Post on 16-Jan-2016
description
Szczególna teoria względności
(Materiały na spotkanie
28 lutego 2013)
„Klub dyskusyjny fizyków”
CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA
Przedział czasoprzestrzenny pomiędzy zdarzeniami
Odległość w czasie i przestrzeni pomiędzy zdarzeniami
Zdarzenia mają miejsce w czasie i przestrzeni
Czas
tprzeszłość chwila obecna przyszłość
Przestrzeń
x
y
z
(x,y,z)
|
0
|
1 minuta
PRZESZŁOŚĆ CHWILA OBECNA PRZYSZŁOŚĆ
Będziemy więc mówić o CZASOPRZESTRZENI
( Minkowski XX w. )
nie ma miejsca w przestrzeni, w której czas nie upływa, oraz
nie ma zjawisk zachodzących w jakiejś chwili poza przestrzenią.
Czasoprzestrzeń to zbiór zdarzeń, które zachodzą w jakimśmiejscu przestrzeni w jakiejś chwili czasu
( zaniedbujemy czas trwania zjawiska i jego rozmiary przestrzenne)
wprowadzamy układ odniesienia i zegar, który mierzy czas,
zdarzenie zaszło w chwili t w miejscu ( x,y,z )
zdarzenie X = ( ct, x, y, z),
czasoprzestrzeń zbiór { X }
Transformacja Galileusza
v
K’K
Tak więc w fizyce klasycznej:
L
K K’
v
DD
L
x x’
Klasycznie
(1) Prędkość światła w próżni ma zawsze stałą wartość, która nie zależy od ruchu ani źródła, ani odbiornika światła.
(2) W dwóch układach odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym wszystkie prawa przyrody są ściśle takie same i nie ma sposobu wyróżnienia bezwzględnego ruchu jednostajnego.
Z doświadczenia więc wynika, że
Uogólnienia zasady
Galileusza na
wszystkie zjawiska w
przyrodzie
c = const
(3) Położenia i prędkości zmieniają się przy przejściu od jednego układu inercjalnego do drugiego zgodnie z transformacją klasyczną. Mamy więc jawną sprzeczność. Nie można pogodzić z sobą (1), (2) i (3).
Ale:
1) oraz 2)wyklucza
transformacje Galileusza, a 3)
ja akceptuje
L
K K’
v
DDL
x x’
W układzie K
W układzie K’
Relatywistycznie
Odległość czasoprzestrzenna pomiędzy zdarzeniami jest identyczna w każdym układzie
odniesienia
Jak zmienić transformacje Galileusza aby w każdym układzie odniesienia prędkość światła była taka sama?
„Trzeba podejrzewać czas” mówił Einstein.
Zakładamy więc, że zachodzi:
i postaramy się znaleźć parametry . Mogą one zależeć jedynie od względnej szybkości dwóch układów odniesienia, v.
Gdy x=0 oraz t=0, to także x’=0 oraz t’=0
v
K’K
W układzie K początek układu K’ (x’= 0) porusza się z szybkością v:
czyli
W układzie K’ początek układu K (x=0) porusza się z szybkością –v:
czyli
Skorzystamy z równości przedziałów czasoprzestrzennych w obydwu układach:
czyli
Aby to równanie było spełnione muszą być spełnione relacje:
Z relacji 1)
Ze związku 2)
Relacja 3) jest wtedy spełniona automatycznie
Transformacja Galileusza
Transformacja Lorentza
Transformacje odwrotne otrzymamy, zamieniając prędkość v na -v
Gdy wzajemna prędkość układów v jest mała w porównaniu z prędkością światła, wtedy transformacja Lorentza przechodzi w transformację Galileusza:
Dla dwóch układów poruszających się wzdłuż osi x otrzymaliśmy:
Związki te nazywają się transformacją Lorentza, wynikają z nich:
Transformacja prędkości pomiędzy układami
Skrócenie długości,
Wydłużenia czasu,
Względność równoczesności zdarzeń.
).xc
vt(t
,zz
,yy
),tvx(x
2
).xc
vt(t
,zz
,yy
),vtx(x
2
Hendrik Lorentz (1853 – 1928)
Transformacja prędkościDla prędkości wzdłuż osi x:
Związek odwrotny:
v - v
Widać, że spełniony jest pierwszy postulat Einsteina, prędkość światła jest zawsze równa c.
Wzory do wyprowadzenie relacji na skrócenie długości i wydłużenie (dylatację) czasu i badania zjawiska równoczesności zdarzeń:
W dalszym ciągu będziemy powoływać się na wzory 1), 2), 3), 4).
Te same relacje w fizyce klasycznej mają zupełnie inną postać:
Transformacja Lorentza
Transformacja Galileusza
v
K’K
Z układu K mierzymy czas upływający w K’
x’
Nieruchomy zegar w układzie
K’
Dylatacja czasu
Z relacji 4) gdzie wstawiamy:
Otrzymamy:Obserwując
ruchomy zegar, widzę, że na nim
czas płynie wolniej
I odwrotnie, z układu K’ obserwuje nieruchomy zegar w układzie K. Zegar spoczywa w układzie K a więc:
Musimy skorzystać z relacji 2), otrzymamy:
I ponownie wniosek jest ten sam, jeżeli względem mnie zegar się porusza to widzę, że czas na nim płynie wolniej.
v
K’K
Skrócenie długości Lorentza (kontrakcja długości)
Z układu K dokonujemy pomiaru długości pręta w układzie K’
Korzystamy z relacji 3) gdzie wstawiamy: i otrzymujemy:
Mierząc z układu K pręt spoczywający w K’, widzę że jest on krótszy
I odwrotnie, z układu K’ dokonujemy pomiaru pręta spoczywającego w układzie K.
Tym razem musimy w tym samym czasie w układzie K zmierzyć położenie końców, czyli musimy przyjąć:
Wtedy należy wykorzystać równanie 1) i otrzymamy:
A więc zupełnie symetrycznie otrzymamy, iż pręt mierzony w układzie ruchomym jest krótszy od pręta spoczywającego .
v
K’K
Równoczesność zdarzeń
W różnych punktach ( ) w układzie K’ w tym samym czasie zachodzą dwa zdarzenia. Te dwa zdarzenia będą zachodziły w różnym czasie w układzie K.
Korzystamy z relacji 4) i mamy
W tym samym miejscu w układzie K’ ( ) zachodzą dwa zdarzenia w różnym czasie .
Podobnie jak w fizyce klasycznej zdarzenia te w układzie K zajdą w różnym miejscu w przestrzeni. Korzystamy z relacji 3) i otrzymamy:
Zdarzenia zachodzą więc w różnym miejscu:
W przypadku klasycznym jest podobnie, tylko czynnik γ =1
Jakie wnioski wynikają z faktu, że przedział czasoprzestrzenny jest identyczny w każdym układzie odniesienia
Możemy rozróżnić trzy przypadki:
Najpierw przypadek 1). Skoro P12 > 0, to zawsze mogżemy znaleźć taki układ odniesienia, w którym opisywane dwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu w różnym czasie, wtedy:
Nie istnieje jednak układ w którym zdarzenia te mogłyby zajść w tym samym czasie, zawsze bowiem musi zachodzić:
Takie zdarzenia, skoro mogą zajść w tym samym miejscy w różnym czasie, to jedno z nich może być skutkiem drugiego, jeżeli:
to zdarzenia „2” może być skutkiem zdarzenia „1”
Przypadek 2). Teraz zawsze P12=0, a więc w każdym układzie zachodzi:
A więc w każdym układzie mamy:
Dowolne dwa zdarzenia, dla których zachodzi P12=0 mogą być połączone sygnałem świetlnym, ten sam foton może być obecny przy obydwu zdarzeniach.
I wreszcie przypadek 3). Skoro P12 < 0, to zawsze mogżemy znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia zachodzą w tym samym czasie , wtedy:
jest odległością pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w danym układzie odniesienia w tym samym czasie.
W omawianej sytuacji nie ma układu odniesienia, w którym jakiekolwiek dwa zdarzenia mogą zajść w tym samym miejscu w przestrzeni, zawsze bowiem:
Tak więc w zbiorze zdarzeń P12 < 0 nie ma dwóch, dla których jedno może być skutkiem drugiego.
x
ct
Przyszłość
Przeszłość
Teraźniejszość
Teraźniejszość
Stożek świetlny
);,()xx()tt(c 22
P
2
P
2 Px Przedział czasoprzestrzenny
),(2 Px
02
02
02
Stożek świetlny
A
B
CC może wpływać na nas (P)
My (P) możemy wpływać na B
A nie ma wpływu na nas (P), i my nie mamy wpływu na A
Geometrię o opisanych własnościach nazywamy geometrią pseudoeuklidesową
02
Z podręcznika „Fizyka, spojrzenie na czas, przestrzeń i materię”; PWN, Warszawa 2002.
Masa, pęd, energiaJak definiujemy się masę?
1) Newton: masa jest miernikiem „ilości materii”.
2) Masa to parametr, który określa ciężar ciała.
3) Masa jest miernikiem bezwładności ciała: .
Dla uogólnienia masy na przypadek relatywistyczny najlepsza definicja to:
4) Masa to parametr, przez który trzeba pomnożyć prędkość ciała aby otrzymać zachowany pęd.
Jeżeli prawo zachowania pęd zachodzi w jednym układzie, to jest spełnione w każdym innym układzie inercjalnym:
Bo spełniona jest trywialna relacja:
Pęd jest zachowany także dla zderzeń niesprężystych, ale pod jednym warunkiem:
Pęd będzie zachowany w każdym układzie inercjalnym jeżeli masa jest zachowana.
Aby wyprowadzić relacje E =mc2, przejdziemy do układu środka masy:
Mamy wtedy relacje:
W układzie środka masy obowiązuje prawo zachowania pędu nawet gdy długości pędów zmieniają się, o ile zmiana jest identyczna dla jednej i drugiej cząstki.
zd. sprężystezd. niesprężyste
Tylko dla zderzeń sprężystych (λ=1) zachowana jest energia kinetyczna:
Mamy bowiem:
i wtedy zachodzi:
Każda inna definicja energii kinetycznej np.
będzie zachowana w układzie środka masy,ale ta definicja z kwadratem ma jeszcze jedną zaletę, jeżeli energia jest zachowana w jednym układzie to będzie zachowana w każdym innym układzie inercjalnym:
Jeżeli więc pęd i masa są zachowane, to energia kinetyczna zdefiniowana w tradycyjny sposób, jeżeli jest zachowana w jednym układzie, to jest zachowana w każdym układzie inercjalnym:
Ta konstrukcja jest dobra w sytuacji nierelatywistycznej, gdzie prawo dodawania prędkości ma postać:
W przypadku relatywistycznym ta reguła nie obowiązuje, mamy bowiem:
Powstaje pytanie, jak zdefiniować masę, pęd i energię aby otrzymać prawa zachowania ważne w każdym układzie inercjalnym.
Następne spotkanie klubuCzwartek,
4 kwietnia 2013