Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 „Stara kotłownia”, pokój 359

Tel.: 71 320 3201 Fax: 71 328 3218

E-mail: juliusz.b.gajewski@pwr.edu.pl Internet: www.itcmp.pwr.wroc.pl/elektra

Wydział Mechaniczno-Energetyczny

Podstawy elektrotechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr

Elektrodynamika. Prąd stały

Elektrodynamika. Prąd stały

P r ą d e l e k t r y c z n y jest to uporządkowany ruch ładunków elektrycznych w przestrzeni przez dany przekrój poprzeczny śro-dowiska pod działaniem pola elektrycznego. Pole to charakteryzu-je się wektorowo przez natężenie pola elektrycznego E albo ska-larnie przez napięcie elektryczne U. W skrócie mówi się po prostu „prąd”.

P r ą d e l e k t r y c z n y s t a ł y jest to prąd elektryczny płynący tylko w jednym kierunku w przeciwieństwie do prądu przemiennego.

Elektrodynamika. Prąd stały

P r ą d e l e k t r y c z n y, albo po prostu p r ą d, występuje albo inaczej płynie w pewnym o b w o d z i e z a m k n i ę t y m albo po prostu obwodzie, w którym istnieje co najmniej jedna droga zamknięta dla przepływu prądu. Jeśli dróg tych jest więcej niż jedna, wówczas obwód taki nazywa się r o z g a ł ę z i o n y i składa się z kilku oczek ze sobą połączonych. Obwód rozgałęzio-ny nazywa się również u k ł a d e m e l e k t r y c z n y m. Jedno oczko odosobnione stanowi o b w ó d n i e r o z g a ł ę z i o n y.

Obwód i układ elektryczny

Elektrodynamika. Prąd stały

O b w ó d albo o c z k o są utworzone z g a ł ę z i, z których każda ma wyprowadzone na zewnątrz dwie końcówki zwane w ę- z ł a m i albo z a c i s k a m i, do których mogą być przyłączane następne gałęzie. Węzłom obwodu albo układu przyporządkowuje się potencjał. Gałęzie składają się z połączonych ze sobą elemen-tów. Element elektryczny, np. opornik, kondensator, cewka, aku-mulator, jest to część obwodu niepodzielna pod względem funk-cjonalnym bez utraty swoich własności charakterystycznych.

Jeśli elementy elektryczne (albo po prostu e l e m e n t y) obwodu albo cały obwód opisują l i n i o w e równania algebraiczne albo różniczkowe, to obwód elektryczny jest l i n i o w y.

Obwód i układ elektryczny

Elektrodynamika. Prąd stały

2 C U

+

−

U2

1 R

4 R

3 C

1 I

2 I

3 I

4 I

I

II

gałąź

oczko

węzeł (zacisk)

elementy

1 E

U1

Obwód i układ elektryczny

Elektrodynamika. Prąd stały

Natężenie prądu elektrycznego

i qt

qt

df

t== =

→lim

∆

∆∆0

dd

Qi It

= = Prąd elektryczny stały

Elektrodynamika. Prąd stały

Natężenie prądu elektrycznego

BA

SS QQ

ϕϕ >

== const21

Elektrodynamika. Prąd stały

Natężenie prądu elektrycznego d ddd d

qi It t

= =l

υ

υqI ddd =l

Gęstość prądu elektrycznego d d d d dI ql S S⋅ = ⋅υ

gdzie dl·dS = dV

Elektrodynamika. Prąd stały

Gęstość prądu elektrycznego

dd d d dd

qIV

= ⋅ = ⋅S J Sυ

Ponieważ dq/dV = qv

J S= = =dd

dd v

I qV qυ υ

Gęstość prądu elektrycznego

Elektrodynamika. Prąd stały

Równanie ciągłości prądu elektrycznego

Elektrodynamika. Prąd stały

Równanie ciągłości prądu elektrycznego

∫ ⋅=)(

dVS

I SJ

( ) ( )

dd d d ddS V S V

Qt Qt

− ⋅ = ⇒ ⋅ = −

∫ ∫J S J S

∫∫∫∫ −=−==⋅VVVVS

Vt

qVqt

V ddddddivd v

v)( ∂

∂JSJ

0div v =+t

q∂

∂J Równanie ciągłości prądu

Z prawa Gaussa-Ostrogradskiego wynika, że

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawo Ohma

J E E= =1ρ γ

Prawo Ohma według klasycznej teorii elektronowej

gdzie ρ = 1/γ

ρ — rezystywność albo opór właściwy przewodnika [Ω·m] γ — konduktywność albo przewodność właściwa [S·m−1]

∂ ∂q tv div= ⇒ = ⇒ =0 0 0J J

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma

E E E= +k z

∫∫∫ ⋅+⋅=B

A

B

A

B

A SlI lElE ddd

zkρ

Wypadkowe pole w przewodniku jest sumą wektorową pól kulombowskiego Ek i sił zewnętrznych Ez

Przewodnik o długości od A do B o jednakowym na-tężeniu prądu we wszyst-kich jego przekrojach

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma

Dla E·dl = − dϕ

ABBA

B

A

U=−=⋅∫ ϕϕlE dk

BAAB

B

A

EE −==⋅∫ lE dz

Różnica potencjałów na odcinku AB

Siła elektromotoryczna SEM na odcinku AB

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma

J

A

B l d

ϕ A

ϕ B

E AB

U AB

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma

( ) ABAB

B

A

B

AAB EUU +=⋅=⋅+= ∫∫ lElEE ddzk*

Dla J = const, ρ = const i S = const

IRIS

llSI

ABAB

B

A

B

A

===⋅ ∫∫ ρρρ ddlJ

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma

R lSABAB= ρ Opór albo rezystancja przewodnika

U IR

IR U E

AB AB

AB AB AB

* =

= +

albo

gdzie jest spadkiem napięcia na rezystancji RAB *ABU

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma

I

A

B

ϕA

UAB

EAB

U*AB

ϕB

RAB

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawo Ohma Ogólne prawo Ohma

Gdy ϕA = ϕB, RAB = R, EAB = E = U

IR E U= =

U I R

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawa Kirchhoffa w polu prądowym, przepływowym

I prawo

0d =⋅∫S

SJ

II prawo

0d =⋅∫L

lE

Elektrodynamika. Prąd stały

Energia, moc, ciepło. Prawo Joule’a–Lenza

d dW UI t W UIt= ⇒ =

]W[d

d= UIt

WP =

Ponieważ 1 cal = 4.185 J 1 J = 0.24 cal

Moc prądu stałego

Energia elektryczna

Praca prądu stałego

Ciepło

]J[2tRIW =

]cal[24.0 2tRIQ ≅

Elektrodynamika. Prąd stały

Prawa Kirchhoffa dla liniowych obwodów elektrycznych

Ikk

n

=∑ =

10

1 I w

2 I 3 I

4 I

5 I

I prawo prądowe

53241

54321

albo0

IIIII

IIIII

++=+

=−+−−

Elektrodynamika. Prąd stały

II prawo napięciowe

R I Ek kk

n

kk

n

= =∑ ∑=

1 1

Prawa Kirchhoffa dla liniowych obwodów elektrycznych

Elektrodynamika. Prąd stały

II prawo napięciowe

U

w1

w4

w2

w3 R3

R3I3

E1 R1

R2

R1I1

R2I2

E2

I1

I3

I2

Prawa Kirchhoffa dla liniowych obwodów elektrycznych

Elektrodynamika. Prąd stały

II prawo napięciowe

1 1 1 2 2 2 3 3

1 2 1 1 2 2 3 3

0U E R I E R I R I

U E E R I R I R I

+ − − − − =∨

+ − = + +

Prawa Kirchhoffa dla liniowych obwodów elektrycznych

Elektrodynamika. Prąd stały

Szeregowe Połączenia oporników (rezystorów)

U

I R1

R2

R3

U1

U2

U3

Elektrodynamika. Prąd stały

Szeregowe

Połączenia oporników (rezystorów)

U R I U R I U R I1 1 2 2 3 3= = =; ;

( ) IRIRRRUUUU z321321 =++=++=

R R R Rz = + +1 2 3

R Rkk

n

z ==

∑1

Rezystancja zastępcza

Elektrodynamika. Prąd stały

Równoległe

Połączenia oporników (rezystorów)

U

I

R1 R2 R3 U1 U2 U3

I1 I2 I3

Elektrodynamika. Prąd stały

Równoległe

Połączenia oporników (rezystorów)

I UR I U

R I UR1

12

23

3= = =; ;

I I I I UR

UR

UR

UR= + + = + + =1 2 3

1 2 3 z

1 1 1 11 2 3

1 2 3

1 2 1 3 2 3R R R R R R R RR R R R R Rz

z= + + ⇔ =+ +

Elektrodynamika. Prąd stały

Równoległe

Połączenia oporników (rezystorów)

∑=

=n

k kRR 1z

11

∑=

=

++=n

kkGG

GGGG

1z

321z

Rezystancja zastępcza

Ponieważ G = 1/R — konduktancja

Konduktancja zastępcza

Elektrodynamika. Prąd stały

Przykład obliczania obwodu elektrycznego

E0 Rw

Uw

U1 R1

I1

I2 I0

U2 R2 U0

Elektrodynamika. Prąd stały

Przykład obliczania obwodu elektrycznego Dane: U0, E0, Rw, R1, R2 Nieznane: I0, I1, I2 Do wyznaczenia: I2

U E R I R I0 0 0 1 1 0− − − =w

( ) 21212211 0 IRRIIRIR =⇒=−

I I I0 1 2 0− − =

I U E R IR0

0 0 1 1=− −

w

(1)

(2)

(3)

(4)

Elektrodynamika. Prąd stały

Przykład obliczania obwodu elektrycznego

(5)

(6)

Kombinacja (1), (2) i (3) daje

( )12w2

002 1 RRRR

EUI++

−=

0221

2

w

2200 =−−−− II

RR

RIREU

Elektrodynamika. Prąd stały

Przykład obliczania obwodu elektrycznego

( ) 2

00

2w1w2

002w21 1 R

EURRRRR

EUIRRR −≅

++−

=⇒>>∧R R R I U ER R1 2 2

0 02= = ⇒ =−

+ wR R R R I U E

R1 2 20 03= = = ⇒ =−

w ( )12w

002w21 1 RRR

EUIRRR+−

=⇒<<∧R R R R I U ER1 2 2

0 02= = << ⇒ =

−w

w

Elektrodynamika. Prąd stały

Przykład obliczania obwodu elektrycznego Stan jałowy: R2 = ∞

Stan zwarcia: R2 = 0

( )00w1

11112 0 EU

RRRIRUI −+

==∧=

02221w

002 ===∧

−= IRUU

REUI

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

Ładowanie kondensatora

C U uC

R i

uR

W1

W2

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

U Ri u i U uRC

C= + ⇒ =−

tuCi

uCqtiq

Cd

d

dddd C

=

⇓

=∧=

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

RC ut u UC

Cdd + =

Dla U = 0 — równanie różniczkowe liniowe jednorodne

T ut u u

ut

TC

CC

C

dd

d d+ = ⇒ = −0

T = RC — stała czasowa obwodu [s]

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

ATtAt

Tu

t

C lnd1ln0

+−=+−= ∫

u BeCtT= −

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

Niech B = B(t), zatem

ddut Be B

T eCtT

tT= −− −

Uzmiennianie stałej

DUeDtT

eUB

UeTB

Ttt Tt

Tt

+=+=

⇓

=

∫

−

0

d

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

Tt

Tt

Tt

C DeUeDUeu−−

+=

+=

Warunek początkowy: t = 0 ⇒ uC(0) = 0

0 = + ⇔ = −U D D U

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

Tt

Tt

Tt

C eRUUe

TCe

tCU

tuCi

−−−==

−== 1

dd

dd

−=−=

−−Tt

Tt

C eUUeUu 1

Uut C →⇒∞→

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

u, i

tt = 0

T uC

uR i

U

U/R

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

C U uC

R i

uR

W1

W2

Rozładowanie kondensatora

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

u Ri u Ri RC utC CC+ = ⇒ = − = −0 d

d

d duu

tT u t

T AC

CC= − ⇒ = − +ln

u BeCtT= −

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

Warunek początkowy: t = 0 ⇒ uC(0) = U

B U=

u UeCtT= −

i uR

UR eC

tT= − = − −

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

u, i

tt = 0

T

uC

uR i

U

−U/R

−U

Elektrodynamika. Prąd stały

Stan przejściowy w gałęzi szeregowej RC przy wymuszeniu stałym

Energia wydzielona na rezystorze

( )22

0

2

0

2 021

21dd C

Tt

CuCUteRURtRiW ==

−== ∫∫

∞ −∞