À. À. Ãóñåâ

Ìîñêâà Þðàéò 2016

Êíèãà äîñòóïíà â ýëåêòðîííîé áèáëèîòå÷íîé ñèñòåìåbiblio-online.ru

ÎÑÍÎÂÛ ÃÈÄÐÀÂËÈÊÈ

Ó×ÅÁÍÈÊ ÄËß ÑÏÎ

2-å èçäàíèå, èñïðàâëåííîå è äîïîëíåííîå

Ðåêîìåíäîâàíî Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îòäåëîì ñðåäíåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ â êà÷åñòâå ó÷åáíèêà äëÿ ñòóäåíòîâ îáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé ñðåäíåãî

ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

2017

УДК 621(075.32)ББК 30.123я723 Г96

Автор:Гусев Александр Андреевич — кандидат технических наук,

профессор кафедры гидравлики Института гидротехнического и энергетического строительства Московского государственного строительного университета (национального исследовательского университета).

Рецензенты:Комаров А. А. — доктор технических наук, профессор кафедры

гидравлики Института гидротехнического и энергетического стро-ительства Московского государственного строительного универси-тета (национального исследовательского университета);

Николаев В. Г. — доктор технических наук, заведующий кафе-дрой гидравлики Института гидротехнического и энергетического строительства Московского государственного строительного уни-верситета (национального исследовательского университета).

Г96 Гусев, А. А.

Основы гидравлики : учебник для СПО / А. А. Гусев. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт, 2016. — 285 с. — Серия : Про-фессиональное образование.

ISBN 978-5-9916-6198-0Изложены основные вопросы курса «Основы гидравлики»:

физические свойства жидкости; законы равновесия и движения жидкости. Рассмотрены вопросы гидравлических сопротивлений, движения жидкости по трубопроводам и каналам, истечения жидко-стей через отверстия и насадки, струйных течений, грунтовых пото-ков, особенности расчета воздуховодов и газопроводов, моделирова-ния гидравлических явлений. Показаны примеры решения задач по гидравлике, приведены способы решения сложных гидравлических задач численными методами на ЭВМ.

Для подготовки специалистов инженерно-технического профиля, изучающих гидравлику в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.

УДК 621(075.32)ББК 30.123я723

ISBN 978-5-9916-6198-0

© Гусев А. А., 2013© Гусев А. А., 2013, с изменениями© ООО «Издательство Юрайт», 2016

ISBN 978-5-534-01044-2

ISBN 978-5-534-01044-2

2017.

ООО «Издательство Юрайт», 2017

Предисловие .........................................................................

Введение. Определение предмета. Краткие историческиесведения ...............................................................................

Раздел IОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ

Глава 1. Жидкости и их основные физические свойства ...........Примеры расчетов ...........................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 2. Гидростатика ............................................................2.1. Равновесие жидкости и действующие силы .............................2.2. Гидростатическое давление и его свойства ...............................2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости ........2.4. Равновесие жидкости в поле земного тяготения. Поверхность

уровня. Основное уравнение гидростатики ..............................2.5. Геометрическое и энергетическое толкование основного

уравнения гидростатики. Величина гидростатическогодавления. Закон Паскаля .................................................................

2.6. Абсолютное и избыточное давления. Вакуум ..........................2.7. Эпюры гидростатического давления ...........................................2.8. Сила давления жидкости на плоскую поверхность ...............2.9. Центр давления ...................................................................................2.10. Давление жидкости на криволинейные поверхности .........2.11. Приборы для измерения давления ............................................2.12. Закон Архимеда. Условия плавания тел .................................

Примеры расчетов ...........................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 3. Гидродинамика. Понятия и характеристики,определяющие течение жидкости ..............................

3.1. Основные понятия гидродинамики .............................................3.2. Режимы движения жидкости .........................................................3.3. Модели течения жидкости. Линия тока, трубка тока,

элементарная струйка .......................................................................3.4. Расход потока. Геометрические характеристики потока

жидкости. Средняя скорость потока. Формула расхода ......

8

11

151919

21212225

27

29313536384147505254

565658

60

63

Оглавление

3.5. Виды движения жидкости ...............................................................3.6. Общие сведения об относительном взаимодействии

жидкости и твердого тела ................................................................Пример расчетов ..............................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 4. Основные уравнения движения жидкости ..................4.1. Дифференциальные уравнения движения невязкой

жидкости ................................................................................................4.2. Интегрирование дифференциальных уравнений Эйлера

для случая установившегося течения в поле силы тяжести.Уравнение Бернулли .........................................................................

4.3. Интерпретация уравнения Бернулли .........................................4.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой

жидкости ................................................................................................4.5. Уравнение Бернулли для потока реальной (вязкой)

жидкости ................................................................................................4.6. Уравнение неразрывности или сплошности течения

для установившегося потока жидкости ......................................4.7. Примеры практического применения уравнения

неразрывности и уравнения Бернулли .......................................4.8. Уравнение Бернулли для газов .....................................................4.9. Гидравлическая форма записи закона сохранения

количества движения ........................................................................4.10. Основное уравнение равномерного течения жидкости .....4.11. Законы сохранения ..........................................................................

Примеры расчетов ...........................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 5. Особенности течения жидкости в трубах ....................5.1. Распределение скоростей по сечению трубопровода

при ламинарном течении .................................................................5.2. Локальные скорости при турбулентном течении ...................5.3. Касательные напряжения в турбулентном потоке .................5.4. Распределение скоростей при турбулентном течении ..........

Пример расчетов ..............................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 6. Потери напора при установившемся движении жидкости ...6.1. Потери напора в трубопроводах ...................................................6.2. Потери напора по длине при установившемся равномерном

движении жидкости ...........................................................................6.3. Потери напора на местных сопротивлениях ............................6.4. Суммарные потери напора на участках трубопроводов.

Взаимовлияние местных сопротивлений ..................................6.5. Коэффициент гидравлического трения по длине

трубопровода λ ....................................................................................6.6. Влияние особых факторов на величину потерь напора

в трубах ...................................................................................................

Оглавление4

64

666869

70

70

7274

76

77

81

8286

8992949596

98

98101102104105106

107107

108111

115

116

121

Примеры расчетов ...........................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 7. Безнапорное движение жидкости. Равномерное течениев каналах ..................................................................

7.1. Средняя скорость и расход потока при равномерном течениижидкости. Формула Шези ...............................................................

7.2. Безнапорные потоки в открытых руслах ...................................7.3. Виды каналов. Геометрические элементы сечения канала ...7.4. Расчеты равномерного течения в канале ...................................

Пример расчетов ..............................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Раздел IIСПЕЦИАЛЬНАЯ ГИДРАВЛИКА

Глава 8. Расчеты трубопроводов ............................................8.1. Общие положения ..............................................................................8.2. Расчеты простых коротких трубопроводов ..............................8.3. Основные задачи, решаемые при расчетах простых

трубопроводов .....................................................................................8.4. Сложные трубопроводы и их расчеты ........................................8.5. Гидравлический удар в трубах ......................................................

Примеры расчетов ...........................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 9. Истечение жидкости через отверстия и насадки .........9.1. Истечение жидкости через отверстия .........................................9.2. Истечение жидкости через насадки .............................................9.3. Особенности истечения через нецилиндрические насадки ...9.4. Истечение жидкости при переменном напоре .........................9.5. Истечение через большое отверстие в атмосферу ..................

Примеры расчетов ...........................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 10. Гидравлические струи .............................................10.1. Виды струйных течений .................................................................10.2. Свободные затопленные струи ....................................................10.3. Свободные незатопленные струи ...............................................

Пример расчетов ..............................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 11. Движение грунтовых вод .........................................11.1. Общие сведения ................................................................................11.2. Основной закон фильтрационных течений.

Коэффициент фильтрации ...........................................................11.3. Безнапорные равномерные грунтовые потоки воды ...........11.4. Основное дифференциальное уравнение неравномерного

безнапорного грунтового потока .................................................

5Оглавление

123126

128

128129131132134135

139139141

144146154160163

164164168172174178179181

182182182185190191

192192

194195

196

11.5. Интегрирование основного дифференциального уравнениянеравномерного грунтового потока ...........................................

11.6. Приток грунтовой воды к круглым одиночным колодцам ...Примеры расчетов ...........................................................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 12. Основы моделирования гидравлических явлений ......12.1. Общие сведения ................................................................................12.2. Гидродинамическое подобие явлений ......................................12.3. Критерии подобия ............................................................................12.4. Перенос параметров с модели на натурные условия ...........12.5. Элементы теории размерностей; π�теорема ............................

Контрольные вопросы и задания .................................................................

Раздел IIIМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИДРАВЛИКА(ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОМЕХАНИКИ)

Глава 13. Кинематика движения жидкости ..............................13.1. Методы описания движения жидкости ....................................13.2. Движение жидкой частицы ...........................................................13.3. Вихревое и потенциальное движения жидкости ..................13.4. Дифференциальное уравнение неразрывности

или сплошности течения ................................................................13.5. Плоское потенциальное течение. Функция тока ..................

Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 14. Уравнения гидродинамики невязкой и вязкойжидкости ................................................................

14.1. Уравнения гидродинамики невязкой жидкости ...................14.2. Интегрирование дифференциальных уравнений движения

невязкой жидкости ..........................................................................14.3. Уравнения гидродинамики реальной (вязкой) жидкости ...

Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 15. Уравнения неустановившегося течения жидкости .....15.1. Основное дифференциальное уравнение неустановивше-

гося течения в элементарной струйке .......................................15.2. Интегрирование основного дифференциального уравнения

неустановившегося течения .........................................................15.3. Основное уравнение неустановившегося течения

в круглоцилиндрической трубе ...................................................Контрольные вопросы и задания .................................................................

Глава 16. Решение гидродинамических уравнений численнымиметодами ................................................................

16.1. Методы решения сложных гидродинамических задач .......16.2. Преобразование уравнений Навье — Стокса для решения

методом конечных разностей .......................................................

Оглавление6

198200204206

207207207209211213215

219219223227

228231235

236236

239244249

251

251

253

254255

256256

258

16.3. Конечно�разностная форма исходных уравнений.Алгоритм численного расчета на ЭВМ ....................................

Контрольные вопросы и задания .................................................................

Приложения .........................................................................Приложение 1. Основные условные обозначения ...............................Приложение 2. Глоссарий гидравлических терминов ........................Приложение 3. Единицы измерения в системе СИ ............................Приложение 4. Физические свойства жидкости ..................................Приложение 5. Гидравлические сопротивления ..................................

Список литературы ................................................................Предметный указатель ..........................................................

7Оглавление

260263

264264266272273275

282283

Предисловие

Настоящий учебник предназначен для подготовки студен-тов, изучающих гидравлику, кроме специальности гидротех-нической и теплогазоснабжения, так как в учебнике, в силузаданного объема, отсутствуют разделы по темам «движе-ние жидкости через гидротехнические сооружения» и «ос-новы газодинамики».

В результате изучения предмета студент должен будет:знать• основные гидравлические понятия, относящиеся к рав-

новесию и движению жидкости;• математические уравнения, описывающие движение

жидкости и состояние ее равновесия (покоя);• формулы, константы, коэффициенты, с помощью кото-

рых можно определить параметры различных гидравличе-ских процессов и явлений;

• методы решения гидравлических задач;• приборы и оборудование, используемые для определе-

ния гидравлических характеристик;уметь• понимать физическую природу различных гидравли-

ческих процессов и явлений;• классифицировать виды движения жидкости;• объяснять причины и возможные последствия гидрав-

лических процессов и явлений, возникающих или имеющихместо в практике строительства и эксплуатации объектов;

• использовать законы физики, теоретической механи-ки, теплотехники, сопротивления материалов для решениягидравлических задач;

• проектировать параметры сооружений и оборудова-ния, связанных с движением жидкости или воздействием наних покоящейся жидкости;

• рассчитывать параметры жидкой и газовой сред в ста-тике и динамике для различных гидравлических процессови явлений;

• использовать закономерности моделирования и тео-рии размерностей при решении сложных инженерных задачопределения характеристик гидравлических процессов,

для которых не найдены конечные математические форму-лы и уравнения;

владеть навыками• теоретического вывода уравнений равновесия и движе-

ния жидкости;• решения различных гидравлических задач;• оценки реальности получаемых или исследуемых гид-

равлических параметров в их числовом выражении.Таким образом, в результате изучения предмета студент

сможет быть компетентным в профессиональном анализеи решении технических задач, связанных с движением илиравновесием (покоем) жидкости.

Методика изложения материала опирается на методикупреподавания курса гидравлики (механики жидкости и га-за), разработанную за долгие годы на кафедре гидравликиМГСУ и использованную для изложения материала в учебни-ках известных гидравликов П. Г. Киселева [3, 6], А. Д. Альт-шуля [2, 3], Ф. М. Долгачева [13] и др. В учебник внесенынекоторые изменения в порядок изложения материалаи сделано его определенное упрощение для улучшения по-нимания обучающимися. Эти изменения незначительноуменьшают общую компетенцию по предмету по сравнениюс той, которую получали студенты — будущие инженеры.

Учебник условно разделен на три раздела: «Основы гид-равлики», «Специальная гидравлика», «Математическая гид-равлика (основы гидромеханики)», что дает возможность,используя базовую часть «Основы гидравлики», включатьв процесс обучения студентов разных специальностейи уровней главы из двух других разделов учебника. Некото-рое уменьшение объема традиционно излагаемого материа-ла предполагает, что в своей практической работе будущиеспециалисты смогут воспользоваться справочной и специ-альной литературой, энциклопедически наполненнымиучебниками, такими как известные учебники Р. Р. Чугаева[17] и Д. В. Штеренлихта [19].

В настоящем издании изложение материала — традици-онное с примерами решения задач и справочными приложе-ниями.

Список литературы, использованной при подготовке дан-ного учебника, представлен в конце книги. В разделе по чис-ленному решению дифференциальных уравнений в пара-графах 16.2 и 16.3 использовался материал курса лекций погидравлике для МГСУ, подготовленный А. Л. Зуйковым.

9Предисловие

Автор благодарит рецензентов В. Г. Николаева и А. А. Ко-марова за ценные советы и рекомендации по рукописи книги.

Большую и бескорыстную помощь при подготовке руко-писи к печати оказал О. А. Гусев, за что автор выражает емуособую благодарность.

Автор будет искренне признателен всем, кто пришлетсвои замечания и пожелания к содержанию учебника по ад-ресу: 129337, г. Москва, Ярославское ш., 26, МГСУ, кафедрагидравлики.

Предисловие10

ВведениеОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТА.

КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Гидравлика — наука, изучающая равновесие и движениежидкости, а также ее взаимодействие с твердыми телами,погруженными в нее, и твердыми поверхностями, гранича-щими с жидкостью.

Гидравлика позволяет разрабатывать методики решенияразличных прикладных задач в строительстве, коммуналь-ном хозяйстве, охране водных ресурсов и других много-гранных сферах человеческой деятельности, связанныхс водой и другими жидкостями.

Первым научным трудом в области гидравлики был трак-тат Архимеда (287—212 гг. до н.э.) «О плавающих телах».Леонардо да Винчи (1452—1519) в XV в. написал работу«О движении и измерении воды», Галилео Галилей (1564—1642) в 1612 г. в своем трактате «Рассуждение о телах, пре-бывающих в воде, и о тех, которые в ней движутся» рассмот-рел условия равновесия жидкости, обосновал основныезаконы плавания тел. Далее Эванджелиста Торричелли(1608—1647) предложил в 1643 г. формулу для определе-ния скорости истечения жидкости из отверстия, Блез Пас-каль (1623—1662) открыл закон о передаче внешнего давле-ния в жидкости, который до настоящего времени служитоснованием для конструирования гидравлических машин(прессы, домкраты, тормоза и др.), Исаак Ньютон (1643—1727)в 1686 г. предложил гипотезу о законе внутреннего тренияв движущейся жидкости.

Однако формирование гидравлики как науки, базирую-щейся на математических уравнениях, дифференциальноми интегральном исчислении, произошло в XVIII в. и сталовозможным благодаря работам академиков ПетербургскойАкадемии наук: Л. Эйлера (1707—1783), Д. Бернулли(1700—1782), М. В. Ломоносова (1711—1765).

Даниил Бернулли в 1738 г. опубликовал уравнение, от-ражающее закон сохранения энергии для жидкости, спра-ведливо считающееся основополагающим в практическихрасчетах по гидравлике. Леонард Эйлер в 1755 г. вывелдифференциальные уравнения равновесия и движенияжидкости. М. В. Ломоносов открыл и обосновал законы со-хранения массы вещества и энергии.

Кроме российских, огромный вклад в развитие гидравли-ки внесли и западноевропейские ученые. А. Шези (1718—1798) изучал равномерное движение жидкости, Д. Вентури(1746—1822) исследовал истечение жидкости через отвер-стия и насадки, Ю. Вейсбах (1806—1871) занимался изуче-нием сопротивления движения жидкости. О. Рейнольдс(1842—1912) много труда вложил в изучение ламинарногои турбулентного движений.

В России во второй половине XIX и начале XX в. наибо-лее известны работы И. С. Громеки (1851—1889), Н. П. Пет-рова (1836—1920), Н. Е. Жуковского (1847—1921) по вин-товым потокам, теории смазки, гидравлическому удару.На Западе к наиболее известным работам в начале XX в.следует отнести полуэмпирическую теорию турбулентноготечения Л. Прандтля (1875—1953).

Развитие гидротехнического, гидромелиоративного строи-тельства в СССР позволило создать советскую гидравличе-скую школу. Можно назвать много известных имен, благода-ря которым гидравлическая наука обогатилась глубокимиисследованиями и теоретическими разработками в различ-ных областях гидравлики. В первую очередь к ним следуетотнести Н. Н. Павловского, М. А. Великанова, И. И. Агроски-на, Е. А. Замарина, М. Д. Чертоусова, P. P. Чугаева, И. И. Ле-ви, П. Г. Киселева, Л. С. Животовского, А. Д. Альтшуля и др.

В последние десятилетия развитие гидравлики нераз-рывно связано с применением ЭВМ. Широко используютсячисленные методы гидравлических расчетов, а также чис-ленное моделирование гидравлических явлений. Имена уче-ных, внесших свой значительный вклад в это направление,еще будут внесены в анналы истории гидравлики.

Введение12

Раздел I

ОСНОВЫ ГИДРАВЛИКИ

В результате освоения этого раздела студенты должны:знать— основные понятия и определения гидравлики;— основополагающие уравнения, определяющие связи меж-

ду параметрами течения или равновесия (покоя) жидкости;— формулы, константы, коэффициенты, с помощью ко-

торых можно определить параметры различных гидравли-ческих процессов и явлений;

— приборы и оборудование для определения гидравли-ческих характеристик;

уметь— понимать физическую природу основных гидравличе-

ских процессов;— рассчитывать параметры (характеристики) основных

видов движения и покоя жидкости;владеть— навыками разделения гидравлических процессов на

виды и подвиды для их правильного математического опи-сания и использования формул;

— навыками теоретического обоснования использова-ния уравнений и формул, определяющих рассматриваемоегидравлическое явление или процесс.

Глава 1ЖИДКОСТИ И ИХ ОСНОВНЫЕ

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Жидкости. В природе различают четыре вида состояниявещества: твердое, жидкое, газообразное и плазменное. Ос-новное отличие жидкостей от твердых тел заключается в ихтекучести, т.е. способности легко принимать форму сосуда,в который жидкость поместили, при этом объем жидкости неизменяется. Газ тоже обладает текучестью, но при этом зани-мает любой предоставленный ему объем. В сосудах жидкостьобразует свободную поверхность, а газ аналогичной поверх-ностью не обладает. Однако с точки зрения механики ижидкость, и газ подчиняются одним и тем же закономерно-стям в случае, если сжимаемостью газа можно пренебречь.Поэтому в гидравлике под термином «жидкость» понима-ются и собственно жидкости (которые часто называют ка-пельными жидкостями), и газы (газообразные жидкости).

Основные свойства жидкости (при рассмотрении задачмеханики жидкости) — это плотность, способность изме-нять свой объем при нагревании (охлаждении) и изменени-ях давления, вязкость жидкости. Рассмотрим каждое изэтих свойств жидкости подробнее.

Плотность жидкости. Плотностью жидкости ρ называ-ется ее масса, заключенная в единице объема:

ρ = , (1.1)

где m — масса жидкости; W — объем жидкости.Единица измерения плотности — кг/м3.Так как вода является наиболее распространенной

в природе жидкостью, в качестве примера количественногозначения параметра, определяющего то или иное свойствожидкости, будем приводить значение рассматриваемого па-раметра для воды. Плотность воды при 4°С ρв = 1000 кг/м3.

m––W

Плотность жидкости уменьшается при увеличении темпера-туры. Однако для воды эта закономерность справедлива толь-ко с 4°С, в чем проявляется одно из аномальных свойств воды.

Удельный вес. Удельный вес γ — это вес жидкости, при-ходящийся на единицу объема:

γ = , (1.2)

где G — вес жидкости в объеме W.Единица измерения удельного веса — Н/м3. Удельный

вес воды при температуре 4°С γв = 9810 Н/м3. Плотностьи удельный вес связаны между собой соотношением

γ = ρg, (1.3)

где g — ускорение свободного падения.Температурное расширение. Это свойство жидкости из-

менять свой объем при изменении температуры (с увеличе-нием температуры жидкость расширяется, с уменьшениемсжимается), которое определяется температурным коэффи-циентом объемного расширения жидкости βt:

βt = , (1.4)

где W — начальный объем жидкости; ∆W — изменение объ-ема после изменения температуры; ∆t — изменение темпе-ратуры.

Единица измерения βt — градус–1, для воды при t = 20°Cβt = 0,000158 1/°C. Для большинства жидкостей с увеличе-нием давления βt растет.

Сжимаемость. Это свойство жидкости менять свой объ-ем при изменении давления, которое характеризуется коэф-фициентом объемного сжатия βp:

βp = , (1.5)

где W — начальный объем жидкости; ∆W — изменение объ-ема после изменения давления; ∆p — изменение давления.

Единица измерения βp — Па–1. Коэффициент объемногосжатия капельных жидкостей мало меняется в зависимостиот давления и температуры. Для воды βp = 5 · 10–10 Па–1.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия,называется модулем упругости жидкости E и определяетсяпо формуле

1––∆p

∆W——W

1––∆t

∆W——W

G––W

Глава 1. Жидкости и их основные физические свойства16

E = . (1.6)

Для воды E = 2 · 109 Па.Вязкость жидкости — свойство жидкостей оказывать

сопротивление сдвигу. Это свойство проявляется только придвижении жидкостей. Вязкость определяет степень текуче-сти жидкости. Наряду с легко подвижными жидкостями (во-да, спирт, воздух и др.) существуют очень вязкие жидкости(глицерин, машинные масла и др.).

Вязкость жидкости характеризуется коэффициентамидинамической вязкости µ или кинематической вязкости ν.

И. Ньютон выдвинул гипотезу о силе трения F, возника-ющей между двумя слоями жидкости на поверхности ихраздела площадью ω, согласно которой сила внутреннеготрения в жидкости не зависит от давления, прямо пропор-циональна площади соприкосновения слоев ω и быстротеизменения скорости в направлении, перпендикулярном на-правлению движения слоев, и зависит от рода жидкости.

Пусть жидкость течет по плоскому дну параллельнымиему слоями (рис. 1.1).

Вследствие тормозящего влияния дна слои жидкости бу-дут двигаться с разными скоростями. На рис. 1.1 скоростислоев показаны стрелками. Рассмотрим два слоя жидкости,середины которых расположены на расстоянии ∆y друг отдруга. Слой B движется со скоростью u, а слой A — со ско-ростью u + ∆u.

На площадке ω вследствие вязкости возникает сила со-противления F. Согласно гипотезе Ньютона эта сила

F = µω , (1.7)∆u——∆y

1––βp

17Глава 1. Жидкости и их основные физические свойства

Рис. 1.1. Сила сопротивления между слоями жидкости

коэффициент пропорциональности µ в этой формуле и яв-ляется коэффициентом динамической вязкости, отношение∆u/∆y называется градиентом скорости.

Таким образом, динамическая вязкость является силойтрения, приходящейся на единицу площади соприкоснове-ния слоев жидкости при градиенте скорости, равном едини-це. Размерность µ — Па · с.

Гипотеза И. Ньютона, представленная в формуле (1.7),экспериментально подтверждена и математически оформ-лена в дифференциальном виде основоположником гидрав-лической теории смазки Н. П. Петровым и в настоящее вре-мя носит название закона внутреннего трения Ньютона:

F = µω , (1.8)

или

τ = µ , (1.9)

где τ — касательное напряжение на площадке ω (τ = F/ω);n — обозначение направления, перпендикулярного направ-лению движения жидкости.

В гидравлических расчетах часто удобнее пользоваться дру-гой величиной, характеризующей вязкость жидкости, — ν:

ν = . (1.10)

Эта величина называется коэффициентом кинематиче-ской вязкости. Размерность ν — м2/с.

Название «кинематическая вязкость» не несет особогофизического смысла, так как оно было предложено потому,что размерность ν похожа на размерность скорости.

Вязкость жидкости зависит как от температуры, так и отдавления. Вязкость капельных жидкостей уменьшаетсяс увеличением температуры, а вот вязкость газов, наоборот,возрастает с увеличением температуры. Вязкость жидкостейпри давлениях, встречающихся в большинстве случаев напрактике, мало зависит от давления, а вязкость газов с воз-растанием давления уменьшается.

Вязкость жидкости измеряют с помощью вискозиметровразличных конструкций.

Жидкости, для которых справедлив закон внутреннеготрения Ньютона (1.8), называют ньютоновскими. Сущест-вуют жидкости, которые не подчиняются закономерности

µ–ρ

du——dn

du——dn

Глава 1. Жидкости и их основные физические свойства18

(1.8), к ним относятся растворы полимеров, гидросмеси изцемента, глины, мела и др. Такие жидкости относятся к не-ньютоновским.

Примеры расчетовПример 1.1. Определить массу бензина, заполняющего

цилиндрический резервуар диаметром d = 0,3 м и высотойh = 0,4 м при температуре 20°С (ρб = 7250 кг/м3).

Решение

m = ρW = = · 0,4 = 204,9 кг.

Ответ. 204,9 кг.

Пример 1.2. Определить количественные изменениядавления в воде, находящейся в герметически закрытомполностью заполненном резервуаре, при изменении темпе-ратуры от 10 до 20°С, если считать материал резервуара аб-солютно жестким.

РешениеЕсли бы резервуар не был закрыт герметически, измене-

ние объема можно было бы найти из формулы (1.4) ∆W == βtW∆t. Тогда новый объем был бы равен W � = W + ∆W.Но по условию резервуар закрыт, а следовательно, объемнеизменен. Значит, должно измениться внешнее давлениена поверхности воды (а значит, и давление в каждой точкеобъема) на величину ∆P, требуемую чтобы объем был в за-данном состоянии, ее определим из формулы (1.5):

∆p = = = .

При t = 20°C βt = 150 · 10–6 1/°C; ∆t = 10°C; βp = 5 · 10–6 Па–1.Тогда

∆p = = 29,95 · 105 Па.

Ответ. ∆p = 29,95 · 105 Па.

Контрольные вопросы и задания1. Каковы отличия жидкости от твердых тел и газов?2. Перечислите основные физические свойства жидкостей.

10 · 150 · 10–6

—————————————————(1 + 10 · 150 · 10–6) · 5 · 10–10

βt∆t————————(1 + βt∆t)βp

1––βp

βtW∆t————————(W + βtW∆t)

1––βp

∆W——W �

7250 · 3,14 · 0,32

——————————4

ρπd2h————

4

19Контрольные вопросы и задания

3. Что такое плотность жидкости, в каких единицах ее измеряют?4. Что такое вязкость жидкости и когда это свойство проявля-

ется?5. Какие коэффициенты характеризуют вязкость жидкости?6. Из какого закона определяется коэффициент динамической

вязкости?7. От какого параметра значительно зависит вязкость жидкости?8. Какие жидкости называются ньютоновскими, а какие не-

ньютоновскими?

Глава 1. Жидкости и их основные физические свойства20

Глава 2ГИДРОСТАТИКА

2.1. Равновесие жидкости и действующие силыГидростатика — раздел гидравлики, в котором изучается

жидкость, находящаяся в равновесии.Если на выделенную массу жидкости не действуют

внешние силы, то все частицы этой массы остаются непо-движными относительно выбранной системы координат,т.е. находятся в покое или движутся с одинаковой для всехчастиц скоростью, при этом взаиморасположение частицостается постоянным. Такое состояние жидкости называет-ся равновесным. В случае воздействия внешних сил либоравновесное состояние жидкости сохраняется, либо жид-кость переходит в состояние движения с ускорением частицжидкости.

Рассмотрим, какие силы могут действовать на жидкость,находящуюся в равновесии, и каким условиям должны удов-летворять внешние силы, чтобы условия равновесия жидко-сти не нарушались.

Выделим некоторый объем W из массы жидкости, нахо-дящейся в резервуаре, и рассмотрим силы, действующие наэтот объем.

Эти силы могут быть поверхностными и массовыми.Поверхностные силы — это силы давления, действующие

на поверхности выделенного объема, они пропорциональныразмеру площади ∆ω, взятой на этой поверхности (силыN1, N2, ..., Ni, ..., рис. 2.1).

Массовые силы — это внешние силы, пропорциональныемассе жидкости, заключенной в выделенном объеме (сила Rна рис. 2.1). К таким силам относятся силы тяжести и силыинерции.

Для того чтобы жидкость находилась в состоянии равно-весия (покоя), необходимо, чтобы силы, действующие в точ-ках ее граничной поверхности, были направлены под углом

90° к этой поверхности. Действительно, так как жидкостисопротивляются сжимающим усилиям и в силу свойства те-кучести не могут сопротивляться сдвигающим усилиям, си-ла N (рис. 2.2) должна быть направлена нормально (под уг-лом 90°) к поверхности, ограничивающей объем жидкости,и не может быть направлена под другим углом, как, напри-мер, сила F, стремящаяся сдвинуть частицу жидкости, нахо-дящуюся в точке M (силу F можно разложить на две состав-ляющие — N и T).

В то же время сила N не может быть направлена от по-верхности, так как реальные жидкости не сопротивляютсярастягивающим усилиям.

2.2. Гидростатическое давление и его свойстваОдним из основных понятий гидростатики является по-

нятие гидростатического давления. Для его объяснения рас-смотрим некоторый объем жидкости, находящейся в равно-весии (рис. 2.3).

Проведем секущую плоскость I—I, которая разделитобъем W на две части, и отбросим мысленно одну из них, на-пример верхнюю. Действие отброшенной части на нижнююзаменим распределенными по поверхности силами ∆F, дей-ствующими на площадку ∆ω. Представим, что ∆ω «стягива-ется» в точку A. Тогда предел отношения ∆F/∆ω при ∆ω 0называется гидростатическим давлением в рассматриваемойточке:

p = = . (2.1)dF——dω

∆F——∆ω

lim∆ω0

Глава 2. Гидростатика22

Рис. 2.1. Силы, действующиена жидкость в условиях равновесия

Рис. 2.2. Действиеповерхностных сил

Следует отметить, что этот же предел отношения ∆F/∆ωв курсе сопротивления материалов носит название упруго-го напряжения сжатия σ:

σ = .

Таким образом, гидростатическое давление в рассмат-риваемой точке жидкости есть упругое напряжение сжа-тия, возникающее в жидкости под действием внешних сил.В качестве единицы измерения этой величины применяют1 Па (один паскаль). Под 1 Па понимают давление, создава-емое силой в 1 Н, которая равномерно распределена по по-верхности площадью 1 м2.

Рассмотрим свойства гидростатического давления.Так как сила ∆F, использованная в данном определении

понятия гидростатического давления, должна быть перпен-дикулярна площадке ∆ω (жидкость находится в равнове-сии), то и гидростатическое давление должно быть направ-лено со стороны жидкости по нормали к той поверхности,на которую действует. Это и является первым свойствомгидростатического давления.

Выделим в покоящейся жидкости, находящейся в усло-виях земного тяготения, элементарный объем в виде кубикасо сторонами dx, dy, dz (рис. 2.4). Оси координат направимпараллельно сторонам.

Кубик находится в равновесии, значит, уравновешеныповерхностные и массовые силы, действующие на кубик повсем трем осям x, y, z:

dF �x = dFx��; dF �y = dFy��; dF �z = dFz�� – dRz.

lim∆ω0

∆F——∆ω

232.2. Гидростатическое давление и его свойства

Рис. 2.3. К определению понятия гидростатического давления

Для условий Земли единственной массовой силой R яв-ляется сила тяжести, т.е. в рассматриваемом случае dRz == ρgdxdydz, где dxdydz — объем кубика.

Так как p = dF/dω, систему уравнений можно записатьв следующем виде:

Сократив равенства, получимp �x = px��; p �y = py��; p �z + ρgdz = pz��.

Членом ρgdz по сравнению с p �z можно пренебречь как ве-личиной бесконечно малой. Получаем, что

p �x = px��; p �y = py��; p �z = pz��.

Выделенный кубик не деформируется, находясь в усло-виях равновесия, значит

p �x = px�� = p �y = py�� = p �z = pz��.

В результате логично сделать вывод: так как кубик бес-конечно мал и выбран в произвольном месте, то и для любойточки жидкости гидростатическое давление одинаково повсем направлениям — это и есть второе свойство гидростати-ческого давления.

Из этого свойства вытекает следствие: так как любаяточка определяется ее координатами, гидростатическое дав-ление в точке зависит от координат рассматриваемой точки:

p = f(x, y, z).

p �xdydz = px��dydz,p �ydxdz = py��dxdz,p �zdydx = pz��dydx – ρgdxdydz.

Глава 2. Гидростатика24

Рис. 2.4. Действие внешних сил на объем жидкостив виде элементарного кубика

252.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Рис. 2.5. К выводу уравнений Эйлера

2.3. Дифференциальные уравнения равновесия жидкостиВыделим внутри покоящейся, находящейся в условиях

равновесия, жидкости некоторый объем dW в виде паралле-лепипеда с ребрами, параллельными координатным осямOX, OY, OZ (рис. 2.5). На грани рассматриваемого паралле-лепипеда действуют поверхностные силы давления dF �x, dFx��,dF �y, dFy��, dF �z, dFz�� и некоторая массовая сила dR.

Для того чтобы рассматриваемый объем находился в со-стоянии покоя (равновесия), должны выполняться условия:

ΣFx = 0; ΣFy = 0; ΣFz = 0; ΣMc = 0,

где последнее уравнение — сумма моментов действующихсил относительно выбранной точки c.

Рассмотрим первое уравнение ΣFx = 0 и определим про-

екции всех действующих сил на ось OX. Грани элементарно-го объема имеют размеры ребер dx, dy, dz, поэтому площадилевой и правой грани параллельны плоскости YOZ: dωz == dydz. Площадки бесконечно малы, поэтому можно при-нять, что в каждой точке левой грани действует среднее дав-

ление p, а на правой грани p + dx, так как гидростатиче-

ское давление является функцией координат (p = f(x, y, z)),а при переходе от левой к правой грани изменяется толькокоордината x.

Сила dF �x, действующая на левую грань параллелепипеда:

dF �x = pdydz.

∂p––∂x