Reinhard Kulessa 1

9.3 Model przewodnictwa elektrycznego c.d

Wykład 13

9.4 Techniczna postać prawa Ohma. Opór elektryczny9.4.1 Siła elektromotoryczna9.5 Zależność oporu metali od temperatury.9.6 Prawo Wiedemana - Franza

9.6.1 Prawo Joule’a - Lenza

Reinhard Kulessa 2

Równanie (9.7) możemy tez interpretować następująco. W sieci w której poruszają się elektrony działa na nie poza siłą przyspieszającą F = eE, również siła tarcia

R

DvmR

.

Zachodzi więc równowaga F + R =0. To jest przyczyną jednostajnego ruchu elektronów.

Na podstawie definicji wektora gęstości prądu (r. (9.3) ), oraz średniej prędkości dryfu, możemy wyrazić wektor gęstości prądu jako:

dl = <vD> dt

dAn

dV

dI

DDV

nn

vvd

dQ

dl

dl

dtdA

dQ

dA

dIj

Reinhard Kulessa 3

Znajdujemy więc, że , przy czym pamiętamy, żeruchliwość

EEm

ej R

Rm

q

.

Równanie na gęstość prądu możemy więc zapisać jako:

Ej

(9.8)

We wzorze (9.8) sformułowaliśmy prawo Ohma . Współczynnik określa przewodnictwo właściwe, które jest odwrotnością oporu właściwego el przewodnika.

Należy pamiętać, że przewodnictwo właściwe może być wielkością tensorową.

.

Reinhard Kulessa 4

W przypadku gdy nośnikami ładunku nie są elektrony, możemy w podanych wzorach zastąpić ładunek e przez q.

Omówmy jeszcze ogólny przypadek, kiedy w przepływie prądu poza ładunkami ujemnymi q = -e, są również zaangażowane ładunki dodatnie q = +e. Pole E nadaje tym ładunkom prędkości dryfu w przeciwnych kierunkach.

Em

eEv

Em

eEv

RD

RD

Można w tym miejscu zaznaczyć, że czas dryfu można wyrazić przez średnią drogę swobodną i średnią prędkość ruchu cieplnego ładunków. /R

Reinhard Kulessa 5

Wektor gęstości prądu wyrazi się więc następująco:

Eenen

venvenj DD

)(

Wielkości n+e=0+ oraz n-e=0

- określają gęstości ładunków. W oparciu o wzór (9.8) otrzymujemy na przewodnictwo właściwe następujące wyrażenie;

)()( 2

mn

mnenne

RR (9.9)

W oparciu o podaną poprzednio definicję czasu dryfu, możemy napisać, że

Reinhard Kulessa 6

m

n

m

ne2

Z podanego wzoru wynika, że przewodnictwo rośnie razem ze wzrostem liczby nośników prądu i średniej drogi swobodnej, a maleje ze wzrostem masy nośników i temperatury.

Reinhard Kulessa 7

9.4 Techniczna postać prawa Ohma. Opór elektryczny

I(A)

Ogniwo V

R

L

A

Powyższy rysunek przedstawia najprostszy obwód elektryczny – opór R zasilany przez baterię o napięciu V. Dla przewodnika ważne jest prawo Ohma. Mamy więc

L

V

A

IEj

Reinhard Kulessa 8

Poprzedni wzór możemy przekształcić do postaci nazywanej zwykle prawem Ohma.

R

V

A

LV

I

1 (9.10)

Z równania tego wynika wzór na opór przewodnika.

A

LR 0 (9.11)

Dla układu o dowolnej geometrii możemy opór policzyć z wzoru:

AAAdE

ldE

Adj

ldER

(9.11a)

Reinhard Kulessa 9

Trywialną konsekwencją prawa Ohma są wyrażenia na wypadkowy opór połączenie równoległego i szeregowego oporników.

1 i N

1

i

N

iiRR

11(9.12)

i iRR (9.13)

Reinhard Kulessa 10

Jak już wspomniano, najprostszy obwód składa się z baterii na zaciskach której panuje napięcie VЄ, oraz z jednego lub wielu oporów./

+ -

VЄ

V1 V2

I

W układzie tym płynie prąd o natężeniu I = VЄ/R, gdzie R jest całkowitym oporem . Prąd ten jest spowodowany przez siłę elektromotoryczną VЄ, która również dostarcza energii zużytej na pokonanie oporu przewodników. Ze względu na to, że pole elektryczne jest zachowawcze,

Reinhard Kulessa 11

0sdE

Gdzie biegnie wzdłuż całego obwodu. Wynika z tego, że

021 VVV .

Wynika z tego, że w obwodzie zamkniętym suma wszystkich spadków potencjałów jest równa zero.

Reinhard Kulessa 12

9.4.1 Siła elektromotoryczna

Przy omawianiu prawa Ohma zakładaliśmy, że między końcami rozważanego przewodnika istnieje stała różnica potencjałów. Siły kulombowskie zawsze będą dążyły do wyrównania się potencjałów w przewodniku, likwidując tą różnicę. Utrzymanie różnicy potencjału wymaga istnienia dodatkowych sił zewnętrznych. Muszą one wykonywać pracę na przemieszczanie ładunków. Pracę sił zewnętrznych przypadającą na jednostkę ładunku dodatniego nazywamy siłą elektromotoryczną.

Є = W/Q

Rozważmy następujący układ:

Reinhard Kulessa 13

+ -I

R

Przeniesienie ładunku z jednej zacisku baterii na drugi wymaga wykonania pracy:

ldEQldEQW zewnkul

Pierwsza całka ze względu na zachowawczość pola elektrycznego (krążenie wektora E znika). Wobec tego siła elektromotoryczna jest równa:

ldEzewn

(9.14)

1 2

Reinhard Kulessa 14

Wróćmy do równania (9.8) i sformułujmy prawo Ohma dla przypadku, obecności w obwodzie siły elektromotorycznej.

)( zewnkul EEj

Pomnóżmy obydwie strony równania przez element długości dlstyczny do wektora gęstości prądu j. Otrzymamy wtedy:

ldEldEldj zewnkul

1 212

Reinhard Kulessa 15

Scałkujmy to równanie pomiędzy punktami 1 a 2 (patrz poprzedni rysunek) przewodnika, wiedząc, że

dlA

Ildj

Otrzymamy wtedy:

ldEldEA

dlI zewnkul

2

1

2

1

2

1

1

Całka po lewej stronie reprezentuje opór odcinka przewodu pomiędzy punktami 1 a 2. Wynik jest następujący:

12122112 UVVIR (9.15)

Reinhard Kulessa 16

Wzór ten wyraża uogólnione Prawo Ohma dla dowolnego odcinka obwodu. Jeśli obwód jest zamknięty, potencjały punktów 1 i 2 są takie same. Wtedy mamy: .

)()( 1212 RRI

Dla większej liczby oporów i ogniw włączonych do obwodu, mamy

R = Ri, oraz = i .

Zwykle źródło siły elektromotorycznej, którym może być ogniwo, bateria itp.. posiada własny opór wewnętrzny Rw. Oznaczając opór przewodników włączonych do obwodu przez Rz , mamy:

wz

wz

IRIR

RRI )(

Reinhard Kulessa 17

Wyrażenie IRz określa spadek napięcia na oporze zewnętrznym, możemy więc napisać,

wIRU (9.16)

Równocześnie w zamkniętym obwodzie suma wszystkich spadków potencjału jest równa zero.

0n

nV (9.17)

Jeżeli w obwód byłoby włączonych więcej oporów i sił elektromotorycznych, wtedy w oparciu o prawo Ohma równanie (9.14) przyjmie postać

n

iii

n

iiRI

11

(9.18)

Reinhard Kulessa 18

Obwód taki jest przedstawiony na poniższym rysunku.

1

23

R1

R2

R3

I1

I3

I2

Wzór (9.18) stanowi sformułowanie tzw. Drugiego Prawa Kirchoffa, które mówi, że w dowolnym oczku obwodu suma iloczynów natężeń prądu i oporów odpowiednich odcinków obwodu jest równa sumie sił elektromotorycznych występujących w tym obwodzie.

Reinhard Kulessa 19

Z kolei Pierwsze Prawo Kirhoffa dotyczy węzłów, w których spotykają się elementy obwodu.

I1I2

I3

In

Prawo to mówi, że algebraiczna suma natężeń prądów schodzących się w węźle jest równa zero.

01

n

iiI (9.19)