Czy wszystko da się obliczyć ?

Marek Kowalski

Inteligencja, która w danym momencie znałaby wszystkie siły ożywiające naturę oraz wzajemnie położenia bytów ją tworzących i była przy tym na tyle wielka, aby to poddać analizie, mogłaby jednym wzorem objąć ruch największych ciał wszechświata i najmniejszych atomów; nic nie byłoby dla niej niepewne i miałaby przed oczami zarówno przeszłość, jak i przyszłość.

Pierre-Simon de Laplace

1749 - 1827[ Mechanika niebios ]

Zrodziło się zadanie przewidzenia jej położenia w końcu roku1801, które Gauss rozwiązał perfekcyjnie.

1 stycznia 1801 r. Giuseppe Piazzi odkrył planetę karłowatą, którą nazwał Ceres i z obserwatorium astronomicznego w Palermo obserwował ją na łuku 9 nim przesłoniło ją ⁰Słońce.

Giuseppe Piazzi 1746 - 1826

Johann Carl Friedrich Gauss

1777 - 1855

Czy aksjomat rozwiązywalności każdego matematycznego problemu jest szczególną cechą charakterystyczną samej myśli matematycznej, czy może ogólnym prawem tkwiącym w naturze umysłu jest, że każde postawione pytanie musi mieć swoją odpowiedź?

David Hilbert1862 - 1943

Niezależnie od tego jak bardzo niedostępne mogą się nam wydawać nierozwiązane problemy i jak bardzo bezradnie przed nimi stajemy, mamy silne przekonanie, że ich rozwiązanie musi się znaleźć w skończonej liczbie czysto logicznych kroków.

Szukaj jego rozwiązania! Możesz je znaleźć czystą myślą, bo w matematyce

nie ma ignorabimus.

Jest problem ?

Wielkie zaskocznia !

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Niech n przejdzie do 2n !

, 0

Jest nieskończenie wiele różnych

rodzajów nieskończoności.

W 1963 r. Paul Cohen udowodnił niezależność hipotezy continuum od aksjomatów teorii mnogości - czyli możemy do matematyki dołączyć zarówno zdanie mówiące, że hipoteza continuum jest prawdziwa, jak i jego negację, i w żadnym z tych wypadków nie otrzymamy sprzeczności.

Kurt Gödel 1906 - 1978

…ustalić system aksjomatów obejmujący ścisły i pełny opis związków, które występują pomiędzy elementarnymi pojęciami matematyki.

Wszystkie systemy obejmujące arytmetykę liczb naturalnych są istotnie niezupełne, o ile tylko są niesprzeczne.

W żadnej teorii formalnej zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie można dowieść jej własnej niesprzeczności.

1931

August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) wyraził w 1840 roku przypuszczenie, że obszary państw na mapie lub globusie można pokolorować za pomocą czterech barw w taki sposób, że każde dwa graniczące ze sobą państwa mają różne barwy. Do takiego przekonania doszedł też niezależnie, ale w trzynaście lat później, Francis Guthrie (1831 - 1899).

Francis Guthrie

1831 - 1899

W 1997 roku Neil Robertson, Daniel Sanders, Paul Seymour i Robin Thomas podali nowy 40 stronicowy dowód, nadal - choć znacznie skromniej - odwołujący się do analizy komputerowej. Dowód ten sprawdzono niezależnie wraz z napisaniem od nowa niezbędnych programów komputerowych. Klasycznego dowodu wciąż nie znamy…

Na potwierdzenie tej hipotezy przyszło nam czekać do roku 1976 roku kiedy to Ken Appel i Wolfgang Haken podali jej zadziwiający dowód. Zajął on 130 stron druku, obejmował 400 stron mikrofilmów z tysiącami diagramów i - co najważniejsze - liczne składające się na jego całość przypadki zostały przeanalizowane za pomocą programu komputerowego.

Problemu niezapętlania się programów komputerowych jest nierozstrzygalny.

Alan Mathison Turing

1912 - 1954

Nie są rozstrzygalne inne - z pozoru łatwiejsze – problemy, na przykład problem „węża domino” na półpłaszczyźnie.

Czy dysponując skończonym zbiorem klocków domino można połączyć dwa dane elementy siatki kwadratowej na półpłaszczyźnie “wężem domino”?

Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybrany

losowo program komputerowy się

zatrzyma ?

Jest liczbą niekompresowalną !

Gregory Chaitin ur. 1947

Stała Chaitina

Ω

Chaitin zdefiniował pojęcie "złożoności" liczby jako długość najkrótszego programu komputerowego, który byłby w stanie wygenerować daną liczbę.

Nieważne jak długo program musi pracować, aby wykonać wszystkie obliczenia albo ile pamięci trzeba użyć – liczy się tylko długość programu mierzona w bitach.

Umysł ludzki jest rodzajem komputera, więc może istnieć złożoność tak głęboka i subtelna, że nasz intelekt nigdy nie będzie w stanie jej objąć. Jeśli nawet gdzieś głęboko tkwi pewien porządek, możemy nigdy nie mieć do niego dostępu i to co widzimy, będzie nam się wydawało przypadkowe.

Jest nieskończenie wiele prawdziwych twierdzeń matematycznych dotyczących, powiedzmy, arytmetyki, których nie można uzyskać z aksjomatów arytmetyki.

Nie jest możliwe, aby program wykazał, że liczba bardziej złożona od tego programu jest przypadkowym ciągiem cyfr.

Podobnie, jak jest niewykonalne przewidzenie dokładnego momentu, w którym pojedynczy atom ulegnie rozpadowi radioaktywnemu, matematyka jest bezsilna wobec pewnych pytań.

Jednakże fizycy są w stanie dokonywać wiarygodnych przewidywań wobec dużych zespołów atomów. Być może matematycy w niektórych przypadkach będą zmuszeni do podobnego podejścia.