Analiza Funkcjonalna (prolegomena i inwitacja)

Dziaªanie realizowane w ramach projektuAbsolwent informatyki lub matematyki specjalist¡ na rynku pracy

Analiza Funkcjonalna(prolegomena i inwitacja)

Bartosz Kosma Kwa±niewski14 stycznia 2010

Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego

Bartosz Kosma Kwa±niewski 14 stycznia 2010 Analiza Funkcjonalna (prolegomena i inwitacja)

Przedstawienie zakªadu

Zakªad Analizy Funkcjonalnej

Rok powstania 2001

1 prof. Anatolij Antonevich2 prof. Andrei Lebedev3 dr Klara Janglajew4 mgr Krzysztof Zajkowski5 mgr Piotr Zambrzycki

Rok powstania 2001

1 prof. Anatolij Antonevich

2 prof. Andrei Lebedev3 dr Klara Janglajew4 mgr Krzysztof Zajkowski5 mgr Piotr Zambrzycki

Rok powstania 2001

1 prof. Anatolij Antonevich2 prof. Andrei Lebedev

3 dr Klara Janglajew4 mgr Krzysztof Zajkowski5 mgr Piotr Zambrzycki

Rok powstania 2001

1 prof. Anatolij Antonevich2 prof. Andrei Lebedev3 dr Klara Janglajew

4 mgr Krzysztof Zajkowski5 mgr Piotr Zambrzycki

Rok powstania 2001

1 prof. Anatolij Antonevich2 prof. Andrei Lebedev3 dr Klara Janglajew4 mgr Krzysztof Zajkowski

5 mgr Piotr Zambrzycki

Rok powstania 2001

prof. Anatolij Antonevich

prof. Andrei Lebedev

(kierownik zakªadu)

prof. Andrei Lebedev (kierownik zakªadu)

dr Klara Janglajew

dr Krzysztof Zajkowski

dr Klara Janglajew

dr Bartosz Kwa±niewski

dr Klara Janglajew

dr Krzysztof Zajkowski mgr Justyna Makowska

dr Klara Janglajew

dr Krzysztof Zajkowski mgr Justyna Makowska

dr Klara Janglajew

dr Krzysztof

Zajkowski

mgr Justyna

Makowska

mgr Urszula

Ostaszewska

dr Klara Janglajew

dr Krzysztof

Zajkowski

mgr Justyna

Makowska

mgr Urszula

Ostaszewska

endBartosz Kosma Kwa±niewski 14 stycznia 2010 Analiza Funkcjonalna (prolegomena i inwitacja)

dr Klara Janglajew

dr Krzysztof

Zajkowski

mgr Justyna

Makowska

mgr Urszula

Ostaszewska

endBartosz Kosma Kwa±niewski 14 stycznia 2010 Analiza Funkcjonalna (prolegomena i inwitacja)

Analiza Funkcjonalna w encyklopedii

Analiza funkcjonalna, dziaª matematykipowstaªy w wyniku poª¡czenia metodanalizy mat., topologii i algebry

Analiza Matematyczna

Topologia + Algebra+

Analiza Funkcjonalna

ujmuje jednolicie zagadnienia z wielu ró»nych dziedzin:

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji, algebry liniowej,funkcji rzeczywistych,zyki mat.,teorii grup i in.

Analiza funkcjonalna, dziaª matematykipowstaªy w wyniku poª¡czenia metod

analizy mat., topologii i algebry

Analiza funkcjonalna, dziaª matematykipowstaªy w wyniku poª¡czenia metodanalizy mat.,

topologii i algebry

Analiza funkcjonalna, dziaª matematykipowstaªy w wyniku poª¡czenia metodanalizy mat., topologii

i algebry

Topologia

+ Algebra+

Topologia + Algebra

równa« caªkowych,

rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji, algebry liniowej,funkcji rzeczywistych,zyki mat.,teorii grup i in.

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego,

równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji, algebry liniowej,funkcji rzeczywistych,zyki mat.,teorii grup i in.

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych,

teorii aproksymacji, algebry liniowej,funkcji rzeczywistych,zyki mat.,teorii grup i in.

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji,

algebry liniowej,funkcji rzeczywistych,zyki mat.,teorii grup i in.

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji, algebry liniowej,

funkcji rzeczywistych,zyki mat.,teorii grup i in.

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji, algebry liniowej,funkcji rzeczywistych,

zyki mat.,teorii grup i in.

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji, algebry liniowej,funkcji rzeczywistych,zyki mat.,

teorii grup i in.

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji, algebry liniowej,funkcji rzeczywistych,zyki mat.,teorii grup

równa« caªkowych, rachunku wariacyjnego, równa«ró»niczkowych, teorii aproksymacji, algebry liniowej,funkcji rzeczywistych, zyki mat., teorii grup i in.

A. f. powstaªa na pocz. XX w.; du»e zasªugi w jej rozwojupoªo»yli matematycy pol.: S. Banach (uwa»any za twórc¦a.f), H. Steinhaus, S. Mazur, W. Orlicz, J. Schauder ...

A. f. powstaªa na pocz. XX w.;

du»e zasªugi w jej rozwojupoªo»yli matematycy pol.: S. Banach (uwa»any za twórc¦a.f), H. Steinhaus, S. Mazur, W. Orlicz, J. Schauder ...

A. f. powstaªa na pocz. XX w.; du»e zasªugi w jej rozwojupoªo»yli matematycy pol.:

S. Banach (uwa»any za twórc¦a.f), H. Steinhaus, S. Mazur, W. Orlicz, J. Schauder ...

A. f. powstaªa na pocz. XX w.; du»e zasªugi w jej rozwojupoªo»yli matematycy pol.: S. Banach (uwa»any za twórc¦a.f),

H. Steinhaus, S. Mazur, W. Orlicz, J. Schauder ...

A. f. powstaªa na pocz. XX w.; du»e zasªugi w jej rozwojupoªo»yli matematycy pol.: S. Banach (uwa»any za twórc¦a.f), H. Steinhaus,

S. Mazur, W. Orlicz, J. Schauder ...

A. f. powstaªa na pocz. XX w.; du»e zasªugi w jej rozwojupoªo»yli matematycy pol.: S. Banach (uwa»any za twórc¦a.f), H. Steinhaus, S. Mazur,

W. Orlicz, J. Schauder ...

A. f. powstaªa na pocz. XX w.; du»e zasªugi w jej rozwojupoªo»yli matematycy pol.: S. Banach (uwa»any za twórc¦a.f), H. Steinhaus, S. Mazur, W. Orlicz,

J. Schauder ...

A. f. powstaªa na pocz. XX w.; du»e zasªugi w jej rozwojupoªo»yli matematycy pol.: S. Banach (uwa»any za twórc¦a.f), H. Steinhaus, S. Mazur, W. Orlicz, J. Schauder ...

W encyklopedycznym skrócie

1) obejmuje wiele dziaªów matematyki

2) jest dziedzin¡ stosunkowo mªod¡

3) jej podwaliny stworzyli matematycy polscy

Analiza Funkcjonalna - etymologia

ANALIZA FUNKCJONALNA

GENEZA NAZWY

Cz¦sta interpretacja: A. f. to analiza przestrzeni funkcyjnych,zawieraj¡ce te dziaªy matematyki, które badaj¡ funkcje.

ANALIZA FUNKCJONALNAGENEZA NAZWY

Nazwa analiza funkcjonalna pochodzi od sªowa funkcjonaª

które z kolei pochodzi z rachunku wariacyjnego, gdzie oznacza

funkcj¦ liczbow¡, której argument jest funkcj¡, np.

J(f ) =

L(x , f (x), f ′(x)) dx

gdzie L(x , y , z) jest ustalon¡ funkcj¡.

Przykªad:Je±li L(x , y , z) =

√1 + z2, to

J(f ) jest dªugo±ci¡ krzywej AB

Nazwa analiza funkcjonalna pochodzi od sªowa funkcjonaª,

które z kolei pochodzi z rachunku wariacyjnego

, gdzie oznacza

J(f ) =

L(x , f (x), f ′(x)) dx

√1 + z2, to

funkcj¦ liczbow¡, której argument jest funkcj¡

J(f ) =

L(x , f (x), f ′(x)) dx

√1 + z2, to

J(f ) =

L(x , f (x), f ′(x)) dx

√1 + z2, to

J(f ) =

L(x , f (x), f ′(x)) dx

√1 + z2,

toJ(f ) jest dªugo±ci¡ krzywej AB

J(f ) =

L(x , f (x), f ′(x)) dx

√1 + z2, to

J(f ) =

L(x , f (x), f ′(x)) dx

√1 + z2, to

Zagadnienie brachistochrony (1696)

Denicja i geneza

Denicja.

Analiza funkcjonalna jest dziaªem analizy, który badaodwzorowania (funkcjonaªy, operatory) A : Ω→ F , gdzieΩ ⊂ E , a E i F s¡ przestrzeniami liniowo-topologicznymi.

Denicja i geneza

Denicja.Analiza funkcjonalna jest dziaªem analizy

, który badaodwzorowania (funkcjonaªy, operatory) A : Ω→ F , gdzieΩ ⊂ E , a E i F s¡ przestrzeniami liniowo-topologicznymi.

Denicja i geneza

Denicja.Analiza funkcjonalna jest dziaªem analizy, który bada

odwzorowania (funkcjonaªy, operatory) A : Ω→ F , gdzieΩ ⊂ E , a E i F s¡ przestrzeniami liniowo-topologicznymi.

Denicja i geneza

Denicja.Analiza funkcjonalna jest dziaªem analizy, który badaodwzorowania (funkcjonaªy, operatory) A : Ω→ F

, gdzieΩ ⊂ E , a E i F s¡ przestrzeniami liniowo-topologicznymi.

Denicja i geneza

Denicja.Analiza funkcjonalna jest dziaªem analizy, który badaodwzorowania (funkcjonaªy, operatory) A : Ω→ F , gdzieΩ ⊂ E , a E i F s¡ przestrzeniami liniowo-topologicznymi.

Denicja

Najwa»niejsze operatory liniowe w analizie

1 Operacja caªkowania

(Af )(x) =

K (x , y)f (y) dy

Vito Volterra2 Operacja ró»niczkowania

(Af )(x) = f ′(x), (Af )(x) =n∑

ak(x)f (k)(x)

3 Operacja zamiany zmiennych

(Af )(x) = f (α(x))

, (Af )(x) = a(x)f (α(x))Wa»ony op. kompozycji

Denicja

(Af )(x) =

K (x , y)f (y) dy

(Af )(x) = f ′(x), (Af )(x) =n∑

ak(x)f (k)(x)

(Af )(x) = f (α(x))

Denicja

(Af )(x) =

K (x , y)f (y) dy

Vito Volterra

2 Operacja ró»niczkowania

(Af )(x) = f ′(x)

, (Af )(x) =n∑

ak(x)f (k)(x)

(Af )(x) = f (α(x))

Denicja

(Af )(x) =

K (x , y)f (y) dy

Vito Volterra

(Af )(x) = f ′(x), (Af )(x) =n∑

ak(x)f (k)(x)

(Af )(x) = f (α(x))

Denicja

(Af )(x) =

K (x , y)f (y) dy

Vito Volterra

(Af )(x) = f ′(x), (Af )(x) =n∑

ak(x)f (k)(x)

(Af )(x) = f (α(x))

Denicja

(Af )(x) =

K (x , y)f (y) dy

Vito Volterra

(Af )(x) = f ′(x), (Af )(x) =n∑

ak(x)f (k)(x)

(Af )(x) = f (α(x)), (Af )(x) = a(x)f (α(x))

Wa»ony op. kompozycji

Denicja

(Af )(x) =

K (x , y)f (y) dy

Vito Volterra

(Af )(x) = f ′(x), (Af )(x) =n∑

ak(x)f (k)(x)

(Af )(x) = f (α(x)), (Af )(x) = a(x)f (α(x))Wa»ony op. kompozycji

Denicja

(Af )(x) =

K (x , y)f (y) dy

(Af )(x) = f ′(x), (Af )(x) =n∑

ak(x)f (k)(x)

(Af )(x) = f (α(x)), (Af )(x) = a(x)f (α(x))Wa»ony op. kompozycji

Denicja i geneza

Volterra rozwa»aª równanie

, gdzie K i f s¡ dane, a ϕ szukane:

K (x , y)ϕ(y) dy = f (x), x ∈ [a, b],

Dziel¡c [a, b] na n cz¦±ci a < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b(δ = |xi − xi+1| = b−a

n) otrzymujemy ukªad rów. lin.

k11z1 = b1k21z1 + k22z2 = b2......................................... .......kn1z1 + kn2z2 + ... + knnzn = bn

gdzie kij = δ · K (xi , xj), zj = ϕ(xj) oraz bi = f (xi).

Zasadnicze pytanie

Co oznacza n→∞ ???

Denicja i geneza

Volterra rozwa»aª równanie, gdzie K i f s¡ dane, a ϕ szukane:∫ x

K (x , y)ϕ(y) dy = f (x), x ∈ [a, b],

Zasadnicze pytanie

Denicja i geneza

K (x , y)ϕ(y) dy = f (x), x ∈ [a, b],

Dziel¡c [a, b] na n cz¦±ci a < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b

(δ = |xi − xi+1| = b−an) otrzymujemy ukªad rów. lin.

Zasadnicze pytanie

Denicja i geneza

K (x , y)ϕ(y) dy = f (x), x ∈ [a, b],

otrzymujemy ukªad rów. lin.k11z1 = b1k21z1 + k22z2 = b2......................................... .......kn1z1 + kn2z2 + ... + knnzn = bn

Zasadnicze pytanie

Denicja i geneza

K (x , y)ϕ(y) dy = f (x), x ∈ [a, b],

Zasadnicze pytanie

Denicja i geneza

K (x , y)ϕ(y) dy = f (x), x ∈ [a, b],

Zasadnicze pytanie

Denicja i geneza

K (x , y)ϕ(y) dy = f (x), x ∈ [a, b],

Zasadnicze pytanie

Denicja i geneza

K (x , y)ϕ(y) dy = f (x), x ∈ [a, b],

Zasadnicze pytanie

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

1 V. Volterra, I. Fredholm (1896-1903) Rów. caªkowe2 D. Hilbert (1906) Formy dwuliniowe

+ H. Lebesgue + M. Frechet ⇒ F. Riesz prz. Lp, `p

3 Stefan Banach (1920,1922) przestrzenie Banacha

4 S. Banach, H.Hahn (1927,1929) Tw. Hahna-Banacha

E. Helly

(1912) Tw. Hahna-Banacha C[a,b]

(1921) podprzestrzenie CN

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

1 V. Volterra, I. Fredholm (1896-1903)

Rów. caªkowe2 D. Hilbert (1906) Formy dwuliniowe

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

1 V. Volterra, I. Fredholm (1896-1903) Rów. caªkowe

2 D. Hilbert (1906) Formy dwuliniowe+ H. Lebesgue + M. Frechet ⇒ F. Riesz prz. Lp, `p

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

1 V. Volterra, I. Fredholm (1896-1903) Rów. caªkowe2 D. Hilbert (1906)

Formy dwuliniowe+ H. Lebesgue + M. Frechet ⇒ F. Riesz prz. Lp, `p

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

+ H. Lebesgue

+ M. Frechet ⇒ F. Riesz prz. Lp, `p

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

+ H. Lebesgue + M. Frechet ⇒

F. Riesz prz. Lp, `p

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

3 Stefan Banach (1920,1922)

przestrzenie Banacha

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

4 S. Banach, H.Hahn (1927,1929)

Tw. Hahna-Banacha

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

E. Helly

Denicja i geneza

Punkty zwrotne

E. Helly

Stefan Banach

urodzony: 1982, Krakówrodzice: Katarzyna Banach, Stefan Greczek

1910: Zdaje matur¦. Pracuje w ksi¦garni.Studiuje matematyk¦ jako samouk

1910-1914: Politech. Lwowska (póªdyplom)

1914: Wraca do Krakowa (wojna)

1916: Spotyka na krakowskich Plantach Hugona Steinhausa1920: Asystentura na Politechnice Lwowskiej

Doktorat na Uniwersytecie Lwowskim1922: Habilitacja (Uniw. we Lwowie)1932: Theorie des operations lineaires1941: Karmiciel wszy1945: Umiera na raka pªuc (Lwów)

Stefan Banach

urodzony: 1982, Kraków

rodzice: Katarzyna Banach, Stefan Greczek

Stefan Banach

1910: Zdaje matur¦. Pracuje w ksi¦garni.

Studiuje matematyk¦ jako samouk

Stefan Banach

1916: Spotyka na krakowskich Plantach Hugona Steinhausa

1920: Asystentura na Politechnice LwowskiejDoktorat na Uniwersytecie Lwowskim

1922: Habilitacja (Uniw. we Lwowie)1932: Theorie des operations lineaires1941: Karmiciel wszy1945: Umiera na raka pªuc (Lwów)

Stefan Banach

1916: Spotyka na krakowskich Plantach Hugona Steinhausa

1920: Asystentura na Politechnice LwowskiejDoktorat na Uniwersytecie Lwowskim

Stefan Banach

Doktorat na Uniwersytecie Lwowskim

Stefan Banach

Doktorat na Uniwersytecie Lwowskim1922: Habilitacja (Uniw. we Lwowie)

1932: Theorie des operations lineaires1941: Karmiciel wszy1945: Umiera na raka pªuc (Lwów)

Stefan Banach

Doktorat na Uniwersytecie Lwowskim1922: Habilitacja (Uniw. we Lwowie)1932: Theorie des operations lineaires

1941: Karmiciel wszy1945: Umiera na raka pªuc (Lwów)

Stefan Banach

Doktorat na Uniwersytecie Lwowskim1922: Habilitacja (Uniw. we Lwowie)1932: Theorie des operations lineaires1941: Karmiciel wszy

1945: Umiera na raka pªuc (Lwów)

Stefan Banach

Ksi¦ga szkocka

Kawiarnia szkocka, Lwów

S. MazurPar Enoi g¦±(1972)

S.Banach S. Mazur S. Ulam J. Schauder W. Orlicz H. Steinhaus

Ksi¦ga szkocka

S.Banach

S. Mazur S. Ulam J. Schauder W. Orlicz H. Steinhaus

Ksi¦ga szkocka

S.Banach S. Mazur

S. Ulam J. Schauder W. Orlicz H. Steinhaus

Ksi¦ga szkocka

S.Banach S. Mazur S. Ulam

J. Schauder W. Orlicz H. Steinhaus

Ksi¦ga szkocka

S.Banach S. Mazur S. Ulam J. Schauder

W. Orlicz H. Steinhaus

Ksi¦ga szkocka

S.Banach S. Mazur S. Ulam J. Schauder W. Orlicz

H. Steinhaus

Ksi¦ga szkocka

S. Mazur

Par Enoi g¦±(1972)

Ksi¦ga szkocka

S. MazurPar Eno

i g¦±(1972)

Ksi¦ga szkocka

S. MazurPar Enoi g¦±

(1972)

Ksi¦ga szkocka

John von Neumann

urodzony: 1903, Budapesztimie: János von Neumann

1921-1926: Studiuje chemi¦

w Berlinie.

Uprawia matematyk¦

jako samouk

1926: doktorat z matematyki

1926-1927: Göttingen studia u D. Hilberta

1930: Princeton (USA)1932: Mathematische Grundlagen

der Quantenmechanik

1943: projekt Manhattan (Los Alamos)1944: Theory of Games and Economic Behaviour

1945: First Draft of a Report on the EDVAC

1955: Umiera na raka (Waszyngton)

John von Neumann

urodzony: 1903, Budapeszt

imie: János von Neumann

w Berlinie.

Uprawia matematyk¦

jako samouk

der Quantenmechanik

John von Neumann

w Berlinie.

Uprawia matematyk¦

jako samouk

der Quantenmechanik

John von Neumann

1921-1926: Studiuje chemi¦ w Berlinie.

Uprawia matematyk¦

jako samouk

der Quantenmechanik

John von Neumann

1921-1926: Studiuje chemi¦ w Berlinie.Uprawia matematyk¦ jako samouk

der Quantenmechanik

John von Neumann

der Quantenmechanik

John von Neumann

der Quantenmechanik

John von Neumann

1930: Princeton (USA)

1932: Mathematische Grundlagen

der Quantenmechanik

John von Neumann

der Quantenmechanik

John von Neumann

der Quantenmechanik

1943: projekt Manhattan (Los Alamos)

1944: Theory of Games and Economic Behaviour

John von Neumann

der Quantenmechanik

1943: projekt Manhattan (Los Alamos)

1944: Theory of Games and Economic Behaviour

John von Neumann

der Quantenmechanik

John von Neumann

der Quantenmechanik

John von Neumann

w Berlinie.

Uprawia matematyk¦

jako samouk

der Quantenmechanik

John von Neumann

w Berlinie.

Uprawia matematyk¦

jako samouk

der Quantenmechanik

John von Neumann

w Berlinie.

Uprawia matematyk¦

jako samouk

der Quantenmechanik

Przestrze« Banacha

Przestrze« Banacha - przykªady

1) Przestrze« sko«czenie wymiarowa E .

dimE = m =⇒ E ∼= Rm.

Niech x = (x1, x2, ..., xm) ∈ E = Rm.

z norm¡ taksówkow¡: ‖x‖ =m∑n=1

z norm¡ euklidesow¡: ‖x‖ = (m∑n=1

|xn|2)12 .

z norm¡ max: ‖x‖ = max1≤n≤m |xn|.

Twierdzenie. Wszystkie normy na E = Rm s¡ równowa»ne.

Niech x = (x1, x2, ..., xm) ∈ E = Rm.

|xn|2)12 .

Niech x = (x1, x2, ..., xm) ∈ E = Rm.

z norm¡ taksówkow¡:

‖x‖ =m∑n=1

|xn|2)12 .

Niech x = (x1, x2, ..., xm) ∈ E = Rm.

z norm¡ euklidesow¡:

‖x‖ = (m∑n=1

|xn|2)12 .

Niech x = (x1, x2, ..., xm) ∈ E = Rm.

|xn|2)12 .

z norm¡ max:

‖x‖ = max1≤n≤m |xn|.

Niech x = (x1, x2, ..., xm) ∈ E = Rm.

|xn|2)12 .

Niech x = (x1, x2, ..., xm) ∈ E = Rm.

|xn|2)12 .

2) Przestrze« ci¡gów bezwgl¦dnie zbie»nych

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

3) Przestrze« ci¡gów ograniczonych

`∞ = (xn)∞n=1 : ∃M ∀n∈N |xn| < Mz norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ = supn∈N |xn|.

4) Przestrze« ci¡gów zbie»nych

c = (xn)∞n=1 : granica limn→∞

xn istnieje

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ = supn∈N |xn|.

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡:

‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

`∞ = (xn)∞n=1 : ∃M ∀n∈N |xn| < M

xn istnieje

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

`∞ = (xn)∞n=1 : ∃M ∀n∈N |xn| < Mz norm¡:

‖(xn)∞n=1‖ = supn∈N |xn|.

xn istnieje

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

z norm¡:

‖(xn)∞n=1‖ = supn∈N |xn|.

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ = supn∈N |xn|.Bartosz Kosma Kwa±niewski 14 stycznia 2010 Analiza Funkcjonalna (prolegomena i inwitacja)

`1 = (xn)∞n=1 :∞∑n=1

|xn| <∞

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ =∞∑n=1

xn istnieje

z norm¡: ‖(xn)∞n=1‖ = supn∈N |xn|.Bartosz Kosma Kwa±niewski 14 stycznia 2010 Analiza Funkcjonalna (prolegomena i inwitacja)

5) Przestrze« funkcji ci¡gªych na odcinku

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

6) Przestrze« funkcji klasy C 1

C (1)[0, 1] = f : [0, 1]→ R : pochodna f ′ jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|+ maxt∈[0,1] |f ′(t)|.

7) Przestrze« funkcji caªkowalnych

L[0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest caªkowalna

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡:

‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡:

‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|+ maxt∈[0,1] |f ′(t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|

+ maxt∈[0,1] |f ′(t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡:

‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

C [0, 1] = f : [0, 1]→ R : f jest ci¡gªa

z norm¡: ‖f ‖ = maxt∈[0,1] |f (t)|.

z norm¡: ‖f ‖ =∫ 1

0|f (t)|dt.

Historia i powi¡zania Analizy Funkcjonalnej

Dziaªanie realizowane w ramach projektuAbsolwent informatyki lub matematyki specjalist¡ na rynku pracy

DZIKUJ !!!

Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego

Analiza Funkcjonalna (prolegomena i inwitacja)

Documents

Transcript of Analiza Funkcjonalna (prolegomena i inwitacja)

Style percepcyjne, sprawność intelektualna a funkcjonalna ...

Filologia wina prolegomena...1 dr hab. Magdalena Graf, mgr Małgorzata Cieliczko Wydział Filologii polskiej i Klasycznej Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Filologia wina

Analiza Matematyczna · 2008. 10. 20. · Rachunek różniczkowy i całkowy, Isaak Newton i Gottfried Wilhelm Leibnitz, XVII w. • Analiza funkcjonalna, funkcje analityczne, geometria

Kierunek: Biotechnologia Morfologia Funkcjonalna Roślin ...wbib.uwm.edu.pl/sites/default/files/uploads/mfr-bt2018z-w6.pdf · 2018-11-29 1 Kierunek: Biotechnologia Morfologia Funkcjonalna

VII Konferencja Doktorantów - Collegium Medicumdoktorancka.cm-uj.krakow.pl/program/Program_KD2017.pdf · Sprawność funkcjonalna u osób z łagodnymi zaburzeniami funkcji poznawczych.

Swada i milczenie - wydawnictwo.us.edu.pl · Maria Barłowska Swada i milczenie Zbiory oratorskie XVII—XVIII wieku — prolegomena filologiczne ... Krasicka Urszula 19 Krasińscy

Wilhelm Füger - Muzeum Historii Polskibazhum.muzhp.pl/media//files/Pamietnik_Literacki...Wilhelm Füger Uwagi o strukturze głębokiej tekstów narracyjnych : prolegomena do generatywnej

Rozwój i stymulacja niemowlęcia w zakresie funkcji ruchowo ... · Anatomia funkcjonalna kończyny górnej i ręki w zarysie. 2. Kinezjologia (analiza ruchów) kończyny górnej

Sokal w okresie średniowiecza. Prolegomena do badań · pozyskać także analizując dokumenty archiwalne (po łacinie) zebrane przez Irenę Sułkowską-Kuraś oraz ... wymienione

Erazm Majewski - Nauka o Cywilizacji, T.1 Prolegomena i Podstawy Do Filozofii Dziejów i Socyologii

Wykłady Anatomia Funkcjonalna - test.awf-gorzow.edu.pl · Anatomia (grec. anatemnein= rozcinać, rozczłonkowywać) Przedmiotem anatomii: człowiek, zwierzęta, rośliny, Anatomia

Prolegomena do teologii gier wideo. Ku teologicznej ...

Diagnoza funkcjonalna szansą na akceptację ucznia wśród ...

PRZEWODNIK DYDAKTYCZNY - 2wl.wum.edu.pl2wl.wum.edu.pl/sites/2wl.wum.edu.pl/files/fizjoterapia...19. diagnostyka funkcjonalna i programowanie rehabilitacji w pmeumonologii .....22 20.

OSW Diagnostyka Funkcjonalna Człowieka a Oponowicz a Ronikier Str000-EnD 300dpi

Diagnoza funkcjonalna bazą do zaplanowania

Żywność funkcjonalna na przykładzie przetworów zbożowych

Analiza Funkcjonalna Osiedli Wrocławia

pt. Program rozwojowy Wyższej Szkoły Zarządzania - wsz.edu.pl · uszczegółowienie koncepcji wdrożenia (analiza funkcjonalna i strukturalna polegająca m.in. na określeniu zakresu

Żywność funkcjonalna 2012