Nieoczekiwane własności nawiasu Diraca w kontekście AdS/CFT

Jędrzej Świeżewski FUW

we współpracy z Norbertem Bodendorferem, Pawłem Duchem, Wojciechem Kamińskim oraz Jerzym Lewandowskim

Kraków, 4 marca 2016

Plan wystąpienia

opowiastka tytułem wstępu

kilka słów o kanonicznej Ogólnej Teorii Względności

cechowanie radialne w kontekście korespondencji AdS/CFT

Pętlowa Grawitacja Kwantowa

2

Opowiastka

układ fizyczny

3

Opowiastka

układ fizyczny

3

obiekt fizyczny

stopień swobody

stopień swobody

Opowiastka

układ fizyczny

3

obiekt fizyczny

stopień swobody

4

kanoniczna Ogólna Teoria Względności

Równania Einsteina

Rµ⌫ � 1

2gµ⌫R = Tµ⌫

4

kanoniczna Ogólna Teoria Względności

Równania Einsteina

Rµ⌫ � 1

2gµ⌫R = Tµ⌫

formalizm ADM

składniki: ✤ hiperpowierzchnia przestrzenna

4

kanoniczna Ogólna Teoria Względności

Równania Einsteina

Rµ⌫ � 1

2gµ⌫R = Tµ⌫

formalizm ADM

składniki: ✤ hiperpowierzchnia przestrzenna

✤ jej geometria wewnętrzna qab

4

kanoniczna Ogólna Teoria Względności

Równania Einsteina

Rµ⌫ � 1

2gµ⌫R = Tµ⌫

formalizm ADM

składniki: ✤ hiperpowierzchnia przestrzenna

✤ jej geometria wewnętrzna ✤ jej geometria zewnętrzna

qab

P abKab

4

kanoniczna Ogólna Teoria Względności

Równania Einsteina

Rµ⌫ � 1

2gµ⌫R = Tµ⌫

formalizm ADM

składniki: ✤ hiperpowierzchnia przestrzenna

✤ jej geometria wewnętrzna ✤ jej geometria zewnętrzna

dynamika:

✤ Hamiltonian

✤ nawiasy Poissona, np.

qab

P abKab

H = H[N ] + C[ ~N ]

q̇ab = {qab, H}

4

kanoniczna Ogólna Teoria Względności

Równania Einsteina

Rµ⌫ � 1

2gµ⌫R = Tµ⌫

formalizm ADM

składniki: ✤ hiperpowierzchnia przestrzenna

✤ jej geometria wewnętrzna ✤ jej geometria zewnętrzna

dynamika:

✤ Hamiltonian

✤ nawiasy Poissona, np.

✤ więzy swoboda wyboru

qab

P abKab

H = H[N ] + C[ ~N ]

q̇ab = {qab, H}cechowania

5

cechowanie radialne w AdS/CFT

C F T

AdSaby powiązać teorię na brzegu z teorią we wnętrzu wybieramy cechowanie

5

cechowanie radialne w AdS/CFT

aby powiązać teorię na brzegu z teorią we wnętrzu wybieramy cechowanie

radialne (vel aksjalne, Feffermana-Grahama, holograficzne)

5

cechowanie radialne w AdS/CFT

aby powiązać teorię na brzegu z teorią we wnętrzu wybieramy cechowanie

radialne (vel aksjalne, Feffermana-Grahama, holograficzne)

zadane przez warunki: qrr = 1, qrA = 0, Krr = 0

5

cechowanie radialne w AdS/CFT

aby powiązać teorię na brzegu z teorią we wnętrzu wybieramy cechowanie

radialne (vel aksjalne, Feffermana-Grahama, holograficzne)

zadane przez warunki: qrr = 1, qrA = 0, Krr = 0

czy pola materii tworzą prostą algebrę?

5

cechowanie radialne w AdS/CFT

aby powiązać teorię na brzegu z teorią we wnętrzu wybieramy cechowanie

radialne (vel aksjalne, Feffermana-Grahama, holograficzne)

zadane przez warunki: qrr = 1, qrA = 0, Krr = 0

czysto geometryczne!

1 Kabat, Lifschytz, Phys.Rev. D89 (2014) 066010 wi!c ,,tak ,,

2 Donnelly, Giddings, Phys.Rev. D93 (2016) 2, 024030 chyba raczej ,,nie,,

czy pola materii tworzą prostą algebrę?

5

cechowanie radialne w AdS/CFT

aby powiązać teorię na brzegu z teorią we wnętrzu wybieramy cechowanie

radialne (vel aksjalne, Feffermana-Grahama, holograficzne)

zadane przez warunki: qrr = 1, qrA = 0, Krr = 0

1 Kabat, Lifschytz, Phys.Rev. D89 (2014) 066010 b"!dny argument

2 Donnelly, Giddings, Phys.Rev. D93 (2016) 2, 024030 1szy rz#d rach. zaburze$

3 Bodendorfer, Duch, Lewandowski, Świeżewski, JHEP 1601 (2016) 047pe"na, negatywna odpowied%

czy pola materii tworzą prostą algebrę?

6

Pętlowa Grawitacja Kwantowa (LQG)

Ogólna TeoriaWzględności

Pętlowa Grawitacja Kwantowa

uproszczonemodele typu

midisuperspace

kwantowe modelesferycznie symetryczne

kwantyzacja pętlowa

kwantyzacja pętlowa

redu

kcja

sym

etrię

ze w

zględ

u na

redu

kcja

sym

etrię

ze w

zględ

u na

6

Pętlowa Grawitacja Kwantowa (LQG)

Ogólna TeoriaWzględności

Pętlowa Grawitacja Kwantowa

uproszczonemodele typu

midisuprespace

kwantowe modelesferycznie symetryczne

wybór

cechow

ania

radialn

ego

kwantyzacja pętlowa

kwantyzacja pętlowa

redu

kcja

sym

etrię

kwantyzacja pętlowa

ze w

zględ

u na

redu

kcja

sym

etrię

ze w

zględ

u na

redu

kcja

sym

etrię

ze w

zględ

u na

Bodendorfer, Lewandowski, Świeżewski, Phys.Lett. B747 (2015) 18-21

7

Podsumowanie i bibliografia

dziękuję za uwagę

Bodendorfer, Duch, Lewandowski, Świeżewski JHEP 1601 (2016) 047

Bodendorfer, Lewandowski, Świeżewski Phys.Lett. B747 (2015) 18-21

Duch, Kamiński, Lewandowski, Świeżewki JHEP 05 (2014) 077, JHEP 04 (2015) 075

Bodendorfer, Lewandowski, Świeżewski Phys.Rev. D92 (2015) 8, 084041

obserwable

cechowanie radialne

sferyczna symetria w LQG

kontekst AdS/CFT

{O1, O2}D = {O1, O2}�8X

↵,�=1

{O1, C↵}(M�1)↵�{C� , O2}

@2rN + (�R(3)

rr + 2KArKAr � tmatt)N + 2KrAN

A = �M

2@rNr + @BN

B = Mr

@rNA + 2@r(KrAN) = MA

{�(r1, ✓1), �(r2, ✓2)}D =

Zdrd2✓ Nr

[{�(r1,✓1), C↵}](r, ✓)p

det q(r, ✓)N[{C↵, �(r2,✓2)}](r, ✓)

�Z

drd2✓ N[{�(r1,✓1), C↵}](r, ✓)p

det q(r, ✓)Nr

[{C↵, �(r2,✓2)}](r, ✓)

8

slajdy rachunkowe cz. 1

(3)

� arr =

1

2qab(2qrb,r � qrr,b)

(4)

� trr =

1

NKrr

(4)

� arr = �Na

NKrr +

1

2qab(2qrb,r � qrr,b)

nawias Diraca

cechowanie radialne

9

slajdy rachunkowe cz. 2

prr =1

2

Z r

0pABqAB,r +

Z r

0DA

qAB

Z r0

0DCp

CB

!prA = �

Z r

0DBp

BA

(G = 1

2 (prr)2 + 2qABprAprB � qABpABprr + (qACqBD � 1

2qABqCD)pABpCD

(3)R = (2)R� qABqAB,rr � 34q

AB,rqAB,r � 1

4 (qABqAB,r)2

H[N ] =

ZN

1p|q|

G�p|q|(3)R

!

2

6666664

0 0 0 R(3)rr � 2KArKAr + tmatt � @2

r 0 �2KrA

0 0 0 2@r @B0 2@rKrB 0 @rqAB

0 � pdet q

0

0 00

3

7777775=

0 F

�FT G

�

0 F

�FT G

��1

=

(F�1)TGF�1 �(F�1)T

F�1 0

�

nawias Diraca cd

teoria w cechowaniu radialnym

10

slajdy rachunkowe cz. 3

kwantyzacja

qAB , pAB EAi , Ai

A

E�(S) =

Z

SE

Ai �

i✏ABdrdx

B

he(A) = P exp

✓Z

eAAi⌧

idx

A

◆

qAB , PAB