Post on 27-Feb-2019
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
1
ROacuteWNANIE ROacuteśNICZKOWE LINIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach Rk Lk Ck w k - tej gałęzi przy danych wymuszeniach oznaczona przez x badana w stanie nieustalonym spełnia roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe zwyczajne niejednorodne o wspoacutełczynnikach stałych mające postać
n n-1 n-2
n-1 n-2 1 0 nn n-1 n-2
d d d d( ) 1
d d d d
x x x x +a + a ++a + a x = f t a
t t t t= (1)
Wyraz wolny f(t) jest związany z wymuszeniami ktoacuterymi są np napięcia źroacutedłowe lub prądy źroacutedłowe ZaleŜnie od tego czy wolny wyraz występuje czy teŜ nie rozroacuteŜniamy dwa przypadki przypadek ogoacutelny w ktoacuterym wyraz wolny znajduje się pod działaniem
wymuszenia zewnętrznego nie będącego toŜsamościowo roacutewnym zeru i układowi temu jest przyporządkowane pełne roacutewnanie
przypadek szczegoacutełowy w ktoacuterym układ jest w stanie swobodnym (nie działa na niego wymuszenie zewnętrzne ) prawa strona roacutewnania jest woacutewczas roacutewna zeru i mamy roacutewnanie roacuteŜniczkowe zwyczajne
W kaŜdym z tych przypadkoacutew przy rozwiązywaniu roacutewnania rzędu n występuje w rozwiązaniu n stałych całkowania ktoacutere wyznaczamy z n danych warunkoacutew początkowych lub warunkoacutew brzegowych Rozwiązanie roacutewnania roacuteŜniczkowego ktoacutere stanowi odpowiedź X układu w stanie nieustalonym składa się z dwoacutech członoacutew (zwanych składowymi) Xw - składowej wymuszonej ktoacutera stanowi całkę szczegoacutelną roacutewnania
roacuteŜniczkowego niejednorodnego Xs - składowej swobodnej ktoacutera stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
jednorodnego Odpowiedź X układu w stanie nieustalonym jest sumą algebraiczną obu wyŜej wymienionych składowych
X = Xw + Xs
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
2
Układ n roacutewnafrac12frac12frac12frac12 roacuteŜniczkowych liniowych
Roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe rzędu n jest roacutewnowaŜne układowi n roacutewnafrac12 roacuteŜniczkowych liniowych pierwszego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych zawierających n zmiennych xk przy k = 1 2 n Układ ten napiszemy w postaci macierzowej
11 12 13 1 11 1
21 22 23 2 21 1
31 32 33 3 31 1
1 2 31 1
( )
( )d
( )d
( )
n
n
n
n n n nn n
a a a a f tx x
a a a a f tx x
= a a a a + f tx xt
a a a a f tx x
(2)
czyli kroacutetko d = + ( )d
tt
XA X F
Wektor X nazywamy wektorem stanu Dyskretyzacja czasu
11 1
d gdzie ( ) ( )
dk k k
k k k k k kt tt t
minusminus minus
minus= = + = =∆
X X XA X F X X F F (3)
Rozwiązanie iteracyjne
( )
( )
1 0 0 0
1 1 1k k k k
t
tminus minus minus
= + ∆ +sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot
= + ∆ +
X X A X F
X X A X F
(4)
X0 ndash wektor warunkoacutew początkowych
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
3
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RL Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RL przy warunku początkowym zerowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili t = 0
Rys 1 Gałąź szeregowa RL pobudzana napięciem stałym U
Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U (czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie i w sposoacuteb bezłukowy) Bilans napięć w oczku elementarnym daje roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe niejednorodne o wspoacutełczynnikach stałych
d ( )( ) ( ) ( )
dL
i tR i t + u t = R i t + L =U
tsdot sdot (5)
Składowa wymuszona prądu iw wynosi iw=U R Składowa swobodna jest rozwiązaniem roacutewnania uproszczonego
ss
d ( )( ) 0
d
i tR i t + L =
tsdot (6)
czyli
-s
s
d ( )d ln( ) ln(A) ( ) A e
( )
Rt
Ls s
i t R R = t i t i t
i t L Lminus = minus + = (7)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie warunku początkowego i(0) = 0
-
0
(0) (0) 0 A e AR
tL
s w
t
U Ui i i
R R=
= + = = + = minus (8)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
4
Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną stałą czasu określoną wzorem τ = L R zaleŜną tylko od parametroacutew badanej gałęzi indukcyjności L oraz rezystancji R
--( ) ( ) e 1 e
tRt
Lw s
U U Ui t i i t
R R Rτ
= + = minus = minus
(9)
Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŜoną przez L
- -d ( ) d( ) 1 e e
d d
R Rt t
L LL
i t Uu t L L U
t R t
= = minus =
(10)
Rys 2 Przebiegi napięć i prądoacutew w obwodzie szeregowym RL przy pobudzeniu stałym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
5
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0
Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U
W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością
d
dCu
i = Ct
(11)
Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem
d( )
dC
C C
uR i t u U RC u U
tsdot + = + = (12)
Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi
= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego
d0
dCs
Cs
uRC u
t+ = (14)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
6
Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1
dCs
Cs
ut
u RC= minus (15)
a po scałkowaniu otrzymujemy 1
-1ln ln A lub Ae
tRC
Cs Csu t uRC
= minus + = (16)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego
( )1
-
0 00 0
0
Ae At
RCC Cw Cs C Ct t
t
u u u U U U U= =
=
= + = + = = minus
(17)
Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi
1 1- -
00( ) ( )e 1 1 e
t tCRC RC
C Cw Cs C
Uu t u u U U U U
U
= + = + minus = minus minus
(18)
a prąd ładowania kondensatora
1-
0d1 e
d
tC C RC
u UUi = C
t R U = minus
(19)
Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC
Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
7
Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu
w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
8
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie
Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U
Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie
( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności
2
2
d dd
d d dC C
L L
u uiu L i = C u LC
t t t= = (21)
i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych
2
2
d d 1 1
d dC C
C
u uR + + u = U
t L t LC LC (22)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
2
Układ n roacutewnafrac12frac12frac12frac12 roacuteŜniczkowych liniowych
Roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe rzędu n jest roacutewnowaŜne układowi n roacutewnafrac12 roacuteŜniczkowych liniowych pierwszego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych zawierających n zmiennych xk przy k = 1 2 n Układ ten napiszemy w postaci macierzowej
11 12 13 1 11 1
21 22 23 2 21 1
31 32 33 3 31 1
1 2 31 1
( )
( )d
( )d
( )
n
n
n
n n n nn n
a a a a f tx x
a a a a f tx x
= a a a a + f tx xt
a a a a f tx x
(2)
czyli kroacutetko d = + ( )d
tt
XA X F
Wektor X nazywamy wektorem stanu Dyskretyzacja czasu
11 1
d gdzie ( ) ( )
dk k k
k k k k k kt tt t
minusminus minus
minus= = + = =∆
X X XA X F X X F F (3)
Rozwiązanie iteracyjne
( )
( )
1 0 0 0
1 1 1k k k k
t
tminus minus minus
= + ∆ +sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot
= + ∆ +
X X A X F
X X A X F
(4)
X0 ndash wektor warunkoacutew początkowych
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
3
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RL Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RL przy warunku początkowym zerowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili t = 0
Rys 1 Gałąź szeregowa RL pobudzana napięciem stałym U
Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U (czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie i w sposoacuteb bezłukowy) Bilans napięć w oczku elementarnym daje roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe niejednorodne o wspoacutełczynnikach stałych
d ( )( ) ( ) ( )
dL
i tR i t + u t = R i t + L =U
tsdot sdot (5)
Składowa wymuszona prądu iw wynosi iw=U R Składowa swobodna jest rozwiązaniem roacutewnania uproszczonego
ss
d ( )( ) 0
d
i tR i t + L =
tsdot (6)
czyli
-s
s
d ( )d ln( ) ln(A) ( ) A e
( )
Rt
Ls s
i t R R = t i t i t
i t L Lminus = minus + = (7)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie warunku początkowego i(0) = 0
-
0
(0) (0) 0 A e AR
tL
s w
t
U Ui i i
R R=
= + = = + = minus (8)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
4
Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną stałą czasu określoną wzorem τ = L R zaleŜną tylko od parametroacutew badanej gałęzi indukcyjności L oraz rezystancji R
--( ) ( ) e 1 e
tRt
Lw s
U U Ui t i i t
R R Rτ
= + = minus = minus
(9)
Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŜoną przez L
- -d ( ) d( ) 1 e e
d d
R Rt t
L LL
i t Uu t L L U
t R t
= = minus =
(10)
Rys 2 Przebiegi napięć i prądoacutew w obwodzie szeregowym RL przy pobudzeniu stałym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
5
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0
Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U
W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością
d
dCu
i = Ct
(11)
Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem
d( )
dC
C C
uR i t u U RC u U
tsdot + = + = (12)
Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi
= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego
d0
dCs
Cs
uRC u
t+ = (14)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
6
Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1
dCs
Cs
ut
u RC= minus (15)
a po scałkowaniu otrzymujemy 1
-1ln ln A lub Ae
tRC
Cs Csu t uRC
= minus + = (16)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego
( )1
-
0 00 0
0
Ae At
RCC Cw Cs C Ct t
t
u u u U U U U= =
=
= + = + = = minus
(17)
Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi
1 1- -
00( ) ( )e 1 1 e
t tCRC RC
C Cw Cs C
Uu t u u U U U U
U
= + = + minus = minus minus
(18)
a prąd ładowania kondensatora
1-
0d1 e
d
tC C RC
u UUi = C
t R U = minus
(19)
Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC
Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
7
Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu
w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
8
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie
Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U
Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie
( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności
2
2
d dd
d d dC C
L L
u uiu L i = C u LC
t t t= = (21)
i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych
2
2
d d 1 1
d dC C
C
u uR + + u = U
t L t LC LC (22)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
3
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RL Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RL przy warunku początkowym zerowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili t = 0
Rys 1 Gałąź szeregowa RL pobudzana napięciem stałym U
Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U (czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie i w sposoacuteb bezłukowy) Bilans napięć w oczku elementarnym daje roacutewnanie roacuteŜniczkowe liniowe niejednorodne o wspoacutełczynnikach stałych
d ( )( ) ( ) ( )
dL
i tR i t + u t = R i t + L =U
tsdot sdot (5)
Składowa wymuszona prądu iw wynosi iw=U R Składowa swobodna jest rozwiązaniem roacutewnania uproszczonego
ss
d ( )( ) 0
d
i tR i t + L =
tsdot (6)
czyli
-s
s
d ( )d ln( ) ln(A) ( ) A e
( )
Rt
Ls s
i t R R = t i t i t
i t L Lminus = minus + = (7)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie warunku początkowego i(0) = 0
-
0
(0) (0) 0 A e AR
tL
s w
t
U Ui i i
R R=
= + = = + = minus (8)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
4
Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną stałą czasu określoną wzorem τ = L R zaleŜną tylko od parametroacutew badanej gałęzi indukcyjności L oraz rezystancji R
--( ) ( ) e 1 e
tRt
Lw s
U U Ui t i i t
R R Rτ
= + = minus = minus
(9)
Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŜoną przez L
- -d ( ) d( ) 1 e e
d d
R Rt t
L LL
i t Uu t L L U
t R t
= = minus =
(10)
Rys 2 Przebiegi napięć i prądoacutew w obwodzie szeregowym RL przy pobudzeniu stałym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
5
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0
Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U
W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością
d
dCu
i = Ct
(11)
Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem
d( )
dC
C C
uR i t u U RC u U
tsdot + = + = (12)
Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi
= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego
d0
dCs
Cs
uRC u
t+ = (14)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
6
Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1
dCs
Cs
ut
u RC= minus (15)
a po scałkowaniu otrzymujemy 1
-1ln ln A lub Ae
tRC
Cs Csu t uRC
= minus + = (16)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego
( )1
-
0 00 0
0
Ae At
RCC Cw Cs C Ct t
t
u u u U U U U= =
=
= + = + = = minus
(17)
Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi
1 1- -
00( ) ( )e 1 1 e
t tCRC RC
C Cw Cs C
Uu t u u U U U U
U
= + = + minus = minus minus
(18)
a prąd ładowania kondensatora
1-
0d1 e
d
tC C RC
u UUi = C
t R U = minus
(19)
Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC
Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
7
Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu
w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
8
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie
Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U
Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie
( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności
2
2
d dd
d d dC C
L L
u uiu L i = C u LC
t t t= = (21)
i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych
2
2
d d 1 1
d dC C
C
u uR + + u = U
t L t LC LC (22)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
4
Wprowadzamy wielkość fizyczną zwaną stałą czasu określoną wzorem τ = L R zaleŜną tylko od parametroacutew badanej gałęzi indukcyjności L oraz rezystancji R
--( ) ( ) e 1 e
tRt
Lw s
U U Ui t i i t
R R Rτ
= + = minus = minus
(9)
Napięcie na cewce jest pochodną prądu pomnoŜoną przez L
- -d ( ) d( ) 1 e e
d d
R Rt t
L LL
i t Uu t L L U
t R t
= = minus =
(10)
Rys 2 Przebiegi napięć i prądoacutew w obwodzie szeregowym RL przy pobudzeniu stałym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
5
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0
Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U
W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością
d
dCu
i = Ct
(11)
Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem
d( )
dC
C C
uR i t u U RC u U
tsdot + = + = (12)
Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi
= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego
d0
dCs
Cs
uRC u
t+ = (14)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
6
Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1
dCs
Cs
ut
u RC= minus (15)
a po scałkowaniu otrzymujemy 1
-1ln ln A lub Ae
tRC
Cs Csu t uRC
= minus + = (16)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego
( )1
-
0 00 0
0
Ae At
RCC Cw Cs C Ct t
t
u u u U U U U= =
=
= + = + = = minus
(17)
Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi
1 1- -
00( ) ( )e 1 1 e
t tCRC RC
C Cw Cs C
Uu t u u U U U U
U
= + = + minus = minus minus
(18)
a prąd ładowania kondensatora
1-
0d1 e
d
tC C RC
u UUi = C
t R U = minus
(19)
Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC
Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
7
Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu
w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
8
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie
Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U
Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie
( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności
2
2
d dd
d d dC C
L L
u uiu L i = C u LC
t t t= = (21)
i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych
2
2
d d 1 1
d dC C
C
u uR + + u = U
t L t LC LC (22)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
5
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RC Odbiornikiem jest gałąź szeregowa RC przy niezerowym warunku początkowym a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone do odbiornika w chwili początkowej t = 0
Rys 3 Gałąź szeregowa RC pobudzana napięciem stałym U
W chwili początkowej t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U Odpowiedzią układu jest napięcie na kondensatorze uC będące funkcją czasu prąd ładowania kondensatora oznaczamy przez i bez wskaźnika Wielkości te są ze sobą związane zaleŜnością
d
dCu
i = Ct
(11)
Bilans napięć w oczku elementarnym wyraŜamy roacutewnaniem
d( )
dC
C C
uR i t u U RC u U
tsdot + = + = (12)
Napięcie wymuszone uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania niejednorodnego ma taki kształt jak wymuszenie i wynosi
= Cwu U (13) Napięcie swobodne uCs na kondensatorze stanowiące całkę ogoacutelną roacutewnania jednorodnego
d0
dCs
Cs
uRC u
t+ = (14)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
6
Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1
dCs
Cs
ut
u RC= minus (15)
a po scałkowaniu otrzymujemy 1
-1ln ln A lub Ae
tRC
Cs Csu t uRC
= minus + = (16)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego
( )1
-
0 00 0
0
Ae At
RCC Cw Cs C Ct t
t
u u u U U U U= =
=
= + = + = = minus
(17)
Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi
1 1- -
00( ) ( )e 1 1 e
t tCRC RC
C Cw Cs C
Uu t u u U U U U
U
= + = + minus = minus minus
(18)
a prąd ładowania kondensatora
1-
0d1 e
d
tC C RC
u UUi = C
t R U = minus
(19)
Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC
Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
7
Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu
w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
8
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie
Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U
Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie
( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności
2
2
d dd
d d dC C
L L
u uiu L i = C u LC
t t t= = (21)
i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych
2
2
d d 1 1
d dC C
C
u uR + + u = U
t L t LC LC (22)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
6
Roacutewnanie to moŜna zapisać jako d 1
dCs
Cs
ut
u RC= minus (15)
a po scałkowaniu otrzymujemy 1
-1ln ln A lub Ae
tRC
Cs Csu t uRC
= minus + = (16)
Stała A zostanie wyznaczona na podstawie znajomości warunku początkowego
( )1
-
0 00 0
0
Ae At
RCC Cw Cs C Ct t
t
u u u U U U U= =
=
= + = + = = minus
(17)
Napięcie nieustalone na kondensatorze wynosi
1 1- -
00( ) ( )e 1 1 e
t tCRC RC
C Cw Cs C
Uu t u u U U U U
U
= + = + minus = minus minus
(18)
a prąd ładowania kondensatora
1-
0d1 e
d
tC C RC
u UUi = C
t R U = minus
(19)
Stała czasowa jest w rozpatrywanym obwodzie określona wzorem τ = RC
Rys 4 Napięcie i prąd w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
7
Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu
w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
8
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie
Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U
Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie
( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności
2
2
d dd
d d dC C
L L
u uiu L i = C u LC
t t t= = (21)
i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych
2
2
d d 1 1
d dC C
C
u uR + + u = U
t L t LC LC (22)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
7
Rys 5 Składowe wymuszone i swobodne napięcia i prądu
w obwodzie szeregowym RC przy pobudzeniu stałym UC0 = 0 Interpretacja stałej czasowej τ
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
8
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie
Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U
Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie
( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności
2
2
d dd
d d dC C
L L
u uiu L i = C u LC
t t t= = (21)
i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych
2
2
d d 1 1
d dC C
C
u uR + + u = U
t L t LC LC (22)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
8
BADANIE GAŁ ĘZI SZEREGOWEJ RLC Mamy dany obwoacuted w ktoacuterym odbiornikiem jest gałąź szeregowa o parametrach RLC roacuteŜnych od zera przy warunkach początkowych zerowych a wymuszeniem - napięcie stałe U doprowadzone w chwili początkowej t = 0 Zakładamy Ŝe w chwili t = 0 napięcie doprowadzone wzrasta skokiem od wartości zerowej do wartości U czyli wyłącznik zostaje zamknięty momentalnie
Rys 6 Układ szeregowy RLC pobudzany napięciem stałym U
Za odpowiedź obwodu obieramy napięcie uC na kondensatorze będące funkcją czasu Bilans napięć w oczku daje roacutewnanie
( ) ( ) ( )L CR i t u t u t Usdot + + = (20) Z roacutewnania tego eliminujemy i(t) oraz uL(t) za pomocą zaleŜności
2
2
d dd
d d dC C
L L
u uiu L i = C u LC
t t t= = (21)
i dochodzimy do roacutewnania roacuteŜniczkowego liniowego niejednorodnego drugiego rzędu o wspoacutełczynnikach stałych
2
2
d d 1 1
d dC C
C
u uR + + u = U
t L t LC LC (22)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
9
Napięcie wymuszone na kondensatorze uCw stanowiące całkę szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego niejednorodnego jest stałe i wynosi
Cwu U= (23) Napięcie swobodne na kondensatorze uCs stanowi całkę ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego jednorodnego drugiego rzędu
2
2
d d 10
d dCs Cs
Cs
u uR + + u =
t L t LC (24)
Roacutewnaniu temu odpowiada roacutewnanie charakterystyczne
2 10
R + s + = s
L LC (25)
Pierwiastki roacutewnania charakterystycznego wynoszą
2
12
1
2 2
R Rs = - =
L L LCα β plusmn minus minus plusmn
(26)
przy czym
21
2 2
R R = =
L L LCα β minus
(27)
Rozwiązanie roacutewnania uproszczonego
1 2( ) A e B es t s tCsu t = + (28)
Wyznaczanie stałych całkowania A B przy warunkach początkowych zerowych uC(0) = 0 oraz i(0)=0
1 20
(0) (0) (0) 0 A B 0
d(0) (0) (0) A B 0
d
Cw Cs C
Cw s
t=
u + u = u = U + + =
ui + i = i = C s + s =
t
rArr
rArr (29)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
10
PomnoacuteŜmy pierwsze z tych roacutewnań przez s1
1 1 1
1 2
A B
A B 0
s s = s U
s + s =
minus minus (30)
stąd
1 2
2 1 2 1
B As s
= U = U s s s s
minusminus minus
(31)
PoniewaŜ s1 = -α - β oraz s2 = -α + β napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym wynosi
1 22 1
2 1
( ) e [( ) e ( ) e ]e e2
e e e ee e ( ch sh )
2 2
- t - t ts t s tC
t - t t - t- t - t
U Uu = U s s U + + +
s - s
+= U U + U U t + t
α β β
β β β βα α
α β α ββ
α αβ ββ β
minus minus = minus minus =
minusminus = minus
(32)
Prąd płynący w obwodzie wynosi
2 2
d ( )( )
d
e (ch sh ) e ( sh ch )
e ( ch ch sh )
1e sh e sh
C
- t - t
- t
- t - t
u ti t = C =
t
= UC t + t U C t + t =
-= UC t - t + t =
U= UC t = t
LC L
α α
α
α α
αα β β β β α ββ
α βα β α β ββ
β ββ β
minus
minus (33)
bowiem 2 2 1 =
LCα βminus Napięcie na cewce wynosi
d
e (ch sh )d
tL
iu = L = U t t
tα αβ β
βminus minus (34)
natomiast napięcie na oporniku 2
shtRu = Ue tα α β
βminus (35)
ZaleŜnie od rezystancji rozroacuteŜniamy trzy rodzaje rozwiązania
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
11
PRZYPADKI ROZWI ĄZAŃ ZALEśNE OD REZYSTANCJI
Przy 2L
R gt C
wielkość β przedstawia liczbę rzeczywistą a oba pierwiastki są
rzeczywiste i ujemne Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny (nieokresowy) Obowiązują wzory wyprowadzone powyŜej
ordmordmordmordmADOWANIE APERIODYCZNE Obydwa pierwiastki leŜą na ujemnej części osi rzeczywistej Przebiegi prądu w obwodzie oraz napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce w funkcji czasu
Rys 7 Przebiegi przy ładowaniu aperiodycznym
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
12
PRZYPADEK GRANICZNY
przy 2L
R C
= wielkość β staje się zerem pierwiastki roacutewnania
charakterystycznego są sobie roacutewne i tworzą jeden pierwiastek podwoacutejny rzeczywisty i ujemny Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L mające charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny)
0 0 0
sh ch( ) e sh e e elim lim lim
1- t - t - t - tU U t U t t U
i t = t t L L L L
α α α α
β β β
β βββ βrarr rarr rarr
sdot= = = (36)
d
e (1 )d
2 e
(1 ) e
tL
tR
tC R L
iu = L = U t
t
u = R i = U t
u = U u u = U U + t
α
α
α
α
α
α
minus
minus
minus
minus
minus minus minus
(37)
Przebiegi są podobne jak poprzednio
Rys 8 Przebiegi w przypadku krytycznym β=0
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
13
ordmordmordmordmADOWANIE PERIODYCZNE
Przy 2L
R lt C
wielkość β przedstawia liczbę urojoną
Obydwa pierwiastki s1 s2 są zespolone sprzęŜone Fizycznie odpowiada temu ładowanie kondensatora ze źroacutedła napięcia stałego poprzez rezystancję R i indukcyjność L takie Ŝe przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w funkcji czasu są oscylacyjne tłumione w szczegoacutelności sinusoidalne tłumione Rozwiązania moŜna uzyskać na podstawie rozwiązań dla przypadku aperiodycznego (33)podstawiając β = jω Prąd płynący w obwodzie
( ) e sh e j sin e sinj
- t t - tU U Ui t = t t t
L L Lα α αβ ω ω
β ω ωminus= sdot = (38)
Prąd jest zatem funkcją czasu sinusoidalną tłumioną dąŜącą do zera przy czasie zmierzającym do nieskończoności Napięcia na poszczegoacutelnych elementach
d d(e sin ) e ( sin cos )
d d
sin cos tg
e ( cos sin sin cos ) e sin( )
- t - tL
- t - tL
i U Uu L t t t
t t
LC LC
U Uu t t t
LC LC
α α
α α
ω α ω ω ωω ω
ωϕ ω ϕ α ϕα
ϕ ω ϕ ω ω ϕω ω
= = sdot = minus +
= = =
= minus + = minus minus
(39)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
14
Napięcie na rezystorze wynosi
e sin 2 sin gdzie2
- tR
U U Ru R t t
L Lα αω ω α
ω ω= = = (40)
a napięcie na kondensatorze
e sin( )tC R L
Uu U u u U t +
LCα ω ϕ
ωminus= minus minus = minus (41)
Rys 9 Przebieg napięcia nieustalonego na kondensatorze i prądu
w obwodzie RLC w przypadku aperiodycznym We wszystkich trzech przypadkach pierwiastki roacutewnania charakterystycznego leŜą w lewej poacutełpłaszczyźnie W związku z tym składowa swobodna odpowiedzi uCs maleje do zera dla czasu dąŜącego do nieskończoności
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
15
WŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁ ĘZI
SZEREGOWEJ R L
Rys 10 Obwoacuted szeregowy RL pobudzany napięciem sinusoidalnie zmiennym
Bilans napięć w oczku
m
d ( )( ) sin( )
d
i tR i t + L = U t +
tω ψsdot (42)
Prąd zostanie rozdzielony na składową wymuszoną i składową swobodną
i = iw + is Prąd wymuszony jest całką szczegoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego
mw sin( ) gdzie = arctg
22 2
|U | Li t +
R + R L
ωω ψ ϕ ϕω
= minus (43)
Prąd swobodny jest całką ogoacutelną roacutewnania roacuteŜniczkowego uproszczonego
ss
d0
d
iRi + L
t= (44)
Roacutewnanie charakterystyczne R + Ls = 0 s1 = minusRL czyli
s A eR
- tLi = (45)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
16
Stałą A wyznaczamy z warunku początkowego i(0) = iw(0) + is(0) = 0 zatem
mA sin( )22 2
|U |
+ R Lψ ϕ
ω= minus minus (46)
Całkowity prąd nieustalony wynosi
-m
22 2
| |( ) = sin( + ) sin( ) e
+
Rt
LU
i t tR L
ω ψ ϕ ψ ϕω
minus minus minus sdot
(47)
Rys 11 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=0)
Rys 12 Prąd w obwodzie po załączeniu napięcia sinusoidalnie zmiennego (Ψ=86o)
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
17
ZAŁĄCZENIE NAPI ĘCIA SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO DO GAŁĘZI RLC
Częstotliwość rezonansowa obwodu pokrywa się z częstotliwością wymuszenia
fV1=f0=1592Hz przebiegi prądu i(t)
Rys 13 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 10 Ω
Rys 14 Przebieg prądu w obwodzie (napięcie uR) dla R = 0001Ω
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz
Analiza stanoacutew nieustalonych metodą klasyczną 18
2008 KMGawrylczyk
18
Rys 15 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=500Hz f0=1592Hz
Rys 16 Częstotliwość rezonansowa obwodu roacuteŜni się od częstotliwości wymuszenia
fV1=4500Hz f0=1592Hz