbkowanie tego sygnału spowoduje powielenie widma względem częstotliwości próbkowania fs.

Jeżeli fs > 2ꙍ0 widmo sygnału spróbkowanego:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-21 -18 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 21-ꙍ0 -ꙍ0

Kryterium Nyquista – aby odseparować od siebie powielone widma przy częstotliwościach ±fs/2 częstotliwość próbkowania spełniać związek:

fs ⩾ 2ꙍ0

Twierdzenie Kotielnikowa – ShannonaSygnał ciągły może być wiernie odtworzony z ciągu swoich próbek tworzących sygnał dyskretny, jeśli próbki te zostały pobrane z częstotliwością co najmniej dwukrotnie większą od granicznej częstotliwości swego widma (warunek Nyquista).

aliasing aliasing aliasing aliasing

częstotliwość-2fs -fs -fs/2 fs/2 fs

-ꙍ0 ꙍ0/2 ꙍ0 /2 ꙍ0

Części powieleń widma łączą się z widmem oryginalnym – rezultatem jest

tzw. błąd aliasingu.

Dyskretne widmo spróbkowane nie reprezentuje oryginalnego sygnału.

Widmo w pasmach: -ꙍ0 do -ꙍ0/2 i ꙍ0 do ꙍ0 /2 zostało zniekształcone pojawił

się aliasing – przeciek widma z jednego powielenia do drugiego.

Wszystkie składowe oryginalnego sygnału spróbkowanego będą znajdować się w paśmie zainteresowania tj. – fs/2 do fs/2.

Efektem tego jest to, że każda składowa powyżej ꙍ0 i poniżej - ꙍ0 zawsze znajdzie się w interesującym nas paśmie –niezależnie od szybkości próbkowania.

Z tego powodu zawsze przed przewarzaniem AC stosowane są filtry dolnoprzepustowe – ograniczające pasmo do interesującej szerokości

Rzeczywiste sygnały w swoim widmie oprócz istotnych informacji

zawartych w swoim paśmie zawierają szum – który jest nieistotny a

w wyniku operacji próbkowania może zniekształcić widmo sygnału

spróbkowanego.

częstotl.

szum szuminteresujące

pasmo

-fs -fs/2 fs/2

fs

-fs - fs/2 fs/2 fs

- Próbkowanie sygnału dolnopasmowego (wraz z towarzyszącym mu szumem)

z częstotliwością próbkowania fs > 2 ꙍ0 zapobiega nakładaniu się widma

interesującego sygnału,

-nie chroni to jednak przed pojawieniem się energii szumu w paśmie pomiędzy

–fs/2 a fs/2.

Analogowy filtrdolnoprzepustowyczęst. graniczna ꙍ0

PrzetwornikA/C

oryginalny

sygnał ciągły

przefiltrowany

sygnał ciągły próbki dyskretne

-ꙍ0

ꙍ0

szum szum

W praktyce często próbkowane są analogowe sygnały pasmowe czyli takie, których ograniczone pasmo jest skupione wokół pewnej częstotliwości różnej od zera.

Do tego typu sygnałów można z powodzeniem stosowad próbkowanie dolnopasmowe, jednak zastosowanie specjalnej techniki zwanej próbkowaniem pasmowym pozwala znacznie zmniejszyd koszty realizacji sprzętowej, polegającej na zmniejszeniu szybkości przetwornika A/C oraz zmniejszeniu pamięci wymaganej do pamiętania wartości próbek.

Jako przykład próbkujmy przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz, skupiony wokół częstotliwości fBcB=20kHz.

Zgodnie z kryterium Nyquista, ponieważ najwyższa składowa częstotliwościowa w sygnale ma wartośd 22,5kHz należy próbkowad sygnał z częstotliwością nie mniejszą niż 45kHz.

Unikamy aliasingu. Okazuje się że próbkowanie z częstotliwością 45kHz nie jest konieczne.

Próbkowanie tego sygnału z częstotliwością znacznie mniejszą, równą 17,5 kHz.

Można zauważyd, że mimo mniejszej częstotliwości próbkowania powielenia widma nie zniekształcają widma oryginalnego skupionego wokół częstotliwości fc.

Dany jest ciągły sygnał pasmowy o szerokości pasma B, o częstotliwości nośnej fc. Próbkujemy ten sygnał z dowolną częstotliwością fc. Maksymalna częstotliwośd próbkowania :

Przy arbitralnej liczbie powieleo widma m w przedziale 2fc-B sygnał można próbkowad z maksymalną częstotliwością fp1 taką że:

Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc-B sygnał można próbkowad z maksymalną częstotliwością fp1:

Minimalna częstotliwośd próbkowania:

Jeżeli szybkośd próbkowania zmniejsza się to powielenia przesuwają się i osiągamy dolną granicę częstotliwości próbkowania fp2.

Przy arbitralnej liczbie powieleo widma m w przedziale 2fc+B sygnał można próbkowad z minimalną częstotliwością fp2 taką że:

Widmo sygnału dyskretnego, w przedziale 2fc+B, sygnał można próbkowad z minimalną częstotliwością fp2:

W ten sposób otrzymujemy zależnośd definiującą zakres częstotliwości próbkowania pasmowego zależną od szerokości pasma sygnału, częstotliwości nośnej i liczby powieleo:

przy czym m jest dowolną liczbą naturalną zapewniającą spełnianie kryterium Nyquista w odniesieniu do szerokości pasma sygnału

Przykład:

Przebieg pasmowy o szerokości pasma B=5kHz i częstotliwości nośnej fc=20kHz.

Za optymalną częstotliwośd próbkowania przyjmuje się taką przy której powielenia widma stykają się ze sobą w punkcie f = 0Hz. Przy tak przyjętej częstotliwości próbkowania błędy związane dalszym przetwarzaniem cyfrowym (np. filtrowaniem) sygnału są minimalne

Zdefiniujemy nowy parametr R jako stosunek częstotliwości najwyższej w paśmie sygnału do szerokości pasma

Wykreślimy zależnośd minimalnej częstotliwości próbkowania od parametru R dla różnych wartości m

Wynika z tego, że niezależnie od R minimalna częstotliwośd próbkowania nie przekracza 4B i zmniejsza się dążąc do 2B przy zwiększaniu częstotliwości nośnej (wzrost R).

Wprowadzając na wykresie warunek ograniczający częstotliwośd z góry (maksymalną) otrzymamy obszary częstotliwości zakazanych i dozwolonych związanych z odpowiednią wartością parametru m.

Wprawdzie z rysunku wynika, że możemy stosowad częstotliwości próbkowania, które leżą na granicy strefy zakazanej i dozwolonej, jednak w praktycznych zastosowaniach należy wybierad częstotliwości nieco oddalone od tych granic.

Takie postępowanie pozwala uniknąd np. problemów związanych z niedokładnością filtrów pasmowych, niestabilnością zegara układu próbkującego itp.

Uwzględnienie niedokładności próbkowania Δfp oraz marginesu zmian widma sygnału ΔB

Przekształcenie Laplace’a:

Funkcja F(s) jest transformatą Laplace’a funkcji f(t)

zmienna s jest liczbą zespoloną: s= σ +jω

Czynnik e -st jest zespoloną wirującą tłumioną

sinusoidą:

Przekształcenie Z

Funkcja transmitancji:

iloraz transformaty Laplace’s wielkości

wejściowej X(s) przez transformatę

Laplace’a wartości wyjściowej Y(s)

X(s) H(s) Y(s)

Czyli w dziedzinie operatorowej:

Y(s) = X(s)∙H(s)

Przekształcenie Z

Odpowiedź impulsowa układu:

Odpowiedź układu liniowego na wymuszenie w postaci bardzo wąskiego i bardzo

wysokiego impulsu o powierzchni jednostkowej, który można uznać, w przypadku

układów ciągłych, za przybliżenie delty Diraca - przy zerowych warunkach

początkowych (w przypadku układów dyskretnych impulsem tym jest impuls

Kroneckera).

Odpowiedź impulsowa układu jest odwrotną transformatą Laplace’a funkcji

transmitancji H(s)

Przekształcenie Z

Związek pomiędzy transmitancją a odpowiedzią

impulsową układu

gdzie:

h(t)*y(t) jest splotem odpowiedzi impulsowej układu i pobudzenia

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Przekształcenie Z

Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej - (Finite Impulse Response filter –

FIR )

Nazwa FIR oznacza filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej (polski skrót tej nazwy to

filtr SOI). Oznacza to tyle, że reakcja na wyjściu tego układu na pobudzenie o skończonej

długości jest również skończona (przez długość pobudzenia i odpowiedzi rozumiemy tu

długość odcinka czasu, dla którego próbki sygnału przyjmują wartości niezerowe). Aby

warunek ten był spełniony, w filtrach tego typu nie występuje pętla sprzężenia zwrotnego.

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtry cyfrowe FIR i IIR

Filtr IIR

jest jednym z rodzajów filtrów cyfrowych, który w odróżnieniu od filtrów FIR jest układem

rekursywnym. Skrót IIR (ang. Infinite Impulse Response) oznacza nieskończoną odpowiedź

impulsową (w polskiej literaturze stosowany jest również skrót NOI). Znaczy to tyle, że

reakcja na pobudzenie o skończonym czasie trwania jest teoretycznie nieskończenie długa.

Jest to efektem występowania pętli sprzężenia zwrotnego

Filtry cyfrowe FIR i IIR