Post on 27-Feb-2019
Algebra liniowa Literatura
W.Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematycznaw zadaniach cz1., PWN, Warszawa 1998r.T.Jurlewicz, Z.Skoczylas, Algebra liniowa 1, GIS,Wrocław 2005r.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 2 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 1Macierzą wymiaru m× n o współczynnikachrzeczywistych (zespolonych) nazywamy funkcję, którakażdej parze (i, j) liczb naturalnych(i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, ..., n) przyporządkowuje liczbęrzeczywistą (zespoloną). Mamy:
[ai,j]m×n : {1, 2, ...,m} × {1, 2, ..., n} → R.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 3 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 1Macierzą wymiaru m× n . . .
A = Am×n = [ai,j]m×n =
a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n... ... ...am,1 am,2 . . . am,n
.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 3 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 2Macierz Am×n nazywamy1 kwadratową, jeżeli m=n,2
3
4
5
6
7
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 4 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 2Macierz kwadratową An×n nazywamy1
2 diagonalną (przekątniową), jeżeli ai,j = 0 dla i 6= j,3
4
5
6
7
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 4 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 2Macierz kwadratową An×n nazywamy1
2
3 górnotrójkątną, jeżeli ai,j = 0 dla i > j,4
5
6
7
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 4 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 2Macierz kwadratową An×n nazywamy1
2
3
4 dolnotrójkątną, jeżeli ai,j = 0 dla i < j,5
6
7
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 4 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 2Macierz kwadratową An×n nazywamy1
2
3
4
5 jednostkową, jeżeli jest diagonalną oraz ai,i = 1 dlai = 1, 2, . . . , n, ozn. In = I,
6
7
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 4 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 2Macierz kwadratową An×n nazywamy1
2
3
4
5
6 zerową, jeżeli ai,j = 0, dla wszystkichi, j = 1, 2, . . . , n, ozn. On = O.
7
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 4 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 2Macierz kwadratową An×n nazywamy1
2
3
4
5
6
7 macierzą stopnia n.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 4 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 3Niech A = Am×n = [ai,j]m×n będzie macierzą wymiarum× n, macierzą transponowaną do A, nazywamymacierz AT = ATn×m = [aj,i]n×m.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 5 / 24
Algebra liniowa Macierz
Definicja 4Niech A = [ai,j]m×n i B = [bi,j]m×n będą macierzamitego samego wymiaru m× n. Sumą macierzy A+Bnazywamy taką macierz C = [ci,j]m×n, że
ci,j = ai,j + bi,j,
dla i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 6 / 24
Algebra liniowa Iloczyn macierzy
Definicja 5Iloczynem c ·A macierzy A = [ai,j]m×n przez skalarc ∈ R nazywamy macierz [c · ai,j]m×n
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 7 / 24
Algebra liniowa Iloczyn macierzy
Definicja 6Niech Am×n, i Bn×p będą macierzami. Iloczynemmacierzy A ·B nazywamy macierz Cm×p = [ci,j]m×ptaką, że
ci,j =n∑k=1ai,k · bk,j,
dla i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , p.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 8 / 24
Algebra liniowa Iloczyn macierzy
Definicja 7
Niech A będzie macierzą kwadratową. Macierz A−1
spełniającą warunki
A ·A−1 = A−1 ·A = I
nazywamy macierzą odwrotną do A.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 9 / 24
Algebra liniowa Iloczyn macierzy
Definicja 8Operacją elementarną na wierszach (kolumnach)macierzy nazywamy:1 przestawienie dowolnych dwóch wierszy (kolumn),2 pomnożenie wiersza (kolumny) przez stałą różną odzera,
3 dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny)do innego wiersza (kolumny).
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 10 / 24
Algebra liniowa Iloczyn macierzy
Definicja 9Niech An×n. Minorem Mi,j macierzy A nazywamywyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przezskreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Definicja 10Dopełnieniem algebraicznym Ai,j elementu ai,j macierzyA nazywamy liczbę Ai,j = (−1)i+j ·Mi,j.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 11 / 24
Algebra liniowa Wyznacznik macierzy
Definicja 11 (Wyznacznika)1 Jeżeli A = [a]1×1, to wyznacznikiem macierzy Ajest liczba a i
detA = a lub |A| = a.
2
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 12 / 24
Algebra liniowa Wyznacznik macierzy
Definicja 11 (Wyznacznika)1
2 Jeżeli
An×n =
a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n... ... ...an,1 an,2 . . . an,n
, n > 1,
todetA =
n∑k=1a1,k · A1,k,
gdzie A1,k jest dopełnieniem algebraicznymelementu a1,k macierzy A.Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 12 / 24
Algebra liniowa Wyznacznik macierzy
Twierdzenie 1 (Laplace’a)Niech An×n będzie macierzą. Dla dowolnego 1 ¬ i ¬ n:rozwinięcie Laplace’a według i-tego wiersza
detA =n∑k=1ai,kAi,k,
rozwinięcie Laplace’a według j-tej kolumny
detA =n∑k=1ak,jAk,j.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 13 / 24
Algebra liniowa Wyznacznik macierzy
Twierdzenie 2 (Własności wyznacznika)1 Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmieniaznak jej wyznacznika.
2 Jeżeli dowolny wiersz (kolumnę) podzielimy przezliczbę a to wyznacznik tak powstałej macierzybędzie a razy mniejszy od wyznacznika macierzypierwotnej.
3 Wartość wyznacznika nie zmieni się, jeżeli dodowolnego wiersza (kolumny) dodamy dowolnąwielokrotność innego wiersze (kolumny).
4
5
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 14 / 24
Algebra liniowa Wyznacznik macierzy
Twierdzenie 2 (Własności wyznacznika)1
2
3
4 Wyznacznik macierzy diagonalnej (górno- lubdolnotrójkątnej) jest iloczynem elementówprzekątnej.
5 Jeżeli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożonyz samych zer lub dwa wiersze (kolumny) sąproporcionalne, to detA = 0.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 14 / 24
Algebra liniowa Wyznacznik macierzy
Twierdzenie 3 (Cauchy’ego)Dla dowolnych macierzy kwadratowych A i B tegosamego stopnia
det(A ·B) = detA · detB.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 15 / 24
Algebra liniowa Wyznacznik macierzy
Definicja 12Macierz A nazywamy nieosobliwą gdy detA 6= 0.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 16 / 24
Algebra liniowa Wyznacznik macierzy
Macierz odwrotna cd.
A−1 =1detA
A1,1 A1,2 . . . A1,nA2,1 A2,2 . . . A2,n
. . .An,1 An,2 . . . An,n
T
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 17 / 24
Algebra liniowa Rząd macierzy
Definicja 13 (Rzędu macierzy 1)Rząd macierzy jest to największy możliwy wymiarniezerowego minora danej macierzy.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 18 / 24
Algebra liniowa Rząd macierzy
Definicja 13 (Rząd macierzy 2)Jeżeli macierz A doprowadzimy przy pomocy operacjielementarnych na wierszach lub kolumnach do takiejpostaci, że ai,j = 0 dla i 6= j natomiast ai,i będą równe 1lub 0 wówczas rząd macierzy jest równy sumieotrzymanych jedynek.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 18 / 24
Algebra liniowa Układy równań liniowych
Definicja 14Niech n ∈ N. Równanie postaci
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b
nazywamy równaniem liniowym o n niewiadomychx1, x2, . . . , xn. Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) rozwiązaniemtego równania, jeśli
a1s1 + a2s2 + · · ·+ ansn = b.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 19 / 24
Algebra liniowa Układy równań liniowych
Definicja 15Układem m-równań o n-niewiadomych nazywamy układ
a1,1x1 + a1,2x2 + · · ·+ a1,nxn = b1,a2,1x1 + a2,2x2 + · · ·+ a2,nxn = b2,
. . . . . .
am,1x1 + am,2x2 + · · ·+ am,nxn = bm.
(1)
Ciąg n liczb (s1, s2, . . . , sn) nazywa się rozwiązaniemukładu, jeśli jest rozwiązaniem każdego równania tegoukładu. Układ, który nie ma rozwiązań nazywamysprzecznym.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 20 / 24
Algebra liniowa Układy równań liniowych
Definicja 16Macierz A = [ai,j]m×n nazywamy macierzą układu (1),natomiast detA – jego wyznacznikiem.
Definicja 17Układ (1) n równań o n niewiadomych nazywa sięukładem Cramera, jeśli detA = det[ai,j]n×n 6= 0.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 21 / 24
Algebra liniowa Układy równań liniowych
Twierdzenie 4 (Cramera)Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest onedane wzorem:
xi =detAidetA
gdzie i = 1, 2, . . . , n,
natomiast macierz Ai powstaje z macierzy A przezzastąpienie i-tej kolumny kolumną [b1b2 . . . bn]T .
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 22 / 24
Algebra liniowa Układy równań liniowych
Twierdzenie 5 (Kroneckera–Capellego)
Układ (1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
R(A) = R(B).
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 23 / 24
Algebra liniowa Układy równań liniowych
Twierdzenie 6Niech dany będzie układ równań liniowych (1) o nniewiadomych, gdzie R(A) = r, R([A|B]) = s wówczaszachodzi jeden z przypadków:r = s = n rozwiązanie układu istnieje i jest wyznaczone
jednoznacznie,r = s < n układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
(n− r parametrów),r 6= s układ jest sprzeczny.
Piotr Rejmenciak Algebra liniowa 21 marca 2018 24 / 24