1

ZJAWISKA TRANSPORTU ORAZ ZASADA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO

1.1. Zjawiska transportu.

Krystaliczne ciało stałe jest tradycyjnym obiektem bada� mechaniki

kwantowej. Wykorzystuj�c formalizm mechaniki kwantowej wytłumaczono

przyczyn� istnienia ciał o ró�nych wła�ciwo�ciach elektrycznych tj. dielektryków,

półprzewodników i metali, wyja�niono obserwowan� zale�no�� ciepła wła�ciwego

i przewodnictwa metali od temperatury, oraz natur� magnetyzmu ciał stałych

i rozwini�to zagadk� nadprzewodnictwa. Zjawisko przewodnictwa cieplnego, obok

kilku innych termodynamicznych procesów nierównowagowych, zaliczamy do tzw.

zjawisk transportu.

Podstawowe termodynamiczne parametry stanu, tj. temperatura, ci�nienie itp. s�

�ci�le zdefiniowane jedynie w stanie równowagi termodynamicznej. W odniesieniu do

stanów nierównowagowych okre�lenie funkcji termodynamicznych mo�e sta� si� b�d�

niejednoznaczne, b�d� pozbawione sensu fizycznego. Istnieje jednak szeroka klasa

zjawisk nierównowagowych, których opis jest stosunkowo prosty, poniewa�

nawi�zuje do opisu stanów równowagi. Do takich zjawisk nale�� zjawiska

przenoszenia lub transportu, do których zaliczamy: przewodnictwo cieplne

i elektryczne, dyfuzj� i lepko��. W dalszej cz��ci tej pracy uwag� swoj� skupi� na

przewodnictwie cieplnym.

Przewodnictwo cieplne polega na przekazywaniu energii pomi�dzy cz��ciami ciała,

których temperatury s� ró�ne. Z tym zjawiskiem mamy do czynienia wówczas, gdy

wydzielon� cz��� ciała podgrzejemy. Po pewnym czasie dzi�ki przekazywaniu energii,

temperatura całego ciała wyrówna si�. Wielko�ci� przenoszon� jest energia

wewn�trzna ciała, a zjawisko zachodzi dzi�ki temu, �e w tym ciele wyst�puje gradient

temperatury.

Wprawdzie mechanizmy przewodno�ci cieplnej, elektrycznej, lepko�ci i dyfuzji

s� zupełnie od siebie ró�ne, to maj� wspólne, makroskopowe cechy, co da si� wyrazi�

ogólnym równaniem transportu:

2

gradAj β−=

gdzie j jest wektorem g�sto�ci strumienia odpowiedniej wielko�ci (energii

wewn�trznej, ładunku, masy, p�du), β jest współczynnikiem proporcjonalno�ci

(przewodno�ci cieplnej, elektrycznej, dyfuzji, lepko�ci), za� A jest zale�n� od

współrz�dnych przestrzennych, wielko�ci� skalarn�, której gradient powoduje dane

zjawisko (temperatur�, potencjałem, g�sto�ci�, pr�dko�ci�). Dokładnie tak� sam�

posta� ma prawo Fouriera, które opisuje nam przewodnictwo cieplne. Prawo to

zostanie szerzej omówione w rozdziale drugim. Wszystkie procesy, w których

parametry stanu z biegiem czasu zmieniaj� si�, nosz� nazw� niestacjonarnych.

1.2. Sposoby przekazywania ciepła.

Podstawy teoretyczne opisuj�ce proces przekazywania ciepła wewn�trz

pewnego obiektu lub mi�dzy kilkoma podobiektami mog�cymi oddziaływa� na siebie

obejmuj� jeden z obszernych rozdziałów termodynamiki. Podstawowym prawem

przekazywania ciepła jest druga zasada termodynamiki, która głosi, �e samoczynne

przekazywanie ciepła jest mo�liwe tylko w kierunku spadku temperatury,

za� o intensywno�ci przekazywania ilo�ci ciepła decyduje głównie ró�nica temperatur.

Przekazywanie ilo�ci ciepła jest nauk� opart� na termodynamice obiektów nie

znajduj�cych si� w równowadze termicznej. Ilo�ciowe uj�cie wymienionej energii

musi podlega� pierwszej zasadzie termodynamiki. Badania naukowe wykazały, �e

przekazywanie ilo�ci ciepła nie stanowi jednolitej cało�ci pod wzgl�dem metod

stosowanych w rozwi�zaniu poszczególnych problemów. Dlatego wyodr�bnia si� trzy

podstawowe, ró�ne pod wzgl�dem fizycznym, sposoby realizacji przekazywania ilo�ci

ciepła zwane: przewodzeniem ciepła, konwekcj� oraz przekazywaniem ciepła przez

promieniowanie. Ka�dy z tych sposobów przekazywania ciepła jest opisywany innymi

podstawami teoretycznymi.

1.2.1. Przewodnictwo cieplne.

Przewodzenie ciepła, jak wy�ej było wspomniane, polega na bezpo�rednim

przekazywaniu energii kinetycznej jednej cz�stki innej cz�stce, a wi�c jest mo�liwe

tylko wówczas gdy wyst�puje bezpo�redni kontakt mi�dzy molekułami

3

(cz�steczkami). Cz�stki znajduj�ce si� w cieplejszych miejscach ciała s� obdarzone

wi�ksz� energi� ni� pozostałe i cz��� swej energii oddaj� bezpo�rednio cz�stkom

s�siednim, nale��cym do chłodniejszej cz��ci ciała. Proces ten trwa dopóty, dopóki nie

nast�pi mo�liwie równomierny rozkład pr�dko�ci w całym ciele, ewentualnie w całej

przestrzeni. Przewodzenie ciepła mo�e odbywa� si� zarówno w substancjach stałych,

jak i w cieczach oraz gazach. Jednak�e ciecze i gazy wykazuj� mniejsz� zdolno��

przewodzenia ciepła (z wyj�tkiem ciekłych metali).

Teoria zagadnie� obejmuj�cych przewodzenie ciepła sprowadza si� do rozwi�zania

równa� ró�niczkowych cz�stkowych w zmiennych warunkach brzegowych.

Metale, które s� najlepszymi przewodnikami elektryczno�ci, s� równocze�nie

najlepszymi przewodnikami ciepła. Przyczyna tkwi w tym, �e ciepło w metalach jest

przekazywane nie tylko przez drgaj�ce atomy, lecz tak�e przez wyst�puj�ce w nich

swobodne elektrony.

1.2.2. Konwekcja.

Cho� gazy i ciecze �le przewodz� ciepło, dobrze jednak przekazuj� ciepło przez

unoszenia, czyli konwekcje. Konwekcja polega na w�drówce substancji wraz ze swym

ciepłem z jednego miejsca na inne. Wyró�niamy dwa rodzaje konwekcji, mianowicie

konwekcj� swobodn�, która wyst�puje wówczas gdy ruch o�rodka (płynu lub gazu)

wywołany jest jedynie ró�nic� temperatur oraz konwekcj� wymuszon� – gdy ruch

o�rodka wywołany jest za pomoc� pompy lub wentylatora.

Dobrymi przykładami konwekcji s� wiatry, centralne ogrzewanie oraz pr�dy morskie,

np. Golfstrom, który unosi ciepło z Zatoki Meksyka�skiej a� do północno –

wschodnich wybrze�y Europy i dalej do Morza Arktycznego. Je�eli warunki, w jakich

znajdzie si� gaz, uniemo�liwiaj� powstawanie pr�dów, a zatem i unoszenie ciepła, to

gaz staje si� dobrym izolatorem ciepła; przykładem mo�e tu by� warstwa powietrza

mi�dzy podwójnymi oknami i podwójnymi drzwiami, wypełnione powietrzem puste

miejsca i pory w ubraniu, w wacie, w słomie itd. Najlepszym izolatorem cieplnym jest

pró�nia, przestrze� pozbawiona powietrza i innych gazów; wobec braku cz�steczek

nie jest tu mo�liwe ani przewodzenie, ani unoszenie ciepła. Najbardziej znane jest

zastosowanie izoluj�cej wła�ciwo�ci pró�ni w termosie. Jego �cianki s� podwójne,

4

a przestrze� mi�dzy nimi opró�niona jest z powietrza. Aby utrudni� przenoszenie

ciepła przez promieniowanie, �cianki termosu s� posrebrzane, wskutek czego odbijaj�

promieniowanie cieplne.

1.2.3. Promieniowanie.

W pustej przestrzeni istnieje jednak trzecia mo�liwo�� transportu ciepła – przez

promieniowanie. W taki wła�nie sposób dociera ciepło ze Sło�ca na Ziemi�

przebywaj�c 150 milionów kilometrów przez pozbawion� substancji przestrze�

kosmiczn�.

Energia promienista zaabsorbowana przez o�rodek materialny jest zamieniana na

ciepło, co powoduje, �e w ten sposób mo�emy ogrzewa� dane ciało.

Ogrzewaj�c ciało dostarcza si� mu energi� powoduj�c� wzmo�enie drga� atomów

i cz�steczek, które przechodz� w stan wzbudzony (w tym przypadku wzbudzony

termicznie, czyli za pomoc� ciepła). Stany wzbudzone trwaj� jednak bardzo krótko, na

ogół tylko ułamek sekundy. Po upływie tego czasu atomy i cz�steczki na powierzchni

ciała przechodz� z wy�szego stanu energetycznego w stan ni�szy i ró�nica energii

zostaje wypromieniowana w postaci fotonu. Fotony w�druj� w przestrzeni po liniach

prostych z pr�dko�ci� �wiatła jako niewidzialne promieniowanie cieplne dopóty,

dopóki nie zostan� pochłoni�te przez inne cz�stki i wyzyskane do wzbudzenia, a wi�c

do ogrzania. Energia promieniowania ulega przemianie w energi� drga� atomów

i cz�steczek.

Dodatkow� cech� charakterystyczn� przekazywania ilo�ci ciepła przez

promieniowanie jest to, �e odbywa si� ono mi�dzy substancjami nie b�d�cymi

w kontakcie ze sob�.

W warunkach rzeczywistych wy�ej wymienione sposoby przekazywania ilo�ci

ciepła bardzo rzadko wyst�puj� pojedynczo, a w wi�kszo�ci przypadków stanowi� ich

ł�czne przekazywanie ciepła.

Cz�sto w praktyce in�ynierskiej mo�na pomin�� jeden ze sposobów przekazywania

ciepła. Je�li w danym zjawisku wyst�puje równocze�nie promieniowanie

i przewodzenie, to mo�na pomin�� ten sposób przekazywania ciepła, który ma

mniejsze oddziaływanie na całe zjawisko.

5

1.3. Mechanizmy przewodzenia ciepła.

1.3.1. Mechanizm przewodzenia ciepła w gazach.

Kinetyczna teoria gazów

Teoria kinetyczna gazów (nazywana te� teori� kinetyczno-molekularn� albo

kinetyczno-cz�steczkow�) jest efektem zastosowania zasad dynamiki i prostych

technik u�redniania do układu cz�steczek okre�lonego w mikroskopowej definicji gazu

doskonałego. Jest pierwotn� i okrojon� wersja mechaniki statystycznej. Pozwala

ł�czy� kinematyczne wielko�ci dotycz�ce pojedynczych cz�stek gazu

z termodynamicznymi parametrami takimi jak ci�nienie czy temperatura. Rozwin�li j�

m.in. R. Boyle, D. Bernoulli, R. Clausius i C. Maxwell.

Gaz - zgodnie z przyj�tym modelem - to zespół wielu cz�steczek - punktów

materialnych poruszaj�cych si� chaotycznie. Cz�steczki te zderzaj� si� ze sob� oraz

ze �ciankami naczynia i wła�nie zderzenia ze �ciankami s� dla nas szczególnie

interesuj�ce. Podczas tych zderze� zmienia si� wektor pr�dko�ci cz�steczek. Zgodnie

z drug� zasad� dynamiki F = m (∆v/∆t) do zmiany pr�dko�ci ciała potrzebna jest siła.

W tym przypadku jest to siła z jak� �cianka działa na cz�steczk� podczas zderzenia,

a skoro �cianka działa na cz�steczki gazu, to, zgodnie z trzecia zasad� dynamiki,

cz�steczki gazu oddziałuj� pewn� sił� na �cianki. Widzimy wi�c, �e na poziomie

mikroskopowym za ci�nienie gazu wywierane na �cianki naczynia odpowiedzialne jest

oddziaływanie cz�steczek gazu ze �ciankami podczas zderze�.

Poni�ej pokazane jest wyprowadzenie wzoru na ci�nienie gazu wywierane na �cianki naczynia.

Rozwa�my gaz - zespół cz�steczek chaotycznie poruszaj�cych si� w pudle -

sze�cianie o kraw�dzi l. Podczas spr��ystych zderze� z wybran� - powiedzmy "doln�

poziom�" - �ciank� zmienia si� na przeciwn� składowa pr�dko�ci prostopadła do

�cianki, dwie pozostałe składowe - le��ce w płaszczy�nie �cianki - nie ulegaj�

zmianie.

Wektory p�du i cz�steczki przed i po zderzeniu mo�emy zapisa�:

( )zyxprzed mvmvmvp ,,=

6

( )zyxprzed mvmvmvp −= ,,

co ilustruje poni�szy rysunek.

Zmiana p�du dana jest przez:

( )zprzedpo mvppp 2,0,0 −=−=∆

a wi�c ma tylko jedn� składow� i jej warto�� równa jest:

zmvp 2−=∆

Druga zasada dynamiki daje natychmiast warto�� siły działaj�cej na cz�stk�:

tmv

tp

F z

∆−=�

�

���

�

∆∆= 2

Znak minus oznacza tu, �e siła działaj�ca na cz�steczk� skierowana jest "od �cianki".

Trzecia zasada dynamiki pozwala zauwa�y�, �e siła z jak� cz�steczka działa na

�ciank� równa jest:

tmv

F z

∆= 2

Czas mi�dzy zderzeniami to czas potrzebny do przebycie przez cz�steczk�

drogi "tam i z powrotem" pomi�dzy �ciankami naczynia: zvl

t2=∆ , i takiej warto�ci

czasu u�yjemy obliczaj�c �redni� warto�� siły.

lmv

vl

mvF z

z

z2

22 ==

Jest to wkład od jednej cz�steczki. Sumuj�c wkład od wszystkich cz�steczek

otrzymamy:

7

( )...22

21 ++= zz vv

lm

F

W nawiasie sumujemy tu kwadraty z-owej składowej wszystkich cz�steczek.

Praw� stron� podzielimy i pomno�ymy przez liczb� cz�steczek N:

( )Nvv

lmN

F zz ...22

21 ++=

Łatwo zauwa�y�, �e drugi ułamek jest po prostu �redni� kwadratu z-owej

składowej pr�dko�ci w całym zespole:

( ) { }222

21 ...

zzz v

Nvv =++

Wzór na sił� przybiera posta�:

{ }2zv

lNm

F =

Ci�nienie z kolei jest stosunkiem siły działaj�cej na powierzchni� (w naszym

przypadku �ciank�) do pola tej powierzchni (u nas kwadratowa �ciana sze�cianu ma

pole S = l2)

{ } { } { }22

3

2

zzz v

VvM

lvNm

SF

p ρ====

Pozostaje uwolni� si� od wybranego do rozwa�a� kierunku z. Dla ka�dej

cz�steczki mamy v2 = vx2 + vy

2 + vz2, co dla �redniej w zespole daje:

{v2} = {vx2} + {vy

2} + {vz2}

Poniewa� �aden kierunek nie jest wyró�niony i �rednie pr�dko�ci we

wszystkich kierunkach s� równe wi�c {vx2} = {vy

2} = {vz2} . Mo�emy napisa�:

{v2} = {vz2} + {vz

2} + {vz2} = 3{vz

2}

czyli

{ } { }22

31

vvz =

Wzór na ci�nienie da si� wi�c zapisa� nast�puj�co:

{ }2

31

vp ρ=

8

gdzie v2 oznacza �redni� w całym zespole warto�� kwadratu pr�dko�ci cz�stki a ρ jest

g�sto�ci� gazu.

Inn� popularn� posta� tego wzoru otrzymujemy pami�taj�c, �e oraz M = Nm -

ilo�� cz�steczek pomno�ona przez mas� cz�steczki.

Daje to:

{ }2

31

vNmpV =

Iloczyn masy cz�steczki i kwadratu pr�dko�ci prowadzi do poj�cia energii kinetycznej.

Wzór mo�na wi�c zapisa� jako:

{ }KENpV32=

Oczywi�cie { } 2

21

mvEK = oznacza �redni� warto�� energii kinetycznej cz�steczek

gazu. Kinetyczna interpretacja temperatury gazu

Znajomo�� wyprowadzonego powy�ej wzoru na ci�nienie gazu pozwala na

podanie kinetycznej interpretacji temperatury. Ł�cz�c zale�no�� KNEpV32=

z równaniem Clapeyrona NkTpV = otrzymujemy:

KNENkT32=

czyli

kTEK 23=

Wida� wi�c, �e temperatura jest niczym innym jak miar� �redniej energii

kinetycznej cz�steczek gazu i �e energia cz�steczek gazu zale�y wył�cznie od

temperatury.

Jest to podstawowy wynik kinetycznej teorii gazu doskonałego. Pami�taj�c, �e 2

21

mvEK = , mo�emy z powy�szego zwi�zku otrzyma� "termiczn�" posta� wzoru na

�redni� pr�dko�� kwadratow�:

VM=ρ

9

mkT

vv kw�r

32, ==

Ten ciekawy rezultat wi��e wprost pr�dko�� cz�steczek z temperatur� i mas�.

Dla gazu składaj�cego si� z cz�steczek o ró�nych masach, w danej temperaturze

wi�ksze pr�dko�ci (oczywi�cie bior�c pod uwag� warto�ci �rednie) b�d� miały

cz�steczki o mniejszej masie. Tym wła�nie tłumaczymy nieobecno�� wodoru

w ziemskiej atmosferze. Cz�steczki wodoru, jako najmniej masywne, miały

najwi�ksze pr�dko�ci, w szczególno�ci cz�sto wi�ksze od drugiej pr�dko�ci

kosmicznej (pr�dko�� ucieczki) co spowodowało ich odpływ w przestrze� kosmiczn�.

Ró�nicowanie pr�dko�ci w zale�no�ci od masy jest te� podstaw� rozdzielania

izotopów. Cz�steczki zawieraj�ce l�ejsze j�dra szybciej dyfunduj�. Wielokrotnie

powtarzany proces dyfuzji przez porowate przegrody prowadzi do wyselekcjonowania

cz�stek ró�ni�cych si� mas�, tak na przykład prowadzi si� proces wzbogacania uranu.

Przewodnictwo cieplne gazów.

Z kinetycznej teorii gazów, po przyj�ciu pewnych uproszcze�, mo�na

wyprowadzi� wzór na przewodnictwo cieplne gazów .

Strumie� cz�stek w kierunku x wynosi { }xvn21 . Gdzie n jest koncentracj� cz�stek;

w warunkach równowagi istnieje strumie� cz�stek równy co do warto�ci, lecz

przeciwnie skierowany. Je�li przez cw oznaczymy ciepło wła�ciwe cz�stki, to

wówczas przy przesuni�ciu jej z obszaru o temperaturze T+∆T do temperatury T

energia cz�stki wynosi� b�dzie cw∆T. Ró�nica temperatur ∆T mi�dzy kra�cami drogi

swobodnej cz�stki wynosi teraz:

τxvdxdT

T =∆

gdzie τ jest �rednim czasem mi�dzy zderzeniami.

Wypadkowy strumie� energii (b�d�cy wynikiem obu strumieni cz�stek) wynosi

zatem:

{ }dxdT

cvndxdT

cvnq wwx ττ 22

31=><=

gdzie:

10

cw - ciepło wła�ciwe

Je�eli v jest stałe, tak jak w przypadku fononów, to powy�szym wzór mo�emy napisa�

w postaci:

dxdT

Cvlq31=

w którym �rednia droga swobodna cz�steczek wynosi l=vτ, a C=cwn. Porównuj�c ten

wzór z wzorem na strumie� energii cieplnej w stanie ustalonym, mo�emy stwierdzi�,

�e współczynnik przewodno�ci cieplnej jest równy Cvl31=λ .

1.3.2. Mechanizm przewodzenia ciepła w ciałach stałych.

Jednym z fundamentalnych rezultatów kwantowej fizyki ciała stałego jest

wniosek, �e struktura energetyczna kryształu, przy niezbyt wysokich temperaturach,

jest podobna do struktury energetycznej gazu nie oddziałuj�cych obiektów

kwantowych zwanych quasi-cz�stkami. Znaczy to, �e energia ciała stałego jest sum�

energii poszczególnych kwazicz�stek, odpowiadaj�cych ruchom elementarnym

kryształu.

Atomy kryształu zajmuj� w ró�nych jego komórkach identyczne poło�enia i maj�

identyczne otoczenia. Atomy te mo�na porówna� do obwodów drgaj�cych

nastrojonych na t� sam� cz�sto�� i zdolnych do wzajemnego rezonansu. Dowolne

wzbudzenie jednego z atomów powoduje analogiczne wzbudzenie w atomach

s�siednich, poniewa� kryształ jest o�rodkiem spr��ystym. Tak wi�c wzbudzenie nie

utrzymuje si� w danym miejscu, lecz w postaci fali rozchodzi si� po całym krysztale.

Zgodnie z prawami mechaniki kwantowej ruch zwi�zany z tymi falami powstaje

i mo�e by� przekazywany wył�cznie w postaci okre�lonych porcji energii (kwantu)

fali spr��ystej.

Mechanizm przewodnictwa cieplnego sieci krystalicznych ciał stałych, nie

zawieraj�cych elektronów swobodnych, jako�ciowo ró�ni si� od przewodnictwa

cieplnego metali. Przewodnictwo cieplne takich ciał stałych jest �ci�le zwi�zane

z charakterem ruchu cieplnego cz�stek tworz�cych ich sieci krystaliczne. Istotny jest

fakt, �e cz�stki te zwi�zane s� ze sob� siłami wzajemnego oddziaływania, zale�nymi

od odległo�ci mi�dzy nimi. Dlatego drgania cieplne jednych cz�stek s� przekazywane

11

drugim. Na przykład, drgania spr��yste cz�stek A w sieci jednowymiarowej, któr�

mo�na schematycznie przedstawi� w postaci szeregu cz�stek poł�czonych ze sob�

spr��ynami (rys.1.), b�d� przekazywane cz�stkom s�siednim B, C itd.

Rysunek 1 Schematyczne przedstawienie sieci jednowymiarowej.

Proces ten prowadzi do rozchodzenia si� w krysztale tzw. fal spr��ystych,

przenosz�cych energi� drga� od jednych w�złów do drugich. Analogiczne fale

spr��yste, rozchodz�ce si� w gazach i cieczach, stanowi� fizyczn� natur� d�wi�ku

(fale akustyczne). Pr�dko�� rozchodzenia si� fal spr��ystych w ciele stałym jest

w przybli�eniu równa kilku kilometrom na sekund�. Wydawałoby si�, �e z tak�

pr�dko�ci� powinna rozchodzi� si� w takim ciele energia cieplnych drga� cz�stek.

Tymczasem pr�dko�� przekazywania tej energii od cieplejszych do zimniejszych

obszarów ciała stałego jest proporcjonalna do gradientu temperatury i pozostaje

stosunkowo mała, nawet przy bardzo du�ych gradientach temperatury. Tylko w bardzo

niskich temperaturach współczynnik przewodnictwa cieplnego osi�ga znaczne

warto�ci. Mo�na by było podsumowa� to nast�puj�cym stwierdzeniem : „Zaburzenie

nie mo�e oczywi�cie rozchodzi� si� pr�dzej, ni� poruszaj� si� przekazuj�ce je no�niki,

podobnie jak wiadomo�� nie mo�e przyby� wcze�niej ni� nios�cy j� goniec”1.

Oczywi�cie to tylko w małej mierze tłumaczy, dlaczego energia cieplnych drga�

cz�stek rozchodzi si� wolniej ni� fale spr��yste.

Aby dokładniej wytłumaczy� dlaczego tak si� dzieje, konieczne jest

uwzgl�dnienie nieharmonicznego charakteru drga� cz�stek ciała stałego. Okazuje si�,

�e drgania te powoduj� osłabianie i rozpraszanie fal cieplnych w krysztale.

Rozpraszanie fal cieplnych zwi�ksza si� ze wzrostem amplitudy nieharmonicznych

drga� cz�stek sieci, tj. ro�nie z podwy�szeniem temperatury, przy czym

przewodnictwo cieplne ciała maleje. Rozpraszanie fal cieplnych mo�na uwzgl�dni�,

1 Katscher F.: Fizyka popularna, wyd. Wiedza Powszechna, Warszawa 1976r., str.34.

12

wprowadzaj�c poj�cie �redniej długo�ci drogi swobodnej fal spr��ystych w krysztale.

Wówczas wszystko odbywa si� tak, jakby fala została urwana po okre�lonym

przebiegu i na jej miejsce powstała nowa, o innym kierunku rozchodzenia si� przy tym

przenoszenie energii od cieplejszej do zimniejszej cz��ci kryształu jest znacznie

utrudnione, gdy� fale cieplne nie rozchodz� si� prostoliniowo. Analogiczne zjawisko

wyst�puje w przypadku przewodnictwa cieplnego gazów. Je�li długo�� drogi

swobodnej cz�stki b�dzie wielokrotnie mniejsza od rozmiarów liniowych naczynia,

którego przeciwne �cianki utrzymywane s� w ró�nych temperaturach, wówczas

cz�steczki, ulegaj�c cz�stym zderzeniom z drugimi cz�steczkami, powoli dyfunduj�

od �cianki ciepłej do zimnej, poruszaj�c si� po zło�onej zygzakowatej drodze.

Stan kryształu zmienia si� wraz ze zmian� temperatury. Rozpatrzmy sytuacj� kiedy

ciało znajduje si� w temperaturze zera bezwzgl�dnego. Z punktu widzenia fizyki

klasycznej przy T=0 [K] ustaje wszelki ruch. Atomy i jony powinny zastyga� w swych

poło�eniach równowagi. Mechanika kwantowa obala ten wniosek jako niezgodny

z zasad� Heisenberga. A wi�c ruch trwa nawet w T=0 [K] i nosi on nazw� drga�

zerowych.

Podwy�szenie temperatury oznacza zwi�kszenie energii chaotycznego,

nieuporz�dkowanego ruchu atomów. W ciele stałym ruch dowolnej cz�stki wywiera

wpływ na jej s�siadów, a wi�c w ciele stałym mo�liwe s� tylko kolektywne ruchy

cz�stek (patrz rys. 1.).

Atomy mo�na traktowa� jako trójwymiarowe oscylatory harmoniczne. Energia takich

oscylatorów jest skwantowana i jak wykazano, dozwolone warto�ci energii s� opisane

wzorem:

νhnEn ��

���

� +=21

gdzie n=0, 1, 2,..., natomiast ν jest cz�sto�ci� drga� mechanicznych. Zmiany energii

towarzysz�ce przej�ciu ze stanu energetycznego opisanego liczb� kwantow� n1 do

s�siedniego stanu o wi�kszej energii opisanego liczb� kwantow� n2, wynosz�:

( ) νννν hhnnhnhnEE nn =−=��

���

� +−��

���

� +=− 121212 21

21

13

poniewa� liczby całkowite n1 oraz n2 ró�ni� si� o jeden. Wobec tego, gdy atom

pochłania energi� ciepln�, jego energia wzrasta co najmniej o hν; natomiast

w przej�ciu odwrotnym, atom emituje energi�. Sytuacja jest całkiem podobna do

przej�� zwi�zanych z absorpcj� i emisj� fotonów, a nazwa fonon słu�y do opisu

kwantu energii cieplnej absorbowanej lub emitowanej przez atom.

Absorpcja fononów powoduje przesuni�cia atomów, co prowadzi do wibracji sieci

i dlatego fonony mo�na uwa�a� za niedoskonało�ci kryształu, poniewa� w idealnej

sieci wszystkie atomy powinny si� znajdowa� w stanie spoczynku.

Najprostsz� form� ruchu kolektywnego atomów w ciele stałym s� ich drgania wokół

poło�e� równowagi. Drgania te rozchodz� si� w postaci fal po całym krysztale,

a kwant energii tej fali nosi wła�nie nazw� wy�ej wspomnianego fononu. Fonony

mo�na traktowa� jako do�� niezwykły gaz, który charakteryzuje si� tym, �e wraz ze

wzrostem temperatury wzrasta równie� ilo�� fononów. Energia ruchu drgaj�cych

atomów kryształu jest równa sumie energii fononów. Własno�ci gazu fononów

okre�laj� pojemno�� ciepln� kryształów i ich przewodnictwo cieplne i s�

odpowiedzialne za hamowanie ruchu elektronów w metalach, tzn. s� jednym ze �ródeł

oporu elektrycznego.

Je�li zało�ymy sytuacj� tak� w której b�dziemy mieli zbiornik zawieraj�cy gaz

fononów oraz, �e na jednym z ko�ców ciała stałego podtrzymywana jest temperatura

T1, a na drugim T2, przy czym T2 >T1 wówczas b�dzie to oznaczało, �e na jednym

z tych ko�ców koncentracja fononów jest mniejsza (temperatura T1) ni� na drugim

(T2). Fonony b�d� przepływa� z ko�ca o temperaturze wy�szej do ko�ca

chłodniejszego, d���c do wyrównania koncentracji w całej obj�to�ci. Przemieszczaj�c

si� w ciele stałym fonony przenosz� energi�. Tak wi�c przenoszenie kolektywnych

drga� sieci w krysztale ma wkład do zjawiska przewodnictwa cieplnego. Z reguły,

przewodnictwo cieplne metali jest wi�ksze od przewodnictwa cieplnego dielektryków.

W dielektrykach mechanizm fononowy jest jedynym mechanizmem przenoszenia

ciepła. W tych materiałach współczynnik przewodnictwa cieplnego w niezbyt niskich

temperaturach jest odwrotnie proporcjonalny do pierwszej pot�gi temperatury

bezwzgl�dnej.

14

Nale�y podkre�li�, �e w metalach du�y udział w przewodnictwie cieplnym ma gaz

elektronów swobodnych, którego istnienie odró�nia metale od innych ciał stałych.

W metalu elektrony walencyjne nie s� zlokalizowane, �aden z nich nie jest zwi�zany

z okre�lonym j�drem atomowym, lecz porusza si� w całym metalu. Elektrony

swobodne w procesie zderze� przekazuj� energi� wnosz�c wkład do przewodnictwa

cieplnego. Problem ten b�dzie omówiony szerzej w dalszej cz��ci pracy.

PRZEPŁYW CIEPŁA W STANIE NIEUSTALONYM ORAZ PRAWA OPISUJ�CE PRZEWODNICTWO CIEPLNE

2.1. Prawa opisuj�ce przewodnictwo cieplne.

Jak było wspomniane w rozdziale pierwszym, ciepło mo�e przechodzi� od

obszaru gor�cego do obszaru zimnego w wyniku trzech ró�nych procesów –

przewodnictwa, konwekcji i promieniowania. Ostatni proces polega na przenoszeniu

energii cieplnej przez promieniowanie elektromagnetyczne, dwa pozostałe

mechanizmy natomiast wymagaj� obecno�ci o�rodka materialnego. W procesie

konwekcji ciepło jest przenoszone podczas ruchu o�rodka materialnego jako cało�ci,

a wi�c proces ten mo�e wyst�powa� tylko w cieczach i gazach. Z kolei mechanizm

przewodzenia polega na wymianie energii pomi�dzy cz�steczkami lub jonami

w ciałach stałych, cieczach i gazach. W metalach przewodnictwo cieplne zwi�zane jest

głównie z wymian� energii mi�dzy elektronami przewodnictwa.

Je�li w jakiej� substancji wyst�puje gradient temperatury xT

∂∂ wzdłu� osi x,

wówczas przez jednostk� powierzchni prostopadł� do tej osi w jednostce czasu

przepływa ilo�� ciepła:

Wzór 1

xT

dtdQ

∂∂−= λ

gdzie λ jest współczynnikiem przewodzenia ciepła danej substancji; znak minus

w powy�szym wzorze wskazuje, �e przepływ ciepła zachodzi w przeciwnym kierunku

ni� przyrost temperatury, co oznacza, �e pierwsza zasada termodynamiki pozostaje

w tym przypadku w mocy. Wy�ej przedstawiony wzór stanowi prawo Fouriera.

15

Posta� równania, która okre�la przewodnictwo cieplne wykazuje, �e proces

przenoszenia energii cieplnej jest procesem podlegaj�cym prawom

prawdopodobie�stwa. Proces przewodnictwa nie zachodzi w ten sposób, �e energia

wprowadzona z jednego ko�ca próbki przesuwa si� wprost po linii prostej do drugiego

ko�ca, lecz no�niki energii dyfunduj� przez próbk� bez odchyle�, wówczas wyra�enie

na strumie� cieplny nie zale�ałoby od gradientu temperatury, natomiast zale�ałoby

tylko od ró�nicy temperatury ∆T mi�dzy ko�cami próbki bez wzgl�du na jej długo��.

Proces przewodnictwa cieplnego podlega prawom prawdopodobie�stwa i dlatego

w wyra�eniu na strumie� ciepła wyst�puje gradient temperatury.

Rozpi�to�� w warto�ci współczynnika przewodzenia ciepła mi�dzy dobrymi

przewodnikami, a dobrymi izolatorami wida� w poni�szej tabeli.

Współczynnik λλλλ przewodnictwa cieplnego w temperaturze 293 K

Tabela 1 Materiał λ [W/mK]

Mied� 384

�elazo 88

Woda 0,609

Bawełna 0,182

Powietrze 00 C 0,024

W dalszej cz��ci tego rozdziału zostan� opisane kolejno: prawo Wiedemana –

Franza, które ł�czy w sobie przewodno�� elektryczn� z przewodno�ci� ciepln� oraz

prawo Fouriera – Kierchhoffa.

2.1.1. Prawo Wiedemann – Franza.

Spo�ród substancji stałych metale maj� najwi�kszy współczynnik przewodzenia

ciepła λ. Przekazywanie ilo�ci ciepła w metalach jest wynikiem ruchu swobodnych

elektronów, a w znacznie mniejszym stopniu drganiami atomów wokół w�złów sieci

krystalicznej w kwantach energii, zwanych fononami. Mo�na przyj��, �e

współczynnik przewodzenia ciepła metali jest równy sumie współczynników

przewodzenia ciepła elektronów λe i fononów λf :

16

λ=λe+λf

Swobodne elektrony w metalach zachowuj� si� podobnie jak molekuły gazu

w przestrzeni, dlatego nie bez powodu wprowadzono poj�cie gazu elektronowego.

Przewodzenie ciepła przez elektrony jest spowodowane ruchem tych samych

no�ników co i przewodzenie pr�du elektrycznego. Istnieje wi�c pewna zale�no��

pomi�dzy elektronowym współczynnikiem przewodzenia ciepła a przewodno�ci�

elektryczn� σ oraz temperatur� bezwzgl�dn� T.

Metale s� dobrymi przewodnikami zarówno ciepła jak i pr�du. Istnieje do��

szeroki zakres temperatur, w którym elektrony s� odpowiedzialne nie tylko za

przewodnictwo elektryczne, ale równie� za transport energii wewn�trznej. Prawo

transportu ładunku, czyli prawo Ohma mo�na zapisa� w postaci:

gradVj σ−=

gdzie j jest wektorem g�sto�ci strumienia ładunków, V – potencjałem elektrycznym,

za� współczynnik σ nosi nazw� przewodno�ci elektrycznej wła�ciwej.

Dla jednorodnego pr�ta przewodz�cego pr�d elektryczny prawo Ohma mo�na

zapisa� w postaci:

Sl

IIRUσ

==

gdzie:

Sl

Rσ

=

W powy�szych wzorach : U oznacza ró�nic� potencjałów mi�dzy ko�cami pr�ta, I –

nat��enie pr�du, R – opór elektryczny, l, S – długo�� i powierzchni� przekroju

poprzecznego pr�ta, σ – przewodno�� wła�ciw�.

Przyczyn� przepływu ładunków elektrycznych jest ró�nica potencjałów U,

natomiast wielko�� skutku, tj. nat��enie pr�du, zale�y od parametrów geometrycznych

(S, l) oraz stałej materiałowej σ.

Istnieje prosty zwi�zek pomi�dzy współczynnikiem przewodzenia ciepła λ

a przewodno�ci� wła�ciw� σ, który jako pierwsi wyznaczyli do�wiadczalnie

E. Wiedemann i W. Franz.

17

LT=σλ

gdzie T oznacza temperatur� bezwzgl�dn�, L za� jest współczynnikiem

proporcjonalno�ci, nazwanym liczb� Lorentza.

Prawo Wiedemanna – Franza stwierdza, �e dla metali w niezbyt niskich

temperaturach stosunek przewodnictwa cieplnego do przewodnictwa elektrycznego

jest wprost proporcjonalny do temperatury, przy czym warto�� stałej

proporcjonalno�ci jest niezale�na od rodzaju metalu. Wynik ten odegrał bardzo wa�n�

rol� w rozwoju teorii metali, poniewa� potwierdził model gazu elektronowego.

Stosuj�c kwantow� statystyk� Fermiego – Diraca obliczono liczb� Lorentza, co

było potwierdzeniem słuszno�ci teorii budowy metali i mechanizmów zachodz�cych

w nich zjawisk:

22

)(3 e

kL Bπ=

gdzie : e – ładunek elektronu, kB – stała Boltzmana.

Prawo Wiedemanna – Franza jest spełnione przez wi�kszo�� metali

w temperaturach pokojowych. W niskich temperaturach odst�pstwa od niego s�

bardzo du�e, ale w tych temperaturach w przewodnictwie cieplnym dominuj�c� rol�

zaczyna odgrywa� mechanizm fononowy.

2.2. Przewodzenie ciepła w stanie nieustalonym.

Przez stan nieustalony pr�ta rozumiemy taki jego stan termodynamiczny,

w którym temperatura dowolnego punktu pr�ta jest funkcj� czasu.

Rozpatrzmy pr�t metalowy o przekroju S, długo�ci l, którego ko�ce maj� ró�ne

temperatury T1 i T2 tak jak to przedstawia poni�szy rysunek.

18

Rysunek 2. Przepływ ciepła w pr�cie metalowym.

Wybierzmy element pr�ta, poło�ony wokół punktu x i maj�cy długo�� ∆x.

Załó�my, �e do tego elementu przez powierzchni� S2 wpływa moc dt

dQP 2

2 = , a

przez powierzchni� S1 wypływa dt

dQP 1

1 = . Zgodnie z równaniem (równanie

okre�laj�ce prawo Fouriera i strumie� cieplny) mo�emy zapisa� :

Wzór 2

2

)(2

2xxdx

xdTSP

dtdQ

=== λ oraz 1

)(1

1xxdx

xdTSP

dtdQ

=== λ

gdzie 2xxdx

dT= jest gradientem temperatury w punkcie x2 , a

1xxdxdT

= jest gradientem

temperatury w punkcie x1, przy czym ∆x=x1-x2. Energia, któr� zgromadzi si�

wewn�trz elementu o grubo�ci ∆x w czasie dt wyniesie :

Wzór 3

19

dtdx

xdTdx

xdTSdQdQdQ xxxx �

�

�

� −=−= == 12

)()(12 λ

Energia ta powoduje przyrost temperatury dT rozpatrywanej warstwy :

Wzór 4 dTmcdQ w=

gdzie m=Sρ∆x , ρ oznacza g�sto�� materiału a cw jego ciepło wła�ciwe.

Podstawiaj�c t� warto�� do równania (wzór 9) oraz dziel�c obustronnie przez czas dt

otrzymamy :

Wzór 5

dtdQ

xScdtdT

w ∆=

ρ1

Je�li długo�� ∆x rozpatrywanego elementu pr�ta b�dzie d��y� do wielko�ci

niesko�czenie małej dx ( dxx →∆ ) to wzór 8 mo�na zapisa� w postaci :

Wzór 6

dxdtxT

SdQ 2

2

∂∂= λ

Porównuj�c równania (wzór 10) i (wzór 11) mo�emy w łatwy sposób otrzyma�

nast�puj�ce równanie :

Wzór 7

( ) ( )0

,1,2

2

=∂

∂−∂

∂t

txTDx

txT

gdzie współczynnik D, nazwany współczynnikiem przewodnictwa temperaturowego,

jest równy :

ρλwc

D =

Równanie (wzór 12) jest równaniem cz�stkowym drugiego rz�du o stałych

współczynnikach. W ogólnym przypadku zale�y ono od wszystkich współrz�dnych

przestrzennych i czasu, równie� współczynnik przewodnictwa cieplnego λ mo�e by�

funkcj� temperatury i współrz�dnych. Jego rozwi�zanie, tj. zale�no�� temperatury

T od współrz�dnej przestrzennej x i czasu t jest do�� zło�on� funkcj� tych

współrz�dnych i zale�y od warunków pocz�tkowych i brzegowych.

20

2.3. Wnikanie płaskiej fali termicznej.

Przewodzenie ciepła jest jednym ze zjawisk nieodwracalnych i jako takie jest

przejawem reakcji układu termodynamicznego na zakłócenia stanu równowagi.

Reakcja ta zmierza do zlikwidowania zakłócenia. Zakłócenie, które działa w sposób

trwały, inicjuje pojawienie si� procesu nieustalonego. Proces ten nie doprowadza

jednak do stanu równowagi. Je�eli zakłócenie nie jest stałe, to po dostatecznie długim

czasie dochodzimy do tzw. stanu ustalonego, w którym temperatury w ró�nych

punktach układu s� ró�ne, ale niezmienne w czasie. Stan ustalony mo�e tak�e ulec

zakłóceniu. Równie� i w tym przypadku zakłócenie inicjuje proces nieustalony, który

mo�e doprowadzi� do nowego stanu ustalonego czy te� do stanu równowagi,

w zale�no�ci od charakteru zakłócenia. Specjalny charakter maj� zakłócenia

periodyczne. Pojawiaj�c si� w stanie równowagi lub w stanie ustalonym, jako w stanie

pocz�tkowym, inicjuj� równie� proces nieustalony. Po dostatecznie długim czasie

proces ten doprowadza do periodycznego przewodzenia ciepła, przy którym

temperatura w dowolnym punkcie układu jest periodyczn� funkcj� czasu, o tym

samym okresie co zakłócenie.

Spo�ród wielu mo�liwych nieustalonych warunków brzegowych najwi�ksze znaczenie

praktyczne ma przypadek okresowej zmienno�ci temperatury powierzchni, zwi�zany

z okresowo zmienn� wymian� ciepła na granicy ciała. Przypadki takie zachodz� przy

wymianie ciepła mi�dzy cylindrem silnika tłokowego lub spr��arki a czynnikiem

w regeneratorach o okresowym działaniu i w wielu innych urz�dzeniach.

W dalszej cz��ci b�dzie omówiony jeden z prostszych i bardziej typowych

przykładów, mianowicie zostanie rozpatrzone zagadnienie nieustalonego

przewodzenia ciepła w ciele półniesko�czonym, gdy temperatura jego powierzchni

ulega okresowym zmianom.

Niech temperatura powierzchni (x=0) półprzestrzeni zmienia si� sinusoidalnie:

Wzór 8

θ=θ0sin(ω t)

gdzie:

θ0-amplituda zmian temperatury powierzchni,

ω-cz�sto�� kołowa zmian temperatury.

21

)(

0),( δω

δθθx

tix

eetx−−

=

Dla przypomnienia, jednowymiarowe równanie przewodnictwa cieplnego dla

warunków nieustalonych ma posta�:

Wzór 9

2

2

xCt ∂∂=

∂∂ θλθ

gdzie:

λ- współczynnik przewodnictwa cieplnego,

C - pojemno�� cieplna jednostki obj�to�ci (C=ρ cw, ρ– g�sto�� materiału, cw – ciepło

wła�ciwe). Stosunek λ/C=D jak pokazano w poprzednim punkcie nazywamy

współczynnikiem przewodzenia temperatury.

Rozwi�zuj�c równanie przewodnictwa, mo�na przyj��, �e funkcja b�d�ca

rozwi�zaniem tego równania jest iloczynem dwu wyra�e�, z których jedno jest tylko

funkcj� współrz�dnej x, drugie za� funkcj� czasu. Wi�c rozwi�zaniem równania

(wzór 14) jest funkcja periodyczna:

Wzór 10

Człon δθθx

etx−

= 0),( oznacza amplitud� fali termicznej,

amplituda ta zale�y od współrz�dnej x i maleje expotencjalnie ze wzrostem x (fala

termiczna jest silnie tłumiona).

W celu wyznaczenia stałej δ obliczamy:

),()(

0 txi

xti

e

x

eit

ωθδω

δωθθ =−−

=∂∂

)1(),(

),(),(1 +−=−−=

∂∂

itx

txi

txx δ

θθδ

θδ

θ

oraz

2222

22

2 ),(2

),()12()1(

),(δ

θδ

θδ

θθ txi

txiii

txx

=++=+=∂∂

22

Podstawiaj�c pierwsz� pochodn� temperatury po czasie i drug� pochodn� po

współrz�dnej x do równania (wzór 14) otrzymujemy:

2

),(2),(

δθλωθ tx

iC

txi =

Z równania powy�szego otrzymujemy:

Wzór 11

πνωρλδ D

c== 2

Wielko�� δ nosi nazw� gł�boko�ci wnikania fali termicznej i oznacza gł�boko�� na

której amplituda fali termicznej maleje e (gdzie e jest podstaw� logarytmów

naturalnych) razy.

Analizuj�c przesuni�cie fazowe pomi�dzy zmianami temperatury na

powierzchni i na pewnej gł�boko�ci mo�emy okre�li� połówkow� długo�� fali. Człon

w nawiasie po prawej stronie równania (wzór 15) oznacza faz� fali w punkcie

o współrz�dnej x w chwili t.

Obliczaj�c x’ dla którego opó�nienie fazowe wynosi π otrzymujemy nast�puj�c�

zale�no�� na połówkow� długo�� fali:

gdzie Λ oznacza długo�� fali termicznej.

Warto zauwa�y�, �e w odległo�ci Λ/2 od powierzchni, amplituda fali termicznej

maleje e� , czyli 22,6 razy.

πδ==Λ'

2x

23

IDEE POMIAROWE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO

3.1. Metoda ustalonego przepływu ciepła.

Najprostsze metody pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła polegaj� na

wytworzeniu ustalonego przepływu ciepła, tak aby rozkład temperatury wewn�trz

próbki substancji u�ytej do pomiaru nie zmieniał si� w czasie. Wtedy wewn�trz całej

próbki spełniony jest warunek stacjonarno�ci 0=∂∂

tT i je�li przepływ zachodzi tylko

w jednym kierunku, po scałkowaniu równania opisuj�cego przewodno�� ciepln�

otrzymujemy .constxT =

∂∂ Obieraj�c na osi x dwa punkty w odległo�ci L i mierz�c

temperatury T1 i T2 w tych punktach mo�emy wówczas na podstawie równania

(wzór 1) obliczy� warto�� λ za pomoc� bezpo�redniego pomiaru przepływu ciepła

przez jednostk� powierzchni, poniewa� wtedy:

Wzór 12

LTT

xT 12 −

=∂∂ oraz

LTT

tQ 12 −

=∂∂ λ

Dobre przewodniki ciepła.

Post�powanie przy wyznaczaniu współczynnika przewodzenia ciepła dobrego

przewodnika upraszcza si� dzi�ki stosunkowo małej roli strat ciepła. Niemniej jednak

nale�y i tu podj�� pewne �rodki ostro�no�ci, aby poprawki niezb�dne dla

uwzgl�dnienia tych strat były jak najmniejsze. Typowe urz�dzenie stosowane do

pomiaru współczynnika przewodzenia ciepła pokazano na poni�szym rysunku.

24

doprowadzenia grzejnika

upływ ciepła

Rysunek 3 Urz�dzenie stosowane do wyznaczania współczynnika przewodzenia ciepła.

Energia elektryczna dostarczana do grzejnika w temperaturze T wytwarza stały

gradient temperatury wzdłu� próbki w kształcie pr�ta. Wytwarzany gradient

temperatury jest kontrolowany za pomoc� termopar T1, T2, T3, mo�na go zatem łatwo

okre�li�. Przekrój pr�ta jest znany, mo�na wi�c za pomoc� wzoru (wzór 17) obliczy�

λ, pod warunkiem, �e energia dostarczana do pr�ta z grzejnika jest znana i �e nie ma

�adnych istotnych strat ciepła z pr�ta. Straty ciepła mo�na zmniejszy� do minimum

przez izolowanie pr�ta i umieszczenie wokół izolowanego pr�ta rury osłonowej

z regulowanymi grzejnikami odtwarzaj�cymi rozkład temperatury wzdłu� pr�ta,

zapobiegaj�c w ten sposób odpływowi ciepła z pr�ta. Ciepło płyn�ce wzdłu� pr�ta

okre�la si� usuwaj�c pr�t z przyrz�du i wyznaczaj�c energi� potrzebn� wówczas do

utrzymania grzejnika w tej samej temperaturze T. Poniewa� energia ta, równa

z grubsza podwojonej energii traconej ze swobodnej powierzchni grzejnika gdy pr�t

znajduje si� w przyrz�dzie, jest obecnie tracona przez powierzchni� grzejnika

całkowicie odsłoni�t�, mo�na obliczy� ciepło płyn�ce wzdłu� próbki.

T T1 T2 próbka T3

25

Główna trudno�� wyst�puj�ca w tej metodzie polega na zapewnieniu dobrego kontaktu

termicznego mi�dzy grzejnikami a pr�tem. Trudno�� t� pokonuje si� zwykle w ten

sposób, �e rozkład temperatury wzdłu� pr�ta przyrównuje si� do rozkładu temperatury

wzdłu� innego pr�ta z substancji o znanym przewodnictwie cieplnym. Kontakt

termiczny jest jednakowy dla obu pr�tów. Inny sposób unikni�cia wpływu złego

kontaktu termicznego polega na dostarczaniu ciepła przez pr�d płyn�cy w samym

pr�cie.

Złe przewodniki ciepła.

Najprostszy sposób przeprowadzenia dokładnego pomiaru współczynnika

przewodzenia ciepła ciał stałych o małej przewodno�ci cieplnej polega na

sporz�dzeniu dwóch, mo�liwie jednakowych próbek badanej substancji, które

umieszcza si� w przyrz�dzie pokazanym na poni�szym rysunku pomi�dzy

miedzianymi walcami.

próbki

woda

pier�cie� grzejnik

ochronny

woda

Rysunek 4 Urz�dzenie stosowane do wyznaczania współczynnika przewodzenia ciepła złych przewodników.

Je�li rozkład temperatury pier�cienia ochronnego jest regulowany tak, aby

odpowiadał rozkładowi w grzejniku i próbkach, to nie ma �adnych strat ciepła do

otoczenia i połowa ciepła powstałego w grzejniku popłynie przez ka�d� z warstw

substancji. Poniewa� grubo�� i przekrój próbek s� znane, a temperatur� grzejnika

i walców chłodzonych wod� mo�na łatwo zmierzy�, bez trudu oblicza si�

współczynnik przewodzenia ciepła.

26

Metoda ogrzewania elektrycznego.

Ogólne równanie przewodnictwa cieplnego dla pr�ta przez który przepływa

pr�d ma nast�puj�c� posta�:

AcTph

AcI

xT

ctT

www ρσρρλ )(

2

2

2

2

−+∂∂=

∂∂

gdzie:

h(T) – funkcja okre�laj�ca ilo�� ciepła traconego w jednostce czasu z jednostki

powierzchni o temperaturze T,

p- obwód pr�ta,

cw- ciepło wła�ciwe,

ρ−g�sto�� materiału,

σ-przewodnictwo elektryczne wła�ciwe,

Α−przekrój poprzeczny pr�ta,

λ-współczynnik przewodno�ci cieplnej,

2

2

AI

σ- ilo�� ciepła wnoszona do układu przez przepływ pr�du,

Dla pr�ta dobrze izolowanego dla unikni�cia strat ciepła równanie dla stanu

ustalonego przy przepływie pr�du przyjmie posta�:

Wzór 13

02

2

2

2

=+∂∂

AI

xT

σλ

Je�li oba ko�ce pr�ta b�d� si� znajdowa� w stałej temperaturze jak pokazano to na

rysunku poni�ej, wówczas rozkład temperatury wzdłu� pr�ta mo�na wyznaczy� przez

scałkowanie równania (wzór 18). W przypadku gdy zakres zmian temperatury jest

niewielki, tak �e λ i σ mo�na przyj�� za stałe, wówczas:

)(2 012

22

TTALI

−=

σλ

27

2L

T0 T1 T0

I

-x x=0 +x

Rysunek 5 Rozkład temperatury wzdłu� pr�ta przewodz�cego pr�d.

Je�li zakres temperatur nie jest mały, wtedy przy całkowaniu trzeba uwzgl�dni�

zale�no�� λ i σ od temperatury, a tym samym, tak�e zale�no�� od poło�enia wzdłu�

pr�ta.

STANOWISKO LABORATORYJNE DO POMIARU PRZEWODNO�CI CIEPLNEJ METOD� DYNAMICZN�

4.1. Metoda dynamiczna z okresowym przepływem ciepła.

Celem pracy było zbudowanie zestawu do pomiaru przewodno�ci cieplnej

metod� dynamiczn�. Układ przeznaczony jest do laboratorium Podstaw Fizyki

Politechniki Wrocławskiej.

Pomiar współczynnika przewodno�ci cieplnej polega na wygenerowaniu periodycznej

fali termicznej (zbli�onej do sinusoidy) w walcu miedzianym i rejestracji zale�no�ci

rozkładu temperatury od czasu. Fala termiczna wzbudzona jest za pomoc� modułu

Peltiera podł�czonego do generatora pr�du o niskiej cz�sto�ci.

Walec miedziany ma wymiary:

- długo�� h=200 [mm]

- �rednica φ=20 [mm]

W walcu s� umieszczone termopary które słu�� do pomiaru rozkładu temperatury

wzdłu� walca. Spoina wspólna dla termopar znajduje si� na ko�cu rozpatrywanego

walca, a wi�c siła termoelektryczna termopar jest proporcjonalna do ró�nicy

I I

28

walec wykonany z miedzi

temperatur pr�ta na jego ko�cu i temperatury pr�ta w punkcie w którym umieszczona

jest dana termopara.

Schemat układu pomiarowego przedstawiony jest na rysunku 9.

T1 T2 T3 T4

moduł Peltiera

tu znajduje si� spoina odniesienia

„przej�ciówka”

Rysunek 6 Schemat układu do pomiaru przewodno�ci cieplnej.

Podczas wykonywania pomiarów komputer rejestruje zale�no�� temperatury

od czasu T(t) dla dwóch wybranych termopar. Pomiar współczynnika przewodno�ci

cieplnej sprowadza si� do okre�lenia ró�nicy czasu po którym fazy dwóch sygnałów

pochodz�cych z ró�nych termopar s� zgodne. Na podstawie równania (wzór 15)

opisuj�cego rozchodzenie si� fali termicznej w pr�cie, mo�emy zapisa�:

)()( 12

11 δ

ωδ

ω xt

xt −=−

gdzie:

ω− jest cz�sto�ci� z jak� generowana jest fala termiczna

δ - gł�boko�� wnikania fali termicznej

x1, x2 - odległo�ci do rozpatrywanych punktów pomiarowych mierzone od pocz�tku

walca

t1, t2 - czasy w których fala jest w tej samej fazie

Jedyn� niewiadom� w tym równaniu jest δ. Po elementarnych przekształceniach

otrzymujemy:

wzór 14

)( 21

21

ttxx

−−

=ω

δ

29

Znaj�c gł�boko�� wnikania fali termicznej, ciepło wła�ciwe miedzi oraz jej g�sto��

mo�emy obliczy� współczynnik przewodno�ci cieplnej. Korzystaj�c z zale�no�ci na

gł�boko�� wnikania fali termicznej (wzór 16) otrzymujemy:

Wzór 15

2

2 ρωδλ wc

=

gdzie:

ω− jest cz�sto�ci� z jak� generowana jest fala termiczna

cw - ciepło wła�ciwe miedzi

ρ - g�sto�� miedzi

Podstawiaj�c wzór 19 do wzoru 20 uzyskujemy ko�cow� posta� wzoru na

współczynnik przewodno�ci cieplnej:

Współczynnik przewodno�ci cieplnej mo�na wyznaczy� analizuj�c amplitud� sygnału

mierzonego przez wybrane termopary w odpowiednich punktach. Pierwszy człon

w rozwi�zaniu równania przewodnictwa cieplnego(nr równania) okre�la nam zmian�

amplitudy sygnału, która maleje expotencjalnie wraz z odległo�ci�. Znaj�c wi�c

warto�ci temperatur mierzone w dwóch ró�nych miejscach w tym samym czasie

mo�emy wyliczy� gł�boko�� wnikania fali termicznej:

gdzie: T0 jest temperatur� zmierzon� przez termopar� umieszczon� bli�ej modułu

Peltiera, T jest temperatur� zmierzon� przez dalsz� termopar� za� x jest odległo�ci�

pomi�dzy tymi termoparami.

Wstawiaj�c t� warto�� do wzoru 20 otrzymujemy wyra�enie na współczynnik

przewodno�ci cieplnej:

( )( )2

21

221

2 ttxxcw

−−=

ωρλ

���

����

�=

0

lnTT

xδ

30

Odległo�� mi�dzy kolejnymi spoinami termopar wynosi:

- T1 – T2 58,52 [mm]

- T1 – T3 116,0 [mm]

4.2. Podzespoły tworz�ce stanowisko.

4.2.1. Zjawisko Peltiera.

Zjawisko Peltiera z fizycznego punktu widzenia nale�y sklasyfikowa� do

zjawisk termoelektrycznych, obok zjawiska Seebecka - efekt powstawania ró�nicy

potencjałów elektrycznych na styku metali lub półprzewodników (termopary),

zjawiska Thomsona – w którym efekty cieplne towarzysz� przepływowi pr�du przez

przewodnik, w którym wyst�puje gradient temperatury.

Zjawisko Peltiera polega na pochłanianiu lub wydzielaniu ciepła podczas

przepływu pr�du przez zł�cze metali lub półprzewodników. Cz��ciej jednak realizuje

si� moduły Peltiera z materiałów półprzewodnikowych, poniewa� charakteryzuj� si�

one silniejsz� zale�no�ci� koncentracji no�ników pr�du od temperatury ni� ma to

miejsce w przypadku metali.

Moduł Peltiera składa si� z poł�czonych na przemian segmentów wykonanych

z półprzewodnika typu n oraz z półprzewodnika typu p. Elektrycznie segmenty te

poł�czone s� szeregowo, natomiast cieplnie - równolegle.

Rysunek 7 Budowa półprzewodnikowego modułu Peltiera.

Chłodzenie termoelektryczne oparte jest o prac� elementu półprzewodnikowego

zwanego modułem Peltiera i wyst�puje, gdy przez element płynie, w odpowiednim

2

0

2

ln2 ��

�

�

��

�

����

����

�=

TT

xcwρωλ

31

kierunku, stały pr�d elektryczny. Elementy te wykonuje si� w kształcie płaskich

prostok�tnych płytek z dwoma elektrycznymi przył�czami.

Rysunek 8 Moduł Peltiera.

Moduł Peltiera stanowi bateria pojedynczych ogniw Peltiera umieszczona

mi�dzy przeciwległymi okładkami, ceramicznymi płytkami. W ogniwie tym podczas

przepływu pr�du zachodz� procesy fizyczne, których efektem jest pobieranie energii

cieplnej od otoczenia na spoinie zimnej i jej "przepompowywanie" na spoin� gor�c�.

W module objawia si� to schładzaniem jednej "zimnej" strony i ogrzewaniem drugiej

"gor�cej" strony (rys.11). Na obie strony przekazywana jest tak�e energia cieplna

powstała na skutek przepływu pr�du elektrycznego - ciepło Joule’a.

Rysunek 9 Zasada działania modułu Peltiera.

Zjawisko Peltiera, jak zostało wspomniane wcze�niej polega na wydzielaniu lub

pochłanianiu ciepła Qp podczas przepływu pr�du przez zł�cze dwóch ró�nych metali

lub półprzewodników. Aby przenie�� ładunek elektryczny q przez zł�cze, na którym

wyst�puje ró�nica potencjałów Uab, nale�y wykona� prac�:

32

W celu utrzymania stałej temperatury zł�cza nale�y doprowadzi� lub pobra� ciepło:

gdzie:

- Qp ciepło Peltiera

- πp stała Peltiera

Warto�� tej stałej zale�y od rodzaju stykaj�cych si� metali (półprzewodników) oraz

temperatury zł�cza. Stała Peltiera jest niezale�na od nat��enia pr�du płyn�cego przez

zł�cze oraz jego powierzchni. Zmiana kierunku przepływu pr�du powoduje zmian�

kierunku przekazywania ciepła - podczas przepływu pr�du przez zł�cze w jednym

kierunku ciepło jest wydzielane, gdy pr�d płynie w kierunku przeciwnym ciepło jest

pobierane.

Je�eli przez zł�cze płynie pr�d o nat��eniu I, to energia cieplna wydzielana lub

pobierana w jednostce czasu okre�lona jest równaniem:

Wzór 16

gdzie:

- α współczynnik Seebecka

- T temperatura w skali bezwzgl�dnej

Je�eli pr�d płynie przez przewodnik, w którym wyst�puje gradient temperatury, to

w zale�no�ci od kierunku przepływu pr�du nast�puje wydzielanie lub pochłanianie

ciepła Thomsona w jednostce czasu:

Wzór 17

gdzie:

- τ współczynnik Thomsona

- PT ilo�� ciepła wydzielonego lub pochłoni�tego w jednostce czasu

W obwodzie, oprócz ciepła Peltiera oraz ciepła Thomsona, wydzielane jest

ciepło Joule’a o mocy 2RIP = gdzie R oznacza opór elektryczny przewodnika.

abqUW =

PP qQ π=

TIIdt

dQP P

PP απ ===

dxdT

Idt

dQP T

T τ==

33

Całkowita moc wydzielona w układzie jest sum� ciepła Joule’a, ciepła Thomsona oraz

ciepła Peltiera. Nale�y pami�ta�, �e ciepło Peltiera mo�e by� dodatnie lub ujemne,

w zale�no�ci od kierunku przepływu pr�du przez zł�cze.

Je�eli w przewodniku wyst�puje gradient temperatury, to wówczas mamy do

czynienia z przepływem ciepła z cz��ci przewodnika o wy�szej temperaturze (Tg),

które b�dziemy nazywa� gor�cym ko�cem, do miejsca o ni�szej temperaturze (Tz),

które nazwiemy ko�cem zimnym. Ciepło to przekazywane jest dzi�ki przewodnictwu

cieplnemu, a moc przekazywanego ciepła jest równa :

gdzie:

- λ współczynnik przewodnictwa cieplnego,

- S pole przekroju poprzecznego przewodnika,

- h odległo�� pomi�dzy zimnym i gor�cym ko�cem przewodnika.

W warunkach ustalonych, zimny koniec w jednostce czasu pobiera z zewn�trz

ciepło:

gdzie: ZG TTT −=∆

Gor�cy koniec w jednostce czasu oddaje na zewn�trz ciepło:

Czynnik 1/2 wyst�puj�cy po prawej stronie powy�szych równa� wynika z zało�enia,

�e ciepło Joule’a oraz ciepło Thomsona „dzielone jest równo” pomi�dzy zimny

i gor�cy koniec.

Moc pobierana ze �ródła pr�du Pel jest równa ró�nicy mocy wydzielanej przez gor�cy

koniec oraz mocy pochłanianej przez koniec zimny:

h

TTS

dt

dQP zgprz

prz

)( −== λ

hT

KSRIh

TIIT

dtdQ

P zchl

chl

∆−−∆±==− 2

21

21 τα

hT

KSRIh

TIIT

dt

dQP g

grzgrz

∆−−∆== 2

21

21 τα �

34

Bilans mocy pobieranej i oddawanej przez moduł Peltiera przedstawia poni�szy

rysunek:

Rysunek 10 Bilans mocy w module Peltiera (przyj�to, �e ciepło Thomsona jest wydzielane).

Termodynamicznie moduł Peltiera stanowi pomp� ciepln�, która pod wpływem

wło�onej energii elektrycznej przepompowuje energi� ciepln� z jednej strony na

drug�. Najwa�niejszym jego parametrem jest maksymalna moc cieplna QZmax, która

jest mo�liwa do przepompowania ze strony zimnej na gor�c�.

Wska�nikiem, który okre�la przydatno�� modułu pod wzgl�dem chłodniczym

jest współczynnik wydajno�ci chłodniczej:

gdzie: QZ - moc cieplna modułu (energia cieplna pobrana przez stron� zimn� )

QE - wło�ona moc elektryczna potrzebna na przepompowanie energii cieplnej ze

strony zimnej na gor�c�.

Na rysunku 14 przedstawiono orientacyjn� zale�no�� współczynnika

wydajno�ci chłodniczej od ró�nicy temperatury mi�dzy okładkami modułu T=TG - TZ

przy stałej temperaturze strony gor�cej TG = const. Wynika st�d wniosek, �e praca

modułu jest najefektywniejsza dla małych warto�ci QZ, w zakresie od 0 do 20°C.

W tym zakresie ró�nicy temperatury praca modułu jest najbardziej ekonomiczna.

hTI

RITIUIPel

∆++∆== τα 2

E

Z

QQ=ε

35

Oznacza to, �e zu�ywaj�c porcj� energii elektrycznej, moduł przepompowuje

przynajmniej dwukrotnie wi�cej energii cieplnej.

Rysunek 11 Zale�no�� współczynnika wydajno�ci chłodniczej od ró�nicy temperatury ∆∆∆∆T mi�dzy

okładkami modułu Peltiera, przy stałej temperaturze strony gor�cej TG=const.

Na prac� modułu ma wpływ wiele parametrów. Najwa�niejsze z nich to

parametry elektryczne: nat��enie I i napi�cie U pr�du stałego przepływaj�cego przez

moduł, oraz parametry cieplne: temperatura strony gor�cej TG oraz temperatura strony

zimnej TZ. Rysunek 15 obrazuje przebieg warto�ci mocy cieplnej QZ uzale�niony od

ró�nicy temperatury mi�dzy okładkami modułu, przy stałej warto�ci nat��enia pr�du I.

Z kolei na rysunku 16 przedstawiono zale�no�� mocy cieplnej QZ od warto�ci

nat��enia pr�du elektrycznego I, przy stałej ró�nicy temperatur ∆T.

36

Rysunek 12 Zale�no�� mocy cieplnej QZ od ró�nicy temperatur ∆∆∆∆T przy stałym nat��eniu pr�du I.

Rysunek 13 Zale�no�� mocy cieplnej QZ od pr�du I przy stałej warto�ci ró�nicy temperatur ∆∆∆∆T.

Z charakterystyk tych wida�, �e moc cieplna modułu QZ maleje wraz ze

wzrostem ró�nicy temperatur ∆T mi�dzy jego okładkami, a maksimum osi�ga przy

równej temperaturze strony zimnej i strony gor�cej (∆T =0). Zmniejszenie nat��enia

pr�du I powoduje tak�e pogorszenie parametrów cieplnych modułu. Dla okre�lonej

ró�nicy temperatur ∆T istnieje zawsze taka warto�� pr�du, zwana pr�dem

maksymalnym Imax , daj�ca maksymaln� warto�� mocy chłodniczej QZmax. Zwi�kszenie

nat��enia pr�du ponad Imax obni�a parametry cieplne modułu. Nale�y zauwa�y�, co nie

37

jest pokazane na rysunkach, �e wraz ze wzrostem temperatury strony gor�cej, maleje

opór wewn�trzny modułu, przez co niewiele, ale wzrastaj� jego wła�ciwo�ci cieplne.

Mo�liwe jest wówczas uzyskanie wi�kszej ró�nicy temperatur mi�dzy stronami

modułu.

Ze wzgl�du na małe rozmiary, szybko�� uzyskiwania odpowiedniej warto�ci

temperatury oraz jej do�� szerokiego zakresu jak i równie� łatwo�� w zasilaniu tych

elementów, moduły Peltiera znalazły obecnie zastosowanie w wielu dziedzinach nauki

i techniki.

Nale�y tutaj wymieni� takie zastosowania jak chłodzenie procesorów w komputerach

(pewnym niebezpiecze�stwem jest tutaj mo�liwo�� skraplania si� pary co mo�e

doprowadzi� do zwarcia, dlatego procesor powinien by� zabezpieczony przed par�

wodn� oraz dla bezpiecze�stwa powinno instalowa� si� wiatraczek w celu lepszego

odprowadzenia ciepła). Kolejnym zastosowaniem tych modułów s� tzw. lodówki

półprzewodnikowe, lodówki samochodowe. Na podstawie wy�ej opisanych

elementów realizuje si� klimatyzacj� w samochodach, chłodzi si� skafandry dla

kosmonautów, stoły laboratoryjne itp.

W przedstawionym tutaj zagadnieniu, moduł Peltiera został wykorzystany do

oscylacyjnej zmiany temperatury, który jest sterowany za pomoc� generatora małej

cz�stotliwo�ci.

W tabeli poni�ej s� przedstawione parametry techniczne wykorzystanego modułu.

Parametry techniczne modułu Peltiera

Tabela 2 Wymiary 30x30x3,6 [mm]

Uzas 14,5 [V]

Imax 3,30 [A]

Qmax 25,7 [W]

∆T 65,0 [C]

38

W poni�szej tabeli podane s� wyliczone na podstawie wykresów warto�ci

współczynnika przewodno�ci cieplnej:

Tabela 3

Termopary T1 i T2 Termopary T1 i T3 Okres T [s]

λf λa λf λα 60 389,7 982,6 120 388,1 467,3 381,5 352,3 180 381,6 451,7 441,8 240 389,7 376,4 382,8 479,3

gdzie: λf współczynnik wyliczony z przesuni�cia fazowego, λa współczynnik

wyliczony metod� amplitudow�.

Dla T=60 [s] i punktów pomiarowych T1 i T3 współczynnik przewodno�ci cieplnej

nie został wyliczony, poniewa� sygnał docieraj�cy do termopary T3 miał tak mał�

amplitud� i był tak „rozmyty”, �e nie mo�na było okre�li� przesuni�cia fazowego. Za�

dla T=180 [s] i dla tych samych punktów pomiarowych nie mo�na było dokładnie

wyznaczy� przesuni�cia fazowego.

Na poni�szych wykresach przedstawione s� wyniki pomiarów dla temperatur

odczytywanych z termopar: T1 - T2 i T1-T3 z ró�nymi okresami zmian.